PROBLEME - WordPress.com · Web viewPROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR* (*Se primesc soluţii până la 25 ian 2007) Clasa a V-a Fie n numărul numerelor naturale a

Axioma supliment matematic-nr.20

PROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR*

(*Se primesc soluţii până la 25 ian 2007)Clasa a V-a1. Fie n numărul numerelor naturale a cu proprietatea 912<a≤913 şi m numărul

numerelor naturale b cu proprietatea 238<b<239. a) Demonstraţi că n este cub perfect şi că m este pătrat perfect.

b)Demonstraţi că n>m.Prof.Nicolae Păun,Târgovişte

2. Arătaţi că: a)(42005+52005+62005) 5 b)(42006+52006+62006-2) 5 c)(42005+52006+62007) 5Prof.Elena Boghe,Târgovişte

3 a) Aflaţi restul împărţirii numărului 222la 3. b)Aflaţi câtul împărţirii numărului 7∙22007 la 5∙22006

Prof.Damian Marinescu,Târgovişte 4. a) Determinaţi astfel încât 20∙a3+21∙b3+22∙c3 = 66 b) Determinaţi astfel încât 6a+7b+8c=678-9a3

Prof.Damian Marinescu, Târgovişte(O.L.M . Argeş, 2006)

Clasa a VI-a

1. Adăugaţi trei cifre la dreapta numărului 523 astfel încât numărul obţinut să se dividă cu 7,cu 8 şi cu 9.

Prof. Constanţa Gusta2. Fie A= şi B= unde sunt cifre ale sistemului zecimal iar n este un număr natural nenul. Să se demonstreze că dacă 17|B atunci 17|A

Prof. Cecilia Solomon

3. Demonstraţi inegalitatea :

Prof. Dorina Nicoară4. Se consideră unghiul ascuţit XOY . In semiplanul determinat de (OX şi în care nu se află Y se duc perpendicularele (OA şi OB pe (OX, respectiv pe (OY . Se notează cu (OC bisectoarea unghiului BOX.a) Dacă m( XOC) este cu 20o mai mare decât m( XOY), să se afle m( XOY).b) Dacă (OX este bisectoarea YOC , atunci m( COY)= m( XOB)

Prof. Cecilia Solomon(O.L.M. Galati, 2006)

Clasa a VII-a

1. Fie Să se arate că dacă atunci a=4.

Prof. Marius Damian şi prof. Nicolae Stănică, Brăila2. Fie a un număr natural par şi b un număr natural impar, a, b>4.

Dacă a+b=S şi arătaţi că:

Prof. Nicolae Stănică, Brăila

24


3. Fie ABCD un trapez, şi Ducem prin O, unde şi unde Demonstraţi

că G.M 8 / 2005

4. Fie triunghiul ABC şi I centrul cercului său înscris. Notăm cu M şi N mijloacele laturilor AB şi respectiv AC, iar cu P şi Q intersecţiile dreptei MN cu dreptele BI şi respectiv CI. Ştiind că să se

demonstreze că Prof. Marius Damian, Brăila

(O.L.M. Brăila, 2006)Clasa a VIII-a1. a) Dacă a,bR astfel încât a+b = 2, să se arate că

ab. b) Găsiţi perechile (m,n)NN pentru care şi

sunt simultan numere raţionale. Prof.Florian Dumitrel

2. Fie n,kN astfel încât n5 11k+2. Să se arate că n5 11k+10. Prof.Costel Anghel

3. Fie A’, B’, C’ mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] ale unui ABC şi I intersecţia bisectoarelor triunghiului. a) Arătaţi că I se află în interiorul A’B’C’. b) Dacă A1 = IAB’C’, B1 = IBC’A’, C1 = ICA’B’, să se arate că dreptele A’A1, B’B1 şi C’C1 sunt concurente.4. Fie ABCD un tetraedru şi punctele M(AB), N(BC), P(CD), Q(DA). Să se arate că cel mult două din dreptele MN, NP, PQ şi QM pot trece simultan prin centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA respectiv DAB. Arătaţi că este posibil ca exact două dintre dreptele date să treacă prin centrele de greutate menţionate.

