Pruebas de Bondad de Ajuste para C opulas · Pruebas de Bondad de Ajuste para C opulas Julieth Ver onica Guar n Escudero Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar

Pruebas de Bondad de Ajuste para Copulas

Julieth Veronica Guarın Escudero

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica

Medellın, Colombia

2016

Pruebas de Bondad de Ajuste para Copulas

Julieth Veronica Guarın Escudero

Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Magister en Ciencias Estadıstica

Director:

Mario Cesar Jaramillo Elorza, Ph.D. en Estadıstica

Lıneas de Investigacion:

Estadıstica industrial

Grupos de Investigacion:

Estadıstica industrial

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Estadıstica

Medellın, Colombia

2016

Quiero agradecer especialmente a mi familia,

mis hermanos y mis padres, a quienes dedico

esta tesis, gracias por su apoyo incondicional,

por animarme siempre a seguir adelante y por

estar ahı para mı en todo momento. A mis ami-

gos y companeros del pregrado y maestrıa por

acompanarme en este proceso. A las personas

que conocı durante esta etapa de mi vida que

son y seran siempre mis amigos y que se con-

virtieron en un gran apoyo para mı. Al profesor

Mario cesar Jaramillo por su paciencia.

Agradecimientos

Los autores agradecen de manera especial el apoyo financiero de la convocatoria del progra-

ma nacional de apoyo a estudiantes de posgrado para el fortalecimiento de la investigacion,

creacion e innovacion de la Universidad Nacional de Colombia 2013-2015, como parte del

proyecto de investigacion “Comparacion de pruebas de Bondad de Ajuste Utilizadas para

Seleccionar una Copula Adecuada” Codigo: 29604.

Quiero dar un agradecimiento especial al profesor Mario Cesar Jaramillo por ser un gran

asesor, por su paciencia, disposicion y sus excelentes ensenanzas. Al profesor Carlos Mario

Lopera por su colaboracion y valiosos aportes a este trabajo.

ix

Resumen

Las copulas se han convertido en la actualidad en una herramienta muy fuerte para el

modelamiento de datos en los que la dependencia entre variables aleatorias existe y el su-

puesto de normalidad multivariada no se tiene. Las copulas han sido aplicadas en diversos

campos. En finanzas, las copulas son usadas en el modelado de activos y gestion de ries-

gos. En estudios biomedicos, las copulas son utilizadas en el modelamiento de tiempos de

eventos correlacionados y riesgos competitivos (Escarela, 2006). En ingenierıa, las copulas

son usadas en procesos de control multivariados y en el modelamiento hidrologico (Genest,

2007). Dicho esto el interes en modelar problemas multivariados que involucran variables

dependientes se generaliza en diversas areas, lo que convierte a esta metodologıa en una

forma conveniente de modelar la estructura de dependencia en distribuciones conjuntas de

variables aleatorias.

Sin embargo, en la practica no existe un metodo estandar para seleccionar una copula entre

una variedad de posibles modelos, por lo que la eleccion de una copula adecuada es uno

de los grandes retos al que se enfrenta el investigador. En este trabajo se pretende propor-

cionar un mecanismo de seleccion de una copula mediante pruebas de bondad de ajuste

analıticas y graficas, estimando el parametro de dependencia con metodos parametricos y

no parametricos y compararlos vıa simulacion.

Palabras clave: Copulas, Pruebas de bondad de ajuste, Dependencia

Abstract

Copulas have become a useful tool for modeling data in which the dependence between

random variables exists and there is not the multivariate normality assumption. The co-

pulas have been applied in various fields. In finance, copulas are used in the modeling of

asset and risk management. In biomedical studies, copulas are used in the modeling of the

correlation between lifetimes and competitive correlated events (Escarela, 2006) risks. In

engineering, copulas are used in multivariate process monitoring and hydrological mode-

ling (Genest, 2007). The interest in modeling multivariate problems involving dependent

variables is generalized in several areas, making this methodology in a convenient way to

model the dependence structure in the joint distributions of random variables. However, in

practice there is no standard method for selecting a copula between a variety of possible

models, so that the choice of an appropriate copula is one of the greatest challenges facing

the researcher. This paper aims to provide a mechanism for selecting a copula by testing

goodness of fit analysis and graphical methods, estimating the dependence parameter by

parametric and nonparametric methods and compare them via simulation.

Keywords: Copulas, Goodness of fit test, Dependence.

Contenido

Agradecimientos VII

Resumen IX

1. Introduccion 1

2. Marco Teorico 3

2.1. Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Teorema de Sklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3. Familia Elıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4. Familia Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5. τ de Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.1. Teorema: Propiedad de invarianza del τ de Kendall . . . . . . . . . 7

3. Metodos Graficos para Detectar Dependencia 9

3.1. χ-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2. K-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Graficos para detectar dependencia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4. Metodos Graficos Para Seleccionar una Copula Arquimediana 37

4.1. Estimacion del Parametro de Dependencia α . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Estimacion no Parametrica: Metodo de Genest y Rivest . . . . . . . 37

4.1.2. Estimacion Parametrica Usando Maxima Verosimilitud . . . . . . . 38

4.2. Pruebas Graficas de Bondad de Ajuste Para Copulas Arquimedianas . . . . 39

4.2.1. Aproximacion Usando la Funcion de Distribucion Condicional de

Y |X (Metodo grafico I): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2. Aproximacion Usando La Funcion de Distribucion de la Copula (Meto-

do grafico II): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.3. Aproximacion Usando Una Estimacion No Parametrica de la Funcion

de Distribucion de la Copula (Metodo grafico III): . . . . . . . . . . 40

4.3. Aproximacion Teorica de los Metodos Graficos de Bondad de Ajuste . . . . 41

4.3.1. Prueba de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

xii Contenido

5. Simulacion de los Metodos Graficos de Bondad de Ajuste 43

5.1. Simulacion Copula Clayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1. Copula Clayton Usando τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45



5.2. Simulacion Copula Gumbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2.1. Copula Gumbel Usando τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



5.3. Simulacion Copula Frank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.1. Copula Frank Usando τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85



6. Pruebas de Bondad de Ajuste de Vuong y Clarke 107

6.1. Prueba de Vuong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2. Prueba de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3. Simulacion en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3.1. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula Frank . . 115

6.3.2. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula Clayton . 116

6.3.3. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula Gumbel . 117

6.3.4. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula Joe . . . . 118

7. Conclusiones y Trabajos Futuros 119

A. Tablas Primeras y segundas derivadas de las familias copulas 121

B. Codigo Metodos Graficos para Detectar Dependencia 125

C. Codigo Pruebas Graficas de Bondad de Ajuste 129

D. Codigo Pruebas de Vuong y Clarke 151

Lista de Tablas

2-1. Forma de τ para diferentes copulas arquimedianas . . . . . . . . . . . . . . 6

3-1. Escenarios de Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5-1. Familias de Copulas de un Parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5-2. Estimacion de α para la copula Clayton, τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . 46

5-3. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Clayton

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5-4. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Clayton

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5-5. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Clayton

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5-6. Estimacion de α para la copula Clayton, τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . 52

5-7. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Clayton

con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5-8. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Clayton

con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5-9. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Clayton

con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5-10.Estimacion de α para la copula Clayton, τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . 59

