Matematika I - fsb.unizg.hr · Matematika I Racun trigonometrijskih funkcijaˇ Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 85

Matematika IKatedra za matematiku, FSB

Racun trigonometrijskih funkcija

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 1 / 88

Sadrzaj

Sadrzaj:1 Uvodna ponavljanja

1.1 Mjerenje kutova∗

1.2 Trigonometrijske funkcije kutova∗

1.3 Realne trigonometrijske funkcije ∗

1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗

1.5 sin i cos kao koordinate tocke koja jednoliko kruzi1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija

2 Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗

3 Arkus funkcije3.1 Inverzne funkcije (ponavljanje)3.2 Deriviranje inverzne funkcije3.3 Arkussinus i arkuskosinus3.4 Arkustangens i arkuskotangens


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafova

Primjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integrala

Naucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinome

Naucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkciju

Definirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcije

Izracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Ciljevi ucenja

Ciljevi ucenja:Prisjetit cemo se definicija trigonometrijskih funkcija i izgledanjihovih grafovaPrimjenit cemo to znanje na jednoliko kruzno gibanjeIzracunat cemo tablicu derivacija trigonometrijskih funkcija iodgovarajucih integralaNaucit cemo kako razviti sinus i kosinus u beskonacne polinomeNaucit cemo kako derivirati inverznu funkcijuDefinirat cemo arkus funkcijeIzracunat cemo tablicu derivacija arkus funkcija i odgovarajucihintegrala


Uvodna ponavljanja 1.1 Mjerenje kutova∗

RACUN TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

1. UVODNA PONAVLJANJA1.1 MJERENJE KUTOVA∗

U STUPNJEVIMA:

PUNI KUT IMA 360◦

(Babilonska konvencija)12

PUNOG KUTA =12

360◦ = 180◦

16

PUNOG KUTA =16

360◦ = 60◦

itd.



U RADIJANIMA:



DAKLE:

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 270◦ 360◦

0π

6π

4π

3π

22π

33π

45π

6π

3π

22π

VEZA STUPNJEVA I RADIJANA

x◦ = y (rad) ⇐⇒ x◦

y=

180◦

π


Uvodna ponavljanja Primjer

PRIMJER 1.

Koliko je stupnjeva7π

5?

Rjesenje:

x◦ =7π

5⇐⇒ x◦

7π/5=

180◦

π

5x◦

7π=

180◦

π

5x◦�π = 180◦ ·7�π

x◦ = 36◦ ·7 = 252◦��



PRIMJER 1.

Koliko je stupnjeva7π

5?

Rjesenje:

x◦ =7π

5⇐⇒ x◦

7π/5=

180◦

π

5x◦

7π=

180◦

π

5x◦�π = 180◦ ·7�π

x◦ = 36◦ ·7 = 252◦��


Uvodna ponavljanja Zadaci

ZADATAK 1.Izraziti u stupnjevima:

a)5π

9b) −7π

12c) 3.2 d) −7.22

ZADATAK 2.Izraziti u radijanima:

a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦

Rjesenje 1:

a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦

Rjesenje 2:

a)3π

20≈ 0.47 b)

5π

6≈ 2.62 c) − 5π

3≈−5.24 d)

8π

3≈ 8.38




a)5π

9b) −7π

12c) 3.2 d) −7.22


a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦

Rjesenje 1:

a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦

Rjesenje 2:

a)3π

20≈ 0.47 b)

5π

6≈ 2.62 c) − 5π

3≈−5.24 d)

8π

3≈ 8.38




a)5π

9b) −7π

12c) 3.2 d) −7.22


a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦

Rjesenje 1:

a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦

Rjesenje 2:

a)3π

20≈ 0.47 b)

5π

6≈ 2.62 c) − 5π

3≈−5.24 d)

8π

3≈ 8.38




a)5π

9b) −7π

12c) 3.2 d) −7.22


a) 27◦ b) 150◦ c) −300◦ d) 480◦

Rjesenje 1:

a) 100◦ b) −105◦ c) 183.35◦ d) −413.68◦

Rjesenje 2:

a)3π

20≈ 0.47 b)

5π

6≈ 2.62 c) − 5π

3≈−5.24 d)

8π

3≈ 8.38


Uvodna ponavljanja Duljina luka i povrsina isjecka∗

DULJINA LUKA KRUZNICE I POVRSINA KRUZNOG ISJECKA∗

x = α (u radijanima):

l = rα P =12

r2α

x = β◦ (u stupnjevima):

l =π

180rβ P =

π

360r2

β

Kada koristimo radijansku mjeru, formule su jednostavnije.

Zato cemo od sada koristiti samo radijane!



ZADATAK 3.Koliki sredisnji kut razapinje kruzni luk duljine 16m, na kruzniciradijusa 4m. Kolika je povrsina pripadnog isjecka?

ZADATAK 4.

Kolika je duljina kruznog luka, za kut α =π

4(radijana) na kruznici

radijusa 8m? Kolika je povrsina pripadnog isjecka?

Rjesenje 3:α = 4 Pα = 32m2

Rjesenje 4:

lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2




ZADATAK 4.





Rjesenje 4:

lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2




ZADATAK 4.





Rjesenje 4:

lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2




ZADATAK 4.





Rjesenje 4:

lα = 2πm ≈ 6.28m Pα = 8πm2 ≈ 25.13m2


Uvodna ponavljanja 1.2 Trigonometrijske funkcije kutova∗

1.2 TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE KUTOVA∗

h (hipotenuza)

s (suprotna kateta)

p (prilezeca kateta)

sinα =sh

cosα =ph

tgα =sp

ctgα =ps



PRIMJER 2.

Dokazimo sinα = cos(

π

2−α

)i cosα = sin

(π

2−α

)

Rjesenje:

sinα =bc

= cos(

π

2−α

)cosα =

ac

= sin(

π

2−α

)



PRIMJER 2.

