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Apostila em PT-br de probabilidades e Processos estocasticos.
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Treinamento em Processamento
Digital de Imagens
Prof. Wheidima Carneiro de Melo
Curso: Probabilidade e Processos
Estocsticos
Probabilidade e Processos
Estocsticos
Ementa:
Probabilidade
Definies e axiomas
Probabilidade condicional
Probabilidade total
Variveis aleatrias
Processos estocsticos
Parte 1
Probabilidade
Introduo
Nas engenharias h um interesse no estudo de sistemas que variam de forma aleatria, no determinstica da
tica do observador.
Modelos probabilsticos so formas matemticas para descrever o comportamento de variveis associadas ao
fenmeno.
Processos estocsticos so modelos probabilsticos para descrever sistemas que se desenvolvem no tempo
de forma aleatria.
Conceitos Bsicos
Experimento aleatrios: so fenmenos (experimentos) que repetidos sob as mesmas condies apresentam
variaes em seus resultados, onde impossvel afirmar
exatamente o resultado que ocorrer.
Espao Amostral (S): o conjunto que contm todos os resultados possveis do experimento.
Evento: qualquer resultado de interesse para o experimento.
Reviso de Conjuntos
Conjunto definido como uma coleo de objetos.
Mtodo de enumerao:
Mtodo de descrio:
Os objetos so denominados elementos.
O elemento distinto
A ordem no importa
Algumas definies:
Ax
D
SD cA
AB
Reviso de Conjuntos
Operaes bsicas:
(Conjuntos disjuntos).
cBABA
AA cc SAA c
cAA
SSA
ASA
cS
Sc
BA
Reviso de Conjuntos
Propriedades:
I. Comutatividade:
II. Associatividade:
III. Distributividade:
Leis de Morgan:
a) .
b)
Conjuntos contveis (finitos e infinitos).
Conjuntos incontveis.
ABBA
CBACBA )()(
)()()( CABACBA
ccc BABA )(
ccc DCDC )(
Probabilidade
Evento um subconjunto do espao amostral.
Dois eventos, e , que no possam ocorrer conjuntamente so denominados mutuamente
exclusivos.
denominado evento certo.
denominado evento impossvel.
Os elementos em so denominados eventos elementares.
Exemplos de eventos.
A B
SSS ;
;S
,...,, 321 sssS
Probabilidade
Probabilidade uma funo que atribui um nmero entre 0 e 1 aos conjuntos.
Axiomas:
1. para cada evento
2.
3. Se so mutuamente exclusivos, ento
Exemplos.
(.)P
0)( EP E
1)( SP
kAAA ,...,, 21
k
i
ik APAAAP1
21 ...
Propriedades da Funo de
Probabilidade
.
.
.
Se e so eventos quaisquer,
Se , ento
Se so eventos quaisquer,
EPEP c 1 0P
10 APA B
)()()( BAPBPAPBAP
BA )()( BPAP
kAAA ,...,, 21
k
i
ik APAAAP1
21 ...
Propriedades da Funo de
Probabilidade
Exerccio: O circuito chaveador consiste de duas chaves defeituosas, onde cada chave possui a probabilidade de 0,5 de fechar. A probabilidade das duas chaves fecharem de 0,25. Qual a probabilidade do circuito operar corretamente?
Propriedades da Funo de
Probabilidade
Exerccio: Sendo ; e determine:
a)
b)
c)
9,0AP 8,0BP 75,0BAP
BAP
cBAP
cc BAP
Probabilidade com o Espao
Amostral Discreto
Seja finito e todos os seus elementos equiprovveis, isto , pode-se assumir que cada evento elementar tem a mesma probabilidade de ocorrncia.
Defini-se, para todo
onde o nmero de elementos no evento e o nmero de elementos no espao amostral.
S
SA
)(
)()(
Sn
AnAP
)(An )(Sn
Probabilidade com o Espao
Amostral Discreto
Exemplo: considere um experimento de lanar dois dados (idnticos e honestos) e observar os pontos obtidos em cada um.
a) Descreva o espao amostral do experimento.
b) Qual a probabilidade dos dados apresentarem iguais nmeros de pontos?
Exemplo: uma urna possui 3 bolas vermelhas e 2 bolas pretas. Calcule a probabilidade de em duas retiradas, com reposio da primeira bola, sair uma bola vermelha e depois uma bola preta. Obs.: a escolha equiprovvel.
