Problemas de comunicaciones an alógicas y digitales - Teoria de la Comunicacion - Sofía, Santiago, Jose Ramón y Rafael

7/21/2019 Problemas de comunicaciones an alógicas y digitales - Teoria de la Comunicacion - Sofía, Santiago, Jose Ramón y…

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M \ N l A L i S D O C E N T I C S U X I V [ I R S ll A R I O S

Sofía Martín González

Santiago Tomás Pérez Suárez

José R amón Velázquez Monzón

Rafael Pérez Jiménez

UNIVERSID D DE U S P UMS DE GR N C N RI

Vicerrectorado de Calidad e Innovación

Educativa



M A N U A I E S © O G E N J E E S

OK IiVERSlTARlOS

oo

o

5

00

2

o

i

i

00

i

LU

Q

2

o:

roblemas de comunicaciones

analógicas

digitales

BIBLIOTEC UNIVERSIT RI

LAS PALMAS DE O. CANARIA

N.° Docmnento

° opa

—S.^^ ^

9



José Ramón Velázquez Monzón


/5.

NIVERSIDAD DE U S PALMAS DE GRAN CANARIA

Vicerrectorado de Calidad e Innovación

Educativa

2 8



C O L E C C I Ó N M A N U A L E S D O C E N T E S U N I V E R S IT A R I O S

P R O B L E M A S D E C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S Y D I G I T A L E S N ° 2 8

del texto:



José Ramón Velázquez Monzón


© de la edición:

VLCERRECTOR/ \DO DE CALIDAD E INNOVACIÓN EDUCATIVA DE L/ \

U N I V E R S I D A D D E L A S P A L M A S D E G R A N C A N A R I A 2 8

Maquetación y diseño:

Servicio de Publicaciones y Difusión Científica de la ULPGC

ISBN: 978-84-96971-39-4

Depósito Legal: GC 311-2008

Impresión:

Servicio de Reprografía Enc uad em ación y Autoedición U LP G C

Q ue da riguro sam ente proh ibida sin la autorizac ión escrita de los titulares del «CopyrighD>

bajo las sanciones establecidas por las leyes la reproducción parcial o total de esta obra por

cualquier medio o procedimiento comprendidos la reprografía y el tratamiento informático



Índi e

PRESENTACIÓN 7

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE TELECOMU

NICACIÓN

9

E N U N C I A D O S 11

SOLUCIONES 15

CAPÍTULO 2 . CANALES ANALÓGICOS PASO BANDA: MODULA

CIONES LINEALES 33

E N U N C IA D O S 3 5

SOLUCIONES 43

CAPÍTULO 3 . CANALES ANALÓGICOS PASO BANDA: MODULA

CIONES ANGULARES

69

E N U N C IA D O S . 71

SOLUCIONES 76

CAPÍTU LO 4. CO NV ER SIÓN ANALÓGICA DIGITAL DE SEÑALES 91

E N U N C I A D O S 93

Sor.uciONES 100

CAPÍTULO 5 . TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE 123

E N U N C IA D O S 1 2 5

SOLUCIONES 129

CAPÍTUL O 6 . TR ANS MISIÓ N DIGITAL PASOBANDA 141

E N U N C IA D O S 1 4 3

SOLUCIONES 148

PROBU ^MAS DI? COM UNICA CIONE S ANALÓGICAS Y DIGITALES -^



Presentación

Desde hace unos años, la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria ha

m ostrad o su com prom iso con la mejora d e la calidad de la docencia, de la inves-

tigación y de los servicios que presta a la sociedad. Para alcanzar tales objetivos

se puso en marcha, en 2001, una convocatoria anual para la publicación de

manuales docentes para la enseñanza universitaria, realizados por el personal

docente de nuestra institución.

Transcurridos seis años desde el inicio de aquella iniciativa, que pretendía

ofrecer unos manuales docentes que poseyeran un diseño uniforme y unos

contenidos rigurosos, adaptados a las exigencias de nuestras titulaciones, resul-

ta obvio que nos felicitemos por el camino recorrido. Sin embargo, la expe-

riencia acumulada a lo largo de estos años, así co m o la respuesta obte nida po r

parte del profesorado y la calidad de las publicaciones efectuadas, hace nece-

sario que se introduzcan mejoras en los procedimientos de recepción, revi-

sión científica y edición de estas obras, cumpliendo con las exigencias de los

estándares internacionales en la edición de publicaciones docentes.

Un reciente informe en el que se establecían los estándares y directrices

para la mejora de la calidad en las instituciones universitarias europ eas, realiza-

do por la Iduropean

jAssoáation forQuality A ssurance in Higher

ducation (ENQUA),

llamaba la atención sobre el empeño que deben poner las universidades para

garantizar que los recursos de apoyo al aprendizaje son adecuados y se ajustan

a sus necesidades. Es te y otros objetivos so n los que pre ten den alcanzar, en los

próxim os años, el recién creado Vicerrectorado de Calidad e Innovación Edu ca-

tiva, en colaboración con el Vicerrectorado de O rdenación A cadémica y EE ES ,

y el Servicio de Publicaciones y Difusión Científica de esta Universidad.

Los manuales y materiales de autoaprendizaje editados por la Universidad

de Las Palmas de Gran Canaria constimyen una muestra de la apuesta decidi-

da por la calidad de nuestra institución, además de una evidencia del grado de

especialización y de las capacidades didácticas de su personal docente.

PROBLKMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin

Gon^ále¡^

S.

omás Pére^

Suáre^ J. K

Velát^queî

Mon:^ónj K. Pére^Jtméne^

Deseo agradecer a los autores de estas publicaciones su empeño por adap-

tar sus contenid os a las exigencias editoriales de esta colección así co m o su

generosa predisposición a redactar unos materiales docentes que se ajustan a los

requisitos de este tipo de publicaciones. Sólo deseo que los estudiantes que van

a utilizar estos manuales docentes y materiales de autoaprendizaje sepan apre-

ciar el valor del trabajo bien hecho y el esfuerzo que sus autores han puesto en

su realización.

José Regidor Garda

Rector

PROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



c pítulo

ntroducción los sistemas de telecomunicación



E N U N C I D O S

1. Para las funciones Yl

,ke I I , d e t e r m i n e :

a) Las func iones de au tocor re lac ión .

b ) La cor re lac ión c ruzada de ambas .

2.

Considere la seña l x ( t ) dada por un pu lso rec tangular de ampl i tud un i ta -

r ia y anchura T^, centrado en el or igen.

a) Dibuje la señal x(t) .

b) Dibuje la señal per iódica x ( t) formada por la repetición de x( t) con

p e r í o d o T Q = 3 T ^ / 2 .

c) D ete rm in e X(co), t r ans form ada de Four ie r de x ( t) , y d ibu je X(a)) | para

va lores de co| < ÓTi/Tj.

d ) D e t e r m i n e 2i^, los coeficientes de la serie de Fourier de x (t) . Dibuje a| .

para va lo res de k| = 0,1,2,3.

e) Usando los resultados de c) y d) ver if ique que se cumple:

1

- o

co^kl tria

PROHU;MAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

1 1



S. Martín Co?is^ále¡^ S. TomásPére:iSuáre: ,].

R.

Velá^que^Moni^njK. Pérfí^jiménes^

3. La densidad espectral de potencia de una señal es la representada en la

figura siguiente.

Px(w)

a) Calcule la función de autocorrelación R^Cx).

b) Calcule la pote ncia me dia, la pote ncia de con tinu a, la pote ncia de alter-

na, el valor medio y el valor eficaz de la señal.

—-/—4. La densidad espectral de potencia de una señal es la que se muestra en la

figura siguiente.

v

PACO)

^

o

a) Calcule la función de autocorrelación R^(x).

b) Calcule la potencia media, lá pote ncia de con tinua , la pot encia de alter-

na, el valor medio y el valor eficaz de la señal.

«X5.

Indique si las siguientes señales son de energía o de potencia. En caso de

ser de energía, calcule su energía y su densidad espectral de energía. En

caso de ser de potencia, calcule su potencia media y su densidad espectral

de potencia. Los resultados se expresarán en función de A y T.

a) x{í) = Ah

b) x t) - A

• sen{ü QÍ

-f 9)

12

PROBLEMAS DR COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Introdiicáón a los sistemas de telecomunicación

í l \

6. Se considera la señal x{t) = ]~[ — a la ent rad a de un sistem a LT I cuya

respuesta al impulso h( t) se desconoce. Si la Densidad Espectral de Energía

de la señal a la salida es;

E(w)

A^T^únA

—

obtenga la expresión del módulo de la función de transferencia del sistema.

s iendo T = Ims.

yCj- Co n s id e r e u n p u l so r ec t an g u la rj c ( í ) = J l —

a) Obtenga su densidad espectral de energía (en co y f ) .

b ) Calcu le e l ancho de banda de l p r imer nu lo (en Hz y rad /s) .

c ) Calcu le e l ancho de banda equ iva len te (en Hz y rad /s) .

8 . Dada la señal x( /) = Kfê~'^''u{í), o b ten g a :

a) Ancho de banda de 3 dB.

b) Ancho de banda de L dB.

c) Ancho de banda equ iva len te .

d ) Ancho de banda de l 90% de la energ ía .

^ 9. Sea la señ al x{t) = e ^''' .

a) Calcule el ancho de banda de L dB.

b) A pardr de la expres ión ob ten ida en a ) , ca lcu le e l ancho de banda de

3 d B • ^ . • ^ •

c) Cal tu le e l ancho de banda equ iva len te .

\ x -

10. Sea una señal constante en el t iempo x(í) = A, do n de A es real . Calcu le:

a ) Su au tocor re lac ión .

b ) Su po tenc ia media , ca lcu lando la au tocor re lac ión en e l o r igen .

c ) Su po tenc ia media , eva luando su va lo r cuadrá t ico medio .

d ) Su densidad espec t ra l de po tenc ia , ca lcu lando la t ransformada de

Four ie r de la au tocor re lac ión .

e ) Su po tenc ia media , in tegrando su densidad espec t ra l de po tenc ia .


13



.V.

Martin Gont^le^ S. Tomás Pére^ Siiáre^ J.

R. l/ê/ái^íjue:^

Moii^nj

R

Pére^Jiméne:i

11 .

Sea x(t) una señal cuyo espectro X(co) está limitado en banda a B rad/s,

y sea p(t) una señal periódica de periodo Tg s. Considere que C 0 Q > > B .

a) Determine el espectro de la señal y(t)=x(t)- p(t).

b) Dibuje el espectro de la señal y(t) considerando que p(t) en una señal

rectangular de ciclo de trabajo 50 .

c) Si la señal y(t) se filtra paso banda con un filtro ideal centrado en la

frecuencia coO y ancho de banda 2B, determine la señal a la salida del

filtro.

12.

Se transmite en banda base una señal analógica cuya función densidad

espectral de potencia es prácticamente nula para frecuencias superiores a

10 kHhz. El sistema de telecomunicación se puede modelar mediante el

siguiente esquema

Se desea que la relación señal a ruido a la salida sea SNR5=30 dB, para lo

que se supone que el amplificador del receptor es ideal y lineal para todas

las señales, con una ganancia en voltaje G y un nivel de ruido desprecia-

ble. El filtro paso bajo es ideal, con una frecuencia de corte f(.=

l 0

kHz y

un factor de atenuación en potencia de K=2. La densidad espectral de

potencia del ruido en recepción es P / ) = TVg / 2 = 0,5 • 10~ í^ / Hz .

Calcule cuál será la máxima distancia posible de transmisión si la poten-

cia máxima operativa del transmisor es de 10 W y el medio de transmi-

sión consiste en un cable que produ ce una atenuación a = 2 d B /k m para

todas las frecuencias.

14

PROBLEMAS DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS V DIGITALES



Introducción a los sistemas de telecomunicación

S O L U C I O N E S

1.

a)

Autocorrelación

de n[

—

R^ (r) = \x{t + T x{l dt ; Nota : Es lo mismo hacerlo para T ó -x ya

-« que la variación se hace desd e -oo a +co.

T

T

+ T/2

X(t+T)

x( t )

- T / 2 /

T

^ ^

r

+ - < - - ^ r < - r ^

/ ? , ( r )

=

2 2

X(t+T)

-T/2v T

X(t)

~x(t+T)-x( t)

-T/2 T + T/2

X(t+T)

X ( t )

J ^ T

^ j K T / 2

X( t+T) -X( t )

T-T/ 2 T/2 t

2

2

T

2

r+77

2

> —> - 7

< r <

O

:

y í X O =

\\dl=T

T

Til

2

T

< —

2

J

r / 2

^ < r < 7 =>

7e^( r ) = | l¿ // = r - r

r-77 2

15

PROULBMAS D I ; COMUNICACIONF.S ANAI,ÓG ICAS V DIGITAIJ-.S



S. Martin

Cons;ále¡^, S.

Tomás Pére^ Stiáre^ ]. R Veláûe;^ Monteanj R. Pére^Jiméne^

X(t+T)

1

X t)

T - T/2

T

t

T-^>^-^T>T^R^(T)=0

T \T/2

^ ^ ^

/N R,(x)

Autocorrelación de ke ^ :

- o o

k-e - ^ ^ ^ - e '

T

<0 -> r > 0

k e — +k e- [t]l+k e-

-2

Jo

7?^.(7) = e-' (l + r) ; r > 0

16




Introducáón a los sistemas de telecomunicación

C o m o la autocorrelación es par, Rj.(-x)=R^(x), para todo se cumple:

R^x ) - A : ' e ( l + r )

/N R,(T)

b)'i.,(r)=Jn^>- W/

T

y

- o o < - r + — < 0

-^

— < r <oo

2 2

- r H — >0 -> 0< r < —

2

2

- r +772

;?^(r )= jfce í// + jke- dt

- r

-7 72 O

= yc(i-e-^-™)+/t(i-e^- ^)

P R O B L E M A S DE C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G IC A S Y DIGITALES

— 17



S. Martin

Con^ák: ,

S. Tomás Pére:^

Suárei ,

] . R Veláûe^ Mon:(ónj K. Pére^Jiméne^

Por ser par:

R^{T)=ke^(e- -e- ) -00 < r <

2

T

/?,,(r)=K l-e^- 0+^ (l-e-- 0 ; ^<T<0

2. a)

b)

X t)

T

XKx t )

^ T o / 2 ^ ^ - T o,/2

3T,/2 t

J • jco (ú \ l n

i\n

2jin-, 2( 2n n- ,) 3-(2jcn-,)

18




Introducción a los sistemas de telecomunicación

d)

1 - 1 r -,.».. y , 2 sen{kú}

gl] / 2) 2

sen{kco

JJ2)

T

•

o

-/;/

7 0 Jkoô

nk

^ s i n c f y t ^

•o

ak / K

T

,ao

=

T l / T o = 2 / 3

1 é 3

/;

ka

•

•1/2

e )

¿?, =

2sen{kcoJJ2) 2sen{ko)JJ2)

T

^¿y«

ArOJn

ü)=ka>¡¡

3. a)

P^{co)=0 ,15{cü) + \,2[5{ ú-o}^) +

5{ú}

+

o}^)\

e~ -^

o\

-^ 2n5{ ú)

,.-41 . ^ ^ ^ — ^

=:>Por dualidad:

- ^

2K n 27r4 + T

/? ( r ) = 0 , l l + 0,38cos(á;„r)+ ,

4 + r

b) Potencia media

=

( x ( / ) )

=

7?,(0)

=

0,11

+

0,38

+

0,63

{x\i)}=0,65W

19

PROBLI?.MAS DF. COMUN ICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S.

Martin Gon^ále;^

S.

Tomás Pére Suáre:(,

J. K Velá: gue:i

Mon^nj R. Pére:(^]iméne:^

La potencia

de

continua viene dada

por la

transformada inversa

de las

deltas en el origen de frecuencia:

^ . c=<^ (0>

=0,11^^

<x(/)> = VoJT = 0,33 F

La potencia de alterna viene dada por el resto de términos:

0,63

Poc = x . = 0,38 + ^ — = 0,54 W x^. = 4OJA = 0,73 V

4. P^(co) = 7rS{co) + 2A

co^

\Kj

a) Dado

que se

cumple: R^ (j)

—^ ^

P (úf)

,

será necesario calcular

la

transformada inversa de Fourier de la densidad espectral de potencia.

SiO-

T.F.

•>1

X í) '• •

>27DC{-Ú))\

>\

T.F.

-^2K5{(O)

T.F.

•>

nd{(o)

i \

yBj

T.F.

^Bsmc

yin j

X{t) '• • )27ix{-co)

Bsmc

^ 5 ^

v2;ry

T.F.

- > 2 ;TA

\Bj

B . 2

—

sinc

\2n

yBj

(Sustituyendo B por Tt)

sinc

^

v^y

T.F.

->2A

^CD^

\^J

20

PROBLEMAS DI ;

COMUNICACIONES ANALÓGICAS

Y

DIGITALES



Introducrión a los sistemas de telecomunicaáón

b) Potencia media:

P^ = R^(0) =

1,5 W

Potencia de continua:

P^^

= W

Potencia de alterna:

P^^

= W

Valor medio:

<x(t)>

= V ^ = 0,71 V

Valor eficaz:

x^j-

= ^ ^ = V

5.

a)

x(t) = A-A

La señal x(t) es una señal definida en energía.

^n\ - __( +

J4 para el intervalo : O

<t <T

Sobre R = 1 D, la energía de la señal es:

-O T

T

o O V • y

dt =

Á\

j2

•2 — At + A^ \dt=2\

A^

í 2A^ í^

\

T

r 3

T 2

+ AU

J

{T^

3 T 2

2 <2.

=

ÍJ

A T

A^T

+ A^T

J

= — AT julios

3

Densidad espectral de energía:

E^

co)

= \X(ío)\

Dado que: x(() = AA

t

\2n j

21




S. Martin Gon:^lei(¡ S. Tomás Péres^Suáre;^]. K. Velátûe^Monspnj K. Péres^jiméne^

2 T ^ 2 „ - 4 1 (OT^

E^{co) = A^T^ sinc

2n

ju l ios /Hz

b)

x{l) = A •sen{(0^t

+

6)

La señal x(t) es una señal definida en potencia

Autocorrelación de una señal periódica:

1

0 / 0 /

] 2 1 2

h -ly 0 -ly

V

A 9 1

V

— f

—

[cos(2<yo/ + íyor + 2 ^ ) + cos( )or)]c//= cos(<üor) \\ di =

y

Á

= T : ?o cosCftJo r) = — cosCíOo r )

La potencia media se obtien e evaluando la autocorrelación en el origen, y

la densidad espectral de potencia, realizando la transformada de Fourier

de la autocorrelación.

Potencia media: P = 7? rO) = W

Densidad espectral de potencia:

j 2

P^ { ó) = T.F[R^ (r) ] = — 7r[S{co + co,) + S((o-co„)] W /Hz

6.

n

r F

•ÂTúnc

^coT^

\2n j

EXoi)^\X{(of =A^T^únc

= X{co)

22




ntroducción a los sistemas de telecomunicación

\H{(ú)\ =

A^T smc

^CDT^

yin j

^(oT^

^ ( ^ )

A^T^Úv^c

- s inc

\2n j

\H{CO

i

(Cút

sinc\

\ln

7. x /)

n

t

\ TJ

ylTlj

^coT^^) E^{co) = \X{cú)\

= r - s i n c ju l io s/H z

\2K j

E^(f) = T -sincîf-T) ju l ios /Hz

b)

^PN T

^ ^ ^^^ ^ ^ ^ 2;r -10 rad/s ó

B,^

=10 Hz

2K T

c)

E^ =

jx\í)dí

=

^\^dí=T

ju l ios

EÁf L. EM

T

2B,-EJn\

= £ , =>5 = ^ = — = — Hz ó « =2;r-500 rad/s

8. x(t)=kQe u{t)

XKx t)

^ í y ) = ^ o

1

^1 7¿y

23

P R OB L E MAS DE C OMUNI C AC I ONE S A NAL ÓGI CAS Y D I GI T AL E S



•S .

Martin Gon^k^, S. omás Pére^ Suáre:^ ]. R

Velá^qtie:;^

Mondónj R

Pére^Jiméne;^

E, o))=\X cof =

/ ; A

kf +0 ^

v ^ i y

1 +

-±

= EÁO

Ex(co)

a) 63^3: Será el ancho de banda para el cual la amplitud máxima de la

densidad espectral de energía cae a la mitad, ya que:

10 log

A„„J2

=10 log 2=3dB

Para calcular las frecuencias a las que la amplitud cae a la mitad, se aplica:

EAco \ E

(0)

^ÁîdB r — I —

^ 2

í \^

1+

í V 7

V k.

kJ

2=1+

a>

dB

k, j

B^jg

=

A:,

rad I s

co^jg

= ±^ ,

rad/s

24

PROBLEMAS DP COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Introducáón a ¡os sistemas de telecomunicación

Ex(co)

b) Para calcular

el

Bj^^jg,

se

aplica:

EÁcoX

l O l o g -

= Ld

EÁco)\

max _ 1 fi lO

=

10

En este caso, la condición será: E^{(X))\^^^ = 10 ° E^X^Lds)

=10'

•^ky

v^.y

1+

y ,

V

;i+l

V

-t,

Í

\2

LdB

^lO'o =><y = ±Á:,Vl0'0-

Ldfl — I

1 / flía/i'

B,^=kjw°-

1 rad s

• O

Ld B O) LdB

B

LdB

2 5

ROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES-



S. Martín Gon^áles^ S. omás Pére^ Suáre^ J. K

lê/á^í¡ue^

Mon^nj R.