Prof.Costel Anghel(Concursul ,, N. Coculescu’’, Slatina, 2005)

Concursul Interjudeţean „Cristian S. Calude”, Galaţi ,28 oct.2006

Prezentare de prof.Romeo ZamfirClasa a V-a1. De câte ori apar cifre pare în scrierea numerelor naturale pâna la 100 inclusiv?

A B C D E82 86 90 92 Alt raspuns

2. Aflaţi din egalitatea : .A B C D E9 99 999 1 Alt raspuns

3. Pe o alee de 101 metri lungime se află plantaţi tei din 4 în 4 metri, începând din capătul aleii.Câţi tei sunt pe alee?

A B C D E

25


24 25 26 27 Alt raspuns4. Câte numere naturale sunt între 999 şi 2007 ?


5. Suma tuturor resturilor împărţirii la 6 a numerelor naturale de la 0 la 55 este :


6. Un tată are cu 24 de ani mai mult decât fiul său, care are 11 ani. Ce vârstă avea fiul când tatăl avea vârsta de 5 ori mai mare dacât vârsta fiului său?


7. Ştiind că şi , calculaţi valoarea lui .


8. Un elev a citit o carte de 144 pagini în 3 zile. În prima zi a citit

din total, iar a doua zi din rest. Câte pagini are de citit în a treia zi?


9. Un teren de formă dreptunghiulară are perimetrul de 7968 metri. Aflaţi dimensiunile dreptunghiului ştiind că lăţimea este o şeptime din lungime.

A B C D E3486 si 498 3488 si 496 3476 si 498 3486 si 496 Alt raspuns10. Fie numerele : , , . Ordonaţi crescător aceste numere.

A B C D EAlt

raspuns 11. Într-un şir de 101 numere naturale consecutive primul şi ultimul număr sunt pare, iar suma lor este 504. Cât este suma acestor numere?


12. Dacă , , , calculaţi .


13. La o întâlnire de şah iau parte 25 de elevi. Fiecare a jucat cu fiecare câte o partidă. Câte partide s-au jucat în total?

A B C D E

26


400 300 324 450 Alt raspuns 14. Rezultatul calculului :

este :A B C D E0 1 99 9999999 Alt raspuns

15. Acum suntem pe data de 28 octombrie 2006, ora 9:30. Peste 16000 minute ce dată va fi?

A B C D E7 noiembrie

20068 noiembrie

20069 noiembrie

200610

noiembrie 2006

Alt raspuns

16. O clasă de 25 de elevi primesc pixuri de culorile roşu, galben şi albastru, astfel : 17 primesc pixuri roşii, 12 primesc pixuri galbene , 14 primesc pixuri albastre, 7 primesc pixuri roşii şi galbene, 7 primesc pixuri roşii şi albastre, 8 primesc pixuri albastre şi galbene. Câţi elevi au primit pixuri de toate cele trei culori?


17. Câte numere naturale de forma îndeplinesc simultan condiţiile: şi ?


18. Un cub colorat are latura de 4 unităţi, apoi este tăiat în 64 de cuburi cu latura de o unitate. Câte feţe ale cuburilor astfel obţinute sunt necolorate?


19. Ioana este cu 10 centimetri mai înaltă decât Mihai. Cristian este cu 15 centimetri mai înalt decât Sorina şi cu 22 centimetri mai înalt decât Mihai. Ce diferenţă de înălţime este între Ioana şi Sorina?

A B C D E1 cm 2 cm 5 cm 4 cm Alt raspuns

20. Suma a zece numere naturale consecutive este 45. Cât este produsul lor?


21. Cinci maşini pot căra greutăţi de 1800 kg, 2200 kg, 3450 kg, 5495 kg şi respectiv 7200 kg. Stiind că fac acelaşi număr de transporturi, în câte transporturi pot căra marfă în greutate de 195 de tone, cele cinci maşini?


