PROBABILIDADE. Conceito necessário para aplicação em: –Estatística Indutiva ou Inferência Estatística Sabendo como o processo funciona, procura predizer

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE

• Conceito necessário para aplicação em:– Estatística Indutiva ou Inferência

Estatística• Sabendo como o processo funciona,

procura predizer seu resultado.ESTATÍSTICAESTATÍSTICA

– não sabendo como um processo funciona procura conhecer o processo.

– Utilizando conceitos de probabilidade busca prever resultados futuros.

PROBABILIDADE

• Os fenômenos podem ser classificados:Fenômenos Determinísticos:

– resultados são previsíveis;– se repetem em condições iguais;– Exemplo:

• Gravidade• Lançamento de uma moeda

PROBABILIDADE

Fenômenos não Determinísticos ou- fenômenos probabilísticos ou- modelo Estocástico:– Há uma variabilidade dos resultados– impossível prever com exatidão os

resultados futuros;– se repetem;– observando grande número de repetições os

resultados se distribuem com regularidade

Distribuição de Freqüência

ALUNOS DE ANO 2006 Altura fi fr fr ( % ) fac (%)

154 158.......... 2 2/40 = 0,050 5,0 % 5,0 %158 162.......... 4 4/40 = 0,100 10,0 % 15,0 %162 166.......... 7 7/40 = 0,075 17,5 % 32,5 % 166 170.......... 9 9/40 = 0,225 22,5 % 55,0 %170 174.......... 11 11/40 = 0,275 27,5 % 82,5 %174 178.......... 4 4/40 = 0,100 10,0 % 92,5 %178 182.......... 2 2/40 = 0,050 5,0 % 97,5 %182 186.......... 1 1/40 = 0,025 2,5 % 100,0 % total......... 40 1,000 100,0 %

Fonte: Dados fictícios

Conceitos Básicos

ESPAÇO AMOSTRAL “ S ”:É o conjunto de todos os resultados

possíveis de um experimento. Ex:

Experimento Espaço amostralJogada de um dado S1 = { }Jogada de 2 moedas S2= { }

e-mails enviados 1 dia S3= { }

Conceitos Básicos



Experimento Espaço amostralJogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jogada de 2 moedas S2= { }


Conceitos Básicos



Experimento Espaço amostralJogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jogada de 2 moedas S2= {CC, CK, KC, KK}


Conceitos Básicos



Experimento Espaço amostralJogada de um dado S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jogada de 2 moedas S2= {CC, CK, KC, KK}

e-mails enviados 1 dia S3= {1, 2, 3, ..............}

Conceitos Básicos

EVENTO “ E ”:Refere-se a um experimento particular

associado a um espaço amostral “S” Ex:

Evento Espaço amostralJogar um dado e obter

resultado parE1 = { }

Jogada de 2 moedas e obter pelo menos 1 cara

E2= { }

Conceitos Básicos




resultado parE1 = { 2, 4, 6}


E2= { }

Conceitos Básicos




resultado parE1 = { 2, 4, 6}


E2= {CC, CK, KC}

Probabilidade

• ESPAÇO AMOSTRAL– Conjunto de resultados possíveis de um

experimento aleatório:– Ex. 1: Determine o espaço amostral de:– a) lançamento de uma moeda;– b) Lançamento de duas moedas;– c) lançamento de um dado;– d) lançamento de dois dados.

Probabilidade

• ESPAÇO AMOSTRAL – S

a) S = { , } sendo c = cara e k = coroa

b) S = { , , , }

c) S = { , , , , , }

Probabilidade

• ESPAÇO AMOSTRAL – S

a) S = { c, k } sendo c = cara e k = coroa

b) S = {cc, ck, kc, kk}

c) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

d) S= { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

Probabilidade

• EVENTO (E):– sub conjunto do espaço amostral “S” de um

experimento aleatório. – Exemplo 2: a) Jogar 2 moedas e obter pelo menos uma

carab) Jogar dois dados e ter como soma “5”.Resp:a) E = { }b) E = { }

Probabilidade

• EVENTO (E):– sub conjunto do espaço amostral “S” de um

experimento aleatório. – Exemplo 2: a) Jogar 2 moedas e obter pelo menos uma

carab) Jogar dois dados e ter como soma “5”.Resp:a) E = {ck, kc, cc}b) E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

