Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA
Responsable de l’équipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmeshttp://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/
Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8219
et Directeur de la recherche à École Polytechnique de Lille (Poltech’ lille)----------------------------------------------------------
mèl : [email protected], Tel: (33) (0) 3 28 76 73 87 , mobile : (33) (0) 6 67 12 30 20
Ce cours est dispensé aux élèves de niveau Master 2 HSQE (Hygiène Sécurité et Qualité de l’Environnement
Toutes vos remarques pour l’amélioration de ce cours sont les bienvenues.
OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS
2
PRESENTATION Du
COURS
PRESENTATION Du
COURS
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/3
Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de
l'environnementEtapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/4
Chap 2
Chap 2
TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/5
Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire
APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un
problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution
6
CHAP1CHAP1
INTRODUCTION
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/7
Chap1 : Introduction
Chap1 : Introduction
Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus
Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement
Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/8
Importance & objectifs des modèles statistiques
Importance & objectifs des modèles statistiques
Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une
compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou
l'écriture". (H.G.Wells).
ObjectifsFournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas
possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe.
ApplicationsSondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/9
Modélisation ?
Modélisation ?
Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du
modélisateur Modèle jamais "exact"?
Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % d’un projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation
Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/10
Un modèle comment faire ?
Un modèle comment faire ?
1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse.
2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.
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Chap1 : METHODES STATISTIQUES D’IDENTIFICATION
Chap.1/11
Classification des modèles
Classification des modèles
selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique
selon la description mathématique linéaire, non linéaire
selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués
selon l’évolution des paramètres : stochastique , déterministe
selon le nombre de variables : monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)
Chap.1/12
Étapes de modélisation
PROCESSUS PHYSIQUE
Acquisition de données
SIMULATION, MONITORING, CONTROL...
Amélioration du modèle
NON
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Mise en équation
Modèle adéquat ?
Calcul erreur de modélisation
OUI
PROCESSUS PHYSIQUEPROCESSUS PHYSIQUE
Acquisition de données
SIMULATION, MONITORING, CONTROL...
Amélioration du modèle
NON
Etablissement du schéma de principe
Représentation par bloc
Mise en équation
Modèle adéquat ?
Modèle adéquat ?
Calcul erreur de modélisation
OUI
Chap2/13
Chapitre 2Chapitre 2
METHODES STATISTIQUES
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/14
Méthodes des MMC
Méthodes des MMC
Principe de la MMC LSTLa MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à
prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique
SYSTEMEYs(i)
Entrées
Ym(i)
x(i)
+
-MODELE
Critèred’identification
(i)D((i))
min))()((1
2
n
iiYmiYsD
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/15
EXEMPLE : REGRESSION LINEAIREEXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE
Expérimentation N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre
du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; Modèle statique : Ym = F(X1,X2,.....Xk) Modèle
Structure du modèle
k
iiikk XaaXaXaXaaYm
1022110 ....
PROCEDE TECHNOLOGIQUE
x1
XK
y1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/16
Matrice d’expérience H
Matrice d’expérience H
No Exp. I N P U T OUTPUT
1 X11 X21 X31 ............ Xj1 ............ XK1 Y1
2 X12 X22 X32 ............. Xj2 XK2 Y2
3 X13 X23 X33 ............. Xj3 Y3
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i X1i X2i X3i ............ Xji ............ XKj Yj
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
N X1N X2N X3N XjN ............ XKN YN
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/17
Problématique générale
Problématique générale
Soit donné :
Que veut on ? : Trouver :
Tel que :
k
Tk
j
K
jj
XXXH
aaa
XaYm
...
,...
10
10
0
TKaaa ...10
min)()()(()()()(1
2
01
2
JiYiXaiyiYiy
N
im
K
jjj
N
im
.....
.
. 10
1
0
TTk
K
Haaa
X
X
X
Ym
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/18
1. cas monovariable
1. cas monovariable
K=1, Ym=a0+a1x
Combien d’expériences à réaliser ? 1. N=2 : Par deux points ne passent qu’une droite : E1=Y-Ym1=Y-Ym2=E2=0.?
Le modèle reflète parfaitement le système ? Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure
(Systématique, instrumentale, humaine etc.)