Vérer^Jiménev^

c

Ex(f)l

•

Beq

Aplicando Parseval se puede calcular la energía E^ en el tiempo o en la

frecuencia. Haciéndolo en el tiempo:

£ =

\x\iyit = ¡ky'^ dí=k',^[e-^^ ]:

= : ^ julios

- t o

^ / v i ^ / C i

.4 ^

d

Ex(co)

9 0

E

i •

26

PROBLEMAS

DE

COIMUNICACIONES ANALÓGICAS

Y

DIGITALES

http://x/iyit

http://x/iyit



Introducríón a los sistemas de tekconnmicaáón

< *)%

9 0 ( £ J = —

\i\{co)dco

In

90 iEJ = 0,9E^

= 0 , 9 ^

1

2 ^

« sor. 9

^m, fu \

-«*«)%

iTT J I Á:, y

1 +

dco =

co do)

(Ca m bio de variab le: — = íy ' ;

——-dco')

: + (o) )

n k,

j i \ +

{co )

1

k'

n k

—Q.xa {p)g^Jk^)

k^

1

k^

0,9 - ^ = - f -arc/^(íy5oo/„

I

k,)

2k, n k,

cOg^/^

=

k^íg{K 0,AS) rad/s

^90

=6,3^1

rad/s

9. x(í)ê

2 /

T F

•^X(co)

EAcu) = \Xicof=\-

4 + £y'

\ 2

PROBLEMAS DE COMU NICACIONES ANALÓGICAS, Y DIGITALES '

7



S. Martin Gotií^áks;^ S. Tomás Pe're^ Suáre^ J. K Ve/á^que^ Mon:^0tij R. Pér e^Jimén e:^

a) lO log ' =LdB

lOlog 1

. 4 + í y L ,

= LcíB

201og

1 ± ^ ^LdB=>

1 ± ^ = 10 '» => co ^„ = ±2^10^'»

1 rad/s

b) Si L = 3 =>

c) Energía de la señal:

^w« =2 V 10 2' ' - 1 rad/s

B,j„

= 2 ^ 1 0 2 » - 1 = 1 2846 rad/s

2 1

= — ( 0 - 1 ) = - ju lios4 2

2^^.^^ / L.=^^ => B =

2EÁf)\ 2-1

0,25 Hz

10. x(t) = A ; / l e 9 í

a) Autocorrelación: R, ( r) = {x(í + r ) • x* (O) = (.4 • >l = .4 '

b) Potencia media:P^ =R^(0) = A^\(/

c) Potencia media:P^ = (x^(í)) = {A^) = v4^W

d) Densidad espectral de potencia:

P^(ú}) = r . F . [ / ? , ( r ) ] = r . F . [ ^ ' ] = y j '2 ; r J( ¿ y )W / H 2

e) Potencia media:

/'^(íy) = — \p^(a>)dú) = — \Á'2KS{o))dco = Á \S{(o)d(o = . 4 ' W

2;r

;r

2 8




Introdticáón a los sistemas de telecomunic ción

11.

X(ü))

p(t): periódica de período TQ => / ' ( O - .Z^'^/t^'''

a)

y{f)=x{t)p{t-) => Y o)= — X co)*Pico)

in

1 3 M

1n

k=-a.

A'=—eo

^(^) =

zl^k^ ^~

^ ^0 )

Aparecen réplicas del espectro de x(t) centradas en cada + koüQ y pon-

deradas por los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier.

b)

1 \

1^

To

c.r.=—( )-5o

r 1

T ~ 2

^9

ROBLEMAS D E COMU NICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin Gont^^ák^ S. Tomás Pére^ Suáre^ J. K Velás;gue^ Mondónj R. Pére^Jiméneî

Del problema 2, apartado d) se puede obtener directamente la expre-

sión de los coeficientes a]., sustituyendo T| por x.

«* =

sen

í \

k/r

T

•k^

:k=0

a

sen{k7r/2

-. -,k^0

kn

1/2 ;A:=0

1/2/h

Y(Q)

c)

y t)

>

Cüo

ZB_

Cüo

co

.2B_

• >

yf(t)

30

PROBLEMAS DI ; COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Introducríón a los sistemas de telecomunicación

\ñ\ m

COo

coo

©

Yf co)

coo

cao

« 1 = ^ 1

s e n ( ; r / 2 ) 1

;T 71

Y Acó =—\x{co

-

ÜJQ

+ X(co + 0 ^ ]

; ; ( / ) = - ( É ; > ' » ' +e-'' >')x{t) =-x{t)COSCOJ

Equivale a haber multiplicado la entrada por un tono.

12.

10

f(kHz)

C o m o G es ganancia en tensión, la ganancia en potencia será G^:

^ ^

= - ^

= 30dB =

lO'

N, N,G' N,

PROBLEMAS DE

C O M U N IC A C IO N E S A N A L Ó G IC A S

Y

DIGITALES

—

31



.V. Martin

Gon:(ále:(,

S. Tomás Pére^ Stiáre^, J.

R.

Veláîqtie^ Mon:^ónj

R.

Pére^Jtméiie^

1 N ]

^—^-2f

= 0 , 5 - 1 0 ~ ' - 2 - 1 0 - 1 0 '

=0,5mW

2 k ^ 2

2 k

S , =\O^N s ^Q,SW •

S^=kSs =2-0,5 = \W

<Xj:

atenuación total introducida por el cable

Sr 10 W

a,=-^ — — = \0 => 101 oglO £tó = 10£/i?

a-

j

cí km)

Or \OdB

d(krn) - — = ^ ,„ , ,— = 5 km

^ a 2dBlkm

32

P R O B L R M A S D E C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S Y D I G I T A L E S



c pítulo

anales analógicos paso

banda

modulaciones lineales



E N U N C I D O S

1.

L a seña l x ( / ) = 2 • cos ( íy ^ t ) + cos( 2¿y j^ t) m od ula en A M un a por t a do r a de

ampl i tud Ap=10 V de forma que la expres ión de la seña l modulada es

a) Ca lcule K para que la seña l modulada se encuent re en e l l ími te de la

s o b r e m o d u l a c i ó n .

b) Dibuje e l espec t ro de la seña l modulada .

c ) Ca lcule la potenc ia de la por tadora , de las bandas la te ra les , l a potenc ia

media to ta l y la potenc ia de p ico o de c res ta . (PEP) .

2.

L a seña l jc ( 0 = ^^ ( s en ( í y | t ) + sen( 2 íy2 t ) ) modula en BL U supe r io r a una

po r t ad or a de r ad io f r ecuenc ia. L a seña l m od ulad a se t r ansm i t e a la po ten -

c ia máxima de l t r ansmisor . S i és te t iene una potenc ia de c res ta P de te r -

mina r l a ampl i tud de l a por t ador a en f unc ión

de Ky P.

y^.

Se m od ula en BL UI una po r t ad or a de 3 V . con dos t on os no r m a l i zad os

de frecuencias f | y Í2 -

a) O bt en g a la exp res ión de la seña l m od ul ad a y d ibuje la t r an sfo rm ad a de

Four ie r .

b) Obtenga la expres ión de la envolvente rea l y a par t i r de e l la ca lcule la

potenc ia media y la de p ico de la seña l modulada .

3c

PRO BLEM A S D E CO M U N I CA CI O N ES A N A LÓ G I CA S Y D I G I TA U SS

-^-^



S. Martín Gon^le: , S. Tomás Pére¡^ Suáre^, J. K Veláûet^ Mon: ónj R

Vére:^]iméne: ^

4. Sea la señal de la figura do nd e la frecuencia de la m odu lad ora es de 2 kH z

y la frecuencia de la portadora es de 500 kHz.

a) ¿De qué tipo de modulación se trata?

b) Ob teng a la expresión del índice de mo dulación en función de V^ y V2.

Calcúlelo.

c) Calcule la potencia de la portadora.

d) Calcule la potencia de las bandas laterales.

e) Calcule la po ten cia total de la señal.

f) Calcu le la eficiencia.

g) ¿Se puede demodular la señal por detección de envolvente? ¿Por qué?

h) Si el valor de pico d e la mod ula do ra fuese d e 1,5 calcule el nu evo índi-

ce de modulación ¿Se produce sobremodulación? ¿Se puede demodu-

lar por detección de envolvente? ¿Y de forma síncrona? Razónelo.

En el diagrama de bloques de la figura f t) es una señal limitada en banda

a fjj Hz y p t) una señal periódica de la forma que se indica. El filtro paso

banda es ideal con ganancia unitaria en la banda de paso, se encuentra sin-

tonizad o a fg H z fQ^ l/Tg) y tiene un ancho de banda de

2i^^

Hz. Suponga

fo»fb-

P t)

—•

- • t

3 6

PRO BLEM A S D E CO M U N I CA CI O N ES A N A LÓ G I CA S Y D I G I TA LES



Canales analógicos paso banda modidaáo nes

line les

a) D ete rm in e s t), en función d e To y T.

b) ¿La salida s t) es una modulación? En caso afirmativo indique de qué

tipo y la frecuencia de la portadora.

c) Si de la señal p t) se pu ed e variar T, calcule para q ué valo r del ciclo de

trabajo la amplitud de la salida s t) es máxima.

6. Sea la señal f t)=sinc t):

a) Calcule su transformada de Hilbert en frecuencia F w) y dibújela.

b) Si f t) es la mod ulad ora en una m odu lación en Band a Lateral Ú nica

Superior d on de la frecuencia de la po rta do ra es fp H z, indiqu e la expre-

sión del espectro de la señal modulada y determine la expresión de la

señal modulada en el tiempo.

^^Considere el siguiente receptor de señales QAM en el que existe un error

de fase respecto de la portadora recibida en la señal generada por el osci-

lador local.

X|s t)

yQAM t)

X2s t)

a) Obtenga la señal a la salida de cada uno de los canales. Comente el

resultado.

b) Comente en qué casos será posible recuperar las señales moduladoras.


7



.V.

Marlin Coii^áles^, S. Tomás Pére ^

S iiáre^f

J. R. Velás^cjne^ Mondón j R. Pére:^Jiméiie:i

^SC^Dado el diagrama de bloques de la figura:

f t)

donde f t) está limitada en banda a {^ Hz y p t) es una señal periódica de

frecuencia f Hz .

a) ¿Qué condición debe cumplir fg para que no se pierda la información

de f t)?

b) ¿Qué expresión debe tener H w) para que el sistema actúe como un

genera dor de D B L con porta dora f ? ¿De forma ideal, qué se debe hacer

para cambiar de portadora y qué posiciones espectrales se pueden

tomar?

c) ¿Qué característica debe tener H w) para que la señal a la salida sea

f t)?

d) Obtenga la respuesta impulsiva en ambos casos.

9. Sea el diagrama de bloques de la figura:

Si el espectro de x t) está limitado en banda a (^ Hz, y w»-w^:

a) Bosqueje el espectro de z t). Considere sólo los cuatro primeros tér-

minos de la serie de potencias.

b) A partir de z t) y con un filtro adecuado ¿se podría generar una modu-

lación de amplitud de x t)? En caso afirmativo indique el tipo de filtro,

sugiriendo una característica de transferencia en frecuencias, e indique

el tipo de modulación que se obtiene.

38

P R O H L R M A S DI - COMUNICAClONlíS ANALÓGICAS Y DIGITAU-.S



Canales analógicos paso banda: modnlaáones

line les

Sea el diagrama de bloques de la figura

^

^

F.P.

Bajo

—&

^2

X9

'

Acos(w„t+6)

71

2

1

;v>

F.P.

Bajo

—

^2

Í>

r

a) ¿Puede ser empleado como demodulador de señales DBL? ¿Por qué?

b) ¿Y como detector de señales AM? ¿Por qué?

c) Indique cómo influye el error de fase 9 en ambos casos.

11. Se transmite una señal modulada en DB.L por un canal con ruido blan-

co de DEP P„(f)=No/2=0,5xlO-8 W/Hz. La moduladora f(t) está l imi-

tada en b anda a 4 kH z y se precisa una RSR a la salida de 30 dB. El rece p-

tor está compuesto por un filtro paso banda ideal a la entrada y un demo-

dulador tal que cumple que la relación señal a ruido a la salida es el doble

que la de la entrada. Se desea conocer:

a) Potencia de la señal recibida.

b) Potencia de la señal transmitida si el canal introduce una atenuación

de 40 dB.

\2^La señal de entrada al- detector síncrono de la figura es

y

(t) = [>^/+ ^™ ^. (0]c os(W pt) - A „x(t)se n(w ,^t) + n(t)

yR t)

Fil tro paso

banda idea

iÛ6^J5I

Fil tro paso

bajo ideal

(D) .yoCO

B ,

Ko-cos(Wpt)

B

(S/N)s

do nde x( t) es una transfo rmac ión lineal de la señal x(t), n(t) es ruid o blan-

co con densidad espectral de potencia P^(f )=N o/2 W /H z , B j es el ancho

de banda de la señal de entrada y B es el ancho de banda de la señal

l'ROliU-MAS DI-, COMUNICACIONI-.S ANALÓGICAS Y DICITAMSS

39



S Martin

Goniiáles^

S

Tomás

Péret^^

Suáre:^^

J

R. Ve/áîque^

Monr^ny

R.

Vére^jiméne^

moduladora x(t). Se supone que el filtro paso bajo además bloquea la

co m po ne nte contínua. Ob teng a la relación señal a ruido a la salida (S/N )5

y particularice los resultados para los casos de AM, DBL y BLU.

13 . Un transmisor puede convertir en potencia media de señal modulada Pj,

el 30 de su co nsu m o. Si éste es de 1 kW, se m odu la con do s tono s de

igual amplitud, la atenuación de propagación es de 40 dB y Pn(f)=

N Q / 2 =

0,5-10-9 W/Hz, obtenga:

a) Potencia de las band as laterales en el caso de em plear A M con m = l .

b) Potencia media en el caso de modulación en BLU.

c) Potencias de cresta en los dos casos anteriores.

d) Si se utiliza una señal vocal con potencia media (x^^(t))=0,2 W y

ancho de banda B=3 kHz, ¿cuál de los dos sistemas descritos resulta-

rá más apropiado?

14. En un s i s t ema de modulac ión l i nea l , l a po t enc i a de p i co de l t r ansmisor

es de 50 W, la a tenuación de l medio es de 60 dB, la densidad espect ra l de

po t e nc i a de r u i do P n ( f) = N o / 2 = 1 0- ^ 2 W / H z , la po t e nc i a m e d i a de la

m o d u l a d o r a ( x ^ 2 ( t ) ) = 0 , 5 W y s u a n c h o d e b a n d a B = 4 k H z . E l d e m o -

du lad or de l rec ep tor es s ín cro no y los f iltros d e pr ed etec c ió n y po std e-

tección son los de la figura:

t |Hpred(f)l 2B

10^

^

• 10

^ f

fp

B 8

|Hpos,(f)l'

5BM 3B/2

-^ f

HaUe las potencias de señal y ruido a la entrada del demodulador Sg, Ng

y las relaciones (S/N)£ y (S/N)s para :

a) U n sistema de AM con índice de m odu lación del 80 .

b) Un sistema de DBL.

40

PROBLIÍMAS D E C0MUNlCAC10Nn.S ANALÓGICAS Y DIGITALES



anales a nalóffcos paso

banda:

modulaáoim lineales

15.

El sistema r ece ptor de la figura contiene un de tector de envolvente de

AM.

i2

© •

H p f )

Np

Det. Envol.

y F, P. Bajo

(S/N)s

—

/^ |Hp(f)r

1

nít)

2B

•

f„+2B

Calcule el valor mínimo de potencia de señal recibida para que esté por

encima del umb ral y obten ga la expresión de la S /N despu és del filtro de

predetección.

Densidad espectral de potencia de ruido, Pn(f)= N Q / 2 =-110 dBm/Hz

Ancho de banda de transmisión B-j-=6 kHz.

16. Una emisora de ond a media y mo dulación de amplitud radia una señal

de anchura de banda B=10 kHz, potencia de moduladora

{y.^{^)-Q,

W, índice de mo dulación m =0 ,85 y con una poten cia media transmitida

de 10 kW. La densidad espectral de potenc ia de rui do en rec epc ión es

P„(f )= N o /2 = 10 - W /H z .

Un vehículo que tiene sintonizada esta emisora penetra en un paso sub-

terráneo. En el interior del mismo la atenuación de propagación varía

con la distancia según la ley:

A(dB)=ao+ ai-d(m), ao=10 dB, 3 = 1 /3 dB /m

Calcule:

a) La relación (S/N)3 en el receptor al entrar en el paso si la atenuación

de propagación en ese punto es de 80 dB.

b) Atenuación de propagación para la que se estará en el umbral de

recepción.

c) ¿A qué distancia dentro del paso dejará de oírse la emisora?

17 . Se tiene un transmisor cuya potencia máxima disponible es PEP=1 kW

La señal moduladora es un tono de 3 kHz, la densidad espectral de poten-

cia de ruido en recepción, Pr,(f)=

N Q / 2

= -100 dB W /H z y la atenuación

de propagación en función de la distancia A(dB)=53+20-log(d(km)).

l

PROBLEMAS DF. COMU NICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALE S



S. Martín Cons;ále: , S. Tomás

Péret^

Suáre^ J. R. Ve áî¡ue:i Mon: pnj R. Pére^Jiméne:^

a) Si se efectúan modulaciones AM con índices de modulación

m=0,3 ,

0,8 y 1, obtenga en cada caso la relación entre potencia de las bandas

laterales y la total. ¿Cuál será más eficiente?

b) Si la relación S/N )3 mín ima de seada es de 23 dB, calcule en cada caso,

la máxima distancia a la que se debe situar un receptor para obtener la

calidad deseada y efectúe los comentarios pertinentes.

42

PROBLEMAS DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaciones lineales

S O L U I O N E S

1. a)

La condición para que no exista sobremodulación será que la envolvente

real

eîj^t

sea mayor o igual a 0.

inití • =U +K-x{t)\

zo

A+K -x{í)\ .

=0 =>

A:

= -

^ ^ mín

Para calcular x(t)^j^ se deriva x(t) y se calcula el mínimo.

dx{t)

di

= -2a „ sencoj + senlcoj) = O

senco t + senlcoj - senco i + IsencoJ • eos coJ= sencojCi + eos a>J = 0

Soluciones:

senco J = O

l + 2 c o s í y ^ / = 0

cúj^0,7r

In

coj=0 -> x{t) = 3

coj -n -^ x t) - - 1

oJ^±

n

x 0 = -3 /2

K

10 20

x /)| . - 3 / 2 3

CúJ ~ a r c c o s ( - l /2 ) = ± —

> >

x{í)\ = 3

x í)\ . = - 3 / 2

43

P R 0 HU MAS DE C OMUNI C AC I ONE S ANAL ÓGI C AS Y

DIGIT IJiS



.5'. Martín on^ále^î S. Tomás

Pére^

Suáre^ J. K

Ve/á^gíie^

Mondónj R. Péres^Jiméneti

La expresión de la señal modulada será:

x(0

yAM{t) = A,

1 - -

(Ol .

COS f t >p

b ) ; ^ ^ ( 0 = ^ p C O S ¿ y ^ / -

x í)\ ^ n, J p

40 20 ^

= 10cosíy„/+ — coscoJ coscoJ

cósicoJ

• eoscoj

= 10 eos ¿y/ + y [cos(íy^

+coJt+

cósico^

-o)Jí] +

+

Y

[cos(íy^

+ <y„ )/ + cos(íy^ -

2co^ )t]

í ' ^ (íy) = 10^

|<

( « -

<yp)

+ ^ ( ¿y +« p) J+

20

+ Y^[î ^- i^p+o>J) + S ca + co^+cDj) +

+ S co- co^ -coJ) + Siú) + ico -ü)J)] +

+ — 7r[ó co- co^ +2coJ) + Sico + co +2coJ) +

+ S co- o)-2coJ) + Sicu + i o-2a>J)]

T T

YAM(CÚ)

t

k.

