Problemario Eda Di 2014

Problemario de ecuaciones diferenciales aplicadas

Departamental I Grupo: __________ Nombre: _________________________

27/01/2014 I P N E S I Q I E Profesor: Moiss Salas De los Santos [email protected]

Lemolle

[email protected] i

Moiss Salas de los Santos

Tabla de contenido Departamental I .......................................................................................................................................................... 1

Clasificacin de las ecuaciones diferenciales ......................................................................................................... 1

Variables separables ............................................................................................................................................... 2

Ecuaciones diferenciales Lineales ........................................................................................................................... 4

Ecuaciones diferenciales exactas ........................................................................................................................... 5

Reducibles a exactas ........................................................................................................................................... 6

Bernoulli ............................................................................................................................................................. 7

Repaso .................................................................................................................................................................... 8

Aplicaciones ............................................................................................................................................................ 9

Crecimiento y decrecimiento. ............................................................................................................................ 9

Ley de Newton enfriamiento/calentamiento ..................................................................................................... 9

Mezclas ............................................................................................................................................................. 10

Reacciones qumicas ......................................................................................................................................... 11


[email protected] 1

Departamental I

Clasificacin de las ecuaciones diferenciales

Ejercicios 1.1. Clasifique por tipo, orden y grado la ecuacin diferencial ordinaria dada.

1. 1 '' 4 ' 5 cosx y xy y x 2.

43

30

d y dyx ydx dx

3. 45 3 '' 6 0t y t y y

4. 2

2cos

d u duu r u

dr dr

5.

22

21

d y dy

dx dx

6.

2

2 2

d R k

dt R

7. sen ''' cos ' 2y y 8. 1 03

xx x x

9. 2 1 0,en ; en y dx xdy y x 10. 0; en ; en uudv v uv ue du v u En los siguientes problemas 11-12 compruebe que la funcin indicada es solucin explicita de la ecuacin diferencial

11. /22 ' 0; xy y y e 12. '' tan ; cos ln sec tany y x y x x x En los ejercicios 13 16 comprobar que la familia de funciones indicadas es una solucin de la

ecuacin diferencial dada. Suponga un intervalo I de definicin adecuado para cada solucin.

13. 1 ;1

t

t

dP ceP P P

dt ce

14.

2 2 2

02 1; **

xx t xdy xy y e e dt ce

dx

15. 3 2

3 2 2 1 2

3 22 12 ; ln 4

d y d y dyx x x y x y ax bx cx x x

dx dx dx

16. Comprobar que la funcin definida en tramos

2

2

, 0

, 0

x xy

x x

Es una solucin de la ecuacin diferencial ' 2 0xy y en , .


2 [email protected]


Variables separables Ejercicios 1.2. Resuelva las ecuaciones diferenciales por el mtodo de variables separables

1. 3 cosdy

dx

x R.

3 seny c

x

2. 2

2dy

xdx

R. 3

2 2 22 23 3

xy x x c

3. 5t ydy e

dt

R. 55

5

tye ec

4. 2x y x ydye y e e

dx

R. 3

13

xy x ey e e c

5. 2

1 0dy y dx R. 1

1yx c

6.

21

lndx y

y xdy x

R. 3 3 21 1 1ln 2 ln

3 9 2x x x y y y c

7. 2csc sec 0y dx xdy R. 4cos 2 sen 2y x x c

8. 2

5 5 0y y x xe e dx e e dy R. 2 1

1 2 1x ye e c

9. dS

kSdr

R. ktS ce

10. 70dQ

k Qdt

R. 70kQy ce

11. 2dP P P

dt R.

1

t

t

ceP

ce

12. 2tdN N Nte

dt

R. 21 tt e t

N ce

13. 5 5

3 4 12

dy yx x y

dx xy x y

R.

8 55 4x yy e c x e

14. 2 2

3 3

dy ty y t

dt yt y t

R. 2ln 1 5ln 3y y t t c

15. 21

dVt V

dt R. 2

1sen

2V t c

16. 2x xdy

e e ydx

**

En los siguientes problemas encuentre una solucin explicita del problema con valores en la frontera.

17. 2 , 14

4 1dx

x xdy

R.