22. Care sunt ultimele 5 cifre ale numărului a, unde ?

A B C D E

27


00011 12345 30000 70000 Alt raspuns23. Cu cât este egal restul împărţirii numărului x la 5, unde

?A B C D E0 1 2 3 Alt raspuns

24. În câte zerouri se termină numărul: ?A B C D E13 10 12 14 Alt raspuns

25. „Foaie verde şi un amnarAvem ciori şi avem pariDacă stă o cioară pe parEste-o cioară fără parDacă stau două ciori pe parFără cioară este un parFoaie verde şi un amnarCâte-s ciori şi câţi sunt pari? ”

A B C D E2 si 1 3 si 2 4 si 3 8 si 6 Alt raspuns

Clasa a VI-a1. Când la Galaţi este ora 13, la Tokyo este ora 20. Ce oră este la Galaţi când la Tokyo este ora 6?

A B C D E13 22 21 23 Alt răspuns

2. Rezultatul calculului scris sub formă

de fracţie zecimală este:A B C D E

0,58(6) 0,58(3) 0,58(2) 0,58(4) Alt răspuns3. Câte numere întregi se află între două numere naturale consecutive?


4. În care caz avem un număr prim scris ca sumă de numere prime?A B C D E

Alt răspuns5. Dacă bunicul are atâţia ani câte luni are nepotul lui, iar împreună au 91 ani, atunci bunicul are:

A B C D E48 ani 60 ani 72 ani 84 ani Alt răspuns

6. Numărul este produsul a 3 numere naturale consecutive:

A B C D E

28


2006, 2007, 2008

2007, 2008, 2009

2005, 2006, 2007

2008, 2009, 2010

Alt răspuns

7. O placă dreptunghiulară este pavată cu pătrate având lungimile laturilor exprimate prin numere naturale. Dacă perimetrul dreptunghiului este 16, care dintre următoarele numere este aria sa ?


8. Scrierea în ordine crescătoare a numerelor

este:

A B C D EAlt

răspuns

9. Numărul de cifre ale numărului 1234567891011......2006 este:A B C D E

6197 6971 6917 9617 Alt răspuns10. Numerele naturale (în această ordine) pentru care

sunt :A B C D E

Alt răspuns

11. Care număr este cuprins între 2000 şi 3000 şi este un multiplu al oricărui număr natural de la 1 la 10?


12. Se consideră mulţimea fracţiilor subunitare de forma

şi . Se notează cu numărul fracţiilor care se transformă în fracţii zecimale finite, fracţii zecimale periodice simple şi respectiv fracţii zecimale periodice mixte. Numărul este:


13. Fie . Ultima cifră nenulă a produsului este:


14. Cel mai mic număr natural x pentru care este:


15. Suma cifrelor numărului este:

29



16. Suma resturilor împărţirii tuturor numerelor de trei cifre în baza 10 la 100 este:


17. Ultima cifră a numărului de pe locul 2006 din şirul 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129,.....este:A B C D E7 4 5 6 Alt răspuns

18. Numărul * pentru care sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) ; b) ; c) este :


19. Numărul este pătrat perfect pentru:A B C D E

Alt răspuns20. Restul împărţirii numărului la este:


21. Printre numerele 1001, 1002, .....,1000000 există numere care sunt simultan pătrat perfect şi cub perfect:

A B C D EAlt răspuns

22. Dacă fracţiile sunt ordonate crescător, atunci

este:


23. Şase strungari lucreză şase piese în şase ore. Câţi strungari lucrează 80 de piese în 48 ore?


24. Pentru a bate ora 5, un orologiu are nevoie de 5 secunde. Dacă timpul în care se aude bătaia este foarte scurt (neglijabil, nu se ia în considerare), de câte secunde are nevoie orologiul pentru a bate ora 9?