5-11.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Clayton

con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5-12.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Clayton

con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5-13.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Clayton

con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5-14.Estimacion de α para la copula Gumbel, τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . 66

5-15.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Gumbel

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5-16.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Gumbel

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5-17.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Gumbel

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71


xiv Lista de Tablas


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77



con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5-26.Estimacion de α para la copula Frank, τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5-27.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Frank con

τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5-28.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Frank

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5-29.Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Frank

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98



τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6-1. Resultados prueba de Voung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6-2. Resultados prueba de Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6-3. Resultados pruebas de Voung y Clarke usando el paquete CDVine de R . . 114

6-4. Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Frank

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Lista de Tablas xv


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6-7. Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Clayton

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6-10.Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Gumbel

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6-13.Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Joe

con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

A-1. Primera derivada de las familias copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

A-2. Segunda derivada de las familias copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

A-3. Segunda derivada de las familias copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Lista de Graficas

3-1. Grafico de dispersion (izquierda), Chi-plot (centro) y K-plot (derecha) para

n = 20 usando la copula Clayton con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y

τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


n = 20 usando la copula Frank con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y

τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


n = 20 usando la copula Gausiana con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y

τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15


n = 20 usando la copula Gumbel con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y

τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


n = 20 usando la copula Joe con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y τ = 0.8

(abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3-10.Grafico de dispersion (izquierda), Chi-plot (centro) y K-plot (derecha) para


(abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

xviii Lista de Graficas



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


n = 100 usando la copula Joe con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio) y

τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33



τ = 0.8 (abajo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5-1. Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 47

5-2. Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud 47

5-3. Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 48

5-4. Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud 48

5-5. Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . 49

5-6. Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud 49

5-7. Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 53

5-8. Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud 53

5-9. Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 54

5-10.Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud 54

5-11.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . 55

5-12.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud 55

Lista de Graficas xix

5-13.Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 60

5-14.Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud 60

5-15.Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . . 61

5-16.Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud 61

5-17.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest . . 62

5-18.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud 62

5-19.Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest, Copu-

la Gumbel con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5-20.Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud,

Copula Gumbel con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5-21.Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest, Copu-

la Gumbel con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5-22.Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud,


5-23.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest,


5-24.Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimili-

tud, Copula Gumbel con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


la Gumbel con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73




la Gumbel con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74








la Gumbel con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80




la Gumbel con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81





xx Lista de Graficas




la Frank con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


Copula Frank con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


la Frank con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88






tud, Copula Frank con τ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


la Frank con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94




la Frank con τ = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95








la Frank con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101




la Frank con τ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102







1. Introduccion

Las funciones copula bidimensionales son funciones bivariadas que unen dos funciones de

distribucion univariadas para construir funciones de distribucion conjuntas. La copula re-

presenta una forma parametrica conveniente para modelar la estructura de dependencia en

distribuciones conjuntas de variables aleatorias (Escarela, 2003). Este concepto de copula

permite construir modelos que van mas alla de los estandares en el analisis de dependencia

entre variables estocasticas. La metodologıa de copula es capaz de capturar relaciones no

lineales y en particular permite relacionar eventos extremos que ocurren en la naturaleza

(Nelsen, 2006).

La palabra copula aparecio por primera vez empleada en un sentido matematico o estadısti-

co por Abe Sklar en 1959, esta teorıa inicia con el problema expuesto por Frechet sobre la

relacion entre una funcion de distribucion de probabilidad multidimensional y sus margi-

nales de menor dimension y que Sklar resolvio en el teorema que lleva su nombre, donde

define funciones que “unen” las funciones de distribucion marginales para formar funciones

de distribucion multivariantes (Nelsen, 2006). Fue Sklar quien establecio el concepto tal y

como lo conocemos en la actualidad y desarrollo gran parte de la teorıa con su teorema que

provee un camino para analizar variables aleatorias a partir de su distribucion conjunta,

sin estudiar las distribuciones marginales (Joe, 1997).

A pesar de esto el estudio de las copulas y sus apliaciones es un fenomeno moderno, incluso

la palabra copula era difıcil de localizar en la literatura estadıstica, la primera referencia en

el “Current Index to Statistics” para un artıculo usando la palabra “Copula” en el tıtulo o

como una palabra clave esta en el volumen 7 (1981) (artıculo de Schweizer y Wolff. 1981),

de hecho en los primeros 18 volumenes (1975-1992) del “Current Index to Statistics” solo

aparecen 8 referencias a documentos que citan la palabra copula. Durante los proximos 10

volumenes hay 71 referencias (1993-2002) (Nelsen, 2006).

Actualmente las copulas son una herramienta muy fuerte de modelamiento de datos en los

que la dependencia entre variables aleatorias es de interes. La mayorıa de sus aplicaciones

se han realizado en el campo financiero, sin embargo el uso de esta metodologıa se ha

generalizado en diversas areas como la ingenierıa, medicina, agronomıa, actuarıa entre

otras (Lopera et al., 2012).

Uno de los problemas que se enfrenta cuando se trabaja con copulas, es el de elegir la copula

que mejor captura la estructura de dependencia y que mejor se ajusta a los datos entre

2 1 Introduccion

una familia de copulas. En este trabajo, se presentan tres metodos graficos de bondad de

ajuste que representan una ayuda visual para seleccionar una copula adecuada, posterior-

mente, se usa la prueba analıtica de Kolmogorov-Smirnov para elegir un modelo adecuado,

ademas de esto, se exploran las pruebas teoricas de bondad de ajuste de Voung y Clarke.

Inicialmente, antes de realizar el proceso de ajuste y seleccion de un copula, se mide el

grado de dependencia entre las variables aleatorias. Existen pruebas graficas que permiten

medir el grado de dependencia. Entre ellas se encuentran los graficos Chi-Plot y K-Plot,

el primero fue propuesto inicialmente por Fisher (1985) y se ilustro de mejor manera en

Fisher (2001), el grafico K-Plot (Kendall Plot) fue propuesto por Genest (2003), ambas

metodologıas son una herramienta util para estudiar la dependencia entre dos variables

aleatorias.

En el capıtulo 2 se definen conceptos fundamentales usados en la teorıa de copulas tales

como el parametro de dependencia usado en este trabajo, las funciones copula usadas y

sus propiedades mas importantes. En el capıtulo 3 se exploraran algunos metodos graficos

para detectar dependencia entre dos variables aleatorias.

En el capıtulo 4 se muestran tres pruebas graficas de bondad de ajuste, estimando el

parametro de la copula con metodos parametricos y no parametricos y la aproximacion

teorica de los metodos graficos de bondad de ajuste usando la prueba de Kolmogorov-

Smirnov. En el capıtulo 5 se presentan los resultados obtenidos vıa simulacion de los meto-

dos expuestos en el capıtulo 4 usando R.

En el capıtulo 6, se presentan las pruebas teoricas de bondad de ajuste de Voung y Clarke

y su implementacion en R. Finalmente en el capıtulo 7 se muestran las conclusiones del

estudio y trabajos futuros.

2. Marco Teorico

A continuacion se presentan algunos conceptos importantes para el desarrollo de este tra-

bajo relacionados con familias copula, sus propiedades y el concepto de dependencia.