3tan 4

4x t


[email protected] 3


18. 2 , 1 1dy

x y yx ydx

R. 1 1/ x

ey

x

19. 2 23

1 1 0, 02

y dx x dy y R. 21 1 3 1

2 2y x x

20. 2

, 4 1xdy

ye ydx

**

21. Encuentre una solucin de 2dyx y y

dx que pase por los puntos indicados

1 1 1

) 0,1 ) 0,0 ) , ) 2,2 2 4

a b c d

22. (Piense en ello)

a) Si 0a analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los problemas con valores iniciales que consisten en la ecuacin diferencial / /dy dx x y y de cada una

de las condiciones iniciales , , y .y a a y a a y a a y a a

b) Tiene solucin el problema con valores iniciales / / , 0 0dy dx x y y ?

c) Resuelva / / , 1 2dy dx x y y e indique el intervalo de definicin exacto de esta solucin.

Problemas con computadora o calculadora graficadora.(Tarea especial) En laguna ocasiones, un cambio radical en la forma de la solucin de una ecuacin diferencial corresponde a un cambio muy pequeo en la condicin inicial o en la ecuacin misma. Determine la solucin explicita de las siguientes ecuaciones diferenciales con los valores iniciales dados. Utilice un programa de computadora para obtener la grfica de cada solucin.

Compare cada curva solucin en una vecindad de 0,1

23. 2

1 , 0 1dy

y ydx

24. 2

1 , 0 1.01dy

y ydx

25. 2

1 0.01, 0 1dy

y ydx

26. 2

1 0.01, 0 1dy

y ydx


4 [email protected]


Ecuaciones diferenciales Lineales Ejercicios 1.3. Determine la solucin general de la ecuacin diferencial dada. In dique el intervalo ms largo en el que est definida la solucin general. Determine si hay algunos transitorios en la solucin general.

1. dy

aydx

R. , ,axy ce

2. 3xdy y e

dx R. 3 , ,

1

4

x xy e ce

3. 2 2' 3y x y x R. 31,

3,xy ce

4. 2 sen

dyx y x xdx

R. cos , 0,y cx x x

5. 34

dyx y x xdx

R. 3 41 1

, 0,7 5

y x x cx

6. 2 ' 2 xx y x x y e R. 2 21

, 0,2

x xy x e cx e

7. ' 1 sen2xxy x y e x R.

cos 2

, ?,?2

xxc

y ex x

8. 64 0ydx x y dy R. 6 42 , 0,x y cy

9. cos sen 1dy

x x ydx

R. sen cos , ,2 2

y x c x

10. 1 2 2 xdy

x x y xedx

R. 21 , 1,xx e y x c

11. sec cosdr

rd

R. sec tan cos , / 2, / 2r c

12. 2 4 2dP

tP P tdt

R. 2

2t tP t ce

13. 33 1 3 xdy

x x ydx

R.

3 1 3 3

1

c 3 27

3 ln 3 1ln

3

x

x x xe ce

ex xx

yx

Demuestre la equivalencia entre estas dos soluciones

14. 22 1 2 1dy

x y xdx

R. 1

1

x x cy

x

Resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I ms largo en el que est definida la solucin.

15. ' , 1 2xxy y e y

16. 22 , 1 5dy

y x y ydx

R. 4 42 205 4 1

8

xe xy


[email protected] 5


17. 0, 0di

L Ri E i idt

0, , e constantesL R E i

R. 0 , ,Rt

LE E

i t i eR R

18. 0; 0mdT

k T T T Tdt

0, yk T T Son constantes

R. 01 kt ktmT t T e T e

19. 1 ln , 1 10dy

x y x ydx

R. 1 ln 21, 0,x y x x x

20. 2' tan cos , 0 1y x y x y R. sen cos cosy x x x Resuelva la ecuacin diferencial con valores iniciales dados y utilizar un programa de graficacin para

trazar la funcin continua y x .

21. 2 , 0 0 donde **dy

y f x ydx

1, 0 3

0, 3

xf x

x

R.

2

6

2

1 1, 0 3

2

1, 3

2

x

x

xe

f xe

xe

22. 2 , 0 2 dondedy

xy f x ydx

, 0 1

0, 1

x xf x

x

R. 2

2

1 3, 0 1

2 2

3, 1

2 2

x

x

xe

y xe

e x

Ecuaciones diferenciales exactas Ejercicios 1.4. Determinar si la ecuacin diferencial dada es exacta. Si lo es resulvala.

