Prof. Mira Mihajlović Petković - · PDF fileTablica vrijednosti trigonometrijskih ... Porijeklo imena trigonometrijskih funkcija Naziv sinus i kosinus u europske jezike stigao tehnikom

Prof. Mira Mihajlović Petković 1


TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE ŠILJASTOG KUTA

nasuprotna kateta

sina

hipotenuza c

priležeća kateta

cosb

hipotenuza c

nasuprotna kateta

prile e a kateta

atg

ž ć b

prile e a kateta

nasuprotna kateta

ž ć bctg

a

Definicijski identitetiVeza među kutovima pravokutnog trokuta je 90 , pa ih zovemo komplementnarni kutovi.

sin

costg

cos

sinctg

sin 90 sin cos 90 cos 1tg ctg

90tg tg 90ctg ctg

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

1tg

ctg

1ctg

tg

Pitagorini identiteti

2 2sin cos 1

22

11

costg

2

2

11

sinctg

kut30 º 45 º 60 º

s i n

c o s

t g 1

c t g 1


Povijest

Trigonometrija je posebna grana matematike. Dolazi od riječi trigonom (trokut) i metron (mjera). Elemente trigonometrije nalazimo u starogrčkoj matematici. Razvija se u indijskoj i arapskoj matematici, a do 15. stoljeća prelazi u Europu gdje doživljava procvat.

Prva trigonometrijska računanja javljaju se vrlo rano još u starom Babilonu i u Egiptu, a uglavnom zbog potreba astronomije. U Rhindovu papirusu (Ahmesovoj računici), oko 18. st. pr. Kr. ima naznaka korištenja geometrijskih metoda, koja su Egipćanima služila pri građenju piramida i mjerenju polja. Koristi se poseban naziv segt, no ne zna se je li on predstavljao današnji kosinus ili kotangens.

Začetnicima trigonometrije drže se Grci u 3. st. pr. Kr. i to astronom Aristarh i njegov učenik Hiparh iz Nikeje. On je napravio prve tablice duljina tetiva za različite središnje kutove. Menelaj (1. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi Sferika prikazuje po prvi put trigonometriju kao posebnu znanost!. U 2. stoljeću posl. Kr. bitan razvoj trigonometrije načinio je Ptolomej, tvorac geocentričnog sustava, u svom djelu poznatom po arapskom nazivu "Almagest". Prve tablice sinus funkcije sastavili su Indi u 5. st. posl. Kr. Znanje trigonometrije od Inda preuzimaju Arapi u 8. st. Oni uvode tangens i kotangens. A Europljanin Regiomontan uvodi kosinus funkciju.

Porijeklo imena trigonometrijskih funkcija

Naziv sinus i kosinus u europske jezike stigao tehnikom pokvarenog telefona. Prvi naziv za sinus i kosinus je jiva i kotijiva, a dali su stari Indijci. Najprije se rabi naziv ordhajiva (polovica tetive) i to je ime u skladu sa značenjem sinusa Jiva na sanskrtu znači `tetiva'. Arapi tu riječ prenose kao jiba što na arapskom nema značenja pa je zamjenjuju s istozvučnicom džaib (što se piše kao i džiba), a znači “zaljev”. Europski srednjovjekovni prevoditelj (Robert iz Chestera) tu riječ doslovno vodi latinskoj riječi sinus (zaljev).

Naziv tangens (zbog veze s tangentom) uvodi 1583. Fincke. Naziv kosinus nastao je početkom 17. st. (E. Gunter 1620.) kao kratica od complementi sinus. Kosinus prema tome u prijevodu znači: sinus komplementarnog kuta. Iz istog su razloga imena dobili kotangens i kosekans.


Upotreba

Određivanje udaljenostiMjeseca

Potrebe mjeriteljstva bile su kroz povijest, uz

astronomska mjerenja,

najvažniji razlog razvoja trigonometrije. je odrediti udaljenost dviju najčešće nedostupne točake.


Pitagorin poučak:

Pitagorin poučak: Zbroj kvadrata kateta jednak je zbroju kvadrata hipotenuze u pravokutnom trokutu

2 2 2a b c

Zbroj kutova u bilo kojem trokutu iznosi 180°

180

U pravokutnom trokutu zbroj kutova α i β jednak je kutu γ

90

Sukladnost rokuta

Poučci o sukladnosti trokuta Dva su trokuta sukladna ako su im:

i. - tri stranice jednake (sss)ii. - dvije stranice jednake (sks)iii. - dva kuta jednaka (ksk)iv. dvije stranice jednake i kut nasuprot dulje stranice (ssk)

.


