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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA
GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Profesor: Mario J. Suazo
Intrucciones: Desarrolle los siguientes ejercicios en forma clara y ordenada, dejando en evidencialas resoluciones. Tenga presente que respuestas sin procedimiento no tendran ninguna validez.
1) Pruebe que
∫ ∞−∞
e−x2
dx =√π
2) Sea CR la mitad superior de |z| = R (R > 2), con orientacion positiva. Probar que:∣∣∣∣∫CR
2z2 − 1 dz
z4 + 5z2 + 4
∣∣∣∣ ≤ πR(2R2 + 1)
(R2 − 1)(R2 − 4)
3) Pruebe las igualdades ∫ ∞0
cosx2 dx =
∫ ∞0
senx2 dx =
√π
2√
2
Se llaman integrales de Fresnel, al aplicar el Teorema de Cauchy a la funcion f(z) = e−z2
a lo largo
de la frontera del sector 0 ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ π
4.
4) Pruebe la integral de Dirichlet ∫ ∞0
senx
xdx =
π
2
si integras f(z) =eiz
za los largo del conjunto r ≤ |z| ≤ R, 0 ≤ argz ≤ π.
Para todos los ejercicios, justifique los pasos usados para llegar a la respuesta.
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