Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS

Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA

Responsable de l’équipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmeshttp://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/

Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8219

et Directeur de la recherche à École Polytechnique de Lille (Poltech’ lille)----------------------------------------------------------

mèl : [email protected], Tel: (33) (0) 3 28 76 73 87 , mobile : (33) (0) 6 67 12 30 20

Ce cours est dispensé aux élèves de niveau Master 2 HSQE (Hygiène Sécurité et Qualité de l’Environnement

Toutes vos remarques pour l’amélioration de ce cours sont les bienvenues.

OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS

http://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/

mailto:[email protected]

2

PRESENTATION Du

COURS

PRESENTATION Du

COURS

Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama , Polytech’Lille

Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION

Chap.1/3

Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de

l'environnementEtapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus



Chap.1/4

Chap 2

Chap 2

TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application



Chap.1/5

Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire

APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un

problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution

6

CHAP1CHAP1

INTRODUCTION



Chap.1/7

Chap1 : Introduction

Chap1 : Introduction

Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus

Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement

Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus



Chap.1/8

Importance & objectifs des modèles statistiques

Importance & objectifs des modèles statistiques

Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une

compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou

l'écriture". (H.G.Wells).

ObjectifsFournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas

possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe.

ApplicationsSondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques



Chap.1/9

Modélisation ?

Modélisation ?

Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du

modélisateur Modèle jamais "exact"?

Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation

Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).



Chap.1/10

Un modèle comment faire ?

Un modèle comment faire ?

1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.

2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.



Chap.1/11

Classification des modèles

Classification des modèles

selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique

selon la description mathématique linéaire, non linéaire

selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués

selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe

selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)

Chap.1/12

Étapes de modélisation

PROCESSUS PHYSIQUE

Acquisition de données

SIMULATION, MONITORING, CONTROL...

Amélioration du modèle

NON

Etablissement du schéma de principe

Représentation par bloc

Mise en équation

Modèle adéquat ?

Calcul erreur de modélisation

OUI

PROCESSUS PHYSIQUEPROCESSUS PHYSIQUE

Acquisition de données

SIMULATION, MONITORING, CONTROL...

Amélioration du modèle

NON

Etablissement du schéma de principe

Représentation par bloc

Mise en équation

Modèle adéquat ?

Modèle adéquat ?

Calcul erreur de modélisation

OUI

Chap2/13

Chapitre 2Chapitre 2

METHODES STATISTIQUES


Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/14

Méthodes des MMC

Méthodes des MMC

Principe de la MMC LSTLa MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à

prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique

SYSTEMEYs(i)

Entrées

Ym(i)

x(i)

+

-MODELE

Critèred’identification

(i)D((i))

min))()((1

2

n

iiYmiYsD



EXEMPLE : REGRESSION LINEAIREEXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE

Expérimentation N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre

du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; Modèle statique : Ym = F(X1,X2,.....Xk) Modèle

Structure du modèle

k

iiikk XaaXaXaXaaYm

1022110 ....

PROCEDE TECHNOLOGIQUE

x1

XK

y1



Matrice d’expérience H

Matrice d’expérience H

No Exp. I N P U T OUTPUT

1 X11 X21 X31 ............ Xj1 ............ XK1 Y1

2 X12 X22 X32 ............. Xj2 XK2 Y2

3 X13 X23 X33 ............. Xj3 Y3

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

i X1i X2i X3i ............ Xji ............ XKj Yj

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

N X1N X2N X3N XjN ............ XKN YN



Problématique générale

Problématique générale

Soit donné :

Que veut on ? : Trouver :

Tel que :

k

Tk

j

K

jj

XXXH

aaa

XaYm

...

,...

10

10

0

TKaaa ...10

min)()()(()()()(1

2

01

2

JiYiXaiyiYiy

N

im

K

jjj

N

im

.....

.

. 10

1

0

TTk

K

Haaa

X

X

X

Ym



1. cas monovariable

1. cas monovariable

K=1, Ym=a0+a1x

Combien d’expériences à réaliser ? 1. N=2 : Par deux points ne passent qu’une droite : E1=Y-Ym1=Y-Ym2=E2=0.?

Le modèle reflète parfaitement le système ? Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure

(Systématique, instrumentale, humaine etc.)