2.1. Copula

Sean X y Y variables aleatorias con funciones de distribucion marginales F (x) = P [X ≤ x]

y G (y) = P [Y ≤ y], respectivamente, y funcion de distribucion conjunta H (x, y) =

P [X ≤ x, Y ≤ y].

Ahora bien, al par de numeros (x, y) se le puede asociar tres numeros F (x), G (y) y H (x, y),

donde cada uno de ellos pertenece al intervalo [0, 1], es decir, a cada (x, y) le corresponde

un punto (F (x) , G (y)) en el espacio producto [0, 1] × [0, 1], y a este par ordenado le

corresponde un numero H (x, y) en [0, 1] (Nelsen, 2006).

C : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]

(F (x) , G (y))→ H (x, y)

Como se demuestra en Nelsen (2006), esta correspondencia, que asigna el valor de la funcion

de distribucion conjunta a cada par ordenado de los valores de las funciones de distribucion

marginales, es de hecho una funcion de distribucion (Jaramillo, 2014). Tales funciones son

copulas (Genest, 1986).

Una copula bivariada es una funcion C : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisface las siguientes

condiciones (Jianfei, 2004):

C(u, 1) = u;C(1, v) = v, u, v ∈ [0, 1] (2-1)

C(u, 0) = 0 = C(0, v)

Para todo u1, u2, v1, v2 ∈ [0, 1], tal que u1 ≤ u2 y v1 ≤ v2

VC ([u1, u2]× [v1, v2]) = C(u2, v2)− C(u2, v1)− C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0 (2-2)

4 2 Marco Teorico

2.2. Teorema de Sklar

Teorema 2.1. : Sea H una funcion de distribucion conjunta con marginales F y G. En-

tonces existe una copula C tal que para todo x, y ∈ <,

H (x, y) = C (F (x) , G (y))

Si F y G son continuas, entonces C es unica; en otro caso, C esta unicamente determinada

en RanF × RanG, donde RanF y RanG denotan el rango de F y G respectivamente.

Inversamente si C es una copula y F y G son funciones de distribucion, entonces la

funcion H es una funcion de distribucion conjunta con marginales F y G (Nelsen, 2006) .

Una demostracion del teorema de Sklar puede encontrarse en Schweizer (1983). Este teo-

rema establece que, en el contexto de parejas aleatorias continuas, es posible construir

una funcion de distribucion bivariada en terminos de dos funciones de distribucion conti-

nuas univariadas y una copula que permite relaciones de dependencia entre dos variables

aleatorias individuales.

2.3. Familia Elıptica

Esta familia de copulas esta caracterizada por compartir propiedades de la normal multi-

variada (Embrechts et al., 2001) tales como simetrıa, o el hecho de que la estructura de

dependencia este totalmente determinada por la matriz de correlacion, ademas facilitan

la obtencion de modelos multivariantes para extremos y otras formas de dependencia no

normales. Son de gran importancia en finanzas y manejo de riesgos por su facil implemen-

tacion.

Las copulas que pertenecen a esta familia estan asociadas a las distribuciones elıpticas por

el teorema de Sklar, como por ejemplo, las copulas Normales y t-Student. Sean F una

funcion de distribucion acumulada de una distribucion elıptica multivariada, Fi la funcion

de distribucion acumulada de la i-esima marginal y F−1i su respectiva funcion inversa,

i = 1, . . . , n (Jaramillo, 2014). La copula elıptica determinada por F es:

C (u1, u2, . . . , un) = F(F−1

1 (u1) , F−11 (u2) , . . . , F−1

1 (un))

Se llama copula elıptica bivariada a toda copula de la forma:

Cp (u, v) =1√

1− ρ2

∫ Φ−1g,1(u)

−∞

∫ Φ−1g,2(v)

−∞g

(x2 − 2ρxy + y2√

1− ρ2

)dxdy = H

(Φ−1g,1 (u) ,Φ−1

g,2 (v))

La cual es la distribucion conjunta de las variables X y Y, Φ−1g,1 (u), Φ−1

g,2 (v) son las respec-

tivas funciones cuantiles y ρ el coeficiente de correlacion entre X y Y.

2.4 Familia Arquimediana 5

La copula normal bivariada tiene la forma:

C(u, v) = ΦG

(Φ−1 (u) ,Φ−1 (v)

)=

∫ Φ−1(u)

−∞

∫ φ−1(v)

−∞

1

2π√

1− θ2exp

(− (x2 − 2θxy + y2)

2 (1− θ2)

)dxdy

donde Φ es la funcion de distribucion acumulada de la distribucion normal estandar,

ΦG (u, v) es la distribucion normal estandar bivariada, con parametro de dependencia θ

en (−1, 1) (Lopera et al., 2012).

Por otro lado, un ejemplo de una copula elıptica con dos parametros de dependencia, es la

distribucion t bivariada con w grados de libertad y correlacion ρ:

C (u, v) =

∫ t−1θ1

(u)

−∞

∫ t−1θ2

(v)

−∞

1

2π√

1− θ22

(1 +

x2 − 2θ2xy + y2

w (1− θ22)

)−(θ1+2)/2

donde t−1θ1

(u) denota la inversa de la funcion de distribucion acumulada de la distribucion

t univariada estandar con θ1 grados de libertad y t−1θ2

(v) denota la inversa de la c.d.f

de la distribucion t univariada estandar con θ2 grados de libertad. En este caso los dos

parametros de dependencia son (θ1, θ2), donde el parametro θ1 controla la pesadez de las

colas (Lopera et al., 2012).

2.4. Familia Arquimediana

Las copulas Arquimedianas no surgieron originalmente en la estadıstica, aparecieron en el

estudio de espacios metricos probabilısticos, donde fueron estudiadas como parte del desa-

rrollo de una version probabilıstica de la desigualdad triangular. La seleccion de esta familia

se debe a que se puede simular facilmente, ademas los calculos de medidas de dependencia

se simplifican, lo cual permite una mejor estimacion de los parametros (Jaramillo, 2014).

la distribucion multivariada de esta familia para n variables, esta representada por:

C (u1, . . . , un) = φ−1

[n∑i=1

φ (ui)

]donde φ es el generador de la copula C, para el caso de copulas bivariadas, la familia

arquimediana se representa por (Szego, 2002):

Cα (u, v) = φ−1α [φα (u) + φα (v)] , 0 ≤ u, v ≤ 1

donde φα se denomina el generador de la copula Cα, el cual es una funcion convexa y

decreciente tal que φα > 0. Ademas, su inversa φ−1α es la transformada de laplace de una

variable latente denotada τ , la cual induce la dependencia α. La siguiente tabla muestra

la forma del generador φ para las copulas mas comunes de la familia arquimediana y su

espacio parametral:

6 2 Marco Teorico

Familia Generador φα (t) φ′

α (t) τ = 1 + 4∫ 1

0φ(t)

φ′ (t)dt Espacio de τ

1 1α (t−α − 1) −t(−1−α) α

α+2 [−1, 1] \ 02 (1− t)α −

(α ∗ (1− t)(−1+α)

)1− 2

α [−1, 1]

3 ln(

1−α(1−t)t

)(−1+α)

(t−α∗t+α∗t2) 1 + 4

(−16α−((−1+α)2 log[1−α])

6α2

) [−0.181726, 13

]4 (− ln t)