Zlatni rezSa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza.

Ukupna dužina a + b je većem segmentu a isto što je a kraćem segmentu b.

U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u zlatnom rezu ako je omjer između sume te

dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni

rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.[1]

Najkasnije od Renesanse, mnogi umjetnici i arhitekte su nastojali svoje radove praviti prema

pravilima zlatnog reza, posebno u obliku zlatnog pravokutnika, u kojem je omjer duže

stranice naspram dužine kraće stranice zlatni rez, a vjerovalo se da je ova proporcija

estetski zadovoljavajuća. Matematičari su proučavali zlatni rez zbog njegovih jedinstvenih i

interesantnih osobina.

Zlatni rez se često označava sa grčkim slovom ϕ (fi). Izgled zlatnog isječka ilustrira

geometrijsku vezu koja definiše ovu konstantu. Izraženo algebarski:

Ova jednačina ima, kao jedinstveno, pozitivno rješenje, algebarsko iracionalan broj

[1]

Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su zlatni

isječak (latinski: sectio aurea), zlatna sredina, zlatni broj i grčko

slovo fi (ϕ).[2][3][4] Ostali termini, koji se susreću, jesu ekstremni i srednji

omjer, medijalni isječak,božanska proporcija, božanski isječak (latinski: sectio

divina), zlatna proporcija, zlatni omjer,[5], te Fidiasova sredina.[6][7][8]


Primjeri i zadatci

Pravokutni trokut

Pitagorin poučak 2 2 2c a b

Površina2

a bP

2cc v

P

c p q Opseg o a b c

polumjer opisane kružnice

2

cr

c

ABC ACD

a b c

v q b

c

ABC CBD

a b c

p v a

c

c

ACD CBD

v q b

p v a

1. Izračunaj ostale elemente pravokutnog trokuta ako je zadano:

a) 73.45 , 22,56a cm b cm

b) 5.25 , 52 11'21''c cm

c) 7.15 , 62 51'31''c cm

d) 4,25 , 23 12'56 ''a cm

e) 7,25 , 63 42'26 ''b cm

f) 5.25 , 2.58c cm a cm

g) 9.65 , 7.28c cm b cm


2. Odredi šiljaste kutove pravokutnog trokuta i površinu trokuta ako je a = 7.8,

b = 5.2.

3. U pravokutnom trokutu je = 56°43`15``, b = 7. Nađi nepoznate elemente toga

trokuta.

4. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je ''',cm.a 2540523156 .

5. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je 16.31 , 62 41'35 ''b cm .

6. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je 6.31 , 32 41'35 ''p cm .

7. Odredi duljinu visine na hipotenuzu trokuta ako je 26.51 , 42 41'35 ''q cm .

8. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je 34,25 , 23,45cp cm v cm

9. Odredi šiljaste kutove u pravokutnom trokutu ako je 14,55 , 13,25cq cm v cm

10. Izračunaj površinu pravokutnog trokuta, ako je 34,67 , 56,45p cm a cm .

11.Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je ',cmca 153952 .

12.Odredi duljine stranica pravokutnog trokuta ako je 72 , 29 45 'b c cm .

13.Odredi nepoznate elemente na slici:


Jednakokračni trokut

Površina2

a vP

1

2

b vP

Opseg 2o a b 2

2 2

2

ab v

sinv

b cos

2

a

b

sin cos2

cos sin2

2vtg

a

2 2

atg

v

1sinv

a 1sin

v

b

14.Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice 12

cm, a kut nasuprot osnovici 75 .

15.Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 12 cm,

a kut nasuprot osnovici 75 .

16.Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina kraka 12 cm,

a kut uz osnovicu 75 .

17.Odredi nepoznate elemente jednakokračnog trokuta kojem je duljina osnovice

8cm, a kut nasuprot osnovici 55 .

18.Ako je duljina kraka 4cm,a kut na osnovici 42 , odredi površinu jednakokračnog

trokuta?

19.Odredi duljinu visine na krak u jednakokračnom trokutu kojemu je osnovica 5 cm i

kut uz osnovicu 35°.