Y m = a o + a 1 X

E 2 E i

E 1

E NY m

X

yex

XX(i)

ym(i)

Yex(i)

E(i)

ymChamp de corrélation



1. cas monovariable

1. cas monovariable

2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMCDéterminer les paramètres a0 et a1 tel que :

Ceci revient à résoudre le système d’équations:

N

iiXaaiyaaJ

1

21010 min))(()(),(

0),(

0),(

),(

1

10

0

10

10

a

aaja

aaj

MinimumaaJ

2

11

2

1 1 112

11

2

1 1 11

2

0

.

......,

.

..._.

N

ii

N

ii

N

i

N

i

N

iiiii

N

ii

N

ii

N

i

N

i

N

iiii

N

iii

XXN

yXyXNa

XXN

yXXXya



1. cas multivariable

1. cas multivariable

K>1, Structure du modèle

Calcul des paramètres Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) :

Réalisation de N expériences

TK

TK

TKKj

K

jj

XXXH

aaa

HXaXaXaXaYm

...

,...

,....

10

10

22110

)(. tvHY Tm

)(.

...

.

.

...

...

2211

222221212

112121111

tVH

VXaXaXay

VXaXaXay

VXaXaXay

Y

NkNkNNN

kk

kk

),1(dim(Y) ),1()(dim

),(dim),()dim(

...

....

...

...

21

22212

12111

NNV

NkkNH

XXX

XXX

XXX

H

kNNN

K

k



1. Système non bruité V=0Cas déterministe, si H est inversible, alors :

Cas non réaliste

2. Système bruité V#0

0. HY YH .1

VHY . VHYHVHY 11.



Estimation des paramètres

Estimation des paramètres

2 types d’erreurs :Erreurs d'observation :

Erreurs d’estimation :

Estimateur optimal Critère d’optimalité

Conditions d'optimalité

Conditions d'observabilité : HT non singuliére et N > K

mYYE

m ˆ

........)()()()( 221

1

2

1

2 HYHYEEEEiEiyiyJ TTN

N

i

N

im

0..2)(

HYHJ T YHHH TT

opt ...1

.



Biais de l'estimateur

Biais de l'estimateur

Biais de l’estimateur b

b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée

b # 0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de

probabilité centrée sur la valeur cherchée V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); V est de moyenne non nulle

RoptRopt EEb )()(

Lim NN

opt



Simulation sur Matlab


homedisp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION')% VALEURS EXPERIMENTALESpause,homex=[1 2 3];y_exp=[2 4 6];pause;homedisp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE')pause,homeinput n=n=ans;poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^omedisp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION')pause,homeY_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèleE=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]);ERREUR_MAX=max(E(:,3))pausehomedisp('GRAPHE')pause,homeplot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp')pause;home;closedisp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n')

1. Cas monovariable



Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable

Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable

disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:')pause, homedisp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:')disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2')H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8]pause,homedisp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:')y=[5 13 9 4 11 12 23]'pause,homedisp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:')teta=inv(H'*H)*H'*y;a1=teta(1)a2=teta(2)pause,homedisp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2')pause,homedisp('VERIFICATION DU MODELE')pause,homedisp('VALEURS DU MODELE')ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2pause,homedisp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION')pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100]disp('ERREUR MAXIMALE')Emax=max(R(:,3))pause,homedisp('GRAPHE 3D')plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale');

Chap2/26

METHODES RECURSSIVESMETHODES RECURSSIVES



Limites de la MMC simple

Principe de la RLST

Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :

n.observatio éme1)(N la

.nobservatio sprécédenteN des compte tenant optimal Estimateur

.nobservatio 1N des compte tenantoptimalateur Estim.

1

)(

)1(

N

N

N

Y

sopt

sopt

NT

NNNNN optHYKoptopt ..... 1111



L’estimateur de la nouvelle mesure

Le gain d’adaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure

11 . NNT

N YmH

1

1

1

11

1

1 ...1...

NN

TN

TNNN

TNN HHHHHHHK



E (N + 1)= Y (N + 1)- H (N + 1 )T

.P (N ). H (N + 1 )-1

K (N + 1)= K o

(N + 1)op t. = op t. (N ) + K (N + 1).E (N + 1)

H (N + 1 )P (N + 1)= (1 -K (N + 1).T

).P (N )

N = N + 1

N -elle m esu reà l'in stan t N + 1Y (N + 1), H (N + 1 )

H (N + 1 )K o= 1+T

P (N ). H (N + 1 ).

