PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EJERCICIOS PROPUESTOS EN … · probabilidad y estadÍstica. pau y ebau. distrito murcia 1 1 probabilidad y estadÍstica ejercicios propuestos en las pau

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. PAU Y EBAU. Distrito Mu rcia

1

1

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS PAU Y EBAU. Distrito Murcia

NOTAS: 1ª.- En cada convocatoria se ofrecen dos opciones d e examen a elegir una, a saber OPCIÓN A y OPCIÓN B. Con esto, la numeración de las cuesti ones va precedida de la letra de la OPCIÓN.

2ª.- Desde la convocatoria de 2017 (incluida) se ha eliminado el contraste de hipótesis

________________________

INDICE: Probabilidad y estadística...............................................................................................................3

- Axiomas de probabilidad ........................................................................................... 3 CUESTIÓN A4 (junio-2013) ............................................................................... 3 CUESTIÓN A4 (junio-2014) ............................................................................... 3 CUESTIÓN A4 (septiembre-2018) ...................................................................... 3 CUESTIÓN B4 (junio-2019)................................................................................ 4

- Probabilidad compuesta ............................................................................................. 4 CUESTIÓN B4 (junio-2013)................................................................................ 4 CUESTIÓN A4 (septiembre-2013) ...................................................................... 5 CUESTIÓN B4 (junio-2014)................................................................................ 6 CUESTIÓN A4 (septiembre-2014) ...................................................................... 7 CUESTIÓN B4 (septiembre-2014) ...................................................................... 7 CUESTIÓN A4 (junio-2015) ............................................................................... 8 CUESTIÓN B4 (junio-2015)................................................................................ 9 CUESTIÓN A4 (junio-2016) ............................................................................. 10 CUESTIÓN B4 (junio-2016)..............................................................................11 CUESTIÓN A4 (junio-2017) ............................................................................. 12 CUESTIÓN B4 (junio-2017)..............................................................................13 CUESTIÓN A4 (junio-2018) ............................................................................. 14 CUESTIÓN B4 (junio-2018)..............................................................................15 CUESTIÓN B4 (septiembre-2018) .................................................................... 16 CUESTIÓN A4 (junio-2019) ............................................................................. 17 CUESTIÓN A4 (septiembre-2019) .................................................................... 18 CUESTIÓN B4 (septiembre-2019) .................................................................... 19

- Distribuciones de probabilidad ................................................................................ 20 - Distribución de medias y proporciones.................................................................... 21 - Intervalos de confianza............................................................................................. 21

CUESTIÓN B5 (junio-2013)..............................................................................21 CUESTIÓN A5 (septiembre-2013) .................................................................... 21 CUESTIÓN A5 (junio-2014) ............................................................................. 22 CUESTIÓN B5 (septiembre-2014) .................................................................... 22 CUESTIÓN B5 (junio-2015)..............................................................................24 CUESTIÓN A5 (junio-2016) ............................................................................. 24 CUESTIÓN A5 (junio-2017) ............................................................................. 25 CUESTIÓN B5 (junio-2017)..............................................................................26 CUESTIÓN A5 (junio-2018) ............................................................................. 27 CUESTIÓN B5 (junio-2018)..............................................................................28 CUESTIÓN A5 (septiembre-2018) .................................................................... 29 CUESTIÓN B5 (septiembre-2018) .................................................................... 29 CUESTIÓN A5 (junio-2019) ............................................................................. 30 CUESTIÓN B5 (junio-2018)..............................................................................31


2

2

CUESTIÓN B5 (junio-2019)..............................................................................32 CUESTIÓN A5 (septiembre-2019) .................................................................... 33 CUESTIÓN B5 (septiembre-2019) .................................................................... 33

- Contraste de hipótesis .............................................................................................. 35 CUESTIÓN A5 (junio-2013) ............................................................................. 35 CUESTIÓN B5 (junio-2014)..............................................................................36 CUESTIÓN A5 (septiembre-2014) .................................................................... 37 CUESTIÓN A5 (junio-2015) ............................................................................. 38 CUESTIÓN A5 (junio-2016) ............................................................................. 40


3

3

PPRROOBBAABBIILLIIDDAADD YY EESSTTAADDÍÍSSTTIICCAA

- AXIOMAS DE PROBABILIDAD

CUESTIÓN A4 (JUNIO-2013)

Sean A y B dos sucesos tales que 0,2 P(A) = ; 0,5 P(B) = y 0,65 B)P(A =∪

a) ¿Son independientes ambos sucesos? Razonar la respuesta.

b) Calcular P(A/ B).

SOLUCIÓN:

a) ∩−+=∪ )BA(P)B(P)A(p)BA(P

05,065,05,02,0)BA(P)B(P)A(p)BA(P =−+=∪−+=∩

Por otro lado, 1,05,02,0)B(P)A(P =⋅=⋅

Dos sucesos son independientes si

)B(P)A(P)BA(P ⋅=∩

Se observa que no se cumple la igualdad, por lo que los sucesos son dependientes.

b) 1,05,0

05,0

)B(P

)BA(P)B/A(P ==∩=

CUESTIÓN A4 (JUNIO-2014) Dados dos sucesos A y B de un mismo experimento aleatorio, calcule P(A) y P(B)

sabiendo que son independientes y que 0,6)P(A C = y 0,7B)P(A =∪

SOLUCIÓN:

a) Si 0,6)P(A C = , entonces 0,40,6-1)A(P1P(A) c ==−=

b) Si son independientes, P(B)0,4P(B)P(A)B)P(A ⋅=⋅=∩

2

1

6,0

3,0

4,01

4,07,0)B(P

)B(P)4,01(4,0)B(P4,0)B(P4,07,0

)BA(P)B(P)A(PB)P(A0,7

==−−=

⋅−+=⋅−+=∩−+=∪=

despejando:

CUESTIÓN A4 (SEPTIEMBRE-2018)

Sabiendo que ( ) 95,0BAP =∪ , ( ) 35,0BAP =∩ y ( ) 5,0B|AP = . Hallar

( )AP , ( )BP y ( )BAP ∩

SOLUCIÓN:

Si ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

7,05,0

35,0

B|AP

BAPBPB|APBPBAP ==∩=⋅=∩

Por el tercer axioma de la probabilidad:


4

4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−∩+∪=∩−+=∪ BPBAPBAPAPBAPBPAPBAP6,07,03,17,035,095,0 =−=−+=

( ) ( ) ( ) 05,095,01BAP1BAPBAP =−=∪−=∪=∩

CUESTIÓN B4 (JUNIO-2019)

Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que 3,0)A(P = ,

2,0)B(P = y 5,0)B/A(P = . Calcular )BA(P ∩ y )BA(P ∪

SOLUCIÓN:

Para sucesos dependientes:

1,05,02,0)B/A(P)B(P)AB(P)BA(P =⋅=⋅=∩=∩

Según el tercer axioma de la probabilidad:

4,01,02,03,0)BA(P)B(P)A(P)BA(P =−+=∩−+=∪

- PROBABILIDAD COMPUESTA


En una clase hay 15 chicos y 15 chicas que van a realizar el siguiente experimento aleatorio: se tiene una caja azul con 10 bolas numeradas de 1 a 10 y una caja verde con 5 bolas numeradas de 1 a 5, se elige al azar una persona de la clase, si es una chica, extrae una bola de la caja azul, y si es un chico, extrae una bola de la caja verde.

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer un número par?

b) Si el número extraído ha sido par, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraído por una chica?