Propriedade com o Espao
Amostral Discreto
Pode-se recorrer ao mtodos de contagem.
1. Permutao de objetos:
2. Arranjos: objetos de um conjunto com elementos
(a ordem diferencia).
3. Combinao: objetos de um conjunto com (a
ordem no diferencia).
n
12...)2()1(! nnnn
n N
)1(...)2()1()( nNNNNN nn N
)!(!
!
nNn
N
n
N
Existem situaes onde h interesse em conhecer a probabilidade de um evento , sob a condio de
ocorrncia de outro evento .
Definio: A probabilidade condicional da ocorrncia de dado que tenha ocorrido, dada por
, onde
Probabilidade marginal
Probabilidade conjunta
Probabilidade Condicional
A
AB
B
)(
)()|(
BP
BAPBAP
0)( BP
)(BP
)( BAP
Sejam uma partio de , isto , eventos em tais que
Sendo um outro evento qualquer em , ento
Teorema da Probabilidade Total
kAAA ,...,, 21 S
SA
jiAA
i
k
i
ji
1
,S
B S
)()|()(
)}({)(
1
1
i
k
i
i
i
k
i
APABPBP
ABPBP
Exemplo: Duas urnas contm diferentes propores de bolas vermelhas e pretas. A urna 1 possui a proporo de
bolas vermelhas e de bolas pretas. A urna 2 possui
proporo de e de bolas vermelhas e pretas,
respectivamente. Encontre a probabilidade de uma bola
vermelha ser selecionada.
Teorema da Probabilidade Total
1p)1( 1p
2p )1( 2p
Tm-se situaes em experimentos onde a ocorrncia de um evento no afeta a probabilidade da ocorrncia de um outro evento .
e
Definio: Diz-se que dois eventos e so independentes, se somente se,
Eventos independentes so diferentes de eventos mutuamente exclusivos.
Independncia de Eventos
AB
)()|( APBAP )()|( BPABP
A B
)()()( BPAPBAP
Teorema de Bayes
Da probabilidade condicional tem-se
e
Portanto,
Sendo uma partio e um evento qualquer de , pelo teorema da probabilidade total, tem-se
)(
)()|(
BP
BAPBAP
)(
)()|(
AP
BAPABP
)(
)()|()|(
AP
BPBAPABP
kBBB ,..., 21 AS
kj
BPBAP
BPBAPABP
k
i
ii
jj
j ,..,2,1,
)()|(
)()|()|(
1
Exemplo: Um teste de laboratrio efetivo em 95% dos casos (detectar corretamente a doena) e apresenta falso positivo em 1% dos casos (indicar falsamente a doena). Se em uma populao, onde 5% das pessoas tem a doena, uma pessoa selecionada ao acaso e submetida ao teste. a) Qual a probabilidade do resultado ser positivo?
b) Qual a probabilidade da pessoa ter doena se o teste for positivo?
Teorema de Bayes
Parte 2
Variveis Aleatrias
Em problemas reais, emprega-se modelos probabilsticos para descrever o comportamento de ocorrncias. As observaes so tratadas como resultantes de um experimento aleatrio e associa-se nmeros reais a cada resultado do experimento.
Definio: Uma varivel aleatria uma funo que associa um nmero real a cada elemento .
Variveis Aleatrias
(.)X)(sX Ss
O mapeamento pode ser um para um.
Variveis Aleatrias
O mapeamento pode ser de muitas amostras para uma.
Variveis Aleatrias
Variveis Aleatrias
Exemplo: Faa um desenho representando um mapeamento dos padres de pontos num dado, para os
nmeros 1,2,3,4,5,6.
Repetir o exemplo anterior, mapeando os lados com 1, 2 e 3 dots para o nmero 0 e os remanescentes lados para
o nmero 1.
Classificao de Variveis
Aleatrias
Discreta se o conjunto dos seus valores finito ou infinito contvel (enumervel).
Exemplo: Contar o nmero de vezes que o resultado igual a cara em M lanamentos de uma moeda.
Contnua se assume valores em um intervalo, ou uma coleo de intervalos, de nmeros reais.
Exemplo: Realizar experimentos para medir o consumo de energia na execuo de cdigos em sistemas
embarcados.
O objetivo obter as probabilidades da ocorrncia de valores de interesse para a varivel aleatria.
