Problèmes de Calcul intégral résolus
Ing. Adrian Vargas Vazquez
Problemario con ejemplos del cálculo integral pasó a
paso.
1. Résoudre le problème suivant ∫dx
√1−x2
Formule à résoudre
∫dv
√a2 − v2= arcsen
v
a+ c
Solution
∫dx
√1 − x2
a2 = 1 ; a = 1
v2 = x2 ; v = x ; dv = dx
∫dx
√1 − x2= ∫
dv
√a2 − v2= arcsen
v
a+ c = arcsen
x
1+ c
= arcsenx + c = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 + 𝑐
2. Résoudre le problème suivant ∫dx
4x2+9
Formule à résoudre
∫dv
v2 + a2=
1
aarctan
v
a+ c
Solution
∫dx
4x2 + 9
v2 = 4x2 ; v = 2x ; dv = 2dx ,dv
2= dx
a2 = 9; a = 3
∫dx
4x2 + 9= ∫
dv
v2 + a2=
1
aarctan
v
a+ c =
1
2(
1
3arctan
2x
3+ c)
=1
6arctan
2x
3+ c =
1
6tan−1
2x
3+ c
3. Résoudre le problème suivant ∫dx
√4−(x+2)2
Formule à résoudre
∫dv
√a2 − v2= arcsen
v
a+ c
Solution
∫dx
√4 − (x + 2)2
a2 = 4 , a2 = 22 , a = 2
v2 = (x + 2)2 , v = x + 2 , dv = dx
∫dx
√4 − (x + 2)2= ∫
dv
√a2 − v2= arcsen
v
a+ c
= arcsenx + 2
2+ 𝑐 = sen−1
x + 2
2+ 𝑐
4. Résoudre le problème suivant ∫3x−4x2+3x
x2+1dx =
3
2x2 − 4x + 4arctanx + c
Solution
∫6x − 4x2
x2 + 1dx
u = x2 + 1 du = 2xdx
v = 6x − 4x2 dv = 3x2 −4
3x3dx
∫6x−4x2
x2+1dx=(x2 + 1)(6x − 4x2) − ∫(6x − 4x2) 2xdx =
= (x2 + 1)(6x − 4x2) − ∫(12x2 − 8x3) dx =
= (x2 + 1)(6x − 4x2) − (12x3
3−
8x4
4)+c=
= 6x3 − 4x4 + 6x − 4x2 − 4x3 − 2x4 = −6x4 + 2x3 − 2x2 + 6x + c
5. Résoudre le problème suivant ∫dy
25−16y2
Formule à résoudre
∫dv
a2 − v2=
1
2aln |
a + v
a − v| + c
Solution
∫dy
25 − 16y2
a2 = 25, a2 = 52, a = 5
v2 = 16y2 , v = 4y , dv = 4dydv
4= dy
∫dy
25 − 16y2= ∫
dv
a2 − v2=
1
2aln |
a + v
a − v| + c
=1
4(
1
2(5)) ln |
5 + 4y
5 − 4y| + c =
1
4(
1
10) ln |
5 + 4y
5 − 4y| + c
=1
40ln |
5 + 4y
5 − 4y| + c
6. Résoudre le problème suivant ∫ sen1
2x dx
Formule à résoudre
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑐
Solution
u =1
2x ; du =
1
2dx ; 2du = dx
∫ sen1
2xdx = ∫ senu 2du = 2 ∫ senu du = 2(−cosu + c)
= −2cos1
2x + c
7. Résoudre le problème suivant ∫ tanx dx
Formule à résoudre
∫ tanudu = ln |sec u| + c
Solution
u = x , du = dx
∫ tanx dx = ∫ tanu du = ln|secu| + c
= ln|secx| + c
8. Résoudre le problème suivant ∫ xcotx2dx
Formule à résoudre
∫ cotu 𝑑𝑢 = ln|senu| + c
Solution
u = x2; du = 2xdx; du
2x= dx
∫ xcotu (𝑑𝑢
2𝑥) =
1
2∫ cotu du =
1
2ln|senu| + c
=1