20.Osnovica jednakokračnog trokuta je 12cm, a krak je od visine na osnovicu dulji za

2 cm. Odredi kutove i opseg trokuta


Pravokutnik

Površina P a b Opseg 2 2o a b

sinb

d

cosa

c

2

btg

a

sin2

b

d

cos2

a

d

2 2 2d a b

21.Odredi površinu i opseg pravokutnika ako dijagonala duljine 10cm zatvara s

dužom stranicom kut od '3565 .

22.Odredi površinu i opseg pravokutnika ako duža stranica duljine 10cm zatvara s

dijagonalom kut od '3565 .

23.Površina pravokutnika je 45cm2,a kut među dijagonalama je 42 . Odredi duljine

stranica.

24.

Konstrukcija zlatnog pravokutnika:

1. Konstruiraj jedinični kvadrat (crveno).

2. Povuci liniju sa sredine jedne stranice u suprotan kut.

3. Iskoristi tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji

definira dužu dimenziju pravokutnika.

Na osnovu pravila zlatnog reza konstruiraj pravokutnik kome je kraća stranica 5 cm i

izračunaj kut između njegovih dijagonala.


Romb

Površina

2

P a v

e fP

Opseg 2o a b c

sin2 2

f

a

sin

v

a

cos2 2

e

a

2

ftg

e

180

25.Ako je omjer dijagonala romba 3 : 4, koliki su kutovi.

26.U rombu su dijagonale dugačke 12 i 14. Odredi šiljasti kut romba.

27.Odredi šiljasti kut romba kojem je površina 240cm2, a stranica 17cm.

28.Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 1,4 m, kome

su sve stranice jednake. Koliki kut zatvaraju te stranice.

Pretpostavka je da je

zmaj smješten na

papiru kao na slici:

Kolika je površina

iskorištenog i

neiskorištenog

papira?


Jednakokračni trapez

Površina: 2

a cP v

sinv

b cos

2

a c

b

2 2 360

22 2

2

a cd v

29.Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove jednakokračnog

trapeza ako je površina 45cm2.

30.Osnovice jednakokračnog trapeza su duljine 8 cm i 6cm, površina mu je

214 3cm .Nađi duljinu kraka b i dijagonale trapeza.

31.Dulja osnovica jednakokračnog trapeza je duljine 8 cm, a krak 6 cm, a visina mu

je 4 cm.Nađi unutrašnje kutove trapeza i površinu..

32. Zadana je duljina dijagonale jednakokračnog trapeza 12 cm, te duljine osnovica 6

i 8 cm. Odredi visinu i površinu trapeza.

33.Ako je opseg trapeza 40 cm, a duljine osnovica su 14 i 10 cm. Odredi površinu i

duljinu dijagonale trapeza.

34.Ako je omjer duljina osnovica trapeza 5 : 4, krak je duljine 7 cm, a šiljasti kut uz

veću osnovicu 67 , odredi površinu i opseg trapeza.

35.Ako je razlika duljina osnovica 5 cm, krak jednakokračnog trapeza 8 cm i visina 5

cm, odredi površinu i duljinu dijagonale trapeza.


Obodni i središnji kut

Za obodni i središnji kut

iznad iste tetive vrijedi da

je obodni kut duplo manji

od središnjeg kuta, što

vidimo na slici. Dobili

smo dva jednakokračna

trokuta BCA i BCS, pa

koristimo formule za taj

trokut.

36.Koliki je obodni kut nad tetivom duljine 10cm ako je polumjer kružnice 15cm?

37.Odredi duljinu tetive ako je obodni kut nad tom tetivom 75 , a polumjer kružnice

6cm.

Pravilni n-terokut

Kad znamo da je 360

n , gdje je

N – broj stranica pravilnog n-terokuta.

r- radijus opisane kružnice,

a v visina karakterističnog trokuta

n-terokuta i radijus upisane kružnice,

i vidimo da je karakteristični trokut

jednakokračan, samo primijenimo već

poznate formule za taj trokut.


38.Kolika je površina pravilnog deveterokutna opisanog kružnici polumjera 4cm?

39.Kolika je površina pravilnog peterokuta koji je upisan u kružnicu polumjera 8cm?

Primjena trigonometrije

40.Tunel dužine 450 m spušta se pod kutom od 12°40´. Koliko je izlaz iz tunela niži

od ulaza.