G A IN

E C A R T D E P R E D IC T IO N

E S T IM A T IO N

M IS E A JO U R D E P (N )

A L G O R I T H M E R L S T N

TNNN

NT

NN

PHKP

etHHP

...1

,.

111

1



INITIALISATION DE L'ALGORITHME

INITIALISATION DE L'ALGORITHME

P(0) = diag(1000); 0)=0.

PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN

Inconvénient de la RLST

NNN

NN P

PH

PP

.1 21

1



MMC AVEC FENETRE GLISSANTE

MMC AVEC FENETRE GLISSANTE

PRINCIPE : Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N

constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent

K K -N K -N + 1K + 1

N éch an tillon s N + 1 ém e éch en tillon



Estimateur optimal

La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente.

Limite de la méthode

1111

1

..... KNKNKT

NKKKKT

KKKK HYHHYHP



MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION

MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION

PrinciopeCRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei

Pondération des erreurs

EEEEEJ TN ...................)( 22

22

1

0 définie npondératio de Matrice

...00

......

......

0..00

0...0

0..00

....................)( 222

21

W

EWEEEEJ TN



Choix de la pondérationOn recommande progression géométrique

< 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières

Critère d’optimalité

)...1,01( Ni

HYWHYJ T .)(

02)(

YWHWHYWHHJ TTT

YWHWHH TTopt .

1



RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION

111

1 .. NT

NNNNN HYK

1

1111 ..1..

NNT

NNNN HPHHPK

1..

T

NT

NN HWHP



MODELES LINEARISABLES

MODELES LINEARISABLES

Modèle exponentiel Utilisé lorsque le taux les données sont telles que le taux de

croissance ou de décroissance d'une variable Z est constante en f-n de X.

Exemple Les données suivantes représentent la croissance du biologiste, mois

par mois, d'une grandeur caractéristique d'un certain type de plante

XaaY

LogBXLogALogZ

BAZ X

.

.

.

10



Données

Connaissances à priori on postule un modéle exponentiel entre l'age et taille

Par la MMC on trouve :

Mois X 1 2 3 4 5 6 7

Taille Z 0.8 1.1 1.7 2.6 3.8 5.7 8.5

XaaXBABAZ

BAZX

X

10*)log(log).log(log

,.

10.10*

10,10

286.01735.0

10

XX

aa

BAZ

BA

a1= 0.1735 a0= -

0.2860



Modèle puissance

Modèle polynomial1. modèle parabolique

Z A X B

LogZ LogA B LogX Y a B x

tel que a LogA x LogX

0

0

Y a X a X a 22

1 0



2. Modèle polynomial général

2. Modèle polynomial général

Calcul des paramètres du modèle

ii

ii

ii

iii

ii

ii

ii

iii

i ii

iii

iiii

XYXaXaXa

XYXaXaXa

YaXaXa

MinaXaXaYaaaJ

220

31

42

02

13

2

012

2

2

012

2210

..

....

.

.),,(

Y a a X a X a XkK 0 1 2

2



.

.....

........

......

...........

.......

012

12

220

11

11

2

0111

01

11

1

Kii

Ki

KiK

KiK

iiij

ijK

iKK

iK

iiij

ijK

iKK

iK

ij

ijK

iKK

iK

XYXaXaXa

XYXaXaXaXa

XYXaXaXaXa

YaXaXaXa



ADEQUATION DU MODELE

ADEQUATION DU MODELE

DéfinitionProcédé de vérification sur la base des échantillons, la validité

d'une hypothèse et décider soit de rejeter, soit d'accepter hypothèse envisagé



CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELECARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELE

Somme des carrés totale (dispersion des données exp Ye(i) autour de la valeur moyenne )

Dispersion des données expérimentales autour de la ligne de régression (Somme des carrés résiduels)

2

1

_

N

iit YYS

2

1

N

iiit YYS



Dispersion des valeurs du modèle autour de la valeur moyenne expérimentale

Degré de liberté : = N-KCaractérise l'excès du nbre d'expériences

Exemple

2

1

_

N

iiM YYS

solution de pas 11

02

,42661

N

N

N

XaaY a



VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE

VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE

O U I

N O N

P L A N IF IC A T IO N E X P E R IE N C E S

F IC H IE R D O N N E E S

C O N N A IS S A N C E SA P R IO R I

N , Y i

N , P la n

H O M O G E N E IT E

E S T IM A T IO N D E S P A R A M E T R E S

Y = F (X ,

A D E Q U A T IO N

IM P O R T A N C EC O E F F IC IE N T S

N O N

L oi d e d istr ib u tion ?N on sta tion n a ire ?E ch an tillon d ifféren t?

