1. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLPROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICAPARA INGENIEROSCon el soporte de para clculos y grficos estadsticosMATLABLuis Rodrguez Ojedalrodrig@espol.edu.ecInstituto de Ciencias MatemticasEscuela Superior Politcnica del Litoral, ESPOLGuayaquil, Ecuador2007MATLABmarca registrada de The Math Works, IncIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.

2. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLCONTENIDO1 Introduccin 71.1 Objetivo de la Estadstica 81.2 Origen de la Estadstica 81.3 Definiciones bsicas 81.4 Desarrollo de un proyecto estadstico 92 Estadstica descriptiva 112.1 Recopilacin de datos 112.2 Descripcin de conjuntos de datos 112.3 Tabla de distribucin de frecuencia 122.4 Representacin grfica de conjuntos de datos 152.4.1 Histograma 152.4.2 Polgono de frecuencia 162.4.3 Ojiva 162.4.4 Grficos de frecuencia con formas especiales 172.5 Medidas de tendencia central 202.5.1 Media muestral 202.5.2 Moda muestral 202.5.3 Mediana muestral 202.6 Medidas de dispersin 212.6.1 Rango 212.6.2 Varianza muestral 212.6.3 Desviacin estndar muestral 222.7 Medidas de posicin 222.7.1 Cuartiles 222.7.8 Deciles 232.7.9 Percentiles 232.8 Coeficiente de variacin 232.9 Frmulas para datos agrupados 262.10 Instrumentos grficos adicionales 302.10.1 Diagrama de caja 302.10.2 Diagrama de puntos 302.10.3 Diagrama de Pareto 302.10.4 Diagrama de tallo y hojas 312.11 Muestras bivariadas 342.11.1 Correlacin 352.11.2 Coeficiente de correlacin lineal 352.11.3 Matriz de varianzas y covarianzas 362.11.4 Matriz de correlacin 363 Fundamentos de la teora de la probabilidad 403.1 Experimento estadstico 403.2 Espacio muestral 403.3 Eventos 413.4 Sigma-lgebra 413.5 Tcnicas de conteo 423.6 Permutaciones 443.6.1 Permutaciones con todos los elementos 453.6.2 Arreglo circular 453.6.3 Permutaciones con elementos repetidos 453.7 Combinaciones 473.8 Probabilidad de eventos 503.8.1 Probabilidad de los elementos de un evento 52Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.2 3. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.9 Axiomas de probabilidad de eventos 523.10 Probabilidad condicional 563.11 Eventos independientes 593.12 Regla multiplicativa de la probabilidad 603.13 Probabilidad total 643.14 Frmula de Bayes 664 Variables aleatorias discretas 684.1 Distribucin de probabilidad 694.2 Distribucin de probabilidad acumulada 714.3 Valor esperado 744.3.1 Valor esperado de expresiones 754.3.2 Propiedades del valor esperado 764.3.3 Corolarios 764.4 Varianza 774.4.1 Frmula alterna para calcular la varianza 784.4.2 propiedades de la varianza 784.4.3 Corolarios 784.5 Momentos 804.5.1 Momentos alrededor del origen 804.5.2 Momentos alrededor de la media 804.5.3 Coeficientes 804.5.4 Valores referenciales 814.5.5 Equivalencia entre momentos 814.6 Funcin generadora de momentos 814.6.1 Obtencin de momentos 814.6.2 Propiedad de unicidad 834.7 Teorema de Chebyshev 835 Distribuciones de probabilidad discretas 865.1 Distribucin discreta uniforme 865.1.1 Media y varianza 865.2 Distribucin de Bernoulli 875.3 Distribucin binomial 875.3.1 Parmetros y variable 895.3.2 Distribucin de probabilidad acumulada 895.3.3 Grfico de la distribucin binomial 905.3.4 Media y varianza 915.4 Distribucin binomial negativa 945.4.1 Media y varianza 955.5 Distribucin geomtrica 955.5.1 Media y varianza 955.6 Distribucin hipergeomtrica 965.6.1 Media y varianza 975.7 Aproximacin de la distribucin hipergeomtrica 98con la distribucin binomial5.8 Distribucin de Poisson 1015.8.1 Media y varianza de la distribucin de Poisson 1025.9 Aproximacin de la distribucin binomial mediante la 102distribucin de Poisson6 Variables aleatorias continuas 1046.1 Funcin de densidad de probabilidad 1046.2 Funcin de distribucin 1056.3 Media y varianza 1086.3.1 Propiedades de la media y la varianza 108Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.3 4. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL6.3.2 Valor esperado de expresiones con una variable 109aleatoria continua6.4 Momentos y funcin generadora de momentos 1096.5 Teorema de Chebyshev 1107 Distribuciones de probabilidad continuas 1117.1 Distribucin discreta uniforme 1117.1.1 Media y varianza 1117.1.2 Funcin de distribucin de probabilidad 1127.2 Distribucin normal 1147.2.1 Distribucin normal estndar 1157.2.2 Estandarizacin de la distribucin normal 1177.2.3 Valores referenciales de la distribucin normal 1197.3 Aproximacin de la distribucin binomial con 119la distribucin normal estndar7.4 Distribucin gamma 1237.4.1 Media y varianza 1247.5 Distribucin exponencial 1257.5.1 Media y varianza 1267.5.2 Una aplicacin de la distribucin exponencial 1277.6 Distribucin de Weibull 1307.6.1 Media y varianza 1307.7 Razn de falla 1317.8 Distribucin beta 1317.8.1 Media y varianza 1327.9 Distribucin de Erlang 1337.9.1 Media y varianza 1337.10 Distribucin ji-cuadrado 1337.10.1 Media y varianza 1337.11 Distribucin emprica acumulada 1378 Distribuciones de probabilidad conjunta 1398.1 Caso discreto bivariado 1398.1.1 Distribucin de probabilidad conjunta 1398.1.2 Distribucin de probabilidad acumulada 1398.1.3 Distribuciones de probabilidad marginal 1408.1.4 Distribuciones de probabilidad condicional 1428.1.5 Variables aleatorias discretas independientes 1438.2 Caso discreto trivariado 1448.3 Caso continuo bivariado 1478.3.1 Densidad de probabilidad conjunta 1478.3.2 Distribucin de probabilidad acumulada conjunta 1478.3.3 Densidades de probabilidad marginal 1488.3.4 Densidades de probabilidad condicional 1498.3.5 Variables aleatorias continuas independientes 1508.4 Caso continuo trivariado 1528.5 Distribucin multinomial 1558.5.1 Media y varianza 1558.6 Distribucin hipergeomtrica multivariada 1568.7 Media para variables aleatorias conjuntas bivariadas 1598.7.1 Casos especiales 1608.8 Covarianza para variables aleatorias conjuntas bivariadas 1608.8.1 Signos de la covarianza 1628.8.2 Matriz de varianzas y covarianzas 1648.8.3 Coeficiente de correlacin lineal 1658.8.4 Matriz de correlacin 166Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.4 5. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL8.9 Media y varianza para variables aleatorias conjuntas trivariadas 1668.10 Propiedades de las variables aleatorias conjuntas 1719 Distribuciones de muestreo 1739.1 Distribucin de muestreo de la media muestral 1749.1.1 Correccin de la varianza 1759.2 Teorema del lmite central 1769.3 La distribucin T 1789.3.1 Grfico de la distribucin T 1789.4 La distribucin ji-cuadrado 1809.4.1 Grfico de la distribucin ji-cuadrado 1809.5 Distribucin F 1829.5.1 Grfico de la distribucin F 1829.6 Estadsticas de orden 1849.6.1 Densidad de probabilidad de las estadsticas de orden 18410 Estadstica inferencial 18810.1 Inferencia estadstica 18810.2 Mtodos de inferencia estadstica 18810.2.1 Estimacin puntual 18810.2.2 Estimacin por intervalo 18910.2.3 Prueba de hiptesis 18910.3 Propiedades de los estimadores 18910.4 Inferencias relacionadas con la media 19710.4.1 Estimacin puntual (muestras grandes) 19710.4.2 Tamao de la muestra (muestras grandes) 19910.4.3 Estimacin por intervalo (muestras grandes) 20010.4.4 Intervalos de confianza unilaterales (muestras grandes) 20110.4.5 Estimacin puntual (muestras pequeas) 20310.4.6 Estimacin por intervalo (muestras pequeas) 20510.5 Prueba de hiptesis 20810.5.1 Prueba de hiptesis relacionada con la media 209(muestras grandes)10.5.2 Prueba de hiptesis relacionada con la media 213(muestras pequeas)10.5.3 Valor-p de una prueba de hiptesis 21510.5.4 Clculo del error tipo I 21610.5.5 Clculo del error tipo II 21710.5.6 Curva caracterstica de operacin 21810.5.7 Potencia de la prueba 21810.6 Inferencias relacionadas con la proporcin (muestras grandes) 22710.6.1 Estimacin puntual 22710.6.2 Estimacin por intervalo 22810.6.3 Prueba de hiptesis 22910.7 Inferencias relacionadas con la varianza 23210.7.1 Intervalo de confianza 23210.7.2 Prueba de hiptesis 23310.8 Inferencias relacionadas con la diferencia de dos medias 23610.8.1 Estimacin puntual e intervalo de confianza 236(muestras grandes)10.8.2 Prueba de hiptesis (muestras grandes) 23810.8.3 Intervalo de confianza (muestras pequeas) 24010.8.4 Prueba de hiptesis (muestras pequeas) 24210.7 Inferencias para la diferencia entre dos proporciones 246(muestras grandes)10.7.1 Intervalo de confianza 247Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.5 6. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL10.7.2 Prueba de hiptesis 24710.8 Inferencias para dos varianzas 24910.8.1 Intervalo de confianza 24910.8.2 Prueba de hiptesis 25010.9 Prueba para la diferencia de medias con muestras pareadas 25210.9.1 Prueba de hiptesis 25210.10 Tablas de contingencia 25510.10.1 Prueba de hiptesis 25610.11 Pruebas de bondad de ajuste 25910.11.1 Prueba ji-cuadrado 25910.11.2 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 26310.12 Anlisis de varianza 26710.12.1 Tabla ANOVA 26810.12.2 Prueba de hiptesis 26811 Regresin lineal simple 27111.1 Recta de mnimos cuadrados 27311.2 Coeficiente de correlacin 27411.3 Anlisis del modelo de regresin lineal simple 27511.4 Anlisis de varianza 27611.5 Coeficiente de determinacin 27711.6 Tabla ANOVA 27811.7 Prueba de dependencia lineal del modelo 27811.8 Estimacin de la varianza 27911.9 Inferencias con el modelo de regresin lineal 27911.10 Inferencias acerca de la pendiente de la recta 28011.10.1 Intervalo de confianza 28011.10.2 Prueba de hiptesis 28011.11 Inferencias para la intercepcin de la recta 28111.11.1 Intervalo de confianza 28111.11.2 Prueba de hiptesis 28211.12 Prueba de la normalidad del error 28212 Regresin lineal mltiple 28712.1 Mtodo de mnimos cuadrados 28812.2 Mtodo de mnimos cuadrados para k = 2 28812.3 Regresin lineal mltiple en notacin matricial 28912.4 Anlisis de varianza 29212.5 Coeficiente de determinacin 29312.6 Tabla ANOVA 29312.7 Prueba de dependencia lineal del modelo 29412.8 Estimacin de la varianza 29412.9 Matriz de varianzas y covarianzas 29512.10 Inferencias con el modelo de regresin lineal 29612.10.1 Estadsticos para estimacin de parmetros 29612.10.2 Intervalos de confianza 29612.10.3 Prueba de hiptesis 29712.11 Prueba de la normalidad del error 298Anexos1 Alfabeto griego 3022 Tabla de la distribucin normal estndar 3033 Tabla de la distribucin T 3054 Tabla de la distribucin ji-cuadrado 3065 Tabla de la distribucin F 3076 Tabla para la prueba de Kolmogorov-Smirnov 3087 Descripcin de los utilitarios DISTTOOL y RANDTOOL 309Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.6 7. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLPROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROSCon el soporte de para clculos y grficos estadsticosMATLAB1 INTRODUCCINEsta obra es una contribucin dedicada a los estudiantes que toman un primer curso deProbabilidad y Estadstica a nivel universitario en las carreras de ingeniera. El pre-requisito es elconocimiento del clculo diferencial e integral y alguna experiencia previa con el programaMATLAB para aprovechar el poder de este instrumento computacional como soporte para losclculos y grficos estadsticos.El contenido se basa en la experiencia desarrollada en varios aos impartiendo el curso deEstadstica para estudiantes de ingeniera de la ESPOL, y especialmente en el curso enmodalidad a distancia que ofrece el Instituto de Ciencias Matemticas como una opcin para losestudiantes que por dificultades en el horario de clases no pueden tomar los cursos en el horarioregular.Esta obra contiene todo el material del curso de Estadstica para las carreras de ingeniera en laESPOL con muchos ejemplos desarrollados basados en temas propuestos en exmenesrecientes, sin embargo solo pretende ser el segundo texto para esta materia pues el primero estpor concluir bajo la responsabilidad del MSc. Gaudencio Zurita profesor principal de esta ctedra.Esta obra es un aporte para que los estudiantes aprecien el uso de un instrumentocomputacional moderno y flexible que en forma integradora puede ser usado como soportecomn para todos los cursos bsicos de matemticas, incluyendo lgebra Lineal, ClculoDiferencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales, Anlisis Numrico, y ahora tambin Estadstica.Para el manejo estadstico MATLAB dispone de un amplio repertorio de funciones especiales.Todos los clculos en esta obra, incluyendo el manejo matemtico simblico, fueron realizadoscon estas funciones, asimismo los grficos estadsticos. Sin embargo por el alcance del curso nose utilizaron las funciones ms importantes de este paquete y que en cursos especializados deestadstica se deberan aprovechar. En este sentido la obra es una introduccin al uso de esteextraordinario instrumento computacional.MATLAB tiene un sistema de ayuda y documentacin extenso. Al final de esta obra se incluye ladescripcin de dos instrumentos computacionales interactivos para experimentar con modelos deprobabilidad y con la generacin de muestras aleatorias.El segundo objetivo principal de esta obra es contribuir al desarrollo de textos virtuales en laESPOL, de tal manera que puedan ser usados frente a un computador pero que tambin puedanimprimirse totalmente o en partes, reduciendo costos y el uso de papel. El texto ha sidocompilado en formato pdf. El tamao del texto en pantalla es controlable, contiene dos ndicesdinmicos para simplificar la navegacin y facilidades para agregar y borrar digitalmenteresaltadores de texto, comentarios, notas, enlaces, revisiones, bsqueda por contenido, etc.Finalmente, debo agradecer a la ESPOL por facilitar a sus profesores desarrollar actividadesacadmicas, y mencionar que esta obra tiene derechos de autor pero es de libre distribucin.Luis Rodrguez OjedaInstituto de Ciencias MatemticasEscuela Superior Politcnica del Litoral, ESPOLGuayaquil, EcuadorIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.7 8. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL1.1 OBJETIVO DE LA ESTADSTICAEl objetivo fundamental de la estadstica es analizar datos y transformarlos en informacin tilpara tomar decisiones.1.2 ORIGEN DE LA ESTADSTICAEl origen de la Estadstica se remonta a pocas en las que los gobernantes requeran tcnicaspara controlar a sus propiedades y a las personas.Posteriormente, el desarrollo de los juegos de azar propici el estudio de mtodos matemticospara su anlisis los cuales con el tiempo dieron origen a la Teora de la Probabilidad que hoy esel sustento formal de la Estadstica.El advenimiento de la informtica ha constituido el complemento adecuado para realizar estudiosestadsticos mediante programas especializados que facilitan enormemente el tratamiento ytransformacin de los datos en informacin til.La Estadstica ha alcanzado un nivel de desarrollo muy alto y constituye actualmente el soportenecesario para todas las ciencias y para la investigacin cientfica, siendo el apoyo para tomardecisiones en un entorno de incertidumbre.Es importante resaltar que las tcnicas estadsticas deben usarse apropiadamente para que lainformacin obtenida sea vlida.1.3 DEFINICIONES PRELIMINARESESTADSTICACiencia inductiva que permite inferir caractersticas cualitativas y cuantitativas de un conjuntomediante los datos contenidos en un subconjunto del mismo.POBLACINConjunto total de individuos u objetos con alguna caracterstica que es de inters estudiar.MUESTRASubconjunto de la poblacin cuya informacin es usada para estudiar a la poblacinVARIABLEAlguna caracterstica observable de los elementos de una poblacin y que puede tomardiferentes valores.DATOEs cada valor incluido en la muestra. Se lo puede obtener mediante observacin o medicinPARMETROEs alguna caracterstica de la poblacin en estudio y que es de inters conocer.EXPERIMENTO ESTADSTICOEs un proceso que se disea y realiza para obtener observaciones.VARIABLE ALEATORIAEs una variable cuyo valor es el resultado de un experimento estadsticoIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.8 9. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLESPACIO MUESTRALConjunto de todos los posibles resultados que se pudiesen obtener de un experimentoestadsticoMODELODescripcin simblica o fsica de una situacin o sistema que se desea estudiarMODELO DETERMINSTICORepresentacin exacta de un sistema. Permite obtener respuestas precisasEjemplo: una ecuacin matemtica de la cual se obtiene un resultado para algunos valoresasignados a las variables.MODELO PROBABILISTICORepresentacin de un sistema que incluye componentes aleatorios. Las respuestas obtenidas seexpresan en trminos de probabilidad.Ejemplo: un modelo para predecir el comportamiento de las colas que forman las personas frentea una estacin de servicio.ESTADSTICA DESCRIPTIVATcnicas para recopilar, organizar, procesar y presentar datos obtenidos en muestras.ESTADSTICA INFERENCIALTcnicas para obtencin de resultados basados en la informacin contenida en muestras.INFERENCIA ESTADSTICAEs la extensin a la poblacin de los resultados obtenidos en una muestra1.4 DESARROLLO DE UN PROYECTO ESTADSTICODefinicin EstadsticaDescriptivaEstadsticaInferencialProblema ResultadosEn forma resumida, se describen los pasos para resolver un problema usando las tcnicasestadsticasPROBLEMAEs una situacin planteada para la cual se debe buscar una solucin.DEFINICINPara el problema propuesto deben establecerse los objetivos y el alcance del estudio a serrealizado considerando los recursos disponibles y definiendo actividades, metas y plazos. Sedebe especificar la poblacin a la cual est dirigido el estudio e identificar los parmetros deinters as como las variables que intervienen.Se deben formular hiptesis y decidir el nivel de precisin que se pretende obtener en losresultados. Deben elegirse el tamao de la muestra y las tcnicas estadsticas ycomputacionales que sern utilizadas.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.9 10. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLESTADSTICA DESCRIPTIVAEs el uso de las tcnicas para obtener y analizar datos, incluyendo el diseo de cuestionarios encaso de ser necesarios. Se debe usar un plan para la obtencin de los datos.ESTADSTICA INFERENCIALSon las tcnicas estadsticas utilizadas para realizar inferencias estadsticas que permiten validarlas hiptesis propuestas.RESULTADOSLos resultados obtenidos deben usarse para producir informacin que sea til para la toma dedecisiones.NOTA IMPORTANTELa metodologa de diseo en otros mbitos de la ciencia e ingeniera usa la retroalimentacinpara corregir las especificaciones con las que se ejecutan las actividades, hasta que losresultados obtenidos concuerden con las especificaciones y requerimientos iniciales.Sin embargo, el uso de retroalimentacin en la resolucin de un problema estadstico podrainterpretarse como un artificio para modificar los datos o la aplicacin de las tcnicas estadsticaspara que los resultados obtenidos concuerden con los requerimientos e hiptesis formuladasinicialmente. En este sentido, usar retroalimentacin no sera un procedimiento tico.PREGUNTASConteste en no ms de dos lneas de texto cada pregunta1) En que situaciones las tcnicas estadsticas constituyen un soporte importante?2) Cual es el aporte de la informtica para el uso de las tcnicas estadsticas?3) Por que hay que tener precaucin en el uso de los resultados estadsticos?4) Cual es la diferencia entre poblacin y muestra?5) Cual es la caracterstica principal de un modelo probabilstico?6) Cual es el objetivo de realizar una inferencia estadstica?7) Est de acuerdo con el esquema propuesto para realizar un proyecto estadstico?8) Est de acuerdo con la interpretacin dada para la retroalimentacin en la resolucin de unproblema estadstico?Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.10 11. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2 ESTADSTICA DESCRIPTIVAEs el estudio de las tcnicas para recopilar, organizar y presentar de datos obtenidos en un estudioestadstico para facilitar su anlisis y aplicacin.2.1 RECOPILACIN DE DATOSFuentes de datos1) Investigacin en registros administrativos: INEC, Banco Central, Cmaras de laProduccin, Universidades, etc. para obtener ndices de empleo, ndice de precios, datosde salud, datos de eficiencia, etc.2) Obtencin de datos mediante encuestas de investigacin Ej. Estudios de mercado.Estudios de preferencia electoral, etc3) Realizacin de experimentos estadsticosCriterios para disear una encuesta de investigacin1) Definir el objetivo del estudio2) Definir la poblacin de inters3) Determinar el tamao de la muestra4) Seleccionar el tipo de muestreo5) Elegir temas generales6) Elaborar el formulario para la encuesta: Preguntas cortas, claras y de opciones.7) Realizar pruebas8) Realizar la encuestaTipos de datosLos resultados que se obtiene pueden ser1) Datos cualitativos: corresponden a respuestas categricasEj. El estado civil de una persona2) Datos cuantitativos: corresponden a respuestas numricasEj. La edad en aos.Los datos cuantitativos pueden ser1) Discretos: Se obtienen mediante conteos2) Continuos: Se obtienen mediante mediciones2.2 DESCRIPCIN DE CONJUNTOS DE DATOSLos datos obtenidos se los puede representar de diferentes formas:1) Tabularmente.2) Grficamente3) Mediante nmerosSi la muestra contiene pocos datos, se los puede representar directamente, pero si el nmero dedatos es grande conviene agruparlos para simplificar su anlisisIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc11 12. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.3 TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAEs un dispositivo para agrupacin de datos y facilitar su interpretacin.Recomendaciones para construir la Tabla de Frecuencia1) Identificar la unidad de medida de los datos2) Obtener el rango de los datos, RR = mayor valor menor valor3) Seleccionar el numero de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos.Sugerencia para elegir kSean n: nmero de datosk: Nmero de clasesn kMenos de 50 5 a 7Entre 50 y 100 6 a 10Entre 100 y 250 7 a 12Mas de 250 10 a 204) Obtener la amplitud de las clases,Amplitud = R/kSe puede redefinir la amplitud, el nmero de clases y los extremos de cada clase de talmanera que las clases tengan la misma amplitud, incluyan a todos los datos y los valoresen los extremos de las clases sean simples5) Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada claseNotacinn: nmero de datosk: nmero de clasesfi: frecuencia de la clase i, i=1, 2, 3, , kfi/n: frecuencia relativa de la clase iFi: frecuencia acumulada de la clase iFi = f1+f2+f3++fiFi/n: frecuencia acumulada relativa de la clase imi : marca de la clasei (es el centro de la clase i)Los resultados se los organiza en un cuadro denominado Tabla de FrecuenciaEjemplo.