Dokazimo sinα = cos(

π

2−α

)i cosα = sin

(π

2−α

)

Rjesenje:

sinα =bc

= cos(

π

2−α

)cosα =

ac

= sin(

π

2−α

)



ZADATAK 5.Izracunati:

a) sinπ

4, sin

π

3, sin

π

6

b) cosπ

4, cos

π

3, cos

π

6

Rjesenje 5: Iz trokuta

vidimo:a)

√2

2,

√3

2,

12

b)√

22

,12,

√3

2




a) sinπ

4, sin

π

3, sin

π

6

b) cosπ

4, cos

π

3, cos

π

6

Rjesenje 5: Iz trokuta

vidimo:a)

√2

2,

√3

2,

12

b)√

22

,12,

√3

2Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 13 / 88


DAKLE:

α0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

0 π/6 π/4 π/3 π/2

sinα

√0

2

√1

2

√2

2

√3

2

√4

2

cosα

√4

2

√3

2

√2

2

√1

2

√0

2

Naravno:√

02

= 0,√

12

=12

,√

42

= 1

α0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

0 π/6 π/4 π/3 π/2

tgα 01√3

1√

3 ∞

ctgα ∞√

3 11√3

0


Uvodna ponavljanja 1.3 Realne trigonometrijske funkcije ∗

1.3 REALNE TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE(definirane ”radijanski”, tj. na jedinicnoj kruznici)∗

sin i cos

sto je u skladu s predhodnim:

cosϕ =x1

sinϕ =y1



PRIMJER 3.Dokazimo: sin(−ϕ) =−sinϕ i cos(−ϕ) = cosϕ

Rjesenje:

x = cosϕ = cos(−ϕ)

y = sinϕ

−y = sin(−ϕ)



PRIMJER 3.Dokazimo: sin(−ϕ) =−sinϕ i cos(−ϕ) = cosϕ

Rjesenje:

x = cosϕ = cos(−ϕ)

y = sinϕ

−y = sin(−ϕ)



ZADATAK 6.Izraziti

a) sin(ϕ + 2π), sin(ϕ−2π), sin(ϕ + 4π), sin(ϕ−4π)

b) cos(ϕ + 2π), cos(ϕ−2π), cos(ϕ + 4π), cos(ϕ−4π)

pomocu sinϕ, cosϕ .

ZADATAK 7.Izraziti

a) sin(ϕ + π), sin(ϕ−π), sin(

ϕ +π

2

), sin

(ϕ− π

2

)b) cos(ϕ + π), cos(ϕ−π), cos

(ϕ +

π

2

), cos

(ϕ− π

2

)pomocu sinϕ, cosϕ .



ZADATAK 8.Izraziti

a) sin(27π), b) cos(

26π

3

), c) cos(−π) d) sin

(−π

6

).



ZADATAK 8.Izraziti

a) sin(27π), b) cos(

26π

3

), c) cos(−π) d) sin

(−π

6

).



Rjesenje 6: Iz trigonometrijske kruznice (dane gore) vidimo:

a) sinϕ

b) cosϕ


a) −sinϕ, −sinϕ, cosϕ, −cosϕ

b) −cosϕ, −cosϕ, −sinϕ, sinϕ

Rjesenje 8:

a) 0 b) −12

c) −1 d) −12




a) sinϕ

b) cosϕ




Rjesenje 8:

a) 0 b) −12

c) −1 d) −12




a) sinϕ

b) cosϕ




Rjesenje 8:

a) 0 b) −12

c) −1 d) −12


Uvodna ponavljanja Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu sin i cos

Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu funkcija sin i cos

PRIMJER 4.Opisimo jednoliko kruzno gibanje po kruznici radijusa r = 3 brzinomv = 2.

Rjesenje:

x = 3 cos2t3

y = 3 sin2t3

vr

:= ω

x = r cosvr

t

y = r sinvr

t


Uvodna ponavljanja Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu sin i cos

Jednolika kruzna gibanja opisujemo pomocu funkcija sin i cos

PRIMJER 4.Opisimo jednoliko kruzno gibanje po kruznici radijusa r = 3 brzinomv = 2.

Rjesenje:

x = 3 cos2t3

y = 3 sin2t3

vr

:= ω

x = r cosvr

t

y = r sinvr

t



ZADATAK 9.

a) Tocka se giba po jedinicnoj kruznici, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.

b) Tocka se po kruznici radijusa 4 giba jedinicnom brzinom(tj. jedinicu puta prevaljuje u jedinici vremena). Prikazikoordinate tocke kao funkciju vremena.

c) Tocka se giba po kruznici radijusa 2, prelazeci u jedinicivremena 3 jedinice puta. Prikazi koordinate tocke kaofunkciju vremena.



ZADATAK 9.






ZADATAK 9.






Rjesenje:

a) x = cos(3t), y = sin(3t)

b) r = 4, ω =vr

=14

; x = 4 cos t4 , y = 4 sin t

4

c) r = 2, ω =32

; x = 2 cos 3t2 , y = 2 sin 3t

2



Realne funkcije tg i ctg∗

tgϕ =sinϕ

cosϕctgϕ =

cosϕ

sinϕ

Na jedinicnoj kruznici:



PRIMJER 5.

Popunimo tablicu:

α 0π

4π

23π

4π

5π

43π

27π

42π

tgα

ctgα



Rjesenje:

α 0π

4π

23π

4π

5π

43π

27π

42π

tgα 0 1 ±∞ −1 0 1 ±∞ −1 0ctgα ±∞ 1 0 −1 ±∞ 1 0 −1 ±∞




a) tg0, tgπ

6, tg

π

4, tg

π

3tg

π

2

b) ctg0, ctgπ

6, ctg

π

4, ctg

π

3ctg

π

2

po formulama: tgϕ =sinϕ

cosϕ, ctgϕ =

cosϕ

sinϕ

Rjesenje:

a) 0,1√3, 1,

√3 ±∞

b) ±∞,√

3, 1,1√3, 0




a) tg0, tgπ

6, tg

π

4, tg

π

3tg

π

2

b) ctg0, ctgπ

6, ctg

π

4, ctg

π

3ctg

π

2

po formulama: tgϕ =sinϕ

cosϕ, ctgϕ =

cosϕ

sinϕ

Rjesenje:

a) 0,1√3, 1,

√3 ±∞

b) ±∞,√

3, 1,1√3, 0


Uvodna ponavljanja 1.4 Grafovi trigonometrijskih funkcija∗

1.4 GRAFOVI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA∗



PERIODICKI SE PONAVLJA

PERIODICKI SE PONAVLJA

PERIOD FUNKCIJA sin I cos JE 2π

Sjeti se kruznice!Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 28 / 88


PERIOD FUNKCIJA tg I ctg JE π



Funkcija f(t) je periodicna ako postoji broj T(6= 0) takav da:

f(t + T) = f(t) .