IOTT

2071/3

1 0 T I / 3

Cúp-2(0n, COp-COm COp CÚp+COm COp+2 C0n, CD

c) P =-Al = - 1 0 ' = 5 0 Pr

-í^ 2 2

^ = 2 - - -

1 r20^ '

+ 2-

1 no^

V -í y

55.6íf

V -5 y

44

PROBLEMAS DE COMUNICACIONES-ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso

banda:


PT=P,+PBL=10MK

PEP

=

-

2

x í)\

1 ^

-îmax

V

x(/)|

min /

10

- 3 / 2

30

=

450W

2. x{t) = K{senco^í + senco^t)

=>

x{í) = K{-cosco^t-cosco^t)

x{t) : Transfo rmada de Hilbert

ysLusiO = K{senco^í + senco^t)

•

A^

cosco^í-K -eos O^í-eosCÚÎ)

A^sencOpí

-

K •A^{sena^t

+ senco^t)eosC0i,t +

K

•A^ COSÜ>¡Í + eoscoÔsenco^l

Xj.{t) =K ApisencOft+senco^t), x^{t) =K

•

A^{eos(ü^l + eosco-^í)

, 2

FEP=-{e,(t)lJ

=-yx}it)

+ xlit)

el{t) = xj(l) + xl(l) = K^ Alasen O) t + sen cú^tY +K^ Adieos co^l + eos co-^tY

= KÂ^^{sen^ú)^t + sen^cú.¿í +2senü)¡t senco^í +

+ cos íy. /+cos^ co^t +2 eos ¿y,/

COSÍÜJ/

= A: y V2 + 2cos(íy| -a^) )

^««

:(/)| Â-K^'Al

p=-el{t)\ =-AKÂ

A j^^

3. a)

x(t)

= eos ú)^t + eos co^t

x t) = senco^t

+

sencú^t

ysLuÁ^) = c•osú}^t + cosco2t)

A

coscoJ + senco^í +sencOjí)

Asenco I

Y B L U I « )

\

>

COp-OJ] úp O

0p- Ú2




S. Martin Cons;áles S. Tomás Pére:^

Suáre: ,

J. K Ve/á^gue^ Mondónj R. Pére^Jiméne^

b) Xj. í) = A^ cosú)¡t + eos o^t); x^ t) = Ap{sena),t+senü)2t)

el t) = xj í) + xl í) = Añicos co,í +eos co-^ty + A],{sen(o l + senco^íY =

=

A^^ cos^

co^l

+cos^

ftíj'

+ 2cosa>^( cosco^t +

+ sen^co^( -Vsen O)-î + 2sena>^í sencojt) -

2/1^(1 + cos(íy |

-ü).j)i)

e„(/) =

42A^y¡\ +

cos{co^

-a>^)t

2A.

^ = \{el 0) = ^ { i i + cos co,-co,y)) = Al=9]V

1

2A^

PEP=-el t)\

^ ^ \ + l) = 2Al=\SW

4. f^= 2 kHz

fp= 500 kHz

a) Es una modulación AM.

b)

1.5

0 5 .

V^=A„+A^ A^=iV,+V,)¡2

V.=A^-A„\ A„={V,-V,)/2

^^^Â„ ^{V,-V,)I2 JV,-V,)

A, y,+V,)l2 ( F , + F , )

m = i ^ — ^ = 1/2 = 0,5 |w = 5 0

1,5 + 0,5

^) P,=\A] •A^={V,+V,)I2=\V

P^^0,5W

46

PROBLEÍMAS D E COiNIUNICAClONES AN ALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaciones lineales

d) y MI OÂp eos co^í + A^ eos cojcoso}/ • A„= V,-V,)/2 = 0,5V

1 / , . . , \ 1 Al (0,5)^

Ps.=i: iAôoso>jy)=^^ = = 62,5 mW \P,,=62,5mW

2

2

e)

PT

--P^+PBL 562,5 mW

PBL ^ 62,5 ^ o j i ^ i j o / ^

PT 562,5

g) Sí, ya que no es tá sob remodu lada .

h)

A =\,5V => » i = ^

= l ,5=150 >100

1

H a y s o b r e m o d u l a c i ó n .

P o r lo t a n t o , no se p u e d e d e m o d u l a r por d e t e c c i ó n de envo lven te , pe ro sí

de forma coherente .

F(a))

COb ü

±

2cOb

.H(co)

±

CDb

o

a) s t) = ?

/.(0

/ (0 -K0

r/-

P{ o) = 27râ^5{ü)-ka)Q) ; íy =

2;r

A^=-oo

«* =^Pnp ^)

co=kcDa

P„p(oo): T.F. de la señal no per iód ica a par t i r de la cual se forma p t).

47

R O B L E M A S DE


Y

DIGITALES



S. Martin Gon:(ále S, Tomás Pére^

Suáres^,

]. K . Ve/á^quez Mon^ny

R.

Péres^]iméne¡^

P.,M

Y\\-

^.,Â

CúX

a.

T -smcx

\2KJ

üi=kúja

( 2n ^

a^ - — r sinc

In

sinc

^ *=-»,- o V - lo / • o *=-« V J Q /

^ F S C D )

sinc -T / To) sinc T / To)

• ^ r7\

JCúo

-2(üo

coo

2cúb

Cüo

2cúb

2COD

co

Si o

= -

sirte

yToJ

f

Fiú)-ü)o) + sinc - — I F{ü + ü o

o-

L

sinc = sinc

T

V

^0-'

S{(o)= — sinc

—\{F{(Ü-CO^)+F{CO + Ü}J)

o ^ • 0

VT

f \

siO^^sinc ^\{f(t)e^'-' +f(t)e-'-'') = 2^sinc ^ f(t)cosco,l

\TJ

48

PROBLEMAS

D E COM UNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales a nalógicos paso banda modtilaáones lineales

b) Se t ra ta de una modulac ión en Doble Banda Latera l s iendo la f re -

cuencia de la por tadora fo=

/ T Q

H Z .

c) s (t ) se rá má xim a cu an do — sinc

• o

sea máximo.

Para el lo se calcula la der ivada de este término.

sen

7t-

T,J

T

n—

T

2

— sen

n

f \

T

d_

dr

í

•sen

K

n—

2

n •

= - eos

TTT^

T

n —

T

= 0 => n— = ± —

r„

2

r 1

1 -

= A = 50

6. f(t) = sinc(t)

a ) F ( í y ) = ?

/ ( / ) : T r a n s fo rm ad a d e Hi lb e r t d e f (t ).

F{úS)

:

T r a n s fo rm ad a d e Fo u r i e r d e la T ra n s fo rm ad a d e Hi lb e r t d e f ( t) .

•/•/ •

fc T^

I => T

-smcl

.2;r>

n

- > r swq •

\2K.

T •sinc\ ^ ^ \ — ^ ^ — ^ I K - Y ^ —

-<Í) -^fn f

T ~1K => s mc{t) - ^ n —

\2n.

co

F ( í y ) = - 7 S g n ( í y ) n

^ co^

\2nj

F{w)

co

27t

-7l/2

ZF(M>)

7t/2

co

9

ROBLEMAS DIS COMU NICACIONES ANALÓG ICAS Y DIGITALES



S. Martin Gons^ále^ S. TomásPére^.Suáre^]. R . Velá^qiieí;^Mon^ónj.K. Péres^Jiméne^

b) yBLus 0

=

f 0cosco/-f t)seníOpí

^Bwsi^)

=

i^fi^)*^[S{co+ co )

S(¿y -<y ) ] -

¿TT

- J^^^^^ ~ JS8n(<y))*> k{.co

o}^)-5{cü-a^)] =

= - [ f (üJ +

<yp ) 1

- sig w + Wp)) + f (íy -

©^ ) 1

+ 5/g(w - yv ^))]

1/2

•

J

co

. YBLUSCO)

(Br, COo+H

CO

í'Bi(ys(f'^) = n

n

+n

'6; + (¿y_ +MI2)

n

fi

1

¿• {¿J^^nlvJ ; =^ ^ ^ M z

yBLusiO = 2

^ ^^[2 J ^

2

[ 2 /

2 1

^'BLUSCO = 5//7cl - |cos(ía^ + ;r / 2)/

-^n[f

7. ;ê^/(0 = x,it)A^cosa^ t

x^{í)Apsena^t

a) Rama superior:

= -^x, {l){cos 2a) ^1 0)

cos6l)+

—^ J- {t)isen{2 o/ d) sen{-6))

A A

x„(/) = — ^cos(9x,( /)

-sen0x.,{l)

SO

PROBLEMAS

D K C O M U N IC A C IO N E S A N A L Ó G IC A S Y D IG IT A L E S



Canales analógicos paso banda: modulaáones lineales

Rama in fer ior :

yQAt.1 O • sen{a^t + 6») = A^x, {l)co co^l • sen(co^t + 0)+ A ^x, (l)semú ^1 • seii{co^t + 9)

= -^x,(l){sen{2a^t+0) + sen )+-^x._(/){cos0 -cos(2o}^t+ 0))

x^^{t)--^sen6 •x^(t)+— ^cosd -xîO

Las dos señales moduladoras aparecen mezcladas a las sa l idas de ambas

ramas , depend iendo l a ampl i tud de l e r ro r de f a se comet ido .

b ) So lam en te s e rá pos ib le r ecup e ra r l as mod u la do ras s in que apa rezca n

mezcladas cuando e l er ror de fase sea múl t ip lo en tero de n/2.

e

X , s ( t )

X2s(t)

0

x,(t)

X2(t)

n/2

-X2( t )

x.(t)

71

-x,(t)

-X2( t )

371/2

X2(t)

- x i ( t )

8.

f t) . / J \ fs t)

P(t)

) fÁO=f(0-p(í)

T

¿n

P{co) -2n¿_â^d {co -ka^)

=-

I ^ » j

Fô)) = -— F((jD)*27r'â^S (ú) - kcoj = â^F(co)*S

(CD^-

kú)J

¿ = -0 0


51-



S. Martín Cons;áles^ S.

Tomás Péret^

Suáre^ J.

R. lê/á^que^

Mondónj K PéretiJiméne^

a.i

Fs(co)

^

CDb COs-COb

COs

o

Para que no se pierda la información, los espectros no deben solapar-

se y ello ocurrirá cuando:

fi^.v-^6^^í, =^

/ , ^ 2 / ,

b) Hay que hacer un filtrado paso ban da, cen trado en

(O^

y ancho de band a

2cOb.

Hiú n

V

2ú , J

u

<y íy..

V

2co^ j

Para cambiar de po rtad ora hay que cam biar la firecuencia do nd e se cen-

tra el filtrado. E sta s frecuenc ias serán los m últiplo s e nteros de COg: ±

2a>s ± 3CO3...

c) Se debe realizar un filtrado paso bajo.

/ / ( íy ) = n

^ « ^

v 2 í y J

a —-sincl —-

2n \ln.

TF

^

n

V5

Para el caso del filtro paso banda:

//(¿y) = n

Ico

r \

CO-CÚ

V Ico.

n

^

ú

+ co}

2co,

m

1K

•smc\

i Ico

In

M(e^ ' ' '+e-^' - ')

52

PROBLEM AS

DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaáones lineales

Para el caso del filtro paso bajo:

H{(ú) = n

^ co^

v2íy,y

h(t)-

sincl

1

2;z"

\ 2n J

- siná

n \ n J

9. a) z ( 0 = e - " " ' - l

y{í) =x(í) +eos 0 ^1

u

/ O

y\0

Desa rrollo en serie: e" ' = l + v ( 0 + + +•••

2

3

7 ( 0 = 1 + 3 ^ ( 0 + ^ + - 1 =

=

x(t)

+

CCS

¿y /f +

—

(x(0 +

CCS cOpíf

+

—

(jr(/) + e os

co^íf -

- X(t) +

CCS

CÜ^Í — {x^(t) 2x(t)

CCS

CO^t + COS^ ^ ^ 0 +

+ —[x^(/) +3x^(1)coscopt +3x(t)cos^ co^^t+cos^ ^p ) =

"•,

= x(í) + eos co^í+—x^ ( /) + x ( 0 eos co^t + - (l + eo s 2co^/)

+ -x\í) — x^ (í)eoscoj

+—jc(/){l + e o s

2 c o j )

—

3 eosfij,

/ + eos3 íy /)

Z co)

X ü)

zn

COp 2cOp

3cOp

O

PROBLEMAS DP. COMU NICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

53:



S. Martin Gon^^á/e^g S. Tomás Pére^ Suáre:^ J. R. Velátûe;^ Mon:(ónj R. Pére^Jiméne^

b) H acie ndo un filtrado pasoban da en 2co con anch o de banda 2(ü^ se

obtendrá una modulación AM.

H(cü) = U

(0-2(0.

2(o

n

b J

(0 + 2(0,

V 2í y , y

r ( / ) =—cos2 íy , /+ —Jc( / ) cos2 íy /

r(t) = - (l + A-(/))cos 2(0 pí

10.

a) Para ver si puede d emo dular D BL , suponem os una señal modulada en

DBL a la entrada y vemos qué ocurre a la salida.

R a m a s u p e r i o r :

^ m ^ . C O c o s í y / 005(6;^/ + ^ ) = ^ x „ ( / ) [ c o s ( 2 í y ^ / + ^ ) + c o s ^ ]

D esp ués del filtro pasobajo: —

—x^(t)cosO

A

^

Después de elevar al cuadrado: — ^ A ^ ( / ) C O S ^

Rama infer ior :

An,x,„{t)cos(0^t •sen[(o^í e) = -^x^{t)[seni^(o^t e) sene

]

Después del filtro pasobajo: —^X^{í)sen6

A

^

D esp ués de elevar al cuadra do: ——x {t)sen9

A la salida queda:

yXC)^±i\^X^{t)

COS^^+ - f ^ . ( 0

sen G^±^\xSi1\

No puede demodular DBL porque sólo disponemos del módulo de la

señal moduladora.

5 4

PROBLEMAS DF. COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modtilaríones lineales

b)

Rama superior

I

\

^

„

(l + " í • m (O )

r \ 1

^pO + '" •^m(0)cosíyp / -cos^íy^/ +(9 j = —í —^[cos(2íy^/ + 9 j+ cos(9 J

/ (l + w -x „ ( / ) )

Después del filtro pasobajo: — c o s

Después de elevar al cuadrado:

Rama inferior

A^^^m-x^t

cos'^

/ \ í \ '^B(I + '" •^m(0)r \ 1

/Ip 1 + »i x^{í))zo o}pl senycOpt 6 ) = —^ [sen\lcú^t 6 )+send \

Después del filtro pasobajo:

Después de elevar al cuadrado:

A la salida

queda:

^p(i + w-x„(0)"

senÔ

V ^ y

sen^

x, 0=± .

A.^ + m-x^í

cos^(9 +

Áî^ m-x^t))

serijo

=

- ^ ( l + m . x „ ( 0 ) = ± - f | ( l + m -x„( /) |

Servirá para demodular AM siempre y cuando la señal no esté sobre-

modulada, ya que en ese caso el término (l+m-Xj^(t)) es siempre posi-

tivo y al tom ar el m ód ulo no se perde rá x(t). El dem od ulad or funcio-

nará como un detector de envolvente.

c) En ambos casos 0 no influye en nada.

P R O B L E M A S D E C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S

Y

DIGITALES



.y.

Martin Con:(ák^ S. To más Pére^ Suáre^ J. R. Velá^que¡^ Mon^nj

R.

Pére¡^]iméne^

1 1 .

.X(0

r\

r,,=4 kHz

Tx

Medio

n l)

S/N)

Dem.

(S/N).s

a)

^ -^ •

.Pne(f)

4 ^

2fh

Nn/2

^ f

N.

N^ N

-If,

= 1 0 ' - 2 - 4 - 1 0 ' = 8 - 1 0 - ' í f

Í5.

GP =

/ c^

KNJ,

1

^ cA

KNJ,

\0

s =

^1.]

.TV =121.8.10-^ ÍT

\Nj, 2

S^=4 \0- W

b)

a=40dB = \0 -

« =-- f ; - H =-^^

5^

=a-S^

= 10 ' •4-10- ' =400PF

5 6

PROISUÍMAS DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaaones lineales

12 . A la salida del filtro paso banda, el ruido será una señal paso banda.

y^

O = {A + ^„A:„(/))cosíy^/ - A„x{t)sen(o^í +

n^^

(t)cosco/ - n^ (í)senco/

yn

O = D

(A

An,x„, O + rip (O)cos ' co^t-k^

{Aj(t)

n^ {í))senco/

eosco^t

cosaco / = — l + cos2íy„/)

1

senco t coscoí -—serilcoj

P 2 '

Señal: s^{t) = '^x„{t)

;^D(0=^k^JO .(0]

Ruido.

n^{t)

=

—np.{í)

Las potencias de señal y ruido a la salida son:

A M

.PnA(f)

J_

2B

No/2

2 B = B T

^ f

BT = 7.B = B y

í.^fí

{n\t))={4{í))^2 \ ^df = 2-^-2B = 2N,B

/; -«

^S^

N

koA^

D _ v _ f _ y

V' y.v D

- I f I 2KB

- ^ ) . Al{xl 0)

2N,B

^ ^

N

Al{xliO)

v^' y,v

2N.B

57

P R O B L E M A S D E C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S Y D I G I T A L E S



S. Martin Goi ^á/e:(, S. Tomás Pére:^ Suáre:^ J.

R.

Velá^tie:^^ Morrión y

R.

Pérei^Jiméne^

DBL

4, = 4 = 0

B-j. = 2 B =

B^

{nlit))

= 2N B

S^

vAÂv

^D-^^m

^ ^ ^ Al{xliO)

2N,B

\ ^

{-

_ Al{xliO)

, 2N„i?

2N,B

BLU

P n A f )

^

A,=0;A^=A„

1 m n

Bj- =B =B¡^

/ \ /

\ p N

/ 2 ^ ,^ \ / 2 ^ , s \ ^ r • n I /-

. M

N„/2

fó fc+B ^

(«^(/))=(«^(/)} = J ^ = 2- i^-5 = A „5

/ .

f ^\

vÂ

2

- ^ ) 4(x-(/))

^ 1

N,B

N,B

8

PROHU MAS D I ; COMUNICACIONI ;S ANAI ÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modiilaáones lineales

13 . a) AM, m=l

p.^ = 30 % de kW = 0.3 • 103 = 300 W Potencia de señal transm itida

Modulación con dos tonos de igual amplitud:

A X t)

=

A eosO),t +eoscoj)

(N o está norm alizada)

3 M (O = K + ^m (eos íy ,/ +

CCS íy

2/)Jcos

¿Up/

m = \ => A A„ eosü),í cosO)JJi

= 0

[cosa)

^t COSCO

J\

= - 2 (Se ha supue sto que am bos tonos alcanzan

su valor mínimo simultáneamente)

A„-2A^

= 0 =>

A^ =^

yAMÍO = ^p

+

—

(eos ft),/ + e os

co

j / )

osíOp/

= A COSCOJA—^(eos¿y,/í+ eosíy,/)cosíy„/ =

p p -^ ^ I

^ ^

p

A A

-A

, eos íy„ /+—êos( íy„

-\-co,)t+— ^cos ü)„ -co,)t +

P

P A ^ P 1^ A ^ P ^

A A

+—êos( íy

-^-co.y

+—^cos(¿y

-co.y

4 4

La señal está constituida por una po rtad ora de amplitud A y cua tro

tonos de amplitud A /4 que constituyen las bandas laterales.

p =ájL- p

= 4 -

r A \

V 4 y

.2 j2

A: A:

PT-PF PBL- 2 + 8 8

Al=-iOOW

=>

A = 4 ^ = 2\,9V

L

^^60W

• Pp = 4 W

59

ROBLEMA S DE COMU NICACIONE S ANALÓG ICAS.Y DIGITALES •



.5 .

Martin Con:^ále^

S.

Tomás Perecí Suáre^ J.

K Velá: í¡uet^

Mon:(ónj

R.

Péres^Jiméne:^

b) y j) =

A„x{í)

e o s

co^í

-

A„x{t)sen(Opl

; BLUS

\P,=P,,^3Q0W\

(^m(0) = ( ( cos íü |/+cos<y2Í ) / = (cos^ ¿y, /W /cos^ íy2/ \ + (2co s íy | /

-cosco^t)-

=

—I 1-0=1; Se cumple que

{icosco^l •coso)^t\

= 0

A^ = V 30 0 = 17 , 32 K

= -i;iA^y =2Al

= 2 - 4 8 0 = 9 6 0 W ' ; Se cumple (cos íy , / - t -cos íy^/) ^^

P E P L , ,

= 960 W

PEPL,„ =-{^Ál)lJ =-lÂlxl 0

+ Alil >)

=

^{xí(>)

xiil)\

=^^[{cosco,í+coscü,lf+{senco,l+senco,iy]

-

2 'Imax 2 Tmax

=

—^cos^<U |/+Aí;w^íy|/+cos^ co-^l +sen^(0.2l +2cosü)¡l -0050)21

+

+ 2Aí;n<y,/-A'e/Jíy,/ = — ^ | 2 - I - 2 C O S ( Í U , - ¿ y , ) ' =

¿

Imax

2 I'

Imax

= _ : L 2 + 2 = 2 / / ' = 2 - 3 0 0 = 600H^

2 i J

Debido a que cos^ ú)

t

+ sen^

¿y

/ = 1

2cosíy,/

•COSCO2Í +2sQncú^t

sena;2^ =2 cos (íy ,

-a>2)t

P E P , , „ = 6 0 0 f f

6 0

PROBU-.MAS

DF. COMUNICACIONES ANALÓGICAS

Y

DIGITALES



Canales analógkospaso banda: modulaáones lineales

d)

(S/N)p_

A M

2B

Pne(f

No/2

2B

A ^ ^ = 2 ^ 2 B = 2 A ô 5= 2- 1 0 - ' - 3 -1 0 ' = >t^W

A

P , = - ^ ^ ( l + ^ ^ ( x ^ ( 0 ) ) = - ^ ( 1 + 1^-0,2)=^^-0,6

=

3 0 0 f r

A,,

= V 5 0 0 = 2 2 , 3 6

F

1

, 500

P,, =-A]

=

= 250H^

/

2 '' 2

BL

P 2

{4(0)

500

•0,2 = 50PF

es Ja potencia de señal enviada

=>

o r. =

—

= :—

30 mlV

^

^ ^ a 10

/ c

yNj,

S^ Pjla

3 0 - 1 0 ' , „ ^ ^ ^^ , „

^ ^ = ^ = = 5000

31 dB

N^ 2N B 6-10 '

c

vA^y v

= GP

^

c

KNJ,

m

= 2

•{^(o)

i + (^™(0)

r Q\

\N^,

32,2

c/B

61

PR0BI,EM/\S DB COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITAUr.S;



,y.