Probabilidade de ocorrência de um evento: P (E)

Exemplo 3: Determine a probabilidade de jogar:a) um dado e obter o número 4. P (E) = b) jogar dois dados obter soma = 3

P (E) =

P (E) =número de resultados possíveisnúmero de resultados favoráveis = n ( S )

n ( E )


Exemplo 3: Determine a probabilidade de jogar:a) um dado e obter o número 4. P (E) = 1/6b) jogar dois dados obter soma = 3

P (E) = 2/36 = 1/18

P (E) =número de resultados possíveisnúmero de resultados favoráveis = n ( S )

n ( E )


Evento Certo: P(S) = 1Evento Impossível: P() = 0Evento qualquer: 0 P(E) 1Evento elementar: P(E) = 1/n


EXEMPLO 4:Dado o lançamento de 2 dados, determine a

distribuição de probabilidade de se jogar 2 dados e obter as seguintes somas: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.


Resp:E2 = soma 2 = { (1,1) } P(E2) = 1/36E3 = soma 3 = { (1,2), (2,1) } P(E3) = 2/36E4 = soma 4 = { (1,3), (2,2), (3,1)} P(E4) = 3/36E5 =soma 5= { (1,4), (2,3), (3, 2), (4, 1) } P(E5) = 4/36E6 =soma 6= { (1,5), (2,4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) } P(E6) = 5/36E7 = soma 7 = { (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),(6, 1)} P(E7) = 6/36E8 = soma 8 = { (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} P(E8) = 5/36E9 = soma 9 = { (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) } P(E9) =

4/36E10 = soma 10 = { (4, 6), (5, 5), (6, 4)} P(E10) = 3/36E11 = soma 11 = { (5, 6), (6, 5) } P(E11) = 2/36E12 = soma 12 = { (6, 6)} P(E12) = 1/36

SOMA Nº ocorrência Probab: P(E) P(E) %2 1 1/36 = 0,0278 2,78 %3 2 2/36 = 0,0576 5,76 %4 3 3/36 = 0,0833 8,33 %5 4 4/36 = 0,1111 11,11 %6 5 5/36 = 0,1389 13,89 %7 6 6/36 = 0,1667 16,67 %8 5 5/36 = 0,1389 13,89 %9 4 4/36 = 0,1111 11,11 %

10 3 3/36 = 0,0833 8,33 %11 2 2/36 = 0,0576 5,76 %12 1 1/36 = 0,0278 2,78 %

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 soma

2,78%5,56 %8,33 %

13,89 %16,67 %

P(E)

Distribuição de Probabilidade

CLASSIFICAÇÃO DOS EVENTOS

• 1ª classificação:– 1.a) Mutuamente Exclusivos– 1.b) Não mutuamente Exclusivos

• 2ª classificação:– 2.a) Eventos Dependentes;– 2.b) Eventos Independentes

1.a) Eventos mutuamente exclusivos

– resultados que não podem ocorrer simultaneamente:

• Ex: Jogar uma moeda e: evento E1 = sair cara, evento E2= sair coroa. E1 e E2 não podem ocorrer simultaneamente.

1.b) Eventos não mutuamente exclusivos

• Eventos não mutuamente exclusivos:– resultados que podem ocorrer

simultaneamente;– a ocorrência de um evento não impede a

ocorrência do outro evento– Ex: Retirar uma carta de um baralho: evento E1 = sair um ás, evento E2= sair espadas. E1 e E2 podem ocorrer simultaneamente.

Operações com conjuntosA = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10}

B = { 11, 12, 13, 14, 15 }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

n(A) = nº elementos de A => n(A) =

n(B) = nº elementos de B => n(B) =

n(U) = nº elementos de U => n(U) =

Operações com conjuntosA = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, 10}

B = { 11, 12, 13, 14, 15 }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

n(A) = nº elementos de A => n(A) = 10

n(B) = nº elementos de B => n(B) = 5

n(U) = nº elementos de U => n(U) = 20

REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “P (A B ) - 1º caso

1

23

4

5 67

13

14

15

A 11

12

16 17 181920

B

U

89

10

• “A” e “B”: eventos mutuamente exclusivos: • P (A B) = n(A) + n(B) = n(A) + n(B) n(U) n(U) n(U) = P(A) P(B) =

