Upload
vokhuong
View
219
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Prostor D[0, 1]
Seminar stochasticke modelovanı v ekonomii a financıch
Katedra pravdepodobnosti a matematicke statistikyMatematicko-fyzikalnı fakultaUniverzita Karlova v Praze
Martin Branda
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 1 / 53
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 2 / 53
Prostor D
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 3 / 53
Prostor D
Prostor D[0,1]
D = D[0, 1] - prostor zprava spojitych funkcı na [0, 1], jejichz limityzleva existujı, tj.
Pro 0 ≤ t < 1, x(t+) = lims↓t x(s) existuje a platı x(t+) = x(t).
Pro 0 < t ≤ 1, x(t−) = lims↑t x(s) existuje.
(CADLAG functions)
C ⊂ D
Je mozne rozsırenı na funkce s hodnotami v jinem separabilnımuplnem metrickem prostoru V nez R s metrikou v a borelovskouσ−algebrou V.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 4 / 53
Prostor D
Prostor D[0,1]
D = D[0, 1] - prostor zprava spojitych funkcı na [0, 1], jejichz limityzleva existujı, tj.
Pro 0 ≤ t < 1, x(t+) = lims↓t x(s) existuje a platı x(t+) = x(t).
Pro 0 < t ≤ 1, x(t−) = lims↑t x(s) existuje.
(CADLAG functions)
C ⊂ D
Je mozne rozsırenı na funkce s hodnotami v jinem separabilnımuplnem metrickem prostoru V nez R s metrikou v a borelovskouσ−algebrou V.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 4 / 53
Prostor D
Prostor D
Pro x ∈ D a T ⊂ [0, 1] polozıme
wx(T ) = w(x , T ) = sups,t∈T
|x(s)− x(t)|.
Modul spojitosti funkce je pak roven
wx(δ) = w(x , δ) = sup|s−t |≤δ
|x(s)− x(t)|,
= sup0≤t≤1−δ
wx([t , t + δ]), 0 < δ ≤ 1.
Nutna a postacujıcı podmınka pro stejnomernou spojitost na [0, 1] je
limδ→0
wx(δ) = 0.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 5 / 53
Prostor D
Prostor D
Pro x ∈ D a T ⊂ [0, 1] polozıme
wx(T ) = w(x , T ) = sups,t∈T
|x(s)− x(t)|.
Modul spojitosti funkce je pak roven
wx(δ) = w(x , δ) = sup|s−t |≤δ
|x(s)− x(t)|,
= sup0≤t≤1−δ
wx([t , t + δ]), 0 < δ ≤ 1.
Nutna a postacujıcı podmınka pro stejnomernou spojitost na [0, 1] je
limδ→0
wx(δ) = 0.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 5 / 53
Prostor D
Prostor D
LemmaPro kazde x ∈ D a pro kazde ε > 0 existujı body0 = t0 < t1 < · · · < tv = 1 takove, ze
wx([ti−1, ti)) < ε, i = 1, 2, . . . , v . (1)
⇒Existuje jen konecne mnoho bodu takovych, ve kterych velikostskoku funkce presahne danou mez.
Prvky D majı nejvyse spocetne mnoho skoku.
Prvky D jsou omezene, tj. ‖x‖ = supt∈[0,1] |x(t)| < ∞.
Prvky D mohou byt stejnomerne aproximovany jednoduchymi (pocastech konstantnımi) borelovsky meritelnymi funkcemi.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 6 / 53
Prostor D
Prostor D
LemmaPro kazde x ∈ D a pro kazde ε > 0 existujı body0 = t0 < t1 < · · · < tv = 1 takove, ze
wx([ti−1, ti)) < ε, i = 1, 2, . . . , v . (1)
⇒Existuje jen konecne mnoho bodu takovych, ve kterych velikostskoku funkce presahne danou mez.
Prvky D majı nejvyse spocetne mnoho skoku.
Prvky D jsou omezene, tj. ‖x‖ = supt∈[0,1] |x(t)| < ∞.