Martin Gon^le:(¡ S. To más Pére:^

Suáre ^¡

]. K. Veláîie^ Monjil j

R.

Pére:i]iméiie;i

BLU

^ P n e ( f )

No/2

^ Pr P,u

300 íí^ , ^ „ ,

T

f

« a

S¡;

_P^/a

_ 3 0 1 0

y£-

A^. A^„B 3-10

3

f o\

- = 10 =40dB= —

UJ.v

Como no nos dicen nada sobre el tipo de demodulador empleado, supo-

nem os un dem odulado r síncron o y me dimos la calidad m ediante la (S/N)^.

El sistema más apropiado será el de BLU ya que presenta la mayor rela-

ción señal a ruido a la salida.

1

4. a)

Sistema AM con un índice de modulación m = 80

SR

( S / N ) E

S/N)s

Medio

a

Demodulador

s íncrono

Filtro de

n( ' ) predetección

Filtro de

pos tdetección

PEP=^{e,iOlJ

=l(^^(l + .,.x„ ,(O Íj

=\^l('+ ^y

Z

1,0

P,. =\Ali^^ (xl{t))) =

\'^-0,S^

. 0 , 5 = 4 , 9 3 P F

1 ,2 1 100

P = A l= - =

1 5 , 4 3 ^

' 2 ' 2 1,8 '

62

PROHU;MAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modiilaáones

line les

Pj = 2 0 , 3 7 ^ ^ = 5 7 .

En la potencia transmitida se incluye tanto la potencia de señal como la de

portadora, no transmitiendo información esta úldma. Una vez se demo-

dula en recepción, la potencia que se recupera de señal será la fracción de

potencia de las bandas laterales respecto a la potencia total.

Ê ~ p '^^BL

o _ o

^ L

_ o

i]w{^Át)))

p

l4 l+ . ;^ xf , 0»

ip^H^liO))

93

Ss = SE I ^ '\ \ = S,, - - ^ ^ ^ = S -0,24 = S - 24%

•

'(\+m'{xlQ)))

20,37

A la entrada del filtro de predetección:

5

5 „ = ^ ^ ;

«

= 60 ¿© = 10'

a

20 37

S^

=.^^

= 20,37 jufV

' '

10 .

Potencias de señal y ruido a la salida del filtro de predetección:

B

>^r

A la señal no le afecta el filtro ya que el ancho de banda es mayor que el

de la señal modulada. Introduce una ganancia de 10 *.

' ^ z r = ' ^ « - | ^ „ w ( / ) f = 2 0 , 3 7 - 1 0 - ' - l O ^ W

SE = 2 0 , 3 7 - 1 0 ' W

63

PROHI.BMAS D E COMUNICACIONI-.S ANALÓGICAS Y DIC;iTAU-.S •



,5'.

Martin Cons^áles ¡ S. Tomás Pére^ Siiáre^ J. K . Ve/á^gae^ Mondónj R. Pére^Jiméne:^

La D.E.P. de ruido tomará la misma forma que la del filtro:

(No/2).10^ ^'^

N

2

B

2 5 —

V 8.

= 2- 10 -10 '

2B

4Í17

8

4 - 1 0 ' W

N^ =\ 7-\0-^W

20 ,37-10

NJ, 1 7-10-

2

= 1198 ,23=30,78(3©

A la salida del demodulador:

10

l 1 2 5 B

I Hpo„(f) I

-^,

1 25B

El filtro de postdetección tiene un ancho de banda tal que no afecta ni al

ancho de banda de la señal ni al del ruido.

/ cA

N)

P

eA

K^JE

= 2

M M ^ m . 2 - ^ ^ ^ ^ - 1 1 9 8 , 2 3

^+m^(x^(0»UJ^ 1+0,8^-0,5

9

6 4




Canales analógicos paso banda: modukáo nes lineales

b) S i s t e m a D B L

PEP=UeM3 =\ÍAn ^Mj

2

l

50W => A^=\OV

En es te caso toda la potencia t ransmi t ida es potencia de señal .

25

Ê ~ ^R

=

- ^ = 25 juW

10' ^

^ , . . ( / )

N¡,

= l , 7 -1 0 ' ^ í ^

= 25-10 ^

W

Sg y N p se ca lcu lan igual que para A M ya que e l an cho d e band a en am bo s

casos es e l mismo.

S^ _ 2 5 - 1 0

A^^ 1,7-10

1470 ,6

r

c^

KN^,

31,61 dB

f c^

\^Js

f

c^

=

K^JE

=

2 -1470,6

^S^

KNJS

3 4 , 6 7

dB

Es mejor e l s i s tema DBL que e l de AM en 7 dB.

15-P „(/) = — = -110 dBm/Hz ^ : ^ = io - mW/Hz = 10- W/Hz

= 10 íff i =í> 5 ,

I

umbral

= 10- iV ,

umbral

6

PROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES-



S. Martin

Gonriák;^

S. Tomás

Pére^Suáre: J.

K lê/ázûe^Mon^ónj R.

Pére^Jiméne^

N^

=2^[2B B]

= 3NOB

Bj =2B

N^

=37Vo — = 3-10- -6-10' =l,8-10-'°fF

umbral

^

6 . „ | |

=

p = ^ = - - = 10-'

w

N^= NaB

= 2-2-\0'''

-10' =4-10-'ÍF

10

E N,

4-10-

= 250

N

J JE

(l+m=(x^(0))UJ5 1+0,85'.0,8

U

= 183 = 22 62 ¿¿e

.9

b) «„=?

En el umbral rí>

/ e \

vTVy

= 10 =

umbral

2N.B

4-10

2

PJ =4-10-

W




Canales analógicos paso banda:


10^

a..-

4-10

6

= 94 dB

c) d=?

Si a la entrada del túnel a=80 dB y dejará de oirse a 94 dB. La ate-

nuación debida al túnel será:

Aa = 94-S0 = \4dB

A{dB) = «0 +'^1 -d (jn)

1

\4 = \0 -d(m)

3

d = ]2 m

2 ' ^

{l

+ mY

xîO^coscoJ => {xl(í)) = 0,5

Al

w , , , \ 1

2-PEP 2

1

m^PEP

BL

2

Pr =

PEP

(l +

mY

P =P +P =

PEP

(l + mf

1 +

m

2 A

» í

0,3

0,8

1

PBL

26,63

98,76

125

Pe

591,72

308,64

250

P r

618,35

407,4

375

PBL/PT ( )

4,3

24,2

33,3

La más eficiente es para m = L

PROBUSMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

7



S. Martin Gon^le^¡ S.

omás

Pére^ Suáre: , J. R. Vêláûe Mon^nj

R.

Pére:iJiméne:^

b)

r cA

\NJE

2N,B

-

=GP-\-

m

{xíiO)

m

••{^íio)

P^

PEP C

P =—^- p =

( I+/77)

w 0,5

1

1_

PEP i m_

., l + w -0,5 A^gB a ( l+ /w ) t ^ 2

2 A

a =

m

10

(1+/ / ; ) 2-2 -10 - ° •3-1 0 -10^

PEPm

0,5

(H-w) AôBa

m

0,3

0,8

1

a(dB)

55,37

62,12

63,20

rfC*»i;

1,31

2,86

3,23

8

P R O B U - M A S D F

COMUNICACIONI-S ANALÓGICAS Y DIGITALl-S



c pítulo

anales analógicos paso banda

modulaciones angulares



E N U N C I D O S

1. La seña.\x t) = A

10-

V 10-* y

^ / - 3 - 1 0 - * ^

10-

vol t ios modula en fase a una por

t adora de 10 M H z . La con s t an t e de la mo dulac ión v a l e27 i r ad i anes po r

vol t io.

a ) Represente grá f icamente la desviac ión de fase ins tantánea en radianes .

b) Ca lcule l a máxima desviac ión de fase e indique en qué ins tantes se pro-

duce .

c ) Indique la f recuenc ia ins tantánea en Hz en func ión de l dempo.

d) Indique la máxima desviac ión de f recuenc ia en Hz y diga para qué ins-

t an t e s de dempo se p roduce .

2 . Di bu je las form as d e on da de la señal F M y P M q ue resul tan para la s iguien-

t e señal m odu lado ra , x t ). D e t e rm in e l os va lo re s máx im o y m ín im o de

f recuenc ia en amb as mo dulac iones . Su pon ga q ue x t ) v i ene dada en vo l -

tios.

fp = 100 MHz .

fd = 105 Hz /V

f = IOTI

r ad V

7 1




,5 .

Martin

Gon¡^áles^

S.

Tomás Pére^

Suáreí^ J. R .

Velás í¡ue^

Aiont(ónj

R Pére^]iméneí^

3. Dibuje las formas de onda de la señal FM y PM que resultan para la

siguiente señal moduladora, x(t). Determine los valores máximo y míni-

mo de frecuencia en ambas modulaciones. Suponga que x(t) viene dada

en voltios. ,,

• x(t)

fp = 100 MHz.

fj = 105 Hz/V

ÓH = 7 t 2 r a d V

» •

t

4.

Sea la siguiente señal con modulación exponencial;

y ME (0 = JO - COS(2K 10^+0,1- sen(2000ntj)

Calcule:

a) Potencia de la modulación.

b) Desviación de frecuencia máxima.

c) Desviación de fase máxima.

d) Ancho de banda de la señal.

5.

Sea la siguiente señal con modulación FM:

yFM (0 = 40 cosCwpt +2;rfj ¡ gX(Á)dÁ)

donde fd=10 Hz/V.

a) Dibuje la forma de la desviación instantánea de fase.

b) Dibuje la forma de la desviación instantánea de frecuencia.

72

PROBLEMAS DE CO MUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



5. Martín Gon^ále;^, S.

omás

P ére^ S»áre^, J. R. Ve/á^gue^ Monteanj K. Pére^jiméne^

c) Calcule la desv iación de fase m áxim a, A |).

d) Calcule la desviación de frecuencia máxima, Af

e) Potencia de la señal.

6. Una portadora de 10 MHz se modula en FM con una senoide de 5 kHz

y amplitud unitaria, de modo que la desviación máxima de frecuencia es

Af = 1 M Hz.

Calcule:

a) Ancho de banda de la señal de FM.

b) Ancho de banda si se duplica la amplitud de la moduladora.

c) Ancho de banda si se duplica la frecuencia de la moduladora.

7.

Un transmisor de FM tiene un diagrama de bloques como el que se indi-

ca en la figura

x t)

Modulador de FM

fp=5 MHz

Filtro Pasobanda

Multiplicador de

frecuencia x8)

La moduladora tiene componentes de frecuencia entre 300 Hz y 3,4 kHz.

La salida final de FM ha de tener una frecuencia de portadora de 103,7

M H z y una desviación de frecuencia de 75 kHz. Calcule:

a) La frecuencia de sintonía y el ancho de banda del filtro.

b) Los valores posibles de frecuencia del oscilador.

c) La desviación de frecuencia del modulador de FM inicial.

d) El ancho de banda necesario para la transmisión.

8. U n ton o norm alizado de 1 kHz m odula en frecuencia una porta dora de

100 MHz, de forma que la máxima desviación de fase es A l)^=37i/4. Por

otra parte, otra portadora de 100 MHz es modulada por un tono de 10

kH z siendo a simism o A j)2=37t/4. La densidad espectral de p otencia de

ru ido es Pn f )=No/2=-110 dB m /H z

a) Obtenga el índice de modulación, máxima desviación de frecuencia y

ancho de banda de transmisión en ambos casos.

7

ROBLBMAS DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES-



.5'. Martin Gon^á/e^ S.

Tomás

Pe re^ Suáre^ ]. K.

Ve/á^ûe:^

Mon^nj R.

Pére^Jiméne;i

b) Si la atenuación de propagación es de 100 dB y se guarda un margen

de desv anecim iento de 20 dB, calcule cuál será la potenc ia d e transm i-

sión necesaria para que se pueda recuperar la moduladora en los dos

sistemas.

9. E n un sistema recep tor de FM en el que la D E P d e ruido es Pn(f)= N Q / 2

= 10 ° W/Hz, se recibe una portadora de frecuencia 100 MHz modulada

por un tono normalizado de frecuencia 15 kHz, siendo la máxima des-

viación de frecuencia de 75 kHz. El filtro de predetección es ideal con

ancho de banda el de transmisión.

a) Si la potencia media del transmisor es de 10 dBW, calcule la máxima

atenuación permisible para que el receptor pueda recuperar la señal.

b) Calcule la

(S/N)^

en las mism as condicione s.

c) Calcule la (S/N )5 si la amplitud de po rta do ra recibida es de Aj.= l,29 V.

d) Si se aum enta la desviación de frecuencia a 150 kH z, co n Aj.= l,29 V,

compruebe si el receptor funciona en esas condiciones y en ese caso

calcule (S/N)s.

10.

Se modula en frecuencia la portadora 10-cos(27il0^t) con la señal x(t)=

0,75-cos(27il02t) + 0,25-eos(271 lO^t), siendo la constante de la modula-

ción fd=75 kHz/V.

a) Obtenga la expresión analítica de la señal en el dominio del tiempo.

b) Calcule el ancho de banda.

c) Si la DEP de ruido es Pn(f)=No/2=0,5-10-^2 W/Hz, calcule la máxi-

ma atenuación permisible para que sea posible recuperar la señal.

11.

En un receptor de FM se recibe una portadora modulada por un tono de

1 kHz con una máxima desviación de frecuencia de 8 kHz. Sabiendo que

la potencia de señal a la entrada del receptor es de -0,46 dBm y la DEP

del ruido es Pn(f)=No/2=10-9 W/Hz, calcule:

a)

S /N)E

b) Margen sobre el umbral en dB.

c) La potencia de ruido en la banda comprendida entre los 500 y 1000

Hz a la salida del discriminador, sabiendo que la constante del discri-

minador es Kp= 10 -^ V/Hz,

7




Canales analógicos paso banda: modularíones angulares

12 . Se tiene un canal de 15 kHz por el que se desea transmitir un tono nor-

malizado de 3 kHz de ancho de banda. La PEP del transmisor emplea-

do es de 1 KW. Si la DEP del ruido es Pn(f)=No/2=-113 dBm/Hz, la

atenuación de propagación es de 70 dB y el sistema ha de hacer frente a

pérdidas po r desv anecim iento de 10 dB, verifique si el sistema se encu en-

tra en condiciones de recuperar la señal y en ese caso obtenga la (S/N)5.

13. Se transmite un tono normalizado de 10 kHz modulando en FM a una

portadora de 1 MHz con una máxima desviación de frecuencia de 50

kHz. El medio de transmisión introduce un ruido blanco con DEP

Pr,(f)=No/2=0,5-10-5 W /H z y una atenuación de 40 dB. El receptor está

constituido po r un filtro de predetección ideal de anch o de ban da 200 kH z,

seguido por un discriminador de frecuencia y de un filtro de postdetección

de 10 kHz. Se desea una calidad en recepción mínima de 43 dB.

a) Obtenga la amplitud de la portadora necesaria en el transmisor.

b) ¿Se puede mejorar la (S/N)5? Razone la respuesta y en caso afirmati-

vo calcule dicha mejora.

14. Se transmite por un sistema Múltiplex po r División en Frecuencia (MD F)

de 40 canales telefónicos de 4 kHz . El primer canal va en la banda de

a 4 kHz y los 39 restantes se ordenan consecutivamente mediante modu-

lación BLU de subportadoras de 4, 8, ..., 156 kHz, eligiendo las bandas

superiores y bandas de guarda nulas. La señal resultante modula en FM a

una portadora de 100 M H z, resultando un ancho de banda de transmisión

de 2 MHz.

a) Obtenga el ancho de banda de la señal múltiplex, el índice de modu-

lación, la desviación de frecuencia máxima y el valor umbral z^.

b) Si el sistema trabaja con un margen de 12 dB sobre el umbral y la

constante del discriminador es de 10 ^ V/Hz, determine la potencia

media de ruido en un canal genérico de la señal múltiplex en postde-

tección utilizando u n filtro p aso ban da ideal. ¿Para qué canal será míni-

ma la potencia de ruido? Calcule su valor.

c) Calcule la po ten cia d e la señal mú ltiplex a la salida sup on ien do que e n

el canal en que la potencia de ruido es máxima la (S/N)=20 dB.

Calcule la (S/N) en el caso del canal con menos ruido bajo las mis-

mas condiciones.


7



S. Martin Gon:(ále^ S. Tomás Pére^ Suáre;^, ]. R . Velái(e¡ue^ Mo/i^ó/tj

R.

Pére^Jiménez

SOLUCIONES

1.

fp=10MH2

p =ln

rad/V

a) p{C) = (l),-x{f) = ln-x{C)

b) Ad =

ITT

rad Se produce para t=lms y t=3ms.

In di

In di

di

lü°

10*

1

dxiO

di

1

2

4 t ns)

11

10

y

f(t) MHz

^

:

3

t(Ms)

4

/ « = / .

n

/ - 0 , 5 - 1 0

-6 A

1 10 '

-n

f - 2 1 0 - ' '

, 2.10-' ,

+ n

¿-3 5-10

10 '

.6

A

10'

Hz

d) A/ =

1

MHz

Se produce para

O <i <4/js,

estando indeterm inado en los instantes

t = l / f i y 3 / / s .

2.

F M

Af{i)=f,x(t)

=

\0 -x(i)Hz

^ zJ/=10'Hz

7




Canales analógicos paso banda: modulaáones angulares

A » = / . + A / = 100,lMH2

A i n = / . - A / = 99,9M Hz

x t)

;^FM(0

PM

JV Jp^r,„

,,

Jp^r-,„

Jp^^

In

di

In

di

A / = 5

dx{t

di

5 - 2 - 1 0 =10 '

Hz

/„ax = / , + A / = 100,1M Hz

/ ™ , n = / , - A / = 9 9 , 9 M H z

/ . 5

di

di

1

0,2-10 ^

/ 4

- 1

0,2 •10 -' /4

k

0,2

^

t(ms)

77

PROBLEM S DE COMUNIC CIONES N LÓGIC S Y DIGIT LES



.5 . Martin Goni^les^, S. Tom ásPére^Suáre^ J. K Velá: gues^Mon:^nj

R.

P ére^]iméne^

ypAÁO

3. F M

/ ( O = / , + / . x ( / ) ^ 4 / = / . -1 =1 0' H z

/ . » = / p + A / = 1 0 0 ,lM H2

/ . i n = / . - A / = 9 9 ,9 M H z

x(t).

y (O

P M

/ ; = / ,

In dt

i

dx{t)

dt

i

L i

1

1

1

1

En los instantes que se producen las deltas la frecuencia sigue igual pero

se produce un salto en la fase.

8




Canales

analógicos paso

banda modulaáones angulares

f f f

J max J min J v

x t) = => ^ t) = íy^/ + — • => y í) =Ap eos

1

2

71

xif) = - 1 => í¡ >(t) = ú^í + — • = > y t)Â^ eos

J

-ApSencOpí

ApSencúpt

x t)

ypM^t)

Si se selecciona

4>i=^

•

xO ) = -1 -^ y„ , ( / ) = A^ cos(íy, / - ^) = /J^ cos(íy/ + TT)

Coincide la forma de onda de la señal modulada para las dos amplitudes

que presenta la señal moduladora. Se produciría ambigüedad y no se

podría demodular la señal. Por eso en PM debe cumplirse que A^ < 7r .

4.

;^ME(0 = 10-cos (2;r lO^/ + 0, l -5 e«( 20 00;^ ))

^ = 10

co„=

2 ; r l 0 ' r ad/ s / „ =

M H z

P P ^ P

m =

IOOOTT

rad/s / =

kHz

m

^ m

^)Pr=^

100

= 5 W

b) í0(/)=:=O,l-5e«(2OOO;Er)

W ) ^ _j^ 2000;r eos(2000;zí) = 100 • eos(2000;z/)

2;r

di

2;r

A / = 1 0 0 H z

d) B^ = 2 / „ + 2 A / = 2 - 1 0 0 0 + 2 - 1 00 = 2 2 0 0 H z


79



S. Marlín Gon^^le^ S.

Tomás

Pére^ Suáre J. R. Velá^que Motilónj R. Pére^Jiméne:^

5.

a) <P 0 = In •//Jx(A)dA = In •10jjc(A)dl = lQn^x{X)áX

o o o

La integral se calcula por tramos:

/ < 0; íZ) t) = O

O < / < 2; ^(t) = l^n^x{X)AX = 20;rj5d ^ =100;Z-[A]Ó = 100;r •/

o o

/ > 2; ( t)= 2071 \5dÁ = 100;r[i]o = IOOTT

o

20071

1 ¿/íí>(/)

c) A(Z> = 200;/r rad

d) zV = 50Hz

^^ 40

e) y j. = —í = = 800 W

6.a) fí^^^ = 2z V + 2/ „ = 2- 10 +2 -5 -1 0 = 20 10 kHz

b) A ^ = / , ^ „ = / , = l MH z

A/, = / . 2 / l „ = 2 / , = 2 MH z

80

PROBLEMAS DF. CÓMUNICACIONI-S ANALÓGICAS Y DIGITALRS



Canales analógicos paso banda: m odulaciones angulares

Al duplicar la amplitud máxima de la moduladora, se duplica la des-

viación de frecuencia.