A B C D EAlt răspuns

25. Scrieţi în ordine crescătoare numerele , , c=11203.A B C D E

30


Alt răspuns

( Subiecte selectate de Gh. Huţanu şi Gh. Pădurariu-Galaţi)Clasa a VII – aProblema 1 a) Fie şi un punct nesituat pe astfel încât

, este mijlocul segmentului şi . Dacă este simetricul lui faţă de punctul , atunci să se determine măsurile unghiurilor triunghiului . b) Fie un triunghi de arie . Dacă şi N este mijlocul segmentului , atunci să se afle aria triunghiului

. Marin Dolteanu, GalaţiProblema 2 Un număr natural de şase cifre de forma se numeşte

„prieten cu şase” dacă şi numai dacă . Câte

numere naturale de şase cifre sunt prietene cu şase? Ioana şi Gheorghe Crăciun, Plopeni, PrahovaProblema 3 Fie mulţimea numerelor naturale de două cifre, care nu sunt multipli ai lui 10 sau ai lui 11. Spunem că două numere naturale sunt în relaţia dacă şi numai dacă suma lor este egală cu suma răsturnatelor lor. Aflaţi probabilitatea ca luând simultan două numere din , acestea să fie în relaţia . Gheorghe Pădurariu, Galaţi

Clasa a VIII – aProblema 1

Să se rezolve în sistemul

Vasile Popa, Galaţi

31


Problema 2 a) Descompuneţi în factori: b) Stabiliţi dacă : i) numărul este număr compus v) numărul este pătrat perfect

Petre Bătrâneţu, GalaţiProblema 3 Fie un punct interior triunghiului echilateral si

proiecţiile sale pe laturile respectiv . Dacă , şi aflaţi aria triunghiului .

Petre Bătrâneţu, Galaţi

Concursul interjudeţean ,, Discipolii lui Lazăr’’, Ploieşti,2006

Clasa a V-aLa problemele 1-6 haşuraţi căsuţa corespunzătoare răspunsului corect în grila de răspunsuri.

1. Se dă egalitatea [(3x + 5)5 - 20] : 10 = 8. Pătratul lui x este egal cu:a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) alt răspuns

2. O şesime din diferenţa dintre cel mai mare număr natural scris cu 4 cifre distincte şi cel mai mic număr natural scris cu 4 cifre pare distincte este egală cu:a) 1400 b) 1305 c) 1403 d) 1307 e) alt răspuns

3. Doi fraţi au vârstele exprimate prin numere naturale impare consecutive. Dacă suma vârstelor celor doi fraţi este egală cu predecesorul pătratului lui 7, atunci fratele mai mare are:a) 21 ani b) 27 ani c) 25 ani d) 19 ani e) alt răspuns

4. Se dă a = 71 + 72 + 73 + … +72005. Atunci restul împărţirii numărului x = 72006 - 6a la 5 este egal cu:a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) alt răspuns

5. Suma cifrelor numărului x, unde x = 2006 2007 – 2006 2 – 20052, este egală cu:

32


a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) alt răspuns

6. Împărţind un număr natural „a” la un număr de două cifre se obţine câtul 2 şi restul 98. Atunci diferenţa dintre cel mai mic număr de 4 cifre şi numărul „a” este egală cu:a) 504 b) 608 c) 704 d) 804 e) alt răspuns

La problemele 7 şi 8 scrieţi rezolvarea integrală pe foaia de concurs:

7. Să se calculeze suma tuturor numerelor cu proprietatea că

.8. Se dau numerele a = 2+4 + 6 + … + 4012 şi b = 1 + 3 + 5 + …

+ 4011.a) Calculaţi cele două numere şi arătaţi că unul din ele e pătrat

perfect;b) Calculaţi suma dintre câtul şi restul împărţirii lui a la b.

Probleme selectate de prof. Mihaela Ionescu şi prof. Tatiana PanăClasa a VI-a

La problemele 1-6 haşuraţi căsuţa corespunzătoare răspunsului corect.

1. Numerele de forma care au proprietatea: au

suma cifrelor egală cu:a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) alt răspuns

2. Fie S suma tuturor numerelor naturale n pentru care 1+3+5+…+101 n 2+4+6+ …+102. Numărul divizorilor primi ai numărului S este egal cu:a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) alt

răspuns3. Se dau numerele de forma pentru care se divide cu 52

şi se divide cu 53. Atunci suma tuturor numerelor de forma cu proprietatea de mai sus este egală cu:

a) 90045 b) 450045 c) 450090 d) 900090 e) alt răspuns

4. Dacă 1234 … n = 25x+3 32y+1 57z-3 7t 1001 17 19, atunci numărul n - (x+y+z+t) este egal cu: a) 10 b) 11 c) 9 d) 12 e) alt

răspuns

33


5. Se dau semidreptele opuse (OA şi (OC şi semidreptele (OB şi (OD situate în semiplane diferite faţă de dreapta AC astfel încât m( ) = 900, iar (OC este interioară unghiului . Dacă (Ox şi (Oy sunt bisectoarele unghiurilor şi , atunci măsura unghiului este egală cu:a) 1200 b) 600 c) 1350 d) 22030’ e) alt răspuns

6. Se dau punctele A, B, C, D şi E astfel încât oricare trei să fie necoliniare. Numărul dreptelor determinate de câte două din cele cinci puncte este egal cu:a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) alt răspuns

Probleme selectate de prof. Ilarie Lazăr şi prof. Tatiana Pană

La problemele 7 şi 8 scrieţi rezolvarea integrală pe foaia de concurs:

7. a) Se dau a, b şi numere naturale astfel încât 27a = 3b+5c. Să

se arate că este număr natural.

b) Să se determine p, q, n numerele naturale din egalitatea p – q + 6n = 213, ştiind că p şi q sunt numere prime, iar n este un număr natural nenul. Câte soluţii are problema?

Prof. Cristinel Mortici8. Se dau punctele coliniare O, A, B, C în această ordine, iar M, N,

P respectiv mijloacele segmentelor [BC], [AC] şi [AB]. Să se arate că OM + ON + OP = OA + OB + OC.

Clasa a VII-a

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs:1. Se dă numărul x = 752 + 753 + 754 + … + 772 – 123456. Să

se calculeze restul împărţirii lui x la 19.***

2. Numerele naturale x, y, z, t sunt direct proporţionale cu numerele prime a, b, c, d. Ştiind că:x + y = z şi x + z = t

1) să se determine a, b, c, d;2) să se determine valorile minime ale numerelor x, y, z,

t, ştiind că yz + xt este cub perfect.Prof. Ilarie Lazăr

34


3. Se dă triunghiul ABC în care măsura unghiului A este de 450, iar măsura unghiului B este de 540. Fie punctele D(AC) şi E(AB) astfel încât m( ) = 360 şi m( ) = 180. Să se

calculeze raportul măsurilor unghiurilor şi .

***

4. Fie ABCD un paralelogram cu m( ) = 900 şi m( ) = 600 şi

notăm cu O centrul său. Fie M şi N mijloacele segmentelor OB, respectiv OD, Q intersecţia dreptelor AM şi DC, iar R şi P

intersecţiile bisectoarei unghiului cu AC şi respectiv cu

AQ. Să se arate că:a) 2MP = DM;b) RN BD.

***

Clasa a VIII-a

Rezolvaţi integral pe foaia de concurs:1. Să arate că:

a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc), oricare ar fi a, b, c numere reale;

b) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc, oricare ar fi a, b, c numere reale nenegative.

2. a) Să se arate că, dacă nN, n2, atunci R\Q; b) Să se arate că există o infinitate de numere iraţionale x,

pentru care este număr

natural; c) Să se determine numerele iraţionale x pentru care numerele

şi sunt ambele

numere raţionale.Prof. Nicolae Angelescu

3. Se dă triunghiul ABC în care măsurile unghiurilor sunt

direct proporţionale cu 2, 3 şi 7. Să se afle raza cercului

35


circumscris triunghiului, ştiind că perimetrul şi aria triunghiului sunt exprimate prin acelaşi număr.

4. În tetraedrul OABC se notează cu G centrul de greutate al triunghiului ABC şi se construiesc: GD paralelă cu OA (D(OBC)), GE paralelă cu OB (E(OAC)) şi GF paralelă cu OC

(F(OAB)). Să se calculeze .

36

Documents

PROBLEME - WordPress.com · Web viewPROBLEME PROPUSE PENTRU CONCURSUL REZOLVITORILOR* (*Se primesc soluţii până la 25 ian 2007) Clasa a V-a Fie n numărul numerelor naturale a