Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
PROGRESII ARITMETICE
Definitie : Sirul 1n n
a
pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine din
precedentul prin adugarea aceluiasi numar r se numeste progresie aritmetica.
Faptul ca un sir 1n n
a
este o progresie aritmetica se noteaza astfel : 1 2 3 , , ,..., ,...na a a a
Numarul r se numeste ratie.
(relatie de recurenta)
Sirul *n na
este progresie aritmetica de ratie r , daca 2n avem
1n na a r
(diferenta dintre oricare 2 termeni consecutivi este constanta)
(monotonia)
Sirul *n na
este :
strict crescator, daca 0r
strict descrescator, daca 0r (formula termenului general)
1 1na a n r , 1n
Sirul *n na
este orice termen, incepand cu al doilea, este medie aritmetica a termenilor vecini
lui.
1 1
2
n n
n
a aa
, 2n .
sau 2
n k n k
n
a aa
, 2,1n k n
Daca 1 2 3 1, , ,..., ,n na a a a a
sunt in atunci
1 2 1 1... , 1,n n k n ka a a a a a k n (suma oricaror 2 nr. egal departate de extremele
1k n ka a este egala cu suma extremelor 1 na a )
(suma primilor termeni)
1
1 2 3 1...2
n
n n n
a aS a a a a a n
Sau 12 1
2n
a n rS n
, 1n
(diferenta a 2 termeni oarecare)
k pa a k p r , , 1k p
(termenul general na )
1n n na S S , 2n
OBSERVATII:
o Daca , , 2
a ca b c b
o , , , 2
a ca b c d b
si
2
b dc
, cu conditia ca a d b c
o Trei termeni numere consecutive ai unei progresii aritmetice se pot scrie , , a r a a r
o Patru termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice se pot scrie 2 ; ; ; a r a r a a r
PROGRESII GEOMETRICE
Definitie : Sirul 1n n
b
cu 1 0b pentru care fiecare termen al sau, incepand cu al 2-lea, se obtine
din precedentul prin inmultirea cu acelasi nr. 0q se numeste progresie geometrica.
Faptul ca un sir 1n n
b
este o progresie geometrica se noteaza astfel : ..1 2 3.., , ,..., ,...nb b b b
Numarul q se numeste ratie.
(relatie de recurenta)
Sirul *n nb
este progresie geometrica de ratie q , daca 2n avem
1n nb b q
(raportul dintre oricare 2 termeni consecutivi este constant)
(monotonia)
Sirul *n nb
este :
strict crescator, daca 1 0 si 1b q
sau daca 1 0 si 0;1b q
strict descrescator, daca 1 0 si 0;1b q
sau daca 1 0 si 1b q
- in plus, spunem ca sirul este nemonoton daca 1 0 si 0b q
(formula termenului general) 1
1
n
nb b q , 1n
Sirul *n nb
cu termini nenuli este ..
.. orice termen, incepand cu al doilea, este medie geometrica a
termenilor vecini lui. 2
1 1n n nb b b , 2n .
sau 2
n n k n kb b b , 2,1n k n
Daca 1 2 3 1, , ,..., ,n nb b b b b
sunt in ..
..atunci
1 2 1 1... , 1,n n k n kb b b b b b k n (produsul oricaror 2 nr. egal departate de extremele
1k n kb b este egala cuprodusul extremelor 1 nb b )
(suma primilor termeni)
1 2 3 1 1
1...
1
n
n n n
qS b b b b b b
q
(raportul a 2 termeni oarecare)
k pk
p
bq
b
, 1n
OBSERVATII:
o Daca 2..
.. , , a b c b a c
o 2..
.. , , , a b c d b a c si
2c b d , cu conditia ca a d b c
o Trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice se pot scrie ..
.. , ,
bb b q
q
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
o Patru termeni consecutivi ai unei progresii geometrice se pot scrie 2..
.. ; ; ;
bb b q b q
q
FISE DE LUCRU (progresii aritmetice)
NR. 1
1) Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următorul şir definit
descriptiv astfel: 2,22,222,2222,....
2) Fie şirul 1n n
a
cu termenul general 2 2
( 1)n
n na
n n
a) Să se calculeze termenii de rang 1, 2n .
b) Să se precizeze monotonia şirului 1n n
a
.
3) Se dă progresia aritmetică 1n n
a
, cu 1 3a şi 2r .
a) Să se scrie termenii 2 10,a a .
b) Să se calculeze 100S .
