Results in Mathematics, Vol. 7 (1984) 0378-6218/84/010115-02$01.50 + 0.20/0

© 1984 Birkhiiuser Verlag, Basel

Projektionen aufPolynomriiume in mehreren Veriinderlichen

BURKHARD S'ONDERMANN

Dissertation: UniversiHit Dortmund,S. 10. 1983, 126 Seiten. AMS Subject Classification 41 A 63, 33 A 45, 41 A 10, 41 A 05. Referent: Prof. Dr Manfred Reimer, Korreferent: Prof. Dr. Manfred MUller

Die Laplace-Teilsummen-Operatoren sind Minimalprojektionen von C(ST-l) auf den Teilraum IHI~ aller harmonischen Polynome vom Grade /L. Der Beweis dieses Satzes wurde von Daugavet [1] unter Anwendung eines im Falle r = 2 schon von Berman verwendeten Rotationsprinzips geflihrt. Damit stehen asym­ptotisch scharfe untere Schranken flir die Lebesgue-Konstanten zur Verfugung (Kogbetliantz [3]). Eine Ubertragung der Methode von Berman-Daugavet auf die Vollkugel B T, z.B. auf Projektionen von C(BT) auf den Raum IP~ aller Polynome vom Grade /L, ist nicht moglich, da sich BT nicht aus einem Punkt allein mit Hilfe von Rotationen erzeugen HiBt.

Man kann hier jedoch einen anderen, zunachst nur fiir Interpolations­Operatoren geeignet erscheinenden Weg einschlagen, indem man einer im Falle r = 1 schon von Faber [2] benutzten Idee forgend, konstruktiv Polynome be­stimmt, die in den Knoten durch Eins beschrankt sind und im ubrigen eine groBe Norm besitzen. In konstruktiver Hinsicht sind. hierzu sehr genaue Unter­suchungen der Gegenbauer-Polynome erforderlich.

Eine Ubertragung dieser Methode auf den Fall beliebiger Projektibnen von C(ST) auf 1HI~+1, wobei nun alle Punkte von ST als Knoten aufgefaBt werden konnen und eben ein moglichst groBes Bild konstruiert wird, liefert einen neuen Beweis fur das Ergebnis von Daugavet. Die Methode kann aber auch auf Projek­tionen auf den Teilraum 1G~+1 von 1HI~+1 der im letzten Argument geraden Polynome angewendet werden, wobei die Ergebnisse flir Projektionen von C(BT) auf den Teilraum IP~ umgedeutet werden konnen. Ein Hauptergebnis ist hiernach:

Zu jedem r E N gibt es eine Konstante c,. > 0, so daB fUr jede Projektion L:C(BT)_IP~, /LEN,

IILI! ~ c,. {lOg /L fiir /L (T-l)/2 fiir

r= 1,

r~2

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gilt. Dieses Ergebnis wird, anders als bei Daugavet, gewonnen, ohne daB eine Minimalprojektion bekannt ist. Fiir die Raume homogener harmonischer Polynome bzw. orthogonaler Polynome lassen sich auf gleiche Weise ganz ahnliche Ergebnisse erzielen.

Fiir Interpolationsoperatoren brauchen die so gewonnenen unteren Schranken auch nicht der GroBenordnung nach scharf zu sein, allerdings gibt es immer einen solchen Operator, den man i.a. aber auch nicht genauer kennt, dessen Norm die Dimension des Bildraumes nicht iiberschreitet. Z.B. gilt fiir Interpolations­operatoren L : C(S2) -IHI! (homogen-harmonische Polynome in drei Veranderlichen) eine Abschatzung

IILII~cJP" c>O

und dim !HI! = 2t-t + 1. Man kann hier aber noch einen ganz speziellen Inter­polationsoperator konstruieren, dessen Knoten auf einem dem Aquator be­nachbarten Breitenkreis liegen und dessen Norm die GroBenordnung O(t-t 3/4) hat, also zwischen den oben genannten Ordnungen liegt. AIIgemein sind giinstige Lebesgue-Konstanten beziiglich der Raume IHI~ nur zu gewinnen, wenn die Knoten in einem genauer zu definierenden Sinne annahernd "aquidistant" sind. Verletzung dieser Bedingung fiihrt bereits zu einem exponentiellen Wachstum. Andererseits kann man Knotensysteme konkret angeben, welche diese notwen­dige Bedingung erfiillen. Aile numerisch berechneten Lebesgue-Konstanten sol­cher Operatoren blieben, auch bei groBerer Dimension (81), weit hinter der Dimension zuriick.

LITERATUR

[1] I. K. DAUGAVEf, Some applications of the Marcinkiewicz-Bennann identity. Vestnik Leningrad Univ., Math. 1 (1974), 321-327.

[2] G. FABER, Uber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen. Jahresbericht DMV 23 (1914), 192-210.

[3] E. KOGBEILIANIZ, Recherches sur la sommabilite des series ultraspheriques par la methode des moyennes arithmetique. Journal de Mathematiques (9), 3 (1924), 107-187.

MANFRED REIMER BURKHARD SONoERMANN