Najmanji takav T > 0 zove se period funkcije f .

PRIMJER 6.Koliki je period funkcije f(t) = 3sin(4t)?

Rjesenje:

f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )

)= 3sin(4t)

=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)

petiod sinusa je 2π =⇒ 4T = 2π, T = π/2��




f(t + T) = f(t) .



Rjesenje:

f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )

)= 3sin(4t)

=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)





f(t + T) = f(t) .



Rjesenje:

f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )

)= 3sin(4t)

=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)





f(t + T) = f(t) .



Rjesenje:

f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )

)= 3sin(4t)

=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)





f(t + T) = f(t) .



Rjesenje:

f (t + T ) = f (t) =⇒ 3sin(4(t + T )

)= 3sin(4t)

=⇒ sin(4t + 4T ) = sin(4t)



Uvodna ponavljanja 1.5 sin i cos kao koordinate tocke koja jednoliko kruzi

1.6 sin I cos KAO KOORDINATE TOCKEKOJA JEDNOLIKO KRUZI



PRIMJER 7.Koje jednoliko kruzno gibanje opisuje x = 3cos(4t), y = 3sin(4t)?

Rjesenje:Koordinate tocke koja se jednoliko kruzno giba po kruznici radijusa r skutnom brzinom ω opisane su jednadzbama:

x = r cos(ω t), y = r sin

(ω t).

Dakle, radi se o gibanju po kruznici radijusa r = 3 s kutnom brzinomω = 4.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Period gibanja je vrijeme T opotrebno za jedan krug:

ωT = 2π =⇒ T = 2π/ω.Dakle, period naseg gibanja je T = 2π/4 = π/2.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Frekvencija gibanja je broj okreta ν u jedinici vremena:

ν = 1/T .Dakle, frekvencija naseg gibanja je ν = 2/π.



PRIMJER 7.Koje jednoliko kruzno gibanje opisuje x = 3cos(4t), y = 3sin(4t)?

Rjesenje:Koordinate tocke koja se jednoliko kruzno giba po kruznici radijusa r skutnom brzinom ω opisane su jednadzbama:

x = r cos(ω t), y = r sin

(ω t).

Dakle, radi se o gibanju po kruznici radijusa r = 3 s kutnom brzinomω = 4.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Period gibanja je vrijeme T opotrebno za jedan krug:

ωT = 2π =⇒ T = 2π/ω.Dakle, period naseg gibanja je T = 2π/4 = π/2.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Frekvencija gibanja je broj okreta ν u jedinici vremena:

ν = 1/T .Dakle, frekvencija naseg gibanja je ν = 2/π.


Uvodna ponavljanja Jednoliko kruzno gibanje

JEDNOLIKO KRUZNO GIBANJE

Ako se tocka (x ,y) giba po kruznici radijusa r s kutnom brzinom ω

onda je:x = r cos

(ω t), y = r sin

(ω t)

Vrijeme jednog okreta T , tj. period kruznog gibanja je:

T = 2π/ω

Frekvencija ν tog gibanja, tj. broj okreta u jedinici vremena je:

ν = 1/T

Brzina gibanja v je:v = ω r


Uvodna ponavljanja Primjeri

PRIMJER 8. a)Skicirajmo graf funkcije y = 3sin(4t).

Rjesenje:

Period: T =2π

4=

π

2Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3



PRIMJER 8. a)Skicirajmo graf funkcije y = 3sin(4t).

Rjesenje:

Period: T =2π

4=

π

2Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3



PRIMJER 9. b)Skicirajmo graf funkcije y =−3sin(4t).

Rjesenje:

Period: T =π

2; Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3



PRIMJER 9. b)Skicirajmo graf funkcije y =−3sin(4t).

Rjesenje:

Period: T =π

2; Amplituda: A = 3, tj. −3≤ y ≤ 3



PRIMJER 10. c)Skicirajmo graf funkcije y =−2cos(3t).

Rjesenje:

Period: T =2π

3; Amplituda: A = 2



PRIMJER 10. c)Skicirajmo graf funkcije y =−2cos(3t).

Rjesenje:

Period: T =2π

3; Amplituda: A = 2



PRIMJER 11. d)

Skicirajmo graf funkcije y =13

sin(

t− π

4

).

Rjesenje:

Period: T = 2π; Amplituda: A =13

Fazni pomak, tj. pocetak vala: t− π

4= 0 ⇒ t =

π

4



PRIMJER 11. d)

Skicirajmo graf funkcije y =13

sin(

t− π

4

).

Rjesenje:

Period: T = 2π; Amplituda: A =13

Fazni pomak, tj. pocetak vala: t− π

4= 0 ⇒ t =

π

4



PRIMJER 12. e)

Skicirajmo graf funkcije y = cos(

2t +π

4

).

Rjesenje:

Period: T =2π

2= π; Amplituda: A = 1

Fazni pomak, tj. pocetak vala: t =−π

8



PRIMJER 12. e)

Skicirajmo graf funkcije y = cos(

2t +π

4

).

Rjesenje:

Period: T =2π

2= π; Amplituda: A = 1

Fazni pomak, tj. pocetak vala: t =−π

8



ZADATAK 11.Skicirati grafove:

a) y = cos(

2t +π

2

),

b) y =−12

sin(3t−π) ,

c) y =−tg(

t2

),

d) y = 2ctg (2t−π) .