S im u la tio n ,O p tim isa tio n ..

N O N



1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ

1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ

Principe : critère de Cochrane (Test de 2 ) La moyenne d'un échantillon est susceptible de varier de

façon substantielle d'un échantillon à un autre : Ce test permet d'expliquer la signification à donner à cette différence :

La vérification en deux étapes :1.Variance de sondage ou de reproductibilité (Test de 2 ) :

Pour chaque expérience on calcule :

2. Somme des dispersions

M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences

M-1 : degré de liberté =M

Y

YM

YYM

jji

i

M

jiij

sp

1

_

2

1

_

;1

N

isp

1

2



3. Critère calculé de Khi2

4. On vérifie l’homogénéité Variances homogènes avec une probabilité P ssi :

Sinon (variances non homogènes) alors on refait les expériences

N

ispi

spic

Max

1

2

22

)1(, si 22 MPTc Loi de Khi2 (exemple)

Probabilité

M-1= 0.001 … 0.999

3 0.002 … 13.8

…. … …. ….

26 9.22 … 54.1



2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION

2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION

But : vérifier que le modèle obtenu est adéquat (décrit avec précision le

procédé)

Quel critère ?Critère de Fischer F

Comme le rapport de la variance résiduelle à celle des essais parallèles Sens ? : comparer erreurs dues au modèle et celles dues au système

1 = N-K

2 = M-1

M : Nbre d'essais parallèles,

N : Nbre d'expériences

K : nbre de paramètres du modèle

M

jjM

N

ii

s

r

YY

YY

F

1

2_

1

2



Adéquation en absence d'essais parallèles

Adéquation en absence d'essais parallèles

Conditions d’adéquations par le critère F Modèle adéquat ssi

Influence de N (nbre d’exp.) et d’essais // sur l’adéquation du modèle :

Pour 2 fixé , 1 = N-K . Si N alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT)

Pour 1 fixé , 2 = M-1 . Si M alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT)

),,( PFF T

Critère F (exemple) : F(1, 2) pour P=0.95

1

2

1 … 14

6 5.99 … 3.96

8 5.32 …. 3.24

100 3.94 … 1.79



Que faire en absence d’essais parallèles ?

K

YY

YY

FN

ii

N

ii

r

y

1

2

1

2_

1 ou ),,( FPFF T

Modèle adéquat ssi



Exemple d'application

Exemple d'application

Equation D’arhenius Déterminer la relation liant la constante de vitesse K (mole/s) et la température

de la réaction T (°K)

Structure du modèle : formule empirique

Question : déterminez les valeurs numériques des paramétres E/R et K0 ?

Réaction chimique

T (°K) K (mole/s)

)(0 TFeKK RT

E

E : Energie d’activation,

R : cste des gaz

T (°K) = t (°c) +273



Données expérimentales Solution 1. Linéarisation du modèleExp. K t x=1/(t+273) y=lnK

1 3.23 400 2.2*10-6 1.1725

2 7.80 4521.9*10-6

2.054

3 15.43 4931.7*10-6

2.74

4 24.11 5201.56*10-6

3.19

5 37.95 5611.44*10-6

3.64

6 60.09 6041.30*10-6

4.09

TRE

KeKKTFeKK RT

E

RT

E1

.lnln)ln()( 000

RE

a

KaT

x

Ky

xaay

1

00

10

ln

1

)ln(xaay 10

min)(

/et Trouver 6

1i

210

10

ii xaay

aa





t= [400 452 493 528 561 604]K=[3.23 7.80 15.43 24.21 37.95 60.09];

y=log(K)x=1./(t+273)

input n=n=ans;ym=polyfit(x,y,n);

a0=ym(2)a1=ym(1)

K0=exp(a0)disp('-E/R=')a1

ymc=K0*exp(a1./(t+273));

