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Provisionnement de la garantie plancher, Stochastique ou Déterministe ?

Résumé Dans le cadre d’un contrat d’assurance vie en francs, le souscripteur ne sait

pas à combien s’élèvera la valorisation de son épargne au-delà de l’année suivante, mais il est certain qu’il récupèrera, lui ou ses bénéficiaires , au pire sa mise initiale s’il décède la première année, autrement sa mise initiale majorée des intérêts accumulés au fil des ans. Mais les taux de rendement sur ce genre de contrats sont actuellement autour de 5%.

Aussi plus de 65% des souscriptions nouvelles d’assurance vie s’effectuent à travers des contrats multisupports, ou encore contrats dits en unités de compte, à savoir des contrats ayant pour supports des valeurs mobilières ou des fonds en euro. Leur rendements qui sont de l’ordre de ceux que l’on peut espérer avoir avec des actions, sicav et autres, rendent effectivement ces contrats très attractifs, sauf qu’ils ne sont pas assurés contre la chute des marchés financiers. Ce qui peut avoir des conséquences dramatiques si l’épargnant vient à décéder alors que les marchés sont au plus bas niveau. D’où l’indispensable présence, au sein de ces contrats, de garantie "parachute" en cas de décès. Avant 1992, cette garantie était obligatoire et prévue par la loi. Mais à partir de cette date, changement de législation, elle devient facultative. Les assureurs ont donc le choix entre l’intégrer automatiquement dans les contrats, la proposer en option ou pas du tout. Aujourd’hui elle est quasiment systématique à chaque nouveau produit lancé sur le marché, pour des raisons d’attractivité entre autres, et également pour justifier le caractère assurantiel des produits. Elle est rarement optionnelle pour éviter tout risque d’antisélection. En principe, dans les contrats en unités de compte, le risque financier est laissé à l’assuré. Il provient des fluctuations boursières des titres représentant le capital de l’assuré. Cependant, lorsqu’une garantie plancher est accordée, ce principe n’est plus totalement vrai puisque cette garantie plancher correspondant à un capital minimum garanti en cas de décès.

- 2 -

Cela signifie que si un assuré décède alors que la valeur du fonds est inférieure au capital minimum garanti, l’assureur doit compenser la partie manquante. Nous voyons immédiatement que le risque a ici deux aspects :

- la durée de la vie humaine, présente dans toutes les garantie décès. - L’évolution des marchés financiers.

La mortalité est un risque contrôlable, puisque l’on peut connaître à l’aide des tables de mortalité réglementaires (TD et TV88/90) ou de tables d’expérience, la probabilité de décès moyenne du souscripteur à chaque âge. C’est le risque financier qui rend la tâche ardue lorsqu’il s’agit de quantifier le risque supporté, car ses évolutions sont difficilement prévisibles. Cette incertitude est d’autant plus marquée qu’il s’agit de garanties longues, voire viagères. On peut aussi ajouter le risque systémique ; en effet, certaines fluctuations boursières vont se répercuter de manière systématique sur les contrats de même type. Il n’y a pas de compensation entre les différents contrats, mais souvent un cumul des risques. De plus, lors de fortes chutes boursières les ressources propres de l’assureur peuvent être mises à mal et ainsi réduire sa capacité à faire face aux engagements conclus. D’où la nécessité de provisionner correctement le risque induit par l’accord d’une garantie plancher. Aussi, bien que l’on admette le caractère difficilement quantifiable d’une telle garantie, la Commission de Contrôle des Assurances française propose aujourd’hui des méthodes de provisionnement, insistant sur son aspect prudentiel et donc réglementaire. Lors de son enquête sur la garantie plancher de l’année 2002, elle avait proposé d’estimer le montant à provisionner au titre de la garantie plancher en se basant sur des scénarii déterministes (20 au total). Cependant il était plus ou moins difficile pour chaque compagnie de trouver un scénario adapté à l’évolution de ses supports. Aussi recommande-t-elle maintenant d’utiliser soit la méthode de valorisation par une série de Puts, basée sur le modèle de Black & Scholes, soit un scénario déterministe dans lequel l’évolution du cours du support est fonction de sa volatilité. Le but du stage était donc de mettre en place des outils de calcul selon ces deux méthodes et également de les comparer à travers une étude de sensibilité aux hypothèses, permettant ainsi de justifier celles retenues. Le calcul étant particulièrement lourd du fait d’un calcul contrat par contrat, induisant ainsi une faible fréquence du calcul des provisions, il était également

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demandé de mettre en place des outils de suivi du risque de la garantie plancher que l’on puisse éditer à une fréquence plus élevée. Les méthodes présentées portent sur la garantie plancher en cas de décès classique, garantissant au souscripteur la somme de ses versements au contrat.

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Setting the Liability for Floor guarantees Stochastic or Determinist?

Summary Within the framework of a life insurance policy in euros, the subscriber has no

idea as to how much his savings will amount to after the end of the year to come, but he his sure to recover, for himself or his recipients, at least his initial face amount if he should come to pass away in the course of the first year, or his face amount plus the accumulated interest otherwise. But the return rates on such insurance policies are around five percent. Therefore, over 65% of new life insurance subscriptions are carried out through multimedia contracts, called unit-linked contracts, i.e. contracts having transferable securities as support. Their yield are close in performance to what one can hope for on the stock market, SICAV or other, making this kind of policy very attractive, except for the fact that they are not guaranteed against a downturn of financial markets. This can have devastating consequences if the policy-holder should come to die when stock exchange prices are at heir lowest. It is therefore mandatory to have, within these policies, a “parachute” guarantee in the event of death. Before 1992, this guarantee was compulsory and provided for by law. But since then, because of a change in legislation, it has become optional. Insurers can hence chose between integrating it automatically in their policies, offering it as an option, or do none of the above. Today, these guarantees are almost systematic for each new product launched, mainly to ensure product attractiveness. It is seldom optional, in order to avoid any counter selection. In theory, in an unit-linked policy, financial risk is borne by the policy-owner. This risk is linked to fluctuations on the value of the securities which represent the policy-holder’s capital. This, however, is no longer completely true when a floor guarantee is granted since this guarantee corresponds to a minimum amount the insurer commits himself to paying .

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This means that if the policy holder’s face amount is inferior to that guarantee at the time of death, the insurer has an obligation to compensate for the difference between the two. It is clear that this kind of risk has tow aspects to it:

- The human lifespan, as in all life insurance. - The financial market trends.

Mortality is a controllable risk, since the average probability of the subscriber dying is known, whatever his ages, by means of the legal mortality tables (TD and TV88/90) . This is not the case with financial markets risks. It is the latter which make things difficult when trying to quantify the risk one is taking on, since financial fluctuations are totally unpredictable. This uncertainty is even more marked that the guarantees are over long periods guarantees, indeed for lifetime. The systemic risk should also be taken in account. Indeed, some fluctuations on stock markets are bound to impact all policies based on a similar portfolio. There is therefore absolutely no compensation between the various policies, but, on the contrary, in most cases the risks tend to add up. Furthermore, when faced with strong stock market falls, the insurer himself could experience some financial difficulties, leaving him faced with reduced capacities to deal with his commitments. It is consequently crucial to have adequately accrued for the risk induced by the taking on of such floor guarantees. As a result, although it is acknowledged that this kind of guarantee is extremely delicate to quantify, the French ‘Commission de Contrôle des Assurances’ (Insurance Audit Board) is trying to recommend methods for accrual, insisting on it’s prudential nature and therefore it’s conformity to regulations. During their investigation of floor guarantee by the year 2002, the Commission had suggested an evaluation of the amount that needed funding under floor guarantee based on determinist patterns (a total of twenty), the adopted amount being the one closest to the company’s supports. Nevertheless, it was not always straightforward for each company to find a suitable pattern. The Commission therefore now recommends using a method of valuation involving either a series of Puts, based on the model of Black & Scholes, or a determinist scenario indexed on the volatility of the supports. The goal of the internship was to install computation tools for these two methods, as well as to compare them. The calculation being rather heavy because of a one policy at a time process, which induced a low calculation frequency for the individual

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accruals, it was also required to set up follow-up tools on the floor guarantee risk which could be published more often. The methods we present here are for the classic floor guaranty in case of death, which guaranties to the policy owner, the sum of his instalments on the contract.