Bp^ = 2 A / + 2 / „ = 2 - 2 - 1 0 ' + 2 - 5 - 1 0 ' = 4 0 1 0 k H z

c ) / ^ = 2 - 5 - 1 0 ' H z = 1 0 ' H z

Bp^ = 2 A / + 2 / „ = 2 - 1 0 + 2 - 1 0 H z = 2 02 0 k H z

x(t)

Modulador FM

A/;

Filtro

paso

banda

Af

Multiplicador

de frecuencia

©'

fp,= 10,7MHz

Af, =

7

kHz

103 7

a) f e = - ^ = 12,9625 M H z

p

75

4 / ,

= — = 9 ,375 ^ / / z

8

A la entrada del multiplicador se tendrán los valores de frecuencia de

la salida divididos por 8.

La frecuencia de sintonía del filtro será la frecuencia de la portadora a

la entrada del multiplicador y el ancho de banda será el de una modu-

lación FM con Af^ .

X = 7 ^ = 1 2 , 9 6 2 5 M H z

B

fiuro = B ^ = 2 A / + 2 5 = 2 -9,375 4-2 -3,4 = 25,55 kHz

b) Las frecuencias del oscilador para obtener a la salida del modulador la

frecuencia de portadora deseada serán:

/ < , = / ; . + / , = 1 2 ,9 6 2 5± 5 =

[17,9625 M H z

I 7,9625 M H z

P R O B L E M A S D B C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S y D I G I T A L E S

81



S. Martin Gon^ák:;;, S. Tomás Pére^ S»áre^, J.

R

Ve/á^que:^ Mondón j

R.

Pére^Jiméne:i

c) El mezclador no afecta a la desviación de frecuencia. Por lo tanto:

Af. = 9,375 kHz

d) Bj. = 2 A / + 2 / „ = 2 - 7 5 + 2 - 3, 4 = 156,8 k H z

8. A , = l k H z / „ , = 1 0 k H z

/ ^ i = 1 0 0 M H z /^ 2 = 1 0 0 M H z

A^, = — rad

Aó^

— rad

a) La desviación de frecuencia en una modulación de tono en FM:

1

d p t) Af

sen

coj

— A t>

Por lo tanto en modulación de tono se cumple A^ — ¡5.

P,=A<I>,^~ = 2,36 Af = A / „ , - 2 , 3 6 k H z

4

P^=A t>,=^

=

2,36

Af, = pj„,

= 23,6 kH z

4

i ? „ = 2 ( A / , + / „ , ) = 6,72 k Hz

J 5 , , = : 2 ( A / , + / „ , ) = 67,2 kH z

b) La atenuación en el caso peor será cuando se produzcan pérdidas por

desvanecimiento, por lo tanto consideramos la atenuación en el caso

peor.

üj

= « + D = 1 0 0 d B + 2 0 d B = 1 2 0 dB = 1 0

Para que se pueda recuperar la moduladora, el receptor debe estar por

encima del umbral, por lo tanto se va a considerar la potencia necesa-

ria para estar en el umbral en ambos casos.

í 1

umbr l

= 20 =

^ R

1

2(y9 + l)

8 2

PROBLEMAS

DF. COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaciones angulares

N,B

En adelante se llamará al cociente —

^— = z

De aquí:

2 „ = 4 0 ( / ? + l )

Para el tono /„, = 1 kH z = 5 , :

«M,™*.., = A ^ o ^ , 4 0 A + l )

^ o _ „ o ^

10- i^ . lO -^

2

Hz H z H z

P^^ |„ = 2 - 1 0 - 1 0' - 4 0 - (2 , 3 6 + 1 ) - 2 , 6 8 8 - 1 0 '

W

Pj-,

=a^P„, = 1 0 • 2, 68 8- 10 '

=

2,688 k W

Para el tono

f„2

= 1 0 ^H z = -^2:

^«2 l„ = ^ o 5 2 4 0 ( A + l ) = 2 - 10 ~ - 10 ' 40 -(2 ,36 +1) = 2,688-10 'W

PT2 =(^TPR2

= 1 0 -26 ,88 -10 -' = 26 ,88kW

La potencia necesaria en el segundo caso es 10 veces mayor debido al

ancho de banda del filtro de predetección.

9.

a

La máxima atenuación posible vendrá dada cuando

el

sistema

se

encuentre en el umbral.

P^ = 1 0 d B W = 1 0 W

p

= 2 0 -

1

umbral

N,B2 P + X)

5

15

P^=AO P

+

\)N,B

P^ =4 0( 5 + 1 )2 -10 ' -15 -10 ' = 0,072 W

P . 10

X

=

P^ 0,072

138

=

21,4 dB

P R O B U - M A S D E COMUNICACIONF.S ANAI.ÓGIGAS Y DIGITAUÍS

83



S\ Martin Gon:^k:<^ S. Tomás Pére^ Suáres^ ]. K. Velá: gue: Mondón y K. Pére^Jiméne^

tí) Como la moduladora es un tono normalizado:

2 2

N)s VN,B

^ \^lQ

0 072

Z I O ' 1 5 1 0 '

• 3 -5 '

— = 9000 = 39,54 dB

c)

KNJS

= ? si ^ , = 1,29 V

P„ = - ^ =

0 832

W

Esta potencia es mayor que la del apartado a) lo que implica que se

está por encima del umbral.

Si el sistema no se encontrara por encima del umbral no se podría apli-

car la expre sión de — .

NJs

r P \

3y9^{x^ 0)-

0 832

2-10- ' ISIO'

3-5 ' - = 104.006 = 50,17 dB

d) A/' = 150 kH z = ^ ^ 9 = ^ = — = 10

B 15

r

e ^

yN^,

1

0 832

1

N^B2{p \)

2 -1 0 - ' -1 5 - 1 0 ' 2 (10 + 1)

= 75 > 20

El sistema está por encima del umbral.

í

e ^

KNJ,

0 832

_

2

. 3 - 1 0 '

- - = 416.024 = 56,19 0 8

2-10-^ -15-10 '

Al duplicar

A/

se consigue una mejora de la calidad de 6,02 dB.

10. a) yp,^ (/) = A^ cos[ü)^t 2nf,\x{t)dí)

w ñ Înf, \xO)dl ^271-15

- lO ^ Í - 5 ^ s e w ( 2 ; r l O ' / ) + - ^ ^ 5 e / 7 ( 2 ; r l O ' ' 0 | =

2n\Q^

= 562,5 • sen{2n\ O' / +1,875 • sen{2n\ O' /)

S




Canales analógicos paso

banda:

modulaciones angulares

yp^

(/) - 10 • c o s ( 2 ; r l 0 ' / + 562,5 •5e/7(2;r l0^/)+1,875 •5e«(2;r lO' / ))

b ) 5 , = 2 ( A / + 5 )

5

=

m a x ( l O ' , 1 0 ' ) - 1 0 ' H z

A /

=

/ . | x ( / ) | _ = 7 5 -1 0 ^ -(0 ,7 5+

0,25) =

7 5 k H z

Bj = 2 - ( 7 5 - 1 0 ' +1 0 ) = 1 7 0 k H z

c) El sistema debe estar por encima del umbral.

í 1

= 20 = ^ «

1

Pu

N,B2{P

\

N,2(Af

B N,B,

P^ = 2QN^Bj = 2 0 - 1 0 ' ' -170 -10 = 3,4 -lO W

^ 2

100

50

3,4-10

50 W

= 71 ,7dB

-6

A / 8

a)

b)

í 1

1

jQ-0.046

. jQ

3

9-10

N^B2{p

\ 2 - 1 0 ' - 1 0 ' - 2 - ( 8

+

1 36-10 '

=

20 = 13dB

= 25 = 14dB

umbral

margen = 14-13 = 1 dB

c) La constante del discriminador multiplica tanto a la señal com o al ruido.

Como viene dada en habrá que m ultiplicar la DEP por la constante al

cuadrado.

8 5

R O B L E M A S DI ;

COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y.DIGITALES



.y.

Martin Con^le:^

S.

Tomás

Pére^ Suáre^

j R.

Veláûe;^^ Mon:^ny

R.

Pére^]imétie:¡^

PM) = k

N

-f^ í f^

4

K ^co)

Pn=-

At =

2P„

klN^

klN^

1

;v,=^2j/V/ = l [ / ^ C =

iooo l O ^ - 2 - l O ' ' 1

2P,

= 6 ,48-10- ' W

R 500

N - 4

P, 3

9 1 0

— [l 0 0 0 ' - 5 0 0 ' ] =

12. En

primer lugar se com prueba

si

está por encima del um bral.

^S^

1

U A N,B2(/3 \)

N B

P^ = 1 0 ' W

«j. = 7 0 + 10 = 8 0 d B = 10 '

Como el canal es de 5 kHz => Bx = 15 kH z.

^ o _ i i 3 d B m ^ ^ ^ . , , 3 m W ^ ^ _ ^ ^ . , 3 W

2

N)

H z

P^

1

H z H z

10'

ür

N^Br 10 -2 -5 -10 - ' ^ -15 - lO '

Se está por encima del umbral.

S_

yN B

;W{î^

10

: 66.666

> 20

. , 1

„ — r - 3 1,5 - = 1.125.000 = 6 0 , 5 0 8

1 0 ' • 2 - 5 1 0 - - S I O ' 2

13.a)

cA

\Nj,

R

^p {<{t)) => p =

N,B

^J3 (xl(0)

? = ^

^ 5

fn, 10

1 0

. 1 0 - ' . 1 0 -

^ , „ , . ^

3-5 - 0,5

86

PROBLEMAS DP. COMUNICACIONÍÍS ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales analógicos paso banda: modulaciones angulares

P^ =a-P^ = 1 0

• 5 , 3 2 - 1 0 - = 5 3 , 2 W

P.

A ^ = ^

=

\0,32

V

b)

Se

podrá mejorar aumentando /3, o lo

que es lo

mismo,

el

ancho

de

banda de transmisión siempre que no se baje del umbral . Se podrá

aumentar tanto como

lo

permita

el

ancho

de

banda

de del

filtro

de

predetección.

5 r = 5 . . .

= 200 kHz = 2(A/ + / J

A /

=

1 0 0 - / „ = 9 0 k H z

/• 10

n

Hay

que

comprobar

si con

este nuevo valor

de

P

se

está

por

encima

del

umbral:

í 1

5,32-10

3

N,B,

1 0 ' - 2 0 0 - 1 0 '

26,6

> 20

El receptor se encuentra por encima del umbral. Por lo tanto:

í

iP {Ki ))-f^

,32 -10

-10

3 - 9 - - =

48 ,10dB

2

Se consigue

una

mejora

de:

48,1—

43= 5,1 dB.

14.

a) El

espectro positivo

de la

señal múldplex queda:

40

156 160

f (kHz)

87

P R O B L E M A S DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y D I G I T A L I S



S. Martín

Go>t: ák: ,

S.

Tomás Pére^^

Suáre^ J. K

Velá^queti

Motinpnj K. Pére^jiméne^

5 = 4 0 -4 = 1 6 0 ^ 2

Br =

2B{J3

+1)

2 1 0 '

/ 5 =

— 1

28 2 160 10 '

•1

= 5,25

z y = / ? - 5 = 5,25 160 10 ' = 840 kHz

m =20 = z „ ^ ^

\N ,

2( /? + l)

z „ = 4 0 ( ; 9 + l ) = 2 5 0 = 2 4 d B

b) Se está 12 dB por encima del umbral.

3,6

z = „

+ 1 2 = 3 6 d B =

10'' ' '

=

l

N,B

IN^B

A;

= 2 - 1 0 ' ' '

- lóOlO'Aô = l ,28-10 'Aô

La DEP del ruido a la salida será:

8 4(n-l) 4n

f(kHz)

A,

V^DJ

i^2' j><í /=^|( - '10'X ' - ( ' ' - l ) ' )^

r 4(n-l)10

10 'Â^0 2

1 28 10^7^0

3

( 4 - 1 0 ^ ) ' ( « ^ - ( « ^ - 3 « ^ + 3 « - l ) )

7V J„ = 3 , 3 - 1 0 - ( 3 « ' - 3 « + l ) W

88

PR O B L E M A S

DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Canales n lógicos paso ba nda: modulaciones angulares

El mínimo ruiclo se tendrá en el canal n—1.

7V J„^, = 3 , 3 - 1 0 - ( 3 - 3 + l ) = 3 , 3 - 1 0 - W = - 1 0 4 , 8 d B W

c) El ruido será máximo en el canal n—40.

TVJ ,^,0= 3 , 3 -1 0 - ( 3 - 4 0 ' - 3 - 4 0 + l ) = 1,54-10- W = - 6 8 , 1 d B W

S I

20dB = 10

i n 2

l=40

100-A^, =1,54-10- ' W

Es ta es la señal a la salida de un solo canal. La pote ncia total de la señal

a la salida será:

5

tot l

= 40 1,54-10- = 6 , 1 6 - 1 0 - ' W

-5

í=i

1,54-10

3 ,3 -10-

= 56,7 dB

9

PROBLKMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITAUíS



c pitulo

Conversión analógica digital de señales



E N U N C I A D O S

1. Determine la frecuencia de muestreo mínima que se debe utilizar en los

siguientes casos:

a) x t)=sinc 100 t)

b) x t)=sinc2 100t)

c) x t)=sinc 100t)+sinc 50t)

d) x t)=sinc 100t)+sinc2 60t)

2.

A la señal x t) limitada en ban da a B ra d /s , se le realiza un m ue stre o ideal,

tal que co¡^

» 2B

La señal muestreada se hace pasar por un filtro de for-

ma que a su salida se obtíene y t)==x t)cos 3cO]y[t).

a) Obtenga la función de transferencia del filtro, H w).

b) Obtenga la respuesta al impulso del filtro, h t).

c) Ra zo ne si el filtro es realizable. E n caso neg ativo indiqu e de qu é form a

se podría aproximar.

3.

A la señal x t) limitada en banda a B rad/s, se le realiza un muestreo ideal

a la frecuencia de Nyquist. La señal muestreada se hace pasar por un filtro

r t ^

con respuesta al impulso h t)

— A — .

M V M

a) Obtenga la expresión analítica de la señal a la salida del filtro y t), de

su espectro Y cú) y dibújelas.

9

PROBLEM S DE COMUNIC CIONES N LÓ GIC S Y DIGIT LES



S.

Martin

Gon: ále S. Tomás Péreii Suáre:^

J.

K Ve/á:iûe^

Mondónj

R. Pére:iJimé/ie: ^

b) Obtenga la función de transferencia del sistema inverso Hj co) que

recupere la señal x t).

4.

Sea

la

señal x t)

de

duración finita,

tal que

<T.

Su

espectro

se

muestrea

con un tren de deltas en frecuencia

2_jS{co-UCOQ .

n= oD

a) Demuestre que para poder recuperar x t) se debe cumplir que CÚ O<TI/T.

b) Determine el sistema que recupere la señal x t).

5. Se muestrea un tono x t) = cos CDQt) de frecuencia fQ=l kHz a una fre-

cuencia

de

muestreo

f^—5 kHz. Las

m uestras

son

cuantificadas

con un

cuantificador uniforme de 8 niveles c om o se m uestra en la siguiente figura.

-1

OH

0,875

0,625

0,375

0,125

jóóó

|ooi

010

111

i ior

~ lOll

ool

l i l i

0,25 0,5 0,75 1

—0,875

a) Calcular el valor de las tres primeras muestras, sus valores cuantífica-

dos y los errores de cuantificación producidos.

b) Obtenga el código de la secuencia PCM resultante y la forma de onda,

suponiendo que cuando se quiere transmitir un 1 se envía un pulso y

para

un

cero

no se

envía nada.

c) Obtenga la tasa de bits o régimen binario de la señal digital a transmi-

tir y el t iempo de duración de bit.

d) Se realiza una multiplexación en el tiempo intercalando bits de 5 seña-

les de las mismas características de la anterior. O bteng a la nueva tasa

de bits y el nuevo tiempo de duración de bit.

94

PROBLEMAS




Conversión analógica-digiíal de señales

6. Considere el sistema PCM de la figura;

|X(f)|

4Khz

|x(t)Uax= V; <x(t)>=0 V

MUESTREO

.

—

PCM

4 bits

•

h

CONVERSOR

paral ./serie

p(t )

a) Determine el máximo período de muestreo para poder recuperar la

señal sin distorsión.

b) Determine la potencia de ruido de cuantificación y la RSR de cuanti-

ficación, suponiendo la potencia de pico de x(t).

c) Si el sistema PCM es de 5 bits, determine la relación porcentual de la

mejora o empeoramiento en el ruido de cuantificación. Comente el

resultado.

d) Calcule para ambos casos (cuantificación con 4 y 5 bits) el porcentaje

de error cometido sobre el valor pico a pico de la señal.

e) Se desea que el erro r de cuantificación sea inferior al 0,5 del valor

pico a pico de la señal muestreada. Calcule el mínimo número de bits

necesario y la nueva RSR de cuantificación.

7.

Una señal m|(t) está limitada en banda a 3 kHz, y otras tres señales m2(t),

m3(t) y m4(t) lo están a 1 kHz cada una. Estas señales se van a muestrear

al índice de Nyquist.

a) Sugiera un esquema de multiplexación adecuado.

b) Calcule la velocidad del muestreador (en muestras/segundo).

c) Si la salida del muestreador se cuantifica con 1024 niveles y se codifi-

ca en binario, obtenga el régimen binario de la señal múltiplex.

8. Un a señal de televisión con ancho de banda de 5 M hz se m odula en PC M

con un cuantificador de 512 niveles. Se pide:

a) Mínimo número de bits para codificar las muestras.

95

PROBI .EMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin Gons^ále:^ S. omás Pére^ Suáre^ J. K Velá: gue^ Montanj R Pére^Jiméne^

tí) Ancho de banda necesario para la transmisión si cada bit se transmite

mediante un pulso de duración Tj^.

9. Se diseña un sistema de m ultiplexación en el tiem po PC M q ue em plea 256

niveles de cuantificación para transmitir 3 señales f| t), f2 t) y f3 t). Sus

anchos de banda son 5 kHz, 10 kHz y 5 kHz respectivamente. Cada señal

se muestrea al índice de Nyquist y se codifica con 8 bits. Determine:

a) El máximo tiempo de bit.

b) An cho de banda reque rido para PCM si cada bit se transmite m edian-

te un pulso de duración

T^.

c) Diagrama de bloques del transmisor y del receptor, y velocidad del

muestreador.

d) Ancho de banda si se emplean 512 niveles de cuantificación y cada bit

se transmite mediante un pulso de duración Tj^.

e) Modifique el esquema si el multiplexor intercala bits de cada muestra,

mu ltiplexación digital).

10.

Se tienen 10 canales con banda pasante de 50 Hz a 3,3 kHz y cada uno

de ellos se muestrea a 8 kHz. Si se hace una multiplexación en el tiempo

MDT), se pide:

a) Calcule la frecuencia de muestreo total o velocidad de las muestras.

Calcule el ancho de banda mínimo requerido si cada bit se transmite

mediante un pulso de duración

T^.

Si se hace MDT de PCM de 8 niveles, se pide:

b) Compare el nuevo ancho de banda con el anterior si cada bit se trans-

mite mediante un pulso de duración T^ y calcule la relación señal a

ruido de cuantificación, suponiendo potencia de pico.

Si se hace MDT de PCM de 128 niveles, se pide:

c) Calcule el ancho de banda requerido si cada bit se transmite median-

te un pulso de duración T^ y la relación señal a ruido de cuantifica-

ción, suponiendo también potencia de pico.

96

PROBLRMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Conversión analágica-digital de señales.

1 1 .

U n s i s tema de cuan ti f i cac ión desea ahor ra r 3 b i t s po r med io de c om -

pans ión logar í tm ica con ley

\i..

a) Obtener e l va lo r de l a gananc ia de compans ión y de l pa rámet ro } i ,

a p r o x i m a d o p o r e x c e s o .

b ) Obtener e l número de b i t s necesar ios para consegu i r a l menos una

relación señal a ru ido de cuant i f icación uniforme de 40 dB, s iendo la

relación entre el valor máximo y el valor eficaz de la señal de 2.

S u p o n g a X 3 ^ = x „ 3 ^ y < x > = 0 .

c) Suponga que a l s is tema obtenido en e l apar tado b) se le apl ica com-

pans ión con ley

\\ .

( | a=256) . Ca lcu le l a gananc ia de compans ión y l a

mejo ra que se p roduce en e l s i s t ema (en dB) . ¿Cuán tos b i t s t endr ía -

mos que haber añad ido en e l s i s t ema de cuandf icac ión un i fo rme para

consegu i r a l menos l a misma mejo ra?

12.

Un proceso es tocás t ico gauss iano x( t ) que t iene de valor medio <x( t )>=0,5

y desv iac ión t íp ica a ^ = 0 , l , s e cuan t if i ca co n 256 n ive les . Te n ie nd o en

cuen ta que l a s eña l es s iempre pos i t iva y que es tá normal izada , ob tenga

la re lación señal a ru ido de cuant i f icación.

Se desea mejorar la re lación señal a ru ido apl icando cuant i f icación no

uniforme, escogiendo una de las t res leyes que se indica . Para tomar la

dec i s ión se debe eva luar l a gananc ia de compans ión en aque l los pun tos

donde desee mejorar la re lación señal a ru ido de cuant i f icación.

l . -Ley )a , con |u = 120.