Prvky D mohou byt stejnomerne aproximovany jednoduchymi (pocastech konstantnımi) borelovsky meritelnymi funkcemi.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 6 / 53
Prostor D
Prostor D
Mnozinu {ti} nazveme δ−rıdkou, jestlize platı
min1≤i≤v
(ti − ti−1) > δ. (2)
Definujeme modul
w ′x(δ) = w(x ′, δ) = inf
{ti}max1≤i≤v
wx [ti−1, ti), (3)
kde infimum bereme pres δ−rıdkou mnoziny.
Nutna a postacujıcı podmınka pro x ∈ D:
limδ→0
w ′x(δ) = 0. (4)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 7 / 53
Prostor D
Prostor D
Mnozinu {ti} nazveme δ−rıdkou, jestlize platı
min1≤i≤v
(ti − ti−1) > δ. (2)
Definujeme modul
w ′x(δ) = w(x ′, δ) = inf
{ti}max1≤i≤v
wx [ti−1, ti), (3)
kde infimum bereme pres δ−rıdkou mnoziny.
Nutna a postacujıcı podmınka pro x ∈ D:
limδ→0
w ′x(δ) = 0. (4)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 7 / 53
Prostor D
Prostor DPorovnanı modulu
Platı
w ′x(δ) ≤ wx(2δ), pokud δ < 1/2. (5)
Dukaz. Interval [0, 1) muze byt rozstepen na intervalky [ti−1, ti)splnujıcı δ < ti − ti−1 ≤ 2δ.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 8 / 53
Prostor D
Prostor DPorovnanı modulu
Platı
w ′x(δ) ≤ wx(2δ), pokud δ < 1/2. (5)
Dukaz. Interval [0, 1) muze byt rozstepen na intervalky [ti−1, ti)splnujıcı δ < ti − ti−1 ≤ 2δ.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 8 / 53
Prostor D
Prostor DPorovnanı modulu
Naopak
wx(δ) ≤ 2w ′x(δ) + j(x), (6)
kde maximalnı absolutnı skok je definovan jako
j(x) = sup0≤t≤1
|x(t)− x(t−)|. (7)
Dukaz. Najdeme takovou δ-rıdkou {ti}, ze platı wx [ti−1, ti) < w ′x(δ) + ε.
Pokud |s − t | ≤ δ, potom s a t lezı bud v jednom intervalu [ti−1, ti) nebov sousednıch dvou, tj. rozdıl |x(t)− x(s)| je nejvyse w ′
x(δ) + ε v prvnımprıpade a 2w ′
x(δ) + ε + j(x) ve druhem prıpade.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 9 / 53
Prostor D
Prostor DPorovnanı modulu
Naopak
wx(δ) ≤ 2w ′x(δ) + j(x), (6)
kde maximalnı absolutnı skok je definovan jako
j(x) = sup0≤t≤1
|x(t)− x(t−)|. (7)
Dukaz. Najdeme takovou δ-rıdkou {ti}, ze platı wx [ti−1, ti) < w ′x(δ) + ε.
Pokud |s − t | ≤ δ, potom s a t lezı bud v jednom intervalu [ti−1, ti) nebov sousednıch dvou, tj. rozdıl |x(t)− x(s)| je nejvyse w ′
x(δ) + ε v prvnımprıpade a 2w ′
x(δ) + ε + j(x) ve druhem prıpade.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 9 / 53
Skorohodova topologie
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 10 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologie
V C jsou dve funkce podobne v topologii, pokud graf jedne funkcemuze byt prenesen na graf druhe pomocı ”stejnomerne maletransformace” souradnic (casu).
V D umoznıme take transformace souradnic (casu): ”Casnemuzeme merit spolehliveji nez polohu”.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 11 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologie
V C jsou dve funkce podobne v topologii, pokud graf jedne funkcemuze byt prenesen na graf druhe pomocı ”stejnomerne maletransformace” souradnic (casu).
