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Professeur Pascale FRIANT-MICHEL> Faculté de Pharmacie
ADAPTATION d’une distributionADAPTATION d’une distributionexpérimentaleexpérimentale
I - DEFINITIONI - DEFINITION
ADAPTATION d’uneADAPTATION d’uneDISTRIBUTION EXPERIMENTALEDISTRIBUTION EXPERIMENTALE
Exemple : - distribution normale
- distribution binomiale
on substitue à la distribution expérimentale observée la distribution théorique correspondante, cela s’appelle "adapter"
La distribution théorique n’a, de toute façon, valeur que de simple hypothèse dont il conviendra de tester la validité
• Lorsqu’une distribution expérimentale évoque une distribution théorique, en raison, par exemple :
- de l’aspect de son diagramme des fréquences ou
- des conditions dans lesquelles on l’a observée
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (1)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (1)
Calculer les termes respectifs de la distribution binomiale théorique correspondante (ayant le même effectif N que la distribution expérimentale observée)
Exemple : Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants tirées au hasard dans une population
. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :
nk = N . Pk avec nk = N
. Calculer les probabilités Pk telles que :
Pk = C pk qn-k avec Pk = 1
k
n
k
k
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (2)
Famille dexi
filles
Nombre de familles
ni
01234
164862304
= 160
nixi nixi2
048
1249016
048
24827064
= 278 = 630
nii xi
nii xi
2
m =
=
= 1,74 fille
nixii
nii
278160
nixi
2
i
nii
V = - m2 = - (1,74)2 = 3,94 – 3,02 = 0,92 (fille)2
630160
σ = = 0,96 fille
V
nii
- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (3)
- Hypothèse : loi binomiale de moyenne : m = n . p
mth = mexp = 1,74 n = 4
=> p = = = 0,435 (proportion de filles)
1,744
mn
=> q = 1 – p = 0,565 (proportion de garçons)
- Probabilités théoriques de k filles dans des familles de 4 enfants :
Pk = C (0,435)k (0,565)4-k avec 0 ≤ k ≤ 4
4
k
- Effectifs théoriques :
nk = 160 . Pk avec = = 160
nii
nkk
II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4)II - ADAPTATION à la LOI BINOMIALE (4)
Pk nk
0,10190,31380,36240,18600,0358
16,3050,2157,9929,765,73
= 1 = 160
Pkk0
4
nkk0
4
Famille dexi
filles
Nombre de familles
ni
01234
164862304
= 160
nii
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (1)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (1)
Calculer les termes correspondants de la distribution de POISSON ayant le même effectif N et la même moyenne que la distribution expérimentale observée
. Calculer les fréquences absolues nk correspondantes telles que :
nk = N . Pk avec nk = N
. Calculer les probabilités Pk telles que :
Pk = e-m avec Pk = 1
mk
k !
Exemple : Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un carrefour dangereux
k
k
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (2)
Nombre d’accidents
xi
Nombre de semaines
ni
012345
5107431
= 30
nii
nixi nixi2
0101412125
01028364825
= 53 = 147
nii xi
nii xi
2
m =
=
≈ 1,77 accident
nixii
nii
5330
- Calcul des paramètres caractéristiques de la distribution
V = - m2 = - (1,77)2 = 4,9 – 3,13 ≈ 1,77 (accident)2
nixi
2
i
nii
14730
σ = = 1,33 accident
V
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (3)
- Probabilités théoriques de k accidents :
Pk = e-1,77 avec 0 ≤ k ≤ 5
- Effectifs théoriques :
nk = 30 . Pk avec = = 30
(1,77)k
k !