αα(− log(t)α

t log(t)

)1− α−1 [0, 1]

5 − ln(e−αt−1e−α−1

)α

1−exp(αt) 1− 4α [D1 (−α)− 1] [−1, 1] \ 0

Donde D1 (α) := 1α

∫ α0

tet−1dt y D1(−α) = D1(α) + 1

2

6 − ln[1− (1− t)α] α(1−t)−1+α

−1+(1−t)α No tiene forma cerrada Discontinuidades

7 − ln[αt+ (1− α)] α−1+α−αt

2(−1+α)(α+log[1−α]−α log[1−α])α2 [−1, 0]

8 1−t1+(α−1)t − α

(1−t+αt)2−4+α3α [−1, 13 ]

9 ln(1− α ln t) − αt− αt

log(t)

No tiene forma cerrada Discontinua

10 ln(2t−α − 1) 2αt(−2+tα) No tiene forma cerrada Discontinua

11 ln(2− tα) αt−1+α

−2+tα No tiene forma cerrada Discontinua

12(1t − 1

)α −α(−1+ 1t )−1+α

t2 1− 23α

[13 , 1]

13 (1− ln t)α − 1 −α(1−log(t))

−1+α

t No tiene forma cerrada discontinua

14(t−1α − 1

)α (−1+t−( 1

α))α

t(−1+t

1α

) 1− 42+4α

[13 , 1]

15(

1− t 1α

)α−(t−1+

1α

(1− t 1

α

)−1+α)1 + 4

2−4α [−1, 1]

16(αt + 1

)(1− t) −1− α

t2 No tiene forma cerrada Discontinua

17 − ln(

(1+t)−α−12−α−1

)α(1+t)−1+α

1−(1+t)α No tiene forma cerrada Discontinua

18 eα

(t−1) −α exp( α−1+t )

(−1+t)2 1− 43α

[13 , 1]

19 eαt − eα −α exp(αt )

t2 No tiene forma cerrada Discontinua

20 exp (t−α)− e −(α exp (t−α) t−1−α

)No tiene forma cerrada Discontinua

Tabla 2-1.: Forma de τ para diferentes copulas arquimedianas

Teorema 2.2. Sea C una copula arquimediana generada por φ, de la forma: Cα (u, v) =

φ−1α [φα (u) + φα (v)]. Para cualquier t ∈ [0, 1], la copula C esta unicamente determina-

da por la funcion K(t) = t − φ(t)

φ′ (t)definida sobre el intervalo [0, 1] (Ver teorema 3.10 y

demostracion en De Matteis (2001)).

Teorema 2.3. :Sean U y V variables aleatorias uniformes cuya funcion de distribucion

conjunta es la copula arquimediana C generada por φ ∈ Ω. Entonces la funcion K dada en

el teorema 2.2 es la funcion de distribucion de la variable aleatoria C(U, V ) (De Matteis,

2001).

2.5 τ de Kendall 7

2.5. τ de Kendall

La version muestral de la medida de asociacion conocida como tau de Kendall esta definida

en terminos de concordancia, como sigue: Sea (x1, y1) , (x2, y2) , . . . , (xn, yn) denota una

muestra aleatoria de n observaciones de un vector (X, Y ) de variables aleatorias contınuas.

Hay(n2

)pares distintos (xi, yi) y (xj, yj) de observaciones en la muestra, y cada par es

concordante o discordante. Sea c el numero de pares concordantes y d el numero de pares

discordantes. Entonces el τ de Kendall para la muestra esta definido como (De Matteis,

2001):

τ =c− dc+ d

=(c− d)(

n2

) (2-3)

Conocido tambien como:

τ =

(n

2

)−1∑i<j

sign [(Xi −Xj) (Yi − Yj)] (2-4)

De manera equivalente, τ es la probabilidad de concordancia menos la probabilidad de dis-

cordancia para pares de observaciones (xi, yi) y (xj, yj) que es seleccionada aleatoriamente

de la muestra. Otra version del τ de Kendall para un vector aleatorio continuo (X, Y )

con funcion de distribucion conjunta H esta definida similarmente. Sea (X1, Y1) y (X2, Y2)

vectores aleatorios independientes e identicamente distribuidos cada uno con funcion de

distribucion conjunta H . Entonces el τ de Kendall esta definido como la probabilidad de

concordancia menos la probabilidad de discordancia (Nelsen, 2006):

τ = τX,Y = P [(X1 −X2) (Y1 − Y2) > 0]− P [(X1 −X2) (Y1 − Y2) < 0]

2.5.1. Teorema: Propiedad de invarianza del τ de Kendall

Teorema 2.4. : Sean (X1, Y1) y (X2, Y2) dos variables aleatorias bivariadas independientes,

cada una con la distribucion bivariada comun de (X, Y ), y sean g y h dos funciones reales

crecientes, entonces τ [g (X) , h (Y )] = τ (X, Y ). En Joe (1997) puede verse la prueba de

este teorema.

3. Metodos Graficos para Detectar

Dependencia

En esta seccion se definen dos metodos graficos para detectar dependencia, llamados Chi-

Plot y K-plot, que resultan ser una herramienta muy util al momento de realizar un analisis

previo sobre la dependencia funcional de dos variables aleatorias.

3.1. χ-Plot

El grafico Chi-Plot fue propuesto inicialmente por Fisher (1985). Su construccion esta

basada en el estadıstico Chi-cuadrado para independencia. Sea (X1, Y1) , . . . , (Xn, Yn) una

muestra aleatoria bivariada de una funcion de distribucion conjunta y continua, H (X, Y ),

y sea I (A) la funcion indicadora del evento A. Para cada observacion (xi, yi) se desarrolla

el siguiente procedimiento (Moreno, 2012):

Hi =1

n− 1

∑j 6=i

I (Xj ≤ Xi, Yj ≤ Yi)

Fi =1

n− 1

∑j 6=i

I (Xj ≤ Xi)

Gi =1

n− 1

∑j 6=i

I (Yj ≤ Yi)

Ninguna de estas cantidades dependen exclusivamente de los rangos de las observaciones,

Fisher (1985) proponen graficar los pares (λi, χi), donde:

χi =Hi − FiGi√

Fi (1− Fi)Gi (1−Gi),

λi = 4 sign(FiGi

)max

(F 2i , G

2i

),

y Fi = Fi − 1/2, Gi = Gi − 1/2 para i ∈ 1, . . . , nλi es una medida de distancia de la observacion (Xi, Yi) al centro de los datos (Moreno,

2012).

10 3 Metodos Graficos para Detectar Dependencia

segun Del Rio (2007) todos los valores de λi deben estar en el intervalo [−1, 1]. El Chi-Plot

es una grafico de dispersion de los pares (λi, χi) , i = 1, . . . , n.

Al observar el grafico Chi-Plot, si los datos constituyen una muestra bivariada con margi-

narles continuas independientes, los valores de λi estaran distribuidos uniformemente en el

grafico. Sin embargo, si X y Y estan asociados, los valores de λi se mostraran formando

grupos, en particular, valores positivos de λi indican que Xi y Yi son relativamente grandes

o pequenos (al mismo tiempo) en relacion a sus medianas, mientras que si los valores de λison negativos, corresponde a que Xi and Yi estan ubicados en lados opuestos con respecto

a sus medianas (Del Rio, 2007).

