Problèmes de Calcul intégral résolus

Ing. Adrian Vargas Vazquez

Problemario con ejemplos del cálculo integral pasó a

paso.

1. Résoudre le problème suivant ∫dx

√1−x2

Formule à résoudre

∫dv

√a2 − v2= arcsen

v

a+ c

Solution

∫dx

√1 − x2

a2 = 1 ; a = 1

v2 = x2 ; v = x ; dv = dx

∫dx

√1 − x2= ∫

dv

√a2 − v2= arcsen

v

a+ c = arcsen

x

1+ c

= arcsenx + c = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 + 𝑐

2. Résoudre le problème suivant ∫dx

4x2+9

Formule à résoudre

∫dv

v2 + a2=

1

aarctan

v

a+ c

Solution

∫dx

4x2 + 9

v2 = 4x2 ; v = 2x ; dv = 2dx ,dv

2= dx

a2 = 9; a = 3

∫dx

4x2 + 9= ∫

dv

v2 + a2=

1

aarctan

v

a+ c =

1

2(

1

3arctan

2x

3+ c)

=1

6arctan

2x

3+ c =

1

6tan−1

2x

3+ c

3. Résoudre le problème suivant ∫dx

√4−(x+2)2

Formule à résoudre

∫dv

√a2 − v2= arcsen

v

a+ c

Solution

∫dx

√4 − (x + 2)2

a2 = 4 , a2 = 22 , a = 2

v2 = (x + 2)2 , v = x + 2 , dv = dx

∫dx

√4 − (x + 2)2= ∫

dv

√a2 − v2= arcsen

v

a+ c

= arcsenx + 2

2+ 𝑐 = sen−1

x + 2

2+ 𝑐

4. Résoudre le problème suivant ∫3x−4x2+3x

x2+1dx =

3

2x2 − 4x + 4arctanx + c

Solution

∫6x − 4x2

x2 + 1dx

u = x2 + 1 du = 2xdx

v = 6x − 4x2 dv = 3x2 −4

3x3dx

∫6x−4x2

x2+1dx=(x2 + 1)(6x − 4x2) − ∫(6x − 4x2) 2xdx =

= (x2 + 1)(6x − 4x2) − ∫(12x2 − 8x3) dx =

= (x2 + 1)(6x − 4x2) − (12x3

3−

8x4

4)+c=

= 6x3 − 4x4 + 6x − 4x2 − 4x3 − 2x4 = −6x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + c

5. Résoudre le problème suivant ∫dy

25−16y2

Formule à résoudre

∫dv

a2 − v2=

1

2aln |

a + v

a − v| + c

Solution

∫dy

25 − 16y2

a2 = 25, a2 = 52, a = 5

v2 = 16y2 , v = 4y , dv = 4dydv

4= dy

∫dy

25 − 16y2= ∫

dv

a2 − v2=

1

2aln |

a + v

a − v| + c

=1

4(

1

2(5)) ln |

5 + 4y

5 − 4y| + c =

1

4(

1

10) ln |

5 + 4y

5 − 4y| + c

=1

40ln |

5 + 4y

5 − 4y| + c

6. Résoudre le problème suivant ∫ sen1

2x dx

Formule à résoudre

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐

Solution

u =1

2x ; du =

1

2dx ; 2du = dx

∫ sen1

2xdx = ∫ senu 2du = 2 ∫ senu du = 2(−cosu + c)