Y m = a o + a 1 X
E 2 E i
E 1
E NY m
X
yex
XX(i)
ym(i)
Yex(i)
E(i)
ymChamp de corrélation
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/19
1. cas monovariable
1. cas monovariable
2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMCDéterminer les paramètres a0 et a1 tel que :
Ceci revient à résoudre le système d’équations:
N
iiXaaiyaaJ
1
21010 min))(()(),(
0),(
0),(
),(
1
10
0
10
10
a
aaja
aaj
MinimumaaJ
2
11
2
1 1 112
11
2
1 1 11
2
0
.
......,
.
..._.
N
ii
N
ii
N
i
N
i
N
iiiii
N
ii
N
ii
N
i
N
i
N
iiii
N
iii
XXN
yXyXNa
XXN
yXXXya
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/20
1. cas multivariable
1. cas multivariable
K>1, Structure du modèle
Calcul des paramètres Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) :
Réalisation de N expériences
TK
TK
TKKj
K
jj
XXXH
aaa
HXaXaXaXaYm
...
,...
,....
10
10
22110
)(. tvHY Tm
)(.
...
.
.
...
...
2211
222221212
112121111
tVH
VXaXaXay
VXaXaXay
VXaXaXay
Y
NkNkNNN
kk
kk
),1(dim(Y) ),1()(dim
),(dim),()dim(
...
....
...
...
21
22212
12111
NNV
NkkNH
XXX
XXX
XXX
H
kNNN
K
k
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/21
1. Système non bruité V=0Cas déterministe, si H est inversible, alors :
Cas non réaliste
2. Système bruité V#0
0. HY YH .1
VHY . VHYHVHY 11.
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/22
Estimation des paramètres
Estimation des paramètres
2 types d’erreurs :Erreurs d'observation :
Erreurs d’estimation :
Estimateur optimal Critère d’optimalité
Conditions d'optimalité
Conditions d'observabilité : HT non singuliére et N > K
mYYE
m ˆ
........)()()()( 221
1
2
1
2 HYHYEEEEiEiyiyJ TTN
N
i
N
im
0..2)(
HYHJ T YHHH TT
opt ...1
.
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/23
Biais de l'estimateur
Biais de l'estimateur
Biais de l’estimateur b
b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée
b # 0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de
probabilité centrée sur la valeur cherchée V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); V est de moyenne non nulle
RoptRopt EEb )()(
Lim NN
opt
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/24
Simulation sur Matlab
Simulation sur Matlab
homedisp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION')% VALEURS EXPERIMENTALESpause,homex=[1 2 3];y_exp=[2 4 6];pause;homedisp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE')pause,homeinput n=n=ans;poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^omedisp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION')pause,homeY_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèleE=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]);ERREUR_MAX=max(E(:,3))pausehomedisp('GRAPHE')pause,homeplot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp')pause;home;closedisp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n')
1. Cas monovariable
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/25
Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable
Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable
disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:')pause, homedisp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:')disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2')H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8]pause,homedisp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:')y=[5 13 9 4 11 12 23]'pause,homedisp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:')teta=inv(H'*H)*H'*y;a1=teta(1)a2=teta(2)pause,homedisp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2')pause,homedisp('VERIFICATION DU MODELE')pause,homedisp('VALEURS DU MODELE')ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2pause,homedisp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION')pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100]disp('ERREUR MAXIMALE')Emax=max(R(:,3))pause,homedisp('GRAPHE 3D')plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale');
Chap2/26
METHODES RECURSSIVESMETHODES RECURSSIVES
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/27
Limites de la MMC simple
Principe de la RLST
Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :
n.observatio éme1)(N la
.nobservatio sprécédenteN des compte tenant optimal Estimateur
.nobservatio 1N des compte tenantoptimalateur Estim.
1
)(
)1(
N
N
N
Y
sopt
sopt
NT
NNNNN optHYKoptopt ..... 1111
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/28
L’estimateur de la nouvelle mesure
Le gain d’adaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure
11 . NNT
N YmH
1
1
1
11
1
1 ...1...
NN
TN
TNNN
TNN HHHHHHHK
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/29
E (N + 1)= Y (N + 1)- H (N + 1 )T
.P (N ). H (N + 1 )-1
K (N + 1)= K o
(N + 1)op t. = op t. (N ) + K (N + 1).E (N + 1)
H (N + 1 )P (N + 1)= (1 -K (N + 1).T
).P (N )
N = N + 1
N -elle m esu reà l'in stan t N + 1Y (N + 1), H (N + 1 )
H (N + 1 )K o= 1+T
P (N ). H (N + 1 ).
G A IN
E C A R T D E P R E D IC T IO N
E S T IM A T IO N
M IS E A JO U R D E P (N )
A L G O R I T H M E R L S T N
TNNN
NT
NN
PHKP
etHHP
...1
,.
