CGM-140 -Curso de matemtica I UNIBE-

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Programa de Asignatura.Fundamentos de Matemtica.Clave : MME - 312Prerrequisito. : Licenciatura o su Equivalente.Nmero de Crditos : 3# Horas Semanales : 3Horas Tericas : 3 Prcticas: 0Aula : 15Horario : Sbado de 8:00 AM a 4:00 PM.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Introduccin.Algunas frases para empezar.Se aprende haciendo;El esfuerzo y la dedicacin aseguran el conocimiento;Las matemticas entran por las manos.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Introduccin.Una idea fundamental en base a la cual se desarrollan muchas aplicaciones matemticas en el mundo actual es la de conjunto.La teora de conjuntos ha sido desarrollada bsicamente en los ltimos 150 aos y ha venido a revolucionar el universo de la ciencia matemtica, al punto de que ninguna aplicacin del rea est totalmente desligada de ella.En ocasiones se hace referencia a la teora de conjuntos oponindola a la matemtica denominada tradicional, pintando todo lo que huele a conjuntos como moderno y lo que no como tradicional. Aplicando bien estos conceptos, lo que la teora de conjuntos ha hecho es dinamizar la comunicacin matemtica y hacer ms riguroso su lenguaje.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Basta poseer una idea intuitiva, pues intentar definir conjunto, podra ocasionarnos una cadena de dificultades. La teora de conjuntos fue desarrollada bsicamente por Georg Cantor, desde finales del siglo XIX.Sin la teora de conjuntos no pudiramos hoy definir adecuadamente objetos y conceptos bsicos como Relacin, Funcin, Grupo, Cuerpo, Topologa, entre otros.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Operaciones con conjuntos. Propiedades.Notaciones bsicas. La Relacin de Pertenencia.Unin de conjuntos. Para los conjuntos A y B su unin se representa por AUB. La definicin rigurosa es AUB = {x/ x (AB)}.Interseccin de conjuntos. Para los conjuntos A y B su interseccin se representa por AB = {x/ x A x B}. Diferencia conjuntista. La diferencia entre conjuntos se puede definir de dos formas distintas: Diferencia ordinaria: La diferencia ordinaria de A y B se denota por A-B y es el conjunto {x/ x A x B}.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Operaciones con conjuntos. Propiedades. Diferencia simtrica: La diferencia simtrica de A y B se denota por AB y es el conjunto (A-B)U(B-A).El complemento de un conjunto. Si U es el conjunto universal y A y B no son vacos, entonces A es el complemento de B o viceversa, si AUB = U. Se denota por A o B.Qu debilidad o falla tiene esta idea?La relacin de subconjunto. Se dice que A es subconjunto de B, denotado por A B, ssi, para todo x A entonces x B.Si A B, se puede escribir B A y se lee B contiene a A, B es superconjunto de A.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Operaciones con conjuntos. Propiedades.Tambin se habla de subconjunto propio de otro, diciendo que A es subconjunto propio de B ssi, A B y A B. Esto es equivalente a decir que A B y existe x en B, tal que x no est en A.Igualdad conjuntista. Definicin. Los conjuntos A y B son iguales ssi, A B B A.Principio de extensionalidad (PE). Si los conjuntos A y B tienen exactamente los mismos elementos, entonces A = B.Principio del conjunto vaco. Existe un conjunto V que es vaco, que cumple la propiedad de que para todo x, x no est en V.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Operaciones con conjuntos. Propiedades.

Teorema. Si V y V son conjuntos vacos, entonces V = V.Demostracin.

Teorema. Para todo conjuntos A se cumple que A = si y slo si, para todo B, A es subconjunto de B.Demostracin.