Rjesenja:a)

b)



c)

d)


Uvodna ponavljanja Neki trigonometrijski identiteti

NEKI TRIGONOMETRIJSKI IDENTITETI (ponavljanje)

sin(−t) =−sin t cos(−t) = cos ttg(−t) =−tg t ctg(−t) =−ctg t

cos t = sin(

π

2 − t)

sin t = cos(

π

2 − t)

ctg t = tg(

π

2 − t)

tg t = ctg(

π

2 − t)

sin(u±v) = sinu cosv ±cosu sinvcos(u±v) = cosu cosv ∓sinu sinv

tg (u±v) =tgu± tgv

1∓ tgu tgvctg (u±v) =

ctgu ctgv ∓1ctgu±ctgv

sin2t = 2sin t cos tcos2t = cos2 t−sin2 t = 2cos2 t−1 = 1−2sin2 t

sinu±sinv = 2 sin(u±v

2

)·cos

(u∓v2

)cosu + cosv = 2 cos

(u+v2

)·cos

(u−v2

)cosu−cosv =−2 sin

(u+v2

)·sin

(u−v2

)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 42 / 88

Uvodna ponavljanja 1.6 Limesi trigonometrijskih funkcija

1.6 LIMESI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJAMoze se pokazati da je

limx→0

sinxx

= 1

U skladu sa slikom a) dobivamo da je cos(x) < sin(x)x < 1, za −π

2 < x < π

2 ,x 6= 0. Kako je lim

x→0cos(x) = 1, primjenom teorema o sendvicu slijedi gornji

limes.



PRIMJER 13.

Izracunajmo: a) limx→0

sin5xsin2x

, b) limx→0

1−cosxx2 , c) lim

t→0

(sin2t

t

)t+3

.

Rjesenje

a) limx→0

sin5xsin2x = lim

x→0

sin5x5x

sin2x2x· 5

2 = 11 ·

52 = 5

2 ,

b) limx→0

1−cosxx2 = lim

x→0

1−(1−2sin2 x2 )

x2

= 2 limx→0

sin2 x2

4·( x2 )

2 = 12

(sin x

2x2

)2= 1

2 ·1 = 12 ,

c) limt→0

(sin2t

t

)t+3=

(limt→0

sin2tt

) limt→0

t+3

= (2 ·1)0+3 = 8.



ZADATAK 12.Izracunajte:

a) limx→0

cos(2x)−cos(3x)x2 , [R : 5/2]

b) limx→0

cos(2x)−cos(3x)x , [R : 0]

c) limt→0

t · ctgt , [R : 1]

d) limt→0

tg t−sin tt3 , [R : 1/2]

e) limx→ π

2

(π

2 −x)· tgx , [R : 1].


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija

2. DERIVIRANJE I INTEGRIRANJETRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

2.1 DERIVACIJE

x = cos t y = sin td sin t

d t=

dyd t

=x1

= cos t

d cos td t

=dxd t

=−y1

=−sin t

d sin td t

= lim∆t→0

sin(t + ∆t)−sin t∆t

= lim∆t→0

2 cos( t+∆t+t2 ) ·sin( t+∆t−t

2 )

∆t

= lim∆t→0

cos(

t +∆t2

)· lim

∆t→0

sin( ∆t2 )

∆t2

= cos(t) ·1 = cos t

d cos td t

=d sin( π

2 − t)d t

=−sin t


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.1 Derivacije trigonometrijskih funkcija

PRIMJER 14.

Izracunajmod tg td t

,dctg t

d t.

Rjesenje:

d tg td t

=dd t

(sin tcos t

)=

cos t cos t + sin t sin tcos2 t

=1

cos2 t

dctg td t

=dd t

(cos tsin t

)= · · ·=− 1

sin2 t

Dakle: <<

y sin t cos t tg t ctg t

dyd t

cos t −sin t1

cos2 t− 1

sin2 t


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Zadaci

ZADATAK 13.

Derivirati: a) y = sin2 t , b) y = sin t ·cos t ,

c) y = cos3t , d) y =sin2tcos3t

.

ZADATAK 14.

Derivirati: a) sin∗ t = sin(

π

180t),

b) cos∗ t = cos(

π

180t).

ZADATAK 15.

Derivirati: a) y = cos2 t ·sin t , b) y = sin3 3t ,

c) y =sinx

cosx−1, d) y =

sin√

t1 +√

t.



ZADATAK 13.



.

ZADATAK 14.


π

180t),

b) cos∗ t = cos(

π

180t).

ZADATAK 15.


c) y =sinx

cosx−1, d) y =

sin√

t1 +√

t.



ZADATAK 13.



.

ZADATAK 14.


π

180t),

b) cos∗ t = cos(

π

180t).

ZADATAK 15.


c) y =sinx

cosx−1, d) y =

sin√

t1 +√

t.



ZADATAK 16.Derivirati:

a) y = tg2x ,

b) y = tg√

x ,

c) y = tg(sin√

x).

ZADATAK 17.Pod koji kutem graf funkcije

a) sinx b) tgx

sijece os x u ishodistu?



ZADATAK 16.Derivirati:

a) y = tg2x ,

b) y = tg√

x ,

c) y = tg(sin√

x).

ZADATAK 17.Pod koji kutem graf funkcije

a) sinx b) tgx

sijece os x u ishodistu?