111
1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/30
INITIALISATION DE L'ALGORITHME
INITIALISATION DE L'ALGORITHME
P(0) = diag(1000); 0)=0.
PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN
Inconvénient de la RLST
NNN
NN P
PH
PP
.1 21
1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/31
MMC AVEC FENETRE GLISSANTE
MMC AVEC FENETRE GLISSANTE
PRINCIPE : Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N
constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent
K K -N K -N + 1K + 1
N éch an tillon s N + 1 ém e éch en tillon
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/32
Estimateur optimal
La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente.
Limite de la méthode
1111
1
..... KNKNKT
NKKKKT
KKKK HYHHYHP
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/33
MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION
MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION
PrinciopeCRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei
Pondération des erreurs
EEEEEJ TN ...................)( 22
22
1
0 définie npondératio de Matrice
...00
......
......
0..00
0...0
0..00
....................)( 222
21
W
EWEEEEJ TN
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/34
Choix de la pondérationOn recommande progression géométrique
< 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières
Critère d’optimalité
)...1,01( Ni
HYWHYJ T .)(
02)(
YWHWHYWHHJ TTT
YWHWHH TTopt .
1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/35
RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION
111
1 .. NT
NNNNN HYK
1
1111 ..1..
NNT
NNNN HPHHPK
1..
T
NT
NN HWHP
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/36
MODELES LINEARISABLES
MODELES LINEARISABLES
Modèle exponentiel Utilisé lorsque le taux les données sont telles que le taux de
croissance ou de décroissance d'une variable Z est constante en f-n de X.
Exemple Les données suivantes représentent la croissance du biologiste, mois
par mois, d'une grandeur caractéristique d'un certain type de plante
XaaY
LogBXLogALogZ
BAZ X
.
.
.
10
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/37
Données
Connaissances à priori on postule un modéle exponentiel entre l'age et taille
Par la MMC on trouve :
Mois X 1 2 3 4 5 6 7
Taille Z 0.8 1.1 1.7 2.6 3.8 5.7 8.5
XaaXBABAZ
BAZX
X
10*)log(log).log(log
,.
10.10*
10,10
286.01735.0
10
XX
aa
BAZ
BA
a1= 0.1735 a0= -
0.2860
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/38
Modèle puissance
Modèle polynomial1. modèle parabolique
Z A X B
LogZ LogA B LogX Y a B x
tel que a LogA x LogX
0
0
Y a X a X a 22
1 0
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/39
2. Modèle polynomial général
2. Modèle polynomial général
Calcul des paramètres du modèle
ii
ii
ii
iii
ii
ii
ii
iii
i ii
iii
iiii
XYXaXaXa
XYXaXaXa
YaXaXa
MinaXaXaYaaaJ
220
31
42
02
13
2
012
2
2
012
2210
..
....
.
.),,(
Y a a X a X a XkK 0 1 2
2
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/40
.
.....
........
......
...........
.......
012
12
220
11
11
2
0111
01
11
1
Kii
Ki
KiK
KiK
iiij
ijK
iKK
iK
iiij
ijK
iKK
iK
ij
ijK
iKK
iK
XYXaXaXa
XYXaXaXaXa
XYXaXaXaXa
YaXaXaXa
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/41
ADEQUATION DU MODELE
ADEQUATION DU MODELE
DéfinitionProcédé de vérification sur la base des échantillons, la validité
d'une hypothèse et décider soit de rejeter, soit d'accepter hypothèse envisagé
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/42
CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELECARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELE
Somme des carrés totale (dispersion des données exp Ye(i) autour de la valeur moyenne )
Dispersion des données expérimentales autour de la ligne de régression (Somme des carrés résiduels)
2
1
_
N
iit YYS
2
1
N
iiit YYS
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/43
Dispersion des valeurs du modèle autour de la valeur moyenne expérimentale
Degré de liberté : = N-KCaractérise l'excès du nbre d'expériences
Exemple
2
1
_
N
iiM YYS
solution de pas 11
02
,42661
N
N
N
XaaY a
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/44
VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE
VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE
O U I
N O N
P L A N IF IC A T IO N E X P E R IE N C E S
F IC H IE R D O N N E E S
C O N N A IS S A N C E SA P R IO R I
N , Y i
N , P la n
H O M O G E N E IT E
E S T IM A T IO N D E S P A R A M E T R E S
Y = F (X ,
A D E Q U A T IO N
IM P O R T A N C EC O E F F IC IE N T S
N O N
L oi d e d istr ib u tion ?N on sta tion n a ire ?E ch an tillon d ifféren t?