- 7 -

TABLE DES MATIERES

RESUME 1

1. LES DEUX METHODES DE PROVISIONNEMENT 8

1.1 LE CONTRAT EN UNITES DE COMPTE A SUPPORT UNIQUE 9 1.1.1 VALORISATION PAR DES OPTIONS DE VENTE : LE MODELE DE BLACK & SCHOLES 10 1.1.2 EVALUATION PAR UNE APPROCHE DETERMINISTE 22 1.1.3 L’EVALUATION DE L’ENGAGEMENT : STOCHASTIQUE VERSUS DETERMINISTE 30 1.1.4. INTRODUCTION D’UNE TARIFICATION 32 1.2 LE CONTRAT MULTISUPPORTS 38 1.2.1 UN ACTIF RISQUE ET UN ACTIF SANS RISQUE 38 1.2.2 PLUSIEURS SUPPORTS RISQUES 44

2. APPLICATION A UN PORTEFEUILLE D’ASSURANCE 50

2.1 ETUDE DU PORTEFEUILLE 50 2.1.1 LES CARACTERISTIQUES 50 2.1.2 QUELQUES CHIFFRES 51 2.2 MISE EN OEUVRE 53 2.2.1 HYPOTHESES 53 2.2.2 LES DONNEES NECESSAIRES 54 2.2.3 RESULTATS SUR UN PRODUIT DU PERIMETRE 55 2.3 UN MOYEN DE SUIVI DU RISQUE 57

CONCLUSION 60

- 8 -

1. Les deux méthodes de provisionnement On compte différents types de garanties plancher, cités ci-après. Les garanties en cas de vie Ces garanties sont essentiellement présentes dans les PEP. Elles garantissent uniquement le capital à l’échéance, déduction faite des rachats partiels faits sur la vie du contrat. Ce montant étant calculé sur la base de la valeur de part à la souscription du contrat. Les garanties en cas de décès ?� La garantie cliquet : le capital décès est ici équivalent à la valeur la plus élevée que le contrat ait atteint depuis sa souscription. ?� La garantie de rendement / garantie plancher indexée : les sommes versées sont celles réalisées sur le contrat et majorées d’un taux fixé à la prise d’effet de la garantie. ?� La garantie majorée : Capital garanti fixé à un montant supérieur à l’épargne acquise. Le capital total assuré ne peut excéder certains seuils qui sont fonction de l’âge de l’assuré. ?� La garantie libre transmission : cette option prévoit le versement d’un complément en capital transmis, égal à 20% de la valeur de rachat de ce capital. L’objectif étant de permettre aux bénéficiaires de couvrir les droits à valoir au titre de l’article 990 I du Code Général des impôts ( prélèvement forfaitaire de 20% au-delà de 150 000 euros transmis par bénéficiaire ). ?� La garantie plancher classique : garanti le versement du total des primes versées par le souscripteur, déduction faite ou non des différents frais afférents au contrat. La plus fréquente reste tout de même cette dernière. En effet, en France, il s’agit d’une garantie de masse, aussi les sociétés ne jouent pas encore sur une distinction entre les différentes options possibles. Ces garanties sont le plus souvent, soit limitées en âge, soit limitées en montant. Les méthodes abordées traitent de la garantie classique en cas de décès.

- 9 -

1.1 Le contrat en unités de compte à support unique Bien que n’étant pas très répandu, commencer par ce type de contrat nous permettra d’aborder plus facilement les méthodes et voir les paramètres qui influent le plus sur le montant des provisions, selon la méthode utilisée. Comme précisé précédemment, nous nous bornerons à l’étude d’une garantie plancher du type cumul des primes versées. Les hypothèses ?� l’évaluation ne prend pas en compte les futurs mouvements sur le contrat, à savoir versement de primes, arbitrages, rachats. ?� Le risque de décès est indépendant de l’aléa financier. ?� Le portefeuille de la compagnie est assez important pour que l’on puisse considérer une mutualisation des décès. ?� Le capital dû à l’assuré est calculé sur la base de la valeur de la provision à la fin de l’année de décès. Si on considère que l’épargne en compte est sujette à des frais annuels, que nous noterons θ , et que l’on indice toute date d’évaluation par t=0, pour le décès d’un souscripteur d’âge x au cours de la i-ème année, Ni∈ , le coût de la garantie plancher pour l’assureur s’élève à

( )( )ii

i SnCPVMaxCSR ..1,0 θ−−= avec, n le nombre d’unités de compte détenus à la date d’évaluation. Si le cours du support à la date i. CPV, le plancher à la date d’évaluation.

- 10 -

1.1.1 Valorisation par des options de vente : le modèle de Black & Scholes On se propose d’utiliser une telle méthode d’évaluation du fait de l’impossibilité de connaître en t=0, les Si pour 1≥i . Par contre, il est aisé de remarquer que le coût de la garantie plancher pour une année i quelconque est l’expression du payoff d’une option de vente européenne. Black & Scholes valorisent l’option de vente par arbitrage, la valeur ainsi obtenue correspond au montant dont on doit disposer en 0, pour pouvoir construire une stratégie de couverture autofinançante nous délivrant en i exactement la richesse

( ) )..1,0( ii SnCPVMax θ−− .

Notons que l’on peut réécrire ce payoff comme

( ) ( )iii

i SKMaxnCSR −−= ,0.1. θ avec

( )ii

nCPVK

θ−=

1.

Effectivement les frais de gestion venant diminuer la provision mathématique et ainsi le nombre de part détenues, ayant moins d’actifs, il faut pour chaque échéance augmenter le prix d’exercice de l’option si on veut faire face à l’engagement en cas de décès. Si on suppose que la durée restante avant le terme du contrat, dans le cas où la garantie est viagère, ou avant la fin de la garantie dans le cas où celle-ci est limitée en âge, est e années, nous aurons alors

( ) ( )∑=

+ −=e

ii

i

x

ixAssureur SiKPutn

ld

VAP1

0,,.1.. θ

Où ?� xd désigne le nombre moyen de décès dans l’année dans un groupe

d’assurés d’âge x. ?� xl désigne le nombre de survivants de ce groupe à l’âge x. ?� ( )0,, SiKPut i la valeur d’un put d’échéance i, de strike iK sur un actif de prix

S0 à la date d évaluation.

- 11 -

L’approche de Black & Scholes

Le modèle de valorisation d’options le plus connu a été développé en 1973 par Black et Scholes. Il suppose que le cours d’une action ne détachant pas de dividende peut se modéliser par un mouvement brownien géométrique. Ce modèle suppose que l’actif sous-jacent S suit la dynamique

dWtdtSt

dSt .. σµ +=

µ�, le rendement moyen de l’actif s�, sa volatilité Wt, un mouvement brownien standard. On introduit la probabilité risque neutre Q, telle que

dtrdWdW Qtt σ

µ −−= ,

où r est le taux sans risque du marché.

la dynamique de S sous cette probabilité devient

Qt

t

t dWdtrS

dS.. σ+=

Sous cette probabilité, les processus des prix actualisés des actifs sont des martingales. Le prix d’une option de vente d’échéance i et de prix d’exercice K sera donc

( ){ }+− −= iQri SKEeSiKPut .),,( 0 ,

- 12 -

On trouve alors

)(.)(..),,( 1020 dNSdNKeSiKPut ri −−−= − avec

∫∞−−

=d

x

dxedN 2

2

21)(π

i

irKS

d.

.2

ln2

0

1 σ

σ

++

= i

irKS

d.

.2

ln2

0

2 σ

σ

−+

=

Sensibilité du modèle d’évaluation du risque Nous adopterons la notation ∗

iCSR , pour désigner la valeur en 0 du risque de la ième année. Pour une échéance i donnée, le risque évalué par la méthode des puts s’exprime comme

( ) ( )iii

i SKPutnCSR ,.1. θ−=∗ , où ( )ii nCPVK

θ−=

1.

- 13 -

?� l’échéance

On voit ici qu’on ne peut parler de l’influence de l’échéance sans prendre en compte le rapport entre le plancher et la PM du contrat . Effectivement selon la valeur de ce rapport, l’évolution du prix peut changer radicalement. De façon générale, le prix du put est plus élevé lorsque le strike est plus élevé que le prix du sous-jacent. Le rapport CPV/PM étant un indicateur (s’il est inférieur à un, le contrat n’est pas sous risque, et inversement ) du montant de capitaux sous risque du contrat, les contrats en risque à l’évaluation auront un risque futur bien plus élevé que les contrats qui ne sont pas en risque. Le montant de capital sous risque à l’évaluation déterminera non seulement les niveaux des risques futurs, mais également leurs évolutions, il est donc un indicateur prépondérant du risque.

vol = 20% r = 2,5% frais=0%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

1 9 17 25 33 41 49Echéances

Pri

x du

Put

en

% d

e la

PM

CPV = 1/2.PM

CPV = PM

CPV= 3/2.PM

- 14 -

?� La volatilité

Quelle que soit l’échéance, la volatilité a une influence quasi linéaire sur le prix du Put. Elle a également un impact très important sur ce prix, il faudra donc évaluer correctement ce paramètre. Notons également que plus cette volatilité est importante et plus l’écart entre des puts d’échéances éloignées est important.