Rjesenje 13:

a)dydt

= 2 sin t cos t = sin2t

b)dydt

= cos2 t−sin2 t = cos2t

c)dydt

=−3sin3t

d)dydt

=2 cos(2t) cos(3t) + 3sin(2t) sin(3t)

(cos3t)2

Rjesenje 14:

a)ddt

(sin∗ t) =π

180cos∗ t

b)ddt

(cos∗ t) =− π

180sin∗ t

tj. derivacija ”stupnjevima definirane” funkcije sin∗ nije cos∗

cos∗ nije −sin∗



Rjesenje 15:

a)dydt

=−2 cos t sin2 t + cos3 t

b)dydx

= 9 sin2(3x) cos(3x)

c)dydx

=cosx · (cosx−1) + sin2 x

(cosx−1)2 =1

1−cosx

d)dydt

=cos√

t · (1 +√

t)−sin√

t2√

t (1 +√

t)2

Rjesenje 16:

a)dydx

=2

cos2 2t

b)dydx

=1

2√

x cos2√

x

c)dydx

=cos√

x2√

x cos2(sin√

x)



Rjesenje 17:

a)dsinx

dx

∣∣∣∣x=0

= cos0 = 1 ⇒ ϕ =π

4

b)d tgx

dx

∣∣∣∣x=0

=1

cos2 0= 1 ⇒ ϕ =

π

4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Brzina gibanja

PRIMJER 15.Promatrac je 100m udaljen od mjesta pustanja balona sa zemlje. Kutpod kojim promatrac vidi balon raste brzinom 1/100rad/s. Kojom sebrzinom balon udaljava od Zemlje u trenutku kada ga promatrac vidipod 45◦?



Rjesenje 17:

a)dsinx

dx

∣∣∣∣x=0

= cos0 = 1 ⇒ ϕ =π

4

b)d tgx

dx

∣∣∣∣x=0

=1

cos2 0= 1 ⇒ ϕ =

π

4

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Brzina gibanja

PRIMJER 15.Promatrac je 100m udaljen od mjesta pustanja balona sa zemlje. Kutpod kojim promatrac vidi balon raste brzinom 1/100rad/s. Kojom sebrzinom balon udaljava od Zemlje u trenutku kada ga promatrac vidipod 45◦?



Rjesenje:

tgϕ =y

100

tj. y = 100tgϕ

dϕ

dt=

1100

=⇒ dydt

=dydϕ· dϕ

dt=

ddϕ

(100tgϕ) · dϕ

dt

= 100 · 1cos2 ϕ

· 1100

=1

cos2 ϕ

dydt

∣∣∣∣ϕ= π

4

=1

(cos π

4)2 =1

(√

22 )2

= 2(m/s)


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija

2.2 INTEGRALI

Iz tablice derivacija lako dolazimo do odgovarajuce

TABLICE NEODREDENIH INTEGRALA:

∫cos t dt = sin t + C

∫sin t dt =−cos t + C∫ dt

cos2 t= tg t + C

∫ dtsin2 t

=−ctg t + C

PRIMJER 16.

Izracunajmo povrsinu osjencanog lika na slici:


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.2 Integriranje trigonometrijskih funkcija

2.2 INTEGRALI

Iz tablice derivacija lako dolazimo do odgovarajuce

TABLICE NEODREDENIH INTEGRALA:

∫cos t dt = sin t + C

∫sin t dt =−cos t + C∫ dt

cos2 t= tg t + C

∫ dtsin2 t

=−ctg t + C

PRIMJER 16.

Izracunajmo povrsinu osjencanog lika na slici:



Rjesenje:

P =

π∫0

sin t dt =−cos t∣∣∣π0

=−cosπ + cos0 =−(−1) + 1 = 2


a)∫

cos3t dt , b)∫

2 sin4x dx ,

c)∫ (

sin t +√

t)

dt , d)∫ sin2 x + 2cos2 x

cos2 xdx .



Rjesenje:

P =

π∫0

sin t dt =−cos t∣∣∣π0

=−cosπ + cos0 =−(−1) + 1 = 2


a)∫

cos3t dt , b)∫

2 sin4x dx ,

c)∫ (

sin t +√

t)

dt , d)∫ sin2 x + 2cos2 x

cos2 xdx .




a)

π/2∫0

(cos t + t2)dt , b)

π/2∫π/4

sinx dx ,

c)

π/3∫π/6

( 1cos2 x

− 1sin2 x

)dx .

ZADATAK 20.

a) Izracunati povrsinu koju jedan luk sinusoide y = 3 sin(x/2)zatvara s osi x .b) Izracunati povrsinu koja je omedena grafovima y = sinx i

y = x−π nad intervalom [0,π].c) Izracunati povrsinu lika koji je omeden s y = sinx i y = x2−πx.




a)

π/2∫0

(cos t + t2)dt , b)

π/2∫π/4

sinx dx ,

c)

π/3∫π/6

( 1cos2 x

− 1sin2 x

)dx .

ZADATAK 20.

a) Izracunati povrsinu koju jedan luk sinusoide y = 3 sin(x/2)zatvara s osi x .b) Izracunati povrsinu koja je omedena grafovima y = sinx i

y = x−π nad intervalom [0,π].c) Izracunati povrsinu lika koji je omeden s y = sinx i y = x2−πx.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 56 / 88


Rjesenje 18:

a)12

sin3t + C b) − 12

cos4x + C

c) −cos t +23

t2/3 + C d) tgx + x + C

Rjesenje 19:

a) 1 +π3

24b)

√2

2c) 0



Rjesenje 20 :

a)

P =

2π∫0

3 sinx2

dx = . . . = 12

b)

P =

π∫0

(sinx−x + π

)dx = . . . = 2 +

π2

2

c)

P =

π∫0

(sinx−x2 +πx

)dx = . . . = 2 +

π3

6


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija 2.3 sin i cos su ”beskonacni polinomi” ∗

2.3 sin I cos SU ”BESKONACNI POLINOMI”: ∗

cosx ≤ 1∫ x

0

sinx ≤ x∫ x

0 ⇐= sinx−sin0≤ x

−cosx + cos0≤ x2

2 =⇒ cosx ≥ 1− x2

2∫ x

0

sinx ≥ x− x3

2 ·3∫ x

0 ⇐= sinx−sin0≥ x− x3

2·3

−cosx + cos0≥ x2

2 −x4

2·3·4 =⇒ cosx ≤ 1− x2

2+

x4

2 ·3 ·4∫ x

0

sinx ≤ x− x3

2 ·3+

x5

2 ·3 ·4 ·5∫ x

0 ⇐= sinx−sin0≥ x− x3

2·3 + x5

2·3·4·5

......



sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

x9

9!− x11

11!+ · · ·

POGRESKA KOJU CINIMO UPOTREBOM SAMO KONACNOG

POCETNOG KOMADA POLINOMA MANJA JE OD APSOLUTNEVRIJEDNOSTI PRVOG NEUPOTREBLJENOG CLANA.

cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!− x10

10!+ · · ·





sinx = x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+

x9

9!− x11

11!+ · · ·



cosx = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+

x8

8!− x10

10!+ · · ·




Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Primjer

PRIMJER 17.