2ln|senx2| + c
9. Résoudre le problème suivant∫ e3cos2x sen2x dx
Formule à résoudre
∫ eudu = eu + c
Solution
u = 3cos2x ; du = −6sen2xdx;du
−6= sen2xdx
∫ e3cos2x sen2xdx = ∫ eudu
−6= −
1
6∫ eudu = −
1
6eu + c
= −1
6e3cos2x + c
10. Résoudre le problème suivant∫secx tanx
a+bsecxdx
Solution
u = (a + b sec x); du = b secx tanx dx; du
b= secxtanx dx
∫secx tanx
a + b secxdx = ∫
du
bu=
1
b∫
du
u=
1
bln|u| + c
=1
bln|a + b secx| + c
11. Résoudre le problème suivant∫dx
csc2x−cot2x𝑑𝑥
Solution
∫dx
csc2x − cot2x
Nous savons que:
csc(2x) =1
sen(2x)
cot(2x) =cos(2x)
sen(2x)
Puis
∫𝑑𝑥
𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 𝑐𝑜𝑡2𝑥= ∫
𝑑𝑥
1𝑠𝑒𝑛2𝑥 −
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
= ∫𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2
= ∫𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑠𝑒𝑛2𝑥)2
= ∫𝑑𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥
= ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑢 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑑𝑢 = −2(−𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑑𝑥 = 2sen2xdx ,𝑑𝑢
2= 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
Se substitut
= ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥=
1
2∫
𝑑𝑢
𝑢=
1
2𝑙𝑛|𝑢| =
1
2𝑙𝑛|1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥| + 𝑐
=1
2ln|2𝑠𝑒𝑛2𝑥| + 𝑐 =
1
2(ln 2 + 2 ln|𝑠𝑒𝑛𝑥|) + 𝑐 = ln|𝑠𝑒𝑛𝑥| + 𝑐
12. Résoudre le problème suivant ∫ x2√1 − xdx
Solution
u = √1 − x; u2 = 1 − x; x = u2 + 1;
du =1
2√1 − 𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = −2√1 − 𝑥𝑑𝑢
∫ x2√1 − x dx = ∫(u2 − 1)2 (u)(−2udu)
= −2 ∫(u2 − 1)2(u)2du = −2 ∫(u4 − 2u2 + 1)u2du
= −2 ∫(u6 − 2u4 + u2)du = −2 (u7
7− 2
u5
5+
u3
3)
= −2 ((√1 − x)
7
7− 2
(√1 − x)5
5+
(√1 − x)3
3) + c
= −2((1 − x)
12)7
7+
4 ( (1 − x)12)5
5−
2 ( (1 − x)12)3
3+ c
=−2(1 − x)
72
7+
4(1 − x)52
5−
2(1 − x)32
3+ c
= −2
105(1 − 𝑥)
32(15𝑥2 + 12𝑥 + 8) + 𝑐
13. Résoudre le problème suivant∫x
√a+bxdx =
2(bx−2a)√a+bx
3b2
Formule à résoudre
Sol.
u = x du = dx
dv = dx/ √(a + bx) v =2
b√(a + bx)
2
bx√(a + bx) −
2
b∫ √a + bx dx =
2
bx√(a + bx) −
2
b(
2
3b) √(a + bx)3 + c
=2
bx√(a + bx) −
4
3b2√(a + bx)3 + c
Solution
14. Résoudre le problème suivant∫ senxsen 3xdx =1
8senxcosx −
3
8senxcos3x + c
Formule à résoudre
Sol.