110

1928

3746 10%

18%26%

34%

0%

10%

20%

30%

40%

Val

eur

du P

ut e

n %

de

S

Echéances

Volatilités

CPV = PM r = 2,5% frais = 0

- 15 -

?� Le taux sans risque

La valeur du taux sans risque a une influence importante sur la valeur du put, et ce encore plus particulièrement pour les échéances éloignées. Le taux r qui intervient dans ce modèle est un taux court, du fait de la nécessité d’arbitrer à chaque instant entre l’actif risqué et l’actif sans risque. Du fait que dans leur modèle, Black & Scholes supposent la constance du taux, il n’est généralement utilisé par les agents financiers que pour évaluer des options d’échéances courtes. L’utiliser sur des échéances longues comme nous allons le faire introduit un biais certain dans l’évaluation.

113

2537

49

2,0%

3,3%

4,6%

5,9%

0%

5%

10%

15%

20%

Val

eur

du P

ut e

n %

de

la P

M

Echéances

taux

CPV = PM Vol = 20% frais = 0

- 16 -

?� les frais de gestion

CPV = PM Vol = 20% r = 2.5%

0,00%

4,00%

8,00%

12,00%

16,00%

20,00%

1 13 25 37 49

Echéances

Pri

x du

Put

en

% d

e la

PM

0%

0,5%

1%

- 17 -

La problématique de la volatilité dans le modèle de Black & Scholes La volatilité est, comme nous l’avons vu, un paramètre important dans le modèle de valorisation de Black & Scholes. Aussi c’est un paramètre à évaluer avec le plus de précision possible. Les différentes alternatives étant :

?� La volatilité historique : ( )2

01lnln1∑

=−−− −

n

iitit SS

n

Cela a un sens si n est comparable à la maturité de l’option, et si on pense que la volatilité est relativement constante dans le temps. Mais la volatilité que l’on peut observer sur les marchés est elle-même très volatile, aussi considérer la volatilité historique peut introduire un biais d évaluation.

?� La volatilité intraday : ( )

( )2ln2

ln BH

SS

où HS et BS sont respectivement les plus haut et plus bas cours de la journée. Cependant une estimation intraday est généralement inadaptée pour la valorisation d’options d’une part, mais d’autre part, il ne sera pas possible de l’observer pour tous les types de supports que peut proposer une compagnie d’assurance, comme l’immobilier par exemple. ?� Une estimation économétrique : La volatilité est une variable non observable du marché. On peut la reconstituer en utilisant des modèles ARCH-GARCH ou en introduisant une volatilité stochastique. Malheureusement ce sont des méthodes complexes et extrêmement coûteuses en temps et en ressources. De plus, vu le nombre de supports différents que peut proposer une compagnie d’Assurance cela serait très difficile à mettre en place. ?� La volatilité implicite : ( )KTI , Si note ( )KTPobs , le prix de marché d’une option de maturité T et de prix d’exercice K, et ( )KTP SB ,,& σ le prix donné par la méthode de Black & Scholes pour une volatilité σ , alors la volatilité implicite pour une option de maturité T et de prix d’exercice K est telle que ( ) ( )( )KTKTIPKTP SBobs ,,,, &= . Cependant vu les échéances sur lesquelles nous allons estimer les engagements et donc valoriser les options de vente, il est certain que nous ne trouverons pas sur le marché des options avec de telles maturités à observer.

- 18 -

Aussi bien qu’il soit certain que l’on introduira un biais sur les évaluations à long terme, l’estimation par la volatilité historique semble ici la plus indiquée, tout en essayant bien sûr d’observer les variations passées des supports sur le plus d’année possible. Se posera néanmoins le problème des supports récents pour lesquels on ne dispose pas d’un historique suffisant pour faire l’astimation. Introduction du risque viager Si nous utilisons maintenant ce modèle de valorisation pour évaluer l’engagement pris par l’assureur au titre de la garantie plancher, nous aurons

( ) { }∑=

−+ −−−−=e

i

iii

rii

x

ixAssureur dNSdNKen

ld

VAP1

102 )(.)(...1.. θ

∫∞−−

=d

x

dxedN 2

2

21)(π

, ( )ii nCPVK

θ−=

1.,

( )i

irKS

d ii

.

.2ln 20

1σ

σ++= ,

i

irKS

d ii

.

).2

(ln2

0

2 σ

σ−+

=

?� L’âge à l’évaluation. Nous feront les calculs en considérant que la garantie plancher est accordée jusqu’au 75 ans du souscripteur. En effet les compagnies d’assurance ont maintenant tendance à poser une limite d’âge pour leurs nouveaux produits, et même à changer les Conditions Générales des produits déjà existant pour aller dans ce sens. Il est évident que la valeur de la garantie est plus élevée lorsque la garantie n’est pas limitée en âge, par contre, il est moins évident d’en deviner l’impact, nous l’illustrons dans le graphique suivant.

- 19 -

Pour cet exemple, nous nous sommes mis dans le cas où la PM est égale au montant des primes versées, ce cas de figure représente à fortiori la souscription du contrat. On voit que limiter la garantie permet de diviser la valeur de l’engagement de l’assureur par pratiquement trois pour les âges jeunes, et par 5 à 6 entre 55 et 70 ans. Si on considère maintenant une date quelconque d’évaluation, il faut prendre en compte le fait que la PM est fortement susceptible de ne pas être égale au montant du plancher.

CPV = PM Vol = 20% r = 2,5%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

25 35 45 55 65 75 85 95

Age à l'évaluation

Val

eur

de la

gar

antie

en

% d

e la

PM

Limitation de la garantie à 75 ans

Pas de limitation en âge

- 20 -

L’engagement de l’assureur est donc une fonction croissante du rapport CPV/PM ( nous rappelons que lorsque CPV /PM <1, le contrat n’est pas sous risque ). Nous retrouvons là, l’effet constaté sur l’évaluation du risque, à savoir que la valeur de l’engagement est plus élevée lorsque le contrat est en risque. Les variations sont plus sensibles pour 1>PM

CPV .

VAP assureur en fonction du rapport CPV / PM

Vol = 20% r = 2,5% frais = 0

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

25 35 45 55 65 75

Age

VA

P a

ssur

eur

% d

e la

PM

60%

80%

100%

120%

140%

- 21 -

?� Les frais de gestion

Comme on pouvait s’y attendre, l’introduction de frais de gestion augmente l’engagement de l’assureur quel que soit l’âge du souscripteur, sauf pour les âges très proches de la limite de la garantie où la différence est minime. L’effet est plus marqué pour les âges jeunes, car l’engagement étant plus long, l’effet des frais à long terme est plus marqué. On en conclut que les paramètres les plus importants dans une valorisation par des options de vente seront ?� La situation du contrat à la date d’évaluation, sachant qu’un le signe du capital sous risque, pour une valeur donnée, à une importance très forte. ?� La volatilité du support, du fait de sa forte influence sur le prix du Put. ?� Le taux sans risque, particulièrement pour son effet sur le prix du put pour des échéances éloignées.

VAP Assureur en fonction du taux de frais de gestion

Vol = 20% r = 2,5%

0%

1%

2%

3%

4%

25 35 45 55 65 75Age

Val

eur

en %

de

la P

M

0

0,50%

1%

- 22 -

1.1.2 Evaluation par une approche déterministe Nous avons recours à la valorisation par des options de vente, du fait de l’incertitude sur les cours futurs de l’unité de compte. Cependant si nous nous donnons un ou plusieurs scénarii d’évolution de l’unité de compte, l’exercice devient aisé et se ramène à un calcul de provision classique. Le scénario La CCA préconise le scénario suivant : baisse progressive du cours de l’unité de compte de 15% de la volatilité du support, mais la chute ne peut excéder 50% de cette volatilité. Si on résout l’équation ( ) ( )xx i 5.0115.01 −=− en i,

on trouve ( )( )x

xi15.01ln5.01ln

−−

= , et en étudiant les variations de la fonction )(xi , il apparaît

que celle ci est croissante, mais pour tout x inférieur à 82%, elle est inférieure à 4. Ceci implique que la baisse se produira généralement sur quatre années puisqu’il est rare de trouver des supports avec des volatilités de l’ordre de 82%. Nous avons pour le coût de la garantie plancher pour un décès ,d’une tête d’age x à l’évaluation, la i-ème année

( )( )ii

i SnCPVMaxCSR ..1,0 θ−−=

iS n’est pas connu en 0. On le remplace par ( )σ,ˆ0 ifSS i = ,

où ().f est la fonction d’évolution du cours du support telle qu’on la définit dans le scénario. Dans le cas présent, ( ) ( )( )( )iMaxif σσσ .15,01,.5,01, −−= Notons que l’on peut réécrire le coût pour une année i comme

( ) ( )

−−= σθ ,,0..1.

00 if

SK

MaxSnCSR iii ,

- 23 -

on rappelle que ( )ii nCPVK

θ−=

1.