1. 2 1 3 7 0x dx x dy R. 2 23

72

x x y y c

2. 2 22 3 2 4 0xy dx x y dy R. 2 2 3 4x y x y c

3. 32

12 cos3 4 3 sen3 0

dy yy x x y x

x dx x

4. 2 2 2 2 0x y dx x xy dy R. no es exacta 5. 3 2 2sen 3 2 cosx y y x dx xy y x dy R. 3 2 21cos

2xy y x x c

6. 1

ln ln 0xyy y e dy x y dyy

R. no es exacta

7. 22 6x

dyx xe y xdx

R. 32 2 2x xxy xe e x c

8. 2 3 2 22

1

1 9

dyx y x y

x dx

R.

3 1tan 3xy x c

9. tan sen sen cos cosx x y dx x ydy R. ln cos cos senx x y c


6 [email protected]


10. 3 2 4 24 15 3 0t y t y dt t t t dy R. 4 3 35t y t ty y c Resuelva el problema con valores iniciales

11. 2 22 1 0, 1 1x y dx xy x dy y R. 3

2 2 4

3 3

xx y xy y

12. 4 2 5 6 4 1 0, 1 2y t dt y t dy y R. 2 24 5 3 8ty t t y y

13.

2 2 3cos 3 2 2 sen ln 0

0

y x x y x dx y x x y dy

y e

R. 2 3 2sen lny x x y x y y y c

En los problemas 14 y 15 determine el valor de k para el cual la ecuacin diferencial es exacta

14. 3 4 2 2 32 3 20 0y kxy x dx xy x y dy R. 10k

15. 236 cos 2 sen 0xy y dx k xy x y dy R. 92

k

Reducibles a exactas

Ejercicios 1.4.1. Resuelva la ecuacin diferencial dada determinando un factor integrante adecuado

En los problemas 1 y 2 compruebe que la ecuacin diferencial dadas es no exacta. Multiplique la ecuacin

diferencial dada por el factor integrante indicado ,x y y compruebe que la nueva ecuacin es exacta. Resuelva

16. sen 2 cos 2 cos 0xy x y x dx x xdy ,x y xy R. 2 2 cosx y x c

17. 2 2 2 22 2 0y xy x dy x yx y dx 2,x y x y

Resuelva la ecuacin diferencial dada determinando un factor integrante adecuado y resuelva la ED

18. 22 3 2 0y x dx xydy R. 2 2 3x y x c

19. 26 4 9 0xydx y x dy R. 2 2 43x y y c

20. 310 6 2 0xy e dx y R. 3 31023

x xye e x c

Resuelva el problema con valores iniciales determinando un factor integrante adecuado y resuelva la ED

21. 2 4 0, 4 0xdx x y y dy y R. 2 2 4 20ye x

22. 2 2 5 , 0 1x y dx y xy dy y R. 23. a) Demuestre que una familia de soluciones uniparamtrica de soluciones de la ecuacin

2 24 3 2 2 0xy x dx y x dy es 3 2 22x x y y c b) Demuestre que las condiciones iniciales 0 2 y 1 1y y determina la misma solucin implcita c) Con ayuda de un programa de computadora o con una calculadora graficadora, graficar las dos soluciones obtenidas en el inciso anterior.

R.

2 4 3

1

2 4 3

2

4

4

y x x x x

y x x x x


[email protected] 7


Sustituciones diversas

Ejercicios 1.5. Cada una de las ED de los problemas 1-9 es homognea Resuelva la ecuacin diferencial dada utilizando la sustitucin adecuada con valores iniciales si es el caso

1. 0t y dt tdy R. lny x x y cy

2. 2 0rdr y r dy R. lnr y r y y c r y

3. 2 2 0y yx dx x dy R. lnx y x cy

4. dy y x

dx y x

R. 2 2 1ln 2 tan /x y y x c

5. 0ydx x xy dy R. 24 lnx y y c

6. 2 3 3 , 1 2dy

xy y x ydx

R. 3 3 33 ln 8y x x x

7. / / 0, 1 0y x y xx ye dx xe dy y R. /ln 1y xx e

Las siguientes ED tienen la forma dy

f Ax By Cdx

, resuelva la ED usando una sustitucin adecuada

con valores iniciales dado el caso.

