Segmentos proporcionales y congruentes,

Teorema de Thales

Datos Informativos:

IE.:

Manuel Muñoz Najar

Elaborado por:

Luis Alberto Tejada Rivera

Alejandro Miguel Pfoccori Estefanero

Charly Cristhian Huaroc Hualpa

Yan Carlos Cornejo Laime

Danilo Sihuin Vilca

Profesora:

Doris Gutiérrez Pacheco

ObjetivosGeneral:

Dar a conocer a nuestros compañeros un tema

de álgebra para que así puedan aprender lo

valioso que es la matemática.

Especifico:

Hacerles llegar el conocimiento de los

segmentos proporcionales añadiendo el

teorema de Thales para que se les pueda

facilitar el aprendizaje

Segmentos

Proporcionales Congruentes Teorema de Thales

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:A= C ; 5 = 1B D 200 40Razón: Se trata del cociente indicando sus medidas 5 /200• En toda proporción el producto de los valores de los términos extremos es igual al producto de las medidasde los términos medios

Son aquellos que tienen

longitudes iguales. Son

congruentes cuando

superpuestos coinciden en

todos sus puntos, en

especial los extremos:

Si tres o mas rectas

son cortadas por

dos secantes,

entonces los segmentos

determinados en la

primera secante son

proporcionales a

la segunda

Es la porción de línea comprendida entre dos puntos, solo en el segmento de recta es posible la medida de longitud

Segmentos

Porción de línea comprendida entre dos puntos. Solo en el segmento de

recta es posible la medida de longitud.

SUMA DE SEGMENTOS:

La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el

segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos

considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro

segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos

ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se

indica al principio.

Suma de segmentos.

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen

del primer segmento y como final el final del segundo segmento.

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los

dos segmentos que lo forman.

La división de segmentos conmensurables es el algoritmo de Euclides.

Segmentos congruentes:

Son aquellos que tienen longitudes iguales. Dos segmentos

son congruentes cuando superpuestos coinciden en todos sus

puntos. Para ello basta con mostrar que coinciden en sus

extremos.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un

paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruente.

Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su

posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se

llaman homólogas o correspondientes.

EJEMPLO DE SEGMENTO CONGRUENTE:

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E de tal manera

que: AC + BD + CE = 45. ¿Calcular AB? si AE = 30 y DE = 2AB AB=a,

BC=b, CD=c, DE=d

(a+b)+ (b+c)+(c+d)=45

a+ b+ c+ d+ c+ b=45

30+c+b=45

c+b=15

a+b+c+d=30

a+15+2a=30

3a=15 Rpta: AB=5

a=5

Segmentos Proporcionales:

¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?

Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razón de 5 cm., y 2 m., es:

¿Qué entendemos por proporción?

En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos

es igual al producto de las medidas de los términos medios.

Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:

EJEMPLO: Sean AB=5u; CD=10u; MN=3u; PQ=6u

A___________B C__________________________D

│___________│ │_________________________│

5u 10u

M________N P_____________________Q

│________│ │_____________________│

3u 6u

Como: AB= CD; es decir: 5u=10u

MN PQ 3u 6u

Entonces se dice que: AB y CD son proporcionales a MN y PQ

TEOREMA DE THALES:

Dos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d)

los segmentos que se han creado en una de las rectas son

proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.

EJEMPLO:

Sustituimos los segmentos

indicados por sus valores:

Hallamos los cocientes:

Los cocientes son iguales, luego :

EJERCICIOS SOBRE SEGMENTOS (CON SU

RESPECTIVA APLICACIÓN)

1) Halla la proporción de los segmentos. Sabiendo que AB=MN. Y se tiene que:

CD PQ

A____________24_______________B AB=24=3

CD 8

C_________8__________D

M_____________45________________N MN=45=3

PQ 15

P______15________Q

Rpta: AB=MN → 3=3

CD PQ

2)AB=CD, hallar BC

A_____2x_______B_____3x+5________C_____________D

│________________________________│

40

3x+5+2x=40 3x+5=3(7)+5=26 Rpta: BC=26

5x=35

X=7

PROBLEMAS SOBRE SEGMENTOS (CON SU

RESPECTIVA APLICACIÓN)

1. Los puntos A, B, P, C se encuentran sobre una línea recta de modo que P es punto medio de BC, además AB2+ AC2 =46. Hallar AP2 + BP2.