Cela permet de faire ressortir que le risque tel qu’il peut être évalué à un instant donné dépend fortement du scénario d’évolution choisi, comme on pouvait s’en douter, mais aussi, si on l’exprime en % de la PM, du rapport CPV/PM . Sensibilité du modèle d’évaluation du risque Le seul paramètre influant sur l’évolution des cours est la volatilité du support, mais comme on l’a noté tout à l’heure elle joue plus sur le niveau des cours futurs que sur l’évolution qui est la même quelque soit la volatilité du support ( à savoir pour une volatilité inférieure à 82%, chute du cours pendant quatre, puis cours flat ). Si nous voulons pouvoir comparer le risque tel qu’il est modélisé par la méthode des puts, qui donne des prix en 0, nous devons considérer ici, pour une échéance donnée,

la valeur ( )i

ii r

CSRCSR

+=∗

1 , ce qui nous amène à introduire le taux sans risque.

Dans les graphiques qui suivent, le terme CSR désignera la valeur en 0 du risque pour une échéance donnée.

- 24 -

?� L’échéance et le rapport CPV/PM

Le cours du support va baisser pendant quatre ans, puis stagner, ce qui explique la hausse du risque pendant les premières années, puis la baisse progressive du fait de l’actualisation. Si au-delà des quatre premières années le contrat n’est toujours pas sous risque, il ne le sera jamais ; c’est pourquoi pour CPV/PM=1/2PM l’engagement est nul quel que soit l’âge.

Vol = 20% r = 2,5% frais = 0

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

1 8 15 22 29 36 43 50Echéances

CS

R e

n %

de

la P

M

CPV=1/2PM

CPV=PM

CPV=3/2PM

- 25 -

?� La volatilité

La volatilité a un impact sur le risque du fait que la baisse est indexée par rapport à elle, plus elle sera élevée, plus le risque futur sera fort. L’effet est plus marqué pour les échéances proches du fait qu’au-delà de quatre ans, les cours stagnent, l’effet ne joue plus beaucoup. Elle a donné le niveau de stabilisation du cours, mais après les quatre ans, c’est l’effet actualisation qui prend le pas.

113

25

37

49 10%20%

30%

0%

5%

10%

15%

20%

CS

R e

n %

de

la P

M

Echéances

Volatilités

CPV=PM Vol = 20% r = 2,5% frais=0

- 26 -

?� Le taux sans risque

Le taux sans risque ne joue pas beaucoup avant quatre ans, l’effet chute des cours est prépondérant. Mais au-delà, à travers l’actualisation, il contribue à diminuer le risque, et ce de façon non négligeable pour les échéances les plus lointaines. Le montant de capitaux sous risque à l’évaluation est très important dans cette méthode, puisque certains contrats qui ne sont pas sous risque (en fonction de la volatilité et du rapport CPV/PM ) ne seront jamais sous risque si au bout de quatre le plancher n’est toujours pas supérieur à la PM. Par contre en introduisant les frais de gestion , d’une part nous allons accentuer le risque sur les contrats qui sont déjà en risque, mais peut-être que du fait de l’érosion progressive due aux frais, la catégorie de contrats cités précédemment finiront éventuellement eux aussi par se retrouver sous risque. Même dans cette éventualité, ce serait un risque assez faible. Le graphique suivant n’illustre pas cela, nous nous contentons de considérer les contrats où l’épargne en compte est égale au montant du plancher.

113

2537

49

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

0,0%

2,5%

5,0%

7,5%

10,0%

CS

R e

n %

de

la P

M

Echéances

r

CPV=PM Vol = 20% r = 2,5% frais=0

r

- 27 -

L’impact des frais de gestion est non négligeable, surtout pour des horizons éloignés. Avant quatre ans, la différence n’est pas flagrante, car c’est l’effet chute des cours qui est prépondérant. Au delà de quatre ans, les cours étant flat, c’est l’effet frais de gestion qui devient majeur, une hausse de 0.5% des frais fait augmenter la valeur du risque de 2 à 6% pratiquement, en fonction de l’échéance, l’effet est naturellement plus marqué pour des échéances lointaines.

Evolution du risque en fonction des fraisCPV = PM Vol = 20% r =2,5%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

1 8 15 22 29 36 43 50Echéances

CS

R e

n %

de

la P

M

0%

0,50%

1%

- 28 -

Introduction du risque viager Le facteur âge ne change pas intrinsèquement par rapport à la méthode des puts, c’est l’évolution du risque qui importe réellement. Cependant le graphe suivant nous permet d’avoir une vision globale sur le risque à tout âge. L’engagement de l’assureur s’écrit

( ) ( )( )σθ ,,0..1..01

0 ifSKMaxSnl

dVAP ie

i

i

x

ixAssureur −−=∑=

+

L’engagement de l’assureur augmente avec les capitaux sous risque. Néanmoins, pour des contrats dont la PM est suffisamment supérieure au plancher, l’engagement de l’assureur sera nul.

VAP Assureur en Fonction du rapport CPV / PMVol = 20% r = 2,5% frais = 0

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

25 35 45 55 65 75Age à l'évaluation

VA

P a

ssur

eur

en %

de

la P

M

60%

80%

100%

140%

120%

- 29 -

Les paramètres les plus importants dans ce modèle seront donc ?� La situation du contrat à la date d’évaluation, dont l’effet joue plus à la hausse qu’à la baisse, puisque l’on a remarqué que pour un certain rapport CPV / PM le risque du contrat restera nul sur les années à venir. ?� Les frais de gestion ?� La volatilité du support, qui joue surtout sur l’évolution à court terme et sur le niveau de stabilisation du cours. Comparons maintenant les deux méthodes, et essayons d’en tirer des grandes tendances.

VAP assureur en fonction du taux de frais de gestion CPV = PM Vol = 20% r = 2.5%

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

25 35 45 55 65 75Age à l'évaluation

VA

P a

ssur

eur

en %

de

la P

M

0%

0,5%

1%

- 30 -

1.1.3 L’évaluation de l’engagement : Stochastique versus Déterministe Nous avons pu voir que les différents paramètres influant sur la valeur de l’engagement de l’assureur ne jouent pas toujours de la même façon selon l’approche utilisée. Notamment dans leur façon de prendre en compte la situation du contrat à la date d’évaluation, l’impact des frais de gestion ou encore la volatilité. Le taux sans risque semble avoir un effet relativement semblable dans les deux cas, à savoir réduire le risque et plus particulièrement pour les échéances les plus éloignées. Nous allons étudier différents cas de figure selon le rapport CPV/PM, tout en gardant à l’esprit que les sensibilités des modèles aux variations de ce rapport sont très différentes. Dans le graphique suivant, les paramètres fixés sont ?� Le taux sans risque, à 2,5% ?� La volatilité du support à 20% ?� Le taux de frais de gestion à 1%

- 31 -

25

35

45

55

65

7510% 50% 90% 130% 170%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

Diff

éren

ce e

n %

de

la P

M

Age à l'évaluation

CPV / PM

VAP( B&S ) - VAP( Déterministe ) en fonction du rapport CPV/PMVol = 20% r = 2,5% frais = 1%

- 32 -

Ce graphique montre que pour une configuration donnée de PM, volatilité, frais et taux sans risque, il existe différents seuils de plancher pour lesquels l’une des deux méthodes donne un montant de provision plus élevé que l’autre. Les frais dépendent du produit, la volatilité du support, le taux sans risque est une donnée du marché, et la PM et le plancher dépendent du contrat et du support. De façon globale, on peut dire que pour un plancher inférieur à la PM du contrat, la méthode des puts donne un montant plus élevé et que pour un plancher supérieur à la PM, c’est la méthode déterministe qui devient la plus chère. Lorsque le plancher est inférieur à la PM, cela tient également au fait que pour certaines configurations, la méthode déterministe évalue un risque nul, alors que la méthode des puts, par construction du modèle de pricing donne une évaluation non nulle. 1.1.4. Introduction d’une tarification Maintenant que nous avons une idée de l’évaluation des risques futurs par les deux méthodes, introduisant une prime destinée à couvrir le risque de la garantie plancher. Différents types de tarifications sont pratiqués par les assureurs : - La tarification à la prime de risque, calculée en appliquant périodiquement la

probabilité de survenance de l’évènement couvert au capital sous risque. - La prime unique prélevée sur les sommes versées au contrat. - La prime sur encours, forfaitaire, prélevée sur l’épargne gérée. C’est ce dernier type de tarification que l’on étudie. On suppose donc que l’assuré paye une prime en début d’année, sous la forme d’un prélèvement sur la pm. De fait, ce prélèvement supplémentaire va comme les frais de gestion venir diminuer la pm du contrat et donc augmenter le risque. La formule donnant l’engagement de l’assureur va donc changer. Mais nous ne nous attarderons pas sur son développement, puisque que la première partie nous en donne déjà une bonne idée. En effet le prélèvement au titre de la garantie, d’un pourcentage que nous noterons α , peut être assimilé à des frais supplémentaires.

- 33 -

Pour une année i donnée, les engagements réciproques s’expriment donc de la façon suivante : ?� Assureur : ( ) ( )( )i

iii SnCPVMaxCSR ..1.1,0 αθ −−−=

?� Assuré : ( ) ( ) 1

11 ..11.Pr −−− −−= i

iii Snαθα

Valorisation par la méthode des Puts

?� ( )( ) ( )∑=

+ −−=e

ii

ii

x

ixAssureur SiKPutn

ld

VAP1

0,,.11.. αθ

( ) ( )iii nCPVK

αθ −−=

1.1.