SOLUCIÓN:

Sean los siguientes sucesos:

M = "La persona elegida es chico" ; 2

1

30

15)M(P ==

H = "La persona elegida es chica" ; 2

1

30

15)H(P ==

AP= "La bola extraída de la caja azul es par " ; 2

1

10

5)A(P P ==

AI= "La bola extraída de la caja azul es impar " ; 2

1

10

5)A(P I ==

VP = " La bola extraída de la caja verde es par " ; 5

2)V(P P =

VI = " La bola extraída de la caja verde es impar " ; 5

3)V(P I =

El árbol de probabilidades es:


5

5

a) Sea X = "Extraer número par"

Por el teorema de la probabilidad total, como {M,H} forman un sistema completo de sucesos:

)VM()AH(X PP ∩∪∩=

Además, los sucesos )VM(y)AH( PP ∩∩ son incompatibles pues es imposible que

eligiendo una persona al azar, resulte ser chico y chica a la vez.

( ) =∩+∩=∩∪∩= )VM(P)AH(P)VM()AH(P)X(P PPPP

=⋅+⋅=⋅+⋅=5

2

2

1

2

1

2

1)M/V(P)M(P)H/A(P)H(P PP

20

9

10

45

2

1

5

2

2

1

2

1 =+⋅=

+⋅=

b)El suceso a calcular su probabilidad es X/HY = . Aplicando el teorema de Bayes:

9

5

94

20

20

94

1

20

92

1

2

1

)X(P

)XH(P)X/H(P)Y(P =

⋅==

⋅=∩==


Un archivador contiene 70 exámenes del grupo 1, 50 del grupo 2, 100 del grupo 3 y 25 del grupo 4. El 5% de los exámenes del grupo 1, el 3 % de los del grupo 2 y el 8 % del grupo 3 está suspenso. En el grupo 4 no hay ningún suspenso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un examen al azar, esté suspenso?

b) Se ha elegido un examen y está suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que sea del grupo 2?

SOLUCIÓN:

G1 G2 G3 G4 total

Suspensos 3,5 1,5 8 0 13

Aprobados 66,5 48,5 92 25 232

total 70 50 100 25 245


6

6

Sea S = "El examen está suspenso" y G2 = "El examen es del grupo 2"

a) 245

13)S(P =

b) 26

3

130

15

13

5,1)S/G(P 2 ===


En una población el 60% de los individuos toma diariamente leche y el 40% toma diariamente yogur. Además, el 30% de los individuos toma leche y yogur diariamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo tome a diario leche pero no yogur?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tome a diario leche o yogur?

c) Si un individuo toma diariamente leche, ¿qué probabilidad hay de que también tome a diario yogur?

SOLUCIÓN:

Sean los sucesos:

L = "Tomar diariamente leche"; 10

6

100

60)L(P ==

B = "Tomar diariamente yogur"; 10

4

100

40)B(P ==

10

3

100

30)BL(P ==∩

a) X = "Tomar a diario leche pero no yogur" , BLX ∩=

( ) ( ) ( )BLBLBBLELL ∩∪∩=∪∩=∩=

Además, ( ) ( )BLyBL ∩∩ son incompatibles, pues :

( ) ( ) ( ) Φ=Φ∩=∩∩=∩∩∩ LBBLBLBL

Así pues,

( ) ( )[ ] ( ) ( )BLPBLPBLBLP)L(P ∩+∩=∩∪∩= ; despejando:

( ) ( )10

3

10

3

10

6BLP)L(PBLP)X(P =−=∩−=∩=

b) Y = "Tomar a diario leche o yogur" ; BLY ∪=

10

7

10

3

10

4

10

6

)BL(P)B(P)L(P)BL(P)Y(P

=−+=

=∩−+=∪=

c) Z = "Tomar yogur sabiendo que toma leche" ; L/BZ =

2

1

6

3

10

610

3

)L(P

)LB(P)L/B(P)Z(P ===∩==


7

7


Un archivador contiene 15 exámenes desordenados, entre los cuales se encuentran dos que tienen la puntuación máxima. Con el fin de encontrarlos, vamos sacando uno tras otro, ¿cuál es la probabilidad de que la tarea finalice exactamente en el tercer intento?

SOLUCIÓN:

Sea X="Obtener ambos exámenes en el tercer intento"

Llamemos iA = "Sacar un examen con puntuación máxima en el intento

3,2,1i,i = .

Consideraciones:

1º. Todos los exámenes son equiprobables.

2º. Obtener los dos exámenes en el tercer intento exige que la tercera extracción sea uno de los exámenes de máxima calificación, y que en las dos primeras extracciones aparezca el otro.

( ) ( )321321 AAAAAAX ∩∩∪∩∩=

( ) ( )( ) =∩∩∪∩∩= 321321 AAAAAAP)X(P

( ) ( ) =∩∩+∩∩= 321321 AAAPAAAP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅+∩⋅⋅= 213121213121 AA/APA/APAPAA/APA/APAP

123750

49

100

1

99

98

100

22

100

1

99

2

100

98

100

1

99

98

100

2 =⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=

CUESTIÓN B4 (SEPTIEMBRE-2014)

Según un estudio, el 35% de una población utiliza el autobús, mientras que el 65% restante no lo hace. En cuanto al tranvía, es utilizado por la mitad y no por la otra mitad. Un 30% no utiliza ninguno de los dos transportes. Si se elige un individuo de la población al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice alguno de los dos transportes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice los dos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que utilice el tranvía, sabiendo que utiliza el autobús?

SOLUCIÓN:

Llamemos:

A= "Un individuo utiliza el autobús".

T= "Un individuo utiliza el tranvía".

Con esto:

A= "Un individuo no utiliza el autobús".

T= "Un individuo no utiliza el tranvía".

Si formamos una tabla de doble entrada:


8

8

A A

T 15 35 50

T 20 30 50

35 65 100

A A

T TA ∩ TA ∩

T TA ∩ TA ∩

1

a) 10

7

100

70

100

15

100

50

100

35)TA(P)T(P)A(P)TA(P ==−+=∩−+=∪

b) 20

3

100

15)TA(P ==∩

c) 7

3

35

15

100

35100

15

)A(P

)TA(P)A/T(P ===∩=


La probabilidad de aprobar la asignatura A es 3

2 y la de aprobar la asignatura B es

2

1.

Además, la probabilidad de aprobar las dos es 4

1.

a) Hallar la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas

b) Calcular la probabilidad de aprobar A pero no B.

SOLUCIÓN:

4

1)BA(p

2

1)B(p

3

2)A(p =∩==

a) Sea el suceso X = "No aprobar ninguna de las dos"

12

11

4

1

2

1

3

2)BA(P)B(P)A(P

)BA(P1)BA(P)X(PBABAX

=−+=∩−+=

=∪−=∪=∪=∩=

b) Sea el suceso Y = " aprobar A pero no B" ; BAY ∩=

( ) ( )BABA)BB(AEAA ∩∪∩=∪∩=∩=

Pero ( ) ( ) ( ) φ=φ∩=∩∩=∩∩∩ ABBABABA

Así pues,

( ) ( )( ) ( ) ( )BAPBAPBABAP)A(P ∩+∩=∩∪∩= , despejando:


9

9

( ) ( )12

5

4

1

3

2BAP)A(PBAP =−=∩−=∩


Se lanzan dos veces consecutivas un dado equilibrado con las caras numeradas del 1 al 6.

a) Determinar el número de resultados de este experimento aleatorio.

b) Sea A el suceso "en los dos lanzamientos se obtiene un número mayor que 4", y B el suceso "en los dos lanzamientos se obtiene un número par". Calcular la probabilidad de A y la de B.

c) ¿Son A y B independientes?.

SOLUCIÓN:

a) Las muestras están formadas por parejas de valores comprendidos entre 1 y 6, ambos inclusive, con las siguientes características:

- Dos muestras se pueden diferenciar en el orden de colocación de sus elementos

- Dos muestras se pueden diferenciar en alguno de sus elementos.