4) Progresia aritmetică 1n n
a
de raţie r este definită de anumite elemente date. Determinaţi,
in fiecare din cazurile date, elementele cerute:
a) 3 8a şi
10 22a . Calculaţi 1,a r ,
10S .
b) 2 6 4
8 7 4
7
2
a a a
a a a
. Calculaţi
1,a r ,10S .
5) Să se rezolve ecuaţiile:
a) 1 7 13 ... 280x
b) 16 3 ;2 10; 4x x x
6) Cunoscând suma primilor n termeni ai unui şir 1n n
a
, 24 3nS n n
a) Să se determine formula termenului general na .
b) Să se arate ca şirul 1n n
a
este o progresie aritmetică.
7) Să se calculeze 1
3 1n
k
S k
NR. 2
1) Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următorul şir definit
descriptiv astfel: 1,2,4,8,16,....
2) Fie şirul 0n n
a
cu termenul general 22
( 1)n
na
n
a) Să se calculeze termenii de rang 1, 2n .
b) Să se precizeze monotonia şirului 1n n
a
.
3) Se dă progresia aritmetică 1n n
a
, cu 1 2a şi 3r .
a) Să se scrie termenii 3 8,a a .
b) Să se calculeze 100S .
4) Progresia aritmetică 1n n
a
de raţie r este definită de anumite elemente date. Determinaţi,
in fiecare din cazurile date, elementele cerute:
a) 27 81a şi
30 60a . Calculaţi 1,a r ,
10S .
b) 1 7
10 3
42
21
a a
a a
. Calculaţi
1,a r ,10S .
5) Să se rezolve ecuaţiile:
a) 2 5 8 ... 155x
b) 1; 5;2 8x x x
6) Cunoscând suma primilor n termeni ai unui şir 1n n
a
, 2 6
6n
n nS
a) Să se determine formula termenului general na .
b) Să se arate ca şirul 1n n
a
este o progresie aritmetică.
7) Să se calculeze 1
2 3n
k
S k
NR. 3
1) Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următorul şir definit
descriptiv astfel: 1,4,9,16,....
2) Fie şirul 0n n
a
cu termenul general 2 1na n
a) Să se calculeze termenii de rang 4, 1n .
b) Să se precizeze monotonia şirului 1n n
a
.
3) Se dă progresia aritmetică 1n n
a
, cu 1 5a şi
1
2r .
a) Să se scrie termenii 2 12,a a .
b) Să se calculeze 101S .
4) Progresia aritmetică 1n n
a
de raţie r este definită de anumite elemente date. Determinaţi,
in fiecare din cazurile date, elementele cerute:
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
a) 10 25a şi
2 1a . Calculaţi 1,a r ,
10S .
b) 2 7
3 5
2 7 150
3 5 94
a a
a a
. Calculaţi
1,a r ,10S .
5) Să se rezolve ecuaţiile:
a) 1 4 7 ... 28 155x x x x
b) 2 1;3 2;4 3x x x
6) Cunoscând suma primilor n termeni ai unui şir 1n n
a
, 23 8nS n n
a) Să se determine formula termenului general na .
b) Să se arate ca şirul 1n n
a
este o progresie aritmetică.
7) Să se calculeze 1
4 1n
k
S k
NR. 4
1) Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următorul şir definit
descriptiv astfel: 1, 2, 3, 4,....
2) Fie şirul 0n n
a
cu termenul general 6
5 1n
na
n
a) Să se calculeze termenii de rang 4, 2n .
b) Să se precizeze monotonia şirului 1n n
a
.
3) Se dă progresia aritmetică 1n n
a
, cu 1
1
3a şi 3r .
a) Să se scrie termenii 3 9,a a .
b) Să se calculeze 100S .
4) Progresia aritmetică 1n n
a
de raţie r este definită de anumite elemente date. Determinaţi,
in fiecare din cazurile date, elementele cerute:
a) 7 81a şi
10 60a . Calculaţi 1,a r ,
10S .
b) 5 2 10
3 5
2 3 42
112
a a a
a a
. Calculaţi
1,a r ,10S .
5) Să se rezolve ecuaţiile:
a) 2 1 2 5 2 9 ... 2 37 210x x x x
b) 11 4;7 3;2 1x x x
6) Cunoscând suma primilor n termeni ai unui şir 1n n
a
, 2 2nS n n
a) Să se determine formula termenului general na .
b) Să se arate ca şirul 1n n
a
este o progresie aritmetică.
7) Să se calculeze 1
2n
k
S k
FISE DE LUCRU (progresii geometrice)
NR. 1
1. Se considera sirul cu termenul general 1n n
b
, cu 14n
nb . Stabiliti daca
acest sir este o progresie geometrica. 2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru
următoarea progresie geometrică definită descriptiv astfel:
2,10,50,250,....Precizaţi raţia şi termenul de rang 3 .