?� ( ) ( )∑=

−−−+ −−='

10

111 ..1.1.e

i

ii

x

ixAssuré Sn

ll

VAP αθα

Cette VAP de l’assuré est obtenue en considérant l’espérance sous la probabilité risque neutre des flux futurs de l’assuré. Le processus des prix actualisés de l’actif étant une martingale, { } 0.,1 SSeEi i

riQ =≥∀ − .

- 34 -

Le fait de prendre un tarif au titre de la garantie plancher a donc un effet non négligeable. Cela a tendance à augmenter le risque certes, mais en pourcentage de la

Engagement Assuré en fonction du taux de prélèvement au titre de la garantie plancher

0%

3%

5%

8%

10%

13%

15%

25 35 45 55 65 75Age

VA

P a

ssur

é en

% d

e la

PM

0,1%

0,2%

0,4%

Provision

-13%

-10%

-8%

-5%

-3%

0%

3%

5%25 35 45 55 65 75Age

Pro

visi

on e

n %

de

la P

M

0%

0,20%

0,40%

0,1%

- 35 -

PM, l’impact est bien plus fort sur l’engagement de l’assuré que sur l’engagement de l’assureur. Déjà à 0.2% La provision est nulle ou presque nulle pour pratiquement tous les âges. Dans l’exemple illustré, on se place dans le cas où le plancher est égale à la PM, si on se plaçait dans les autres situations, le montant de l’engagement de l’assuré ne dépendant que du montant de la PM et non du plancher comme le montant de l’engagement de l’assureur, l’effet CPV/PM prendrait le pas. Valorisation par la méthode déterministe Nous avons

( ) ( )( )( )∑

=

+

+

−−−=

e

ii

iii

x

ixAssureur r

SnCPVMaxl

dVAP1 1

ˆ..1.1,0.

θα

( ) ( )( )∑

=−

−−−

−+

+

−−=

'

11

111

1

1

ˆ..11..

e

ii

iii

x

ixAssuré r

Snl

lVAP αθα

on rappel que ( )σ,.ˆ

0 ifSS i =

- 36 -

Engagement assuré en fonction du taux de prélèvement au titre de la garantie plancher

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

25 35 45 55 65 75Age

VA

P a

ssur

é en

% d

e la

PM

0,1%

0,2%

0,4%

Provision

-5%

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

3%

4%25 35 45 55 65 75Age

Pro

visi

on e

n %

de

la P

M

0,0%

0,2%

0,4%

0,1%

- 37 -

L’évaluation de l’engagement de l’assuré par la méthode déterministe donne des montants moins élevés que la méthode des puts du fait que dans cette dernière, les calculs se font comme si les prélèvements futurs se faisaient sur une PM calculée avec la valeur du support à la date d’évaluation, de plus il n’y a pas d’actualisation. C’est pourquoi les autorités de contrôle des Assurances préconisent de ne pas utiliser une approche financière pour évaluer l’engagement de l’assuré. Il semble en effet plus prudent d’utiliser les engagements de l’assuré obtenus par la méthode déterministe. Aussi dans la suite lorsque nous parlerons d’engagements de l’assuré, il s’agira des engagements calculés par la méthode déterministe. Conclusion Pour l’évaluation du risque, les deux méthodes se comportent de façon assez similaire lorsque que l’on se place à la souscription du contrat. Par contre selon que le contrat est plus ou moins en risque, l’une des méthode prend le pas, lorsque le plancher est supérieur à la PM, la méthode déterministe donnera des montants de provisions plus élevés. Par contre lorsque le plancher est inférieur à la PM La méthode des puts sera la plus chère. En terme de sensibilité, la méthode des puts est bien plus sensible à la volatilité choisie pour le support, du fait de son importance dans l’évaluation du prix d’un put. La présence d’un prélèvement au titre de la garantie plancher est un facteur important dans la diminution du montant à provisionner. Cela à certes tendance à augmenter le risque côté assureur, mais l’introduction d’un engagement de l’assuré a un effet globalement positif.

- 38 -

1.2 Le contrat multisupports 1.2.1 Un actif risqué et un actif sans risque Nous supposons dans cette partie que le contrat peut comporter deux supports, un support risqué et un support non risqué, et que la part investie dans l’actif non risqué capitalise à un taux garanti pour lequel nous prendrons le taux sans risque. A la date d’évaluation des engagements, une proportion � de la provision mathématique du contrat est investie sur l’actif risqué, et donc ( )�−1 sur l’actif non risqué. On suppose toujours que le contrat peut être soumis à deux types de prélèvements, des prélèvements en début d’année, qui constituent une prime au titre de la garantie plancher, et des prélèvements en fin d’année constituant les frais de gestion du contrat. Pour le décès d’un souscripteur d’âge x l’année i, le coût de la garantie plancher pour l’assureur serait

( ) ( ) ( )( )( )EurrSnCPVMaxCSR ii

iii .1..1.1,0 ++−−−= θα

On suppose que les prélèvements au titre de la garantie plancher se font sur la provision mathématique globale du contrat. Le montant payé par l’assuré au titre de la garantie plancher pour l’année i serait

( ) ( ) i

iii CPT.1.1.Pr 11 −− −−= θαα

CPTi, la provision mathématique du contrat à la date i. Eur, le montant investi sur l’actif sans risque à la date d’évaluation.

- 39 -

Nous pouvons les réécrire comme

( )( ) ),0(..1.10

0ii

ii

i SKMaxSCPTCSR −′′

−−= �θα

avec ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0

00

..1.1).1.(1.1.1.

CPTCPTrCPVS

K ii

iii

i�θα

�θα

−−

−+−−−=′′

( ) ( ) ( ) ( ) 01

10

11 .1.1..1.1.Pr CPTrSS

ii

iii

−++−−= −

−−− �

�θαα

En exprimant les formules de la sorte, il est facile de voir l’influence importante que va avoir le coefficient � sur les engagements. Pour l’engagement de l’assureur, on voit que l’on se retrouve dans un cas similaire au cas du contrat à support unique. La différence étant que le plancher est modifié, puisque réduit par la part en euro. Pour la méthode déterministe, cela implique que le seuil de plancher à partir duquel l’évaluation du risque est non nul est déplacé vers le haut. Ceci est vrai également pour la méthode des puts puisque le cas où iK ′′est inférieur à 0 pourrait apparaître, ce qui rendrait le pricing de l’option impossible et donc évaluerait le risque comme nul.

- 40 -

Valorisation par des options de vente Nous pouvons toujours utiliser le modèle de Black & Scholes pour valoriser les engagements de l’assureur. Nous aurons comme tout à l’heure un plancher qui va changer selon les échéances, du fait de la prise de frais et de la capitalisation de la part en euro du contrat. Nous aurons la formule suivante pour l’engagement de l’assureur

?�( ) ( ) ( )∑

=

+ ′′−−=

e

iii

ii

x

ixAssureur SiKPut

SCPT

ldVAP

1 0

0 ),,...1.1

.�θα

Nous nous arrêtons à l’étude de l’évolution des engagements à la souscription. Il n’est pas nécessaire d’aller plus loin car nous avons déjà vu le comportement de l’engagement de l’assureur en fonction du rapport CPV/PM, et établi que les engagements de l’assuré ne dépendaient que la PM à l’évaluation. Voyons l’effet de la répartition uc/euro

Provision en fonction de la répartion uc/euro

-7%

-6%

-5%

-4%

-3%

-2%

-1%

0%

1%

2%

25 35 45 55 65 75

Age

Pro

visi

on e

n %

de

la P

M

25%

50%

75%

100%

- 41 -

Considérant les hypothèses faites sur la volatilité, le taux sans risque et les frais, qui sont relativement réalistes, on voit que quelque soit l’âge de l’assuré, avec 50% investi sur le fond en euro, la provision sera nulle. Même à 75% elle ne devient positive qu’aux alentours de 60 ans, et n’atteint que 0.3% de la PM au maximum entre 64 et 67 ans. Lorsque � , la part en action, diminue, d’une part l’engagement de l’assureur diminue, du fait du nombre réduit d’actions à couvrir et de la revalorisation de l’euro (qui vient diminuer le plancher à chaque échéance), et d’autre part l’engagement de l’assuré augmente, puisque l’augmentation de la part en euro vient booster l’effet revalorisation. Nous n’illustrerons pas l’effet du taux sans risque, puisque nous avions vu que le prix du put était une fonction décroissante du taux sans risque, de plus il a également un effet sur la réduction du plancher à travers la revalorisation de l’euro. Donc il a un effet positif double sur l’engagement de l’assureur. De plus à travers la revalorisation de l’euro, il a un effet positif sur l’engagement de l’assuré. Mais également aussi parce que c’est une donnée du marché. Evaluation par la méthode déterministe Nous considérons la fonction ( )σ,if et iS tels que nous les avons définis en 2.1.2 Les engagements des deux parties s’écrivent

?�( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )∑=

+

+

−++−−−=

e

ii

iii

x

ixAssureur r

rifCPTCPVMaxl

dVAP1

0

11.1,...1.1,0

.�σ�θα

?� ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )∑=

−−

−−−+ −++−

+−−

='

1

101

111 1.1,1...