- Las muestras pueden tener sus elementos repetidos

366VRn 226 === .

b) Construyamos el espacio muestral:

1 2 3 4 5 6

1 {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6}

2 {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6}

3 {3,1} {3,2} {3,3} {3,4} {3,5} {3,6}

4 {4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6}

5 {5,1} {5,2} {5,3} {5,4} {5,5} {5,6}

6 {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}

Sean:

A = "en los dos lanzamientos se obtiene un número mayor que 4" .

Vemos que hay 4 muestras favorables al suceso A, 36

4)A(P =

B="en los dos lanzamientos se obtiene un número par"


10

10

En este caso, hay 9 muestras favorables al suceso B, 36

9)B(P =

Además, hay una única muestra favorable al suceso A y al B, es decir, al suceso BA ∩

c) Para determinar si son o no dependientes debemos comprobar la veracidad de la igualdad )B(P)A(P)BA(P ⋅=∩

36

1

36

36

36

9

36

4)B(P)A(P

2==⋅=⋅

36

1)BA(P =∩

Concluyendo, se cumple la igualdad y por tanto, son independientes.


En una universidad, el 65% de sus miembros son estudiantes, el 25% profesores y el 10% personal de administración y servicios. Son mujeres el 60% de los estudiantes, el 47% de los profesores y el 52% del personal de administración y servicios. Si seleccionamos al azar un integrante de esa universidad:

a) Determinar la probabilidad de que sea mujer.

b) Sabiendo que la persona seleccionada ha resultado ser hombre, hallar la probabilidad de que sea estudiante.

SOLUCIÓN:

Construyamos la tabla de contingencia:

El 60% de 65% es %39100

39

10000

3900

100

65

100

60==⋅

El 47% de 25% es %75,11100

11,75

10000

1175

100

25

100

47==⋅

El 52% de 10% es %2,5100

5,2

10000

520

100

10

100

52==⋅

Estudiantes Profesores PAS

Hombres 26 13,25 4,8 44,05

Mujeres 39 11,75 5,2 55,95

65 25 10 100

Sean los sucesos:

H = "ser hombre"

M = "ser mujer"

T = "ser estudiante"


11

11

F = "ser profesor"

A = "ser del PAS"

Además, llamaremos E al espacio muestral.

La tabla anterior se corresponde con la siguiente:

Estudiantes Profesores PAS

Hombres TH ∩ FH ∩ AH ∩ H

Mujeres TM ∩ FM ∩ AM ∩ M

T F A E

a) Sea X="El individuo elegido es mujer" = M

5595,0100

95,55)M(P)X(P ===

b) Sea Y=" El individuo elegido es estudiante sabiendo que es hombre"

H/TY =

0,59024405

2600

100

05,44100

26

)H(P

)HT(P)H/T(P)Y(P ===∩==


Cierto día, la probabilidad de que llueva en la ciudad A es 0,3, la de que no llueva en la ciudad B es 0,6 y la de que llueva, al menos, en una de las dos ciudades es 0,5.

a) Calcular la probabilidad de no llueva en ninguna de las dos ciudades.

b) Calcular la probabilidad de que llueva en las dos. ¿Son independientes los sucesos "llueve en la ciudad A" y "llueve en la ciudad B"?

SOLUCIÓN:

Sean los sucesos:

A = "Llueve en la ciudad A" ; 3,0)A(P =

7,03,01)A(P =−=

B = " Llueve en la ciudad B";

4,06,01)B(P6,0)B(P =−==

C = "Llueve al menos en una de las dos ciudades"; BAC ∪= ; 5,0)C(P =

a) Sea X="No llueve en ninguna de las dos"

( ) 5,05,01)C(P1)C(P)X(PCBABAX =−=−===∪=∩=

b) Sea y="llueve en las dos"

BAY ∩=

El tercer axioma de la probabilidad dice:


12

12

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2,05,04,03,0CPBPAP

BAPBPAPBAP)Y(P

BAPBPAPBAP

=−+=−+==∪−+=∩=

∩−+=∪

Para que A y B sean independientes, debe ocurrir que ( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩

( ) 2,0BAP =∩

( ) ( ) 28,04,07,0BPAP =⋅=⋅

No coinciden por lo que no son independientes.


Una urna contiene tres bolas numeradas del 1 al 3. Se extraen sucesivamente las tres bolas.

a) Calcular la probabilidad de que las dos últimas bolas extraídas sean impares.

b) Determinar si los siguientes sucesos son independientes: S1 :”sale número par antes de alguno de los impares” y S2 :”los dos números impares salen consecutivamente”.

SOLUCIÓN:

Lamaremos:

1A = "La bola extraída en primer lugar es PAR"

2A = "La bola extraída en segundo lugar es PAR"

3A = "La bola extraída en tercer lugar es PAR"

1B = "La bola extraída en primer lugar es IMPAR"

2B = "La bola extraída en segundo lugar es IMPAR"

3B = "La bola extraída en tercer lugar es IMPAR"

a) Sea X = " las dos últimas bolas extraídas son impares"

Con esto, ( )321 BBAX ∩∩=

( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅=∩∩= 213121321 BA/BPA/BPAPBBAP)X(P

3

1

1

1

2

2

3

1 =⋅⋅=

b)El suceso S1 es el mismo que el suceso X

Si llamamos Y =" las dos primeras bolas extraídas son impares":

( )321 ABBY ∩∩=

( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅=∩∩= 213121321 BB/APB/BPBPABBP)Y(P

3

1

1

1

2

1

3

2 =⋅⋅=

El suceso S2 es:

YXS2 ∪=


13

13

Además, YX ∩ = "Las dos primeras bolas son impares y las dos últimas son impares" =

"Las tres bolas extraídas son impares"= ∅

Así pues, 3

2

3

1

3

1)Y(P)X(P)YX(P)S(P 2 =+=+=∪=

( ) ( )9

2

3

2

3

1SPSP 21 =⋅=⋅

Como 1212112 SSSSSYSYXS =∩⊂∪=∪=

( ) ( )3

1SPSSP 121 ==∩

En definitiva, como ( ) ( ) ( )9

2SPSP

3

1SSP 2121 =⋅≠=∩ , los sucesos no son

independientes.


En una población se ha determinado que de cada 100 consumidores de agua mineral, 30 consumen la marca A, 25 la marca B y el resto la marca C. Además, el 30% de consumidores de A, el 20% de consumidores de B y el 40% de consumidores de C son mujeres. Se selecciona al azar un consumidor de agua mineral de esa población y resulta ser mujer, hallar la probabilidad de que consuma la marca A.

SOLUCIÓN:

30% de 30: 930100

30 =⋅

20% de 25: 525100

20 =⋅

40% de 45: 1845100

40 =⋅

Marca A Marca B Marca C

Mujeres 9 5 18 32

Hombres 21 20 27 68

30 25 45 100

Llamaremos:

A = "El individuo consume la marca A"

B = "El individuo consume la marca B"

C = "El individuo consume la marca C"

M = "La consumidora es mujer"

H = "El consumidor es hombre"

La tabla anterior con sucesos:

Marca A Marca B Marca C


14

14

Mujeres MA ∩ MB ∩ MC ∩ M

Hombres HA ∩ HB ∩ HC ∩ H

A B C E

Sea X = "Consume marca A sabiendo que es mujer"

M/AX =

32

9

100

32100

9

)M(P

)MA(P)M/A(P)X(P ==∩==


El examen de una asignatura consta de tres pruebas. La primera prueba es superada por el 80% de los alumnos que la realizan. Esta prueba es eliminatoria, por lo que si no se supera no se pueden realizar las otras, y se suspende la asignatura. La segunda prueba tiene dos convocatorias en las que puede superarse la ordinaria y la extraordinaria (para alumnos que no la hayan superado en la ordinaria). Superan esta prueba el 35% de los alumnos en la convocatoria ordinaria y el 50% de los alumnos que se presentan a la extraordinaria. La tercera prueba solo pueden realizarla los alumnos que tienen las otras dos pruebas superadas, y la supera el 75% de los alumnos presentados.

a) Calcular la probabilidad de superar las dos primeras pruebas.

b) Si el requisito para aprobar la asignatura es que se superen las tres pruebas, hallar la probabilidad de aprobar la asignatura.