S im u la tio n ,O p tim isa tio n ..
N O N
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/45
1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ
1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ
Principe : critère de Cochrane (Test de 2 ) La moyenne d'un échantillon est susceptible de varier de
façon substantielle d'un échantillon à un autre : Ce test permet d'expliquer la signification à donner à cette différence :
La vérification en deux étapes :1.Variance de sondage ou de reproductibilité (Test de 2 ) :
Pour chaque expérience on calcule :
2. Somme des dispersions
M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences
M-1 : degré de liberté =M
Y
YM
YYM
jji
i
M
jiij
sp
1
_
2
1
_
;1
N
isp
1
2
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/46
3. Critère calculé de Khi2
4. On vérifie l’homogénéité Variances homogènes avec une probabilité P ssi :
Sinon (variances non homogènes) alors on refait les expériences
N
ispi
spic
Max
1
2
22
)1(, si 22 MPTc Loi de Khi2 (exemple)
Probabilité
M-1= 0.001 … 0.999
3 0.002 … 13.8
…. … …. ….
26 9.22 … 54.1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/47
2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION
2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION
But : vérifier que le modèle obtenu est adéquat (décrit avec précision le
procédé)
Quel critère ?Critère de Fischer F
Comme le rapport de la variance résiduelle à celle des essais parallèles Sens ? : comparer erreurs dues au modèle et celles dues au système
1 = N-K
2 = M-1
M : Nbre d'essais parallèles,
N : Nbre d'expériences
K : nbre de paramètres du modèle
M
jjM
N
ii
s
r
YY
YY
F
1
2_
1
2
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/48
Adéquation en absence d'essais parallèles
Adéquation en absence d'essais parallèles
Conditions d’adéquations par le critère F Modèle adéquat ssi
Influence de N (nbre d’exp.) et d’essais // sur l’adéquation du modèle :
Pour 2 fixé , 1 = N-K . Si N alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT)
Pour 1 fixé , 2 = M-1 . Si M alors FT (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT)
),,( PFF T
Critère F (exemple) : F(1, 2) pour P=0.95
1
2
1 … 14
6 5.99 … 3.96
8 5.32 …. 3.24
100 3.94 … 1.79
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/49
Que faire en absence d’essais parallèles ?
K
YY
YY
FN
ii
N
ii
r
y
1
2
1
2_
1 ou ),,( FPFF T
Modèle adéquat ssi
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/50
Exemple d'application
Exemple d'application
Equation D’arhenius Déterminer la relation liant la constante de vitesse K (mole/s) et la température
de la réaction T (°K)
Structure du modèle : formule empirique
Question : déterminez les valeurs numériques des paramétres E/R et K0 ?
Réaction chimique
T (°K) K (mole/s)
)(0 TFeKK RT
E
E : Energie d’activation,
R : cste des gaz
T (°K) = t (°c) +273
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/51
Données expérimentales Solution 1. Linéarisation du modèleExp. K t x=1/(t+273) y=lnK
1 3.23 400 2.2*10-6 1.1725
2 7.80 4521.9*10-6
2.054
3 15.43 4931.7*10-6
2.74
4 24.11 5201.56*10-6
3.19
5 37.95 5611.44*10-6
3.64
6 60.09 6041.30*10-6
4.09
TRE
KeKKTFeKK RT
E
RT
E1
.lnln)ln()( 000
RE
a
KaT
x
Ky
xaay
1
00
10
ln
1
)ln(xaay 10
min)(
/et Trouver 6
1i
210
10
ii xaay
aa
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/52
Simulation sur Matlab
Simulation sur Matlab
t= [400 452 493 528 561 604]K=[3.23 7.80 15.43 24.21 37.95 60.09];
y=log(K)x=1./(t+273)
input n=n=ans;ym=polyfit(x,y,n);
a0=ym(2)a1=ym(1)
K0=exp(a0)disp('-E/R=')a1
ymc=K0*exp(a1./(t+273));
E=(abs(ymc'-K')./K')*100;Emax=max(E)disp('GRAPHE')plot(t+273,ymc,t+273,K,'--')
a0 = 13.8329
a1 = -8.5218e+003
K0 = 1.0176e+006
-E/R=a1 = -8.5218e+003
650 700 750 800 850 9000
10
20
30
40
50
60
70
TEMPERATURE (°K)
MO
DE
LE
, E
XP
ER
IEN
CE
TeK8518
610*01176.1
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/53
CORRELATION MULTIPLE
CORRELATION MULTIPLE
Corrélation entre deux variablesRelation stochastique Relation fonctionnelle Aucune relation
N
i
N
iii
N
iii
YXXY
YYXXN
YYXXNXY
R
1 1
22
1
...