41.Koliko treba kupiti papira za napraviti zmaja raspona dijagonala 1m i 3,8 m, kome

je kut između dvije manje stranice 71,08 . .

Pretpostavka je da je zmaj smješten na papiru kao na slici: Kolika je površina

iskorištenog i neiskorištenog papira?

Uputstvo: Koristi formulu za površinu deltoida2

e fP

i svojstvo da dijagonala e

dijeli kut na jednake dijelove. Zmaj iz zadatka 28. će mnogo slabije letjeti nego

zmaj iz ovog zadatka.


42. Ne vrhu nebodera nalazi se reklama. Iz točke udaljene 150m od nebodera

podnožje reklame vidi se pod kutom 42 , a njen vrh pod kutom 45 . Kolika je visina

reklame?

43. Sa prozora visokog 20m vrh susjedne zgrade vidi se pod kutem od 12 , a sa

zemlje (točno ispod prozora) pod kutom od 58 . Koliko je visoka zgrada?


Rješenje: Zgrada je visoka h = x + y

Iz trokuta BDA je 1212

x xtg DB

DB tg

Iz trokuta CEA je 5858

x y x ytg CE

CE tg

A kako je 12 58

x x yDB CE

tg tg

i 20y =>

20

12 58

x x

tg tg

=> 58 20 12x tg x tg

Riješimo jednadžbu po x:

58 12 20 12

58 12 20 12

x tg x tg tg

x tg x tg tg

Izračunamo tangense kutova i uvrstimo i dobijemo:

1,3875 4,2511/ :1,3875

3,06 3

x

x m

=> Zgrada je visoka h=23 metra.


Samostalni projekt:

A. Dana je mreža cesta i neki elementi te mreže. Izračunaj nepoznate duljine i

kutove označene na slici.

B. Marko treba skrenuti u mjestu A da bi stigao do mjesta C najkraćim putem. Koliko

mu se produžuje put ako ne skrene sa autoputa kod mjesta A, nego kod:

I. Mjesta D II. Mjesta B III. Mjesta F

C: Ako pretpostavimo da vozi prosječnom brzinom 90km

vh

, koliko će kasnije stići

ako je skrenuo je skrenuo u:

I. Mjestu D

II. Mjestu B

III. Mjestu F


D. Ako žuri na intervju za posao i mora stići točno na vrijeme, a uračunao je da će

stići 20 minuta ranije, ako točno skrene, koliko si nonšalantnosti može dozvoliti pri

praćenju izlaza sa autoputa, tj. koliko izlaza može propustiti, da bi stigao na

vrijeme.

Rješenja:

A.

X=_____________ ___________ Y=_____________ ___________ l=_____________ ___________ z=_____________ ___________ v=_____________ ___________ t=_____________ ___________

B.

0 , _________________s d A C

I 1 , , , _________________s d A D d D E d E C

II. 2 , , _________________s d A B d B C

III. 3 , , _________________s d A F d F C

1 1 0

2 2 0

3 3 0

__________________

__________________

__________________

s s s

s s s

s s s

C.

putVrijeme

brzinas

tv

I: 11 _________________

st

v

II. 22 _________________

st

v


III. 33 _________________

st

v

D.

Može si dozvoliti da skrene na izlazima: _________________________.


Primjer ispita znanja

1. Zadan je pravokutan trokut s elementima :I. a = 9.1 cm, b = 6.6 cm, nađi preostale elemente trokuta : c, , β te

površinu trokuta.II. c = 7.1 cm i = 45° 38´, nađi preostale elemente trokuta : a, b, β te

površinu trokuta.

2. Popuni tablicu

Kut sin cos tg ctg78°56´53″

0,345670,9876

0.32671.0981

3. Zadan je jednakokračni trokut s elementima a= 11.2 cm i b= 13.5 cm, izračunaj preostale elemente trokuta visinu v, kutove , β, te površinu trokuta.

4. Osnovice jednakokračnog trapeza su 10cm i 8cm. Odredi kutove tog

trapeza ako je površina 45cm2.

5. Pod koji se kutom sijeku Ulica Lipa i Ulica Japanskih trešanja? Ikoliko je duga Ulica Japanskih trešanja


Documents

Prof. Mira Mihajlović Petković - · PDF fileTablica vrijednosti trigonometrijskih ... Porijeklo imena trigonometrijskih funkcija Naziv sinus i kosinus u europske jezike stigao tehnikom