E=(abs(ymc'-K')./K')*100;Emax=max(E)disp('GRAPHE')plot(t+273,ymc,t+273,K,'--')

a0 = 13.8329

a1 = -8.5218e+003

K0 = 1.0176e+006

-E/R=a1 = -8.5218e+003

650 700 750 800 850 9000

10

20

30

40

50

60

70

TEMPERATURE (°K)

MO

DE

LE

, E

XP

ER

IEN

CE

TeK8518

610*01176.1



CORRELATION MULTIPLE

CORRELATION MULTIPLE

Corrélation entre deux variablesRelation stochastique Relation fonctionnelle Aucune relation

N

i

N

iii

N

iii

YXXY

YYXXN

YYXXNXY

R

1 1

22

1

...

1

.

R Aucune relation fonctionnelle

R lation fonctionnelle

R Valeur r ommandée

XY

XY

XY

0

1

0 92

Re

ec



Coefficient de corrélation multiple


Soit le système suivant

Dans cette nouvelle échelle on a :

KK XaXaaY ....110

1

0;0

00

_

0

_0

YXj

YjX

1

,1

...1,...1;;

1

2

1

2

_

0

_

0

N

XX

N

YY

kjNiXX

XYY

Y

N

ijij

X

N

ii

Y

X

jjiji

Y

ii

j

j

1

1

1

1

0

1

0

1

1

2

1

2

1

200

0

j

j

j

j

j

X

X

X

N

i

jij

N

i X

jijN

ijj

X

N

N

N

XX

N

XX

N

XX

Démonstration

: 1 moyen equadratiquEcart

nulle,est moyenner Leur valeu

normées valeurs00

jii XetY



Coefficient de corrélation des valeurs norméesEntre une variables Xj et la sortie Y

Entre deux variables Xl et Xj

1

.

..1

00

_00

_00

0000

N

XY

N

YYXX

R iji

YX

iJJi

YXJ

J

1

. 00

0m

0

N

XXR mii

XX



Équation de régression normale


.)(?,..;

2

001

1

0 MinYYJbbXbY iiK

K

iii

R b b R b R

R b R b b R

R b R b R b

X Y X X K X Xp

X Y X X K X Xp

XKY XKX XKX K

1 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2

1 1 2 2

KN

NRRRbR corrigé

K

iXiYi

1.11;. 2

1

0

.

.

01

kb

J

b

J

57

Chapitre 3Chapitre 3

OPTIMISATION


Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/58

INTRODUCTION

OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous

quelques conditions.Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but.

Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique.

Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..)

CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources

disponibles.

EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc..



CONDITIONS D'OPTIMISATION

CONDITIONS D'OPTIMISATION

Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources .Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation.

EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère;Comparer les effets des différentes actions de commande.



METHODES D'OPTIMISATION


METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse

mathématique (Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression

simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et

plusieurs variables. METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL

Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue;

Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique;

Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles;

Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité.





PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus

discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs

critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la

détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes;

PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes

d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations

différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration.





PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non

linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme

égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être

résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la

résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum

(direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère



DÉFINITIONMéthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans

les problèmes dont les équations sont linéaires.

FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de

facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants

Contraintes : La manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F

facteur. iémei du (Coût) Marge:facteur; iémei du Quantités::

...2211

ii

nn

CXAvec

XCXCXCF

0...,,: plus en 21

...2211ou

...2211

nXXX

BnXnaXaXa

BnXnaXaXa ai : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i;B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits.

PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)

PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)



Problématique de la PL

Problématique de la PL

But :Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte

strictement des contraintes

.)(et

.)(.

:quetel

... Déterminer 21

BXa

MinMaxXCF

XXXX

ii

ii

n



Niveaux d'appréhension de la PL

Niveaux d'appréhension de la PL

FONCTION ÉCONOMIQUE

FORME DES CONTRAINTES

NIVEAU DES RESSOURCES

La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges…

Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? …

Peut-on améliorer la solution du problème en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?.



RESOLUTION D’UN PROBLEME PL

RESOLUTION D’UN PROBLEME PL

1. METHODE GRAPHIQUELorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de

résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement

EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des

opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés.

Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage.Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont

respectivement 15 F et 12,5 F.