Las lıneas horizontales del grafico estan dadas por χ = −cp/n1/2 y χ = cp/n1/2, donde cp

se selecciona de manera que aproximadamente el 100p% de los pares (λi, χi) esten entre

las dos lıneas horizontales. Para p = 0.90, 0.95, 0.99 los valores de cp son 1.54, 1.78 y

2.18 respectivamente (Fisher, 2001). Usando el metodo Monte Carlo se pueden calcular

otros valores. Tambien se recomienda representar solamente los pares para los que |λi| <4(

1n−1− 1

2

)2, con el fin de evitar observaciones enganosas (Del Rio, 2007).

3.2. K-Plot

El K-plot (Kendall-plot) fue creado por Genest (2003). Esta herramienta se construye

sobre los rangos de las observaciones usando la transformacion integral de probabilidades

multivariadas, produciendo un grafico similar al Q-Q plot convencional (Del Rio, 2007).

Sea (X1, Y1) , . . . , (Xn, Yn) una muestra aleatoria de una funcion de distribucion conjunta

y continua, H (X, Y ). Para construir el grafico K-Plot se procede de la siguiente manera:

1. Para cada 1 ≤ i ≤ n calcule Hi (como en el grafico Chi-Plot).

2. Ordene los valores de Hi de manera que H(1) ≤ · · · ≤ H(n).

3. Grafique los pares(Wi:n, H(i)

), donde Wi:n es la esperanza del i-esimo estadıstico de

orden en una muestra de tamano n, los cuales se calculan como:

Wi:n = n

(n− 1

i− 1

)∫ 1

0

w [K0 (w)]i−1 [1−K0 (w)]n−i dK0 (w)

con

K0 (w) = w − w log (w) 0 ≤ w ≤ 1

Finalmente se realiza un gafico de puntos de H(i) contra Wi:n. A medida que los

puntos se alejan de la diagonal, se asume dependencia funcional entre las dos variables

aleatorias (Moreno, 2012).

3.3 Graficos para detectar dependencia en R 11

3.3. Graficos para detectar dependencia en R

En esta seccion se presenta una simulacion para evaluar el efecto de algunos factores

que pueden afectar el desempeno de los graficos de dependencia tales como: el nivel

de dependencia, el tamano de muestra y la copula empleada para construir la funcion

bivariada. La implementacion de los graficos Chi-plot y K-plot se realizo usando el

paquete CDVine de R.

El alcance del estudio pretende abarcar varios escenarios, donde se compara el grafico

de dispersion con el Chi-Plot y K-plot, variando el tamano de muestra en 20, 50, 100

y 200 datos, considerando varios valores del parametro de dependencia (τ de Kendall)

en 0.3, 0.5 y 0.8. Ademas en la simulacion de los datos se usaron las copulas Clayton,

Frank, Gausiana, Gumbel y Joe.

En total se tienen 60 escenarios de simulacion que estan resumidos en la siguiente

tabla:


Copula τ n Copula τ n

Clayton 0.3 20 Clayton 0.3 50



Frank 0.3 20 Frank 0.3 50



Gaussiana 0.3 20 Gaussiana 0.3 50



Gumbel 0.3 20 Gumbel 0.3 50



Joe 0.3 20 Joe 0.3 50

Joe 0.5 20 Joe 0.5 50

Joe 0.8 20 Joe 0.8 50




Frank 0.3 100 Frank 0.3 200

Frank 0.5 100 Frank 0.5 200

Frank 0.8 100 Frank 0.8 200







Joe 0.3 100 Joe 0.3 200

Joe 0.5 100 Joe 0.5 200

Joe 0.8 100 Joe 0.8 200

Tabla 3-1.: Escenarios de Simulacion


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

Grafica 3-1.: Grafico de dispersion (izquierda), Chi-plot (centro) y K-plot (derecha) para


τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



(abajo)

En este caso, con n = 20, el comportamiento de los graficos para detectar dependencia

es similar en todas las copulas simuladas. Cuando tenemos τ = 0.3, los graficos Chi-

Plot y K-plot proporcionan resultados similares al grafico que tradicionalmente se usa:

el grafico de dispersion. En este caso los tres graficos no logran detectar dependencia

entre las variables. Cuando se empieza a aumentar el parametro de dependencia τ en

0.5 y 0.8, nuevamente los tres graficos se comportan de manera similar, todos logran

detectar dicha dependencia entre las variables para todas las copulas simuladas. En

el caso del grafico Chi-plot con τ = 0.5 y τ = 0.8 la mayorıa de los puntos caen por

fuera de las bandas en todas las copulas simuladas, lo que indica una dependencia

clara entre las variables. En el caso del grafico K-plot, para τ = 0.5 y τ = 0.8 los

puntos se alejan consistentemente de la diagonal, lo que indica dependencia.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



(abajo)


En este caso, con n = 50, cuando tenemos τ = 0.3, los graficos Chi-Plot y K-plot

proporcionan resultados un poco diferentes que en el caso anterior con n = 20, en este

caso con las copulas Clayton, Frank, Gumbel y Joe en el grafico Chi-plot alrededor

de la mitad de los puntos quedan por fuera de las bandas y alrededor de la mitad de

los datos quedan dentro de las bandas esto quiza da indicios de una dependencia baja

entre las variables aleatorias. En el grafico K-plot para las copulas Clayton y Gausiana

no se logra detectar dependencia entre las variables pues los puntos se acercan mucho

a la diagonal. En el caso de las copulas Frank, Gumbel y Joe se observa que al inicio,

los puntos estan cerca de la diagonal pero se van alejando consistentemente lo que

serıa un indicio de dependencia baja entre las variables. Con τ = 0.3 el grafico de

dispersion no detecta dependencia entre las variables en ninguno de los casos.

Cuando se empieza a aumentar el parametro de dependencia τ en 0.5 y 0.8, nueva-

mente los tres graficos se comportan de manera similar, todos logran detectar dicha

dependencia entre las variables para todas las copulas simuladas. En el caso del grafi-

co Chi-plot con τ = 0.5 y τ = 0.8 la mayorıa de los puntos caen por fuera de las

bandas en todas las copulas simuladas, lo que indica una dependencia clara entre las

variables. En el caso del grafico K-plot, para τ = 0.5 y τ = 0.8 los puntos se alejan

consistentemente de la diagonal, lo que indica dependencia.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H


n = 100 usando la copula Gausiana con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio)

y τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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u1

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


En este caso, con n = 100, en todas las copulas simuladas el grafico Chi-plot con

τ = 0.3 alrededor de la mitad de los puntos quedan por fuera de las bandas y

alrededor de la mitad de los datos quedan dentro de las bandas esto quiza da indicios

de una dependencia baja entre las variables aleatorias. En el grafico K-plot para la

copula Clayton no se logra detectar dependencia entre las variables pues los puntos

se acercan mucho a la diagonal. En el caso de las copulas Frank, Gumbel, Gausiana y

Joe se observa que al inicio, los puntos estan cerca de la diagonal pero se van alejando

consistentemente lo que serıa un indicio de dependencia baja entre las variables. Con

τ = 0.3 el grafico de dispersion no detecta dependencia entre las variables en ninguno

de los casos.