V D umoznıme take transformace souradnic (casu): ”Casnemuzeme merit spolehliveji nez polohu”.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 11 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieMetrika (?)
Necht Λ znacı trıdu ryze rostoucıch spojitych funkcı z [0, 1] na [0, 1];λ0 = 0 a λ1 = 1 pro λ ∈ Λ.Pro x , y ∈ D polozıme
d(x , y) = inf{ε > 0 : ∃λ ∈ Λ :
supt|λt − t | = sup
t|t − λ−1t | < ε,
supt|x(t)− y(λt)| = sup
t|x(λ−1t)− y(t)| < ε.
}
Ekvivalentne pomocı supremove normy
d(x , y) = infλ∈Λ
{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖
}, (8)
kde It = t .
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 12 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieMetrika (?)
Necht Λ znacı trıdu ryze rostoucıch spojitych funkcı z [0, 1] na [0, 1];λ0 = 0 a λ1 = 1 pro λ ∈ Λ.Pro x , y ∈ D polozıme
d(x , y) = inf{ε > 0 : ∃λ ∈ Λ :
supt|λt − t | = sup
t|t − λ−1t | < ε,
supt|x(t)− y(λt)| = sup
t|x(λ−1t)− y(t)| < ε.
}Ekvivalentne pomocı supremove normy
d(x , y) = infλ∈Λ
{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖
}, (8)
kde It = t .
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 12 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieMetrika
d(x , y) ≥ 0; d(x , y) = 0 ⇒ (x(t) = y(t) ∨ x(t) = y(t−)) ⇒ x = y .
d(x , y) = d(y , x); λ ∈ Λ ⇒ λ−1 ∈ Λ a definice.d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z); λ1, λ2 ∈ Λ ⇒ λ1 · λ2 ∈ Λ:
‖λ1λ2 − I‖ ≤ ‖λ1 − I‖+ ‖λ2 − I‖,‖x − zλ1λ2‖ ≤ ‖x − yλ2‖+ ‖y − zλ1‖.
Tato metrika definuje Skorohodovu topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 13 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieMetrika
d(x , y) ≥ 0; d(x , y) = 0 ⇒ (x(t) = y(t) ∨ x(t) = y(t−)) ⇒ x = y .
d(x , y) = d(y , x); λ ∈ Λ ⇒ λ−1 ∈ Λ a definice.d(x , z) ≤ d(x , y) + d(y , z); λ1, λ2 ∈ Λ ⇒ λ1 · λ2 ∈ Λ:
‖λ1λ2 − I‖ ≤ ‖λ1 − I‖+ ‖λ2 − I‖,‖x − zλ1λ2‖ ≤ ‖x − yλ2‖+ ‖y − zλ1‖.
Tato metrika definuje Skorohodovu topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 13 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieKonvergence I
(Stejnomerna) vzdalenost
ρ(x , y) = ‖x − y‖ = inf{ε > 0 : sup
t∈[0,1]|x(t)− y(t)| < ε
}. (9)
(↪→ stejnomerna konvergence)
Prvky xn ∈ D konvergujı k x ve Skorohodove topologii, prave kdyzexistujı funkce λn ∈ Λ takove, ze limn→∞ xn(λnt) = x(t)stejnomomerne v t a limn→∞ λnt = t stejnomomerne v t .
Prvky xn ∈ D konvergujı k x stejnomerne, potom konvergujı takeve Skorohodove topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 14 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieKonvergence I
(Stejnomerna) vzdalenost
ρ(x , y) = ‖x − y‖ = inf{ε > 0 : sup
t∈[0,1]|x(t)− y(t)| < ε
}. (9)
(↪→ stejnomerna konvergence)
Prvky xn ∈ D konvergujı k x ve Skorohodove topologii, prave kdyzexistujı funkce λn ∈ Λ takove, ze limn→∞ xn(λnt) = x(t)stejnomomerne v t a limn→∞ λnt = t stejnomomerne v t .