Méthode graphique de la PL


Capacités d'usinage (en nbre de pièces)

Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont :

(Calculés : pour estampage : 100/25000 = 0.004 % de la capacité totale pour chaque unité)

Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2

Produit P1 25 000 33 333 22 500 -

Produit P2 35 000 16 667 - 15 000

Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2

Produit P1 0,004 0,003 0,0044 0

Produit P2 0,00286 0,006 0 0,00667

Capacité unitaire tot. utilisé [%]

100 100 100 100





Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que :

Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production

1. Formulation mathématique Soit X1 et X2 les quantités des produits P1 et P2 à produireFonction de profit : Contraintes (Limitation des capacités de production) :

.5,1215 21 MaxXXF

0,,

P2 Asemblage : 10000667,00

P1 Asemblage : 10000044,0

reprise : 1000060,0003,0

Estampage : 10000286,0004,0

321

21

21

21

21

XXX

XX

XX

XX

XX



2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE

On trace sur le plan OX1 et OX2 les droites :

10000667,00)....4(

10000044,0)...3(

1000060,0003,0)....2(

10000286,0004,0)....1(

21

21

21

21

XX

XX

XX

XX

x1 0 0 0

X 1

X 2

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

35

30

20

25

15

10

5

E stam page

A ssem blage P 1

R epr ise

M

N

P

QR

F O P T IM A L

d

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )A ssem blage P 2

(S a tu ra tio n )

(N o n sa tu ra tio n )

(S a tu ra tio n )


Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4), et à gauche de (3);

X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ;

Toute solution doit se trouver dans la zone

ombrée



Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême

P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point

x1 0 0 0

X 1

X 2

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

35

30

20

25

15

10

5

E stam page

A ssem blage P 1

R epr ise

M

N

P

QR

F O P T IM A L

d

(1)

(2 )

(3 )

(4 )A ssem blage P 2

(S a tu ra tio n )


(S a tu ra tio n )


Point optimal P X1opt=20363X2opt=6485Fmax=159271 FF

p

21 5,1215 XXF

X1opt

X2opt

x1000



ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes :

En produisant 20363 produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas.

Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui

diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à

chacune des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure).

saturationNon 25,43648500667,0

saturationNon 60,89203630044,0

Saturation10064850060,020363003,0

Saturation100648500286,020363004,0



LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la

méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection.



homedisp('PROBLEME:')disp('UNE SOCIETE FABRIQUE 2 PRODUITS P1 et P2.')disp('IL FAUT LEUR FAIRE SUBIR DES OPERATIONS DANS 3 ATELIERS DIFFERENTS')disp('OU IL DOIVENT ETRE PROGESSIVEMENT MONTES.')pause,homedisp('SOIT A1, A2 A3 : LES 3 ATELIERS ESTAMPAGE, REPRISE ET ASSEMBLAGE')disp('LES PROFITS UNITAIRES REALISES SUR P1, P2 SONT: 15F ET 12,5F.')pause,homedisp('LES CAPACITES D USINAGE SONT LIMITES COMME SUIT:')disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2')disp('PRODUIT P1: 25000 33333 22500 -')disp('PRODUIT P2: 35000 16667 - 15000')pause,homedisp('LES CAPACITES TOTALES UTILISEES POUR CHAQUE FABRICATION UNITAIRE SONT:')disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2')disp('PRODUIT P1: 0,004 0,003 0,0044 0')disp('PRODUIT P2: 0,00286 0,006 0 0,00667')disp('CAPAC. TOTAL 100 100 100 100')pause,homedisp('QUESTION : QUANTITE DE PRODUITS P1 ET P2 DE TELLE SORTE QUE:')disp(' 1. LE PROFIT SOIT MAXIMAL;') disp(' 2. RESPECTER LES LIMITATIONS DE CAPACITES DE PRODUCTION')pause;homedisp(' SOLUTION : SOIT X1 et X2 QUANTITES DE P1 et P2 A PRODUIRE:')disp(' FONCTION DE BUT : f= 15*X1+12,5*X2 -----> MAX.')pause

plot(x1,est,x1,REPR,x1,f)



f=-[15 12.5] % on met le signe (-) car on maximise et non minimisehome,pauseRLAB='EST. REPRISE ASS.P1 ASS.P2';CLAB='X1 X2';name=' MATRICE DES CONTRAINTES A:';A=[0.004 0.00286;0.003 0.006;0.0044 0;0 0.00667];

disp('MATRICE DES DONNEES')printmat(A,name,RLAB,CLAB)pause,homedisp(' CAPACITES MAXIMALES ')B=[100 100 100 100]pause,homedisp('SOLUTION OPTIMALE :x=[x1opt x2opt]')[xopt]=LINPROG(f,A,B)fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)pause,homedisp(' GRAPHE')x1=0:1000:40000;est=((-A(1,1)*x1+100)/A(1,2));REPR=((-A(2,1)*x1+100)/A(2,2));f=-15*x1/12.5;