Izracunajmo cos0.2 s greskom manjom od 10−5.

Rjesenje:

cos0.2 = 1− 0.22

2!+

0.24

4!− 0.26

6!+

0.28

8!− 0.210

10!+ · · · .

Uzmimo u obzir samo prva tri clana:

cos0.2=1− 0.22

2!+

0.24

4!=0.98007 .

Greska koju time cinimo manjaje od apsolutne vrijednosti sljedecegclana, tj. :

G = |cos0.2−0.98007|< 0.26

6!=

0.000064720

< 0.00000009 ,

pa je nasa aproksimacija trazene tocnosti.


Deriviranje i integriranje trigonometrijskih funkcija Primjer

PRIMJER 17.

Izracunajmo cos0.2 s greskom manjom od 10−5.

Rjesenje:

cos0.2 = 1− 0.22

2!+

0.24

4!− 0.26

6!+

0.28

8!− 0.210

10!+ · · · .

Uzmimo u obzir samo prva tri clana:

cos0.2=1− 0.22

2!+

0.24

4!=0.98007 .

Greska koju time cinimo manjaje od apsolutne vrijednosti sljedecegclana, tj. :

G = |cos0.2−0.98007|< 0.26

6!=

0.000064720

< 0.00000009 ,

pa je nasa aproksimacija trazene tocnosti.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 61 / 88



a) sin0.1 b) cos0.1

s greskom manjom od 10−3.

Rjesenje:

a) sin0.1=0.1− 0.13

3!= 0.0998

G <0.15

5!< 0.15 = 0.00001

b) cos0.1=1− 0.12

2!= 0.0995

G <0.14

4!< 0.14 = 0.0001




a) sin0.1 b) cos0.1

s greskom manjom od 10−3.

Rjesenje:

a) sin0.1=0.1− 0.13

3!= 0.0998

G <0.15

5!< 0.15 = 0.00001

b) cos0.1=1− 0.12

2!= 0.0995

G <0.14

4!< 0.14 = 0.0001


Arkus funkcije 3.1 Inverzne funkcije (ponavljanje)

3. ARKUS FUNKCIJE(INVERZNE FUNKCIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA)

3.1 INVERZNE FUNKCIJE (PONAVLJANJE)

Funkcije f i g medusobno su inverzne ako je:y = f(x) ⇐⇒ x = g(y)

(Dakle, graf od y = f (x) i x = g(y) je isti!)Inverznu funkciju of f oznacavamo s f−1.(Dakle, g = f−1 i f = g−1!)


Arkus funkcije Primjer

PRIMJER 18.

Izracunajmo f−1 ako je f(x) =−2x + 2.

Rjesenje:

y =−2x + 2

⇐⇒ 2x = 2−y

⇐⇒ x = 1− y2.

Dakle:

f−1(y) = 1− y2

ili f−1(x) = 1− x2.



PRIMJER 18.

Izracunajmo f−1 ako je f(x) =−2x + 2.

Rjesenje:

y =−2x + 2

⇐⇒ 2x = 2−y

⇐⇒ x = 1− y2.

Dakle:

f−1(y) = 1− y2

ili f−1(x) = 1− x2.



Nema svaka funkcija inverznu (sto se lijepo vidi na slici):

Funkcija y = f(x) nema inverz jer jednom y-u odgovara vise x-ova!

Suzenjem domene funkcije mozemo doci do funkcije koja ima inverz.


Arkus funkcije Kriterij invertibilnosti

SUZENJE DOMENE OMOGUCAVA INVERTIRANJE:Ako se ogranicimo na interval [a,b] na kojem funkcija raste, ili nainterval [b,c] na kojem funkcija pada, onda dolazimo do funkcijekoja ima inverz (u svakom od tih slucajeva):

KRITERIJ INVERTIBILNOSTI:Ako funkcija y = f (x) raste (resp. pada) na nekom intervalu [m,M]i derivabilna je, tj. ako je f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) < 0) na [m,M],onda funkcija ima inverz x = f−1(y) koji je definiran na intervalu[f (m), f (M)] (resp. [f (M), f (m)]) s vrijednostima u [m,M].


Arkus funkcije 3.2 Deriviranje inverzne funkcije

3.2 DERIVIRANJE INVERZNE FUNKCIJE

Derivacija inverzne funkcije f−1 u tocki y reciprocna je vrijednostiderivacije od f u tocki x = f−1(y):

(f−1)′(y) =

1f′(x)

ili u Leibnizovoj notaciji:dxdy

=1dydx

PRIMJER 19.

Izracunajmod

dx√

x primjenom gornjeg pravila.

Rjesenje:

y =√

x ⇐⇒ x = y2 (za y ≥ 0)

d√

xdx

=dydx

=1dxdy

=1

d(y2)dy

=1

2y=

12√

x


Arkus funkcije 3.2 Deriviranje inverzne funkcije

3.2 DERIVIRANJE INVERZNE FUNKCIJE

Derivacija inverzne funkcije f−1 u tocki y reciprocna je vrijednostiderivacije od f u tocki x = f−1(y):

(f−1)′(y) =

1f′(x)

ili u Leibnizovoj notaciji:dxdy

=1dydx

PRIMJER 19.

Izracunajmod

dx√

x primjenom gornjeg pravila.