Para v.a discreta , com valores , definia a funo massa de probabilidade (f.m.p.).
para cada
Propriedades:
1.
2.
3.
Varivel Aleatria Discreta
X ,...,, 321 xxx
)()( iiX xXPxp ,...},,{ 321 xxxxi
,...3,2,1,1)(0 ixXP i,...3,2,1,,0)( ixxxXP i
i ixXP 1)(
Modelo de Bernoulli:
Experimentos que admitem apenas dois resultados possveis, definidos por
A varivel denominada v.a. de Bernoulli com parmetro , onde a f.m.p. dada por
Notao:
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Exemplo: Considere o experimento de selecionar ao acaso uma pea em um lote com 96 peas boas e 4
defeituosas.
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Modelo Binomial
Em um experimento com dois resultados de interesse com repeties independentes com probabilidades constantes em
todas as repeties. Define-se a varivel aleatria por
A funo de massa de probabilidade dada por
Notao:
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Exemplo-1: Uma remessa de 800 estabilizadores de tenso recebida pelo controle de qualidade de uma
empresa. So inspecionados 20 aparelhos da remessa,
que ser aceita se ocorrer no mximo um defeituoso. H
80 defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote
ser aceito?
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Exemplo-2: Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indstria siderrgica tm
alergia aos poluentes lanados ao ar. Admitindo que
este percentual de alrgicos real (correto), calcule a
probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham
alergia entre 13 selecionados ao acaso.
Importantes Funes Massa de
Probabilidade
Modelo Geomtrico
Em um experimento com dois resultados de interesse com repeties independentes com probabilidades constantes em
todas as repeties. Define-se a varivel aleatria por
A funo de massa de probabilidade dada por
Notao:
Importantes Funes de Massa
de Probabilidade
Exemplo-1: Se uma varivel aleatria com , qual a probabilidade de ? 0.4219
Importantes Funes de Massa
de Probabilidade
Modelo de Poisson
Uma varivel aleatria com valores em
A funo de massa de probabilidade dada por
Notao:
Observao: a taxa mdia de ocorrncia do evento no intervalo considerado.
Modelo de Poisson
Exemplo-1: Suponha que Xt, o n de partculas emitidas em t horas por uma fonte radioativa, tenha uma
distribuio de Poisson com parmetro 20t. Qual ser a
probabilidade de que exatamente 5 partculas sejam
emitidas durante um perodo de 15 min?
Modelo de Poisson
Exemplo-2: Uma indstria de tintas recebe pedidos de seus vendedores atravs de fax, telefone e internet. A
taxa mdia de 5 pedidos por hora. (a) Qual a
probabilidade da indstria receber mais de dois pedidos
por hora? Digamos que, no horrio do almoo, a
indstria fica impossibilitada de atender a mais de dois
pedidos por hora. Voc acha que deveria aumentar o n
de atendentes nesse perodo? (b) Em um dia de
trabalho (8 horas) qual seria a probabilidade de haver 50
pedidos? A indstria deveria aumentar o n de
atendentes para receber mais de 50 pedidos por dia?
Modelo de Poisson
Exemplo-3: A chegada de nibus em um terminal acontece a razo de 3 por minuto. Supondo que tenha
uma distribuio de Poisson, determine a probabilidade
de:
a) chegarem exatamente 8 nibus em 2 minutos
b) chegarem exatamente 4 nibus em 5 minutos
Transformao de Variveis
Aleatrias
H em alguns experimentos interessante realizar uma transformao da varivel aleatria.
Seja uma transformao de tem-se que
Exemplo: Considere que os lados de um dado so rotulados com os nmeros 0,0,1,1,2,2. Encontre a f.m.p
dos resultados.
Funo de Distribuio
Acumulada
A funo de distribuio cumulativa (f.d.a.) descreve a funo de probabilidade de uma varivel aleatria:
Exemplo: Considere o experimento de lanar trs vezes um moeda honesta.
Obter o espao amostral para o experimento.
Considere a varivel aleatria igual ao nmero de caras.
, , a f.d.a. da varivel aleatria.
Funo de Distribuio
Acumulada
Funo de Distribuio
Acumulada - Propriedades
A funo de distribuio acumulada monotonicamente crescente
.
. Para
Esperana de uma Varivel
Aleatria Discreta
A esperana, ou valor mdio, de uma varivel aleatria definida por
Indica a regio dos valores da varivel aleatria com a maior concentrao de probabilidade.