1
.
R Aucune relation fonctionnelle
R lation fonctionnelle
R Valeur r ommandée
XY
XY
XY
0
1
0 92
Re
ec
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/54
Coefficient de corrélation multiple
Coefficient de corrélation multiple
Soit le système suivant
Dans cette nouvelle échelle on a :
KK XaXaaY ....110
1
0;0
00
_
0
_0
YXj
YjX
1
,1
...1,...1;;
1
2
1
2
_
0
_
0
N
XX
N
YY
kjNiXX
XYY
Y
N
ijij
X
N
ii
Y
X
jjiji
Y
ii
j
j
1
1
1
1
0
1
0
1
1
2
1
2
1
200
0
j
j
j
j
j
X
X
X
N
i
jij
N
i X
jijN
ijj
X
N
N
N
XX
N
XX
N
XX
Démonstration
: 1 moyen equadratiquEcart
nulle,est moyenner Leur valeu
normées valeurs00
jii XetY
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/55
Coefficient de corrélation des valeurs norméesEntre une variables Xj et la sortie Y
Entre deux variables Xl et Xj
1
.
..1
00
_00
_00
0000
N
XY
N
YYXX
R iji
YX
iJJi
YXJ
J
1
. 00
0m
0
N
XXR mii
XX
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Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2/56
Équation de régression normale
Coefficient de corrélation multiple
.)(?,..;
2
001
1
0 MinYYJbbXbY iiK
K
iii
R b b R b R
R b R b b R
R b R b R b
X Y X X K X Xp
X Y X X K X Xp
XKY XKX XKX K
1 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 2
1 1 2 2
KN
NRRRbR corrigé
K
iXiYi
1.11;. 2
1
0
.
.
01
kb
J
b
J
57
Chapitre 3Chapitre 3
OPTIMISATION
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/58
INTRODUCTION
OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous
quelques conditions.Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but.
Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique.
Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..)
CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources
disponibles.
EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc..
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/59
CONDITIONS D'OPTIMISATION
CONDITIONS D'OPTIMISATION
Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources .Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation.
EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère;Comparer les effets des différentes actions de commande.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/60
METHODES D'OPTIMISATION
METHODES D'OPTIMISATION
METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse
mathématique (Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression
simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et
plusieurs variables. METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL
Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue;
Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique;
Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles;
Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/61
METHODES D'OPTIMISATION
METHODES D'OPTIMISATION
PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus
discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs
critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la
détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes;
PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes
d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations
différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/62
METHODES D'OPTIMISATION
METHODES D'OPTIMISATION
PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non
linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme
égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être
résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la
résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum
(direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/63
DÉFINITIONMéthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans
les problèmes dont les équations sont linéaires.
FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de
facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants
Contraintes : La manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F
facteur. iémei du (Coût) Marge:facteur; iémei du Quantités::
...2211
ii
nn
CXAvec
XCXCXCF
0...,,: plus en 21
...2211ou
...2211
nXXX
BnXnaXaXa
BnXnaXaXa ai : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i;B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits.
PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)
PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/64
Problématique de la PL
Problématique de la PL
But :Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte
strictement des contraintes
.)(et
.)(.
:quetel
... Déterminer 21
BXa
MinMaxXCF
XXXX
ii
ii
n
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/65
Niveaux d'appréhension de la PL
Niveaux d'appréhension de la PL
FONCTION ÉCONOMIQUE
FORME DES CONTRAINTES
NIVEAU DES RESSOURCES
La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges…
Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? …
Peut-on améliorer la solution du problème en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/66
RESOLUTION D’UN PROBLEME PL
RESOLUTION D’UN PROBLEME PL
1. METHODE GRAPHIQUELorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de
résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement
EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des
opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés.
Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage.Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont
respectivement 15 F et 12,5 F.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/67
Méthode graphique de la PL
Méthode graphique de la PL
Capacités d'usinage (en nbre de pièces)
Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont :
(Calculés : pour estampage : 100/25000 = 0.004 % de la capacité totale pour chaque unité)
Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2
Produit P1 25 000 33 333 22 500 -
Produit P2 35 000 16 667 - 15 000
Estampage Reprise Assemblage P1 Assemblage P2
Produit P1 0,004 0,003 0,0044 0
Produit P2 0,00286 0,006 0 0,00667
Capacité unitaire tot. utilisé [%]
100 100 100 100
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/68
Méthode graphique de la PL
Méthode graphique de la PL
Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que :
Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production
1. Formulation mathématique Soit X1 et X2 les quantités des produits P1 et P2 à produireFonction de profit : Contraintes (Limitation des capacités de production) :
.5,1215 21 MaxXXF
0,,
P2 Asemblage : 10000667,00
P1 Asemblage : 10000044,0
reprise : 1000060,0003,0
Estampage : 10000286,0004,0
321
21
21
21
21
XXX
XX
XX
XX
XX
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/69
2. RESOLUTION GEOMETRIQUE2. RESOLUTION GEOMETRIQUE
On trace sur le plan OX1 et OX2 les droites :
10000667,00)....4(
10000044,0)...3(
1000060,0003,0)....2(
10000286,0004,0)....1(
21
21
21
21
XX
XX
XX
XX
x1 0 0 0
X 1
X 2
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
35
30
20
25
15
10
5
E stam page
A ssem blage P 1
R epr ise
M
N
P
QR
F O P T IM A L
d
(1 )
(2 )
(3 )
(4 )A ssem blage P 2
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4), et à gauche de (3);
X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ;
Toute solution doit se trouver dans la zone
ombrée
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/70
Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême
P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point
x1 0 0 0
X 1
X 2
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0
35
30
20
25
15
10
5
E stam page
A ssem blage P 1
R epr ise
M
N
P
QR
F O P T IM A L
d
(1)
(2 )
(3 )
(4 )A ssem blage P 2
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
(S a tu ra tio n )
(N o n sa tu ra tio n )
Point optimal P X1opt=20363X2opt=6485Fmax=159271 FF
p
21 5,1215 XXF
X1opt
X2opt
x1000
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/71
ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes :
En produisant 20363 produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas.
Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui
diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à
chacune des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure).
saturationNon 25,43648500667,0
saturationNon 60,89203630044,0
Saturation10064850060,020363003,0
Saturation100648500286,020363004,0
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/72
LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la
méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/73
homedisp('PROBLEME:')disp('UNE SOCIETE FABRIQUE 2 PRODUITS P1 et P2.')disp('IL FAUT LEUR FAIRE SUBIR DES OPERATIONS DANS 3 ATELIERS DIFFERENTS')disp('OU IL DOIVENT ETRE PROGESSIVEMENT MONTES.')pause,homedisp('SOIT A1, A2 A3 : LES 3 ATELIERS ESTAMPAGE, REPRISE ET ASSEMBLAGE')disp('LES PROFITS UNITAIRES REALISES SUR P1, P2 SONT: 15F ET 12,5F.')pause,homedisp('LES CAPACITES D USINAGE SONT LIMITES COMME SUIT:')disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2')disp('PRODUIT P1: 25000 33333 22500 -')disp('PRODUIT P2: 35000 16667 - 15000')pause,homedisp('LES CAPACITES TOTALES UTILISEES POUR CHAQUE FABRICATION UNITAIRE SONT:')disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2')disp('PRODUIT P1: 0,004 0,003 0,0044 0')disp('PRODUIT P2: 0,00286 0,006 0 0,00667')disp('CAPAC. TOTAL 100 100 100 100')pause,homedisp('QUESTION : QUANTITE DE PRODUITS P1 ET P2 DE TELLE SORTE QUE:')disp(' 1. LE PROFIT SOIT MAXIMAL;') disp(' 2. RESPECTER LES LIMITATIONS DE CAPACITES DE PRODUCTION')pause;homedisp(' SOLUTION : SOIT X1 et X2 QUANTITES DE P1 et P2 A PRODUIRE:')disp(' FONCTION DE BUT : f= 15*X1+12,5*X2 -----> MAX.')pause
plot(x1,est,x1,REPR,x1,f)
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/74
f=-[15 12.5] % on met le signe (-) car on maximise et non minimisehome,pauseRLAB='EST. REPRISE ASS.P1 ASS.P2';CLAB='X1 X2';name=' MATRICE DES CONTRAINTES A:';A=[0.004 0.00286;0.003 0.006;0.0044 0;0 0.00667];
disp('MATRICE DES DONNEES')printmat(A,name,RLAB,CLAB)pause,homedisp(' CAPACITES MAXIMALES ')B=[100 100 100 100]pause,homedisp('SOLUTION OPTIMALE :x=[x1opt x2opt]')[xopt]=LINPROG(f,A,B)fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)pause,homedisp(' GRAPHE')x1=0:1000:40000;est=((-A(1,1)*x1+100)/A(1,2));REPR=((-A(2,1)*x1+100)/A(2,2));f=-15*x1/12.5;
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/75
ALGORITHME DU SIMPLEXE
ALGORITHME DU SIMPLEXE
Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe :
On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique.