Attention aux classes supplémentaires
- Hypothèse : loi de POISSON de moyenne : m
mth = mexp = 1,77
nii
nkk
III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4)III - ADAPTATION à la LOI de POISSON (4)
nkk0
6
Nombre d’accidents
xi
Nombre de semaines
ni
012345
5107431
= 30
nii
Pk nk
0,17030,30150,26680,15740,06970,0247
5,119,058,004,722,090,74
Pkk0
6
0,0096 0,29
Pk = 1 ? nk = 30 ?= 1
k
k= 30
≥ 6
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (1)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (1)
Calculer les termes correspondants de la distribution gaussienne ayant le même effectif N, la même moyenne m et le même écart-type σ que la distribution expérimentale observée
=> - Déterminer les probabilités Pth associées aux diverses classes de la distribution telles que :
Pth = 1 au moyen des tables de GAUSS établies pour la courbe réduite
=> . Calculer les écarts réduits par la relation :
t =
x m
. Lire les tables des fréquences cumulées (t) ou des valeurs de (t)
. Calculer les probabilités théoriques Pth
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (2)
Exemple : Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité
- Calculer les fréquences absolues nth correspondantes telles que :
nth = N . Pth avec nth = N
Classes (kg) Effectifni
[ 3,60 ; 3,80 [ 44
[ 3,80 ; 4,00 [ 35
[ 4,00 ; 4,20 [ 17
[ 4,20 ; 4,40 [ 3
[ 4,40 ; 4,60 [ 2
[ 4,60 ; 4,80 [ 2
Classes (kg) Effectifni
[ 2,20 ; 2,40 [ 3
[ 2,40 ; 2,60 [ 8
[ 2,60 ; 2,80 [ 26
[ 2,80 ; 3,00 [ 50
[ 3,00 ; 3,20 [ 69
[ 3,20 ; 3,40 [ 85
[ 3,40 ; 3,60 [ 62
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (3)
. Calcul des différents ti (aux limites de classes)
m = 3,33 kg σ = 0,45 kg
. Recherche par lecture des différents i ou i (aux limites de classes)
- Hypothèse : loi normale de moyenne : m = 3,33 kg d’écart-type : = 0,45 kg
• Paramètres caractéristiques de la distribution :
(calculés aux centres de classes)
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (4)
- Calcul des différentes Pth (aux centres de classes) :
- Calcul des différentes nth (aux centres de classes) :
nth = 406 . Pth avec nth = 406
Attention aux classes supplémentaires
Lorsque t2 > t1 :
Pth = (t2) – (t1)ou
Pth = (t1) – (t2) lorsque t1 et t2 sont de même signe(t1 et t2 < 0)
Pth = (t2) – (t1) lorsque t1 et t2 sont de même signe(t1 et t2 > 0)
Pth = (t1) + (t2) lorsque t1 et t2 sont de signes contraires
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (5)
ti = (ti) (ti)
- 2,51
- 2,07
- 1,62
- 1,18
- 0,73
- 0,29
0,15
0,0060
0,0192
0,0526
0,1190
0,2327
0,3869
0,5596
0,4940
0,4808
0,4474
0,3810
0,2673
0,1141
0,0596
xi m
Limites (kg)
Effectifni
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3
8
26
50
69
85
Pth nth
0,0132
0,0334
0,0664
0,1137
0,1532
0,1737
5,36
13,56
26,96
46,16
62,20
70,52
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (6)
ti (ti) (ti)
0,60
1,04
1,49
1,93
2,38
2,82
3,27
0,7257
0,8508
0,9319
0,9732
0,9913
0,9976
0,9995
0,2257
0,3508
0,4319
0,4732
0,4913
0,4976
0,4995
Limites(kg)
ni
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
62
44
35
17
3
2
2
ni = 406
Pth nth
0,1661
0,1251
0,0811
0,0413
0,0181
0,0063
0,0019
67,44
50,79
32,93
16,77
7,35
2,56
0,77
Pth ≠ 1 nth ≠ 406
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (7)
ti = (t) (t)
- 2,51
- 2,07
- 1,62
- 1,18
- 0,73
- 0,29
0,15
0,0060
0,0192
0,0526
0,1190
0,2327
0,3869
0,5596
0,4940
0,4808
0,4474
0,3810
0,2673
0,1141
0,0596
xi m
Classes (kg)
Effectifni
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3
8
26
50
69
85
< 2,20
Pth nth
0,0132
0,0334
0,0664
0,1137
0,1532
0,1737
5,36
13,56
26,96
46,16
62,20
70,52
0,0060 2,43
IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8)IV - ADAPTATION à la LOI NORMALE (8)
ti (ti) (ti)
0,60
1,04
1,49
1,93
2,38
2,82
3,27
0,7257
0,8508
0,9319
0,9732
0,9913
0,9976
0,9995
0,2257
0,3508
0,4319
0,4732
0,4913
0,4976
0,4995
Limites ni
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
62
44
35
17
3
2
2
ni = 406
Pth nth
0,1661
0,1251
0,0811
0,0413
0,0181
0,0063
0,0019
67,44
50,79
32,93
16,77
7,35
2,56
0,77
≥ 4,80 0,0005 0,20
Pth = 1 nth = 406
L1 SANTE