Se sabe que: sen a senb = cos(a−b)−cos (a+b)
2
1. Entonces ∫ sen xsen 3xdx = ∫cos(x−3x)−cos (x+3x)
2dx = ∫
cos(2x)−cos (4x)
2dx =
1
2∫ cos2x − cos4xdx=
1
2(∫ cos2xdx − ∫ cos4xdx)
=1
2(
1
2sen2x −
1
4sen4x) =
1
4sen2x −
1
8sen4x + c
Solution
15. Résoudre le problème suivant∫ eax cosbxdx =eax(bsenbx+acosbx)
a2+b2 + c
Formule à résoudre
Sol.
u = eax du = aeaxdx
dv = cosbxdx v =1
bsenbx
∫ eax cosbxdx =1
beaxsenbx −
a
b∫ eaxsenbx dx
u = eax du = aeaxdx
dv = senbxdx v = −1
bcosbx
∫ eax cosbxdx =1
beaxsenbx −
a
b(−
1
beaxcosbx −
a
b∫ −eax cosbxdx)
=1
beaxsenbx +
a
b2eaxcosbx −
a2
b2∫ eaxcosbxdx
∫ eax cosbxdx +a2
b2∫ eaxcosbxdx =
1
beaxsenbx +
a
b2eaxcosbx
=a2 + b2
b2∫ eax cosbxdx =
1
beaxsenbx +
a
b2eaxcosbx
= a2 + b2∫ eax cosbxdx = b2 (1
beaxsenbx +
a
b2eaxcosbx)
= a2 + b2∫ eax cosbxdx = beaxsenbx + aeaxcosbx
= ∫ eax cosbxdx =beaxsenbx + aeaxcosbx
a2 + b2+ c
Solution
16. Résoudre le problème suivant∫dx
(x2−16)3 =1
2048[
x(3x2−80)
(x2−16)3 +3
8ln |
x−4
x+4|] + c
Formule à résoudre
sol. ∫dx
(x2−16)3 = ∫(x2 − 16)−3dx=∫ vndv =vn+1
n+1+ c
v = (x2 − 16) n = −3
∫ vndv =vn+1
n + 1+ c =
v−3+1
−3 + 1=
v−2
−2=
(x2 − 16)−2
−2+ c = −
1
2(x2 − 16)2+ c
Solution
17. Résoudre le problème suivant∫ tan3xsec3xdx
Formule à résoudre
Sol.
tan2x = sec2x − 1
∫ tan3xsec3xdx = ∫ tan2x sec2tanx secxdx =
Secx = u secx tanx dx = du
= ∫(u2 − 1)u2 du = ∫ u4 − u2du = ∫ u4du − ∫ u2du =u5
5−
u3
3+ c
=sec 5x
5−
sec3x
3 + c
Solution
18. Résoudre le problème suivant∫ cot3xcsc5x dx =
Formule à résoudre
Sol.
u = cot(x) du = −csc2x dx − du = csc2x dx
Tenemos que:
csc2x − cot2x = 1
csc2x = 1 + cot2x
csc(x) = √(1 + u²)
Se realiza parecido al anterior
∫ cot3xcsc5x dx = ∫ √(1 + u2)u5 − du = −∫ √(1 + u2)u5 du
v = 1 + u2
dv = 2u du dv
2= u du
u2 = v − 1
u4 = (v − 1)2
=− ∫√(v)(v − 1)2dv
2 =−
1
2∫ v
1
2(v – 1)2
dv =−1
2∫ v
1
2(v2 − 2v + 1)dv
= −1
2∫ v
52 − 2v
32 + v
12 dv = −
1
2(
v72
72
− 2v
52
52
+ v
32
32
)
sustituimos v = 1 + u²
= −1
2(
(1 + u2)72
72
− 2(1 + u2)
52
52
+ (1 + u2)
32
32
)
= −1
7(1 + u2)
72 +
2
5(1 + u2)
52 −
1
3(1 + u2)
32
sustituimos u = cot(x):