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 1 3b şi 2q .
a) Să se scrie termenii 2 10,b b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
3 8b şi 7 32b . Calculaţi
1,b q .
5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geomerică atunci şi numerele 2 2
, ,a c
bc a
se află, de asemenea în progresie geometrică.
6. Să se calculeze: a) 4
1
1
3
k
k
S
b) 31 2
3 4 5 2
... n
n
b bb bT
b b b b
, ştiind că şirul 1n n
b
este o progresie
geometrică. 7. Calculati suma compusa: 1 3 5 2 1
2 4 6 ... 2n
nS a a a na
a a a a
NR. 2
1. Se considera sirul cu termenul general
1n nb
, cu
1 1b si 1
8
5
nn
bb
.
Calculati 2 3,b b si aratati ca acest sir nu este o progresie geometrica.
2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea
progresie geometrică definită descriptiv astfel: 22, ,32,128,....b Precizaţi raţia şi
termenul de rang 3 .
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 1 2b şi 3q .
a) Să se scrie termenii 2 4,b b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
2 4
1 3
60
20
b b
b b
. Calculaţi q .
5. Să se afle x pentru care următorii termeni se află în progresie geometrică:
..1;2 3; 2x x
6. Să se calculeze: a)
2 3 4
1 1 1 11
3 3 3 3S
b) 2 3 3 4 11 2
2 3 3 4 4 5 1 2
... n n
n n
b b b b b bb bT
b b b b b b b b
, ştiind că şirul
1n nb
este o progresie geometrică. 7. Calculati suma compusa: 2 2 11 2 ... 2 n n
nS n n x n x x x
NR. 3
1. Se considera sirul cu termenul general
1n nb
, cu
1 2b si 1
8
5
nn
bb
.
Calculati 2 3,b b si aratati ca acest sir poate fi o progresie geometrica.Precizati ratia
2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea
progresie geometrică definită descriptiv astfel: 1,6,12,24,....b Precizaţi raţia şi
termenul de rang 3 .
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 1 2b şi 3q .
a) Să se scrie termenii 2 4,b b .
b) Să se calculeze 6S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
1 2
2 3
8
12
b b
b b
. Calculaţi q .
5. Să se afle x pentru care următorii termeni se află în progresie geometrică:
.. 53; 1;
3x x
6. Să se calculeze:
a) 2 3 4 5
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3S
b)
2 2 2
1 2
1 1 1...
n
Tb b b
, ştiind că şirul 1n n
b
este o prog. geometrică.
7. Sa se rezolve ecuatia :
5 13 21 ... 588x
NR. 4
1. Se da sirul cu termenul general
1n nb
,
22
3
n
nb . Determinati 1b si ratia,
stiind ca este o progresie geometrica. 2.
Fie progresia geometrică dată de 1
1
2b si 2q . Precizaţi termenii de rang
3 si 3n
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 1 2b şi 3q .
a) Să se scrie termenii 2 4,b b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
4 192b şi 1 3b . Calculaţi q .
5. Să se afle , ,a b c in progresie geometrica pentru care avem 7a b c si 2 2 2 21a b c
6. Să se calculeze: a)
2 3 4 5
1 1 1 1 11
2 2 2 2 2S
b) 1 2 2 3 3 4 1... n nT bb b b b b b b , ştiind că şirul
1n nb
este o
progresie geometrică. 7.
Calculati suma :
1 21 1 1
1 1 ... 1
n
nSa a a
NR.5
1. Se da sirul cu termenul general
1n nb
,
3
2n n
b . Determinati 1b si ratia, stiind
ca este o progresie geometrica. 2.
Fie progresia geometrică dată de 1
1
2b si 2q . Precizaţi termenii de rang
2 si 2 1n
3. 1) Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 1 2b şi 2q .
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
a) Să se scrie termenii 2 6,b b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
6
8 2b şi 2 1b . Calculaţi q .
5. Să se afle , ,a b c in progresie geometrica pentru care avem 26a b c si
1, 6, 3a b c
6. Să se calculeze: a)
10
5
2
k
k
S
b) 2 3 3 4 11 2
2 3 3 4 4 5 1
... n n
n n
b b b b b bb bT
b b b b b b b b
, ştiind că şirul
1n nb
este o progresie geometrică. 7. Sa se rezolve ecuatia : 1 4 7 ... 117x
NR. 6
1. Sa se arate ca urmatoarele numere nu pot fi termenii ai unei progresi geometrice
8, 6,2
2. Fie progresia geometrică dată de 1 2b si 2q . Precizaţi termenul de rang 2 si
calculati 1 2 3 6...P b b b b
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu 5 24b şi
6 96b .
a) Să se scrie 4,q b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
6 4
5 4
32
16
b b
b b
. Calculaţi
1,b q .