= −2cos1

2x + c

7. Résoudre le problème suivant ∫ tanx dx

Formule à résoudre

∫ tanudu = ln |sec u| + c

Solution

u = x , du = dx

∫ tanx dx = ∫ tanu du = ln|secu| + c

= ln|secx| + c

8. Résoudre le problème suivant ∫ xcotx2dx

Formule à résoudre

∫ cotu 𝑑𝑢 = ln|senu| + c

Solution

u = x2; du = 2xdx; du

2x= dx

∫ xcotu (𝑑𝑢

2𝑥) =

1

2∫ cotu du =

1

2ln|senu| + c

=1

2ln|senx2| + c

9. Résoudre le problème suivant∫ e3cos2x sen2x dx

Formule à résoudre

∫ eudu = eu + c

Solution

u = 3cos2x ; du = −6sen2xdx;du

−6= sen2xdx

∫ e3cos2x sen2xdx = ∫ eudu

−6= −

1

6∫ eudu = −

1

6eu + c

= −1

6e3cos2x + c

10. Résoudre le problème suivant∫secx tanx

a+bsecxdx

Solution

u = (a + b sec x); du = b secx tanx dx; du

b= secxtanx dx

∫secx tanx

a + b secxdx = ∫

du

bu=

1

b∫

du

u=

1

bln|u| + c

=1

bln|a + b secx| + c

11. Résoudre le problème suivant∫dx

csc2x−cot2x𝑑𝑥

Solution

∫dx

csc2x − cot2x

Nous savons que:

csc(2x) =1

sen(2x)

cot(2x) =cos(2x)

sen(2x)

Puis

∫𝑑𝑥

𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2𝑥= ∫

𝑑𝑥

1𝑠𝑒𝑛2𝑥 −

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

= ∫𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2

= ∫𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2

= ∫𝑑𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

= ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑢 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑑𝑢 = −2(−𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = 2sen2xdx ,𝑑𝑢

2= 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

Se substitut

= ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥=

1

2∫

𝑑𝑢

𝑢=

1

2𝑙𝑛|𝑢| =

1

2𝑙𝑛|1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥| + 𝑐

=1

2ln|2𝑠𝑒𝑛2𝑥| + 𝑐 =

1

2(ln 2 + 2 ln|𝑠𝑒𝑛𝑥|) + 𝑐 = ln|𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐

12. Résoudre le problème suivant ∫ x2√1 − xdx

Solution

u = √1 − x; u2 = 1 − x; x = u2 + 1;

du =1

2√1 − 𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −2√1 − 𝑥𝑑𝑢

∫ x2√1 − x dx = ∫(u2 − 1)2 (u)(−2udu)

= −2 ∫(u2 − 1)2(u)2du = −2 ∫(u4 − 2u2 + 1)u2du

= −2 ∫(u6 − 2u4 + u2)du = −2 (u7

7− 2

u5

5+

u3

3)

= −2 ((√1 − x)

7

7− 2

(√1 − x)5

5+

(√1 − x)3

3) + c

= −2((1 − x)

12)7

7+

4 ( (1 − x)12)5

5−

2 ( (1 − x)12)3

3+ c

=−2(1 − x)

72

7+

4(1 − x)52

5−

2(1 − x)32

3+ c

= −2

105(1 − 𝑥)

32(15𝑥2 + 12𝑥 + 8) + 𝑐

13. Résoudre le problème suivant∫x

√a+bxdx =

2(bx−2a)√a+bx

3b2

Formule à résoudre

Sol.

u = x du = dx

dv = dx/ √(a + bx) v =2

b√(a + bx)

2

bx√(a + bx) −

2

b∫ √a + bx dx =

2

bx√(a + bx) −

2

b(

2

3b) √(a + bx)3 + c

=2

bx√(a + bx) −

4

3b2√(a + bx)3 + c

Solution

14. Résoudre le problème suivant∫ senxsen 3xdx =1

8senxcosx −

3

8senxcos3x + c

Formule à résoudre

Sol.