ALGORITHME DU SIMPLEXE

ALGORITHME DU SIMPLEXE

Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe :

On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique.



EXEMPLEUne entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant

45h/semaine 3 produits P1,P2,P3.Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75

P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3.

Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour

maximiser le profit



FORMULATION MATHEMATIQUE X1, X2 et X3 : Quantité des produits à P1, P2 et P3 F : La fonction économique

Variables d'écart (V.E.) : X4, X5 , X6 et X7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la

saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations

675026345752550

15000

5000

1000X0

:sContrainte

.3124

321321

3

2

1

321

XXXXXX

X

X

MaxXXXF



MISE EN EQUATION AVEC LES V.E

FORME MATRICIELLE

6750263

1500

500

1000X

7321

63

52

41

XXXX

XX

XX

X

(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1)

6750

1500

500

1000

1000263

0100100

0010010

0001001

7

6

5

4

3

2

1

X

X

X

X

X

X

X

.base hors Variables:,,

;BASE de Variables:,,,

321

7654

XXX

XXXX



INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt :

Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé)

Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre.

Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible.

6750,1500,500,1000:

0

7654

321

XXXXAlors

XXX



FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES

X i

j

S o lu tion

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice

V .E . C i(C oû t base )

X j

C C oeffic ien ts de F

F = 0

4 12 3 0 0 0 0 0 0 0 1000 500 1500 6750

C oû ts m arg in au x 4 12 3 0 0 0 0 j

Colonne j=2, ligne i=5



COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique

Sortie d'un vecteur Ai de la base et entree d'un vecteur Aj dand la base : Xij ➽ "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j)

CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on

sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans

cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.)

.3,12,43124 321321 XXXF

colonneémejgrand 2)2(122



Pour déterminer la colonne Ai qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que

La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût

marginal le plus grand j=2); L'élément X52 est le pivot de la transformation (ici X52 =1) X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7).

positifsceux parmi PETIT PLUS leSoit ij

i

X

X

6

3750,

0

1500,

1

500,

0

1000)7,6,5,4(

2;

3750

1500

500

1000

,

6

0

1

0

212=max iXi

XXXj i

iijj

Voir tableau : i=ligne n°5, j=2 colonne



ETAPE 1 : i = 5, j = 2TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7)

X i

j

S o lu tion

j



X j


C oû ts m arg in au xj

X 2 en tre d a n s la b a se

4 12 3 0 0 0 0 0 500 0 1000 0 1500 3750

4 0 3 0 -12 0 0 F = 6000



Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut

Nouvelle valeur de la fonction economique F‘

F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12

Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000

jij

i

X

XFF .

125005 255 XXjXXi iji



Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A0

iKsiX

XX

iKsiX

XXXX

ij

ii

ij

iKJKK

.

).(37501

500.66750.

);(15001

500.01500.

);(500.

);(10001

500.01000.

52

57277

52

56266

52

55

52

54244

iKX

XXXX

iKX

XXXX

iKX

XX

iKX

XXXX



Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne Al

iKsiX

XX

iKsiX

XXXX

ij

ilil

ij

ilKJKlKl

.

);(61

1..60.

7,5

.

.

);(31

0.03.

.

.

);(01

0.

);(11

0.01.

:)0=X=car inchangés(Eléments1l1Colonne

52

55727575

.75

52

51727171

52

5151

52

51424141

51

iKX

XXXX

XElémentLigneColonne

iKX

XXXX

iKX

XX

iKX

XXXX

X il



Nouvelles valeurs des coûts marginaux j

jKsi

jKsiX

X

j

ij

iKjKK

0

.

).(01

0.120.

);(01

0.120.

);(121

1.120.

);(01

0.120.

);(31

0.123.

);(0

);(41

0.124.