Resolución:

│____________________│___________●__________│

A B P C

AB2+AC2=46

(AP-BP)2+ (AP+BP)2=46

AP2-2.AP.BP+BP2+AP2+2AP.BP+BP2=46

2AP2+2BP2=46

AP2+BP2=23

2) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que 3.CD= 5.AC y 3BD-5AB=96. Calcular BC.

RESOLUCION:

│____________________│________x_________│_________a___________│

A B C D

│________________________________________│

3a

5

De la condición: 3.CD=5AC

3a =5.AC → AC=3a

5

Del dato: 3BD-5AB=96

3(x+a)-5(3a -x)=96

5

3x+3a-5.3.a + 5x =96

5

3x + 3a -3a +5x =96 → 8x=96

x=12

PROBLEMAS SOBRE SEGMENTOS ( CON SU

RESPECTIVA APLICACIÓN)

3) Sobre una recta se toman los puntos consecut ivos A , B,

C t al que A B = a, BC = 3a, y A C = 24. Encont rar BC.

24

A b c

A 3a

24=a+3ª BC=3ª

24=4ª Remplazamos:

24/4=a BC=3 x 6

6=a BC=18

RESPUESTA :

EL SEGM EN TO BC ES IGUA L A 18

4) Los puntos A , B, C, D se encuent ran sobre una línea

rect a de modo que A C+BD +A D =54 y BC=8. Encont rar A D

8+x+8+y+x+8+y

A B C D 24+2x+2y=54

X 8 y 2x+2y=54-24

x+y=15

A D = 15 + 8

RESPU ESTA : RL SEGM EN TO A D ES IGUA L A 23

5)En los puntos colineales A , B, C, D se cumple que A B=4,

A D =12, A B∙CD =A D ∙BC Calcular A C.

SOLUCION :

12

4

A B C D

X 3bc

A B.BC=A D .BC 4+X+3X=12 A C=4+BC

4. CD =12.BC 2X=8A C=4+2

CD /BD =12/4X=2A C=6

CD /BC=3

CD =3.BC

RESPUESTA :

EL SEGM EN TO A C ES UGUA L A 6

ACTIVIDADES SOBRE SEGMENTOS (CON SU

RESPECTIVA APLICACIÓN)

1) Calcula la distancia en el ejemplo siguiente:

Respuesta: 4,5 cm.

Solución:

La respuesta la obtenemos de la proporción:

2) Calcula el valor de x en la siguiente figura:

Respuesta: 3 cm.

Solución:

•3.-Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:

Respuesta: 2,5 cm.

3.08 X 3 = 9.25

3.7 X x =9.25

x = 9.25/3.7

X = 2.5

Actividades de aprendizaje

4.- si:

X es:

a) 8

B) 11

C)10

5.- COMPLETA

El teorema de Thales consiste cuando dos rectas son divididas por rectas

los segmentos formados en una recta son proporcionales a sus

correspondientes segmentos de la otra recta.

6.- Responde (v) ó (f)

Según Thales existe relación entre segmentos (v)

Un segmento tiene relación con el de al lado (f)

Un segmento tiene relación con el de su nivel (v)

Llamamos proporción ala igualdad de dos razones (v)

La razón de dos segmentos no es el cociente de sus medidas

Bibliografía y Biblioweb:

• Editorial San Marcos EIRL-2010 Alfonso Rojas Puemápe

• Editorial Coveñas SAC Manuel Coveñas Naquiche

• Wikipedia.org enciclopedia libre

• Exelearning.webcindario.com

• www.roberprof.com

• www.aulafacil.com

• recursostic.educacion.es

• Libro Santillana

• Documentos PDF