2.-

L e y A , c o n A = 8 0 .

3 . - C ( x ) = 2 x 2 ; 0 ' < x < 0 , 5

C ( x )= -2 (x - l )2 + l 0 , 5 < x < l

13 . Se t iene una señal per iódica de per íodo 7 = 1 ms , cuyo cic lo se def ine de

la sig uie nte forma:

x t)

• t -2 50 ); 0 < t < - -

2 5 0 '

' 2

^ ( t - 7 5 0 ) , - < t < T

2 5 0 ' 2

d o n d e / v i e n e d a d o e n | a s y

x{t)

en voltios .

97




S. Martín Coii: ák^ S.

omás

Pére:^ Stiáre^ J. K êlái^guetí Mons^ónj R. Pére¡^]iméne^

Se muestrea la señal a fjyj = 8 kHz, tomándose la primera muestra en

/ = 50 |Lis. Las m uestra s se codifican me dian te un sistema M IC de 8

bits y tensión de sobrecarga de 3 V.

a) Escriba las palabras código correspondientes a las tres primeras mues-

tras de señal y obtenga los errores absoluto y relativo para cada una

de ellas.

b) Calcule la relación señal a ruido de cuantificación.

14.

Se dispone de un codificador MIC de 8 bits cuyo margen de funciona-

m iento está com pre ndid o entre ±1 V. Se aplican a dicho codificador mu es-

tras de señal de valores:

73 4

0,086726 0,714236 Voltios)

a) Ind iqu e para cada una de ellas su nivel de cuantificación, e rrore s ab so -

luto y relativo de cuantificación y palabra código correspondiente.

b) R epita los cálculos en caso de com pa ns ión con ley A A = 87,6).

15.

Se transmiten 20 señales vocales mo dulándolas previam ente po r im pulsos

codificados MIC) y multiplexándolas por división en el tiempo M D T).

La trama del sistema MDT está formada por los 20 canales vocales más

dos de señalización, todos con el mismo número de bits. La firecuencia

de muestreo de los canales vocales es de 8 kHz y el régimen binario total

es de 1408 kbps. Se pide:

a) Número de bits por muestra.

b) Relación señal a ruido de cuantificación, suponiendo Xj^^/x^f = 4,

^sc

=

^max y <x> = O-

c) Si el codificador tiene un margen dinámico de ±1 V, calcúlese para la

muestra 0,23 V la palabra código, el valor recuperado y los errores

absoluto y relativo en el extremo receptor.

Se quiere aumentar en 18 dB la relación señal a ruido de cuantificación

para los niveles bajos de la señal manteniendo el número de bits por

muestra. Para ello se utiliza un compansor de ley \i.

d) Obtenga el valor de \l de la ley de compansión.

e) Para el valor de \i obtenido en el apartado d), calcule el tamaño del

escalón para niveles bajos de señal.

5 8




Conversión analógica digttal de señales

f) Calcule para la m ues tra 0,23 V el valor co m prim ido , la palabra cód i-

go, el valor expandido, el valor recuperado y los errores absoluto y

relativo.

PROBLEMAS DE COIMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin Cons^ále: , S. Tomás Pére Suáre^,J. K .Ve/á: ffue Mondónj

R.

Pére^Jiménez

S O L U C I O N E S

1. n

TF

r s i n c

nr^

• ^ r s i n c

^COT^

ylnj

s inc

ylnj

In)

TF

n

^co'^

V i

J

2n J o^

v ^

TF

- > r s i n c

J)

r s i n c

ÚX

ít^\

s inc

\lnj

J

J ^ ^ A

O

a) x (0=í />?c(100/ )

Si T / 271 = 100, entonces x = 20071

-ni - ^

(0 sin c(l 0 0 / ) - ^ ^ ^ A Cíw):

i? = 100;r rad/s

100 yimn)

ü),.

IOOTT rad/s

/ , , . =100 Hz

• >

m i n

Xico)

5 = 100;r

b)

Jc(/) =

s inc^(100/)

Si /

27t

= 100, entonces T = 20071

x (0 = s i n c ( 1 0 0 0 ^ ^ ^ A ( í y ) = A

B

IOOTT

rad/s

O),, = 400;r rad/s

/ , , . = 200 Hz

M m n

c) x{0 = sin c(l 00 0 + sin c(50/) '

>

X(íy) = U

B = IOOTT

ú)

a>

200;rJ 50

> CÚ

O)

100;r

1 0 0 -




Conversión analógica-digital de señales

B = \00;r rad/s

O,.

= IQQ k rad/s

/ . , =100 Hz

-^ M m i n

X a})

1/100+1/50

1/100

O)

50;r 5 = 100;r

d) x í) = sin c(l 0 0 0 + sin c (60 /) '' X ü)) = ü

B = \20;r

rad/s

v200;Ty

1 . r ¿y ^

—

60

Vl20;ry

co,, . = IAOTT rad/s

1/100

IOOTT

g =

i20;r

ÍW

2.

y(t)=x(t)cos(3(0Mt

p t) = Y.Sil~kT,,)

1

^ ( , ) .

p(/) _ i l_ > A-(«)

*

2;r X —

'^(^

-

Aro;,,

= — ^ ^ ( « -

A^ ,,.

=

A ,,

(ú;)

T

Â/ t =

j'C/)

= x{0 • cos(3íy„/) ^ 7 (« ) = — XCíy * 4S a - 3íy„ ) + 5(íy + 3íy„)]

271

7((y)

=

-

X(cü

-3co^)+-

X{(o +

2,w,,)

101

PROBLBMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin

Constak: ,

S.

Tomás

Pére^ S'uáre J.

R .

Ve/á^que^ Mondónj

R.

Pére^Jiménes^

1/2 ....

- 3 í y . ,

1/7 f ^ M M

'ico,.

co

Para obtenerl^C^y)

partir de

X¡^{(ú)ú

filtro debe ser:

H{co) ^

2

n

co-'i(Oi,

2B

n

íy 3íy,

M

5

b) Tal como se mostró en el problema 1:

2;r

• s inc

^ / r ^

v2; ry

V

^n

^ « ^

\Tj

Sustituyendo x por 2B y ajustando las variables, se ob tiene:

BT

M

K

2

s inc

Oz?^

j : í i ^ Z A L n

^ í y ^

/7(/) = 7 F - [ / /( í y ) ] = ^ -

2 ;r

V ^ y

s inc

V 2 5 y

^Bi\

^'^^ ' + sinc

^Bt^

\^

-i^ ú»>

-^—sinc

2

Tí

^Bt^

\K J

•2cos (3¿y^0

Ki -^-^

s inc

^Bí^

n

\n )

cos(3íy^ / )

1 0 2

PROBLEMAS D E COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES




c) El filtro no es realizable ya que no es causal:

h{t)

;¿ O, t <

.Habr ía que

introducir un re tardo t¿ para hacer lo real izable .

T.^B

h t-td)

n

B

h í-í,)=^^s inc -{í-t,) • c o s 3 í y ^ / - / J )

\7l

3

x t) »i

p{í)

Y^dit-kT^

103

PROBI ,EMAS DI ; COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Martin

Gon^ák^

S.

Tomás Pére^ Suáre:(,]. R. Ve/át^guez

Mondónj

K Pére^J /nénes^

f \

T

H{co)^^r^únc'\ ''^

M

2K J

^M O = 0 • P 0 = Z A^T^ )5{t - kT^ )

k=-m

y{t) = x^{í)*h{i)=YÂkT^)d{t-kT^)* — A

í . A

r

\TM

y(0-—t,x(kT^)A

;

k= m

y t)

i

A ^ 0)

T

L

^27^)

AT,) r .

7M

^ ( 3 7M )

7M

— •

T M

2 T M 3 T M

Y{(a) = X,,{co)-H{oS)

X,, {pS = - í - Xico) • /^ íy) = - í -

J rC y)

* ¿ - L

2;r<5 íy

- Aro;,,) = - ? - ¿ X fi; - Aríy,,)

2;r

;z

k=-m

u

<:=-«

;

7 Ú;) = —sinc _ ^ X 6 ; - A T Í U ^ )

104




Conversión analógka-digital de señales

Y,X{co-kco^

-2COM

-COM

co

2COM

b)

x t)

• •

X2 t)=X t)

p t)

M

k= m

Se desea obtener a la salida la señal original:

X{co)^Y{ o)-HX o)

X{co)

HXco) =

HXco)

=

Y co)

X CD)

— Y^X{co-kco^)H{co)

105




.V.

Martin

Gon^áles^ S.

Tomás

Péreí Suáreq;, J. R.

l/e/á^que^ Mon;¡pnj

K Perecí]iménes^

r O^

\.2Bj

^

co^

Xico)r^n

y2B,

^

co^

V25y

^ í y ^

K2BJ

X co)H co)

H{co)

co

y(t)

l/H(co)

Filtro paso bajo

x(t)

Tu^

^ o^

\1Bj

x t)

X{cú) •

- •

-T

Y o) ^{. o)

^

Y^5{cú-no)^)

YioS)

O

•2co^ -co^ cú 2íü ,

106

PROHLP.MAS

DI - COMUNICACION KS ANALÓGICAS Y DIGITALES



Corjversiófj analógica-digital de señ ales

a) Y { O) = X((ü) X ^ ( ^ - "óô) = J]X(ncOo)Sicü - «OJO

y(t) = x(t)*rF'

iK

Y^Sit-nT,)-Í^Y.^^(^- ô)

T

' o n=-OT

O í 7 = - <»

íy„

y(t)

• >

t

-To -T T

T T>T 7 ; > 2 r ;

2 ^

.

— > 2 r

;r

(»„ <— rad/s

b) y(t)

- • X2( t )

¿yon

t

^2(0 = X M n

v 2 r y

^ / ^

/ / ^

I í

Z C - ôMn — =

x t)

107




.y.

Martin

Gon^á/et^

S.

Tomás Pére:i

Stiáre^ J. K Ve/á^ûe^ Mo»^ó»j K

Péreí^Jiméne^

5 .

1

«)

7M =

/ M 5-10^

= 0,2

ms

Xg = x(0) = cos(O) =

V

jc, = x (7 ;, ) = co s(2;r- 10' -0,2 -10 ') = cos(0,4;r) = 0,309

V

x^ =x(2T^)

cos(2;r-\0

-2 -0 ,2 -1 0 ') = cos(0,8;r) = -0,809 V

Muestra

Xo

XI

X

Valor cuantificado J2(A:;)

0,875

0,375

-0,875

Error absoluto

0,125

-0,066

0,066

Error relativo

í . = ( * - G W ) / j ^

1 2 , 5 %

21,3

8,1

b

ríiíoioii

Tb

c

^6 = « / M = 3 - 5 1 0 ^ = 1 5 kbps

Tu = — = r = 66 US

* / ? , 1 5 1 0 '

1 0 8

PROBLEMAS

DE


Y

DIGITALES




d)

7? =?? / ^ n canales = -5 10^ -5 = 75 kb ps

T ; = — = 13,3 fjs

6. a) / ^ > 2 5 = 2 -4 10 ' = 8 kHz

T^^

1

8 10'

:125 //S

B ) ( . > |

2x F 4

^^ - ^'' - ^ = 0 ,2 5

^ n

16

i -

(, ')

5 ^ = 5 , 2 m W

c)

0,25 = 25

El ruid o de cuandficación disminuy e al 25 del que se tenía para 4

bits.

Sin embargo, aumentará el régimen binario.

^tL = ^^bL =1.25

-R ]^-^

aumenta en un 25

1

d ) . = l o g , - ; 2 » = J - ; p = J ^


109



S. Maríín Gom^ále^ S. Tom ás Pére¡¡^Suáre¡^, j R. ]/ê/á: iûe^ Mondón j R. Pére¡^]iméne: ^

« = 4; p = ^ = 3 , 12 5

« = 5; p = - í - = l , 5 6

2 '

1 , 1

e) « > l o g , — = lo g,

2 / 7 2 - 0 , 0 0 5

= log2 100 = 6,64

^ 1

= 4,8 + 6 « = 46 ,8 0 6

n l bits

7. a) / ^ , = 2 - 3 - 1 0 ' = 6 k H z

/ A . 2 = / M 3 = / M 4 = 2 - 1 0 ^ = 2 k H z

t

•''*^'. = _ = ^¡> se han de tomar tres muestras de m|(t) por cada una

f

Ai 2

que se tome de las otras tres señales. Las muestras se

toman en el orden que se muestra:

m.Ctl

m iCtl

rniCO

m / 0

3 , x 1

^ i ^

Multiplex

analógico

MD T

1 1 0

PROBLEM AS

DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES




b

ÍM T = / M , + / M 2 + / M 3 + / M 4 = 6 + 3 - 2 = 1 2 kHZ

c)

a)

1024 = 2 ° => /7 = 10b¡ts

7? =A 7/ , , =10 -12 -10 =120 kbps

Z,

= 512 niveies=>n =log2 512 = 9 bits

b) Cada

bit se

t r a n s m i t e m e d i a n t e

un

p u l s o

de

duración Tj^ .

P(t)

^

t^

T

T

•^Tj s inc

yin j

>

b

La f recuencia de m u e s t r e o m í n i m a e s: /^^ - 2 - i ? = 2 - 5 - 1 0 =1 0 M H z

R^

=r f,, = 9 - 1 0 - 1 0 = 9 0 M b p s

1

9 0 - 1 0

= 11 1 ns

B,

1

= 90 MH z

CD

iTT

P R O B U ; M A S DB C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I CA S Y DIGITALES

111



.y.

Martin onv^áleí S.

omás

Vére^ Suáre^ J. R.

Velás^que;^

Mon¡;ónj

R. Péres^Jiméiie^

9. a) 256 = 2 = > « = 8 b its

/ M = / M , + / M 2 + / M 3 = 2 - ( 5 + 1 0 + 5 ) kH z = 40 kH z

/?^ = « . / ^ = 8 - 4 0 1 0 = 3 2 0 k bps

b)

Tb - — = 7 = 3,125 /js

Rb 320 10

P t)

< >

Tb

2;r

c) Transmisor:

f i ( t ) -*

f2(t)-»

fift)_»

Re

Muestreador

Muestreador

Muestreador

ceptor:

B_ = — = 320 kHz

Multiplex

analógico

^

Dccodificador

-

Tb

Cuantificador

de

256 niveles

Desmutiplexor

analógico

—

Codificador

de

8 bits

Filtro paso bajo

Filtro paso bajo

Filtro naso baio

frlft)

fr ft)

Ut

112

PROBLEMAS DF. COMUNICACIONI-S ANALÓGICAS Y DIGITALES




d L = 512 = 2^ ^ n = 9 bits

R^

=n-f^ = 9 - 4 0 - 1 0 ^ = 3 6 0 k b ps

e) Transmisor:

fi(t)

f2(t)

f3(t)

^ .

1

= 360 kHz

Muestreo

Muestreo

Muestreo

—

—

—

Cuantificador

Cuantificador

Cuantificador

—

—

—

Codificador

Codificador

Codificador

—

—

Multiplexor

digital

M D T

R e c e p t o r :

Desmutiplexor

digital

Decodificador

Decodificador

Decodificador

Filtro paso bajo

Filtro paso bajo

Filtro paso bajo

1 0.a ) / ^ = « s e ñ a l e s - / ^ = 1 0 - 8 - 1 0 ^ = 8 0 k H z

El ancho de banda mínimo que se requeriría corresponde al caso en el

que se asigna un bit a cada muestra:

:80 kHz

b ) L = 8 = > « = 3 b i ts

R =ií^ =« . / ^ = 3 -80 -10^ =2 40 kHz (tres veces mayor)

N

= 4,8+ « = 22,8 dB

c) L=\2S^n-l bits

B=R, =n-f^

= 7 - 8 0 - 1 0 ' = 5 6 0 k Hz

(siete veces mayor)

113

ROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



.5 . Martin G on^ále^ S.

omás

Péré^ Suáre^ ]. K. lê áí^que^ Mondónj R. Pérer^^Jiméne^

l l . a ) í - l =Gl{

q uniforme

qley

( ^ f i ) = 2 0 1 o g G c + | -

(a©)=201ogGc +4,8

6 w

lOlog

- )

q uniforme

Si se disminuye en 3 bits el cuantíficador uniforme, disminuiría en la

relación señal a ruido de cuantdficación uniforme. Esta pérdida para

valores pequeños de muestra es compensada por la ganancia de com-

pansión utilizando la ley

\i.

Por lo tanto:

b)

2 0 1 o g G e = 1 8 d B = > G c = 1 0 ' = 7 , 9 4 =

ln(l + /y)

Para un valor de /¿ =

26,3

se obtiene una ganancia de c om pansión de 7,95.

s , ( Í : )^.

V N I

V

/ q

uniforme

= 4,8 + 6 « + 101og- : 4 0 d B

se

^SC ~ ^ m a x

(x ) = 0= >(x ^) =

;c

X X

max ^ . -. max

c)

G e

M

ln(l + / /)

40 d B < 4 ,8 + 6-« + 101og -

v 2 j

6 « > 4 1 , 2 = > n = 7 b its

2

- - / I í í n ^ ) ' ' n i ñ e r í a - T - Í T O

ATt

ln(257)

En el sistema de cuantificación uniforme tendríamos que haber aña-

dido al menos 6 bits para conseguir la misma mejora. Es decir, nece-

sitaríamos un sistema de cuantificación uniforme de 13 bits.

114

PROBLEMAS

DI= COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



Conversión analógka-digital de señales

12 . 0 < x ( 0 < l V

L = 256 = 2* ^ « = 8 b i ts

En este caso no se puede aplicar la expresión:

= 4,8 + 6-« + 10 1o g -4 ^

vTVy

•se

porq ue la señal no está com prend ida entre . ± x^ . Como la señal está acota-

da entre

O

y 1 V, utilizamos los 256 niveles para cuantificar ese intervalo.

Por lo tanto:

^ = £ , c _ 1

256

( x ) = ( x )

+C7l

= 0 , 5 + 0 , 1 = 0 ,2 6 W

(g )=^ L _ ^ = l ,27-10-^ W

12 12-256

í 1

0,26

1,27-10

= 2047 24 = 53,1 dB

Para evaluar la ganancia de com pan sión se toma el valor más p roba ble de

x(t) que será su valor medio.

ln(l +

/JK)

l.Leyn (pi = 120):C(JC) =

ln(l +

fS)

La ganancia viene determinada por la derivada de C(x) evaluada en el

punto x=0,5:

1 ^

C\x)

ln(l + //)

+ /A:

C (0,5) = 0,41

M ejora: 20 iog

G^. {dB)

= 20 log 0,41 = -7 ,7 4 dB

^, . \-\-\nAx

1

2. Ley A (A = 80 ):C (x ) = ; — < x < 1

l + lny4

A

C\x) =

1

1 + In ^ .4x

C (0,5) =

1 1

l + inSO OS

= 0 37

Mejora: 20 1o gG c(íJ «) = 201ogO,37 = -8 .6 4 dB

115

PROBLEMAS DI ; COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

http://-/-/nAx

http://-/-/nAx

http://-/-/nAx



S. Martín Goii^á/e^ S. Tomás Pére Suáre^ J. K Velás;ûe Mondónj

R.

Pére^Jiméne:^

3. C(x) =

2x O < jc < 0,5

- 2 ( A : - 1 ) + 1 0 , 5 < X < 1

C(x) Ix

C\x Âx

^ C (0,5 ) = 2

Mejora: 201ogGe.(£¿8) = 201og2 = 6,02 dB

Se escoge este último compansor, ya que para el valor medio de la

señal de entrada, que es el más probable, proporciona una mejora de

6 dB frente a los otros dos que proporcionan pérdidas.

13.

1

3

-3

. x(t)

(

/

» T=100C

T/2=500 las \

t

a) / ^ = 8 k H z ^ T ^ = — = 12 5 / /s

M

/ o = 5 0 ; / s ^ x ( t J = -2 ,4 V

/, = 5 0 + 125 = 175 / / s = > x ( t , ) = -0 ,9 V

¿2 = 5 0 + 2 - 1 2 5 = 3 0 0 / / s ^ x ( t 2 ) = 0 ,6 V

/? =

bits => L = 256 niveles

=>

se toma rán 128 niveles po sitivos y 128

negativos.

116

PROBLEM AS DE COM UNI CACI ONES ANALÓGI CAS Y DI GI TALES




A =

Ix

se

2-3

0 0234375

L 25 6 128

Para calcular el nivel de cuantdficación de cada muestra:

k E

Las palabras código se obtienen codificando en binario

k

y añadiendo al

principio el bit de signo, / para una muestra positiva y

para una mues-

tra negativa.

i

A

-^^

/Q - ^ Á : = 1 0 2

/, ->A: = 38

102

51

25

12

6

3

1

0 38

1 19

1 9

0 4

0 2

1 1

0

1

1

0

0

01100110 00100110

t t

signo - signo -

í n

Valores de reconstrucción:

y^ — A

k^-

—

sig x)

Error absoluto:

q^-^-

2(^)

Error re la t ivr

x-Qix)

25

12

6

3

1

1

0

0

1

10011001

t

signo +

Poniendo los resultados en una tabla:

Muestra

X

-2,4

-0,9

0,6

Nivel

k

102

38

25

Palabra

código

01100110

00100110

10011001

Valores de

recons t rucción

-2,40234375

-0,90234375

0 59765625

E r r o r

absoluto

kl)

0 00234375

0 00234375

0 00234375

Error relat ivo

kl)

0 097

0,26

0,39

117




.5'.