0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

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W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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0.6

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u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

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0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

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u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

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0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

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0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

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W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

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0.6

0.8

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H


n = 200 usando la copula Gausiana con τ = 0.3 (arriba), τ = 0.5 (medio)

y τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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0.0

0.5

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λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

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0.0

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λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

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0.8

1.0

W1:n

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

u1

u2

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

λ

χ

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W1:n

H



τ = 0.8 (abajo)


En este caso, con n = 200, en la copula Joe el grafico Chi-plot con τ = 0.3 alrededor

de la mitad de los puntos quedan por fuera de las bandas y alrededor de la mitad de

los datos quedan dentro de las bandas esto quiza da indicios de una dependencia baja

entre las variables aleatorias, con las copulas Clayton, Frank, Gumbel y Gausiana el

grafico Chi-plot logra detectar la dependencia entre las variables pues la mayorıa de

los puntos caen por fuera de las bandas. En el grafico K-plot con todas las copulas

simuladas se observa que al inicio, los puntos estan cerca de la diagonal pero se

van alejando consistentemente lo que serıa un indicio de dependencia baja entre las

variables. Con τ = 0.3 el grafico de dispersion no detecta dependencia entre las

variables en ninguno de los casos, lo que convierte a los graficos Chi-Plot y K-plot

en una buena alternativa para detectar dependencia cuando n es grande pues logra

detectarla aun cuando es baja.








4. Metodos Graficos Para Seleccionar

una Copula Arquimediana

En este capıtulo ilustraremos tres metodos graficos que pueden resultar utiles al momento

de elegir un modelo copula entre una familia de copulas cuando tenemos datos bivariados.

El supuesto en el que se basa este capıtulo, es que los datos pueden ser modelados con una

copula arquimediana. Sea (X1, Y1) , . . . , (Xn, Yn) una muestra aleatoria de n observaciones

bivariadas, que han sido generadas de una distribucion bivariada H (x, y), con margina-

les continuas F (x) y G (x) y una copula arquimediana C (x, y) (De Matteis, 2001). Una

funcion bivariada perteneciente a la familia de copulas arquimedianas, tiene la siguiente

representacion (Lopera et al., 2012):

Cα = φ−1α [φα (u) + φα (v)] , 0 ≤ u, v ≤ 1.

En la Tabla 2-1, se muestra la forma del generador φ, para cuatro de las familias copulas

arquimedianas mas comunes en la literatura. De esta manera, el proposito fundamental

de este capıtulo es identificar la forma del generador φ, que depende del parametro de

dependencia α cuando se tienen datos bivariados. De esta manera si suponemos que los

datos se pueden modelar usando un miembro de la familia arquimediana, un primer paso

para identificar el modelo, es estimando el parametro de dependencia α (en este caso solo

trabajamos con modelos copula de un parametro).

4.1. Estimacion del Parametro de Dependencia α

En la literatura se pueden encontrar varios metodos para estimar el parametro de depen-

dencia α, sin embargo, en este trabajo, nos concentramos en dos metodos en particular:

uno parametrico y uno no parametrico. Dichos metodos se exponen a continuacion.

4.1.1. Estimacion no Parametrica: Metodo de Genest y Rivest

Esta solucion para estimar el parametro α fue propuesta por Genest (1993) y tambien se

describe en el trabajo de Frees (1998). Este metodo se basa en la relacion que tiene el τ de

Kendall con las copulas y tiene la ventaja de que no se necesita conocer las distribuciones

marginales para estimar el parametro α (De Matteis, 2001). Este metodo se basa en el

38 4 Metodos Graficos Para Seleccionar una Copula Arquimediana

hecho de que el τ de Kendall puede escribirse convenientemente en terminos de φ usando

la siguiente identidad (Genest, 1986):

τ = 1 + 4

∫ 1

0

φ (t)

φ′ (t)dt (4-1)

Note que como φ depende del parametro de dependencia α, entonces al resolver la ecuacion

(4-1) para α, se obtiene como resultado un estimador del parametro de interes α (De Mat-

teis, 2001). En la tabla (2.4), se muestran las expresiones del τ de Kendall para las copulas

arquimedianas mas comunes.

4.1.2. Estimacion Parametrica Usando Maxima Verosimilitud

Sea (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) una muestra aleatoria de n observaciones bivariadas, que han

sido generadas de una distribucion bivariada H(x, y), con marginales continuas F (x) y

G(x) y una copula arquimediana C(x, y). En primer lugar necesitamos conocer las distri-

buciones marginales, en este caso usamos una distribucion empırica como aproximacion no

parametrica de las funciones marginales. Suponga que X1, . . . , Xn son observaciones inde-

pendientes, la funcion de distribucion empırica esta definida para todo x (−∞ < x < ∞)

como (De Matteis, 2001):

Fn(x : X1, . . . , Xn) :=#i : 1 ≤ i ≤ n,Xi ≤ x

n(4-2)

Un inconveniente que se presenta al trabajar con la ecuacion 4-2, es que la distribucion

emprırica es discreta y para el desarrollo de la funcion de verosimilitud se necesitan distribu-

ciones marginales continuas. Para evitar este inconveniente usaremos la siguiente definicion:

Definicion (De Matteis, 2001): Sea a ≤ mın(X1, . . . , Xn) ≤ max(X1, . . . , Xn) ≤ b.

Sea Z1, . . . , Zn denotan los valores de X1, . . . , Xn ordenados en forma creciente. Defina

Z0 ≡ a y Zn+1 ≡ b. Entonces la funcion de distribucion empırica continua, es la funcion de

distribucion Gn (x : a, Z1, . . . , Zn, b), la cual es 0 si x ≤ a, 1 si x ≥ b y en el medio tiene el

valor de los segmentos de lınea recta que unen los puntos medios de los intervalos [Zi, Zi+1]

que contituyen la funcion de distribucion empırica. El punto medio del intervalo mas a la

izquierda [Z1, Z2] esta unido al punto (a, 0) con una lınea recta, mientras que el intervalo

mas a la derecha esta unido al punto (b, 1) (De Matteis, 2001).

Aplicando la definicion anterior obtenemos las distribuciones marginales empıricas Fn(x)

y Gn(y) con funciones de densidad fn(x) y gn(y), ası H(x, y) = C (F (x), G(y)).

Definimos Ui := Fn(xi) y Vi := Gn(yi), note que Ui y Vi estan distribuidas como una uni-

forme estandar aproximadamente. Ahora, para definir la funcion de verosimilitud, primero

definimos:

h(x, y) = f(x)g(y)C12 (F (x), G(y)) (4-3)

4.2 Pruebas Graficas de Bondad de Ajuste Para Copulas Arquimedianas 39

donde

C12 =∂

∂u

∂

∂vC(u, v). (4-4)

Ası obtenemos una expresion para la funcion de verosimilitud a partir de la ecuacion (4-3):

L(α;U, V ) =n∏i=1

C12 (Ui, Vi) (4-5)

de esta manera, un estimador para el parametro α se obtiene maximizando la funcion de

verosimilitud para el conjunto de datos dado. Ası un estimador para α es:

α = argmaxα∈R

n∑i=1

logL(α;Ui, Vi), (4-6)

donde R hace referencia al conjunto de los posibles valores para α dados en la tabla (2.4).