5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geometrică atunci şi numerele
,1,a c
b b se află, de asemenea în progresie geometrică.
6. Să se calculeze: a) 4
0
2
3
k
k
S
b) 31 2
2 4 6 2
... n
n
b bb bT
b b b b , ştiind că şirul
1n nb
este o progresie
geometrică. 7. Sa se calculeze :
2 11 2 2 3 2 ... 1 2
n nA n
NR. 7
1. Sa se arate ca urmatoarele numere pot fi termenii ai unei progresi geometrice
53, 5,
3
2. Fie progresia geometrică dată de 1 5b si 2q . Precizaţi termenul de rang 2 si
calculati 1 2 5...P b b b
3. Se dă progresia geometrică 1n n
b
, cu ratia pozitiva si 3 24b şi
5 96b .
a) Să se scrie 4,q b .
b) Să se calculeze 7S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
5 1
4 2
160
48
b b
b b
. Calculaţi
1,b q .
5. Arătaţi că dacă numerele ,1,
a c
b bsunt în progresie geometrică atunci şi numerele
, ,a b c se află, de asemenea în progresie geometrică.
6. Să se calculeze: a) 4
0
3
2
k
k
S
b) 31 2
2 4 6 2
... 1n n
n
b bb bT
b b b b , ştiind că şirul
1n nb
este o
progresie geometrică. 7. Sa se calculeze :
2 11 2 3 3 3 ... 3nA n NR. 8
1. Se considera sirul cu termenul general 1n n
b
, cu 4 1n
nb . Stabiliti daca
acest sir este o progresie geometrica. 2. Să se determine încă 2 termeni şi formula termenului general, pentru următoarea
progresie geometrică definită descriptiv astfel: 1,3,9,27,....Precizaţi raţia şi
termenul de rang 2 . 3. Se dă progresia geometrică
1n nb
, cu
1 3b şi 2q .
a) Să se scrie termenii 3 9,b b .
b) Să se calculeze 10S .
4. Progresia geometrică 1n n
b
de raţie q este definită de urmatoarele elemente
1 2b şi 2 8b . Calculaţi 3,q b .
5. Arătaţi că dacă numerele , ,a b c sunt în progresie geometrică atunci şi numerele
, ,ab ac bc se află, de asemenea în progresie geometrică.
6. Să se calculeze:
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
a) 6
2
1
2
k
k
S
b) 31 2
2 3 4 1
... n
n
b bb bT
b b b b
, ştiind că şirul 1n n
b
este o progresie
geometrică. 7. Calculati suma compusa:
1 1 1 1
3 5 ... 2 13 6 12 3 2
n nS a a a n a
ADMITERE ASE - PROBLEME GRILA
1. Fie sirul 1n n
x
care formeaza o progresie aritmetica cu 1 3x si ratia in * . Daca
1 1
1, , 2
n
n
k k k
a n nx x
si daca 1
lim5
nn
a
, atunci 62x este:
A. 64 B. 125 C. 186 D. 247 E. A,B,C,D toate false
2. Fie sirul 1n n
a
de numere strict positive care formeaza o progresie aritmetica cu 1 3a . Daca
1 1 2
1n
n
k k k k
Sa a a
si daca 1
lim60
nn
S
, atunci valoarea lui *n pentru care
123na este:
A. 81 B. 25 C. 40 D. 21 E. 61
3. 1 2 3, , , ,k k k k
n n n nA n k C C C C sunt termenii consecutivi ai unei pregresii
aritmetice , si fie m numarul elementelor lui A . Decideti:
A. A B. 1m C. 2m D. 3m E. 4m
4. Fie sirul 1n n
a
de numere naturale ai carui termeni formeaza o progresie aritmetica cu 1 1a .
Fie *m astfel incat 1 2 2 3 1
1 1 1 4...
5m ma a a a a a
. restul impartirii lui
m la 16 este:
A. 1 B. 7 C. 5 D. 8 E. 3
5. Fie sirul 1n n
a
care formeaza o progresie aritmetica in care1 1a si ratia r si fie
1n nb
sirul care formeaza o progresie geometrica in care1 1b si ratia q , cu 1q .
Daca1
nk
n
k k
a
b
, aflati lim nn
l
A. 0l B.
2
1
r q ql
q
C.
2
1
1
r q ql
q
D.
21
r ql
q
E.