Martin Gont(á¡es^, S.

Tomás

P ére^ Suáre:^, ]. R. Ve/á:(ffue^ Mondónj K. Pére^jiméne^

b) Se aplica directamente la expresión:

N

.^)=lj.^ O.,=|J ¿ ,-250)]^.,=

2 3^

^

T

250 '

2

^

500— + 250 /

3 2

-9 W

1 4 . x , e = l V ;

a) k=E

n = 8 bits ;

2x,

2 1

256

La primera muestra supera el valor de sobrecarga:

\x\

La tabla de resultados es

143,

se asigna el máximo nivel posible:

k = 127.

Muestra

1 117314

0,086726

0,714236

Nivel

k

127

11

91

Palabra

código

11111111

10001011

11011011

Valores de

reconstrucción

( A )

0,99609375

0,08984375

0,71484375

Error absoluto

0,12122025

0,00311775

0,00060775

Error relativo

(9 . )

10,85

3,59

0 085

b) Como todas las muestras son positivas, no es necesario tener en cuen-

ta el signo.

x^..

Cix)

-^sig(x)

0 < | x | < l

1 + l n / í A

1+ ln/ J W '

Compresor

l i 8





El expansor será la función inversa de C(x):

(l + l n v 4 ) c | ^ , I 1

C-\x)=- ^sigiC) 0 < | q <

A

¡C|{l+ln/ l)-l ]

C- (x)

=

A

-sigiC)

1

1

+ l n ^

l + l n . 4

<\C\<\

E n

el

caso

de la

primera muestra, com o

hay

sobrecarga,

el

valor c om -

primido será

C(x)—\; se

cuantdfica

de

manera uniforme

el

valor com -

primido:

k =

\21

y,=^

1

= 0,99609375

El valor reconstruido se pasa por el expan sor:

[0.99609375(l+ln87,6)-l]

C (;;,„ ) = ^ =

0,9788488401

87.6

| ^ J = 0,1384651599

La tabla

de

valores queda:

k = 1 2 , 3 9

Muestra

.V

1,117314

0,086726

0,714236

Muestra

comprimida

C(x)

1,0

0,553243

0,938506

Nivel

k

127

70

120

Valor

de

reconstrucción

0,99609375

0,550781

0,941406

Palalira

código

11111111

11000110

11111000

Muestra

expandida

0,97884884

0,085565

0,725661

Error

absoluto

(9a)

0,13846516

0,001161

0,011426

Error

relativo

(9 . )

12,39

1,3

1,6

15 . a) Ai — 20 señales vocales

IM

K

1408

10'

(TV+

2 ) / ^

2 2 - 8 - 1 0 '

= 8 bits

b)

í eA

TV

^

' y q uniforme

:4,8

+ 6 -« +

1 0 1 o g - 4 - ^

sc

119

PROBLEM AS DE COM UNI CACI ONES ANALÓGI CAS Y DI GI TALES






f) C(x) = x„

1 + / / -

\ max

/

l n ( l + / / )

|C|ln(l+//) ln(l+x.H) => /I' * '

5/g(x)

•

Simplificando

^C(x)

ln(l + //|x|)

l n ( l+ / / )

|<-|ln(l+/')^

M

=> x = C-'(x) =

-^

^-sigiC

//

x „ = 0 , 2 3

->

C(X(,)

=

0,590551

lx,r 2

2 ^

kÊ

A

75

37

18

= £[o ,5905 51-2 ' ]=75

9

11001011

3^75

= AA:+

—

J

= 2-^ •75,5 = 0,589844

0,589844

ln(l+26,3)

C - ' ( > ^ „ ) - - ^ ^^ ^ = 0,229374

2o J

q^

=

0,000626

^^ = 0,27

2

PROBLEMAS DE COMUNI CACI ONES ANALÓGI CAS Y DIGITALES



c pítulo

ransmisión digital en banda base



E N U N C I D O S

1.

Un canal dene la siguiente característica de transferencia;

H f)

Se pide:

a) Determine la respuesta impulsiva y dibújela.

b) Verifique si se cumple el primer criterio de Nyquist. En caso afirmati-

vo determine el factor de caída.

c) En caso afirmativo a b), proponga un nuevo factor de caída para el

canal, determine la respuesta impulsiva y compárela con el resultado

de a).

d) En cada caso determine la máxima velocidad de transmisión para ÍES

nula.

2.

Un canal de transmisión tiene la función de transferencia que se muestra

en la figura. Se pide:

a) Determinar la respuesta impulsiva.

25




S Martín Gon^le^ S omás

Pére^

Sitare^ J K Velái^que^Moní^ónj R Pére¡^]iméne¡^

b) ¿La respuesta impulsiva está conformada según el primer criterio de

Nyq uist? ¿Por qué? En caso afirmativo dete rm ine el valor del factor de

caída.

c) Determine la máxima velocidad de transmisión para nula ÍES. ¿A qué

otras velocidades se podrá transmitir?

H(f)

1000 W 2000 f

3.

Se transm iten d atos binarios en band a base a través de una línea telefóni-

ca de ancho de banda 3,6 kHz. Los pulsos están conformados de acuer-

do con el primer criterio de Nyquist con un factor de caída a=0,2.

a) Haga un trazo aproximado del espectro del pulso P(f) y calcule el

ancho de banda de Nyquist, Bj^j.

b) Determine la velocidad de transmisión y el régimen binario si el alfa-

beto empleado consta de 8 símbolos.

4.

Una fuente de señal se muestrea, cuantífica y codifica PCM. Cada mues-

tra se codifica en una palabra que consta de 3 bits de información (datos)

y un o de sincro nismo . La transm isión se lleva a cab o po r un canal de 6000

Hz de ancho de banda en banda base usando pulsos de Nyquist con un

factor de caída del 50 , do nd e cada pulso transm ite la inform ación de un

bit . Determine:

a) Máxima tasa de transmisión de bits.

b) Máxima tasa de transmisión de bits de datos.

c) Máximo ancho de banda base de la señal de la fuente. Si se reduce a la

mitad los niveles del cuantificador y se mantiene la máxima tasa de

transmisión de bits, ¿cuál sería el anc ho de ba nda base m áxim o para la

señal de la fuente?

5.

En un sistema de telecomunicación digital se emplea un código de Unea

con pulsos 16 niveles posibles. Se pide:

a) Ancho de banda mínimo que se requiere para una transmisión (sin

conformar) de 12000 bps.

26

P R O H L E M A S Dli COMUNICACIONRS ANALÓGICAS Y DIGITALES



, Transmisión digital en banda base

b) Ancho de banda si se aplica el primer criterio de Nyquist con un fac-

tor de caída a=0,2.

6. Un sistema de telecomunicación digital recibe señales con amplitud de

pico de 1 mV. Si la probabilidad de transmitir un cero o un uno es la

misma y suponiendo que el ruido del canal es gaussiano de valor medio

cero y valor eficaz aj^=200 fiV, determine la probabilidad de error en la

detección si se emplea:

a) Código de línea polar (NRZ).

b) Código de Hnea unipolar (NRZ).

7.

Una señal digital binaria con símbolos equiprobables (p(0)=p(l)=0,5) se

transmite a una tasa binaria de 10 kbps. Se codifica mediante un código

N R Z polar, siendo la amplitud de los pulsos recibidos de 10 mV. La D E P

de ruido en el receptor es de No/2=10 ^ W/Hz.

a) Calcule la probabilidad de error.

b) Si la tasa binaria se inc rem entara a 100 kbps, calcule cual sería la amp li-

tud de pulsos recibidos para mantener la misma probabilidad de error.

c) Repita los apartados anteriores para el caso de un código unipolar.

8. El receptor de un sistema de comunicación digital puede recibir dos sím-

bolos

(HQ

y Hj). A esos símbolos se asocian las señales eléctricas:

HQ—>z=x

Hi-»z=x2-l-y2

Donde x e y son señales independientes y gaussianas, de media nula e

igual varianza. Para estos datos obtenga:

La regla de decisión óptima que minimiza la probabilidad de error, con-

siderando que ambos símbolos son equiprobables.

a) Dibuje las regiones de decisión y calcule los umbrales.

b) Probabilidades de error para una varianza de 2,25.

N O T A : para z =x2+ y2, si x e y son variables aleatorias e indep end ientes y

gaussianas, puede considerarse que su función de densidad de probabili-

dad viene dada por:

1 2 7

PROBI.EMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



.5 . Martin Coii:(áks^ S. Tomás Pére Stiárei ¡ ]. K . Velá¡;gue^ Mon^nj R 'Pére^]iméne\

fi^x ^y'')=-ê^'^ '; z > 0

2cr^

9. Se tiene un sistema binario que puede transmitir dos símb olos (HQ y H^),

las funciones de densidad de probabilidad de transmisión son:

V2;r

Obtenga la regla de decisión óptima de mínima probabilidad de error,

considerando que la probabilidad de Hj es ¥4.

10. Encontrar la estructura de un receptor óptimo para un sistema binario

tal ío(0

cos(íy,

•/)q u e í e

[0,l],

y

j

(/) =

O

para , en el mismo intervalo.

128

P R O B I J Í M A S D E C O M U N I C A C I O N E S A N A L Ó G I C A S Y D I G I T A L E S



Transmisión digital en banda base

S O L U C I O N E S

1.

rt

v-» y

T

T-sinc\Tf)—^^Â

T

•sinc iTf)

r r\

H(f) = A^

b Se pu ed e ver en el tiem po y en la frecuencia:

En el tiempo:

ÍES.

h(nT^) =

se verifica ya que:

n=±l,±2,...

En la frecuencia:

h{0)=B

cte

129

ROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



.5 . Martin

Gons^ále;^

S. Tomás Pére^Suáre^ J. K Ve/á^que^ M ondón j K Péres^]iméne: ^

Al verificarse, entonces: IES=0.

a =—— ^

B

B

B N

B

c)

i

H,,

(0

f

B N

H(f)

B N = B / 2

Hif)

=

n

f f\

h t)^B-sinc{Bt)

a

=

B.

•

1/B

d) a.

= — B baudios

7 ;

b.

f ,. = — B baudios

7 ;

130

PROBLEMAS DE COMUNI CACI ONES ANALÓGI CAS Y DI GI TALES



ransmisión digital en banda base

a

H{f)

= 2 A U

Uooo;

H(f)

1000 2000

H(f)

1000 2000

- A -^^—

UOOOy

•> f

h{t) 4000sinc\2000t) -

1 000ÍZ>ÍC^

1 OOOí)

Desarrollando las sinc como sinc{kt)

—

queda:

Tikt

h{t) = 3000sm c{l000t)sinc 3000t)

1 3000 2/3000

La primera sinc impone los nulos en h(t): 7 ^ =

1 1000

1

3


=131



S. Martin Cons^áles^ S. Tomás Pe reii Suáre^ J. K Veláûeî Mont^vnj K . Péret^jiméne^

b) En el tiempo:

/2(0) ^ 0; h

n-

1

N

V 3000y

En la frecuencia:

= 0=>T,=

3

s =0 ,33 ms

X

Hcq(f)

yr x

\

Bfj B oisi

HM

=

te

c

B-B^

2 0 0 0 - 1 5 0 0 1 , , „ ,

a = = = - = 3 3%

B^ 1500 3

F,. = — = 3000 baudios

T

1 1

2T c

37c

Que equivale a:

h(t)

V-r

Se pue de transmitir.tamb ién a las velocidades: , ,... ^-^;n =1,2,3.

3. Habitualmente se considerará canal a:

Si el ecuaüzador compensa el efecto del medio, h(t) coincidirá con la res-

puesta al impulso del conformador. Por eso en muchas ocasiones nos

referimos a la con form ació n de pulsos en el transm isor para nula ÍE S .

32

PR O B L E M A S D E C O M U N IC A C IO N E S A N A L Ó G IC AS Y D IG IT A L E S




a

a =-

B-B.

B.

t

H íO

BN B

fí^=-^ = — 1 0 ^ = 3 kHz

\ a

1.2

b)

B

1 V^

2Tc 2

Vj.

=

2B, =

6000 baudios

/ ? - — l o g 2 M = K r l o g 2 M = 6 0 0 0 - l o g 2 8

•

f

R

=

\S

kbps

4.

x t)

Muestieo

— •

Cuantificador

L

niveles

— •

PCM

11=3 bits

Ro

M D T

Sincronismo

C o n f o r m a d o r

VT=Rb

B - 6 0 0 0

Hz

,

B-B^

„

B

6000 ^^^

a) « = ^ -> 5 „ = = = 4000 Hz

B.

\ a

1.5

= 25„ = 8000 baudios

Como 1

bit por

símbolo > R^-Vj= kbps

P R O B L E M A S DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

133



S.

Martin Con^áles^

S.

Tomás Pére^ Suáre^

]. R.

Ve/á^que^ Motilónj R. Pére^Jiméne^

b)

De

cada

4

bits transmitidos,

3 son de

datos:

R,=-R,=6

kbps

4

Rj^ 6000

n

c) R,=nfs-^fs=^ = ^^^^ = 2 kHz

A ^ 2 /

/ ,

< 4 = 1 kHz

L=2^ - niveles-^L'

—

A

niveles => « = 2 bits

Ahora, de cada 3 bits transmitidos 2 son de datos y 1 de sincronismo.

. , R j

5.33 10

R'

=~Ri, = 5 . 3 3 K b p s ; / ;

= - ^ =

= 2,67

kHz

/ 4 < ^ = 1,33 kHz

5. a) M = 16 símb olos => n = 4 bits

p t)

• •>

Te

R = n-V^;V^= — =

n

T - ^ — ^ s

^ V^ 3000

/? 12000

w

—

T,

= 3000 baudios

W

—

^ =3 kHz

T

P 0

BN

134

PROBUÍMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES





S. Martín Gom^^á eî S. Tomás

Péres^Suáre:^

]. R. Ve/á^que^ Mondón j.K

Pére^Jiméne;^

7.

a) Para codificación polar:

1

^17

• t

P.=Q

R^

= — =

10

bps => T; ÎQ-'s

E

= ^ £ , + Í £ o ; £ ,

E AX

=(10-^)^10-^ =10 ^ jul ^

E

=10'^ jul

/'„=e

= Q

í l l0 ^ 1

[Vio- J

= e(V Ío)= 2(3,16) = 81 0 -

b) / ? , = — = 10 ' bps =>

T ;

= 10 ' s

Aô 2

= 10; E , = 1 0 1 0 ' = 1 0 ' =A^ -10

- 5

y J = V Í 0 ^ = 3 1 , 6 m V

c) Para codificación unipolar:

Tb

• t

K=Q

zlk.

i\ = — = 10 bps => T; = I O - S

1

E = ^ £ , + ^ £ „ ; £ , =AX\E =0;E =]-AX

= | ( 1 0 - ^ ) M 0 -

=ilO-^ jul

J\=Q

1

=e

1Q V2

2 10-'

2- ° 2

= e(v/2Í5) e ( U 8 ) 0,056

Para /?^ = — = 10' bps => T^ = 10 ' s

36





-^ = 2,5; -— = 2,5; r - = 2,5

A^

=10

3

^ = V lO ^ = 31,6mV

H,^z=x- P\

H.

2a

oy

y¡2K(J

/ / , -^z = x -^y ; P\

fíj~2a

^je^- ; z>o

/ / n

a)

P{H, = P{H,

MAP^P{H,).p[f^y^P{H,).p[y^

/ / ,

H

1

o

> 1

rcr

< 2c7

e

la

/ / ,

^

X3

2a^ la- A

^ < V2 o-

- z ^ + z 2cr In

<

n 1

^ v 2 a ;

-> z^ - z + 2crMn

v 2 ^ y

^ 0

<

>

b //o

J l - 4 - 2 c 7 l n

>

. P(Ho)P(zmo)

137

PROBLEMAS DI? COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES



S. Marti» Gons;ále^ S. Tomás Pére^Suáre: ¡ ]. R. Ve/á^que:^^ Mondónj R. Pére^Jiméne^

0-

=

2,25

=> z

>

1±4,97

< 2

= 2 , 9 8 ^ Zo = 2 ,9 8

2.98

^•4K^r4í í^.r

,98

9.

H,^P\

7

, =

. ^ = ^ 2

V ^

^«^ 1^4)4^

/ / n

MAF^P{H, .p[/^y^P{H^ .p[/^^

H,

fío

1 1 -IH > 3 1

42*^

< 4 V 2 ^

e

o

' ' I I > . 6

\r\

In

/ / .

>

r - 2 H - 1 , 7 4 5 6 O

± r =

2 ± V4

6 9824

2 ±3,3140

r =

I 2,66

-0 ,66

138

PROBLEM AS DE COM UNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES




H ,

Hn

H, Hn

H ,

Pe=P{H. \p[r/^y^\p{H, p[r/^yr^\p{H, p[y^yr^

co -r -rg

]p{H, p[yHyr:\p{H, p[r/^yr

10. Si la

s e ñ a l c o r r e s p o n d e

a un

s is tema b inar io ASK=

1) Recep to r co r re lador :

ô 0 o

[0,1]

Ji O = cos íü,/) [0 l]

r t)

•

r ^

^

coscot

í

0

T=l

í

0

•

Fi

Fo

•

Comparador

•

• m

2) F i l t ro adaptado:

•-

m

139

P R O B L E M A S




capítulo

ransmisión digitalpasohanda





S. Martín Gons^áles^ S.

omás

Péret Suáres^ J.

R.

lê á^qiie Mon^ny

R.

Pére^Jiméne^

conformados con factor de caída

a un satélite por un canal con ancho

de banda de 2 MHz. Se pide:

a) Diagrama de bloques del transmisor y el receptor.

b) Frecuencia de muestreo de cada canal.

c) Tasa de bits a la salida del codificador PCM.

d) Número de fases del modulador M-PSK para que el canal soporte la

tasa de transmisión.

4.

La salida de 10 fuentes de datos de 2400 bps se multiplexan en frecuen-

cia usando dos niveles de mulüplexación de forma que las subportadoras

minimizan al ancho de banda. Las señales binarias en banda base están

conformadas mediante una caracterísdca en coseno alzado con factor de

caída 2/3.

a) Calcule el ancho de banda a la salida de cada fuente.

b) Calcule el ancho de banda de transmisión en los siguientes casos:

1) 2-ASK/AM.

2) 2-ASK/BLU.

3) 2 -FS K /FM , toma ndo Af=5 kHz en FSK y Af=740 kHz en FM.

5. Se realiza una MDT con 10 canales de 10 kHz de ancho de banda mues-

treados al índice de Nyquist. La señal multiplexada se hace pasar por un

sistema PCM. Los datos así obtenidos se modulan en M-PSK para trans-

midrlos posteriormente por un canal comprendido entre 70 y 72 MHz.

a) Diagramas de bloques del transmisor y receptor.

b) Tasa de muestras a la salida del multiplexor.

c) Si la cuantificación es uniforme y se desea cometer un error de cuan-

tíficación m en or que el 1 , determ ine el tam año mínim o de la pala-

bra del codificador. Indique el número de niveles que debe emplear el

cuantificador.

d) Si se fija en 256 el número de niveles del cuantificador, determine el

modulador M-PSK con el mínimo número de fases y el modulador

. con máximo factor de caída necesarios para transmitir los datos por el

canal. Indique la frecuencia en que situaría la portadora.

1 4 4

PROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALF.S



ransmisión digitalpasobanda

6. U n orde nado r genera símbolos binarios a una tasa de 56 kbps. Supo niend o

pulsos de 2 posibles amplitudes conformados, se pide;

a) A nch o de banda de los pulsos para a a = 2 5 .

b) Anch o de banda de los pulsos para a a = 7 5 .

c) Si se emp lean pulsos con 8 amp litudes posibles, dete rm ine el anch o de

banda en los dos casos anteriores.

d) Si se emplea un modulador 16-PSK, determine el ancho de banda de

transm isión si el factor de caída es del 2 5 y 100 .

7.

Se dispone de un canal en banda base de 3,6 kHz de anchura de banda.

Se pide:

a) En cu ent re los posibles regímenes binarios si se transm iten pulsos de 2

niveles con form ado s con factores de caída del 25 , 50 y 100 .

b) Repita para el caso de emplear pulsos con 16 amplitudes posibles.

c) Considere que el canal tiene una frecuencia de corte inferior de 300

Hz. Si modulamos en 16-PSK, determine la ubicación de la portado-

ra y las tasas binarias de transmisión en el caso de conformar los pul-

sos con los factores de caída del apartado a).

8. Se desea transmitir datos a una tasa de 9600 bps por un canal de 15 kHz

de ancho de banda centrado en una frecuencia de 80 MHz. Estos datos

son posteriormente transmitidos por una línea telefónica cuyo canal per-

mite el paso de frecuencias comprendidas entre los 300 y 3000 Hz. Si se

dispone de moduladores y demoduladores M-PSK. se pide:

a) Determine el modulador para el primer canal con el mínimo número

de fases y proponga el mayor factor de caída posible para conformar

los pulsos.

b) Haga lo mismo para el segundo canal. Dibuje el diagrama de bloques

del transmisor y receptor para ambos canales.

c) Si se desea transmitir la secuencia 0110011101101110... y las' fases en

las constelaciones de los moduladores se asignan con el valor crecien-

te de las palabras, dibuje las constelaciones para cada modulador y

determine los valores de fases transmitidos y recibidos en cada caso.