- Los siguientes 40 datos corresponden a una muestra del tiempo que se utiliz paraatender a las personas en una estacin de servicio:3.1 4.9 2.8 3.64.5 3.5 2.8 4.12.9 2.1 3.7 4.12.7 4.2 3.5 3.73.8 2.2 4.4 2.95.1 1.8 2.5 6.22.5 3.6 5.6 4.83.6 6.1 5.1 3.94.3 5.7 4.7 4.65.1 4.9 4.2 3.1Obtener la tabla de frecuenciaIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc12 13. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLSolucin1) Precisin: un decimal2) Rango: R = mayor valor menor valor = 6.2 1.8 = 4.43) Nmero de clases: k=64) Amplitud: R/k = 0.7333..Por simplicidad se redefine la amplitud como 1 y se usan nmeros enteros para losextremos de las clases.5) Conteo de los datos (puede hacerse en un solo recorrido de los datos con la ayuda decuadritos para conteo (de 5 en 5)Clase Intervalo Frecuencia1 [1, 2) 12 [2, 3) 93 [3, 4) 114 [4, 5) 125 [5, 6) 56 [6, 7) 2n = 40Tabla de FrecuenciaClaseiIntervalo[a, b)Marcade clasemFrecuenciafFrecuenciarelativaf/nFrecuenciaacumuladaFFrecuenciaacumuladarelativaF/n1 [1, 2) 1.5 1 0.025 1 0.0252 [2, 3) 2.5 9 0.225 10 0.2503 [3, 4) 3.5 11 0.275 21 0.5254 [4, 5) 4.5 12 0.300 33 0.8255 [5, 6) 5.5 5 0.125 38 0.9506 [6, 7) 6.5 2 0.050 40 1.000EJERCICIOS1) Conteste las siguientes preguntas en no ms de dos lneas de textoa) En las fuentes de recopilacin de datos no se ha mencionado el uso de internet.Cualesson las ventajas y peligros de su uso?b) Al disear el formulario de una encuesta de investigacin. Por que se prefieren preguntascon opciones para elegir?c) El nmero telefnico de una persona. Es un dato cualitativo o cuantitativo?d) El dinero es un dato cuantitativo, Discreto o continuo?2) Con los resultados obtenidos y descritos en la tabla de frecuencia del ejemplo desarrolladoen esta seccin, conteste las siguientes preguntasa) Cuntas personas requirieron no ms de 4 minutos para ser atendidas?b) Cuntas personas requirieron entre 2 y 5 minutos?c) Cuntas personas requirieron al menos 4 minutos?d) Cul es la duracin que ocurre con mayor frecuencia?3) Construya la tabla de frecuencia para una muestra aleatoria con datos del costo porconsumo de electricidad en una zona residencial de cierta ciudad.96 171 202 178 147 102 153 1297 127 82157 185 90 116 172 111 148 213 130 165141 149 206 175 123 128 144 168 109 16795 163 150 154 130 143 187 166 139 149108 119 183 151 114 135 191 137 129 158Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc13 14. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MScMATLABConstruccin de la tabla de frecuenciasVector con los datos>> x=[3.1 4.9 2.8 3.6 4.5 3.5 2.8 4.1 2.9 2.1 3.7 4.1 2.7 4.2 3.5 3.7 3.8 2.2 4.4 2.9...5.1 1.8 2.5 6.2 2.5 3.6 5.6 4.8 3.6 6.1 5.1 3.9 4.3 5.7 4.7 4.6 5.1 4.9 4.2 3.1];>> m=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5]; Vector con las marcas de clase>> f=hist(x,m) Obtencin de las frecuencias en las marcas de clasef =1 9 11 12 5 2>> fr=f/40 Frecuencias relativasfr =0.0250 0.2250 0.2750 0.3000 0.1250 0.0500>> F=cumsum(f) Frecuencias acumuladasF =1 10 21 33 38 40>> Fr=F/40 Frecuencias acumuladas relativasFr =0.0250 0.2500 0.5250 0.8250 0.9500 1.000014 15. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.4 REPRESENTACIN GRFICA DE CONJUNTOS DE DATOSEn esta seccin revisamos algunos dispositivos frecuentemente usados para resaltarvisualmente las caractersticas de grupos de datos.2.4.1 HISTOGRAMAEs la manera ms comn de representar grficamente la distribucin de frecuencia de los datos.Se lo construye dibujando rectngulos cuya base corresponde a cada intervalo de clase, y sualtura segn el valor de la frecuencia. Puede ser la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa.Ejemplo. Construya el histograma para el ejemplo de la unidad anterior. Use los valores de lafrecuencia absoluta:Tabla de FrecuenciaClase IntervaloMarcade claseFrecuenciaFrecuenciarelativaFrecuenciaacumuladaFrecuenciarelativaacumulada1 [1, 2) 1.5 1 0.025 1 0.0252 [2, 3) 2.5 9 0.225 10 0.2503 [3, 4) 3.5 11 0.275 21 0.5254 [4, 5) 4.5 12 0.300 33 0.8255 [5, 6) 5.5 5 0.125 38 0.9506 [6, 7) 6.5 2 0.050 40 1.000HistogramaEl histograma permite dar una primera mirada al tipo de distribucin de los datos:1) Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene distribucin tipo uniforme2) Si las alturas son mayores en la zona central se dice que tiene forma tipo campana ypuede ser simtrica o asimtrica, con sesgo hacia el lado positivo o al lado negativo3) Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos atpicos. Probablementeestos datos se deben a errores de medicin y se los puede descartar pues nopertenecen al grupo que se desea caracterizar.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.15 16. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.4.2 POLGONO DE FRECUENCIAEs una manera de representar el perfil de la distribucin de los datos. Se obtiene uniendomediante segmentos de recta los puntos (marca de clase, frecuencia)Para cerrar el polgono se puede agregar un punto a cada lado con frecuencia 0.Polgono de frecuencia para el ejemplo dado:2.4.3 OJIVAEste grfico se usa para representar la frecuencia acumulada, absoluta o relativa. Se lo obtieneuniendo segmentos de recta que se extienden entre los extremos de las clases y usando losvalores de la frecuencia acumulada.Ojiva para el ejemplo dado:La ojiva permite responder preguntas tipo cuantos datos son menores queEjemplo. Cuantos datos tienen un valor menor a 4.5?Respuesta: aproximadamente 27 datosIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.16 17. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.4.4 GRFICOS DE FRECUENCIA CON FORMAS ESPECIALESLos grficos pueden tomar otros aspectos usando barras, colores, efectos tridimensionales,sombreado, etc. o usando una representacin tipo pastelDiagrama de barrasDiagrama de barras con efecto tridimensionalDiagrama tipo pastelIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.17 18. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEJERCICIOSSe tiene una muestra aleatoria con datos del costo por consumo de electricidad en una zonaresidencial de cierta ciudad.96 171 202 178 147 102 153 1297 127 82157 185 90 116 172 111 148 213 130 165141 149 206 175 123 128 144 168 109 16795 163 150 154 130 143 187 166 139 149108 119 183 151 114 135 191 137 129 158Use los resultados de la tabla de frecuencia y dibuje a mano los siguientes grficos.a) Histograma con las frecuencias relativasb) Polgono de Frecuenciasc) OjivaMATLABObtencin de grficos. Los dibujos obtenidos se muestran en las pginas anterioresVector con los datos>> x = [3.1 4.9 2.8 3.6 4.5 3.5 2.8 4.1 2.9 2.1 3.7 4.1 2.7 4.2 3.5 3.7 3.8 2.2 4.4 2.9...5.1 1.8 2.5 6.2 2.5 3.6 5.6 4.8 3.6 6.1 5.1 3.9 4.3 5.7 4.7 4.6 5.1 4.9 4.2 3.1];Vector con las marcas de clase>> m=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5];Graficacin del histograma>> hist(x, m);>> grid on CuadrculasGraficacin del polgono de frecuencias>> mp=[0.5 m 7.5]; Se agrega un punto con frecuencia cero a los lados>> f = hist(x, m); Obtencin de las frecuencias en la m marcas de clase>> fp=[0 f 0];>> clf>> plot(mp,fp,o) Dibujo de los puntos en un nuevo grfico>> hold on Mantener el grfico anterior>> plot(mp,fp) Trazado de las lneas del polgono>> grid on CuadrculasGraficacin de la ojiva>> c=[1 2 3 4 5 6 7]; Vector con los extremos de las seis clases>> F=cumsum(f); Vector con las frecuencias acumuladas>> Fo=[0 F]; Se agrega un punto a la izquierda con frecuencia cero>> clf>> plot(c,Fo,o) Dibujo de los puntos en un nuevo grficoIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.18 19. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.>> hold on Para superponer el siguiente grfico>> plot(c, Fo) Trazado de las lneas de la ojiva>> grid onGrfico de diagrama de barras con color verde>> clf>> bar(f,g)Grfico de diagrama de barras, horizontal con efecto tridimensional, color rojo>> clf>> bar3h(f,r)Grfico tipo pastel>> clf>> f=hist(x,m);>> pie(f)19 20. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLMEDIDAS DESCRIPTIVAS2.5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALSon nmeros que definen cual es el valor alrededor del que se concentran los datos uobservaciones. Se indican a continuacin los ms utilizados.2.5.1 MEDIA MUESTRALSi X1, X2, ... , Xn representan a los datos, entonces se tiene:Definicin: Media muestraln1 2 nii 1x x ... x 1X xn n =+ + += = Ejemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5Entonces X = (2+6+11+8+11+4+7+5)/8 = 6.75La media muestral es simple y de uso comn. Representa el promedio aritmtico de los datos.Sin embargo, es sensible a errores en los datos. Un dato errneo puede cambiarsignificativamente el valor de la media muestral. Para evitar este problema, se puede ignorar unpequeo porcentaje de los datos ms grandes y ms pequeos de la muestra antes de calcularla media muestralEjemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5, 90Entonces X = (2+6+11+8+11+4+7+5 + 90)/9 = 16Un slo dato cambi significativamente el valor de la media con respecto al ejemplo anterior2.5.2 MODA MUESTRALEs el valor que ocurre con mayor frecuencia en una muestra. Puede ser que no exista la moda ytambin es posible que exista ms de una moda.Definicin: Moda muestralModa muestral: Mo es el valor que ms veces se repiteEjemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5Entonces Mo = 112.5.3 MEDIANA MUESTRALEs el valor que est en el centro de los datos ordenadosSean X1, X2, ... , Xn los datosX(1), X(2), ... , X(n) los datos ordenados en forma crecienteEl subndice entre parntesis significa que el dato X(i) est en la posicin i en el grupo ordenado.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.20 21. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDefinicin: Mediana muestral=x~n 1( )2n n( ) ( 1)2 2X , si n es impar1(X X ),si n es par2+++Ejemplo: Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5Los datos ordenados: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 11, entonces =x~ 1(6 7) 6.52+ =Las medidas de tendencia central no son suficientes para describir de manera precisa elcomportamiento de los datos de una muestra. Se necesitan otras medidas.2.6 MEDIDAS DE DISPERSINSon nmeros que proveen informacin adicional acerca del comportamiento de los datos,describiendo numricamente su dispersin.2.6.1 RANGOEs la diferencia entre el mayor valor y el menor valor de los datos de la muestra.Definicin: RangoR = X(n) X(1), en donde x(i) es el dato ordenado ubicado en la posicin iEjemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5Entonces el rango es: R = 11 - 2 = 92.6.2 VARIANZA MUESTRALEsta medida se basa en la cuantificacin de las distancias de los datos con respecto al valor dela mediaDefinicin: Varianza muestraln2i2 i 1(X X)Sn 1==Frmula para calcular la varianzan n2 2i i2 i 1 i 1n X ( X )Sn(n 1)= == Frmula alterna para calcular la varianzaEl motivo que en el denominador se escriba n 1 en lugar de n (que parece natural), sejustifica formalmente en el estudio de la estadstica inferencial.Ambas frmulas son equivalentes y se lo puede demostrar mediante desarrollo de las sumatoriasIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.21 22. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEjemplo. Si los datos son 2, 6, 11, 8, 11, 4, 7, 5 y se tiene que = 6.75XEntonces la varianza esS2=2 2(2 6.75) (6 6.75) ... (5 6.75)7 + + + 2= 10.21432.6.3 DESVIACIN ESTNDAR MUESTRALEs la raz cuadrada positiva de la variancia. La desviacin estndar muestral o desviacin tpicao error muestral, est expresada en las misma unidad de medicin que los datos de la muestraDefinicin: Desviacin estndar muestral= + 2S SEjemplo. Calcule la desviacin estndar para el ejemplo anterior.Si la varianza es S2= 10.2143, entonces, la desviacin estndar esS = 2S 10.2143= = 3.1962.7 MEDIDAS DE POSICINSon nmeros que dividen al grupo de datos ordenados, en grupos de aproximadamente igualcantidad de datos con el propsito de resaltar su ubicacin.2.7.1 CUARTILESSon nmeros que dividen al grupo de datos en grupos de aproximadamente el 25% de los datosPrimer Cuartil (Q1)A la izquierda de Q1 estn incluidos 25% de los datos (aproximadamente)A la derecha de Q1 estn el 75% de los datos (aproximadamente)Segundo Cuartil (Q2)Igual que la mediana divide al grupo de datos en dos partes, cada una con el 50% de los datos(aproximadamente)Tercer Cuartil (Q3)A la izquierda de Q3 estn incluidos 75% de los datos (aproximadamente)A la derecha de Q3 estn el 25% de los datos (aproximadamente)Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 40 datos ordenados:X(1), X(2), ... , X(40). Calcular Q1, Q2, Q3Q1: 25% de 40 = 10Por lo tanto: Q1 = (X(10) + X(11))/2Q2: 50% de 40 = 20 es igual a la medianaQ2 = (X(20) + X(21))/2Q3: 75% de 40 = 30Q3 = (X(30) + X(31))/2Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.22 23. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.7.2 DECILESSon nmeros que dividen al grupo de datos en grupos de aproximadamente 10% de los datosPrimer Decil (D1)A la izquierda de D1 estn incluidos 10% de los datos (aproximadamente)A la derecha de D1 estn el 90% de los datos (aproximadamente)Segundo Decil (D2)A la izquierda de D2 estn incluidos 20% de los datos (aproximadamente)A la derecha de D2 estn el 80% de los datos (aproximadamente)Etc.Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 40 datos ordenados:X(1), X(2), ... , X(40). Calcular D1D1: 10% de 40 = 4Por lo tanto: D1 = (X(4) + X(5))/22.7.3 PERCENTILES (O PORCENTILES)Son nmeros que dividen al grupo de datos en grupos de aproximadamente 1% de los datosPrimer Percentil (P1)A la izquierda de P1 estn incluidos 1% de los datos (aproximadamente)A la derecha de P1 estn el 99% de los datos (aproximadamente)Segundo Percentil (P2)A la izquierda de P2 estn incluidos 2% de los datos (aproximadamente)A la derecha de P2 estn el 98% de los datos (aproximadamente)Etc.Ejemplo. Suponer que una muestra contiene 400 datos ordenados:X(1), X(2), ... , X(400). Calcular P1, P82P1: 1% de 400 = 4Por lo tanto: P1 = (X(4) + X(5))/2 (Percentil 1)P82: 82% de 400 = 328 (Percentil 82)P82 = (X(328) + X(329))/22.8 COEFICIENTE DE VARIACINEs un nmero que se usa para cara comparar la variabilidad de los datos de diferentes grupos.Es una medida adimensional definida de la siguiente maneraDefinicin: Coeficiente de variacinV =SXEjemplo: Para un grupo de datos X = 20, S = 4, entonces v = 4/20 = 0.2 = 20%Para un segundo grupo X = 48, S = 6, entonces v = 6/48 = 0.125 = 12.5%Se concluye que el primer grupo tiene mayor variabilidad (respecto a su media)Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.23 24. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEJERCICIOS1) Demuestre mediante propiedades de las sumatoria que2nin ni 12 2i ii 1 i 1x(x x) xn== = = Esto demuestra la equivalencia entre las dos frmulas definidas para calcular la varianza.2) Se tiene una muestra aleatoria con datos del costo por consumo de electricidad en una zonaresidencial de cierta ciudad.96 171 202 178 147157 185 90 116 172141 149 206 175 12395 163 150 154 130108 119 183 151 114Calcule X , , Sx~ 2, S, Q1, Q3, R, D1, D53) Se tienen los siguientes datos de la cantidad de barriles por da que producen 45 pozospetroleros en un campo: cantidad mnima: 52; cantidad mxima 247; primer cuartil 87; mediana163; tercer cuartil 204. Grafique la Ojiva con la mayor precisin que le sea posible.4) Respecto al problema anterior. Una compaa est interesada en comprar solamente lospozos que produzcan mas de 100 barriles por da y pagar $150000 por cada uno. Cuanto lecostara la inversin aproximadamente?MATLABFrmulas para estadstica descriptiva>> x=[2 6 11 8 11 4 7 5]; Vector con los datos de una muestra>> xb=mean(x) Media aritmticaxb =6.7500>> m=median(x) Medianam =6.5000>> x=0:1:100; Vector con los primeros 100 nmeros naturales>> xb=mean(x) Media aritmticaxb =50>> x=[x 1000]; Vector con un valor grande agregado al final>> xb=mean(x) Media aritmticaxb =59.3137>> xb=trimmean(x,10) Media aritmtica omitiendo 5% de datos en cada ladoxb =50.5000>> x=[2 6 11 8 11 4 7 5]; Vector con los datos de una muestra>> r=range(x) Rango de los datosr =9Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.24 25. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.>> a=min(x) El menor valora =2>> b=max(x) El mayor valorb =11>> s2=var(x) Varianza muestrals2 =10.2143>> s=std(x) Desviacin estndar muestrals =3.1960>> rq=iqr(x) Rango intercuartilrq =5>> q1=prctile(x,25) Primer cuartil (percentil 25)q1 =4.5000>> q3=prctile(x,75) Tercer cuartil (percentil 75)q3 =9.5000>> y=sort(x) Datos ordenados en forma crecientey =2 4 5 6 7 8 11 11>> x=rand(1,400); Vector con una fila de 400 nmeros aleatorios>> d7=prctile(x,70) Decil 7 (percentil 70)d7 =0.7013>> p82=prctile(x,82) Percentil 82p82 =0.833525 26. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.9 FRMULAS PARA DATOS AGRUPADOSSi los datos de una muestra estn disponibles en una tabla de frecuencia, se pueden usarfrmulas para calcular las medidas estadsticas descriptivas, en forma aproximadaSuponer que se dispone de la tabla de frecuencia con valores que se indican en forma simblica:Clase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [L1, U1] m1 f1 F1 f1/n F1/n2 [L2, U2] m2 f2 F2 f2/n F2/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .k [Lk, Uk] mk fk Fk fk/n Fk/nDefinicin: Media de datos agrupadosX =ki ii 11m fn =n nmero de datosk nmero de clasesmi marca de la clase i (es el centro del intervalo de la clase)fi frecuencia de la clase iDefinicin: Varianza de datos agrupadosk2 2i ii 11S f (m X)n 1 == n nmero de datosk nmero de clasesmi marca de la clase i (es el centro del intervalo de la clase)fi frecuencia de la clase iDefinicin: Mediana para datos agrupadosi 1iinF2X L Af= +i intervalo en el que se encuentra la medianaLi Lmite inferior del intervalo in Nmero de observacionesFi-1 Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo ifi frecuencia del intervalo iA Amplitud de la claseDefinicin: Moda para datos agrupadosaia sfMo L Af f= + + i intervalo en el que se encuentra la modaLi Lmite inferior del intervalo ifa Exceso de la frecuencia sobre la clase inferior inmediatafs Exceso de la frecuencia sobre la clase superior inmediataA Amplitud de la claseMo no es un dato real pero se supone que sera el dato ms frecuenteIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.26 27. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDefinicin: Medidas de posicin para datos agrupadosi 1j iinj( ) F4Q L Af= + , j = 1, 2, 3 cuartilesi intervalo en el que se encuentra el primer cuartilLi Lmite inferior del intervalo in Nmero de observacionesFi-1 Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo ifi frecuencia del intervalo iA Amplitud de la claseEjemplo: La tabla de frecuencia siguiente contiene los datos del nmero de artculos vendidos porun almacn en 50 das, agrupados en 6 clasesClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [10, 20) 15 2 2 0.04 0.042 [20, 30) 25 10 12 0.2 0.243 [30, 40) 35 12 24 0.24 0.484 [40, 50) 45 14 38 0.28 0.765 [50, 60) 55 9 47 0.18 0.946 [60, 70) 65 3 50 0.06 1Calcule la media, varianza, mediana, moda y los cuartilesMediaX =ki ii 11m fn = =1[(15)(2) (25)(10) ... (65)(3)] 40.450+ + + =Varianzak2 2i ii 11S f (mn 1 == X)= 2 2 21[2(15 40.4) 10(25 40.4) ... 3(65 40.4) ] 164.1249 + + + =MedianaPara usar la frmula debe localizarse la clase en la cual est la medianaSiendo n = 50, la mediana es el promedio entre los datos X(25), X(26)Estos datos se encuentran en la clase 4, por lo tanto344nF2X L Af= +5024240 1014= + = 40.71ModaEl intervalo en el que se considera que se encuentra la moda corresponde a la clase con mayorfrecuencia, En el ejemplo, sera la clase 4a4a sfMo L Af f= + + 240 10 42.852 5= + =+(es una valor supuesto para la moda)Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.27 28. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLPrimer CuartilQ1 corresponde a la observacin X(13). Este dato se encuentra en la clase 3, por lo tanto21 33n1( ) F4Q L Af= +501( ) 12430 10 30.4112= + =Para comparar, anotamos los datos originales de los cuales se obtuvo la tabla de frecuencia:37 48 48 57 32 63 55 34 48 3632 47 50 46 28 19 29 33 53 6849 26 20 63 20 41 35 38 35 2523 38 43 43 45 54 58 53 49 3236 45 43 12 21 55 50 27 24 42Los mismos datos pero ordenados en forma creciente12 19 20 20 21 23 24 25 26 2728 29 32 32 32 33 34 35 35 3636 37 38 38 41 42 43 43 43 4545 46 47 48 48 48 49 49 50 5053 53 54 55 55 57 58 63 63 68Con los cuales se obtuvieron directamente los siguientes resultadosX = 40.16S2= 169.81X = 41.5Q1 = 32Mo = 32, 43, 48 (trimodal)Ejemplo. Se dispone de los siguientes datos incompletos en una tabla de frecuenciaClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [1, 2) 12 63 0.254 0.75 8 0.96 0.057Completar la tabla de frecuenciaSolucinSe escriben directamente los intervalos, marcas de clase y algunos valores de frecuenciaClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [1, 2) 1.5 1 12 [2, 3) 2.5 5 63 [3, 4) 3.5 0.254 [4, 5) 4.5 0.75 [5, 6) 5.5 8 0.2 0.96 [6, 7) 6.5 0.05 0.957 [7, 8) 7.5 0.05 1Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.28 29. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLPara continuar usamos la siguiente relacin contenida en la tabla: 8/n = 0.2De donde se obtiene que n = 40. Conocido el valor de n, se puede continuar desde arribaClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [1, 2) 1.5 1 1 0.025 0.0252 [2, 3) 2.5 5 6 0.125 0.153 [3, 4) 3.5 0.25 0.404 [4, 5) 4.5 0.3 0.75 [5, 6) 5.5 8 0.2 0.96 [6, 7) 6.5 0.05 0.957 [7, 8) 7.5 0.05 1Finalmente, con la definicin de frecuencia relativa se puede completar la tablaClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 [1, 2) 1.5 1 1 0.025 0.0252 [2, 3) 2.5 5 6 0.125 0.153 [3, 4) 3.5 10 16 0.25 0.404 [4, 5) 4.5 12 28 0.3 0.75 [5, 6) 5.5 8 36 0.2 0.96 [6, 7) 6.5 2 38 0.05 0.957 [7, 8) 7.5 2 40 0.05 1Calcular la media, varianza, mediana, moda y el primer cuartilCon las frmulas correspondientes se pueden calcular las medidas descriptivas indicadas igualque en el ejercicio anteriorEJERCICIOSSe dispone de los siguientes datos incompletos en una tabla de frecuenciaClase Intervalo Marca f F f/n F/n1 22 0.253 [15, 20) 14 0.645 366 0.9757Se conoce adems que la media calculada con los datos agrupados es 19.7a) Complete la tabla de frecuenciab) Calcule la media, varianza, mediana, moda y el tercer cuartilSugerencia: Al colocar los datos en la tabla quedarn dos incgnitas en la columna f.Con la frmula del dato adicional dado X se obtiene otra ecuacin con las mismas incgnitas.Estas dos ecuaciones son lineales y luego de resolverlas se puede continuar llenando la tabla.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.29 30. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.10 INSTRUMENTOS GRFICOS ADICIONALES2.10.1 DIAGRAMA DE CAJAEs un dispositivo grfico que se usa para expresar en forma resumida, algunas medidasestadsticas de posicin:El diagrama de caja describe grficamente el rango de los datos, el rango intercuartlico (Q3 Q1)los valores extremos y la ubicacin de los cuartiles. Es una representacin til para comparargrupos de datos. Por ejemplo se resalta el hecho que el 50% de los datos est en la regincentral entre los valores de los cuartiles Q1 y Q32.10.2 DIAGRAMA DE PUNTOSSi la cantidad de datos es pequea, (alrededor de 20 o menos), se los puede representarmediante puntos directamente sin resumirlos en intervalos.2.10.3 DIAGRAMA DE PARETOEs un grfico til para identificar los efectos importantes de un proceso y las causas que losoriginan. La Ley de Pareto dice que de cualquier conjunto de eventos que pueden asociarse aun suceso, solamente unos pocos contribuyen en forma significativa mientras que los dems sonsecundarios. Generalmente hay nicamente 2 o 3 causas que explican mas de la mitad de lasocurrencias del suceso.Procedimiento para construir el diagrama de Pareto1) Categorice los datos por tipo de problema2) Determine la frecuencia y ordene en forma decreciente3) Represente la frecuencia relativa con barras4) Superponga la ojiva de la frecuencia relativa acumulada5) Determine cuales son las causas mas importantes que inciden en el suceso de intersEjemploUn fabricante ha realizado un conteo de los tipos de defectos de sus productos y ha registradosu frecuencia. Los resultados se resumen en el siguiente cuadroTipo de Defecto Frecuencia Frecuenciarelativa (%)FrecuenciaacumuladaFrecuenciaacumuladarelativa (%)A 66 0.33 66 0.33B 44 0.22 110 0.55C 34 0.17 144 0.72D 20 0.10 164 0.82E 14 0.07 178 0.89F 12 0.06 190 0.95G 10 0.05 200 1.00Representar los datos con un Diagrama de ParetoIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.30 31. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDiagrama de ParetoSe puede observar que ms del 70% de los defectos de produccin corresponden a los tipos A,B y C. Con esta informacin, una decisin adecuada sera asignar recursos para solucionarestos tipos de problemas pues son los que ocurren con mayor frecuencia.2.10.4 DIAGRAMA DE TALLO Y HOJASEs un dispositivo utilizado cuando la cantidad de datos es pequea. Permite describir ladistribucin de frecuencia de los datos agrupados pero sin perder la informacin individual de losdatos.La longitud de cada fila ayuda a visualizar la frecuencia, en forma parecida a un histograma peroal mismo tiempo se pueden observar individualmente los datos.Se construye escribiendo verticalmente las primera(s) cifra(s) de los datos (tallo) y escribiendolas restantes cifras horizontalmente (hojas)Ejemplo. Los siguientes datos corresponden a la cantidad de artculos defectuosos producidosen una fbrica en 20 das:65, 36, 59, 84, 79, 56, 28, 43, 67, 36, 43, 78, 37, 40, 68, 72, 55, 62, 22, 82Dibuje el diagrama de tallo y hojasSe elige la cifra de las decenas como tallo y la cifra de las unidades como las hojas:Tallo Hojas2 2 83 6 6 74 0 3 35 5 6 96 2 5 7 87 2 8 98 2 4Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.31 32. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEJERCICIOS1) Dibuje un diagrama de caja para los siguientes datos1.42 1.26 1.10 1.33 1.411.00 1.34 1.18 1.41 1.251.35 1.21 1.81 1.65 1.182) Dibuje un diagrama de Pareto con los siguientes datos46 4 26 15 52 2 53) Realice un diagrama de tallo y hojas con los siguientes datos8.3 4.5 9.5 1.4 8.6 7.6 4.4 6.2 9.5 6.4 2.4 3.5 1.8 4.9 4.04.6 6.1 8.7 3.1 6.0 1.7 6.2 2.4 5.8 5.0 4.6 5.4 9.4 3.4 4.03.0 4.1 2.8 3.9 5.0 7.2 3.0 1.1 4.4 4.6 7.1 6.6 7.2 2.8 2.6MATLABDibujar un diagrama de Pareto para los siguientes datos>> x = [66 44 34 20 14 12 10]; Vector con los datos>> nombres = {A B C D E F,G}; Nombres para los componentes en el diagrama>> pareto(x, nombres) Dibujar el diagrama de Pareto>> grid on Agregar cuadrculasEl dibujo resultante se muestra en la pgina anteriorDibujar un diagrama de caja>> x = [0.1 1.7 2.3 4.4 4.5 4.8 6.0 6.1 7.3 7.6 7.9 8.2 8.9 9.2 9.5]; Vector con datos>> boxplot(x) Diagrama de cajaIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.32 33. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.>> boxplot(x, 1, , 0) Diagrama de cajahorizontal, con muesca33 34. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.11 MUESTRAS BIVARIADASEs comn tener que estudiar muestras con datos que miden dos caractersticas, siendo deinters determinar si hay alguna relacin entre las dos variables.Para visualizar la relacin entre los datos de una muestra bivariada, es til graficarlos en unarepresentacin que se denomina diagrama de dispersin.EjemploSe tiene una muestra de las calificaciones de 10 estudiantes de los exmenes parcial y final.ExamenParcial60 74 66 34 60 66 57 71 39 57ExamenFinal72 82 75 46 73 74 70 82 60 61Dibuje el diagrama de dispersin.Sean X: Calificacin del primer parcial (variable independiente)Y: Calificacin del examen final (variable dependiente)Se observa que los datos estn relacionados con una tendencia lineal con pendiente positivaIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.34 35. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL2.11.1 CORRELACINSe usa el trmino correlacin para describir la relacin entre los datos de muestras bivariadas.Grficos para apreciar la correlacin entre dos variablesEjemplo.- Se puede decir que los datos en el ejemplo anterior tienen correlacin lineal positiva2.11.2 COEFICIENTE DE CORRELACION LINEALEs una definicin para cuantificar el grado de correlacin lineal entre las variables. Es unamedida adimensional til para comparar variables con unidades de medida diferentes. Primerode establecen algunas definiciones impotantesSeanX, Y: Variables muestralesn: Tamao de la muestraX, Y : Media aritmtica de X, Y, respectivamenteSX, SY: Desviaciones estndar muestralesSXY: Covarianza muestralDefinicionesMedias aritmticas muestralesnii 11X Xn == ,nii 11Yn == YVarianzas muestralesn2 2X ii 11S (x x)n 1 == ,n2 2Y ii 11S (y y)n 1 == Covarianza muestralnXY i ii 11S (x x)(yn 1 == y)Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.35 36. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDefinicin: Coeficiente de correlacin linealXYX YSrS S= , -1 r 1Si r est cercano a 1, entonces X y Y tienen correlacin lineal positiva fuerteSi r est cercano a -1, entonces X y Y tienen correlacin lineal negativa fuerteSi r est cercano a 0, entonces X y Y no estn correlacionadas linealmente, o es muy dbilEs importante que se mida la correlacin entre variables cuya asociacin tenga algn sentidoAsmismo, si las variables no estn correlacionadas linealmente, pudiera ser que si lo estnmediante una relacin no lineal2.11.3 MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZASEs una representacin ordenada de las varianzas y las covarianzas entre las variablesSi se usa la notacin11 XX X, S S= = XYXY22 XX Y, S S= =Definicin: Matriz de varianzas y covarianzas1 1 2i j2 1 22X X XX X 2X X XS SSS S = Es una matriz simtrica2.11.4 MATRIZ DE CORRELACIONEs una representacin ordenada de los coeficientes de correlacin de cada variable con la otravariable y consigo misma.Si se usa la notacin11 XX X, S S= =22 XX Y, S S= =i ji jX XijX XSrS S= coeficiente de correlacin lineal entre Xi y XjDefinicin: Matriz de correlacin1,1 1,2ij2,1 2,2r rrr r = Es una matriz simtrica. Los valores en la diagonal principal son iguales a 1Las definiciones de matriz de varianzas-covarianzas y matriz de correlacin, puedenextenderse directamente a ms variablesIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.36 37. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.EjemploSe tienen una muestra de las calificaciones de 10 estudiantes del primer parcial y del segundoparcial.PrimerParcial60 74 66 34 60 66 57 71 39 57SegundoParcial72 82 75 46 73 74 70 82 60 61Encuentre el coeficiente de correlacin lineal e interprete el resultadoSolucinSean:X: Calificacin del primer parcialY: Calificacin del segundo parcialnii 11 1x x (60 74 66 34 60 66 57 71 39 57) 58.4n 10== = + + + + + + + + + =n2 2 2 2 2X ii 11 1s (x x) [(60 58.4) (74 58.4) ... (57 58.4) ] 166.4889n 1 9== = + + + =2x Xs s 166.4889 12.9031= = =nii 11 1y y (72 82 75 46 73 74 70 82 60 61) 69.5n 10== = + + + + + + + + + =n2 2 2 2 2Y ii 11 1s (y y) [(72 69.5) (82 69.5) ... (61 69.5) ] 121.8333n 1 9== = + + + =2Y Ys s 121.8333 11.0378= = =nXY i ii 11S (x x)(y y)n 11[(60 58.4)(72 69.5) (74 58.4)(82 69.5) ...9(57 58.4)(61 69.5)] 134.1111== = + ++ =Coeficiente de correlacinXYX YS 134.1111r 0.9416S S (12.9031)(11.0378)= = =El resultado indica que la correlacin es fuertemente positivaEscriba las matrices de varianzas-covarianzas y de correlacin.Sean 11 XX X, S S= = XY22 XX Y, S S= =Matriz de varianzas-covarianzas1 1 2i j2 1 22X X XX X 2X X XS S 166.4889 134.1111S134.1111 121.8333S S = = 37 38. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLMatriz de correlacini ji jX XijX XSr , sustituyendo los valores respectivos se obtieneS S=Con la definicin:1,1 1,2ij2,1 2,2r r 1 0.9416rr r 0.9416 1 = = EJERCICIOSLos siguientes datos representan el tiempo, en horas, de entrenamiento de los trabajadores deuna empresa, y el teimpo que tardaron, en minutos, en realizar la actividad encomendadaExamenParcial10 5 12 8 6 8 4 10ExamenFinal9 12 8 10 13 11 12 8a) Dibuje el diagrama de dispersin e indique que tipo de correlacin parecen tener las variablesX y Yb) Escriba la matriz de varianzas y covarianzasc) Escriba la matriz de correlacind) Calcule el coeficiente de correlacin e interprete el resultadoIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.38 39. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSC.MATLABVectores con datos de dos variables>> x=[60 74 66 34 60 66 57 71 39 57];>> y=[72 82 75 46 73 74 70 82 60 61];Diagrama de dispersin. El grfico aparece en la primera pgina de esta seccin>> scatter(x,y,k)>> grid onMatriz de varianzas y covarianzas>> v=cov(x,y)v =166.4889 134.1111134.1111 121.8333Matriz de correlacin>> r=corrcoef(x,y)r =1.0000 0.94160.9416 1.0000Varianza, covarianza y coeficiente de correlacin:>> vx = v(1,1) Varianza de Xvx =166.4889>> vy = v(2,2) Varianza de Yvy =121.8333>> vxy = v(2,1) Covarianza de X, Yvxy =134.1111>> rxy = r(2,1) Coeficiente de correlacin de X, Yrxy =0.9416>> v=diag(cov(x,y)) Vector con las varianzas (es la diagonal de la matriz)v =166.4889121.8333>> s=sqrt(diag(cov(x,y))) Vector con las desviaciones estndars =12.903111.037839 40. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3 FUNDAMENTOS DE LA TEORA DE LA PROBABILIDADEn esta unidad se escriben algunas definiciones necesarias para fundamentar el estudio de lateora de la probabilidad.3.1 EXPERIMENTO ESTADSTICOEs un procedimiento que se realiza con el propsito de obtener observaciones para algnestudio de inters. Un experimento requiere realizar pruebas o ensayos para obtener resultados.Un experimento estadstico tiene las siguientes caractersticas1. Se conocen todos los resultados posibles antes de realizar el experimento estadstico.2. No se puede predecir el resultado de cada ensayo realizado (propiedad de aleatoriedad)3. Debe poderse reproducir o repetir el experimento en condiciones similares.4. Se puede establecer un patrn predecible a lo largo de muchas ejecuciones del experimento.Esta propiedad se denomina regularidad estadstica.Ejemplos1) Lanzar un dado y observar el resultado obtenido.2) Medir la altura de una persona3) Observar el tipo de defecto de un artculo producido por una fbrica3.2 ESPACIO MUESTRALEl espacio muestral, representado con la letra S, es el conjunto de todos los resultados posiblesde un experimento. Cada elemento de S se denomina punto muestral.Segn la naturaleza del experimento, los puntos muestrales pueden determinar que S seadiscreto o continuo.S es discreto si sus elementos pueden ponerse en correspondencia con los nmeros naturales.En este caso S puede se finito o infinito.S es continuo si los resultados corresponden a algn intervalo de los nmeros reales. En estecaso S es infinito por definicin.EjemplosExperimento: Lanzar un dado y observar el resultadoEspacio muestral: S={1, 2, 3, 4, 5, 6]Propiedades de S: discreto y finitoExperimento: Elegir al azar dos artculos de un lote y observar la cantidad de artculosdefectuososEspacio muestral: S={0, 1, 2}Propiedades de S: discreto y finitoExperimento: Lanzar un dado y contar la cantidad de intentos hastaobtener como resultado el 6Espacio muestral: S={1, 2, 3, . . .