8. 2

1dy

x ydx

R. 1 tany x x c

9. 2tandy

x ydx

R. 2 2 sen 2y x x y c

10. 2 2 3dy

y xdx

R. 2

4 2 3y x x c

11. cos , /0 4dy

x y ydx

R. cot csc 2 1x y x y x

Bernoulli

Ejercicios 1.5.1. Resuelva la ED usando una sustitucin adecuada

1. 2

1dyx ydx y

R. 3 31y cx

2. 3 1dy

y xydx

R.

3 3

33

1

3

3

3 1 3

x

x

y x ce

yx ce

3. 2 2dyt y tydt

R. /t ye ct

4. 2 33 1 2 1dy

t ty ydt

R. Analice estas tres soluciones y de argumentos del porqu de las tres soluciones

() =1

(1 + 3 + 32)1 3


8 [email protected]


() = (1)1 3

(1 + 3 + 32)1 3

() =(1)2 3

(1 + 3 + 32)1 3

5. 2 41

2 3 , 12

dyx xy y y

dx R.

3 1 69 49

5 5y x x

6. 1/2 3/2 1, 0 4dy

y y ydx

R. 3

3/2 3 3 /2 2=c

x xy ee e

Repaso Ejercicios 1.6. Clasifique cada ED como separable, exacta, lineal, homognea o Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de ms de una clase. NO RESOLVER.

a) dy x y

dx x

b)

1dy

dx y x

c) 1 10dy

x ydx

d)

1dy

dx x x y

e) 2

2

dy y y

dx x x

f)

25dy

y ydx

g) 2ydx y xy dy h) /x ydyx ye xdx

i) 2' 2xy y y x j) 2 22 ' 2xy y y x

k) 0ydx xdy l) 2 2

23 ln

yx dx x dy

x

m) 1dy x y

dx y x n)

3 22

2

x yy dy ex dx


[email protected] 9


Aplicaciones

Crecimiento y decrecimiento.

1. Se sabe que la poblacin de una comunidad crece con una razn proporcional al nmero de personas

presentes en el tiempo t . Si la poblacin inicial 0p se duplico en 5 aos, En cunto tiempo se triplicar y

cuadruplicar? R. .

2. Crecimiento de las amibas en el organismo del ser humano. A un paciente se le hizo un anlisis gastro-intestinal y se determin una poblacin de 7x106 de amibas. Despus de 15 das se repiti el anlisis y se determin que la poblacin de stas se haba triplicado. En qu tiempo la poblacin ser 5 veces mayor a la

inicial? R. 22diast 3. La poblacin de un pueblo crece con una razn proporcional a la poblacin en el tiempo t . La poblacin inicial

de 500 aumenta 15% en 10 aos. Cul era la poblacin inicial 0P ? Cul sera la poblacin en 10 aos? Qu

tan rpido est creciendo la poblacin en 10t ?

4. La poblacin de bacterias en un cultivo crece a una razn proporcional a la cantidad de bacterias presentes al

tiempo t . Despus de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. Despus de 10 horas hay 2000

bacterias presentes. Cul era la cantidad inicial de bacterias?

5. Un mismo modelo matemtico puede servir para varios fenmenos fsicos, (Decaimiento radioactivo)

El isotopo radioactivo del plomo Pb-209, decae con una razn proporcional a la cantidad presente al tiempo

t y tiene vida media de 3.3 horas. Si al principio haba un gramo de plomo. Cunto tiempo debe transcurrir

para que decaiga 90%? R. 11hr

Ley de Newton enfriamiento/calentamiento

6. Un termmetro se cambia de una habitacin donde la temperatura es de 70oF al exterior, donde la

temperatura del aire es de 10oF . Despus de medio minuto el termmetro indica 50oF . Cul es la lectura

del termmetro en 1min, 45t t seg ?, Cunto tiempo le tomara al termmetro alcanzar los 15oF ?

R. 1 36.76oT F

7. Un termmetro se lleva de una habitacin hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es de

5oF . Despus de 1min , el termmetro indica 55oF y despus de 5min indica 30oF .

Cul era la temperatura inicial de la habitacin?

8. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial era de , se deja caer en un gran tanque de agua

hirviendo. Cunto tiempo tardar la barra en alcanzar los s se sabe que su temperatura aumento

2oC en 1segundo ? Cunto tardar en alcanzar los 98oC ?