=−1
7(1 + cot2x)
7
2 +2
5(1 + cot2x)
5
2 −1
3(1 + cot2x)
3
2
sustituimos csc2x = 1 + cot2x
=−1
7(csc2x)
7
2 +2
5(csc2x)
5
2 −1
3(csc2x)
3
2 = −1
7csc7x +
2
5csc5x −
1
3csc3x + c
Solution
19. Résoudre le problème suivant∫x6+7x5+15x4+32x3+23x2+25x+3
(x2+x+2)2(x2+1)2 dx =1
x2+x+2−
3
x2+1+ ln |
x2+1
x2+x+2| + c
Formule à résoudre
x6 + 7x5 + 15x4 + 32x3 + 23x2 + 25x + 3
(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2=
A
x2 + x + 2+
Bx2 + Cx + D
(x2 + x + 2)2+
E
x2 + 1+
Fx + G
(x2 + 1)2
=A(x2 + x + 2)(x2 + 1)2 + (Bx2 + Cx + D)(x2 + 1)2 + E(x2 + x + 2)2(x2 + 1) + (Fx + G)(x2 + x + 2)2
(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2
=(Ax2 + Ax + 2A)(x2 + 1)2 + (Bx2 + Cx + D)(x2 + 1)2 + E(x2 + x + 2)2(x2 + 1) + (Fx + G)(x2 + x + 2)2
(x2 + x + 2)2(x2 + 1)2
Una vez realizando las fracciones.
∫ (−2x − 1
x2 + x + 2+
−2x − 1
(x2 + x + 2)2+
2x
x2 + 1+
6x
(x2 + 1)2) dx =
1.- u = x2 + x + 2 du = 2x + 1dx
2.- m = x2 + 1 dm = 2x
1.-∫−2x−1
x2+x+2+
−2x−1
(x2+x+2)2dx = − ∫
2x+1
x2+x+2dx − ∫
2x+1
(x2+x+2)2dx = − ∫
du
u− ∫
du
u2= −ln|u| −
u−1
−1+ c
2.- ∫2x
x2+1+
6x
(x2+1)2 dx = ∫
2x
x2+1dx + 3 ∫
2x
(x2+1)2dx = ∫
dm
m+ 3 ∫
dm
m2= ln|m| + 3
u−1
−1+ c
=−ln|u| −u−1
−1+ ln|m| + 3
u−1
−1+ c = −ln|u| +
1
u+ ln|m| −
3
u+ c =
Sustituyendo
= −𝑙𝑛|𝑥2 + 𝑥 + 2| +1
𝑥2 + 𝑥 + 2+ 𝑙𝑛|𝑥2 + 1| −
3
𝑥2 + 1+ 𝑐
Solution
20. Résoudre le problème suivant∫x3+x2−5x+15
(x2+5)(x2+2x−3)= ln√x2 + 2x + 3 +
5
√2arctan
x+1
√2− √5arctan
x
√5+ c
Formule à résoudre
1.
x3 + x2 − 5x + 15
(x2 + 5)(x2 + 2x − 3)=
A
x2 + 5+
B
x + 3+
C
x − 1=
x3 + x2 − 5x + 15 = A(x2 + 2x − 3) + B(x2 + 5)(x − 1) + C(x2 + 5)(x + 3)
= A(x2 + 2x − 3) + B(x3 − x2 + 5x − 5) + C(x3 + 3x2 + 5x + 15)
= Ax2 + 2Ax − 3A + Bx3 − Bx2 + 5Bx − 5B + Cx3 + 3Cx2 + 5Cx + 15C =
Bx3 + Cx3 = x3
Ax2 − Bx2 + 3Cx2 = x2
2Ax + 5Bx + 5Cx = −5x
−3A − 5B + 15C = 15
B + C = 1
A − B + 3C = 1
2A + 5B + 5C = −5
−3A − 5B + 15C = 15
24C = 12
C =12
24=
1
2
B +1
2= 1
A − B + 31
2= 1
2A + 5B + 51
2= −5
−3A − 5B + 151
2= 15
B = −1
2
A −(−1)
2+ 3
1
2= 1
A = 1 −1
2−
3
2= −1
Entonces
C =1
2
B = −1
2
A = −1