Exemplo: Considere o experimento de lanar trs vezes um moeda. Defina a varivel aleatria como o nmero
de caras obtidos. Qual a esperana para o nmero de
caras?
Esperana de uma Varivel
Aleatria Discreta
Exemplo: Obtenha o valor esperado de uma varivel aleatria modelada por Bernoulli.
Exemplo: Obtenha o valor esperado de uma varivel aleatria Binomial.
Varincia de uma Varivel
Aleatria Discreta
A varincia de uma varivel aleatria discreta definida por
Utilizando a formula da esperana
Mede a disperso da distribuio da varivel aleatria em relao a esperana (valor mdio).
Varincia de uma Varivel
Aleatria Discreta
Exemplo: Obtenha a varincia d , onde o nmero de caras obtidos no experimento de lanar uma moeda trs vezes.
Obtenha a varincia de uma varivel aleatria modelada por Bernoulli.
Propriedades da Varincia e
Esperana
Variveis Aleatrias Contnuas
Definio: a varivel que assume valores em um intervalo, ou conjunto de intervalos, de nmero reais.
Exemplo: Realizar experimentos para medir a latncia na execuo de cdigos.
Variveis Aleatrias Contnuas
A descrio da varivel aleatria contnua dada pela funo densidade de probabilidade (f.d.p.)
Propriedades:
Variveis Aleatrias Contnuas
Exemplo: (a) Vamos testar a funo para ver se ela pode ser um f.d.p. vlida. (b) Suponha e
calcule a probabilidade do evento
Modelo Uniforme Contnuo
Uma varivel aleatria continua tem distribuio uniforme em se sua f.d.p. definida por
A funo constante em .
As probabilidades dos intervalos so proporcionais aos seus comprimentos.
Notao:
Modelo Uniforme Contnuo
Exemplo: Seja
Modelo Exponencial
Uma varivel aleatria continua tem distribuio exponencial se sua f.d.p. dada por
Pode ser utilizada para modelar o tempo de vida de componentes, durao de processos.
Notao:
Modelo Exponencial
Mostre que para e
Suponha que o tempo de durao de ligaes telefnicas em uma empresa que trabalha com vendas
pode ser modelada por .
Determine a probabilidade de:
A ligao demorar menos de 5 minutos?
A ligao demorar de cinco a dez minutos?
Modelo Gaussiano (Normal)
Uma varivel aleatria continua tem distribuio Gaussiana se sua f.d.p. definida por
onde e .
A distribuio simtrica em torno de .
O tamanho da densidade dado pelo valor de .
Considera-se como a distribuio mais importante.
Notao:
Modelo Gaussiano (Normal)
Modelo Gaussiano (Normal)
Exemplo: Se , calcule
Modelo Gaussiano (Normal)
Exemplo: Se , calcule
Modelo Gaussiano (Normal)
Exemplo: O Saldo mdio dos clientes de um banco uma varivel aleatria normal com mdia R$ 2.000,00
de desvio padro R$ 250,00. Os clientes com os 10%
maiores saldos mdios recebem tratamento VIP,
enquanto aqueles com os 5% menores saldos sero
convidados a mudar de banco.
Quanto voc precisa de saldo mdio para se tornar um cliente VIP?
Abaixo de qual saldo mdio o cliente ser convidado a mudar de banco?
Modelo Gaussiano (Normal)
Uma mquina fabrica tubos metlicos cujos dimetros podem ser considerados uma varivel aleatria normal
com mdia 200mm e desvio padro 2 mm. Verifica-se
que 15% dos tubos esto sendo rejeitados como
grandes e 10% como pequenos
Quais so as tolerncias de especificao para esse dimetro?
Esperana de uma Varivel
Aleatria Contnua
Esperana (valor esperado) de uma varivel aleatria contnua, com f.d.p. , definida por
Caracteriza a regio central da distribuio de probabilidade da varivel aleatria contnua
Se a distribuio possuir um ponto de simetria, a esperana ser igual a este ponto.
Esperana de uma Varivel
Aleatria Contnua
Calcule o valor esperado de
Esperana de uma Varivel
Aleatria Contnua
Calcule o valor esperado de
Calcule o valor esperado de
Varincia de uma Varivel
Aleatria Contnua
A varincia de uma varivel aleatria contnua definida por
Calcule a varincia de
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
O interesse medir mais que um atributo dos resultados.