Este teorema asegura la existencia del conjunto vaco de una forma nica.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Construccin de conjuntos. Se puede construir conjuntos de diversas maneras:A partir de la ejecucin de operaciones ordinarias previamente definidas.A partir de establecer ciertos tipos de relaciones.Denimos una relacin de equivalencia en [0,1] por la condicin,x y si y slo (x y) Q, es decir, si la diferencia x y es racional.Observemos que en efecto si x y, entonces y x = (x y) es racional tambin.En general, se pueden construir conjuntos por:Compresin;Por extensin.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Operaciones con conjuntos. Propiedades de .La relacin posee las propiedades:Reflexividad. Para todo conjunto A, A A.Antisimetra. Para todo conjuntos A, B, si A B, entonces B no es de A.Transitividad. Para todo A, B y D, si A B y B D, entonces A D.Definicin. Cuando una relacin satisface estas tres propiedades se denomina de Orden parcial.Definicin. Una relacin @ que satisface las tres propiedades:Reflexividad; Para todo A, A @ A.Simetra; Para todo A, B, si A @ B, entonces B @ A.Transitividad. Para todo A, B y D; si A @ B y B @ D, entonces A @ D, se llama de Equivalencia.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Prctica # 2.

Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5,10, 11, 12 pginas 12-15.

Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10, 11, 12 pginas 21- 23.

Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 9,11,12, 21 pginas 35-39.

Definicin importante. Dado un conjunto A, se define el conjunto potencia de A, (A) (o partes de A) como:(A) := {B/ B A}.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Asignacin especial. Con las orientaciones dadas en el curso sobre el libro Los nmeros reales como objeto matemtico, realizar un anlisis sobre lo siguiente:Captulo I -pginas 19-37.Captulo II -pginas 39-67.Captulo III -pginas 69-101.Captulo IV -pginas 103-131.Captulo V -pginas 135-160.Captulo VI -pginas 163-190.Captulo VII -pginas 193-224.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Teorema. Sean A, B, C , conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:(a) Idempotencia. AA = A y AA= A;(b) Conmutatividad. AB = BA y AB = BA;(c) Absorcin. A AB y AB A;(d) Identidad. A = A y A = A;(e) Piso y techo. A = y A = ; (f) Asociatividad. (AB)C = A(BC) y (AB)C = A(BC)

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Teorema. Sean A, B conjuntos. Entonces se cumple que:(a) B A si y slo si, AB = A.(b) B A si y slo si, AB = B.

Teorema. Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumple la distribucin:(a) (AB)C = (AC)(BC);(b) (AB)C = (AC)(BC).

Definicin. Para un conjunto A , se define el complemento de A con respecto a comoAc = A x Ac (x x A).

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Teorema (todo o nada). Para todo A , se cumple que:(a) A Ac = ;(b) A Ac = .

Teorema. Para todo A, B , se cumple que:(a) A B = A Bc ;(b) (Ac)c = A;(c) A B si y slo si, Bc Ac.

Teorema (Leyes de Morgan). Para todo A, B , se cumple que:(a) (A B)c = Ac Bc;(b) (A B)c = Ac Bc.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Definiciones importantes.

Mordedura (definicin). Se dice que un conjunto A muerde a otro B, si existe algn x x A x B.Filtro sobre un conjunto X (definicin). Sea X un conjunto no vaco. Un filtro sobre X es un conjunto (X) que satisface las siguientes propiedades:(i) ;(ii) es cerrado para la interseccin (es decir, si S1, S2 , entonces S1S2 . (iii) es cerrado para la relacin de superconjunto (es decir, si S1 S2 X y S1 , entonces S2 .

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Definiciones importantes.

Filtro de Frchet (definicin). Sea = {S (N) Sc es un conjunto finito} (en este caso, = N, de modo que Sc = N S). Por ejemplo, N>3 , dado que (N>3)c = {0,1,2,3} es un conjunto finito; pero, para todo n N, se tiene que nN = {nx / xN} = {0, n, 2n, }; como se observa, nN no es finito, por lo que nN .Ultrafiltro (definicin). Un filtro sobre X es un ultrafiltro, si para todo A X se tiene que A Ac .