Prvky xn ∈ D konvergujı k x stejnomerne, potom konvergujı takeve Skorohodove topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 14 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieKonvergence II
Pr. xn = I[0,α+1/n) → x = I[0,α) ve Skorohodove topologii, alexn(t) → x(t) selze v t = α.
Skorohodova konvergence implikuje konvergenci xn(t) → x(t) vbodech spojitosti x :
|xn(t)− x(t)| ≤ |xn(t)− x(λnt)|+ |x(λnt)− x(t)|. (10)
Je-li x vsude (stejnomerne) spojita, potom Skorohodovakonvergence implikuje stejnomernou konvergenci.
Skorohodova topologie zuzena na C odpovıda stejnomerne topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 15 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieKonvergence II
Pr. xn = I[0,α+1/n) → x = I[0,α) ve Skorohodove topologii, alexn(t) → x(t) selze v t = α.
Skorohodova konvergence implikuje konvergenci xn(t) → x(t) vbodech spojitosti x :
|xn(t)− x(t)| ≤ |xn(t)− x(λnt)|+ |x(λnt)− x(t)|. (10)
Je-li x vsude (stejnomerne) spojita, potom Skorohodovakonvergence implikuje stejnomernou konvergenci.
Skorohodova topologie zuzena na C odpovıda stejnomerne topologii.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 15 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologiePrıklad - neuplnost prostoru D
Pr. Polozıme xn = I[0,1/2n], λn(1/2n) = 1/2n+1.
Pokud λn je linearnı na [0, 1/2n] a [1/2n, 1], pak‖xn+1λn − xn‖ = 0 a ‖λn − I‖ = 1/2n+1.
Pokud λn nezobrazuje 1/2n na 1/2n+1, potom ‖xn+1λn − xn‖ = 1.
Tedy d(xn, xn+1) = 1/2n+1 a posloupnost xn je d-cauchyovska.Pro t > 0 platı xn(t) → 0, avsak d(xn, 0) = 1, tedy posloupnostnekonverguje (k prvku z D) ve ST.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 16 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika (?)
Hledame metriku d0, ktera je ekvivalentnı metrice d , ale za nız jeprostor D uplny:
Potrebujeme casove deformace λ, ktere jsou blıze identite, tj.takove, aby podıl (”sklon funkce ”) (λt − λs)/(t − s) byl blızky 1,resp. jeho logaritmus byl blızky 0.
Pro neklesajıcı λ na [0, 1] splnujıcı λ0 = 0 a λ1 = 1 definujemenormu
‖λ‖0 = sups<t
∣∣∣∣logλt − λs
t − s
∣∣∣∣ . (11)
(Hlıdame sklon deformace casu.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 17 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika (?)
Hledame metriku d0, ktera je ekvivalentnı metrice d , ale za nız jeprostor D uplny:
Potrebujeme casove deformace λ, ktere jsou blıze identite, tj.takove, aby podıl (”sklon funkce ”) (λt − λs)/(t − s) byl blızky 1,resp. jeho logaritmus byl blızky 0.
Pro neklesajıcı λ na [0, 1] splnujıcı λ0 = 0 a λ1 = 1 definujemenormu
‖λ‖0 = sups<t
∣∣∣∣logλt − λs
t − s
∣∣∣∣ . (11)
(Hlıdame sklon deformace casu.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 17 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika
d0(x , y) = infλ∈Λ
{‖λ‖0 ∨ ‖x − yλ‖},
d(x , y) = infλ∈Λ
{‖λ− I‖ ∨ ‖x − yλ‖
}.