Rjesenje:

y =√

x ⇐⇒ x = y2 (za y ≥ 0)

d√

xdx

=dydx

=1dxdy

=1

d(y2)dy

=1

2y=

12√

x


Arkus funkcije 3.3 Arkussinus i arkuskosinus

3.3 ARKUSSINUS I ARKUSKOSINUS

Opca znanja o inverznim funkcijama i njihovim derivacijama primijenitcemo na inverzne funkcije trigonometrijskih funkcija.

ARKUSSINUS (arcsin)Funkcija y = sinx raste na intervalu [−π/2,π/2], pa na tom

intervalu ima inverz koji zovemo arkussinus:

y = sin x ⇐⇒ x = arcsiny· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Kliknite na sliku za graf y = sinxili y = arcsinx ili oba−→


Arkus funkcije 3.3 Arkussinus i arkuskosinus

ARKUSKOSINUS (arccos)

Funkcija y = cosx pada na intervalu [0,π], pa na tom intervalu imainverz koji zovemo arkuskosinus:

y = cos x ⇐⇒ x = arccosy

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Kliknite na sliku za graf y = cosxili y = arccosx ili oba−→


Arkus funkcije Arkus funkcije na jedinicnoj kruznici

FUNKCIJE arcsin I arccos NA JEDINICNOJ KRUZNICI

x = cos t ⇐⇒ t = arccosx(”t” je luk ciji kosinus iznosi ”x”)

y = sin t ⇐⇒ t = arcsiny(”t” je luk ciji sinus iznosi ”y ”)

PRIMJER 20.

a) Koliko je arcsin12

?

b) Koliko je arccos√

22

?



Rjesenje a):

Na jedinicnoj kruznici trazimo tocku (i pripadni luk)cija je ordinata 1

2 .

Ogranicimo se na tocku na desnoj polukruznici, tj. na brojeve−π

2 ≤ t ≤ π

2 .

t ∈[−π

2,

π

2

]

Medu njima je samo jedan ciji je sinus 12 . To je π

6 .

Dakle: arcsin12

=π

6

(⇐⇒ sin

π

6=

12

)Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 71 / 88


Rjesenje b):

Na jedinicnoj kruznici trazimo tocku (i pripadni luk) s apscisom√

22 .

Ogranicimo se na tocku na gornjoj polukruznici, tj. na brojeve0≤ t ≤ π.

t ∈ [0,π]

Medu njima je samo jedan ciji je sinus√

22 . To je π

4 .

Dakle: arccos√

22

=π

4

(⇐⇒ cos

π

4=

√2

2

)



PRIMJER 21.

Izracunajmo arcsin1, arcsin√

22

, arcsin(−1), arcsin0.

Rjesenje:

arcsin1 =π

2arcsin

√2

2=

π

4arcsin(−1) =−π

2arcsin0 = 0

(sin

π

2= 1

) (sin

π

4=

√2

2

) (sin(−π

2)

=−1)

(sin0 = 0)



PRIMJER 21.

Izracunajmo arcsin1, arcsin√

22

, arcsin(−1), arcsin0.

Rjesenje:

arcsin1 =π

2arcsin

√2

2=

π

4arcsin(−1) =−π

2arcsin0 = 0

(sin

π

2= 1

) (sin

π

4=

√2

2

) (sin(−π

2)

=−1)

(sin0 = 0)


Arkus funkcije Zadatak


a) arccos1, arccos√

22

, arccos

(−√

22

), arccos0

b) arcsin(−1

2

)+ arccos

(−1

2

)c) arcsin

√2

2+ arccos

(−√

22

)

Rjesenje: Iz trigonometrijske kruznice dobivamo

a) 0,π

4,

3π

4,

π

2

b)π

2

c) π




a) arccos1, arccos√

22

, arccos

(−√

22

), arccos0

b) arcsin(−1

2

)+ arccos

(−1

2

)c) arcsin

√2

2+ arccos

(−√

22

)


a) 0,π

4,

3π

4,

π

2

b)π

2

c) π


Arkus funkcije Primjeri

PRIMJER 22.d

dxarcsinx =?

Rjesenje: y = arcsinx ⇐⇒ x = siny

ddx

arcsinx =dydx

=1dxdy

=1

cosy=

1√1−sin2 y

=1√

1−x2

PRIMJER 23.Pojednostavimo izraz: tg (arcsinw) =?

Rjesenje: v = arcsinw ⇐⇒ w = sinv

tg (arcsinw) = tgv =w√

1−w2



PRIMJER 22.d

dxarcsinx =?


ddx

arcsinx =dydx

=1dxdy

=1

cosy=

1√1−sin2 y

=1√

1−x2




1−w2



PRIMJER 22.d

dxarcsinx =?


ddx

arcsinx =dydx

=1dxdy

=1

cosy=

1√1−sin2 y

=1√

1−x2




1−w2



PRIMJER 22.d

dxarcsinx =?


ddx

arcsinx =dydx

=1dxdy

=1

cosy=

1√1−sin2 y

=1√

1−x2




1−w2


Arkus funkcije Zadaci

ZADATAK 23.d

dxarccosx =?


a)d

dyarcsin (2

√y)

b)d

dx

√arcsin2x

c)d

dxarccos2 (3x + 1)

Rjesenje 23: y = arccosx ⇐⇒ x = cosyd

dxarccosx =

dydx

=1dxdy

=1

−siny=− 1√

1−cos2 y= − 1√

1−x2



ZADATAK 23.d

dxarccosx =?


a)d

dyarcsin (2

√y)

b)d

dx

√arcsin2x

c)d

dxarccos2 (3x + 1)

Rjesenje 23: y = arccosx ⇐⇒ x = cosyd

dxarccosx =

dydx

=1dxdy

=1

−siny=− 1√

1−cos2 y= − 1√

1−x2



Rjesenje 24:

a)1√

1−4y· 1√

y

b)1√

arcsin2x· 1√

1−4x2

c) −6 ·arccos(3x + 1) · 1√1− (3x + 1)2


a) arcsin(

sinπ

6

)b) arccos

(cos

2π

3

)c) arcsin

(sin

3π

4

)d) sin

(arcsin

(−1

2

))e) cos

(arccos

√3

2

)c) arccos

(cos

(−π

6

))