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Definiciones importantes.Ideal sobre un conjunto X (definicin). Sea X un conjunto no vaco. Un ideal sobre X es un conjunto (X) que satisface las siguientes propiedades:(i) ;(ii) es cerrado bajo la operacin de unin (es decir, si S1, S2 , entonces S1 S2 . (iii) es cerrado para la relacin de subconjunto (es decir, si S1 S2 y S1 , entonces S2 .

Nota. Se acostumbra decir que es una subfamilia de (X).

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.El dual de una propiedad.

Definicin. El dual de la propiedad P, es la propiedad Pd que se consigue al intercambiar por , por , por y viceversa.Por ejemplo, el dual de la propiedad P := AB A, es Pd := AB A.El dual de la propiedad P := A = , es Pd := A = .La propiedad A, es siempre vlida y su dual A, tambin lo es. Nota. Las leyes distributivas son duales entre s.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Unin generalizada.Definicin. Sea A un conjunto cualquiera. Se define la unin generalizada de conjuntos como p: p A b A p b. Es decir,A := {p: b A pb}.Interseccin generalizada.Definicin. Sea A un conjunto cualquiera. Se define la interseccin generalizada de conjuntos como p: p A b A; p b. Es decir,A := {p: b A, pb}.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Lgicamente, en estas definiciones se ha generalizado la disyuncin v con el cuantificador existencial y la conjuncin con el cuantificador universal .Si I es un conjunto tal que iI, (I es llamado conjunto de ndices), Ai es cierto conjunto, entonces se defineiIAi := iI ({Ai/ iI}).

SimilarmenteiIAi := iI ({Ai/ iI}).

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Unin e interseccin generalizadas.Ejemplo. Si I = N y Ai = [0,i], entoncesiIAi = [0,).

SimilarmenteiIAi = {0}.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Definiciones por recursin.En ocasiones de recurre a un procedimiento similar al que sugiere el mtodo de induccin, al intentar hacer ciertas definiciones. Es el caso de la operacin factorial que asocia a cada n, otro n!, donde n! := n(n-1)(n-2)(2)(1), para n>0. Convencionalmente 0! = 1.Una manera ms formal de definir a la funcin factorial es recursivamente, que implica una definicin base y una definicin inductiva:(a) Definicin base: si n = 0, entonces n! = 1.(b) Definicin inductiva: (n+1)! = (n+1)(n!).

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Definiciones por recursin.Como se puede observar, la definicin por recursin, debido a que posee buen orden, ha reducido el problema de calcular (n+1)! al de calcular el de n!.En general, para definir una funcin por recursin debe especificarse su valor en 0 y despus una descripcin precisa o frmula que represente claramente su valor en n+1, en donde se utiliza como recurso el valor de la funcin en n.Por ejemplo, la funcin f(n) = 2n, puede definirse recursivamente as:(a) f(0) = 1;(b) f(n+1) = 2f(n), con n.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. Relaciones.

El Producto Cartesiano de A y B, siendo ellos no vacos, es el conjunto de pares ordenados tal que el primero est en A y el segundo est en B. Simblicamente AxB = {(x,y)/ xA yB}.

Relacin. Una relacin de A en B sobre B, es cualquier subconjunto de AxB. El conjunto A se le llama conjunto de partida y a B conjunto de llegada.

Ley de dependencia de una relacin. Tambin es llamada regla o enunciado formal, es el criterio o frmula con el que o la que se hacen explcitos los pares que le pertenecen y los que no le pertenecen a una relacin.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. Tipos de Relaciones. Propiedades.

Al conjunto de pares ordenados que satisface la ley de dependencia de una relacin se le llama Grafo de ella.

Relacin. Una relacin tambin se puede definir de A en A sobre A, donde el conjunto de partida y el conjunto de llegada son iguales.

Tipos de relaciones en general. Relaciones de equivalencia (reflexividad, simetra y transitividad). Relaciones de orden (reflexividad, antisimetra y transitividad).