Je d0 metrika? (‖λ‖0 =∥∥λ−1
∥∥0, ‖λ1λ2‖0 ≤ ‖λ1‖0 + ‖λ2‖0)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 18 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika
Pro u > 0 platı |u − 1| ≤ e| log u| − 1, tedy
sup0≤t≤1
|λt − t | = sup0≤t≤1
t
∣∣∣∣λt − λ0t − 0
− 1
∣∣∣∣ ≤ e‖λ‖0− 1. (12)
Tedy pouzitım v ≤ ev − 1 dostavame
d(x , y) ≤ ed0(x ,y) − 1. (13)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 19 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı (?) metrika
Lemma
Pokud d(x , y) < δ2 a δ ≤ 1/2, potom
d0(x , y) ≤ 4δ + w ′x(δ). (14)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 20 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieDukaz lemmatu
Vezmeme ε < δ a δ-rıdkou mnozinu {ti}, pro kterou platıwx [ti−1, ti) < w ′
x(δ) + ε pro kazde i . Dale vezmeme µ ∈ Λ takove, ze
supt|x(t)− y(µt)| = sup
t|x(µ−1t)− y(t)| < δ2
a
supt|µt − t | < δ2.
(Prepis definice d .)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 21 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieDukaz lemmatu
Definujeme λ ∈ Λ tak, ze v bodech ti souhlası s µ, mezi nimi je vsaklinearnı. Potom t a µ−1λt lezı vzdy ve stejnem intervalu [ti−1, ti). Tedy
|x(t)− y(λt)| ≤ |x(t)− x(µ−1λt)|+ |x(µ−1λt)− y(λt)| << w ′
x(δ) + ε + δ2 < 4δ + w ′x(δ).
Dale je treba ukazat, ze ‖λ‖0 ≤ 4δ.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 22 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieDukaz lemmatu
Jelikoz µ a λ souhlası na bodech ti , dostavame
|(λti − λti−1)− (ti − ti−1)| < 2δ2 < 2δ(ti − ti−1).
Dıky linearite funkce λ platı predesly vztah pro s, t ze stejnehointervalu [ti−1, ti ] a z trojuhelnıkove nerovnosti obecne. Potom
log(1− 2δ) ≤ logλt − λs
t − s≤ log(1 + 2δ).
Pouzitım vztahu | log(1± u)| ≤ 2|u| pro |u| ≤ 1/2 dokoncıme dukaz.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 23 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieEkvivalentnı metrika
Veta
Metriky d a d0 jsou ekvivalentnı.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 24 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieNeuplnost prostoru D - pokracovanı
Pr. Polozıme xn = I[0,1/2n], λn(1/2n) = 1/2n+1.
Pokud λn je linearnı na [0, 1/2n] a [1/2n, 1], pak‖xn+1λn − xn‖ = 0 a ‖λn − I‖ = 1/2n+1.
Pokud λn nezobrazuje 1/2n na 1/2n+1, potom ‖xn+1 − xn‖ = 1.
NOVE: Sklon λn mezi [0, λn0] a [1/2n, λ(1/2n)] je 1/2, z cehozvyplyva, ze d0(xn, xn+1) = ‖λn‖0 = log 2.
Tedy xn nenı d0-cauchyovska (a tudız nic nekazı).
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 25 / 53
Skorohodova topologie
Skorohodova topologieNeuplnost prostoru D - pokracovanı
Pr. Polozıme xn = I[0,1/2n], λn(1/2n) = 1/2n+1.
Pokud λn je linearnı na [0, 1/2n] a [1/2n, 1], pak‖xn+1λn − xn‖ = 0 a ‖λn − I‖ = 1/2n+1.
Pokud λn nezobrazuje 1/2n na 1/2n+1, potom ‖xn+1 − xn‖ = 1.
NOVE: Sklon λn mezi [0, λn0] a [1/2n, λ(1/2n)] je 1/2, z cehozvyplyva, ze d0(xn, xn+1) = ‖λn‖0 = log 2.
Tedy xn nenı d0-cauchyovska (a tudız nic nekazı).
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 25 / 53
Separabilita
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 26 / 53
Separabilita
SeparabilitaPomocne lemma
Necht mnozina σ = {su} splnuje 0 = s1 < s2 < · · · < sk = 1, potomdefinujeme zobrazenı Aσ : D → D takto:Obrazem Aσx je po castech konstantnı funkce rovna x(su−1) naintervalu [su−1, su), u = 1, . . . , k , a Aσx(1) = x(1).