1
r q ql
q
6. Fie , , 2,M n k n n n k sunt termenii consecutivi ai unei pregresii
aritmetice si fie m numarul elementelor lui M . Atunci:
A. M B. 1m C. 2m D. 3m E. 4m
7. Fie sistemul
2
2
1
1 1 2 ,
2 2 2 1 3
x y z
x y z
x y z
cu , ,x y z solutia sistemului
pentru \ 0,1 si 2S x y z . Se considera tripletele 1
1, ,1
xt x y
y y
;
2 , , 11
yt x z
z
; 3 , ,t y x z y x z ; 4 , ,
1
x y zt
y z x
;
5 , ,1
yt y z x
z
. fieT tripletul ai carui termeni sunt in progresie aritmetica. Atunci:
A. 5S B. 0S C. 1S D. 5S E. 25S
A. 1T t B. 2T t C. 3T t D. 4T t E. 5T t
8. Fie sirul 1n n
a
o progresie aritmetica cu * *0, , , ,na n p q p q astfel incat
21 2
2
1 2
...
...
p
q
a a a p p
a a a q q
. Daca
p
q
a
a , atunci
A. p
q B.
1
1
p
q
C.
2 1
2 1
p
q
D.
2
2
1
1
p
q
E.
2 1
2 1
p
q
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
9. Fie ecuatia 3 23 0x x cx d ale carei radacini le notam1 2 3, ,x x x . Fie M multimea
perechilor ,c d cu proprietatea ca 1 2 3, ,x x x sunt in progresie aritmetica , iar
1 2 31, 1, 1x x x sunt in progresie geometrica si fie k numarul elementelor lui M . Decideti:
A. M B. 1k C. 2k D. 3k E. M este infinita
10. Se considera binomul lg 10 3 2 lg35
2 2x
n
x
. Stiind ca al 6-lea termen al dezvoltarii
binomului este egal cu 21si cooeficientii termenilor de rang doi, trei si patru sunt respective
primul, al 3-lea si al 5-lea termen al unei progresii aritmetice, atunci:
A. 1;2x B. 0;2x C. 1;2x
D. 3x E. 1x
11. Suma numerelor divizibile cu 12 cuprinse intre 100 si 1000 este:
A. 28500 B. 42000 C. 41500 D. 41000 E. 41400
12. Fiind data o progresie aritmetica in care sunt indeplinite simultan urmatoarele conditii:
a. Suma primilor 4 termeni este 40
b. Suma ultimilor 4 termeni este 104 ;
c. Suma tuturor termenilor este 216 ;
Primul termen si ratia sunt:
A. 1 7
2
a
r
B. 1 5
2
a
r
C. 1 7
3
a
r
D. 1 4
7
a
r
E. 1 4
8
a
r
13. Daca 1 2 3, , ,..., pS S S S sunt sumele primilor n termeni ale unor progresii aritmetice, avand primii
termeni 1,2,3,..., p si ratiile corespunzatoare1,3,5,... , atunci suma1 2 3 ... pS S S S S
este:
A. 1S n p
B. S np
C. 12
npS np
D. 2
npS
E. 1S np
14. Daca 1 2 3, , ,..., na a a a este o progresie aritmetica, atunci
2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 ...k k
S a a a a a a
este:
A. 2 2
1 2
1
2 1kS a a
k
B. 2 2
1 2
2 1k
kS a a
k
C. 2 2
1 22 1
k
kS a a
k
D. 2 2
1 2
1
2kS a a
k E. 2 2
1 2
2
2 1k
kS a a
k
15. Daca , ,x y z au simultan proprietatile:
a. , 4,x y z sunt in progresie aritmetica
b. , ,x y z sunt in progresie geometrica
c. , 4, 32x y z sunt in progresie geometrica, atunci:
A.
6
2
18
x
y
z
B.
18
6
2
x
y
z
C.
2
6
18
x
y
z
D.
2
9
10
9
50
9
x
y
z
E. C Sau D
16. Se considera expresia 3 24 12 11 3,S x x ax x a . Ecuatia 0S x are
radacinile in progresie aritmetica pentru:
A. 2 10
1,4
a
B. 2 10
1,4
a
C. 2 10
1,4
a
D. 2 10
2,4
a
E. 1 10
2,4
a
17. Fie 1n n
b
un sir de numere reale cu proprietatea ca pentru 3k este satisfacuta
relatia1 25 6 0k k kb b b . Fie n numarul sirurilor care, pentru
1 0b dat sunt progresii
geometrice, 1 2 3, , ,..., nS S S S sumele primilor 5 termeni ai acestor progresii geometrice pentru
1 1b si1
n
i
i
S S
. stabiliti daca:
A. 1n B. 2n C. 3n D. 4n E. n
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
A. 120S B. 31S C. 121S D. 152S E. 169S
18. Fie , 3n n si 1 2 3, , ,..., na a a a primii n termeni ai unei progresii geometrice,
cu 0 , 1,ka k n . Daca1 2 1 2 3
1 1
1, , ...
n n
k n
k k k
s a s P a a a aa
, atunci:
A. 1
2
sP
s B. 1
2 1
n
n n
sP
s s
C. 1
2
n
sP
s
D. 1
2
n
sP
s
E.
