Progressoes Geometricas

Guilherme de Paula PradoCurso Pre-vestibular Unicentro

Conceito

Progressoes Geometricas saosequencias de numeros (termos), emque cada termo, a partir do segundo,e dado pelo produto entre o termoanterior e um valor constante qchamado de razao.

Notacao

PG (a1, a2, a3, . . . , a(n−1), an, . . . )Em que a1 e o primeiro termo, a2 e osegundo termo, a3 e o terceiro termo,e assim sucessivamente. O termo ane o n-esimo termo.

Calculo da razao da PG

Sabendo que a partir do segundotermo, os termos sao o produto entreo termo anterior e a razao q,podemos escrever cada termo emfuncao da razao e do termo anterior.

Calculo da razao da PG

a1 = a1

a2 = a1 × qa3 = a2 × qa4 = a3 × qa5 = a4 × q

Calculo da razao da PG

Este padrao se repete para todos ostermos, e pode ser escrito de formagenerica como:

an = a(n−1)q → q =an

a(n−1)

Calculo da razao da PG

Assim, a razao q e dada peloquociente entre um termo qualquer eo seu antecessor:

q =an

a(n−1)

Termo geral da PG

Os termos de uma PG podem serescritos como funcao do termo a1 eda razao q:

Termo geral da PG

a1 = a1

a2 = a1 × qa3 = a2 × q = a1 × q × q = a1 × q2

a4 = a3 × q = a1 × q2 × q = a1 × q3

a5 = a4 × q = a1 × q3 × q = a1 × q4

Termo geral da PG

Este padrao se repete para todos ostermos, e pode ser escrito de formagenerica como:

an = a1q(n−1)

Desta forma e possıvel calcularqualquer termo da PG.

Exemplos

1) Calcule o 10o termo daPG(2, 4, 8, 16, . . . ).

2) Calcule o 5o termo daPG(−3,−9,−27, . . . ).

Outros conceitos

As progressoes geometricas podemser crescentes, decrescentes,constantes e oscilantes (oualternadas), quase nula e nula.

PG crescente

As PGs sao crescentes quando osvalores dos termos aumentamconforme as suas posicoes aumentam,isto ocorre de duas formas:

PG crescente

1) a1 > 0 e q > 0ex: PG(1, 2, 4, 8, 16, . . . ), com q = 2

2) a1 < 0 e 0 < q < 1ex: PG(−1,−1

2,−14,−

18, . . . ), com

q = 12

PG decrescente

As PGs sao decrescentes quando osvalores dos termos diminuemconforme as suas posicoes aumentam,isto ocorre de duas formas:

PG decrescente

2) a1 > 0 e 0 < q < 1ex: PG(1, 1

2,14,

18, . . . ), com q = 1

2

1) a1 < 0 e q > 1ex: PG(−1,−2,−4,−8, . . . ), comq = 2

PG constante

As PGs sao constantes quando osvalores dos termos nao mudam emnenhuma das posicoes. Isto ocorrequando q = 1.

ex: PG(1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . ) ePG(1

5,15,

15,

15, . . . ).

PG quase nula

Uma PG e quase nula quando osvalores dos termos sao todos zero,com excecao do a1, ou seja, q = 0.

ex: PG(6, 0, 0, 0, 0, 0, . . . ) ePG(1

2, 0, 0, 0, 0).

PG nula

Uma PG e nula quando os valoresdos termos sao todos zero, incluindoa1, ou seja, a1 = 0.

PG(0, 0, 0, 0, 0, 0, . . . )→ PG nula

PG oscilante ou alternada

Uma PG e oscilante ou alternadaquando os valores dos termos alternao sinal conforme suas posicoes. Istoocorre quando a1 6= 0 e q < 0.

PG(1,−2, 4,−8, 16, . . . )

Soma dos termos de uma PG

A soma dos n primeiros termos deuma PG e entendida como a somaalgebrica destes n primeiros termos, ee dada por:

Sn = a1+a2+a3+a4+· · ·+a(n−1)+an

Soma dos termos de uma PG

Multiplando Sn por q, teremos:Snq = a1q + a2q + · · ·+ a(n−1)q + anqSnq = a2 + a3 + · · · + an + anq

Soma dos termos de uma PG

Fazendo S − Sn, teremos:Sn − Snq = a1 − anqSn × (1− q) = a1 − (a1q

(n−1))q

Sn = a1−a1qn

1−q = a1(1−qn)1−q

Exercıcios