SOLUCIÓN:

a) Para superar las dos primeras pruebas es necesario que:

"Supere la primera y supere la segunda"

Pero superar la segunda puede hacerse:

"Superando la convocatoria ordinaria o no superando la ordinaria pero sí la extraordinaria"

Sean:

A = "Superar la primera prueba". 5

4

100

80)A(P ==

BO = "Superar la segunda prueba en la convocatoria ordinaria".

( )20

7

100

35BP O ==

y por tanto:

BO = "No superar la segunda prueba en la convocatoria ordinaria".

( )20

13

100

65

100

351BP O ==−=

En cuyo caso:


15

15

BE = "Superar la segunda prueba en la convocatoria extraordinaria".

( )2

1

100

50BP E ==

Sea X="Superar las dos primeras pruebas"

( ) ( )EOO BBABAX ∩∩∪∩=

( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∩∅∩=∩∩∩∩=∩∩∩∩ EEOOEOO BABBBAABBABA

son incompatibles.

Por el tercer axioma de la probabilidad:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) =∩∩+∩=∩∩∪∩= EOOEOO BBAPBAPBBABAP)X(P

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅+⋅= OEOO BA/BPA/BPAPA/BPAP

50

27

100

54

200

108

200

52

200

56

200

52

100

28

2

1

20

13

5

4

20

7

5

4 ===+=+=⋅⋅+⋅=

b) Para aprobar la asignatura es necesario superar las dos primeras pruebas y la tercera:

Llamando C = "Superar la tercera prueba", 4

3

100

75)C(P ==

Sea Y = "Aprobar la asignatura". Entonces CXY ∩=

200

81

4

3

50

27)X/C(P)X(P)CX(P)Y(P =⋅=⋅=∩=

NOTA:

El árbol de sucesos:


La probabilidad de que un autobús llegue con retraso a una parada es 0,2. Si pasa cuatro veces a lo largo del día por la parada, calcular la probabilidad de que:

a) No llegue con retraso ninguna de las veces.

b) Llegue con retraso al menos una vez.

c) Al menos tres veces llegue con retaso.

d) Llegue con retraso exactamente dos veces consecutivas.

SOLUCIÓN:

Experimento simple: "Llegar un autobús a una parada"


16

16

Suceso A="Llegar con retraso". 2,0)A(P = (éxito)

Suceso A="No llegar con retraso". ( ) 8,02,01)B(P1AP =−=−= (fracaso)

Obviamente, EAA =∪ , pues un autobús, o llega con retraso o no.

Además, ∅=∩ AA pues un autobús no puede llegar a una parada con retraso y

sin retraso.

Si repetimos el experimento 4 veces:

Las pruebas son independientes, pues del texto del ejercicio se desprende que llegar con retraso a una parada o no en una de las cuatro veces que pasa al cabo del día, no influye en las anteriores veces ni las posteriores que pasa por la misma; y también la probabilidad de retraso permanece inalterable en las cuatro pasadas.

Llamando X="número de veces que pasa con retraso por la parada":

Entonces ( )2,0,4BX =

a) 0,40968,08,02,00

4)0x(P 440 ==⋅⋅

==

b) 0,59040,40961)0x(P1)1x(P =−==−=≥

c) =⋅⋅

+⋅⋅

==+==≥ 0413 8,02,0

4

48,02,0

3

4)4x(P)3x(P)3x(P

0,02720,00160,02560016,018,0008,04 =+=⋅+⋅⋅=

d) 0,0153664,004,068,02,02

4)2x(P 22 =⋅⋅=⋅⋅

==

Ahora bien, el suceso )2x( = indica que pasa dos veces con retraso, pero no

discrimina en el orden de paso.

De las 6 posibilidades para pasar dos veces con retraso:

{ }AAAA,AAAA,AAAA,AAAA,AAAA,AAAA la mitad pasa dos veces consecutivas

(subrayadas):

Llamando Y="Pasar con retraso dos veces consecutivas exactamente ":

0,007680,015362

1)2x(P

2

1)Y(P =⋅==⋅=


En un grupo hay 12 mujeres y 8 hombres. Se elige al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, tres personas.

a) Hallar la probabilidad de que las tres personas sean mujeres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres personas no sean del mismo sexo?

c) Hallar la probabilidad de que salgan, al menos, dos hombres.

SOLUCIÓN:

Llamaremos:

iH = "la persona seleccionada en lugar 'i' es hombre"


17

17

=iM "la persona seleccionada en lugar 'i' es mujer"

en ambos casos, para i=1,2,3

a) Sea X="las tres personas son mujeres"

321 MMMX ∩∩=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅=∩∩= 213121321 MM|MPM|MPMPMMMPXP

0,193018

10

19

11

20

12 =⋅⋅=

b) Sea Y="las tres personas no son del mismo sexo"

Este suceso es imposible, pues en tres elecciones al menos dos son del mismo sexo:

0)(P)Y(PY =∅=∅=

c) Sea Z="Salir al menos dos hombres"="Salir dos hombres o salir tres hombres"

=Z ( ) ( ) ( ) ( )321321321321 HHHHHMHMHMHH ∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩

Cada dos de ellos son incompatibles entre sí pues:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∅∩=∩∩∩∩∩=∩∩∩∩∩ 1332211321321 HMHMHHHHMHMHH

pues no puede salir hombre y mujer a la vez.

Con las otras posibilidades se obtiene resultado similar razonando de igual modo.

Por tanto:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =∩∩∪∩∩∪∩∩∪∩∩= 321321321321 HHHHHMHMHMHHP)Z(P

( ) ( ) ( ) ( ) =∩∩+∩∩+∩∩+∩∩= 321321321321 HHHPHHMPHMHPMHHP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +∩⋅⋅+∩⋅⋅= 213121213121 MH|HPH|MPHPHH|MPH|HPHP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =∩⋅⋅+∩⋅⋅+ 213121213121 HH|HPH|HPHPHM|HPM|HPMP

=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=18

6

19

7

20

8

18

7

19

8

20

12

18

7

19

12

20

8

18

12

19

7

20

8

0,343918

42

19

7

20

8

18

6

18

12

18

12

18

12

19

7

20

8 =⋅⋅=

+++⋅=


En el coro universitario el 65% de sus componentes son mujeres. El 30% de las mujeres y el 25% de los hombres son bilingües. Si elegimos al azar un componente del coro:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea bilingüe?

b) Sabiendo que es bilingüe, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

SOLUCIÓN:

Llamaremos:

M = "Ser mujer"

H= "Ser hombre"

B= "Ser bilingüe"

B = "No ser bilingüe"


18

18

20

13

100

65)M(P ==

Como los sucesos { }H,M forman un sistema completo de sucesos:

20

7

20

131)M(P1)M(P)H(PMH =−=−===

a) ( ) ( ) ( )HBMBHMBEBB ∩∪∩=∪∩=∩=

Estos dos sucesos son incompatibles, pues:

( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∅∩=∩∩∩=∩∩∩ BHMBBHBMB pues una misma

persona no puede ser hombre y mujer a la vez.

( ) ( )[ ] ( ) ( ) =∩+∩=∩∪∩= HBPMBPHBMBP)B(P

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅=⋅+⋅=100

25

20

7

100

30

20

13H/BPHPM/BPMP

400

113

2000

565

2000

175390 ==+=

b) =⋅=∩=)B(P

)M/B(P)M(P

)B(P

)MB(P)B/M(P

113

78

565

390

400

1132000

390

400

113100

30

20

13

===⋅

=


En un taller mecánico el 70% de los coches que se reparan son del modelo A 6 el resto de un modelo B. Después de 6 meses, el 95% de los coches del modelo A no vuelven al taller mientras que del modelo B solo no vuelven el 80%. Si elegimos un coche al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que vuelva al taller antes de 6 meses?

b) Si se observa que antes de los 6 meses vuelve al taller, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo B?