11.1..

e

i

ii

ii

x

ixAssuré rifCPT

rllVAP �σ�

θαα , ( ) 1,.0 =f

Il n’est pas nécessaire d’illustrer l’évolution de la provision selon l’âge en fonction de la répartition du contrat, car on retrouve les mêmes commentaires que précédemment, à quelques différences de montant près.

- 42 -

Intéressons nous maintenant aux différences selon la méthode employée en fonction du rapport CPV/PM et de la répartition du contrat. On rappelle que l’engagement de l’assuré est calculé par la méthode déterministe, les différences observées ne s’expliqueront donc uniquement que par le comportement de l’engagement de l’assureur.

25

35

45

55

65

7510% 50% 90% 130% 170%

-3,5%

-3,0%

-2,5%

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

différence en % de la PM

Age à l'évaluation

Rapport CPV/PM

VAP ( B&S) - VAP ( Déterministe ) Beta=80%

- 43 -

On retrouve le comportement souligné au début de la partie. Comme nous le disions, les seuils à partir desquels les deux méthodes donnent des montants non nuls se sont déplacés vers la droite, de même que le seuil à partir duquel la méthode déterministe devient plus chère que la méthode des puts. Comme dans le modèle à support unique, la différence entre les deux méthodes est beaucoup plus sensible lorsque le contrat est fortement en risque. Cependant la présence d’une part en euro contribue à atténuer cette différence.

2535

45

55

65

7510% 50% 90% 130% 170%

-3,0%

-2,5%

-2,0%

-1,5%

-1,0%

-0,5%

0,0%

0,5%

1,0%

différence en % de la PM

Age à l'évaluation

rapport CPV/PM

VAP ( B&S) - VAP ( Déterministe )beta=60%

- 44 -

1.2.2 Plusieurs supports risqués Considérons maintenant que l’assuré peut investir sur plusieurs supports risqués. Le flux à la charge de l’assureur pour un décès l’année i serait

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−−−+−−−= ∑

=

m

j

jij

iiiiii SnEurrCPVMaxCSR

1..1.1.1.1.1,0 θαθα

où,

jtS , le prix de l’actif j à la date t

jn , la quantité d’actif j détenue m le nombre d’actifs supports du contrats Nous ne considérerons pas la possibilité qu’a l’assuré de faire des arbitrages entre les différents supports. Le flux à la charge de l’assuré, pour une année i donnée, serait

( ) ( )∑=

−−−=m

j

jij

iii Sn

11..1.1.Pr θαα

Evaluation par la méthode des Puts Nous devons maintenant valoriser des options sur un portefeuilles d’actifs. Ce genre d’options sont appelées ″Options Panier″. Les options paniers sont souvent évaluées approximativement en supposant que la dynamique du portefeuille est lognormale plutôt que la dynamique de chacun des actifs pris individuellement. En faisant ce genre d’approximation on se ramène à un calcul de type Black & Scholes classique. On considère alors l’ensemble des supports risqués détenus comme un portefeuille. Il faut donc avant d’appliquer la formule de Black & Scholes, déterminer la volatilité du portefeuille considéré.

- 45 -

On note v , la volatilité du portefeuille

jw , le poids de l’actif j dans le portefeuille

jσ , la volatilité de l’actif j

kj , , la corrélation entre l’actif j et l’actif k On a alors la volatilité du portefeuille

∑ ∑= >

+=m

j jkkjkjkjjj wwwv

1,

22 ....2. σσσ

On suppose que la valeur du portefeuille suit la dynamique suivante

( )ttt dWvdtrAdA .. +=

tA la valeur de l’ensemble des supports risqués détenus sur le contrat. Les volatilités des supports auront de l’importance certes, mais les corrélations en auront également énormément, puisqu’elles vont gouverner la volatilité totale du portefeuille. On peut donc appliquer la formule de Black & Scholes assez aisément. En faisant cela nous nous ramenons au cas étudié précédemment. Aussi, nous pouvons facilement retrouver les formules des engagements en remplaçant S par A dans les formules précédentes. On obtient ainsi

?� ( )( ) ( )∑=

+ −−=e

iii

ii

xixAssureur AiKPutA

CPTl

dVAP1 0

0 ),,...1.1. �θα

avec ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0

00

..1.1).1.(1.1.1.

CPTCPTrCPVA

K ii

iii

i�θα

�θα

−−

−+−−−=′′′

- 46 -

Evaluation par la méthode déterministe Ici, ayant les volatilités de chaque support, il serait facile de faire chuter chaque support selon le scénario choisi, et de calculer l’engagement de l’assureur. Mais en faisant cela, nous ne considèrerions pas l’impact des corrélations entre les supports. Aussi si nous voulons que les deux méthodes restent comparables, il faut introduire également l ‘impact des corrélations dans la méthode déterministe.

Pour cela on considère, comme précédemment le portefeuille ∑=

=m

j

jtjt SnA

1

. , on

calcule sa volatilité v , et on considère que c’est la valeur du portefeuille qui chute selon le scénario choisi, avec comme paramètre la volatilité du portefeuille. Comme nous l’avons dit, cela revient à se ramener au cas du contrat investi sur un actif risqué et un actif sans risque. Ayant déjà étudié ce cas, nous nous contenterons d’étudier l’impact des corrélations entre les supports risqués sur les engagements. Pour cette étude, nous prendrons l’exemple d’un contrat investi sur deux supports risqués de même volatilité et de même valeur et dans les mêmes proportions à la date d’évaluation. Nous ne comparerons pas les deux méthodes car les corrélations agissent sur la volatilité que nous allons utiliser pour évaluer les provisions, et nous avons déjà étudié l’influence de la volatilité dans les deux méthodes. L’engagement de l’assuré ne dépendant que de la PM, et étant calculé par la méthode déterministe, dépendra lui aussi des corrélations puisque l’évolution du portefeuille d’uc risqués dépendra de la volatilité du portefeuille et donc des corrélations entre les supports.

- 47 -

Provisions en fonction de la corrélation entre les supports ?� Méthodes des Puts Age -0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 1 25 -2,11% -1,57% -1,04% -0,57% -0,15% 0,22% 0,66% 30 -2,00% -1,42% -0,86% -0,37% 0,06% 0,44% 0,90% 35 -1,87% -1,24% -0,66% -0,16% 0,27% 0,66% 1,13% 40 -1,72% -1,05% -0,46% 0,04% 0,47% 0,86% 1,33% 45 -1,54% -0,85% -0,27% 0,22% 0,65% 1,03% 1,49% 50 -1,33% -0,64% -0,09% 0,38% 0,78% 1,14% 1,57% 55 -1,10% -0,44% 0,06% 0,48% 0,85% 1,17% 1,56% 60 -0,84% -0,26% 0,17% 0,52% 0,83% 1,10% 1,43% 65 -0,54% -0,10% 0,21% 0,47% 0,69% 0,89% 1,12% 70 -0,23% 0,00% 0,16% 0,29% 0,41% 0,51% 0,62%

?� Méthode déterministe

Age -0,9 -0,6 -0,3 0 0,3 0,6 1 25 0,74% 0,92% 1,03% 1,12% 1,20% 1,28% 1,36% 30 0,84% 1,04% 1,17% 1,27% 1,36% 1,44% 1,53% 35 0,91% 1,13% 1,27% 1,38% 1,48% 1,56% 1,67% 40 0,94% 1,17% 1,33% 1,45% 1,55% 1,65% 1,76% 45 0,91% 1,16% 1,32% 1,46% 1,57% 1,67% 1,79% 50 0,82% 1,08% 1,26% 1,40% 1,52% 1,62% 1,75% 55 0,67% 0,94% 1,12% 1,26% 1,38% 1,49% 1,62% 60 0,47% 0,74% 0,91% 1,05% 1,16% 1,27% 1,39% 65 0,25% 0,48% 0,63% 0,75% 0,85% 0,94% 1,05% 70 0,06% 0,20% 0,29% 0,37% 0,43% 0,48% 0,55%

- 48 -

On constate, d’une part, que quelle que soit la méthode, plus la corrélation entre les supports est grande, plus la provision augmente, car la hausse de la corrélation induit une hausse de la volatilité et donc une hausse des engagements de l’assureur et une baisse des engagements de l’assuré. Cependant, on voit aisément que la méthode déterministe est moins sensible aux hypothèses de volatilité que la méthode des puts, ce que nous avions déjà établi dans la première partie. Le graphique suivant l’illustre.