Se sabe que: sen a senb = cos(a−b)−cos (a+b)

2

1. Entonces ∫ sen xsen 3xdx = ∫cos(x−3x)−cos (x+3x)

2dx = ∫

cos(2x)−cos (4x)

2dx =

1

2∫ cos2x − cos4xdx=

1

2(∫ cos2xdx − ∫ cos4xdx)

=1

2(

1

2sen2x −

1

4sen4x) =

1

4sen2x −

1

8sen4x + c

Solution

15. Résoudre le problème suivant∫ eax cosbxdx =eax(bsenbx+acosbx)

a2+b2 + c

Formule à résoudre

Sol.

u = eax du = aeaxdx

dv = cosbxdx v =1

bsenbx

∫ eax cosbxdx =1

beaxsenbx −

a

b∫ eaxsenbx dx

u = eax du = aeaxdx

dv = senbxdx v = −1

bcosbx

∫ eax cosbxdx =1

beaxsenbx −

a

b(−

1

beaxcosbx −

a

b∫ −eax cosbxdx)

=1

beaxsenbx +

a

b2eaxcosbx −

a2

b2∫ eaxcosbxdx

∫ eax cosbxdx +a2

b2∫ eaxcosbxdx =

1

beaxsenbx +

a

b2eaxcosbx

=a2 + b2

b2∫ eax cosbxdx =

1

beaxsenbx +

a

b2eaxcosbx

= a2 + b2∫ eax cosbxdx = b2 (1

beaxsenbx +

a

b2eaxcosbx)

= a2 + b2∫ eax cosbxdx = beaxsenbx + aeaxcosbx

= ∫ eax cosbxdx =beaxsenbx + aeaxcosbx

a2 + b2+ c

Solution

16. Résoudre le problème suivant∫dx

(x2−16)3 =1

2048[

x(3x2−80)

(x2−16)3 +3

8ln |

x−4

x+4|] + c

Formule à résoudre

sol. ∫dx

(x2−16)3 = ∫(x2 − 16)−3dx=∫ vndv =vn+1

n+1+ c

v = (x2 − 16) n = −3

∫ vndv =vn+1

n + 1+ c =

v−3+1

−3 + 1=

v−2

−2=

(x2 − 16)−2

−2+ c = −

1

2(x2 − 16)2+ c

Solution

17. Résoudre le problème suivant∫ tan3xsec3xdx

Formule à résoudre

Sol.

tan2x = sec2x − 1

∫ tan3xsec3xdx = ∫ tan2x sec2tanx secxdx =

Secx = u secx tanx dx = du

= ∫(u2 − 1)u2 du = ∫ u4 − u2du = ∫ u4du − ∫ u2du =u5

5−

u3

3+ c

=sec 5x

5−

sec3x

3 + c

Solution

18. Résoudre le problème suivant∫ cot3xcsc5x dx =

Formule à résoudre

Sol.

u = cot(x) du = −csc2x dx − du = csc2x dx

Tenemos que:

csc2x − cot2x = 1

csc2x = 1 + cot2x

csc(x) = √(1 + u²)

Se realiza parecido al anterior

∫ cot3xcsc5x dx = ∫ √(1 + u2)u5 − du = −∫ √(1 + u2)u5 du

v = 1 + u2

dv = 2u du dv

2= u du

u2 = v − 1

u4 = (v − 1)2

=− ∫√(v)(v − 1)2dv

2 =−

1

2∫ v

1

2(v – 1)2

dv =−1

2∫ v

1

2(v2 − 2v + 1)dv

= −1

2∫ v

52 − 2v

32 + v

12 dv = −

1

2(

v72

72

− 2v

52

52

+ v

32

32

)

sustituimos v = 1 + u²

= −1

2(

(1 + u2)72

72

− 2(1 + u2)

52

52

+ (1 + u2)

32

32

)

= −1

7(1 + u2)

72 +

2

5(1 + u2)

52 −

1

3(1 + u2)

32

sustituimos u = cot(x):

=−1

7(1 + cot2x)

7

2 +2

5(1 + cot2x)

5

2 −1

3(1 + cot2x)

3

2

sustituimos csc2x = 1 + cot2x

=−1

7(csc2x)

7

2 +2

5(csc2x)

5

2 −1

3(csc2x)