}Propiedades de S: discreto e infinitoExperimento: Medir el peso en gramos de un artculo elegido al azarEspacio muestral: S={x | x>0, xR}Propiedades de S: continuo (infinito por definicin)Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.40 41. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.3 EVENTOSUn evento es algn subconjunto del espacio muestral S. Se usan letras maysculas para denotareventos.Ejemplo:Experimento: Lanzar un dado y observar el resultadoEspacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6]Sea el evento de inters: A: el resultado es un nmero parEntonces: A = {2, 4, 6}DefinicionesEvento nulo: No contiene resultadosEvento simple: Contiene un solo resultadoEventos excluyentes: Eventos que no contienen resultados comunes3.4 -ALGEBRAEl soporte matemtico natural para el estudio de las propiedades de los eventos es la Teora deConjuntos. Pero existe un lgebra formal especfica para su estudio denominada -algebra(sigma lgebra).-algebra A es una coleccin no vaca de subconjuntos de S tales que1) S A2) Si A A, entonces AC A3) Si A1, A2, ... A, entonces = AU i1i AEn resumen -algebra A incluye a S, a sus subconjuntos y es cerrada con respecto a laoperacin de unin de conjuntos.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.41 42. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.5 TCNICAS DE CONTEOEn esta seccin revisamos algunas frmulas bsicas para conteo de elementos de conjuntos conlas cuales, en las siguientes unidades, se podr asignar valores de probabilidad a eventos.Defincin: Principio bsico del conteoSi un conjunto tiene n elementos y otro conjunto tiene m elementos, entoncesexisten nxm formas diferentes de tomar un elemento del primer conjunto y otroelemento del segundo conjunto.Ejemplo: Para ir de su casa a la universidad un estudiante debe ir primero a una estacinintermedia de transferencia:Sean A: Casa del estudianteB: Estacin intermedia de transferenciaC: UniversidadSuponga que hay tres lneas de buses para ir de A a B y que desde B para llegar a C, puedeusar el bus de la universidad o el carro de un amigo.De cuantas formas diferentes puede ir de su casa a la universidad?Respuesta. Sean 1, 2, 3 las lneas de buses de A a B, y 4, 5 las formas de ir de B a C.Representemos las diferentes opciones mediante un diagrama de rbol.Para ir de A a B hay 3 formas diferentes y para ir de B a C, hay 2 formas diferentes.Por lo tanto, para ir de A a C hay 3x2 = 6, formas diferentes.El conjunto de resultados posibles para este experimento es:S = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}Ejemplo. Cuantos nmeros de placas diferentes pueden existir en la provincia del Guayas?Respuesta. Cada nmero de placa tiene la siguiente estructura:G (letra) (letra) (dgito) (dgito) (dgito)Hay 26 letras diferentes (sin incluir ) y 10 dgitos diferentes. Si no importa repetir letras o dgitosen cada placa, el total es: 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 676000Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.42 43. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEjemplo. Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente, secretario, tesorero.Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener ms de un cargo. De cuantasmaneras diferentes puede realizarse la eleccin?RespuestaPara elegir presidente hay 10 formas diferentesPara elegir secretario quedan 9 formas diferentesPara elegir tesorero quedan 8 formas diferentesPor el principio bsico del conteo, hay 10 x 9 x 8 = 720 formas diferentes de realizar la eleccin.EJERCICIOS1) Un taller de mantenimiento tiene tres tcnicos: A, B, C. Cierto da, dos empresas X, Yrequieren un tcnico cada una. Describa el conjunto de posibles asignaciones si cada tcnicopuede ir solamente a una empresa.2) En el ejercicio anterior, suponga que el mismo tcnico debe ir primero a la empresa X y luegoa la empresa Y. Describa el conjunto de posibles asignaciones.3) Hay tres paralelos para el curso de Clculo Diferencial y tres paralelos para Algebra Lineal.Un estudiante desea tomar ambos cursos. Escriba el conjunto de posibles asignaciones.4) En un curso preuniversitario los exmenes solan contener 20 preguntas y cada una concinco opciones. De cuantas formas diferentes se poda contestar el examen?Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.43 44. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.6 PERMUTACIONESSon los arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un conjunto.En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos.Suponga un conjunto de n elementos diferentes, del cual se toma un arreglo de r elementos.Si se incluye un elemento en cada arreglo, la cantidad de arreglos diferentes que se obtiene es:n (Cualquiera de los n elementos puede ser elegido)Si se incluyen 2 elementos en cada arreglo, la cantidad de arreglos diferentes que se obtiene esn(n-1) (Para elegir el segundo elemento quedan n 1 disponibles)Si se incluyen 3 elementos en cada arreglo, la cantidad de arreglos diferentes que se obtiene esn(n-1)(n-2) (Para elegir el tercer elemento quedan n 2 disponibles). . .Si se incluyen r elementos en cada arreglo, la cantidad de arreglos diferentes que se obtiene esn(n-1)(n-2). . .(n-r+1) (Para elegir el elemento r quedan n r + 1 disponibles)Con eso se puede escribir la frmula general para la cantidad de permutaciones:Definicin: Nmero de permutacionesNmero de permutaciones con n elementos de un conjunto del cual se tomanarreglos conteniendo r elementosnPr = n(n-1)(n-2). . .(n-r+1)Ejemplo. Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente, secretario, tesorero.Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener ms de un cargo. De cuantasmaneras diferentes puede realizarse la eleccin?. Use la frmula (7.1)Respuesta. Los arreglos posiles son permutaciones pues el orden en cada uno si es de inters.Por lo tanton =10, r =3, 10P3 = 10x9x8 = 720La frmula de permutaciones se puede expresar en notacin factorial completando el producto::Definicin: Frmula alterna para calcular el nmero de permutacionesnPr = n(n-1)(n-2). . .(n-r+1)n(n 1)(n 2)...(n r 1)(n r)(n r 1)...(2)(1) n!(n r)(n r 1)...(2)(1) (n r)! + = = Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.44 45. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLCASOS ESPECIALES3.6.1 PERMUTACIONES CON TODOS LOS ELEMENTOSDefinicin: Permutaciones con todos los elementos de un conjuntonPn !n!0!n)!nn(!n=== , n: Cantidad de elementos del conjuntoEjemplo: Cuantos arreglos diferentes se pueden hacer colocando en una hilera 5 lpices decolores?Respuesta: Son permutaciones con todos los elementos: 5P5 = 5! = 1203.6.2 ARREGLO CIRCULARSuponga un grupo conteniendo n elementos diferentes. Un arreglo circular es una permutacincon todos los elementos del grupo. Para que cada arreglo sea diferente, uno de los elementosdebe mantenerse fijo y los otros pueden cambiar el orden.Definicin: Nmero de permutaciones en un arreglo circularSi n es el nmero total de elementos, la cantidad de arreglos diferentes es: (n-1)!Ejemplo: De cuantas formas diferentes pueden colocarse 5 personas alrededor de una mesa?Respuesta: 4! = 243.6.3 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOSSi del total de n elementos, n1 fuesen repetidos, entonces los arreglos tendran formas idnticascuando se considera el orden de los n1 elementos repetidos. Existen n1! formas de tomar los n1elementos repetidos, por lo tanto, la cantidad de permutaciones se reducira en n1!Definicin: Cantidad de permutaciones con n elementos de los cuales n1 son repetidos!n!n1Este razonamiento, puede extenderse cuando hay ma grupos de elementos repetidosSean: n: Cantidad total de elementosn1: Cantidad de elementos repetidos de un tipon2: Cantidad de elementos repetidos de otro tipoSe debe cumplir que n1 + n2 = nIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.45 46. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDefinicin: Permutaciones con dos tipos de elementos repetidosn elementos de los cuales n1 son de un tipo y n2 son de otro tipo!n!n!n21Ejemplo: En una caja hay 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco. Las botellas de cada unode los dos tipos de vino tienen la misma marca y forma. De cuantas formas diferentes puedencolocarse en una hilera las 5 botellas?Respuesta: Son permutaciones con elementos repetidos con n=5, n1=3, n2=2,103!!2!5=La frmula se puede generalizar a ms grupos con elementos repetidosDefinicin: Permutaciones con n elementos y k grupos con elementos repetidosSean n: total de elementos distribuidos en k gruposn1: Nmero de elementos repetidos de tipo 1n2: Nmero de elementos repetidos de tipo 2..nk: Nmero de elementos repetidos de tipo kSiendo n1 + n2+ +nk = nCantidad de arreglos diferentes que se pueden obtener!n...!n!nn!k21.Ejemplo. Cuntos arreglos diferentes pueden hacerse con las letras de la palabraMATEMTICA?n=10.n1=2 (repeticiones de la letra M)n2=3 (repeticiones de la letra A)n3=2 (repeticiones de la letra T)las otras letras ocurren una sola vezRespuesta:10!2! 3! 2! 1! 1! 1!= 151200Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.46 47. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.7 COMBINACIONESSon los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. El orden de loselementos en cada arreglo no es de inters. Cada arreglo se diferencia nicamente por loselementos que contiene.Sean n: Cantidad de elementos del conjuntor: Cantidad de elementos en cada arregloSe usa la notacin nCr, o , o para denotar la cantidad de combinaciones de tamao rque se pueden realizar con los n elementos distintos de un conjuntonrC rnPara obtener la frmula del nmero de combinaciones, consideremos la frmula de laspermutaciones. Debido a que en las combinaciones no interesa el orden de los elementos encada arreglo, es equivalente a tener permutaciones con elementos repetidos:Definicin: Nmero de combinacionesConjunto con n elementos del cual se toman arreglos conteniendo r elementosnCrn rP n! n(n 1)(n 1)...(n r 1)r! (n r)! r! r! += = =Ejemplo. Un bar dispone de 10 frutas diferentes de las cuales se pueden elegir tres para unbatido. De cuantas maneras diferentes puede hacerse la eleccin?Respuesta: Son combinaciones pues el orden de las frutas no es de inters.n=10, r=3, 10C310!1207! 3!= =Ejemplo. En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ningunarevista. Encuentre la cantidad de personas que leen al menos una revistaRespuesta. Para el clculo puede usarse una representacin grfica de conjuntos, pero unarepresentacin tabular facilita hallar el nmero de elementos de cada evento.Primero se colocan en el cuadro los datos (color negro). y luego se completa el cuadro con losvalores faltantes (color azul). Para los clculos se ha seguido el orden indicado en el dibujo.Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.47 48. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLDel cuadro se obtiene directamente que4 leen A, nicamente2 leen B, nicamente3 leen A y BPor lo tanto, 9 personas leen al menos una revistaCantidad de formas diferentes de elegir cuatro personas que al menos lean una revista49!5! !=Respuesta: 9C4 = 126Cantidad de formas diferentes de elegir 4 personas de tal manera que 2 solamente lean A, 1solamente B, y 1 no lea revistas.Respuesta:Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las que solamente leen A: 4C2 = 6Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que solamente leen B: 2C1 = 2Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las que no leen revistas: 6C1 = 6Por el principio bsico del conteo el resultado final es: 6 x 2 x 6 = 72EJERCICIOS1) Una caja contiene cinco libros de Matemticas y una segunda caja contiene 4 libros de Fsica.De cuantas maneras diferentes se puede tomar un libro para materia? a) si todos los libros sondiferentes, b) si los libros de cada materia son iguales2) Para un proyecto se requiere dos ingenieros y tres tcnicos. Si hay cuatro ingenieros y cincotcnicos disponibles. De cuantas maneras se puede hacer la eleccin?3) Una caja contiene 6 bateras de las cuales 2 son defectuosas. De cuantas maneras sepueden tomar tres bateras de tal manera que solamente haya una defectuosa?4) En un grupo de 60 estudiantes, 42 estn registrados en Anlisis Numrico, 38 en Estadsticay 10 no estn registrados en ninguna de estas dos materias. Cuantos estn registradosnicamente en Estadstica? Cuantos estn registrados en Estadstica pero no en AnlisisNumrico?5) El cable de seguridad de una bicicleta tiene un candado que contiene 4 discos. Cada discotiene seis nmeros. Si probar cada combinacin toma cinco segundos, determine el tiempomximo que le tomar a una persona encontrar la clave para quitar el cable de seguridad quesujeta a la bicicletaIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.48 49. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.MATLAB>> c = nchoosek(9,4) Clculo de 9C4c = 126>> r = factorial(5) Factorial de 5r = 120>> x=[2 3 5 7]; Conjunto de 4 elementos>> lista=combnk(x,3) Lista de combinaciones de 3 elementoslista =2 3 52 3 72 5 73 5 7>> n=length(lista) Nmero de combinacionesn = 4>> x=[3 5 7]; Conjunto de tres elementos>> lista=perms(x) Lista de permutacioneslista =7 5 37 3 55 7 35 3 73 5 73 7 5>> x = {Juan, Pedro, Pablo}; Conjunto con tres elementos>> lista=combnk(x,2) Lista de combinaciones de 2 elementoslista =Juan PedroJuan PabloPedro Pablo49 50. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.8 PROBABILIDAD DE EVENTOSEl valor de la probabilidad de un evento es una medida de la certeza de su realizacinSea A un evento, entonces P(A) mide la probabilidad de que el evento A se realiceP(A)=0 es la certeza de que no se realizarP(A)=1 es la certeza de que si se realizarP(A)=0.5 indica igual posibilidad de que se realice o no se realice.Asignacin de valores de probabilidad a eventos1) EmpricaEs la proporcin de veces que un evento tuvo el resultado esperado respecto al total deintentos realizados.Ejemplo. Se han realizado 20 ensayos en un experimento en condiciones similares. Cuatroensayos tuvieron el resultado esperado. Entonces, la probabilidad que en el siguiente ensayose obtenga el resultado esperado es aproximadamente: 4/20=0.2=20%2) Mediante modelos matemticosPara muchas situaciones de inters puede definirse un modelo matemtico para determinar laprobabilidad de eventos. Algunos de estos modelos son estudiados en este curso, tanto paravariables discretas como continuas.3) Asignacin clsicaSu origen es la Teora de Juegos. El valor de probabilidad de un evento es la cantidad deresultados que estn asociados al evento de inters, respecto del total de resultados posibles(espacio muestral). Esta forma de asignar probabilidad es de uso frecuente.Definicin: Asignacin clsica de probabilidad a eventosSean S: Espacio muestralA: Evento de inters .Si N(S) y N(A) representan su cardinalidad (nmero de elementos)Entonces la probabilidad del evento A es:N(A)P(A)N(S)=.Ejemplo. Calcule la probabilidad que al lanzar una vez un dado y una moneda se obtenga unnmero impar y selloSi c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral es:S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}Mientras que el evento de inters es: A = {(1,s),(3,s),(5,s)}Repuesta: P(A) = N(A)/N(S) = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25%Ejemplo. En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ningunarevista.Encuentre la probabilidad que al elegir al azar una persona, sta lea al menos una revistaRespuesta: Representacin tabular de datos:Leen B No leen BLeen A 3 4 7No leen A 2 6 85 10 15Ing. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.50 51. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL4 nicamente leen A2 nicamente leen B3 leen A y BPor lo tanto, 9 personas leen al menos una revistaSeanE: Evento que la persona elegida al azar lea al menos una revistaS: Incluye todas las formas diferentes para elegir una personaEntoncesP(E) = N(E)/N(S) = 9/15 = 0.6La probabilidad que al elegir al azar tres personas, dos lean ambas revistas y una no learevistas.Respuesta:SeanE: Evento que dos personas lean ambas revistas y una no lea revistasS: Incluye todas las formas diferentes de elegir tres personasN(S) = 15C3 = 455Cantidad de formas diferentes de elegir 2 de las 3 que leen ambas3C2 = 3Cantidad de formas diferentes de elegir 1 de las 6 que no leen revistas6C1 = 6Por el Principio Bsico del Conteo, la cantidad de elementos en el evento EN(E) = 3 x 6 = 18Por lo tantoP(E) = N(E)/N(S) = 18/455 = 0.0396 = 3.96%Ejemplo. Suponga que se ha vendido una serie completa de las tablas del Peso Millonario.Calcule la probabilidad que al comprar una tabla usted sea el nico ganador del premio.Respuesta:Sea S: conjunto de tablas del Peso Millonario (cada tabla es diferente y contiene 15 nmerosdiferentes elegidos al azar entre los enteros del 1 al 25),N(S) = 25C15 = 3268760 (cantidad de tablas diferentes que se generan)E: evento de tener la tabla premiada (solamente hay una tabla premiada)P(E) = N(E)/N(S) = 1/3268760 0.0000003 (cercano a cero)Para tomar una idea de lo pequeo que es este nmero imagine cual sera su chance de sacarel premio si en una caja hubiesen 1000 tablas entre las que est la tabla ganadora. Usted debeelegir al azar la tabla ganadora. Es muy poco probable que acierte.Ahora suponga que en en una bodega hay 3268 cajas, cada una con 1000 tablas. Primerousted debe elegir al azar la caja que contiene la tabla ganadora, y luego de esta caja elegir alazar la tabla ganadora. Concluimos que su chance de obtener el premio en verdad es un sueoIng. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.51 52. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.8.1 PROBABILIDAD DE LOS ELEMENTOS DE UN EVENTOCada uno de los elementos de un evento tiene el mismo valor de probabilidadDefinicin: Probabilidad de eventos simplesSean S: Espacio muestral, con N puntos muestralesEi: Evento simple (contiene un solo punto muestral)Entonces para cada evento simpleP(Ei) = 1/N, i = 1, 2, 3, ..., N .Por lo tanto .1EPN1ii ==)(Si un evento A contiene k puntos muestrales, entoncesP(A)=k (1/N)Ejemplo. Al lanzar un dado, Cual es la probabilidad que al lanzarlo salga un nmero par?Respuesta: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = {2, 4, 6} (evento de inters)P(A) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 3 (1/6) = 0.5Ejemplo. Suponga que un dado est desbalanceado de tal manera que se conoce que laprobabilidad que salga el nmero 6 es el doble que los otros nmeros. Cual es la probabilidadque al lanzarlo salga un nmero par?Respuesta: En este ejempl los puntos muestrales no tienen el mismo la misma probabilidad1/6.Sea x, probabilidad que salga alguno de los nmeros 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, la probabilidadque salga el nmero 6 es el doble, 2xEntonces x + x + x + x + x + 2x = 1 x = 1/7Sean A: Evento que salga un nmero par, A = {2, 4, 6}Ei: Evento simple correspondiente a cada resultado iP(A) = P(E2) + P(E4) + P(E6) = 1/7 + 1/7 + 2/7 = 4/73.9 AXIOMAS DE PROBABILIDAD DE EVENTOSEn esta seccin se introduce la formalidad matemtica para la teora de la probabilidad deeventos.Sea S: Espacio muestral (suponer discreto y finito)E: Evento de SP(E): Probabilidad del evento E: Conjunto de los realesP es una funcin que asocia a cada evento E de S un nmero realP: S ,EP(E) dom P = S, rg P = [0, 1]P es una funcin de probabilidad y cumple los siguientes axiomas1) P(E) 02) P(S) = 13) E1, E2 S E1 E2 = P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)Ing. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.52 53. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEl tercer axioma establece que si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces laprobabilidad del evento unin de estos eventos es la suma de las probabilidades de cadaevento. Esta propiedad se puede extender a ms eventos.Algunas propiedades de eventos con demostraciones basadas en los axiomas1) () = 0 Probabilidad de un evento nuloDemostracin: S = S eventos excluyentes P(S) = P(S) + P() por el axioma 3 1 = 1 + P() por el axioma 2P() = 02) P(Ec) = 1 P(E) Probabilidad del evento complementoDemostracin: S = EEceventos excluyentesP(S) = P(E) + P(Ec) por el axioma 31 = P(E) + P(Ec) por el axioma 2P(Ec) = 1 P(E)3) Sean A, B eventos de S, tales que A B, entonces P(A) P(B)Demostracin: Si A est incluido en B se puede escribirB = A (AC B) eventos excluyentesP(B) = P(A) + P(AC B) por el axioma 3P(B) P(A) por el axioma 14) Sea A un evento cualquiera de S, entonces 0 P(A) 1Demostracin A SP( ) P(A) P(S) por la propiedad 30 P(A) 1 por la propiedad 1 y axioma 25) P(ABc) = P(A B) = P(A) P(AB)Demostracin: A = (A B)(AB) eventos excluyentesP(A) = P(A B) + P(AB) axioma 3P(A B) = P(A) - P(AB)6) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) Regla aditiva de la probabilidadDemostracin: AB = (A B)(AB)(B A) eventos excluyentesP(AB) = P(A B) + P(AB) + P(B A) axioma 3P(AB) = P(A B) + P(AB) + P(B A) + P(AB) P(AB)con la propiedad 5P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)Ejemplo. En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ningunarevista. Encuentre la probabilidad que al elegir al azar una persona, sta lea al menos unarevistaRespuesta: Representacin tabular para los datos:Leen B No leen B4 nicamente leen A2 nicamente leen B3 leen A y BEntonces, 9 personas leen al menos una revistaLeen A 3 4 7No leen A 2 6 85 10 15Ing. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.53 54. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLUsamos ahora las reglas de la probabilidad de eventos para resolver este problemaSean los eventosA: la persona elegida al azar lea la revista AB: la persona elegida al azar lea la revista BAB: la persona elegida al azar lee al menos una revistaPor lo tanto P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 7/15 + 5/15 3/15 = 9/15 = 0.6Ejemplo. Sean A, B eventos de S, tales queP(A) = 0.35, P(Bc) = 0.27, P(AcB) = 0.59Calculea) P(AB)b) P(AB)c) P(ABc)d) P(AcBc)RespuestaUna representacin tabular de los valores de probabilidad facilita los clculos.B BcA 0.14 0.21 0.35Ac0.59 0.06 0.650.73 0.27 1Cada respuesta se la obtiene directamente de la tabla:a) P(AB) = 0.14b) P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.35 + 0.73 - 0.14 = 0.94c) P(ABc) = P(A) + P(Bc) P(ABc) = 0.35 + 0.27 0.21 = 0.41d) P(AcBc) = P(Ac) + P(Bc) P(AcBc)= 0.65 + 0.27 0.06 = 0.86LAS PROPIEDADES PUEDEN EXTENDERSE A MS EVENTOSSean A, B, C, tres eventos del espacio muestral SDefinicionesSi A, B, C son eventos mutuamente excluyentes,P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)Si A, B, C son eventos cualesquieraP(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)Ing. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.54 55. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEJERCICIOS1) En una fbrica hay cinco motores, de los cuales tres estn defectuosos. Calcule laprobabilidad que al elegir dos motores al azar,a) Ambos estn en buen estadob) Solamente uno est en buen estadoc) Al menos uno est en buen estado2) En un grupo de 60 estudiantes, 42 estn registrados en Anlisis Numrico, 38 enEstadstica y 10 no estn registrados en ninguna de estas dos materias. Calcule la probabilidadque al elegir entre los 60 algn estudiante al azar,a) Est registrado nicamente en Estadsticab) Est registrado en ambas materias3) Sean A, B eventos cualesquiera de un espacio muestral.Si P(A)=0.34, P(B)=0.68, P(AB)=0.15, calculea) P(AB)b) P(ABc)c) P(AcBc)4) En una encuesta en la ciudad se ha hallado queLa probabilidad que una familia tenga TV es 0.7La probabilidad que una familia tenga reproductor de DVD es 0.4La probabilidad que una familia tenga TV pero no tenga reproductor de DVD es 0.36Calcule la probabilidad que una familia tenga ni TV ni reproductor de DVDa) Use una representacin tabularb) Use nicamente reglas de probabilidadIng. Luis Rodriguez Ojeda, MSc.55 56. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.10 PROBABILIDAD CONDICIONALLa probabilidad de un evento puede depender o estar condicionada a la probabilidad de otroevento.Ejemplo. Un experimento consiste en lanzar una vez un dado y una moneda.Si c, s representan los valores cara y sello de la moneda, entonces el espacio muestral S es:S = {(1,c),(2,c),(3,c),(4,c),(5,c),(6,c),(1,s),(2,s),(3,s),(4,s),(5,s),(6,s)}Sea el evento de inters, A: obtener el nmero 5 y selloEntonces P(A) = 1/12 0.0833Ahora, suponga que luego de lanzar el dado y la moneda, nos informan que el nmero deldado fue impar. Cual es la probabilidad del evento A dado el evento indicado?Sea B este evento conocido: B = {(1,c),(3,c),(5,c),(1,s),(3,s),(5,s)}Entonces, la probabilidad del evento A dado el evento B, es 1/6 0.1667Definicin: Probabilidad condicionalSean A, B eventos de SLa probabilidad condicional del evento A dado el evento B se escribe P(A|B) y es:P(A B)P(A | B) , P(B) 0P(B)= Para justificar esta importante frmula, suponga que S contiene solo dos eventos, A y B.En la siguiente tabla se ha escrito simblicamente el nmero de elementos de cada evento,siendo N el total de elementos del espacio muestralB BcA n1 n2Acn3 n4NEntonces,111 31 3nn P(A B)NP(A | B)n nn n P(B)N= = =++P(A|B) es una funcin de probabilidad pues cumple los axiomas anteriormente expuestos.Ejemplo.- Use la frmula de la probabilidad condicional para el ejemplo anterior,AB = {(5, s)} P(A B) 1/12P(A | B) 1/6P(B) 6/12= = =Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.56 57. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.Ejemplo. Las enfermedades A y B son comunes entre las personas de una regin. Supongaconocido que 10% de la poblacin contraer la enfermedad A, 5% la enfermedad B, y 2%ambas enfermedades.Encuentre la probabilidad que cualquier personaa) Contraiga al menos una enfermedadb) Contraiga la enfermedad A pero no Bc) Contraiga la enfermedad A dado que ya contrajo Bd) Contraiga la enfermedad B dado que no contrajo Ae) Contraiga ambas enfermedades dado que ya contrajo al menos una.Para facilitar el clculo completamos el cuadro de probabilidades, siendo A y Blos eventos que corresponden a contraer las enfermedades A y B respectivamenteB BcA 0.02 0.08 0.10Ac0.03 0.87 0.900.05 0.95 1Ahora se puede expresar cada pregunta en forma simblica y obtener la respuestadirectamente de cuadroRespuestasa) P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = 0.1 + 0.05 0.02 = 0.13 = 13%b) P(ABc) = 0.08 = 8%c) P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0.02/0.05 = 0.4 = 40%d) P(B|Ac) = P(BAc)/P(Ac) = 0.03/0.9 = 0.3 = 30%e) P(AB)|P(AB)=P[(AB) (AB)]/P(AB)=P(AB)/P(AB) = 0.02/0.13 = 0.1538Ejemplo. En una empresa hay 200 empleados, de los cuales 150 son graduados, 60 realizantrabajo administrativo. De estos ltimos, 40 son graduados. Si se toma al azar un empleado,encuentre la probabilidad que,a) Sea graduado y no realiza trabajo administrativo.b) Sea graduado dado que no realiza trabajo administrativo.c) No sea graduado dado que realiza trabajo administrativoPara facilitar el clculo completamos el cuadro con la cantidad de elementos de cada eventoque los representamos con:G: el empleado es graduadoA: el empleado realiza trabajo administrativoA AcG 40 110 150Gc20 30 5060 140 200Como antes, los datos faltantes se los ha completado con color azulAhora se puede expresar cada pregunta en forma simblica y obtener la respuestainmediatamenteRespuestasa) P(GAc) = 110/200 = 0.55b) P(G|Ac) = P(GAc)/P(Ac) = (110/200) / (140/200) = 110/140 = 0.7857c) P(Gc|A) = P(GcA)/P(A) = (20/200) / (60/200) = 20/60 = 0.333357 58. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLEJERCICIOS1) Sean los eventos A, B tales que P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.1, encuentrea) P(A|B)b) P(B|A)c) P(A|AB)d) P(A|AB)e) P(AB|AB)2) En un club de amigos, 10 practican tenis, 7 practican ftbol, 4 practican ambos deportes ylos restantes 5 no practican algn deporte. Si se elige una de estas personas al azar, calcule laprobabilidad que,a) Al menos practique un deporteb) No practique tenisc) Practique tenis y no practique ftbold) Practique tenis dado que no practica ftbol3) En una granja se tiene que la probabilidad que un animal tenga la gripe aviar es 0.3. Laprobabilidad que la reaccin a una prueba sea negativa para un animal sano es 0.9, y que seapositiva para un animal enfermo es 0.8a) Calcule la probabilidad que para un animal elegido al azar, el examen sea positivob) Calcule la probabilidad que el animal elegido al azar est enfermo, dado que elexamen fue positivoIng. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.58 59. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOL3.11 EVENTOS INDEPENDIENTESSean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S, se dice que A y B sonindependientes si P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende delevento B y el evento B no depende del evento ALo anterior es equivalente a la siguiente definicinDefinicin: Eventos independientesA y B son eventos independientes si P(AB) = P(A) P(B)Demostracin:De la definicin de probabilidad condicional,P(A|B) = P(AB)/P(B), P(B)0Si A y B son independientes: P(A|B) = P(A).Sustituir en la frmula de probabilidad condicional:P(A) = P(AB)/P(B)De donde se despeja P(AB)Ejemplo. Calcule la probabilidad que el ltimo dgito de un nmero de cinco dgitos elegido alazar, sea 7 y el penltimo dgito del mismo nmero sea 5Sean los eventosA: el ltimo digito es 7B: el penltimo dgito es 5Cada evento no est relacionado con el otro: son independientes, por lo tanto,P(AB) = P(A) P(B) = 0.1 x 0.1 = 0.01Ejemplo. En una caja hay 10 bateras de las cuales 4 estn en buen estado. Se repite dosveces el siguiente ensayo: extraer una batera al azar, revisar su estado y devolverla a lacaja. Encuentre la probabilidad que en ambos intentos se obtenga una batera en buen estado.Sean los eventosA: la primera batera est en buen estadoB: la segunda batera est en buen estadoAl devolver la batera a la caja, el evento A no afecta al evento B, por lo tanto sonindependientes: P(AB) = P(A) P(B) = 0.4 x 0.4 = 0.16Calcule la probabilidad que en los dos intentos se obtenga al menos una batera en buenestadoCon la conocida frmula aditiva de probabilidad,P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = 0.4 + 0.4 0.16 = 0.64Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.59 60. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLPregunta. Suponer que A, B son eventos no nulos, mutuamente excluyentes, de un espaciomuestral S. Son A y B independientes?Si A, B son eventos no nulos, P(A)>0, P(B) >0 P(A) P(B) >0Pero siendo A y B excluyentes, AB = P(AB) = 0Por lo tanto, A y B no pueden ser independientes pues P(AB) P(A) P(B)Tambin, se tiene que si A, B son excluyentes: P(A|B)=P(AB)/P(B) = 0Pero si A, B son independientes se debe cumplir: P(A|B) = P(A)Por lo tanto A, B no pueden ser independientesPregunta. Si A, B son eventos no nulos e independientes, son excluyentes?Si A, B son eventos independientes y no nulos: P(AB) = P(A) P(B) > 0Pero P(AB) > 0 AB Por lo tanto A, B no pueden ser excluyentesNOTA: Ambos enunciados son lgicamente equivalentesSean, p: A y B son excluyentes, q: A y B son independientesp q q pLa definicin de independencia entre eventos puede extenderse a ms eventosDefinicin: Eventos independientes para ms eventosSi A, B, C son eventos mutuamente independientes, entoncesP(ABC) = P(A) P(B) P(C) .3.12 REGLA MULTIPLICATIVA DE LA PROBABILIDADSean A, B eventos no nulos cualquiera de S, entoncesDefinicin: Regla multiplicativa de la probabilidadP(AB) = P(A) P(B|A)Esta frmula se la obtiene directamente despejando P(AB) de la definicin de ProbabilidadCondicionalEjemplo. En una caja hay 10 bateras de las cuales 4 estn en buen estado. Se extraen al azardos bateras sin devolverlas a la caja. Encuentre la probabilidad que,a) Ambas estn en buen estadob) Solamente una est en buen estadoc) Al menos una est en buen estadod) Ninguna est en buen estadoSean los eventosA: La primera batera est en buen estadoB: La segunda batera est en buen estadoa) La probabilidad que ambas estn en buen estado es P(AB), pero los eventos A yB no son independientes pues B depende del resultado de A. Entonces con lafrmula anteriorP(AB) = P(A) P(B|A) =4 3( )( )10 9= 2/15 =0.1333Ing. Luis Rodrguez Ojeda, MSc.60 61. PROBABILIDAD Y ESTADSTICA BSICA PARA INGENIEROS ICM ESPOLLa probabilidad de xito del evento A es 4/10. Para el evento B es 3/9, dado que Aes favorable, pues quedan 3 bateras en buen estado del total de 9 baterasb) La probabilidad que una batera est en buen estado y la otra en mal estado:P(ABc) + P(AcB) = P(A)P(Bc|A) + P(Ac)P(B|Ac)= (4/10)(6/9) + (6/10)(4/9) = 12/15 = 0.5333Los eventos en los que solamente la primera batera est en buen estado o quesolamente la segunda batera est en buen estado son excluyentes, por lo que susprobabilidades se suman.c) La probabilidad que al menos una est en buen estado. Usando los resultadocalculados en a) y b):P(AB) = P(AB)P(ABc)P(AcB) = 2/15 + 8/15 = 2/3 =0.6666Equivale a decir que ambas estn en buen estado o que solamente una est enbuen estado y siendo eventos excluyentes, sus probabilidades se sumand) La probabilidad que ninguna est en buen estadoP((AB)c) = 1 P(AB) = 1 2/3 = 1/3 = 0.3333Es lo contrario de que al menos una est en buen estado.El ejemplo anterior tambin puede resolverse con las frmulas de conteo conocidasa) A: evento