Discutir casos diferentes en el curso incluyendo algunos que implican demostraciones.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. Orden en una relacin.

Orden parcial. Una relacin sobre un conjunto no vaco X (X2), es de orden parcial, si es reflexiva, antisimtrica y transitiva a la vez.

Por lo general, la relacin de orden parcial se denota por .

Orden lineal. Una relacin sobre un conjunto no vaco X (X2), posee un orden lineal sobre X (a veces se dice que X es un conjunto linealmente ordenado por ), ssi:- (a) es un orden parcial sobre X;- (b) es total sobre X, es decir, dados a,b X, entonces a b b a.

Por definicin, un orden total es cualquier orden lineal, es decir, un orden total es un orden parcial en el cual todos los elementos son comparables (propiedad (b)). Equivalentemente, un orden total es un orden parcial cuyo orden estricto asociado < cumple la propiedad de Tricotoma: dados a,bX, slo es cierta una de las tres afirmaciones siguientes: a < b; a = b; b < a. Ver ejemplos del texto.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Funciones.Definicin de funcin . Una funcin : AB, es una regla (es una relacin) que asigna a cada elemento x de un conjunto A un nico elemento y de un conjunto B.Definicin . Una funcin de A en B es una relacin que se denota por : AB y que satisface la siguiente propiedad: si (x,y) y (x,y) , entonces y = y.Ver y discutir ejemplos del texto.Dominio de una funcin. El dominio de se define como el conjunto de todos los nmeros reales x que pueden asignarse a , tal que (x) sea tambin un real.En otras palabras, en cualquier escenario, el dominio es el conjunto formado por todos los valores que pueden ser asignados a x en A, de forma tal que (x) est en B.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.El rango. Es el conjunto formado por todas las (x) que son las imgenes de los elementos del dominio. Clases y tipos de Funciones.Tipos de funciones. Algebraicas:- Funcin lineal.- Funcin Idntica.- Funcin constante.- Funcin cuadrtica.- Funcin cbica.- Funcin Polinmica en general. Funcin racional. No algebraicas. Cules estn en este grupo?

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Funciones.Funciones crecientes y decrecientes.Definicin. Una funcin f(x) se dice creciente, ssi, x1< x2 implica que f(x1) < f(x2). Definicin. Una funcin f(x) se dice decreciente, ssi, x1< x2 implica que f(x1) > f(x2). Transformaciones de Funciones.Desplazamiento vertical.Si se quiere que la grfica de una funcin se desplace verticalmente, slo hay que sumar una constante a su expresin analtica.Si la constante es positiva, el desplazamiento es hacia arriba.Si la constante es negativa, el desplazamiento es hacia abajo.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Transformaciones de Funciones (c0nt.).

Desplazamiento horizontal.Si se quiere que la grfica de una funcin se desplace horizontalmente, slo hay que sumar o restar una constante a la variable independiente.Si la constante se suma, el desplazamiento es hacia la izquierda.Si la constante se resta, el desplazamiento es hacia la derecha.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Propiedades de las Funciones.Reflexin de grficas.

Reflexin respecto al eje x.Definicin. La grfica de una funcin y = - f(x) es la reflexin de la funcin y = f(x) con respecto al eje x.

Reflexin respecto al eje y.Definicin. La grfica de una funcin y = f(-x) es la reflexin de la funcin y = f(x) con respecto al eje y.

-Maestra en matemtica Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemtica MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones.Propiedades de las Funciones.Estiramiento y acortamiento verticales.Definicin. Dada la funcin y = (x), su grfica se estira verticalmente, si se multiplica por cualquier nmero c >1. Ser y = cf(x).Definicin. Dada la funcin y = (x), su grfica se acorta verticalmente, si se multiplica por cualquier nmero 0 < c 1. Ser y = (cx).Definicin. Dada la funcin y = (x), su grfica se acorta horizontalmente, si se sustituye x por cx, con 0 < c