SOLUCIÓN:

Llamaremos:

A = "Ser del modelo A"

B = "Ser del modelo B"

R = "Regresar al taller después de 6 meses"

R = "No regresar al taller después de 6 meses"

Construimos el árbol de probabilidades:


19

19

a) Sea X = "Regresar al taller después de 6 meses de haber sido reparado= R

( ) ( ) ( )BRARBARERRX ∩∪∩=∪∩=∩==

Incompatibilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∩∪∩=∩∩∩ BARRBRAR pues un mismo coche no

puede ser de dos modelos distintos.

Así pues, por el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =∩+∩=∩∪∩= BRPARPBRARPXP

( ) ( ) ( ) ( )200

47

1000

235

100

20

10

3

100

25

10

7B/RPBPA/RPAP ==⋅+⋅=⋅+⋅=

b) Sea Y = "Ser del modelo B sabiendo que ha regresado al taller después de 6 meses"

R/BY =

Por el teorema de Bayes:

( ) =⋅=∩==)R(P

)B/R(P)B(P

)R(P

)RB(PR/BP)Y(P

47

12

235

60

1000

2351000

60

1000

235100

20

10

3

===⋅

=


En un hospital de la región de Murcia se está probando una nueva terapia para dejar de fumar. De los pacientes que entran en este ensayo el 45% prueba la terapia y el resto no. Después de un año, el 70% de los que siguieron la terapia y 40% de los que no la siguieron han dejado de fumar. Se elige al azar un paciente fumador de este hospital:

a) Calcule la probabilidad de que después de un año haya dejado de fumar.

b) Si transcurrido un año el paciente sigue fumando, calcule la probabilidad de que haya seguido la nueva terapia.

SOLUCIÓN:

Llamaremos:

T = "Probar la terapia"

T = "No probar la terapia"

F = "Ser fumador"

F = "No ser fumador"


20

20

El 70% del 45% es 1000

315

10000

3150

100

45

100

70 ==⋅

El 40% del 55% es 1000

220

10000

2200

100

55

100

40 ==⋅

Construimos el árbol de probabilidades:

a) Sea X = "Dejar de fumar transcurrido un año de terapia"

( ) ( ) ( )TFTFTTFEFFX ∩∪∩=∪∩=∩==

Incompatibilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∩∪∩=∩∩∩ TTFFTFTF pues un mismo paciente no

puede probar la terapia y no probarla a la vez.

Así pues, por el teorema de la probabilidad total:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) =∩+∩=∩∪∩= TFPTFPTFTFPXP

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅+⋅=⋅+⋅=1000

220

100

55

1000

315

100

45T/FPTPT/FPTP

4000

1051

100000

26275 ==

b) Sea Y = "Seguir la terapia sabiendo que sigue fumando"

F/TY =

Por el teorema de Bayes:

( ) ( ) =−

⋅=

−⋅=∩==

4000

10511

1000

685

100

45

FP1

)T/F(P)T(P

)F(P

)FT(PF/TP)Y(P

983

411

2949

1233

4000

29494000

1233

4000

2949100000

30825

====

- DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

(vacío)


21

21

- DISTRIBUCIÓN DE MEDIAS Y PROPORCIONES

(vacío)

- INTERVALOS DE CONFIANZA


El tiempo de espera para ser atendido en la caja de un establecimiento sigue una distribución normal de desviación típica 5 minutos. Calcular el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el tiempo medio de espera con un error que no sea superior a medio minuto. ¿Cuál es dicho tamaño mínimo para un nivel de confianza del 99%?

SOLUCIÓN: El error máximo cometido al estimar la media por intervalos es

nzE

2

σ⋅= α

a) Valores críticos:

( ) 95,01 =α−

( )975,0

2

95,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

Buscando en la tabla de la normal: ( ) 96,1z975,0196zP2

==≤ α

( )384,16

25,0

04,96n25,0

n

8,95,0

n

596,1

nzE

2

2

=≥≤≤⋅σ⋅= α

El tamaño mínimo necesario será de 385 clientes

b) Valores críticos:

( ) 99,01 =α−

( )995,0

2

99,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

575,22

58,257,2z

9951,0)58,2z(P

9949,0)57,2z(P

2

=+=

=≤=≤

α

663,062525,0

165,765625n

25,0n

165,7656255,0

n

5575,2

nzE

2

=≥

≤≤⋅σ⋅= α

El tamaño mínimo necesario será de 664 clientes


De una muestra aleatoria de 700 individuos de una población, 100 son mujeres. Hallar un intervalo de confianza al 98% para la proporción de mujeres de esa población.

SOLUCIÓN:


22

22

La proporción de mujeres es 86,07

6q0,14

7

1

700

100p =====

El tamaño de la muestra es n = 700

nivel de confianza: ( ) 98,01 =α−

Valores críticos:

( )99,0

2

98,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

Buscamos en la tabla de la normal:

325,22

33,232,2z

9901,0)33,2z(P

9898,0)32,2z(P

2

=+=

=≤=≤

α

( ) ( )0,1693,0,11070,0131235,214,0,0,0131235,214,0

700

86,014,0235,214,0,

700

86,014,0235,214,0

n

qpzp,

n

qpzpI

22

c

=⋅+⋅−=

=

⋅⋅+⋅⋅−=

=

⋅⋅+⋅⋅−= αα


El peso (en gramos) de los pollos que llegan a un matadero sigue una distribución normal con desviación típica de 315 g. Sabiendo que una muestra de 64 pollos ha dado un peso medio de 2750 g, hallar un intervalo de confianza para el peso medio con un nivel de confianza del 97%.

Solución:

( ) 97,01 =α−

17,2z0,9852

97,1

2

)1(1zzP

22

===α−+=

≤ αα

Para la estimación de la media por intervalos:

( )( ) ( )2835,44,2664,5685,443752750,85,443752750

39,37517,22750,39,37517,22750

64

31517,22750,

64

31517,22750

nz,

nzI

22

c

=−−==⋅−⋅−=

=

⋅−⋅−=

=

σ⋅−µσ⋅−µ= αα


Tomando al azar una muestra de 90 alumnos de una facultad, se encontró que 50 de ellos eran mujeres. Hallar, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de alumnos de la facultad que son mujeres.


23

23

SOLUCIÓN:

Sean 9

4p1q

9

5

90

50p =−===

El tamaño de la muestra es 90n =

Llamemos ( )1,0NZ = la distribución normal tipificada.

El teorema central del límite nos asegura que, al ser 30n ≥ , la distribución en el

muestreo de la proporción es normal, esto es:

( )0,00274,55556,0Nn

qp,pNP̂ =

⋅=

Para 9,01 =α− existen dos valores simétricos,

22

zyz αα− con respecto al 0 tales

que:

1zzP2zzP1zzP

zzPzzPzzPzzP

zzzPzzP9,0

222

2222

222

−

≤⋅=

≤−−

≤=

=

≥−

≤=

−≤−

≤=

=

≤≤−=

≤=

ααα

αααα

ααα

Despejando:

95,02

9,1

2

9,01zzP

2

==+=

≤ α

Buscamos en la tabla de la normal tipificada:

( )

( )645,1

2

65,164,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

2

=+=

=≤

=≤

α

Destipificando

2

z α− y

2

zα con la distribución

⋅=n

qp,pNP̂ :

0,551052700274,0645,155556,0n

qpzpp

2

1 =⋅−=⋅⋅−= α

0,560067300274,0645,155556,0n

qpzpp

2

2 =⋅=⋅⋅= +α+

El intervalo de confianza para la proporción de mujeres al 90% de confianza es

( ) ( )56,0,55,05601,0,5511,0I C ≈= , es decir, que la proporción de

mujeres en dicha facultad se encuentra entre el 55% y el 56% para un nivel de confianza del 90%.