Nous ne l’illustrons pas ici, mais l’effet des corrélations diminue lorsque la part en euro augmente. En effet la part de supports risqués diminuant, l’effet volatilité diminue.

Engagement ( ro = 1) - Engagement ( ro = - 0.9)

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

25 35 45 55 65 75

Age

Diff

éren

ce B&S

Déterministe

- 49 -

Conclusion En approximant la dynamique du portefeuille de supports risqués par une dynamique lognormale plutôt que de considérer chaque support individuellement, nous faisons une hypothèse importante. Effectivement cela nous amène à considérer les supports de type obligataire comme des actions alors que les formules d’évaluation d’options sur obligations sont différentes de celles que nous avons vu. Nous aurions également pu considérer que chaque support a une dynamique lognormale. Mais comme nous allons le voir, vu le nombre de supports important et la multitude de profils que peut proposer une compagnie d’assurance, il serait difficile de descendre à ce niveau de détail, si on veut mettre en place des outils d’évaluation des provisions relativement rapides et uniformes. Dans ce type de contrat, en plus des paramètres qui comptaient déjà comme nous l’avons vu en 1.1, il faut également considérer l’importance de la part en euro, qui réduit beaucoup le risque futur sur le contrat du fait de la réduction de la part en uc et de la revalorisation au taux sans risque. Les corrélations entre les supports risqués du contrats ont également leur importance puisqu’elles vont jouer sur la volatilité que l’on utilise pour se projeter. Selon la méthode utilisée, elles ont plus ou moins d’impact, selon l’influence de la volatilité dans la méthode. Les deux méthodes étant basées sur la volatilité des supports, il faut estimer correctement ce paramètre comme nous l’avons plus particulièrement souligné pour la méthode des puts car c’est là qu’elle a le plus d’influence. Comme nous avons choisi une estimation par la volatilité historique, se pose le problème des nouveaux supports pour lesquels le recul n’est pas suffisant pour estimer la volatilité correctement par cette méthode. Aucune méthode ne donne systématiquement un montant supérieur à l’autre, nous avons vu dans la première partie que cela dépendait du rapport entre le plancher et la PM du contrat ( ie du signe et du montant du capital sous risque ), et dans la deuxième partie que la part en euro pouvait également avoir une influence là dessus lorsque ce rapport est autour de 1. Au vu de tout cela, nous pouvons maintenant nous intéresser à la mise en pratique sur un portefeuille d’une compagnie d’assurance, en l’occurrence ici Axa.

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2. Application à un portefeuille d’assurance 2.1 Etude du portefeuille Le portefeuille étudié fait partie du périmètre Axa France Vie. Il compte 64 produits répartis sur deux systèmes de gestion. 2.1.1 Les caractéristiques Les garanties proposées Les garanties citées ici sont des garanties en cas de décès. On compte trois clauses de garantie plancher présentes sur le portefeuille. ?� Le cumul de primes versées : représente 98% du nombre de contrats en cours. ?� La garantie majorée : 1% ?� Valorisation de la PM en uc sur la base de la valeur de part à la souscription : 1% Les supports sous-jacents Il ne s’agit pas ici de détailler les supports proposés, mais plutôt de donner un ordre d’idée du nombre de supports et des profils de risque de ses supports. Pour cela nous faisons un regroupement selon les quatre groupes suivants : ?� Euro ?� Actions ?� Immobilier ?� Obligataire Parmi ces supports, certains sont des fonds profilés, ie regroupent différents types de supports dans un souci de diversification et de réduction du risque, et donc sont mis dans le groupe adéquat suivant le type majoritaire. On dénombre au total 150 supports différents.

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2.1.2 Quelques chiffres Etude du Portefeuille par âge L’étude des méthodes de provisionnement a permis de mettre en évidence les profils de contrats qui sont les plus coûteux en terme de provision, à savoir un assuré entre 55 et 65 ans, la répartition du contrat selon support risqué/support non risqué, le rapport entre le plancher et la PM. Bien qu’on ne puisse pas considérer de compensation entre différents produits, les graphiques suivants peuvent donner une idée générale de la répartition du risque du portefeuille. Les chiffres sont donnés à fin juin 2003. ?� Répartition par âge des provisions mathématiques Les contrats ayant une garantie plancher sur le portefeuille totalisent une provision mathématique globale d’à peu près 17 Milliards d’euros au 31 Juin 2003, avec la répartition selon les âges suivante.

Montants en Millions d'euro

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Age des assurés

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Les âges compris entre 55 et 70 ans ont les plus fortes PM, représentant 43% de la provision mathématique globale. ?� Répartition par âge des capitaux sous risque positifs

Les âges les plus en risque sont compris entre 55 et 70 ans.

Montants en Millions d'euro

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Age des assurés

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2.2 Mise en oeuvre Contrairement à d’autres types de provisions, ici le calcul doit être effectué contrat par contrat, ce qui est très contraignant. En effet on compte 1,3 Millions de contrats sur le périmètre. Le choix de la table de mortalité a une importance certaine dans le calcul de la provision. L’utilisation de la TV 88/90 ne semble pas non prudent. En effet la garantie plancher étant obligatoire, cela en fait une garantie annexe, et donc la garantie vie reste prépondérante. 2.2.1 Hypothèses Les hypothèses recommandées par la CCA ?� Pour la méthode déterministe Un scénario basé sur une baisse annuelle progressive des cours de 15% de la volatilité et limitée à 50% de celle-ci, comme nous l’avons précisé dans la partie provisionnement. ?� Pour la méthode de valorisation par des puts - Utilisation de la méthode de Black & Scholes - Un taux sans risque égale à 60% du TME - Une volatilité minimum de 20% pour les actions et 10% pour les obligations et

l’immobilier. Hypothèses de base retenues pour les simulations Il aurait été irréaliste, vu la durée de l’engagement, de supposer que tous les assurés restent jusqu’au terme de leur contrat. Aussi avons nous choisi d’intégrer des lois de chute dans les simulations, ce qui a permis d’en mesurer l’impact qui n’est pas négligeable. Autant il est prudent de provisionner le risque de la garantie plancher, autant en terme de résultat il est réaliste d’intégrer les lois de chute qui permettent de diminuer l’engagement de l’assureur.

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Les hypothèses - Engagements calculés sur 30 ans au maximum - Volatilités : actions 20%, immobilier et obligations 10% - Corrélations : 0.9 entre tous les supports. les corrélations retenues sont bien au

dessus des corrélations qui ont été estimées par la suite. - Lois de chutes : 5% jusqu’à la 7ème année, 8% jusqu’à la 14ème année, puis 15% au

delà. C’est une hypothèse prudente et bien en deçà des chutes constatées. - L’engagement de l’assuré est le même dans les deux cas, et calculé par la méthode

déterministe. - Taux sans risque 2.5%, correspond à 60% du TME. 2.2.2 Les données nécessaires La CCA ayant proposé de provisionner le maximum des montants obtenus selon les deux méthodes, le programme mis en place calcule ces deux estimations. La table en entrée doit donc comporter les informations suivantes : - L’âge de l’assuré - La date d’effet du contrat - La date d’échéance de la garantie

en limitant le nombre maximum d’années de projection à trente - Le montant du plancher - La valeur du contrat à la date d’évaluation - La répartition par type de support ( euro-uc-devise)

la catégorie uc regroupant les actions, l’immobilier et les obligations - Le taux de frais de gestion annuel - La volatilité du portefeuille d’uc risqués - Le taux de prélèvement annuel au titre de la garantie plancher Certains produits, généralement les plus récents, peuvent avoir plusieurs générations de garantie plancher, changeant ainsi parfois le montant garanti, mais le plus souvent le taux de prélèvement au titre de la garantie plancher.

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Nous illustrerons les résultats obtenus de façon théorique par les provisions obtenues Sur un produit du périmètre étudié. 2.2.3 Résultats sur un produit du périmètre Le produit cité en exemple est un produit non tarifé, la garantie plancher est limitée à 70 ans. Le montant garanti est égal à la somme des versements brut diminué des rachats partiels. Déterministe Méthode des

Puts

Hypothèses de base 1.3 1.2

Lois de chute limitées à 10% au delà de 15 ans 1.4 1.3

Deux tiers des lois de chute 2.9 2.8

Sans loi de chute 3.67 3.55

On peut voir l’impact non négligeable des lois de chute. Ne pas les intégrer reviendrait à surestimer très largement le montant de la provision. Déterministe Méthode des

Puts

Hypothèses de base 1.3 1.2

Toutes les volatilités à 20% 1.31 1.23

Montants en Millions d’euro On voit là que la méthode des puts est plus sensible à la volatilité, comme nous l’avions vu dans la partie théorique.