Platıli jista podmınka ”regularity”, je obraz blızko svemu vzoru vmetrice d .
LemmaPokud max(su − su−1) ≤ δ, potom d(Aσx , x) ≤ δ ∨ w ′
x(δ).
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 27 / 53
Separabilita
SeparabilitaPomocne lemma
Necht mnozina σ = {su} splnuje 0 = s1 < s2 < · · · < sk = 1, potomdefinujeme zobrazenı Aσ : D → D takto:Obrazem Aσx je po castech konstantnı funkce rovna x(su−1) naintervalu [su−1, su), u = 1, . . . , k , a Aσx(1) = x(1).
Platıli jista podmınka ”regularity”, je obraz blızko svemu vzoru vmetrice d .
LemmaPokud max(su − su−1) ≤ δ, potom d(Aσx , x) ≤ δ ∨ w ′
x(δ).
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 27 / 53
Separabilita
SeparabilitaDukaz (naznak)
Definujeme dve funkce: ζ(t) = su−1 pro t ∈ [su−1, su), ζ(1) = 1;λ(t) = su pro t ∈ [su−1, su), λ(0) = 0.
Aσx(t) = x(ζt).
Pro dane ε najdeme δ-rıdkou mnozinu takovou, ze platıwx [ti−1, ti) < w ′
x(δ) + ε.
Jelikoz platı ti − ti−1 > δ ≥ sv − sv−1, λti roste s i , tedy homuzeme linearne interpolovat na prvek Λ; platı supt |λt − t | ≤ δ.
Dale se ukaze, ze|Aσx(t)− x(λ−1t)| = |x(ζt)− x(λ−1t)| ≤ w ′
x(δ) + ε.Platı, nebot ζt a λ−1t lezı vzdy ve stejnem intervalu [ti−1, ti).
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 28 / 53
Separabilita
SeparabilitaVeta
VetaProstor D je separabilnı.
(tj. existuje spocetna husta podmnozina.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 29 / 53
Separabilita
SeparabilitaDukaz
Necht Bk je mnozina obsahujıcı funkce konstantnı na kazdem intervalu[(u − 1)/k , u/k), u = 1, . . . , k s racionalnımi hodnotami a s racionalnıhodnotou v jedne. Potom mnozina B =
⋃k Bk je spocetna a husta.
(Pro dane x a ε najdeme k takove, ze k−1 < ε a w ′x(k−1) < ε. Podle
lemmatu platı d(x , Aσx) < ε se σ = {u/k}. Urcite najdeme takovey ∈ Bk , ze d(y , Aσx) < ε; tedy d(y , x) < 2ε.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 30 / 53
Separabilita
SeparabilitaDukaz
Necht Bk je mnozina obsahujıcı funkce konstantnı na kazdem intervalu[(u − 1)/k , u/k), u = 1, . . . , k s racionalnımi hodnotami a s racionalnıhodnotou v jedne. Potom mnozina B =
⋃k Bk je spocetna a husta.
(Pro dane x a ε najdeme k takove, ze k−1 < ε a w ′x(k−1) < ε. Podle
lemmatu platı d(x , Aσx) < ε se σ = {u/k}. Urcite najdeme takovey ∈ Bk , ze d(y , Aσx) < ε; tedy d(y , x) < 2ε.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 30 / 53
Uplnost
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 31 / 53
Uplnost
UplnostVeta
Veta
Prostor D je uplny vzhledem k metrice d0.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 32 / 53
Uplnost
UplnostDukaz vety
Stacı ukazat, ze kazda d0-cauchyovska posloupnost ({xk}) obsahujed0-konvergentnı podposloupnost ({yn}). Necht tedyd0(yn, yn+1) < 1/2n, potom Λ obsahuje µn takove, ze
‖µn‖0 < 1/2n
a
supt|yn(t)− yn+1(µnt)| < 1/2n.