24

24


La altura de los edificios de una ciudad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 20 m. Calcular el tamaño mínimo que ha de tener una muestra aleatoria de dichos edificios para que el error cometido al estimar la altura media sea inferior a 2 m, con un nivel de confianza del 97%.

SOLUCIÓN:

Si la distribución poblacional es normal, la distribución en el muestreo de la media

también es normal, y sigue la distribución

σµ=n

,NX

Calculemos los valores críticos correspondientes a un nivel de confianza del 97%,

considerando ( )1,0NZ = :

=

−≤−

≤=

≤≤−=α− αααα

2222

zzPzzPzzzP1

=

≥−

≤= αα

22

zzPzzP

1zzP2zzP1zzP222

−

≤⋅=

≤−−

≤= ααα

despejando, ( )

985,02

97,1

2

11zzP

2

==+α−=

≤ α

Buscamos en la tabla de la normal:

17,2z985,0)17,2z(P2

==≤ α

Si pretendemos que el error máximo sea de 2 m:

2

z

nz2n2n

zE 2

22

σ⋅≥σ⋅≥⋅≤σ⋅=

α

αα

elevando al cuadrado ambos miembros:

( ) 471n470,8921,72

2017,2

2

z

n 22

2

2 ===

⋅=

σ⋅≥

α

Por tanto, el tamaño de la muestra a seleccionar deberá ser de 471 edificios.


En una población el tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de trabajo sigue una distribución normal con desviación típica de 15 minutos. Tras realizar una encuesta a una muestra aleatoria de 60 trabajadores se ha encontrado que el tiempo medio de desplazamiento es de 45 minutos. Hallar un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio de desplazamiento al lugar de trabajo de los individuos de la población.


25

25

SOLUCIÓN:

Sea X="tiempo de desplazamiento de los trabajadores al lugar de trabajo"

X sigue una normal

Tamaño de las muestras es n=60>30, por lo que el teorema central del límite asegura que la distribución muestral de medias es normal:

Si 9,01%90Nc =α−=

Para una muestra de n=60, 45x =

( )1,93649,45N7,74597

15,45N

60

15,45NX =

=

=

Lamamos ( )1,0NZ =

Valores críticos:

95,02

9,1

2

19,0ZZP1ZZP2

ZZP1ZZPZZPZZP

ZZPZZPZZZP9,0

22

2222

2222

==+=

≤−

≤=

=

≤−−

≤=

≥−

≤=

=

−≤−

≤=

≤≤−=

αα

αααα

αααα

2

Zα =1,65

Y el intervalo de confianza es:

=

σ⋅+σ⋅−= ααn

zx,n

zxI22

c

( )48,1952,41,804860

1565,145,

60

1565,145 =

⋅+⋅−=


En una muestra aleatoria de 175 individuos de una población se ha obtenido que 30 tienen más de 65 años. Hallar un intervalo de confianza al 90% para la proporción de mayores de 65 años de la población.

SOLUCIÓN:

Llamamos 0,171435

6

175

30p ≈== la proporción de mayores de 65 años, en

cuyo caso, 0,828635

29

35

61p1q ≈=−=−=

Llamamos ( )1,0NZ =

El nivel de confianza: 9,010

9

100

901 ===α−


26

26

Valores críticos:

95,02

9,1

2

19,0ZZP1ZZP2

ZZP1ZZPZZPZZP

ZZPZZPZZZP9,0

22

2222

2222

==+=

≤−

≤=

=

≤−−

≤=

≥−

≤=

=

−≤−

≤=

≤≤−=

αα

αααα

αααα

Por tanto, 1,65Z2

=α

El intervalo de confianza para la verdadera proporción es:

=

⋅⋅+⋅⋅−= ααn

qpzp,

n

qpzpI

22

c

=

⋅

⋅+⋅

⋅−=175

35

29

35

6

65,135

6,

17535

29

35

6

65,135

6

=

⋅+⋅−= 0,028565,135

6,0,028565,1

35

6

( ) ( )1840,1244,0,20,04701714,0,0,04701714,0 =+−=


La duración de un tipo de bombillas sigue una distribución normal con desviación típica de 120 horas. Para estimar la duración media se quiere calcular un intervalo de confianza al 99% . Determinar el tamaño mínimo que debe tener la muestra utilizada para que el error cometido en la estimación sea menor de 25 horas.

SOLUCIÓN:

120=σ

25<ε

Llamaremos ( )1,0NZ =

Nivel de confianza: 99,0100

991 ==α−

Valores críticos:


27

27

995,02

99,1

2

199,0ZZP1ZZP2

ZZP1ZZPZZPZZP

ZZPZZPZZZP99,0

22

2222

2222

==+=

≤−

≤=

=

≤−−

≤=

≥−

≤=

=

−≤−

≤=

≤≤−=

αα

αααα

αααα

=

≤

=

≤

α

α

9951,058,2ZP

9949,057,2ZP

2

2

Por tanto, 2,575Z2

=α

Con esto, n

Z2

σ⋅=ε α

⋅<⋅<⋅<⋅=ε n25309n25120575,225n

120575,2

( ) 152,769636,12n36,1225

309n 2 =>=>

Por tanto, la muestra deberá tener un tamaño mínimo de 153 bombillas.


En una muestra aleatoria de tamaño 200 de árboles de una población se ha obtenido que 45 tienen una plaga. Hallar un intervalo de confianza al 90% para la proporción de árboles de la población que tienen la plaga.

SOLUCIÓN:


La proporción de árboles afectados en la muestra es:

40

9

200

45p0 ==

La de no afectados:

40

31

40

91p1q 00 =−=−=

Si 9,01%90Nc =α−=

Sea )1,0(NZ =

Valores críticos:

=≤=≤

==+=

≤ α 0,9505)65,1P(z

0,9495)64,1z(P95,0

2

9,1

2

9,01zzP

2


28

28

tomaremos 645,12

65,164,1z

2

=+=α

Con esto, el intervalo de confianza para la verdadera proporción de árboles afectados es:

=

⋅⋅+

⋅⋅−= αα

n

qpzp,

n

qpzpI 00

2

000

2

0c

=

⋅

⋅+⋅

⋅−=200

40

31

40

9

645,140

9,

20040

31

40

9

645,140

9

( ) =⋅+⋅−= 0,0295645,1225,0,0,0295645,1225,0

( ) ( )0,274,0,1760,0490,225,0,0490,225 =+−=

La verdadera proporción de árboles afectados por la plaga se debe encontrar entre el 17,6% y el 27,4% de la población, con una certeza del 90%.


La altura de una determinada población sigue una distribución normal con una desviación típica conocida σ . Para hallar un intervalo de confianza para la media de

la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 individuos, obteniéndose una altura media de 145 cm. Si el intervalo de confianza con un nivel de significación 0,05 construido a partir de los datos anteriores es ( )8,154,2,135 , hallar el

valor de σ .

SOLUCIÓN:


Si 95,0105,0 =α−=α

Sea )1,0(NZ =

Valores críticos:

96,1z0,9752

95,1

2

95,01zzP

22

===+=

≤ αα

Con esto, el intervalo de confianza para la media es:

=

σ⋅−σ⋅−= ααn

zx,n

zxI22

c

=

σ⋅+σ⋅−=100

96,1145,100

96,1145

σ⋅+σ⋅−=10

96,1145,10

96,1145 ( )8,154,2,135=

igualando los extremos superiores de ambos intervalos:

8,91458,154196,08,154196,0145 =−=σ⋅=σ⋅+


29

29

50196,0

8,9 ==σ


En una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido para el peso una media de 60kg. Se sabe que el peso en la población de la que procede la muestra sigue una distribución normal con una desviación típica de 20kg.

a) Obtener un intervalo de confianza al 92% para el peso medio de la población.

b) ¿Qué error máximo se comete con la estimación anterior?.