. 82.1 s y 145.7 s, respectivamenteR

9. Un cadver se encontr dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70oF

. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazn del cadver se determin de 85oF . Una hora

despus una segunda medicin mostro que la temperatura del corazn era de 80oF . Suponga que el tiempo


10 [email protected]


de la muerte corresponde a 0t y que la temperatura del corazn en ese momento era de 98.6oF .

Determine Cuntas pasaron antes de que se encontrara el cadver?[Sugerencia: Sea que 1 0t denote el

tiempo en que se encontr el cadver] R. 1.6hr aproximadamente

Mezclas

10. Suponga que un tanque grande bien mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua, en los que se han

disolvieron 50 libras de sal. Entra agua pura a una razn de 3 gal/min y cuando la solucin est bien revuelta,

sale a la misma razn. Determine una ecuacin diferencial que exprese la cantidad () de sal que hay en el

tanque al tiempo . Cunto vale (0)? R.

+

= ; () =

11. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene inicialmente 300 galones de agua, en los que se han

disuelto 50 libras de sal. Otra salmuera introducida al tanque a una razn de 3 gal/min y cuando la solucin

est bien mezclada sale a una razn lenta de 2 lb/gal, determine una ED que exprese la cantidad de sal ()

que hay en el tanque al tiempo .

a. Cul es la ecuacin diferencial si la solucin bien mezclada sale a una razn ms rpida de 3.5

gal/min? R. a)

+

=

12. Un tanque contiene 200 litros de un lquido en el que se han disuelto 30g de sal. Salmuera que tiene 1g de

sal por litro entra al tanque con una razn de 4L/min ; la solucin bien mezclada sale del tanque con la misma

razn. Encuentre la cantidad A t de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t .

/50200 170 tR A t e

a) Resuelva el problema suponiendo que al tanque entra agua.

b) Haga comentarios acerca de las soluciones y a que conclusin llega.

13. Un gran tanque de 500 galones est lleno de agua pura. Le entra salmuera que tiene 2lb de sal por galn a

razn de 5gal/min . La solucin bien mezclada sale del tanque con la misma razn. Determine la cantidad

A t de libras de sal que hay en el tanque al tiempo t . /1001000 1000 tR e

a. Cul es la concentracin c t de sal en el tanque al tiempo t ?

b. Y al tiempo 9t ?

c. Cul es la concentracin en el tanque cundo t ?

d. Para qu tiempo la concentracin de sal en el tiempo es igual a la mitad de este valor lmite?

e. Resuelva el problema suponiendo que la solucin sale con una razn de 10 /mingal y en este caso

cuando se vaca el tanque.

14. Resuelva el problema 12 de la seccin 1.3 del libro de Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera,

Denis G. Zill and Michael R. Curren, Editorial CENGACE Learning. (**)


[email protected] 11


Reacciones qumicas

15. Dos sustancias qumicas y se combinan para formar la sustancia qumica . La razn de reaccin es

proporcional al producto de las cantidades instantneas de y que no se han convertido en . Al principio

hay 40 gramos de y 50 gramos de se consumen 2 de . Se observa que a los 5 minutos se han formado

10 gramos de .

a. Cunto se forma de en 20 minutos?

b. Cul es la cantidad lmite de a largo plazo?

c. Cunto de las sustancias y queda despus de mucho tiempo?

d. Que puede decir acerca de los resultados obtenidos y que puede concluir acerca del modelo

matemtico para reacciones qumicas.

16. Supngase que una reaccin qumica sigue una cintica de primer orden. La mitad de la sustancia A ha reaccionado al finalizar 10 seg. Encuntrese en cunto tiempo se transforman 9/10 de la sustancia.

R. 33.22t seg

17. La sustancia qumica se transforma en otra sustancia . la velocidad de formacin varia en forma directamente proporcional a la cantidad de presente en cada instante. Si inicialmente se hallan presentes 10 kg de y en una hora 3 kg se han formado de , Qu cantidad de se ha formado despus de 2.5 hrs?

R. 2 5.9kgB

18. En un matraz de 250 mL se lleva a cabo la reaccin . Inicialmente hay 4 g del reactante y no existe producto. Cuando transcurren 5 minutos de iniciada la reaccin la cantidad de ha disminuido en 50%. Halle el tiempo en el cual el 75% de se ha transformado. R.

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