(Pouhy prepis definice metriky.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 33 / 53
Uplnost
UplnostDukaz vety
Hledame funkci y v D a funkce λn, pro ktere ‖λn‖0 → 0 a|yn(λ
−1n t)− y(t)| → 0 stejnomerne. (Ty se pokusıme zkonstruovat z
toho, co mame, a pomocı stejnomerne konvergence.)
Je mozne ukazat, ze pro pevne n je posloupnost µn+m . . . µn+1µn
cauchyovska, tedy stejnomerne konverguje
λnt = limm→∞
µn+m . . . µn+1µnt . (15)
Funkce λn je neklesajıcı spojita a se spravnymi ”okraji”. Jestepotrebujeme ukazat, ze ‖λn‖0 je konecna!
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 34 / 53
Uplnost
UplnostDukaz vety
∣∣∣∣logµn+m . . . µn+1µnt − µn+m . . . µn+1µns
t − s
∣∣∣∣≤ ‖µn+m . . . µn+1µn‖0
≤m∑
j=0
∥∥µn+j∥∥0 ≤ 1/2n−1.
Pokud m →∞, pak ‖λn‖0 ≤ 1/2n−1. Tedy λn ∈ Λ.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 35 / 53
Uplnost
UplnostDukaz vety
Z definice λn je zrejme, ze λn = λn+1µn, coz je ekvivalentnıλ−1
n+1 = µnλ−1n . Potom
supt|yn(λ
−1n t)− yn+1(λ
−1n+1t)| = sup
s|yn(s)− yn+1(µns)| < 1/2n.
Tedy funkce yn(λ−1n t) ∈ D jsou stejnomerne cauchyovske a konvergujı
stejnomerne k y(t) ∈ D. Pouzije-li ‖λn‖0 → 0, dostavamed0(yn, y) → 0.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 36 / 53
Kompaktnost v D
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 37 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v D
VetaNutne a postacujıcı podmınky, aby mnozina A byla relativne kompaktnıve Skorohodove topologii, jsou
supx∈A
‖x‖ < ∞ (16)
a
limδ→0
supx∈A
w ′x(δ) = 0. (17)
(Arzela-Ascoliho veta: podmınky supx∈A |x(0)| < ∞ alimδ→0 supx∈A wx(δ) = 0.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 38 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost) - idea
Postacitelnost:
Najdeme konecnou ε-sıt v A vzhledem k d , tedy A je totalneomezena vzhledem k d .
Najdeme konecnou ε-sıt v A vzhledem k d0, vuci nız je prostor Duplny. Tedy A je totalne omezena vzhledem k d0.
Totalne omezena mnozina v uplnem prostoru je relativnekompaktnı.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 39 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost)
Necht α = supx∈A ‖x‖ a H je konecna ε-sıt v [−α, α] pro dane ε.
Najdi δ < ε takove, ze w ′x(δ) < ε pro vsechna x ∈ A.
Aplikujeme lemma na σ = {su}: max(su − su−1) < δ, tedy mamed(x , Aσx) < ε.
Necht B je konecna mnozina y konstantnıch na kazdem [su−1, su)a nabyvajıcıch hodnot z H, y(1) ∈ H.
Urcite najdeme takove y ∈ B, ze d(y , Aσx) < ε.
Tedy B je konecna 2ε-sıt v A, tedy A je totalne omezena vzhledemk d .
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 40 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (postacitelnost)
Pro dane ε′ > 0 najdi δ′ takove, ze platı 4δ′ + w ′x(δ′) < ε′ pro
vsechna x ∈ A (druha podmınka).
Vıme, ze A je d-totalne omezena, tedy najdeme konecnou B′,ktera je (δ′)2-sıt vzhledem k d .