1
2
1
n
sP
s
19. Fie S suma primilor 40 de termini ai unei progresii aritmetice 1n n
a
in care are loc relatia:
7 12 22 41 40a a a a . Atunci:
A. 120S B. 315S C. 605S D. 400S E. 342S
20. Fie 1n n
b
o progresie geometrica cu ratia q si *
1
2 1,n
n
k
k
b n
. Daca11T q b ,
atunci:
A. 1200T B. 1000T C. 1026T D. 1256T E. 914T
21. Fie 1n n
a
o progresie aritmetica, cu ratia nenula si *
1
,p
p k
k
S a p
. Daca suma primilor
n termeni este jumatate din suma urmatorilor n termeni si 3n
n
S
S , atunci:
A. 6 B. 5 C. 2 D. 3 E. 4
22. Fie 1n n
a
o progresie aritmetica avand 1 1a si ratia 0r . Daca
2001
1 1
1
k k k
Sa a
, atunci:
A. 2001
2002 1S
r
B. 1
2002
rS
C. 2001
2001 1S
r
D. 2002
2002 1S
r
E. 2002
2002 1S
r
23. Daca numerele , , sunt in progresie aritmetica de ratie r , iar , 2, 12 sunt in
progresie geometrica de ratie 1r , atunci:
A.
1
4
7
B.
1
2
3
2
5
2
C.
3
4
5
D.
2
4
6
E.
1
3
5
24. Daca S este suma numerelor naturale impare cuprinse intre 2 5 6n n si
2n n ,
unde , 4n n , atunci:
A. 3 23 9 15 9S n n n
B. 3 23 6 5 9S n n n
C. 3 22 3 6 7S n n n
D. 3 22 3 6 7S n n n
E. 3 23 2 7 8S n n n
25. Fie 1 2 9, ,...,a a a primii 9 termeni ai unei progresiii geometrice cu termeni pozitivi, in care
3a si
5a sunt respectiv cea mai mica sic ea mai mare radacina a ecuatiei
4 4
11 log 3 2 log 1 10 11
2x x . Daca
9
1
n
k
S a
, atunci:
A. 242 80 3
3S
B.
242 80 3
3S
C.
243 3 7
9S
D. 243 3 7
9S
E.
245
1 3S
26. Se considera progresia aritmetica *n nb
astfel incat
3 6 9 90b b b . Daca11
1
k
k
b
, atunci:
A. 90 B. 330 C. 225 D. 180 E. 495
27. Fie ori
4 42 422 ... 422...22n
S unde numerele sunt scrise in baza10 . Daca
2138 10 416
81S
, atunci:
A. 11n B. 16n C. 20n D. 18n E. 14n
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
28. Se considera numerele reale pozitive , 1,9ix i in progresie aritmetica de ratie 0r . Daca
3 3 1 3 2
2 2 2
3 1 3 2 3
1 1 1
, 1,3j j j j
j j j
y x x x j
x x x
si
1 3 2 31 2
3 1 3 2 2 1 2 3 1 2 1 3
y y y yy yT
y y y y y y y y y y y y
, atunci:
A. 1T B. 3T C. 2T r D. 1T r E. 3 22 3 3T r r r
29. Se considera 1n n
a
progreasia aritmetica de ratie 4r si1 2a , iar
1n nb
progresia
geometrica de ratie 2q si1 1b . Daca
2007
1
k
k k
aS
b
, atunci:
A. 2006
803412
2S B.
2005
802616
2S C.
2007
806413
3S
D. 72
403815
5S
E. 27S
30. Se considera sistemul 2 , ,
2 2 1
x y z a
x y z b a b
x y
astfel incat , ,x y z sunt in progresie
aritmetica (in aceasta ordine).Atunci:
A. 0a b
B. 2 1 0a b
C. 2 2 0a b
D. 2 0a b
E. 1 0a b
31. Se considera 1n n
a
progreasia aritmetica de ratie r si1 2a , iar
1n nb
progresia geometrica
de ratie q si1 1b . Calculati in functie de , ,n r q suma
1
nk
k k
aS
b
. In particular pentru
2005; 4; 2n r q , avem:
A. 2004
803412
2S B.