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Pour ce produit, la méthode déterministe donne toujours un montant de provision plus élevé que la méthode des Puts. Voyons si les caractéristique du portefeuille viennent confirmer les conclusions auxquelles nous étions arrivés dans la partie théorique. ?� Répartition uc/euro

� ≤ 50% 50%< �≤ 60% 60%< � ≤ 70% 70%< � ≤ 80% 80%< � ≤ 90% 90%< �≤ 100%

50% 5% 3% 2% 1% 39%

?� Rapport CPV/PM

≤1 1<. ≤1.2 1.2< .≤1.4 1.4<.≤1.6 1.6<.≤1.8 1.8<.≤2 2<.≤2.5 42% 32% 11% 6% 3% 2% 3%

Il faudrait regarder plus précisément pour chacune des classes de répartition entre la PM en euro et la PM en uc, mais on peut déjà avoir une idée de la différence entre les deux méthodes. Au global le portefeuille est en risque, et on constate que la méthode déterministe donne un montant de provision plus élevé que la méthode de puts. Le portefeuille , n’a pas un profil particulièrement risqué, ce qui explique les montants relativement peu élevés trouvés pour les provisions, considérant que la garantie plancher n’est pas tarifée. De plus une majorité des contrats ont une part en euro sur leurs comptes, la moitié sont à 50-50. Ce qui tend à limiter la différence entre les montants donnés par les deux méthodes. Ce sont des constats qui ont été faits sur la plupart des produits qui ont été étudiés. Bien sûr on ne peut pas les appliquer dans toutes les situations, car il s’agit de la compensation entre chaque contrat, chacun avec son profil de risque, et son montant de capitaux sous risque. Aussi serait-il ardu de descendre au plus fin. Cependant ces outils permettent d’avoir une idée générale, selon le profil du portefeuille, de la méthode qui donne le montant le plus élevé.

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2.3 Un moyen de suivi du risque Nous avons pu voir à travers les méthodes de provisionnement de la garantie plancher, les paramètres qui contribuaient à augmenter le risque. Cependant la provision se calcule contrat par contrat, alors que nous cherchons un moyen d’avoir une vision globale du risque à un moment t donné pour un produit donné. Dans cette optique, deux types de tableaux de bord seront mis en place : - Le premier donnant une vision complète sur une période donnée de l’ensemble

des produits AXA France Vie. - Le deuxième donnant une vision historique par produit, en reprenant

chronologiquement les résultats du premier type de tableau. Le périmètre complet compte au total 180 produits, répartis sur six systèmes de gestion, d’où la nécessité d’avoir une vision la plus synthétique et la plus homogène possible. L’intérêt étant à terme d’avoir une vision historique produit par produit, sur les indicateurs qui auront été définis. Considérons un produit proposant plusieurs supports assez différents en terme de volatilité les uns des autres, deux assurés différents peuvent avoir des portefeuilles assez différents pour que le critère de volatilité ne soit plus intéressant si on fait un regroupement. Aussi, bien qu’en terme d’évaluation du risque la volatilité soit importante, ici nous la mettrons de côté. D’autant plus que ce n’est pas une variable observable. Nous avons pu voir que le signe des capitaux sous risque du contrat avait une grande importance dans l’évaluation du risque. La variable capital sous risque est d’autant plus intéressante qu’elle peut être calculée rapidement et à n’importe quel moment. Il ne faut pas considérer de compensation entre contrat. Si nous voulons avoir la vision par catégorie d’âge et par niveau de risque ( CPV/PM ), il devient difficile d’obtenir une vision globale produit par produit. Le capital sous risque calculé à une date t donnée reflète la situation du contrat uniquement à ce moment précis. Du fait du caractère volatile des uc, ce capital sous risque aura changé le lendemain. Aussi il ne serait pas avisé de ne le considérer qu’à un seul moment donné. On se propose de faire une moyenne des capitaux sous risque sur l’année écoulée. Le mieux serait de pouvoir la faire sur le maximum

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d’observations possibles, mais il y a la contrainte du volume de calcul et de la disponibilité de l’information dans les systèmes d’information. Nous avons choisi une périodicité trimestrielle, et le calcul du capital sous risque positif moyen sur les quatre observations trimestrielles de l’année. Les indicateurs choisis ?� Le capital sous risque moyen sur une année glissante Les capitaux sous risque sont calculés contrats par contrat, et sommés par produit. Si le calcul est effectué au 31.mm,

{ } { } { } { }∑

+−

+−

+−

+ ++++++

=+

−+

−+

−+

Assurés CSRCSRCSRCSR

mmmmmmmmproduit

mmmmmmmm

CSRCSRCSRCSRCSR12.318.314.31.31

111112.318.314.31.31

?� Les coûts estimés de garantie plancher sur l’année écoulée Avec ce montant de capitaux sous risque, on peut calculer une estimation de ce qu’aurait pu être les sommes versées au titre de la garantie plancher sur l’année écoulée en multipliant le capital sous risque moyen pour un assuré par sa probabilité de décès dans l’année sur l’année écoulée, en utilisant la TD et la TV88/90.

{ } { } { } { }annéel' dans décès de éprobabilit

1111estiméCoût

12.318.314.31.31

12.318.314.31.31 ×++++++

= ∑+

−+

−+

−+

+−

+−

+−

+

Assurés CSRCSRCSRCSR

mmmmmmmm

mmmmmmmm

CSRCSRCSRCSR

?� Le coût réel de la garantie plancher sur la période étudiée Ce coût estimé peut être rapporté au coût réel de la garantie plancher calculé par produit, à partir des systèmes de gestion. Rapprocher le coût estimé du coût réel ne peut se faire qu’au global, puisque dans cette estimation il y a la notion de mutualisation des décès. ?� Le cumul des prélèvements au titre de la garantie plancher Les frais n’apparaissant pas explicitement dans les systèmes de gestion, il faut essayer pour chaque produit de les modéliser le plus fidèlement possible sur les

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données disponibles dans les systèmes d’information. Il n’y a donc pas de formule explicite pour cet indicateur. Le mode de prélèvement est fonction du produit, et de la génération de garantie plancher. Sur les anciens produits les générations ne sont généralement pas nombreuses, ce qui n’est pas le cas sur les produits les plus récents. Lorsqu’un tarif est prélevé, rapporter le coût réel et le coût estimés aux prélèvements effectués au titre de la garantie plancher permettra de voir si le tarif prélevé est suffisant. Ces tableaux de bord permettront régulièrement de voir l’exposition du portefeuille, et de suivre le risque sur chaque produit. Permettant ainsi éventuellement de revoir le tarif, lorsqu’il y en a un, ou encore de modifier la clause de garantie plancher lorsque celle ci s’avère bien trop coûteuse pour la compagnie. En fonction de l’historique d’un produit, de la situation actuelle des capitaux sous risque sur le produit et de la tendance des marchés financiers, ces tableaux de bord peuvent également permettre de décider si il serait intéressant de faire appel à la réassurance. Effectivement, le risque induit par l’accord de la garantie n’étant pas sous le contrôle de la compagnie, faire appel à la réassurance permet, en cas de marché à la baisse de limiter les pertes à la baisse. Il peuvent également indiquer si il faut revoir la tarification d’un produit.

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Conclusion Il est souvent fait le reproche à la méthode déterministe de ne pas prendre en compte la multiplicité des scénarii possibles, contrairement à l’approche stochastique. Nous avons vu cependant que les deux méthodes pouvaient évaluer les risques futurs de façon assez similaire, sauf dans certains cas dépendant de la situation du contrat à la date d ‘évaluation, et plus particulièrement du rapport qu’il existe entre l’épargne en compte du contrat et le montant garanti en cas de décès, et de la part du contrat investie en euro. Lorsque le contrat est totalement investi en unités de compte, les deux méthodes donnent des montants relativement similaires pour un rapport entre le plancher et l’épargne en compte qui se situe autour de 1. Plus ce rapport baisse, et plus la méthode des puts donnera un montant supérieur au montant de la méthodes déterministe, sauf si ce rapport est suffisamment petit pour que les deux méthodes donnent des montants nuls. A l’opposé, plus ce rapport sera élevé, plus la méthode déterministe tendra à donner un montant supérieur à la méthode des puts. L’introduction d’une part en euro aura comme effet d’augmenter la valeur du rapport pour laquelle les deux méthodes donnent des montants nuls, et ce faisant va également augmenter le seuil à partir duquel les tendances s’inversent. Vu le nombre souvent important de contrat, chacun avec son profil de risque et son rapport plancher/épargne, il est difficile de savoir quelle méthode donnera le montant le plus élevé. Cependant, il ressort de cette étude que l’on peut en avoir une idée en fonction du niveau de risque indiqué par son montant total de capitaux sous risque. Pour un produit dont la majorité des contrats sont sous risque risque, nous obtiendrons généralement un montant plus élevé à provisionner avec la méthode déterministe et inversement. Cette remarque permet de conforter le fait que le capital sous risque est un indicateur intéressant lorsqu’il s’agit de suivre l’exposition induit par la garantie plancher, en faisant ainsi l’axe principal des tableaux de bord tels que nous les avons définis. La vision historique présentée par ces tableaux de bord constituera certainement, à terme, un outil d’aide à la décision en matière de tarification ou de couverture de la garantie plancher performant.