Tedy B′ je ε′-sıt vzhledem k d0, pouzijeme-li lemma o vztahumetrik.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 41 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (nutnost) - pomocne lemma
Definice
Rekneme, ze funkce f je polospojit a zhora v x, jestlize
∀ε>0∃δ>0 ρ(x , y) < δ ⇒ f (y) < f (x) + ε. (18)
VetaFunkce f je polospojita zhora vsude, prave kdyz urovnove mnoziny{x : f (x) < α} jsou otevrene pro vsechna α ∈ R.
LemmaPro pevne δ je funkce w ′(·, δ) horne polospojita v x.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 42 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (nutnost) - pomocna veta
VetaPokud fn(x) ↘ 0, n →∞ pro kazde x a pokud jsou funkce fn vsudehorne polospojite, potom je konvergence stejnomerna na kazdekompaktnı mnozine.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 43 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DDukaz (nutnost)
Nutnost:
Prvnı podmınka je vlastne vzdalenost kompaktnı mnoziny odnulove funkce.
Druha podmınka vyplyva z hornı polospojitosti w ′(·, δ) a predchozıvety.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 44 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DII
Novy modul
w ′′x (δ) = w ′′(x , δ) = sup
t1≤t≤t2:t2−t1≤δ
{|x(t)− x(t1)| ∧ |x(t2)− x(t)|
}.
Platı
w ′′x (δ) ≤ w ′
x(δ).
Opacna nerovnost neplatı, napr. xn = I[0,n−1), w ′′x (δ) = 0 a w ′
x(δ) = 1pro n > δ−1.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 45 / 53
Kompaktnost v D
Kompaktnost v DII
VetaNutna a postacitelna podmınka, aby mnozina A byla relativnekompaktnı ve Skorohodove topologii, je
limδ→0
supx∈A
w ′′x (δ) = 0,
limδ→0
supx∈A
|x(δ)− x(0)| = 0, (19)
limδ→0
supx∈A
|x(1−)− x(1− δ)| = 0.
(Dukaz pres ekvivalenci podmınek v obou vetach.)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 46 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Obsah
1 Prostor D
2 Skorohodova topologie
3 Separabilita
4 Uplnost
5 Kompaktnost v D
6 Pravdepodobnostnı mıry na D
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 47 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Pravdepodobnostnı mıry na DProjekce
Pro 0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk ≤ 1 definujeme projekci πt1,...,tk z D do Rk
πt1,...,tk (x) = (x(t1), . . . , x(tk )).
π0 a π1 jsou spojite; πt , 0 < t < 1 je spojita tehdy a jen tehdy, kdyz x jespojita v t .
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 48 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Pravdepodobnostnı mıry na DMeritelnost projekce
VetaProjekce πt je meritelna vzhledem k borelovskym σ-algebram D/R,projekce πt1,...,tk je meritelna vzhledem k D/Rk .
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 49 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Pravdepodobnostnı mıry na DDukaz - idea
Polozme
hε(x) = ε−1∫ t+ε
tx(s)ds.
Konvergence xn ve Skorohodove topologii implikuje stejnomernoukonvergenci k x v bodech spojitosti, tj. az na mnozinu Lebesgueovskemıry 0. Protoze xn jsou stejnomerne omezene, platı
limn→∞
hε(xn) = hε(x).
Tedy hε(·) je spojita ve Skorohodove topologii. Z prave spojitostivyplyva
hm−1(x) → πt(x), m →∞. (20)
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 50 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Pravdepodobnostnı mıry na D
Definujeme trıdu konecne-dimenzionalnıch mnozin Df jako π−1t1,...,tk
Hpro H ∈ Rk .
Konecne dimenzionalnı rozdelenı pravdepodobnosti P na (D,D) jsoumıry Pπ−1
t1,...,tk.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 51 / 53
Pravdepodobnostnı mıry na D
Reference
P. Billingsley (1999). Convergence of probability measures. JohnWiley and Sons, Second Edition.
W. Rudin (2003). Analyza v realnem a komplexnım oboru.Academia, Praha.
3.11.2008 (KPMS MFF UK) Prostor D 52 / 53