S

R OB L E MAS . DE C OMUNI C AC I ONE S . ANAL ÓGI C AS Y DI GI T AL E S

http://problemas.de/

http://problemas.de/



S. Martin Com ^áles^ S.

omás

Pére^ Suáre^ ]. R. We/á^qu e:^ Mondó n j R. Péret^jiménes^

9 . U n r epe t ido r r egenera t ivo r ec ibe una s eña l modu lada en 4 -D PSK sobre

una po r t ado ra de fg M H z y la dem odu la co m o paso in te rm ed io pa ra la

t ransmis ión que se rea l iza en 8 PSK sob re una po r tadora de f | MH z. Las

claves de codif icación de ambos s is temas son las s iguientes :

4 - D P S K 8 PSK

00 -> -371/4

01 - ^ 37t /4

1 0 - > - 7 r / 4

1 1 ^ 7i/4

0 0 0 ^

O

001 - ^ 7r/4

0 1 0 ^

37t /4

0 1 1 ^ 71/2

1 0 0 - > - 7 i / 4

101

-^

-71/2

1 1 0 - > 7 1

1 1 1 ^ - 3 7 1 / 4

Obtenga la secuencia moduladora y la de las fases a la sa l ida del repet idor

si se recibe la secuencia de fases

TI,

37t/4,

TI,

37i/4, -7t/2, -37t/4,

TI,

7i/4,7i/2, 37i/4

10.

La señal analógica de la f igura se codif ica c on u n m od ul ad or de lta de

escalón 1 V a la frecuencia /T^ . La s eña l ob ten ida s e t r ansmi te con un

s is tema 4-DPSK con la s iguiente as ignación de fases :

00 -^ 7i/4 01 -^ 371/4

1 0 ^

771/4 11 -^ 571/4

x t)

Ts 2Ts 3Ts 4T s 5Ts 6Ts 7Ts BTs 9 T , lOTs

a) O bt en ga la secuencia d e fases de la señal m od ula da a par t i r de x t )

suponiendo que en tg la fase es 0° .

b) Represente la sa l ida del demodulador del ta en recepción s i la secuen-

cia d e fases re ci bi da ca da T ^ s. es O, 57c/4, 71, 57l/ 4, 7l/2, 7l/4.

46





1 1 .

Me dian te un s is t ema A S K con f r ecuenc ia de po r ta do ra de 100 kH z se

t rans mit e una señal mul t in ivel N R Z co n la s iguiente codif icación;

00 ^ -3 V . 1 0 ^ 1 V.

0 1 - ^ - I V . 1 1 ^ 3 V .

s ien do la velocidad de t ransm is ión de 16 Kba ud ios .

a ) Forma de onda t r ansmi t ida pa ra l a s ecuenc ia de cód igo 00011011 ,

ind ic ando e l pe r íodo de s ímbo lo y po r tad ora .

b ) E s t ruc tu ra de l r ecep to r y anc ho de band a de la s eñal m odu lada .

c) Proba bi l ida d de er ro r en e l caso de s ímb olo s eq uip rob ab les y con s i -

de rando que e l cana l no a tenúa pe ro in t roduce un ru ido con D .E .P .

N o / 2 = 0 , 5 x l O - 9 W / H z . U ti li ce la a p r o x im a c i ó n ;

Q{^

1

lln x

e x p

12.

U n s is tema de co m un ica ció n d ig ita l u t il iza una mo du lac ió n PS K binar ia

y un c ód igo M anche s te r , t r an sm i t i endo l as s eña les;

V T

- V T

snft

V T

T/2

T

- V T

s,ft)

T/2

La seña l s e t r ansmi te po r un cana l que añade ru ido b lanco gaus s iano

y a d it iv o c o n D . E . P N o / 2 = 1 0 - 9 W / H z .

a) D ise ño de l r ece p to r óp t im o .

b) En erg ía t ransm it ida po r s ímb olo s i la prob abi l id ad de er ror ha de ser

inferior a 10 ' ' y la ate nu ac ión del canal es de 30 dB .

Cons idere que e l rég imen b inar io de la señal es de 40 kbps , los s ím-

bo los t r ansmi t ido s son equ ip rob ab les y pu ede con s ide ra r se la mism a

aprox imac ión de Q(x) de l p rob lema an te r io r .

1 4 7




S. Martin Gon^áles^ S. Tomás Pére:^ Suáre:^ J. K Ve/áîj»e^ Mo/ií^pnj K Pére^Jiméne:^

S O L U C I O N E S

1.

x , ( t )

X2(t)

Xio t )

Mucstrciidor

Mucstrciiclor

Mucstrcador

M T

R,

Cuantificador

uniforme

Codificador

Fuente

Rr

MDT

Conformador + Modulador PSK

fc=100MHz, a=0,25

R T

a)

1 MHz

< • • • •

• • >

100 MH z

El factor de redondeo o caída está definido para la conformación en

banda base. Por lo tanto:

B N B P

__Bp-Bfj r _ Bp

a -_ Bf^ -

1 0 ^ -

B

N

\-a

+ 0,25

= 4 - 1 0 H z

2T 2

Vj =2B^ = 8 10^ baudios

2 PSK => M = 2 símbo los =>i?r = log^ M ^Vj 800 kbps

Rj = Rs Rf

Rs =Rj-Rf

= 8 0 0 2 4 0 = 560 kbps

148

PR OB UÍMA S DE C OMU NIC AC ION ES ANALÓG IC AS Y DIGITALES



Transmisión digitalpasobanda

^s

560-10' ^ ^.

R, =N n- f, -^n =

^— = = 7 bits

^

N-f,

10-8-10'

M = 2 =128 niveles

h) R j=2-Rj

=480 kbps

M ' = 256 -^ « ' = log2 256 = 8 bits

R¡ =N

-n -f,

=10-8-8-10' =640 kbps

/?; = i?;+/ ?) =480+640=1120 k b p s = F ;

Al aumentar

R^

aumentará el ancho de banda ocupado. Como no se

puede superar el ancho de banda p ermitido (1 MH z), habrá que modi-

ficar la conform ación o el número de fases del modulador para poder

transmitir sin distorsión.

El mínimo ancho de banda ocupado sería haciendo:

1

V

2T, 2

i i

i

?;

f

C o m o

Bp =

2B j^

=

Vj = 1,12 MHz >

MHz =>habrá que aumentar

el

número de fases.

Tomando 4 fases (4-PSK):

= v;

iog2 4

= 2v;

R

F ; = - ^

=

5 6 0 - 1 0

baudios

2

V

B =^

= 2S0

KHz

a

=

BL-B ,500-280

B ,

28

= 0,79

49

P R O B L E MA S DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y D IGITALES



S. Martín Gon: áles^ S. Tomás Pére^ Suáre^ J.

R Ke/a ^w^

Mon: ónj R. Péret^Jiméneî

Las modificaciones serán:

2.

A

\A-PSK

l a = 0 , 7 9

• e

100,3

• ^ f ( k H z )

103

a)

BWj^

= 25p =103 -100,3 = 2,7 kHz

Bp

=1,35 kHz

5;.=

J ? ^ = -1 :^ 10 ^ ^1 ,2 kHz

\ a 1,125

Kj. =

2B^

= 2,4 kbaudios

/? = F,. l og jM log2M =

R 9600

F r 2400

-

4 b i t s /

/ s imbo lo

M = 2 = 1 6 s ímbolos > 1 6 - A S K

b)

3.

a) Transmisor:

x,( t )

X2( t )

1

I

X6o( t )

f

J max J min

2

103+100,3

2

= 101,65 kHz

Muestreador

Muestrcador

Muestreador

— •

— •

— •

MDT

— •

Cuantificador

L=256

— •

PCiM

I)

Modulador M-PSK

a -

j

150

PROBLEMA S DIÍ COMU NICACION ES ANALÓGICAS Y DIGITALES

http://a-psk/

http://a-psk/




Receptor:

Dcmodulador

M-PSK

b)

Dccodificador

Desmultiplexor

X„s(f)

Filtro Paso Bajo

ilrro Paso Bajo

X|r t)

X2r t)

Filtro Paso Bajo

3 < - ^ < ^ fs

2 3

X60r t)

* f (k HZ)

/ ^ = 2 - 3 + 2 = 8 k H z

c

R = N-n-fs =60 -logj 256 -8 -10 ' = 3,84 M bp s

d

• • •

•C -

2Bp 2 M H z

B.

1 K

2T 2

2 MHz

>

-> f

a=0=>B^=Bp=\ M H z

-^ V^ =2 Mbaud ios R = V^ log M ^ ;

151




S. Martín Goni^ák^ S. Tomás Pére^ Suáre^ J. R. Velá^que^ Mond ónj K. Pér etiJímé/ie^

l o g 2 M > — = — = l , 9 2 ^ 1 o g 2 M = 2

M = 4 símbolos o fases => 4 - PSK

4

Ri

Modulador 1

F i

Modulador 2

: • MDF

I

RIO

FIO - p Modulador 10

e

Modulador

a) R. 2400 bps'

2

a •

V^ = R. 2400 baudios = 2B^

B^ =1200 Hz

Bp = 5 ^( 1 + «) = 1200

V 3 J

1200-= 2 kHz

3

b) 1) 2-ASK/AM

BW^„P = 1 0 -2 5 = 40 kHz

BW^^ = 2BW^j,P = 80 kHz

GMDF(f)

10

MM n

e

>

2B

1 5 2




Transmisión digitalpasohanda

G A M Í )

10

2 1

^ ^

1 2

nr nr

.M -

2) 2-ASK/BLU

BW^^,=AO

kHz

5 ^F „, = 5 í í ^ o ^ = 4 0 k H z

GBLu(f)

• •

10

1^ n n

^ - > < -

> < - ^

WMDF

2A f

WMDF

El ancho de banda de cada fuente modulada en 2-PSK se determina a

partir de la regla de Carson.

BW,, = 2Af + 2BW,, = 2 ( A / + BW ,, = 2BW,,

(/?

+1) = 2(5 + 2) l0 = 14 kHz

^^MDF = 1 0 i ? P K „ - 1 4 0 k H z

El ancho de banda de la señal M D F m odu lada en FM tamb ién se calcu-

lará a partir de la regla de Carson.

153




S. Martín Gon^^ále^ S.

Tomás

Pére^ Suáre^ J. R. Ve/á^que^ Mondónj R. Péres^jiméne:^

BWj.,, =2{Áf

BW^^p)

=

2(740 +\40)\0^=\,76 M H z

5.

a) Transmisor:

x,(t)

X2 t )

X | 0 t )

Mucstreador

Muestrcador

Mucstreador

— >

—

i

—

M D T

—

Cuantificador

—

P C M

' '

Modulador M-PSK

Receptor:

Demodulador

M-PSK

Decodificador

Desmultiplexor

Filtro Paso Bajo

Filtro Paso Bajo

Xír t )

X2r t)

Filtro Paso Bajo

XlOr t)

b) f,^=2BW,,=2-\0 = 20 kHz

fsT =10 /s , =200 kmues t r a s / s

c) / ' < % = 0 ,0 1

n l o e — = l o e — = l o e 50 - ^ « = l o g 64 = 6 b i ts

' 2 P ^ ' 2 - 0 , 0 1 ' '

L = 2 =64 n ive les

154





d) L = 256^n = log^ 256 = 8 bits ^ /? = « / ^ = 1.6 M bps

2 M H z

< • • •

• • • >

• e

70

71

72

f (MHz)

IBp = 2 MHz Bp = 1 MHz

fe =71 MHz

2-PSK=>R =

VT.=2B^

5 ^ = 8 0 0 kH z 1 -0 ,8 - _

or = = 0 25

0 8

6. 2 sím bol os =>

Fj.

= 7? = 2 5 ^

a a= 2 5 =>

b) « = 7 5

c) 8 símbolo s => Fj. = ; 7^ = — ^ = 18,667 kbaudios

B,

B,

= B^{\

+

a)=^^ ^

1+0,25) = 35 kHz

= B^{\+a)=^^ ^^

1

+ 0,75) = 49 kHz

i o g j M

B Í

Bp =B^{\+a =

56/

2

56/

- 1 + 0,25) = 11,667 kHz « = 25

(1+0 ,75) = 16,333 kHz a = 75

d) 16 símbolos => K. =

R 56- 10 '

i o g j M 4

= 14 kbaudios = 2 5 ,

BW^^, =2Bp =2B^{\ a -

[14(1+0,25 ) = 17,5 kHz « = 2 5

[14(1 + 1) = 28 kHz a =1 00

155




S.

Martín

Coní^á/e^ S.

Tomás

Pére^ Suáre^ J.

K

Ve/á^queî

Mon: ónj

K Péres^Jiméne^

7

3,6 kHz

a) B^

B.

1 a

/? = F . = 2 5 „ - ^ ^ ^

\+a

R.

= - ? - ^ 1 0 ' = 5,76 kbps a = 25%

' 1 + 0,25

_ l : M i o ^ = 4,8 kbps

a =

50

1 + 0,5

R,

=

— ^ 1 0 ' = 3,6 kbps a = 100%

1 + 1

R.=

tí 16 símbolos /? = F logj 16 = 4Fj. = 4 • 25; = 85^ 7? =

85^

\

a

=

4/?| 23 04 kbps

R^ =

AR^

=

19 2 kbps

R¡ =

AR^ 14 4 kbps

c)

f Hz)

300

3600

16-PSK

-> /? = K

log216

=

4Fj.

=

8i?jv

/ c = - ^ ^ ^ ^ ^ ^ ° ^ = 1 9 5 0 Hz j5p = 3 6 0 0 - 1 9 5 0 = 1650 Hz

/ , = i J ^ = 10.56 kbps / ^ , = M É ^ = 8,8 kbps 7 3 = ^ ^ = 6,6 kbps

1 + 0 , 2 5 .

1 0,5

1

+

1

56




Transmisión digitalpasohanda

8. Canal 1:

< • •

Canal 2:

3

15 kHz

8

• • >

3

R

f ( M H z )

f (Hz)

a) BWj = 2Bp = 2B (l + a ) = V^ (l + a ) = (l + a )

o g j M

l + a _ £ « - „ , _ 1 5 . 1 0 ^ , _ 5 g ^ j

log^M 7?

9600

Si M = 2 sím bolo s => + a = 1 5625 -^ a = 0,5625

I 2-F ¿ A :

a = 0,5625

IN 1 + a _BWj^

\og^M R

2700

9600

= 0,28125

a = 0 , 2 8 1 2 5 - l o g j M - l

M = 2

—>

a = -0,71 <

O —>

no es posible

M = 4 ^ a = -0 ,4 3 < O ^ no es posible

M = 8 ^ a = -0,1 5 <

O

-> no es posible

\\6 PSK

[ a =0 ,125

PROBIJSMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

57

http://6-psk/

http://6-psk/



S. Martin Gons^ále S. Tomás Pére^

Suáret^

]. K. Kí/a ^w^ Mon^^ny R. Pére¡^]iméneí^

R=9600

Modulador

2-PSK

a=0 5625

Modulador

16-PSK

a=0 125

Canal 1

Canal 2

Demodulador

2-PSK

Demodulador

16-PSK

c

0100

0101 0011

Olio

011]

1000

1001

1010

1011

2-PSK

16-PSK

Olio

0;r;TO

6K 271

8 4

0111

nnjT

In

8

Olio

0;T;rO

7 n

4

1110

7 7 nQ

\47r l7t

8 4

1100

0010

0001

1111

l io

1101

9.

Saltos de

fase DPSK

Código

K

Fase

inicial

3;r

4

7

~

10

7r

7

11

1 71

4

7T

~

10

7

27

4

01

271

4

7

4

10

7

7

4

10

7

4

27Z

4

00

7

2

7

4

11

271

4

7

4

11

158

P R O B L E M A S DE COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES




Código

Fases

8 PSK

101

n

2

110

K

011

n

2

010

3;r

4

001

n

4

111

4

10.

i

3

2

1

/

1

L X t )

.... /

/

/

T

/

1

2T,

\ ,

\

1 1 1

3T, 4T, 5T, 61

\ ,

\

x/

/

/

/

/

t

1 1

s 7T, 8Ts 9 T, lOT,

a) La secuencia vend rá dada po r un

1

cuando haya un incremento posi-

tivo y un O cuan do haya un increm ento negadvo .

Secuencia: 11101000,1110... (periódica).

b

Saltos de

fase

Fase (00

inicial)

11101

4

Sn

4

000

4

n

In

4

1 71

4

n

4

n

1110...

5;r

4

n

4

In

4

0

Salto de

fase

Código

0

Inicial

5;r

4

5n

4

11

K

K

4

10

5n

4

K

4

00

71

2

5T[

4

11

71

4

l7l

4

10

í

3

2

1

1

. r(t)

. .t

1 1

Ts 2T 3T 4T 5T ÓT^ 7T 8Ts 9Ts lOTs

•i SB




S. Martin Coin^áks;, S. Tomás P ére^ Suáre^ J K Velá: i]ue^ Mon^nj

R.

Pérei ^]iméne:i

11.

11 +3

10 +1

01 -1

00 -3

^m^wmmm

0 11

01

mmmm

i

a)

T^= — =—Í — 62,5//s r = — = 1 0 / ^

V^ 16 10' fe

fe

=100 kHz

b)

( ^ ^ fc=100 kHz

100 kH z

A

l<

\

BWnn

Zo(t)

- • f

BlVp„

=

2F-

= 2 — = 2 -16 -10' = 32 kHz

1 6 0





f

^/\

c) A S K mul t in ive l => P = 2 Q

M

V J

Para co no ce r d se ca lcu la la energ ía de cada s ím bol o , s ien do d la

d i ferencia en t re las ra íces cuadradas de las energ ías en t re 2 s ímbolos .

9 1

E^=\{A,,co^co,tydt=^T^ = - - — — = 2 ,8 12 5 10-^ j ul io s

• ¿ z l o - lU

£ , ,

=^^Tc =^^Tc

=¿:oo =2 ,81 25 - lO ju l ios

£ Ê,„ =^^Tr = - — í — r = 3 ,1 2 5- 10 -' j ul io s

2 2 16 -10 '

d

JE^-jE,, =0,011 V

No/2

Gne(f)

BWxx

< >

RN.

{^n\t

= °-BÍV N,BW {r,{t)Y +a =0+a^

a = .^N^BW = V2 0,5 1 0- '-3 2 10' = 0,004 V

P.-2 -^Q

í n n i

0,011

v2-0 ,004 y

^2(1,375) = 0,17

PROBLEMAS Di i COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

— l6l



S. Martín ons^ák^d S. Tomás Péret; Stiáres^ J. R. Veláiûe^ Monv^ónj R.

Pére^Jiméne ^

0 , 0 1 1

- 0 , 0 1 7 - 0 , 0 0 5 5 0 , 0 0 5 5 0 , 0 1 7

1 2 .

t So t)

V i

- V i

V i

•> t

- V T

s, t)

-^ t

a)

s^ t)^V,.

n

T/

n

V

/ l

s,(í) = -s{t)

El receptor óptimo M-PSK será:

r t)

Recuperador

de portadora

S T-t)

7t/2

SCl^-t)

/ T

\^

Decisión

V

162

PROBLEMAS DE COMUNICACIONES ANALÓGIO\S Y DIGITALES




En el caso binario:

b) Suponiendo que la amplitud de portadora es h ¿—\ la forma de onda

que llegará al receptor será:

y O = î O eos oj i = 0,1

La energía por símbolo será:

E^ \V¡ eos cojdt =^-T

r \

E,=E, a ^N,BW P,=Q

a

= Q

V ^

•slNoBW

R=40 kbps 2 -PS K =>Vj.^R=40 kbaudios =

B^Tx = - = 80 k H z

P, =2 0 ,28 • F j < 10-^

PROBLIJMAS DI- COMUNICACIONES ANALÓGICAS Y DIGITALES

^ 163



S. Mar/iii Goii^ks^ S. Tomás Pére:^ Siiáre^ J. K l/e/áîjue^ Mons^óny R. Pére^Jiméiie^

1

IITTX

Q 2 <10 '' =>x = 0,28F^ =4,761

í^. = ^ = 1 7 V

V =V^.A

0 28

Vrx

201og ^^ = 4 =30 dB-»F,.^. =F^ -10 =537,7 \

T

£ „

= - S l r =

3 61

julios

64




ULPG C Biblioteca Universitaria

9 1 2 8 9 1

TEI 6 2 1 3 9 1 PRO p r o



a Universidad de Las Palmas de Gran Canaria está convencida de

la necesidad de elaborar materiales docentes de calidad para

dinamizar y facilitar los procesos de enseñanza y aumentar el

éxito académico de los estudiantes.

Para lograr este ob jet ivo se ha puesto en marcha la publicación de

manuales docentes de asignaturas troncales y obligatorias de mate-

rias correspondientes a distintas titulaciones de las grandes áreas de

conocimiento.

Esta linea de publicaciones pretende convertirse en una herramienta

útil para los estudiantes que les permita abordar los procesos de

aprendizaje con materiales estructurados a partir de un diseño

común.

Al mismo tiem po nos pone en el camino de la me jora de los

programas formativos que ofertamos a la sociedad.

Documents

Problemas de comunicaciones an alógicas y digitales - Teoria de la Comunicacion - Sofía, Santiago, Jose Ramón y Rafael