Rjesenje 24:

a)1√

1−4y· 1√

y

b)1√

arcsin2x· 1√

1−4x2

c) −6 ·arccos(3x + 1) · 1√1− (3x + 1)2


a) arcsin(

sinπ

6

)b) arccos

(cos

2π

3

)c) arcsin

(sin

3π

4

)d) sin

(arcsin

(−1

2

))e) cos

(arccos

√3

2

)c) arccos

(cos

(−π

6

))Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 77 / 88


Rjesenje 25:

a)π

6b)

2π

3c)

π

4

d) −12

e)

√3

2f)

π

6


a) cos(arcsin t) b) ctg(arccosv)



Rjesenje 25:

a)π

6b)

2π

3c)

π

4

d) −12

e)

√3

2f)

π

6


a) cos(arcsin t) b) ctg(arccosv)



Rjesenje 26: Obavezno skiciraj trokut!

a) cos(arcsin t) =√

1− t2

b) ctg(arccosv) =v√

1−v2


Arkus funkcije 3.4 Arkustangens i arkuskotangens

3.4 ARKUSTANGENS I ARKUSKOTANGENS

ARKUSTANGENS (arctg)

Funkcija y = tgx raste na intervalu⟨−π

2 ,π

2

⟩, pa na tom intervalu

ima inverz koji zovemo arkustangens:y = tgx ⇐⇒ x = arctgy

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Kliknite na sliku za graf y = tgx iliy = arctgx ili oba−→


Arkus funkcije 3.4 Arkustangens i arkuskotangens

ARKUSKOTANGENS (arcctg)

Funkcija y = tgx pada na intervalu 〈0,π〉, pa na tom intervalu imainverz koji zovemo arkuskotangens:

y = ctgx ⇐⇒ x = arcctgy

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Kliknite na sliku za graf y = ctgxili y = arcctgx ili oba−→



FUNKCIJE arctg I arcctg NA JEDINICNOJ KRUZNICI

y = tg t ⇐⇒ t = arctgy

t ∈⟨−π

2 ,π

2

⟩y ∈ 〈−∞,+∞〉

x = ctg t ⇐⇒ t = arcctgx

t ∈ 〈0,π〉

x ∈ 〈−∞,+∞〉



Dakle:

PRIMJER 24.

Izracunajmo arctg1, arctg(−1), arctg(±∞), arctg0.

Rjesenje:

arctg1 = π/4 arctg(−1) =−π/4 arctg(±∞)

=±π/2 arctg0 = 0



Dakle:

PRIMJER 24.

Izracunajmo arctg1, arctg(−1), arctg(±∞), arctg0.

Rjesenje:

arctg1 = π/4 arctg(−1) =−π/4 arctg(±∞)

=±π/2 arctg0 = 0Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I Racun trigonom. funkcija 83 / 88



a) arcctg0, arcctg1, arcctg (−1) , arcctg (±∞)

b) arctg(−√

3)

+ arcctg√

3

c) arctg(− 1√

3

)−arcctg

(−√

3)


a)π

2,

π

4,

3π

4, 0

b) −π

6

c) −π




a) arcctg0, arcctg1, arcctg (−1) , arcctg (±∞)

b) arctg(−√

3)

+ arcctg√

3

c) arctg(− 1√

3

)−arcctg

(−√

3)


a)π

2,

π

4,

3π

4, 0

b) −π

6

c) −π



PRIMJER 25.d

dxarctgx =?

Rjesenje: y = arctgx ⇐⇒ x = tgy

ddx

arctgx =dydx

=1dxdy

=11

cos2 y

=1

sin2 y+cos2 ycos2 y

=1

tg2 y + 1=

1x2 + 1

ZADATAK 28.d

dxarcctgx =?

Rjesenje Slicno gornjem dobivamo:d

dxarcctgx = − 1

x2 + 1



PRIMJER 25.d

dxarctgx =?


ddx

arctgx =dydx

=1dxdy

=11

cos2 y

=1

sin2 y+cos2 ycos2 y

=1

tg2 y + 1=

1x2 + 1

ZADATAK 28.d

dxarcctgx =?


dxarcctgx = − 1

x2 + 1



PRIMJER 25.d

dxarctgx =?


ddx

arctgx =dydx

=1dxdy

=11

cos2 y

=1

sin2 y+cos2 ycos2 y

=1

tg2 y + 1=

1x2 + 1

ZADATAK 28.d

dxarcctgx =?


dxarcctgx = − 1

x2 + 1



PRIMJER 25.d

dxarctgx =?


ddx

arctgx =dydx

=1dxdy

=11

cos2 y

=1

sin2 y+cos2 ycos2 y

=1

tg2 y + 1=

1x2 + 1

ZADATAK 28.d

dxarcctgx =?


dxarcctgx = − 1

x2 + 1



Dakle:

DERIVACIJE ARKUS FUNKCIJA

y arcsinx arccosx arctgx arcctgx

dydx

1√1−x2 − 1√

1−x2

11 + x2 − 1

1 + x2

ODGOVARAJUCI INTEGRALI

∫ dx√1−x2

= arcsinx + C∫ dx1 + x2 = arctgx + C


Arkus funkcije Zadacik


a)d

dx

(arctg

x√3

)b)

ddx

(√arcctg

x2

)

c)∫ 1−x2

1 + x2 dx d)

1∫0

1√1−x2

dx

e)

1∫0

x2

1 + x2 dx f )

∞∫0

dx1 + x2


Arkus funkcije Zadacik

Rjesenje:

a)1

1 + x2

3

· 1√3

b)1

2√

arcctg x2

· −1

1 + x2

4

· 12

c) −x + 2arctgx + C

d)π

2e) 1− π

4f)

π

2


Documents

Matematika I - fsb.unizg.hr · Matematika I Racun trigonometrijskih funkcijaˇ Katedra za matematiku, FSB Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika I 27. rujna 2018. 1 / 85