4.2. Pruebas Graficas de Bondad de Ajuste Para

Copulas Arquimedianas

Una vez se estima el parametro de dependencia α de las familias copula, el siguiente paso

es identificar cual de ellas presenta un mejor ajuste para los datos. A continuacion se

presentan tres metodos graficos que pueden proporcionar una ayuda visual para identificar

la copula que presenta un mejor ajuste, sin embargo, en muchas ocasiones identificar la

copula adecuada no es una tarea sencilla.

4.2.1. Aproximacion Usando la Funcion de Distribucion Condicional

de Y |X (Metodo grafico I):

Sea (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn) una muestra aleatoria de n observaciones bivariadas, que han

sido generadas de una distribucion bivariada H(x, y), con marginales continuas F (x) y

G(x) y una copula arquimediana C(x, y). Como vimos en la ecuacion 4-3, la funcion de

distribucion conjunta puede expresarse como:

h(x, y) = f(x)g(y)C12 (F (x), G(y)) (4-7)

donde f(x) y g(y) son las funciones de densidad marginales correspondientes y C12 esta

dado en la ecuacion 4-4, quien resulta ser la funcion de densidad de la copula. Ası, una

expresion para la funcion de distribucion condicional para Y |X es (De Matteis, 2001):

HY |X(x, y) := C1 (F (x), G(y)) (4-8)


donde

C1(u, v) =∂

∂uC(u, v) (4-9)

HY |X(x, y) tiene una distribucion uniforme estandar (De Matteis, 2001), de esta manera

para verificar el ajuste de la copula a los datos, se realiza un grafico QQ-Plot de HY |X(x, y)

usando los datos observados x e y contra los cuantiles de la distribucion uniforme estandar.

Si la copula es un modelo adecuado para los datos observados, el grafico debe dar como

resultado una lınea recta.

4.2.2. Aproximacion Usando La Funcion de Distribucion de la

Copula (Metodo grafico II):

En este caso, suponga que se tiene nuevamente una muestra aleatoria de observaciones

bivariadas que se supone que son dependientes (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn), las cuales han sido

generadas de una distribucion bivariada H(x, y), con marginales continuas F (x) y G(x) y

una copula arquimediana C(x, y), que a su vez esta determinada por un generador φα. Una

forma de identificar la funcion generadora φ de la copula, es usando el metodo expuesto

en Genest (1993), donde se definen las variables aleatorias ti = F (Xi, Yi), que tienen la

funcion de distribucion acumulada K(t). Ellos demostraron que:

KC(t) = P (C(U, V ) ≤ t) = t− φ(t)

φ′(t)(4-10)

Ası, la funcion K(t) es la funcion de distribucion univariada de la copula y como conse-

cuencia tiene una distribucion uniforme estandar. De esta manera, usando el estimador de

α, α, un QQ-Plot de KC contra los cuantiles de la distribucion uniforme estandar deberıa

dar como resultado una lınea recta si la copula ajusta bien a los datos (De Matteis, 2001).

4.2.3. Aproximacion Usando Una Estimacion No Parametrica de la

Funcion de Distribucion de la Copula (Metodo grafico III):

Genest (1993) exponen una idea para realizar esta aproximacion, que consiste en deter-

minar dos estimaciones para la funcion de distribucion K, una parametrica cuya forma

es la dada en la ecuacion 4-10 y que en este caso necesita la estimacion del parametro

de dependencia α, α que llamaremos Kφ(t) y una no parametrica que no depende de las

funciones marginales ni del parametro de la copula arquimediana, que denotaremos como

Kn(t). En este caso se utilizan varias opciones para la funcion, usando α y se calcula la

funcion Kφ(t) asociada a cada copula y luego se compara con la estimacon empırica Kn

siguiendo el siguiente algoritmo:

Determinar la funcion de distribucion no parametrica para K.

4.3 Aproximacion Teorica de los Metodos Graficos de Bondad de Ajuste 41

Definamos la variable W := H(X, Y ), donde H es la estimacion empırica de la

distribucion bivariada H dada por:

Wi = H (Xi, Yi) =#(Xj, Yj) : Xj < Xi, Yj < Yi

n− 1(4-11)

Ahora, tenemos que encontrar una estimacion emprırica para la distribucion de W .

De la ecuacion anterior, un estimador no parametrico de K(w) esta dado por:

Kn(w) =#i : 1 ≤ i ≤ n,Wi ≤ w

n(4-12)

Determinar la funcion de distribucion parametrica.

Como vimos en la ecuacion 4-10, cada copula arquimediana tiene su generador es-

pecıfico φ, el cual se puede determinar a traves de α, de esta manera, un estimador

parametrico para K tiene la forma:

Kφ(w) = w − φ(w)

φ′(w)(4-13)

Ası Kn es una herramienta util para ayudar a identificar una familia parametrica de

copulas arquimedianas.

Comparar las distribuciones parametricas y no parametricas.

La idea entonces es que la funcion φ es adecuada (α adecuado), si la funcion de

distribucion Kφ(w) es similar a la funcion de distribucion no parametrica Kn(w)

(De Matteis, 2001). Ası, se construye el grafico QQ-Plot para cada Kφ contra Kn(w),

donde se comparan los cuantiles empıricos con aquellos asociados a un modelo copu-

la parametrico, si la seleccion de la copula es adecuada, el grafico debe dar como

resultado una lınea recta.

4.3. Aproximacion Teorica de los Metodos Graficos de

Bondad de Ajuste

Los metodos graficos expuestos en la seccion anterior son una herramienta util al momento

de identificar un modelo adecuado para los datos, sin embargo, en muchas ocasiones los

resultados de dichos graficos pueden resultar ser confusos y no es obvio cual copula ajusta

mejor, ademas la interpretacion y subjetividad del investigador pueden afectar las con-

clusiones del estudio. En esta seccion se usa la informacion obtenida anteriormente para

realizar una prueba de bondad de ajuste clasica, en este caso usaremos la prueba de bondad

de ajuste de Kolmogorov-Smirnov (De Matteis, 2001).


4.3.1. Prueba de Kolmogorov-Smirnov

La prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, tiene la ventaja de que es una

prueba no parametrica, ademas de esto, cuando se trabaja con muestras pequenas, la

prueba logra detectar diferencias entre una distribucion empırica y una distribucion teorica.

El estadıstico de prueba en este caso maximiza la diferencia entre la funcion de distribucion

acumulada empırica y la teorica, este estadıstico esta dado por (De Matteis, 2001):

T = maxx|F (x)− F (x)| (4-14)

Usaremos la prueba de Kolmogorov-Smirnov para los metodos graficos expuestos anterior-

mente, en el caso de los metodos graficos I y II, se verificara si los datos se distribuyen de

forma uniforme o no. Ası la hipotesis nula consiste en asumir que la muestra proviene de

una distribucion U(0, 1). En el caso del metodo grafico III se verificara si las distribuciones

son identicas o no, ası en la hipotesis nula se asume que la distribucion empırica y teorica

son identicas (De Matteis, 2001).

5. Simulacion de los Metodos Graficos

de Bondad de Ajuste

En este capıtulo se presenta un estudio de simulacion de los metodos graficos de bondad

de ajuste expuestos en el capıtulo anterior para evaluar su desempeno, simulando 300

observaciones de las copulas Frank, Gumbel y Clayton, para diferentes valores de τ y luego

verificar si los metodos logran seleccionar la copula adecuada.