2004
802616
2S C.
2007
806413
3S
D. 72
403815
5S E. 2004
802612
2S
32. Fie 2 2006
1 1 1 ... 1S i i i . Sa se calculeze 2
T S :
A. 20072 B. 2007 10042 2 C. 20072 1 D. 2007 20042 2
E. 2007 10042 2 1
33. Fie *,a b astfel incat , 0a b a b . Calculati valoarea expresiei
2
2
2
2
1 ...
, ,
1 ...
n
n
n
n
a a a
b b bE a b nb b b
a a a
:
A. , ,
na
E a b nb
B. , , 1E a b n
C. , ,
nb
E a b na
D. , ,E a b n n E. , ,
aE a b n
b
34. Se considera progresia aritmetica *n na
cu
1 2a si suma primilor n termeni 2
nS n bn c .
Daca lim2 1
n
n
a
n
, atunci:
A. e B. 3 e C. 1
e D.
3
1
e E. e
Raspunsuri :
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. D
19. D 20. C 21. A 22. C 23. D 24. A 25. B 26. 27. C
28. A 29. A 30. B 31. E 32. E 33. A 34. C
BACALAUREAT (M1) - 2008
1) (v 1/s I/e 1) Sa se determine numarul natural n din
egalitatea1 5 9 ... 231n .
2) (v 6/s I/e 1) Sa se calculeze suma tuturor numerelor de doua cifre care se divid cu
11
3) (v 11/s I/e 1) Sa se determine
,a b stiind ca numerele 2, ,a b sunt in progresie
geometrica si 2,17,a sunt in progresie aritmetica.
4) (v 12/s I/e 1) Sa se calculeze suma primilor
20 de termeni ai unei progresii
aritmetice
1n na
, stiind c
a 4 2 4a a si 1 3 5 6 30a a a a
5) (v 22/s I/e 1) Sa se calculeze 2 101 ...i i i
6) (v 32/s I/e 1)
Se considera numarul real 2 2008
1 1 11 ...
2 2 2S . sa se
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
demonstreze ca 1;2s
7) (v 37/s I/e 1) Sa se calculeze suma 1 4 7 ... 31
8) (v 42/s I/e 1)
Sa se calculeze partea intreaga a numarului 2 3
1 1 11
3 3 3S
9) (v 46/s I/e 1) Fie o progresie aritmetica
1n na
. Stiind ca
3 19 10a a , sa se
calculeze 6 16a a
10) (v 60/s I/e 1) Sa se arate ca 2 8 92 1 3 3 ... 3 3
11) (v 61/s I/e 1) Sa se determine x stiind ca 1;1 ;4x x sunt in progresie
aritmetica.
12) (v 62/s I/e 1) Sa se determine 0x stiind ca ;6; 5x x sunt in progresie
geometrica.
13) (v 65/s I/e 1) Sa se determine primul termen al progresiei aritmetice 1 2, ,13,17,...a a
14) (v 67/s I/e 1) Sa se determine primul termen al progresiei geometrice cu termini
pozitivi 1 3,6, ,24,...b b
15) (v 77/s I/e 1) Se considera progresia aritmetica de ratie 2r cu
3 4 8a a . sa se
determine 1a
16) (v 90/s I/e 1) Se considera progresia aritmetica
1n na
de ratie 3r . Stiind ca suma
primilor 10 de termeni ai progresieii este 150 , aflati 1a
17) (v 90/s I/e 1) Numerele reale pozitive , , ,a b c d sunt in progresie geometrica. Stiind
ca 7d a si 2c b , sa se afle ratia progresiei.
18) (v 96/s I/e 1) Fie , ,a b c numere natural nenule in progresie geometrica. Stiind ca
a b c este un numar par, sa se arate ca numerele , ,a b c sunt pare.
BACALAUREAT (M2) – 2008
1) Să se determine valorile reale pozitive ale numărului x , ştiind că
3lg , , lg
2x x sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
2) Să se determine al zecelea termen al şirului 1,7,13,19,... .
3) Să se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice
1n n
a
ştiind că 1 1a şi 2 3a
4) Să se demonstreze că pentru orice x nr.
13 1;3 ;5 3 1x x x sunt termeni consecutivi într-o progresie
aritmetică.
5) Să se calculeze suma 1 5 9 13 ... 25
6) Să se determine al nouălea termen al unei progresii geometrice, ştiind
că raţia este egală cu 1
3 şi primul termen este 243.