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/76
EXEMPLEUne entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant
45h/semaine 3 produits P1,P2,P3.Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75
P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3.
Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour
maximiser le profit
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/77
FORMULATION MATHEMATIQUE X1, X2 et X3 : Quantité des produits à P1, P2 et P3 F : La fonction économique
Variables d'écart (V.E.) : X4, X5 , X6 et X7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la
saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations
675026345752550
15000
5000
1000X0
:sContrainte
.3124
321321
3
2
1
321
XXXXXX
X
X
MaxXXXF
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/78
MISE EN EQUATION AVEC LES V.E
FORME MATRICIELLE
6750263
1500
500
1000X
7321
63
52
41
XXXX
XX
XX
X
(7) (6) (5) (4) (3) (2) (1)
6750
1500
500
1000
1000263
0100100
0010010
0001001
7
6
5
4
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
.base hors Variables:,,
;BASE de Variables:,,,
321
7654
XXX
XXXX
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/79
INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt :
Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé)
Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre.
Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible.
6750,1500,500,1000:
0
7654
321
XXXXAlors
XXX
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/80
FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES
X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
F = 0
4 12 3 0 0 0 0 0 0 0 1000 500 1500 6750
C oû ts m arg in au x 4 12 3 0 0 0 0 j
Colonne j=2, ligne i=5
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/81
COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique
Sortie d'un vecteur Ai de la base et entree d'un vecteur Aj dand la base : Xij ➽ "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j)
CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on
sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans
cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.)
.3,12,43124 321321 XXXF
colonneémejgrand 2)2(122
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/82
Pour déterminer la colonne Ai qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que
La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût
marginal le plus grand j=2); L'élément X52 est le pivot de la transformation (ici X52 =1) X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7).
positifsceux parmi PETIT PLUS leSoit ij
i
X
X
6
3750,
0
1500,
1
500,
0
1000)7,6,5,4(
2;
3750
1500
500
1000
,
6
0
1
0
212=max iXi
XXXj i
iijj
Voir tableau : i=ligne n°5, j=2 colonne
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/83
ETAPE 1 : i = 5, j = 2TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7)
X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
C oû ts m arg in au xj
X 2 en tre d a n s la b a se
4 12 3 0 0 0 0 0 500 0 1000 0 1500 3750
4 0 3 0 -12 0 0 F = 6000
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/84
Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut
Nouvelle valeur de la fonction economique F‘
F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12
Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000
jij
i
X
XFF .
125005 255 XXjXXi iji
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/85
Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A0
iKsiX
XX
iKsiX
XXXX
ij
ii
ij
iKJKK
.
).(37501
500.66750.
);(15001
500.01500.
);(500.
);(10001
500.01000.
52
57277
52
56266
52
55
52
54244
iKX
XXXX
iKX
XXXX
iKX
XX
iKX
XXXX
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/86
Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne Al
iKsiX
XX
iKsiX
XXXX
ij
ilil
ij
ilKJKlKl
.
);(61
1..60.
7,5
.
.
);(31
0.03.
.
.
);(01
0.
);(11
0.01.
:)0=X=car inchangés(Eléments1l1Colonne
52
55727575
.75
52
51727171
52
5151
52
51424141
51
iKX
XXXX
XElémentLigneColonne
iKX
XXXX
iKX
XX
iKX
XXXX
X il
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/87
Nouvelles valeurs des coûts marginaux j
jKsi
jKsiX
X
j
ij
iKjKK
0
.
).(01
0.120.
);(01
0.120.
);(121
1.120.
);(01
0.120.
);(31
0.123.
);(0
);(41
0.124.
:Alors
.valeurncienne
.)7...3,2,1(;5;12max2
52
57277
52
56266
52
55255
52
54244
52
53233
2
52
51211
2
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jKX
X
jK
jKX
X
A
colonneNKij
K
j
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/88
l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité.
ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a :
Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient :
24:41:
43
3750,
0
1500,
1
500,
1
1000:0
14max
jindiceayantColonneiindiceayantLigneXPIVOT
ipetitplusleijX
iX
jj
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/89
TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7)
Xi
j
Solution
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice
V.E. Ci(Coût base)
Xj
C Coefficients de F
Coûts marginauxj
4 12 3 0 0 0 0 1000 500 0 0 0 1500 750
0 0 3 -4 -12 0 0
F = 10000
X1entrebase
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/90
ETAPE 3 : i = 7 , j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a :
.2:
;72
7500
X
X
3;=j3=max.
73
ij
i
XPIVOT
iestpetitplusle
j
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/91
NOUVEAU TABLEAUNouvelle base (1,2,6,3)
Xi
j
Solution
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0Indice
V.E. Ci(Coût base)
Xj
C Coefficients de F
Coûts marginauxj
4 12 3 0 0 0 0 1000 500 375 0 0 1125 0
X3 entredans base
0 0 0 1/2 -3 0 - 3/2
> 0 L'optimum n'est pas atteind
F = 11125
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/92
DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4Sur la base du tableau de l'étape 3 on a :
Les valeurs des éléments X’Kl , X’K ’K et F’ sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue
.23:
;623
11250
X
X ;4=j21=max.
64
ij
i
XXPIVOT
iestpetitplusle
ij
j
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/93
X i
j
S o lu tion
j
A6A5A4A3A2A1 A 7A 0In dice
V .E . C i(C oû t base )
X j
C C oeffic ien ts de F
C oû ts m arg in au xj
< 0 L 'o p tim u m e s t a tte in d
F = 115000 0 0 0 -4 -1 /3 -4 /3
4 12 3 0 0 0 0 250 500 1500 750 0 0 0
FXXXF
XXX
OPTIMALESOLUTION
11500.3.12.4
1500,500,250
:
321
321
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/94
Commentaires :Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3=
6750h/semaine
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/95
Programme sous MATLABProgramme sous MATLAB
% nom du programme : PROG_LINEAR% Introduction de données :
Home
r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimiseA=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2];B=[1000;500;1500;6750];
% Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt]
[xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B)
%valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3)
96
METHODE DE LAGRANGEMETHODE DE LAGRANGE
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/97
Problématique
Problématique
Soit une fonction g(x1, x2, …xn) à trouver un extremumLes variables x1, x2, …xn ne sont pas indépendantes : elles sont
reliées par m relations
Introduisons j(j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons :
0,...,
.
.
0,...,
0,...,
21
212
211
nm
n
n
xxx
xxx
xxx
0),...(...),...(),...(),...(,...,,... 1122111111 nmmnnnmn xxxxxxxxgxx
CONTRAINTES m<n
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/98
Conditions d’extremumConditions
d’extremumConditions d’extremum :
Equations de contraintes
0),...,(
.
.
0),...,(
0),...,(
21
2
21
1
21
n
n
n
n
x
xxx
x
xxx
x
xxx
0,...,
.
.
0,...,
0,...,
21
212
211
nm
n
n
xxx
xxx
xxx
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/99
Problème global d’optimisation
Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées
0,...,
.
.
0,...,
0),...,(
.
.
0),...,(
21
211
21
1
21
nm
n
n
n
n
xxx
xxx
x
xxx
x
xxx
n équations
m équations
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/100
Exemple d’application
Exemple d’application
EXEMPLEDéterminer les dimensions d’un réservoir cylindrique de volume V
donnée, qui possède une surface S minimale.
R
h
)2(0V),(V :Contrainte
)1(),(2 :minimiserà Fonction2
12
2
hRhRhR
hRgRhRS
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Chap3 : OPTIMISATION Chap.3/101
Solution
Solution
Formulation mathématique
Développement : méthode de Lagrange
)2(0V),(V :Contrainte
)1(),(2 :minimiserà Fonction2
12
2
hRhRhR
hRgRhRS
)5(02),(
)4(0222),(
optimales Conditions
)3(V2h)(R,
Lagrange deFonction
2
22
RRh
hR
RHhRR
hR
hRRhR
)9(V
22.(2) dans(7)et )8(
)8(4
)5(R
)7(2
R (6),interetd' Pas0,R
Solution
3
2
21
h
3
3
2.2h
2
V
VR
(8)et (7) dans )9(
Résolution du système d’équations