3

2 = −1

7csc7x +

2

5csc5x −

1

3csc3x + c

Solution

19. Résoudre le problème suivant∫x6+7x5+15x4+32x3+23x2+25x+3

(x2+x+2)2(x2+1)2 dx =1

x2+x+2−

3

x2+1+ ln |

x2+1

x2+x+2| + c

Formule à résoudre

x6 + 7x5 + 15x4 + 32x3 + 23x2 + 25x + 3

(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2=

A

x2 + x + 2+

Bx2 + Cx + D

(x2 + x + 2)2+

E

x2 + 1+

Fx + G

(x2 + 1)2

=A(x2 + x + 2)(x2 + 1)2 + (Bx2 + Cx + D)(x2 + 1)2 + E(x2 + x + 2)2(x2 + 1) + (Fx + G)(x2 + x + 2)2

(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2

=(Ax2 + Ax + 2A)(x2 + 1)2 + (Bx2 + Cx + D)(x2 + 1)2 + E(x2 + x + 2)2(x2 + 1) + (Fx + G)(x2 + x + 2)2

(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2

Una vez realizando las fracciones.

∫ (−2x − 1

x2 + x + 2+

−2x − 1

(x2 + x + 2)2+

2x

x2 + 1+

6x

(x2 + 1)2) dx =

1.- u = x2 + x + 2 du = 2x + 1dx

2.- m = x2 + 1 dm = 2x

1.-∫−2x−1

x2+x+2+

−2x−1

(x2+x+2)2dx = − ∫

2x+1

x2+x+2dx − ∫

2x+1

(x2+x+2)2dx = − ∫

du

u− ∫

du

u2= −ln|u| −

u−1

−1+ c

2.- ∫2x

x2+1+

6x

(x2+1)2 dx = ∫

2x

x2+1dx + 3 ∫

2x

(x2+1)2dx = ∫

dm

m+ 3 ∫

dm

m2= ln|m| + 3

u−1

−1+ c

=−ln|u| −u−1

−1+ ln|m| + 3

u−1

−1+ c = −ln|u| +

1

u+ ln|m| −

3

u+ c =

Sustituyendo

= −𝑙𝑛|𝑥2 + 𝑥 + 2| +1

𝑥2 + 𝑥 + 2+ 𝑙𝑛|𝑥2 + 1| −

3

𝑥2 + 1+ 𝑐

Solution

20. Résoudre le problème suivant∫x3+x2−5x+15

(x2+5)(x2+2x−3)= ln√x2 + 2x + 3 +

5

√2arctan

x+1

√2− √5arctan

x

√5+ c

Formule à résoudre

1.

x3 + x2 − 5x + 15

(x2 + 5)(x2 + 2x − 3)=

A

x2 + 5+

B

x + 3+

C

x − 1=

x3 + x2 − 5x + 15 = A(x2 + 2x − 3) + B(x2 + 5)(x − 1) + C(x2 + 5)(x + 3)

= A(x2 + 2x − 3) + B(x3 − x2 + 5x − 5) + C(x3 + 3x2 + 5x + 15)

= Ax2 + 2Ax − 3A + Bx3 − Bx2 + 5Bx − 5B + Cx3 + 3Cx2 + 5Cx + 15C =

Bx3 + Cx3 = x3

Ax2 − Bx2 + 3Cx2 = x2

2Ax + 5Bx + 5Cx = −5x

−3A − 5B + 15C = 15

B + C = 1

A − B + 3C = 1

2A + 5B + 5C = −5

−3A − 5B + 15C = 15

24C = 12

C =12

24=

1

2

B +1

2= 1

A − B + 31

2= 1

2A + 5B + 51

2= −5

−3A − 5B + 151

2= 15

B = −1

2

A −(−1)

2+ 3

1

2= 1

A = 1 −1

2−

3

2= −1

Entonces

C =1

2

B = −1

2

A = −1

∫A

x2 + 5+

B

x + 3+

C

x − 1dx = ∫

A

x2 + 5dx + ∫

B

x + 3dx + ∫

C

x − 1dx

= −1 ∫dx

x2 + 5−

1

2∫

dx

x + 3+

1

2∫

dx

x − 1

= −1

2ln|x2 + 5| −

1

2ln|x + 3| +

1

2ln|x − 1| + C