Duas variveis aleatrias que so definidas no mesmo espao amostral so classificadas como
conjuntamente distribudas.
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Exemplo: Mapeamento do lanamento de duas moedas.
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
As variveis aleatrias podem ser denominadas de vetor aleatrio .
Elementos do vetor aleatrio e tamanho do espao amostral:
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Funo Massa de probabilidade conjunta
Exemplo: Faa a f.m.p. conjunta de um lanamento de duas moedas.
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Mapeamento de um para um:
Mapeamento de mais de um para um:
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Exemplo: Lanamento de um dado azul e um vermelho. O dado que possuir o maior nmero escolhido. Se os
resultados forem iguais, o dado vermelho escolhido.
Qual a probabilidade de o dado vermelho ser
escolhido e o resultado ser igual a trs. Obs.: utilize
estas variveis aleatrias:
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Funo massa de probabilidade marginal:
Exemplo:
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Exemplo: Considere a f.m.p conjunta
Encontre as f.m.p. marginais.
Observe que e
Mltiplas Variveis Aleatria
Discretas
Funo de distribuio acumulada conjunta dada por
Escrevendo em funo do somatrio da f.m.p conjunta
As f.d.a marginais so dadas por:
Funo de Distribuio
Acumulada Conjunta
Propriedades:
. monotonicamente crescente quando e/ou aumenta.
Funo de Distribuio
Acumulada Conjunta
A f.m.p pode ser obtida por:
Exemplo:
Independncia de Mltiplas
Variveis Aleatrias
Se e variveis aleatrias independentes, ento
Exemplo: Lanamento de uma moeda de R$0,25 e R$1,00 onde as f.m.p
Transformao de Mltiplas
variveis aleatrias
Considere as variveis aleatrias e transformadas em
Exemplo: Considere (variveis independentes). Realize a transformao e encontre
f.m.p conjunta.
Transformao de Mltiplas
variveis aleatrias
Considere a transformao do vetor aleatrio na varivel aleatria . A f.m.p conjunta
Valor Esperado de g(x,y)
Seja um vetor aleatrio e uma funo real, ento
Exemplo: valor esperado da soma de variveis aleatrias
Exemplo: valor esperado do produto das variveis aleatrias
Valor Esperado de g(x,y)
Exemplo: calcule . Suponha
A varincia da soma no em geral a soma das varincias.
Novo conceito: Covarincia.
Covarincia
Definio: A covarincia entre duas variveis aleatrias definida por
Verifica a variabilidade conjunta entre as variveis aleatrias.
Valores positivos indicam que as variveis aleatrias tendem a crescer no mesmo sentido, e valores
negativos indicam sentidos opostos.
Expresso alternativa:
Covarincia
Exemplo: Encontre a covarincia da f.m.p. conjunta
Obtenha a covarincia da f.m.p conjunta
Coeficiente de Correlao
O coeficiente de correlao entre duas variveis aleatrias definido por
uma medida que quantifica a associao linear entre as variveis aleatrias
.
.
Coeficiente de Correlao
Exemplo: Obtenha o coeficiente de correlao entre as variveis aleatrias.
Funo Massa de Probabilidade
Condicional
Para e com distribuio conjunta discreta defini-se
Uma vez que so distribuies de probabilidade
Funo Massa de Probabilidade
Condicional
Exemplo: Resultado de lanamento de dois dados. Qual a f.m.p condicional da soma dos resultados dado que
a soma par?
Dado que a soma mpar?
Funo Massa de Probabilidade
Condicional
Algumas relaes
Probabilidade conjunta
Probabilidade marginal
Esperana Condicional
Definio:
Calcule a esperana condicional do exemplo do resultado de dois dado.
Funo Massa de Probabilidade
Condicional
Probabilidade Condicional:
Substituindo N por N-1:
Igualando as equaes:
Funo Massa de Probabilidade
Condicional
Regra da Cadeia:
Caso especial:
Propriedade de Markov:
Teorema Central do Limite
Sejam variveis aleatrias independentes e identicamente distribudas (iid), com mdia e
varincia finita. Seja , ento com ,
tem-se
Pelo teorema central do limite, a distribuio da soma de uma quantidade grande de variveis aleatria iid pode
ser aproximada por uma distribuio Normal, sem ser
necessrio conhecer a distribuio das variveis
aleatrias.