SOLUCIÓN:

Como el peso de la población sigue una distribución normal:

Llamaremos ( ) ( )1,0N2

60X

100

2060X

Z1,0N

n

XZ x ≈−=−=≈σ

µ−=

El nivel de confianza ( ) 92,01 =α−

Valores críticos:

( )96,0

2

92,1

2

192,0

2

11zzP

2

==+=+α−=

≤ α

( )( ) 76,1z

9608,076,1zP

9599,075,1zP

2

=

=≤=≤

α

El intervalo de confianza es:

a) =

σ⋅+µσ⋅−µ= ααn

z,n

zI2

x

2

xc

( ) =⋅+⋅−= 276,160,276,160

( ) ( )52,63,48,5652,360,52,360 =+−=

b) El error máximo cometido es 52,3n

zE2

=σ⋅= α


En una muestra aleatoria de tamaño 150 de individuos de una población se ha obtenido que 32 utilizan el tranvía. Hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de individuos de la población que utilizan tranvía.

SOLUCIÓN:


El nivel de confianza es ( ) 99,01 =α−

La proporción de individuos de la muestra que utilizan tranvía es

2133,0150

32p0 ==


30

30

Y por tanto, la proporción de los que no lo utilizan será :

7867,0150

118

150

321p1q 00 ==−=−=

Llamaremos ( )1,0N

n

qp

pP̂Z

00

0 ≈⋅

−=

( )1,0N0334,0

2133,0P̂

150

7867,02133,0

2133,0P̂Z ≈−=

⋅−=

Valores críticos:

( )995,0

2

99,1

2

199,0

2

11zzP

2

==+=+α−=

≤ α

( )( ) 575,2z

0,995158,2zP

0,994957,2zP

2

=

=≤=≤

α

El intervalo de confianza es:

a) =

⋅⋅+⋅⋅−= ααn

qpzp,

n

qpzpI 00

2

000

2

0c

( ) ( )0,2993,0,12730334,0575,22133,0,0334,0575,22133,0 =⋅+⋅−=


El tiempo, en años, de renovación de un ordenador portátil se puede aproximar mediante una distribución normal con desviación típica de 0,9 años. Si tomamos al azar 900 usuarios, se obtiene una media muestral de 3,5 años. Hallar el intervalo de confianza al 95% para el tiempo medio de renovación de un ordenador portátil.

SOLUCIÓN:

9'0=σ

900n = (tamaño muestral)

5'3x =

=α=α−

=05'0

95'01%95Nc

Sea )1,0(NZ =

Valor crítico:


31

31

=

≤ α

2

zzP =α+α−⋅=α−+α2

)1(2)1(

2

==−=α−= 975'02

95'1

2

05'02

2

296'1z

2

=α


=


zx,n

zxI22

C

=

⋅+⋅−=900

9'096'15'3,

900

9'096'15'3

( ) ( )3'5588,3'441203'096'15'3,03'096'15'3 =⋅+⋅−=


La altura de una determinada población sigue una distribución normal con una desviación típica conocida σ . Para hallar un intervalo de confianza para la media de

la población se ha tomado una muestra aleatoria simple de 100 individuos, obteniéndose una altura media de 145 cm. Si el intervalo de confianza con un nivel de significación 0,05 construido a partir de los datos anteriores es ( )8,154,2,135 , hallar el

valor de σ .

SOLUCIÓN:


Si 95,0105,0 =α−=α

Sea )1,0(NZ =

Valores críticos:

96,1z0,9752

95,1

2

95,01zzP

22

===+=

≤ αα


=

σ⋅−σ⋅−= ααn

zx,n

zxI22

c

=

σ⋅+σ⋅−=100

96,1145,100

96,1145

=

σ⋅+σ⋅−=10

96,1145,10

96,1145

( ) ( )8,154,2,135196,0145,196,0145 =σ⋅+σ⋅−=

igualando los extremos superiores de ambos intervalos:

8,91458,154196,08,154196,0145 =−=σ⋅=σ⋅+


32

32

50196,0

8,9 ==σ


El tiempo en minutos de conexión a internet de los estudiantes de un centro de secundaria, sigue una distribución normal con una desviación típica de 10 minutos. Para poder estimar la media del tiempo de conexión, se construye un intervalo de confianza con un error menor o igual a 5 minutos, con un nivel de confianza del 95%. Determine cuál es el tamaño mínimo de la muestra que es necesario observar.

SOLUCIÓN:

10=σ

=α=α−

=05'0

95'01%95Nc

5=ε error máximo

Sea )1,0(NZ =

Valor crítico:

=

≤ α

2

zzP

==−=α−=α+α−⋅=α−+α975'0

2

95'1

2

05'02

2

2

2

)1(2)1(

2

96'1z2

=α

Con esto, el error cometido será: n

1096,1

nzE

2

⋅=σ⋅= α

Por tanto,

ε

⋅σ≥

⋅σε≤

ε≤σε≤σ⋅=

α

ααα

2

22

2

z

nzn

1

znnzE

( ) 15,36643,92n3,925

96,110n 2 =≥=⋅≥ por lo que el tamaño

mínimo deberá ser de 16 estudiantes.


33

33


Se sabe que la estatura de los individuos de Murcia es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con desviación típica de 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de 225 individuos y da una media de 176cm. Obtenga un intervalo de confianza, con un 99% de confianza, para la media de la estatura de la población.

SOLUCIÓN:

6=σ

225n = (tamaño muestral)

176x =

=α=α−

=01'0

99'01%99Nc

Sea )1,0(NZ =

Valor crítico:

=

≤ α

2

zzP

995'02

99'1

2

01'02

2

2

2

)1(2)1(

2==−=α−=α+α−⋅=α−+α

( )( )

=≤=≤

9951'058'2zP

9949'057'2zP

Tomamos 58'2z2

=α


=


zx,n

zxI22

C

=

⋅+⋅−=225

658'2176,

225

658'2176

( ) ( )177'032,174'9681'032176,1'032176 =+−=


En un estudio realizado por una empresa se ha obtenido que el intervalo de confianza

de una variable, a un nivel de confianza del 95%, es ( )176'9,824'6 . Hallar la media


34

34

y el tamaño de la muestra para obtener dicho intervalo conociendo que la varianza de la distribución es de 9. Explique cada uno de los pasos realizados.

SOLUCIÓN:

3992 ==σ=σ

=α=α−

=05'0

95'01%95Nc

Sea )1,0(NZ =

Valor crítico:

=

≤ α

2

zzP

975'02

95'1

2

05'02

2

2

2

)1(2)1(

2==−=α−=α+α−⋅=α−+α

Buscamos en la tabla de la normal este valor y obtenemos que

( ) 9750'096'1zP =≤

Por tanto, tomamos 96'1z2

=α

Como todo intervalo de confianza está centrado en la media, ésta será el valor central:

82

000'16

2

176'9824'6x ==+=


=

⋅+⋅−=


396'18,

n

396'18

nzx,

nzxI

22

C

( )176'9,824'6=

Eligiendo el extremo izquierdo del intervalo:

=⋅=−=⋅−n

88'5176'1

n

396'1824'68824'6

n

396'18

25n5176'1

88'5n ===


35

35

- CONTRASTE DE HIPÓTESIS


Según un estudio realizado en el año 2000, en una población la proporción de personas que tenía sobrepeso era del 24%. En los últimos años ha disminuido la actividad física que realizan los individuos, lo que hace sospechar que dicha proporción ha aumentado.

Para contrastarlo, se ha tomado recientemente una muestra aleatoria de 1195 individuos, de los cuales 310 tienen sobrepeso. Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede rechazar que la proporción sigue siendo del 24% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado?