:Alors

.valeurncienne

.)7...3,2,1(;5;12max2

52

57277

52

56266

52

55255

52

54244

52

53233

2

52

51211

2

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jKX

X

jK

jKX

X

A

colonneNKij

K

j



l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité.

ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a :

Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient :

24:41:

43

3750,

0

1500,

1

500,

1

1000:0

14max

jindiceayantColonneiindiceayantLigneXPIVOT

ipetitplusleijX

iX

jj



TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7)

Xi

j

Solution

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice

V.E. Ci(Coût base)

Xj

C Coefficients de F

Coûts marginauxj

4 12 3 0 0 0 0 1000 500 0 0 0 1500 750

0 0 3 -4 -12 0 0

F = 10000

X1entrebase



ETAPE 3 : i = 7 , j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a :

.2:

;72

7500

X

X

3;=j3=max.

73

ij

i

XPIVOT

iestpetitplusle

j



NOUVEAU TABLEAUNouvelle base (1,2,6,3)

Xi

j

Solution

j

A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice

V.E. Ci(Coût base)

Xj

C Coefficients de F

Coûts marginauxj

4 12 3 0 0 0 0 1000 500 375 0 0 1125 0

X3 entredans base

0 0 0 1/2 -3 0 - 3/2

> 0 L'optimum n'est pas atteind

F = 11125



DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4Sur la base du tableau de l'étape 3 on a :

Les valeurs des éléments X’Kl , X’K ’K et F’ sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue

.23:

;623

11250

X

X ;4=j21=max.

64

ij

i

XXPIVOT

iestpetitplusle

ij

j



X i

j

S o lu tion

j



X j


C oû ts m arg in au xj

< 0 L 'o p tim u m e s t a tte in d

F = 115000 0 0 0 -4 -1 /3 -4 /3

4 12 3 0 0 0 0 250 500 1500 750 0 0 0

FXXXF

XXX

OPTIMALESOLUTION

11500.3.12.4

1500,500,250

:

321

321



Commentaires :Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3=

6750h/semaine



Programme sous MATLABProgramme sous MATLAB

% nom du programme : PROG_LINEAR% Introduction de données :

Home

r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimiseA=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2];B=[1000;500;1500;6750];

% Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt]

[xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B)

%valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3)

96

METHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGE



Problématique

Problématique

Soit une fonction g(x1, x2, …xn) à trouver un extremumLes variables x1, x2, …xn ne sont pas indépendantes : elles sont

reliées par m relations

Introduisons j(j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons :

0,...,

.

.

0,...,

0,...,

21

212

211

nm

n

n

xxx

xxx

xxx

0),...(...),...(),...(),...(,...,,... 1122111111 nmmnnnmn xxxxxxxxgxx

CONTRAINTES m<n



Conditions d’extremumConditions

d’extremumConditions d’extremum :

Equations de contraintes

0),...,(

.

.

0),...,(

0),...,(

21

2

21

1

21

n

n

n

n

x

xxx

x

xxx

x

xxx

0,...,

.

.

0,...,

0,...,

21

212

211

nm

n

n

xxx

xxx

xxx



Problème global d’optimisation

Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées

0,...,

.

.

0,...,

0),...,(

.

.

0),...,(

21

211

21

1

21

nm

n

n

n

n

xxx

xxx

x

xxx

x

xxx

n équations

m équations



Exemple d’application

Exemple d’application

EXEMPLEDéterminer les dimensions d’un réservoir cylindrique de volume V

donnée, qui possède une surface S minimale.

R

h

)2(0V),(V :Contrainte

)1(),(2 :minimiserà Fonction2

12

2

hRhRhR

hRgRhRS



Solution

Solution

Formulation mathématique

Développement : méthode de Lagrange

)2(0V),(V :Contrainte

)1(),(2 :minimiserà Fonction2

12

2

hRhRhR

hRgRhRS

)5(02),(

)4(0222),(

optimales Conditions

)3(V2h)(R,

Lagrange deFonction

2

22

RRh

hR

RHhRR

hR

hRRhR

)9(V

22.(2) dans(7)et )8(

)8(4

)5(R

)7(2

R (6),interetd' Pas0,R

Solution

3

2

21

h

3

3

2.2h

2

V

VR

(8)et (7) dans )9(

Résolution du système d’équations

Documents

Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS