Processi Relativistici e Spazio delle Fasi

Processi Relativistici (1) • Richiamo: Matrice S e matrice T per transizioni non

relativistiche:

• Estensione a processi relativistici:

• H’ e’ densita’ volumetrica d’Hamiltoniana d’interazione

2 Fabrizio Bianchi

Processi Relativistici (2) • Commenti:

• Equivalenza massa-energia consente creazione e distruzione di

particelle. – tramite l’interazione viene distrutto lo stato iniziale e creato lo

stato finale.

• Gli elementi di matrice sono al minimo del secondo ordine: scattering di 2 particelle richiede interazione di ciascuna con il campo che media l’interazione. – L’interazione avviene tramite lo scambio di particelle virtuali (off-

mass-shell perche’ non rispettano la relazione E2=p2+m2)

• δ(4)(pi-pf) garantisce conservazione del 4-impulso

• Sviluppo perturbativo di solito rappresentato pittorescamente tramite diagrammi di Feynman, nella loro versione covariante

3 Fabrizio Bianchi

Processi Relativistici (3) • Probabilita’ di transizione per unita’ di tempo:

• Estensione al caso relativistico:

• Densita’ di rate d’interazione – Da integrare sullo spazio delle fasi accessibile allo stato finale

4 Fabrizio Bianchi

Processi Relativistici (4) • Normalizzazione: 1 particella in volume V

• Imponendo condizioni periodiche su ciascun lato (L=V1/3):

• Da cui il numero di stati per intervallo di px:

5 Fabrizio Bianchi

Processi Relativistici (5) • Per N particelle:

• Problema: e’ una espressione non invariante di Lorentz. Infatti:

Fabrizio Bianchi 6

Processi Relativistici (6) • Pero’:

• E’ invariante. Allora ridefiniamo dn come:

• Attenzione: il fattore di spazio delle fasi ora contiene N fattori extra 1/Ei che occorre compensare. Si ridefinisce l’elemento di matrice

Fabrizio Bianchi 7

Processi Relativistici (7)

Fabrizio Bianchi 8

Processi Relativistici (8) • NB: rate di transizione NON e’ invariante di Lorentz.

– Integrale e’ somma di quantita’ invarianti – La divisione per Ea o EaEb rende il rate non invariante

• Ok per decadimento: inverso del rate e’ la vita media dello

stato (instabile) che non e’ ovviamente un invariante (dilatazione dei tempi).

• Anche per le reazioni il rate misurato in interazioni/unita’ di tempo non e’ invariate visto che l’unita’ di tempo dipende dal riferimento scelto.

• E’ possibile definire una quantita’ invariante: la sezione d’urto totale

Fabrizio Bianchi 9

Processi Relativistici (9) • Sezione d’urto totale:

• Flusso:

Fabrizio Bianchi 10

Processi Relativistici (10) • M contiene le funzioni d’onda delle paricelle iniziali e finali.

• Decadimenti:

• Reazioni:

Fabrizio Bianchi 11

Processi Relativistici (11)

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Invarianti e Non • N.B.:

• σ : Sez. d'urto totale e’ invariante di Lorentz

– Significato classico: Area efficace intercettata dal proiettile

– Area: Non dipende dal riferimento (grandezza trasversale)

• Γ : Rate totale di decadimento: non e’ invariante

di Lorentz – Vita media: τ = 1/Γ – Dipende dal riferimento (v. dilatazione dei tempi)

Fabrizio Bianchi 13

Spazio delle Fasi (1) • Supponiamo che M non dipenda dagli impulsi delle particelle

finali. Esce dall’integrale che quindi si riduce al puro fattore di spazio delle fasi:

• Spesso evidenza effetti dinamici rilevata confrontando le distribuzioni statistiche osservate con quelle previste dal solo spazio delle fasi.

• Rn e’ funzione dell’energia totale (uguale in stati iniziale e finale) ed e’ una misura del peso statistico totale della configurazione dello stato finale. – Possibile limitare l’integrazione ad alcuni dei gradi di liberta’ dello

stato finale, ottendo distribuzioni statistiche di Rn rispetto ad una o piu’ variabili dello stato finale

Fabrizio Bianchi 14

Spazio delle Fasi (2) • Proprieta’ dell’elemento invariante di spazio delle fasi:

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Spazio delle Fasi a Due Corpi (1) • L’integrale totale sullo spazio delle fasi a 2 corpi: • Integrando su p2 (usando la δ):

• L’argomento della δ e’ un invariante e si puo’ calcolare in qualsiasi riferimento. Nel CM:

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Spazio delle Fasi a Due Corpi (2)

• Quindi:

• Poiche’:

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Spazio delle Fasi a Due Corpi (3)

• R2(E) si puo’ scrivere:

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Spazio delle Fasi a Due Corpi (4) • Il rate totale e’:

• Per ottenere la distribuzione angolare occorre dividete il rate differenziale per il rate totale:

• Spazio delle fasi e’ fattore puramente statistico -> distribuzione angolare uniforme.

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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (1)

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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (2)

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Spazio delle Fasi a Tre Corpi (3) • Eseguendo l’integrazione su cosθ13 (si riporta ad un’integrazione

che elimina la δ visto che cosθ13 dipende da E2):

• Le variabili angolari non sono vincolate e si integrano subito. Rimane:

• Dove l’integrale e’ esteso alla regione cinematicamente permessa (Dalitz Plot !). Il rate differenziale:

• E’ costante e mostra che, in assenza di effetto dell’elemento di matrice, la popolazione statistica del DP e’ uniformemente distribuita.

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π-p -> π+π-n • In assenza di effetti dinamici:

Dalitz Plot uniforme – Nel plot dati ad un energia nel

CM di circa 3.8 GeV

• Addensamenti e rarefazioni nei dati sono segno di forti effetti dinamici

• E’ equivalente presentare il plot in termini di masse invarianti al quadrato o di energie:

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