=> Intersecão - pertence aos 2 conjuntos => União – pertence ou a um ou ao outro conjunto

REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “ P (A B ) - 1º caso

• “A” e “B”: eventos mutuamente exclusivos: • P (A B) = n(A) + n(B) = n(A) + n(B) n(U) n(U) n(U) = P(A) P(B) = 10 + 5 = 15 = 3 = 0,75 = 75% 20 20 4



REGRA DA ADIÇÃO - “ OU ” P (A B ) - 2º caso

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { 8, 9, 10, 11, 12 }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

n(A) = nº elementos de A => n(A) =

n(B) = nº elementos de B => n(B) =

n(U) = nº elementos de U => n(U) =

REGRA DA ADIÇÃO - “ OU ” P (A B ) - 2º caso

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { 8, 9, 10, 11, 12 }

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

n(A) = nº elementos de A => n(A) = 10

n(B) = nº elementos de B => n(B) = 5

n(U) = nº elementos de U => n(U) = 20

REGRA DA ADIÇÃO - “ OU “

P (A B ) - 2º caso

1

234

5 6 78

9

10

A11

12

13 14 15 16 17 181920

BU

• “A” e “B”: não mutuamente exclusivos:• P (A B) = n(A B) = n(U) • P (A B) = n(A) n(B) - n(A B) = n(U) =


REGRA DA ADIÇÃO -“ OU “ P (A B ) - 2º caso

• “A” e “B”: não mutuamente exclusivos:• P (A B) = n(A B) = _3_ = 0,15 = 15% n(U) 20 • P (A B) = n(A) n(B) - n(A B) = n(U) = 10 + 5 - 3 = 12 = 0.60 = 60 % 20 20


REGRA DA ADIÇÃO -“ OU “ P (A B ) - 2º caso

• P (A) = n(A) = n(U) • P (B) = n(B) = n(U) • P (A B) = n(A B) = • n(U)

• P (A B) = n(A) n(B) - n(A B) = n(U)

• P (A B) = P(A) P(B) - P(A B) = =


• P (A) = n(A) = 10 = 1 = 0,5 = 50% n(U) 20 2• P (B) = n(B) = 5 = 1 = 0,25 = 25% n(U) 20 4• P (A B) = n(A B) = 3 = 0,15 = 15%• n(U) 20

• P (A B) = n(A) n(B) - n(A B) = n(U)

• P (A B) = P(A) P(B) - P(A B) = = 50% + 25% - 15% = 60%


Eventos dependentes e independentes

• 2.a) Eventos independentes:– ocorridos dois eventos consecutivos– a ocorrência do evento A não afetanão afeta a

probabilidade de ocorre o evento B– P(B/A) = Prob. Ocorrer B uma vez que já

ocorreu A

Eventos dependente e independente

• 2.b) Eventos dependentes:– ocorridos dois eventos consecutivos– a ocorrência do evento A afetaafeta a

probabilidade de ocorre o evento B

– P(B/A) = Prob. Ocorrer B uma vez que já ocorreu A


• Ex.6: Em uma caixa contém 10 bolas sendo: 4 brancas, 3 pretas, 2 azuis e 1 vermelha.

• Determine a probabilidade de se retirar duas bolas consecutivas e obter a 2ª bola preta?

• DUAS CONDIÇÕES:– a) retirada com reposição da 1ª bola;

Eventos Independentes


EVENTO A: retirada da primeira bola não preta

Eventos Independentes retirada com reposição da 1ª bola

1ª BOLA

TOTAL: 10 BOLAS

Eventos dependente e independenteEventos Independentes retirada com reposição da 1ª bola

TOTAL: 10 BOLAS

Reposição da 1ª bola

REPOSIÇÃO DA 1ª BOLA


2ª BOLATOTAL: 10 BOLAS

P (B/A) =

EVENTO B/A: retirada da 2ª bola Preta, uma vez que ocorreu o Evento A



P (B/A) = 3 / 10



Imagine agora a seguinte situaçãoEvento A: primeira bola preta


TOTAL: 10 BOLAS


TOTAL: 10 BOLAS

Reposição da 1ª bola

REPOSIÇÃO DA 1ª BOLA




TOTAL: 10 BOLAS

Retirada da 2ª bola PRETA

P (B/A) =




TOTAL: 10 BOLAS


P (B/A) = 3 / 10




TOTAL: 10 BOLAS


P (B/A) = 3 / 10

Obs: nos dois casos (Eventos INDEPENDENTES)

a P(B/A) não mudou = 3/10 = P ( B )



• Determine a probabilidade de se retirar duas bolas consecutivas e obter a 2ª bola preta?

• DUAS CONDIÇÕES:– b) retirada sem reposição da 1ª bola;

Eventos Dependentes


EVENTO A: retirada da primeira bola não preta

Eventos Dependentes retirada sem reposição da 1ª bola

1ª BOLA

TOTAL: 10 BOLAS

Eventos dependente e independenteEventos Dependentes retirada sem reposição da 1ª bola

TOTAL: 9 BOLAS

1ª bola não foi reposta, portanto, temos 9 bolas na caixa



P (B/A) =




P (B/A) = 3 / 9



Imagine agora a seguinte situaçãoEvento A: primeira bola preta

Eventos Dependentes retirada sem reposição da 1ª bola

TOTAL: 10 BOLAS

Eventos dependente e independenteEventos Independente retirada com reposição da 1ª bola

TOTAL: 9 BOLAS

1ª bola não foi reposta, portanto, temos:

– 9 bolas na caixa – sendo apenas 2 Pretas



Eventos dependente retirada sem reposição da 1ª bola

TOTAL: 9 BOLAS


P (B/A) =




TOTAL: 9 BOLAS


P (B/A) = 2 / 9




TOTAL: 9 BOLAS


P (B/A) = 2 / 9

Obs: neste caso (Eventos DEPENDENTES)

P(B/A) mudou => 3/9 no primeiro caso e

2/9 no segundo caso


– CONCLUSÃO:A) Eventos Independentes (com reposição) P(B/A) não muda em função do resultado

obtido no Evento A , OU SEJA, P(B/A) = P ( B )

B) Eventos Dependentes (sem reposição)P(B/A) muda em função do resultado obtido no evento A

Eventos DependentesEventos Independentes


• Probabilidade de 2 eventos simultâneos A e B

P ( A e B ) ou P ( A B ) = P ( A ) . P ( B/A )

OBS: para eventos independentes P(B/A) = P(B)

P ( A e B ) ou P ( A B ) = P ( A ) . P ( B )

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO – “ E “P (A e B )



• Determine a probabilidade de se retirar duas bolas consecutivas e obter a 1ª bola branca e a 2ª bola preta?

• DUAS CONDIÇÕES:– a) retirada com reposição da 1ª bola;– b) retirada sem reposição da 1ª bola;




• Determine a probabilidade de se retirar duas bolas consecutivas e obter 2 bolas pretas?

• DUAS CONDIÇÕES:– a) retirada com reposição da 1ª bola;– b) retirada sem reposição da 1ª bola;


Operações com conjuntos

A B

U C

n(AB C) =

= n(A) + n(B) + n(C) -

n(AB) - n(AC) -n(BC) +

n( A B C )

Operações com conjuntos

A

U A

E(A): evento “A”

E (A): evento complementar

de A

P (A) = 1 - P (A)

Probabilidade Condicional

• Quando o cálculo de probabilidade está condicionada a um acontecimento ocorrido anteriormente;

• Expresso como: P(A/B) => probabilidade de ocorrer o evento A, uma vez que já ocorreu o evento B


A

U

B

P (A/B) = P( AB) P (B)

P (A/B) = n( AB) n (A)


P (A/B) = P( AB) ou P (B/A) = P( AB) P (B) P (A)

P( AB) = P(B). P(A/B) = P(A). P (B/A)

Por conseqüência:


Para eventos dependentes:

P( AB) = P(A). P(B/A)

Para eventos independentes: P(B/A) = P(B)

P( AB) = P(A). P(B)

resumo

P( AB)• eventos dependentes: P( AB) = P(A).P(B/A)

• eventos independentes: P( AB) = P(A). P(B)

P( A B)• eventos não mutuamente exclusivos P (A B) = P(A) P(B) - P(A B)

• eventos mutuamente exclusivos P (A B) = P(A) P(B)

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PROBABILIDADE. Conceito necessário para aplicação em: –Estatística Indutiva ou Inferência Estatística Sabendo como o processo funciona, procura predizer