7)
Să se calculeze suma 2 3 4
1 1 1 11 .
3 3 3 3
8) Să se determine numărul real x , ştiind că 12 1;4 ;2 3x x x sunt trei
termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
9) Să se determine numărul real x , ştiind că 3;4; 3x x , 4, 3x sunt
trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
10) Să se calculeze suma 1 3 5 7 ... 21
11) Se consideră progresia aritmetică
1n na
în care
3 5a şi 6 11a . Să
se calculeze 9a .
12) Să se calculeze suma 2 3 71 2 2 2 .. 2 .
13) Se consideră progresia aritmetică
1n na
în care
1 1a şi 5 13a . Să
se calculeze 2008a .
14) Să se determine raţia unei progresii aritmetice
1( )n na , ştiind că
10 2 16a a .
15) Se consideră progresia aritmetică
1( )n na în care
1 2a şi 2 4a . Să
se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.
16) Se consideră progresia geometică
1( )n nb în care
1 2b şi 2 6b . Să
se calculeze 5.b
17) Să se determine numărul real x , ştiind că şirul 1,2 1,9,13,...x este
progresie aritmetică.
18) Se consideră progresia aritmetică
1( )n na în care
1 6a şi 2 5a . Să
se calculeze 7a .
19) Se consideră progresia aritmetică
1( )n na în care
2 5a şi 3r . Să se
calculeze 8a .
20) Se consideră progresia geometrică
1( )n nb în care
1 1b şi 2 3b . Să
se calculeze 4 .b
21) Se consideră progresia aritmetică
1( )n na în care
1 7a şi 2 37a . Să
se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.
22) Se consideră progresia aritmetică 1( )n na în care 1 3a şi 3 7a . Să
se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei.
23) Să se calculeze suma 1 11 21 ... 111
24) Să se determine numărul real x ştiind că numerele 1;2 3; 3x x x
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
25) Să se determine numărul real pozitiv x ştiind că şirul 1; ; 2;8x x este
progresie geometrică.
26) Să se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice
1( )n na , în care
1 2a şi 2 5.a
Prof. Daniel Prutescu [PROGRESII ARITMETICE SI PROGRESII GEOMETRICE]
27) Să se determine numărul real x ştiind că numerele 5 ; 7;3 11x x x
sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.
28) Să se arate că numerele 1
2 3log 2; ;5C sunt termeni consecutivi ai unei
progresii aritmetice.
29)
Să se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, ştiind că suma primilor doi termeni ai progresiei este egală cu 8, iar diferenţa dintre al doilea termen şi primul termen este egală cu 4.
30) Să se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice ştiind că
primul termen al progresiei este 7 şi al doilea termen este 9.
31) Să se determine raţia progresiei geometrice
1( )n nb ştiind că
1 3b şi
2 1 3.b b
32) Să se demonstreze că şirul cu termenul general 2 3,na n verifică
relaţia 1 2,n na a pentru orice *n .
33) Să se arate că numerele 3
31;log 9; 64 sunt termeni consecutivi dintr-o
progresie geometrică.
34) Să se determine numărul real a , ştiind că numerele 22 ;4 1;2a a a
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
35) Să se determine numărul real x , ştiind că numerele
1; 1;2 1x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
36)
Se consideră funcţia : ,f ( ) 2 3.f x x Să se arate că
numerele 1 ; 0 ; 3f f f sunt termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice.
37) Să se calculeze suma 2 5 8 ... 26
38)
Se consideră funcţia : (0; ) ,f 2( ) log .f x x Să se arate că
numerele 1 ; 2 ; 4f f f sunt termeni consecutivi ai unei progresii
aritmetice.
39) Să se determine al patrulea termen al unei progresii geometrice în
care primul termen este egal cu 16, iar raţia este 1
2
40) Să se determine termenul al patrulea al unei progresii aritmetice
ştiind că primul termen este 2 şi raţia este 3.
41) Să se calculeze suma 2 12 22 ... 92
42) Să se calculeze suma 2 3 61 2 2 2 .. 2 .
43) Să se calculeze suma 1 5 9 ... 25
44) Să se calculeze produsul primilor trei termeni ai unei progresii
geometrice, care are primul termen 2 şi raţia egală cu 2.
45) Să se determine numărul real x , ştiind că numerele
1;2 2; 3x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
46) Să se determine numărul real x , ştiind că numerele
1; 1;2 5x x x sunt termeni consecutivi ai unei progresii
geometrice.
47)
Să se determine produsul primilor trei termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice 1( )n nb ştiind că primul termen este egal cu 1 şi
raţia este 2q