SOLUCIÓN:

La proporción de personas con sobrepeso es 76,0q24,0p 00 ==

1º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa

24,0p:H0 ≥

24,0p:H1 <

2º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste

Contraste para la proporción:

( )0,0124,24,0N1195

76,024,0,24,0N

n

qp,pNP̂ =

⋅=

⋅=

y por tanto, el estadístico de contraste es 0346,0

4,0P̂

n

qp

pP̂Z

−=⋅

−=

3º.- Selección del tipo de contraste

Contraste unilateral

4º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo

( ) 99,01y01,0%1NS =α−=α=

( ) ( ) ( )( ) 325,2

2

33,232,2z

9901,033,2zP

9898,032,2zPzzPzzP99,0 =+=

=≤=≤

≤=−≥= ααα

Región de aceptación: ( )∞+− ,325,2

5º.- Localización del valor del estadístico

En la muestra aleatoria, las personas con sobrepeso son 310 de un total de 1195.


36

36

Para

( )∞+−∈=−=== ,325,25645,10124,0

24,00,2594z0,2594

1195

310p̂

6º. Conclusión

Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa.

Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la proporción de personas con sobrepeso ha aumentado


El tiempo de espera para recibir un tratamiento médico es, en promedio, de 30 días. Después de tomar medidas para intentar reducirlo, para una muestra de 80 pacientes el tiempo medio de espera es de 27 días. Suponiendo que el tiempo de espera sigue una distribución normal con una desviación típica igual a 8, plantear un test pata contrastar que las medidas no han mejorado la situación frente a que sí lo ha hecho. ¿Cuál es la conclusión a la que se llega con un nivel de significación del 5%?

SOLUCIÓN:

Llamaremos ( )1,0NZ =


30:H0 ≤µ

30:H1 >µ


Contraste para la media:

( )0,8944,30N80

8,30N

n,NX =

=

σµ=

y por tanto, el estadístico de contraste es:

8944,0

30X

80

830X

n

XZ

−=−=σµ−=


Contraste unilateral


( ) 95,01y05,0%5NS =α−=α=


37

37

( ) ( )( ) 645,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zPzzP95,0 =

=≤=≤

≤= αα

Región de aceptación (en verde) determinada por el intervalo: ( )645,1,∞−


Para ( )645,1,-3,35428944,0

3027z27x ∞−∈=−==

6º. Conclusión

Con un nivel de significación de 5% podemos asegurar que las medidas adoptadas han reducido el tiempo medio de espera para recibir tratamiento.

CUESTIÓN A5 (SEPTIEMBRE-2014) Según un informe de una universidad, la edad media de finalización de un determinado grado no supera los 23 años. Sabiendo que la edad de finalización sigue una normal con desviación típica de 2 años y que una muestra aleatoria de 100 graduados dio una media de finalización del grado a los 24 años, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación del 0,05, la afirmación de la universidad?

SOLUCIÓN:

El objetivo es establecer un contraste de hipótesis para la media, y para ello, partimos de una población que sigue una distribución normal.

Datos:

95,0105,0

24x

100n

2

230

=α−=α=

==σ=µ

1º. Planteamos las siguientes hipótesis:

- hipótesis nula: "la edad media de finalización del grado no supera los 23 años"

- hipótesis alternativa: "la edad media de finalización del grado supera los 23 años"

>µ

≤µ

23:H

23:H

1

0

Por tanto, se trata de un contraste unilateral.

2º. Elegimos el estadístico de contraste.

Dado que la población es normal, la distribución de en el muestreo de la media sigue

también una normal ( )2,0,23N100

2,23NX =

=


38

38

El estadístico de contraste será 2,0

23X

n

XZ 0 −=σ

µ−= que sigue una normal

( )1,0N

3º. Determinación de la región de aceptación para αααα=0,05.

La región de aceptación ha de cumplir:

( ) ( )( )

( )

645,12

65,164,1z

9505,065,1zP

9495,064,1zP

zzP95,0zzP1

=+=

=≤

=≤≤=≤=α−

α

αα

Así pues, la región de aceptación queda delimitada por el intervalo

( )645,1,∞−

3º. Valor del estadístico para la media de la muestra.

502,0

2324Z

2,0

23XZ =−=

−=

4º. Decisión

Como ( )645,1,50Z ∞−∉= , rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la

alternativa.

5º. Conclusión

Con un nivel de significación del 5% no podemos asegurar que la edad media de finalización de estudios sea inferior a 23 años, por lo que hay evidencias para suponer que dicha edad supera los 23 años.


Un estudio sociológico afirma que la proporción de estudiantes de una población es

5

2. Si en una muestra aleatoria de 700 individuos de la población hay 100 estudiantes,

¿puede admitirse a un nivel de confianza del 99% la afirmación del estudio?

SOLUCIÓN:


39

39

La proporción de estudiantes que se afirma tiene una población es

6,04,01q4,05

2p 00 =−===

Si la afirmación es correcta o falsa, nos permite comprobarlo con el siguiente contraste:


4,0p:H0 =

4,0p:H1 ≠



( )018516,0,4,0N700

6,04,0,4,0N

n

qp,pNP̂ =

⋅=

⋅=


4,0P̂

n

qp

pP̂Z

−=⋅

−=


Contraste bilateral, pues la hipótesis alternativa determina dos colas a izquierda y derecha:


( ) 99,01y01,0%99NC =α−=α=

( )( ) 575,2

2

58,257,2z

9951,058,2zP

9949,057,2zP

995,02

99,01zzP1zzP2

zzP1zzPzzPzzP

zzPzzPzzzPzzP99,0

2

22

2222

22222

=+=

=≤=≤

=+=

≤−

≤=

=

≤−−

≤=

≥−

≤=

=

−≤−

≤=

≤≤−=

≤=

α

αα

αααα

ααααα

Región de aceptación: ( )575,2,575,2 +−



40

40

En la muestra aleatoria, proporción de estudiantes es de 100 sobre 700, es decir,

14,0700

100p ≅=

por tanto,

( )575,2,575,20419,14018516,0

4,00,14z +−∉−=−=

6º. Conclusión

Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.

Con un nivel de confianza del 99%, hay evidencia suficientes como para concluir que la afirmación anterior es falsa, es decir, no es cierto que la proporción de estudiantes

de dicha población sea de 5

2


Según un estudio, el porcentaje de adultos de la Unión Europea que hablan una lengua extranjera es del 64%. En una muestra aleatoria tomada en España de 250 adultos se ha obtenido que 128 hablan una lengua extranjera. A partir de estos datos, plantear un contraste para determinar si se puede aceptar que el porcentaje de adultos que hablan una lengua extranjera en España es igual al de la Unión Europea frente a la alternativa de que es menor, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación de 0,01?

SOLUCIÓN:

36,0q64,0100

64p 00 ===


64,0p:H0 =

64,0p:H1 ≠



( )0,030358,64,0N250

36,064,0,64,0N

n

qp,pNP̂ =

⋅=

⋅=


64,0P̂

n

qp

pP̂Z

−=⋅

−=

que sigue una normal )1,0(N


Contraste bilateral


41

41


( ) 99,01y01,0 =α−=α

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) 1zzP2

zzP1zzPzzPzzPzzP99,0

2

22222

−≤⋅=

=≤−−≤=−≤−≤=≤=

α

ααααα

Por tanto, ( ) 58,2z0,9952

99,01zzP

22

==+=≤ αα

Región de aceptación: ( )58,2,58,2−


Para:

( )58,2,58,2-4,216350,030358

64,00,512z0,512

250

128p̂ −∉=−===

6º. Conclusión

Rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la alternativa.

Con un nivel de significación del 0,01, hay evidencias para afirmar que el porcentaje de adultos de España que hablan una lengua extranjera es distinto del europeo.

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