Teorema Central do Limite
Exemplo: Encontre uma aproximao para funo densidade de probabilidade da v.a. , se so iid
com
Encontre a probabilidade aproximada de exceder 7, se as so iid com f.d.p.
Reviso para Variveis
Aleatrias Contnuas
Funo de distribuio acumulada
Transformao:
Reviso para Variveis
Aleatrias Contnuas
Esperana:
Varincia:
Reviso para Variveis
Aleatrias Contnuas
Distribuio conjunta:
Probabilidade marginal:
Valor esperado de um vetor aleatrio
Reviso para Variveis
Aleatrias
Matriz de covarincia:
Se a matriz diagonal, ento as variveis so independentes.
Processos Estocsticos
Processo estocstico o mapeamento de , o qual um conjunto de seqncia infinitas de resultados, para , o
qual um conjunto de seqncia infinitas de nmeros.
Exemplo:
Notao: o processo e a realizao.
Processos Estocsticos
Exemplo: Processos de Bernoulli.
Processos Estocsticos
Exemplo: A probabilidade dos cinco primeiro resultados serem cara.
Exemplo: Lanamento de um dado, repetidamente. Quais so e ? Qual a funo massa de
probabilidade conjunta?
Processos Estocsticos
Tipos de processos Estocsticos:
Processos de Tempo Contnuo: A varivel pode alterar o seu valor em qualquer instante de tempo.
Processos de Tempo Discreto: A varivel altera o seu valor em intervalos fixos de tempo.
Varivel Continua: A varivel pode assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo.
Varivel Discreta: A varivel pode assumir apenas alguns valores discretos.
Processos Estocsticos
Processos Estocsticos
Random walk
onde
Qual a funo densidade de probabilidade para um n grande?
Processos Estocsticos
O processo estocstico pode ser classificado em:
Estacionrio (a estatstica no depende do tempo).
No-estacionrio (caso contrrio.)
Condio para o processo ser estacionrio:
Exemplo: Prove que um processo estocstico iid um caso especial de um processo estocstico estacionrio.
Processos Estocsticos
Os valores esperados das funes do processo estocstico devem ser estacionrios
Nos processos estocsticos estacionrios a esperana e a varincia so constantes no tempo.
Processos Estocsticos
Processo Random Walk
Soma de n variveis aleatrias iid
A distribuio de probabilidades das variveis
Exemplo: Qual a distribuio de probabilidade?
1
11][
kp
kpkpU
Processos Estocsticos
Processo estocstico estacionrio no sentido amplo (WSS- wide sense stationary)
Um processo estocstico definido como WSS se
como
Ento as condies equivalentes so
Processos Estocsticos
Se o processo estocstico WSS, pode-se definir a autocorrelao:
A autocorrelao mede a correlao entre duas amostras do mesmo processo estocstico.
Exemplo: Processo estocstico definido por
onde iid, com mdia e varincia
Processos Estocsticos
Propriedades da autocorrelao:
positiva para k=0.
uma sequncia par
O maior valor encontrado em k=0.
Exemplo: Um processo estoca. de Bernoulli onde os valores das variveis aleatrias so +1 e -1. Qual a
autocorrelao da seqncia?
Processos Estocsticos
O processo dito ergdico se sua mdia temporal igual a mdia do conjunto.
Processos Estocsticos
Densidade Espectral de Potncia (PSD Power Spectral Density).
Para um sinal determinstico os componentes espectrais so obtidos a partir da transformada de Fourier.
Para sinais WSS essa informao obtida a partir da PSD:
Processos Estocsticos
Exemplo: Encontre a PSD do sinal rudo branco definido por
Exemplo: Encontre a PSD do sinal definido por
Processos Estocsticos
Processos estocsticos Gaussianos:
Modela muitos sinais aleatrios.
Teorema central do limite
onde
Processos Estocsticos
Continuao
Notao
Processos Estocsticos
Processo estocstico de Poisson
Descreve o nmero de vezes que algum evento ocorreu em funo do tempo.
Definio:
Exemplo: Os clientes chegam na fila de um caixa a uma taxa de 0.1 clientes por segundo de acordo com um processo aleatrio
de Poisson. Determine a probabilidade de 5 clientes chegarem
durante o primeiro minuto da fila do caixa estar aberta.