El proceso de simulacion se realizo de la siguiente manera:

1. Inicialmente se simularon los datos de las copulas Frank, Gumbel y Clayton para va-

lores de τ de 0.2, 0.5 y 0.8. Posteriormente se calcula el verdadero valor del parametro

de la copula, α para los datos simulados.

2. Para los datos simulados se realiza la estimacion del parametro de la copula α usando

el metodo de Genest y Rivest (no parametrico) y el metodo de maxima verosimilitud

(parametrico) expuestos en el capıtulo 4. Dichas estimaciones se realizan para cada

una de las copulas expuestas en la siguiente tabla:

44 5 Simulacion de los Metodos Graficos de Bondad de Ajuste

Familia Cα(u, v) Espacio de α

1 max(

[u−α + v−α − 1]− 1α , 0

)[−1,∞) \ 0

2 max(

1− [(1− u)α + (1− v)α]1α , 0

)[1,∞)

3 uv1−α(1−u)(1−v)

[−1, 1)

4 exp(−[(− lnu)α + (− ln v)α]1α ) [1,∞)

5 − 1α

ln(

1 + (e−αu−1)(e−αv−1)e−α−1

)(−∞,∞) \ 0

6 1− [(1− u)α + (1− v)α − (1− u)α(1− v)α]1α [1,∞)

7 max(αuv + (1− α)(u+ v − 1), 0) (0, 1]

8 max[

α2uv−(1−u)(1−v)α2−(α−1)2(1−u)(1−v)

, 0]

[1,∞)

9 uv exp(−α lnu ln v) (0, 1]

10 uv

[1+(1−uα)(1−vα)]1α

(0, 1]

11 max(

[uαvα − 2(1− u)α(1− v)α]1α , 0)

(0, 12]

12(

1 + [(u−1 − 1)α + (v−1 − 1)α]1α

)−1

[1,∞)

13 exp(1− [(1− lnu)α + (1− ln v)α − 1]1α ) (0,∞)

14 (1 + [(u−1α − 1)α + (v−

1α − 1)α]

1α )−α [1,∞)

15 max(1− [(1− u 1α )α + (1− v 1

α )α]1αα, 0) [1,∞)

16 12(S +

√S2 + 4α), S = u+ v − 1− α( 1

u+ 1

v− 1) [0,∞)

17(

1 + [(1+u)−α−1][(1+v)−α−1]2−α−1

)− 1α − 1 (−∞,∞) \ 0

18 max(1 + α/ ln[eα

(u−1) + eα

(v−1) ], 0) [2,∞)

19 α/ ln(eαu + e

αv − eα) (0,∞)

20 [ln(exp(u−α) + exp(v−α)− e)]− 1α (0,∞)

Tabla 5-1.: Familias de Copulas de un Parametro

En la tabla anterior, la familia 1 corresponde a la copula Clayton, la familia 4 a la

copula Gumbel y la 5 a la copula Frank. Cabe resaltar que al momento de aplicar

los metodos de estimacion del parametro de dependencia α, en algunos casos, la

estimacion no puede hacerse por el metodo de Genest y Rivest, pues la expresion

para τ no tiene forma cerrada (ver tabla 2-1) en las copulas 3, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 16,

17, 19 y 20. Similarmente, para el metodo de maxima verosimilitud, la estimacion

del parametro de dependencia no puede hacerse para las copulas 2, 7, 8, 11, 15 y 18

porque las derivadas y segundas derivadas de sus funciones no tienen forma cerrada

(ver tablas A-1, A-2 y A-3 del anexo A).

3. Se seleccionan las copulas para las cuales la estimacion del parametro de dependencia

es valido, es decir, cuyos valores estan en el espacio parametral de la copula dados

en la tabla A.

5.1 Simulacion Copula Clayton 45

4. Con las copulas seleccionadas en el punto anterior, se aplican los metodos graficos

I, II y III, de donde se selecciona un nuevo conjunto de copulas, teniendo en cuenta

aquellas que mejor se ajusten a los datos.

5. Finalmente, con el conjunto de copulas obtenido en el punto anterior, se verifica el

ajuste realizando la prueba de Kolmogorov-Smirnov.

5.1. Simulacion Copula Clayton

En esta seccion, se presenta la simulacion de los datos usando la copula Clayton para

valores de τ de 0.2, 0.5 y 0.8.

5.1.1. Copula Clayton Usando τ = 0.2

Para esta familia copula, se tiene que con τ = 0.2, el verdadero valor del parametro es

α = 0.5

1. En primer lugar se realiza la estimacion del parametro de dependencia usando Genest

y Rivest y el metodo de maxima verosimilitud (EMV), los resultados se muestran en

la siguiente tabla:


Familia Genest y Rivest α1 Valido EMV α2 Valido

1 (Clayton) 0.5390625 Si 0.5144665 Si

2 2.539062 Si • −3 • − 0.8120781 Si

4 (Gumbel) 1.269531 Si 0.86 No

5 (Frank) 0.5390625 Si 2.008 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 11.01695 Si • −9 • − -0.3193376 No

10 • − -0.8914176 No

11 • − • −12 0.8577166 No 0.8714154 No

13 • − 2.045374 Si

14 0.7865749 No 0.8723847 No

15 1.77 Si • −16 • − 1.181083 Si

17 • − 2.436199 Si

18 1.715433 No • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.209943 Si

Tabla 5-2.: Estimacion de α para la copula Clayton, τ = 0.2

2. Por los resultados dados en la tabla anterior, se escogen entonces por el metodo de

Genest y Rivest las copulas 1, 2, 4, 5, 8 y 15. Por el metodo de maxima verosimilitud

se escogen las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 17, 19 y 20.

3. A continuacion se aplican los metodos graficos I, II y III para cada una de las copulas

resultantes del proceso anterior usando el metodo de estimacion de Genest y Rivest

y el de maxima verosimilitud.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.539

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.27

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.539

Grafica 5-1.: Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest

En la grafica 5-1 se muestra el resultado del metodo grafico I aplicado a las copulas

seleccionadas por el metodo de Genest y Rivest, en este caso, el metodo no arrojo

un resultado para las copulas 2, 8 y 15 pues sus primeras derivadas no tienen forma

cerrada y el metodo grafico I hace uso de dichas derivadas. A continuacion se muestra

el resultado para las copulas seleccionadas por el metodo de maxima verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.514

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.812

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.008

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.045

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.181

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.436

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.21

Grafica 5-2.: Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimilitud


De manera similar, se muestra a continuacion el resultado luego de aplicar el metodo

grafico II para las copulas resultantes del metodo de Genest y Rivest y maxima

verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-3.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-4.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud

Se realiza el mismo procedimiento con el metodo grafico III, los resultados se muestran

a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.539

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=2.539

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=1.27

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.539

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=11.017

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=1.77

Grafica 5-5.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.514

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.812

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=2.008

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=2.045

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=1.181

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.21

Grafica 5-6.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimilitud

4. Finalmente, se seleccionan las copulas que mejor se ajustan en cada metodo y se

aplica la prueba de Kolmogorov-Smirnov en cada caso. Los resultados se muestran

en las siguientes tablas:


Valores P para el metodo grafico I: Luego de aplicar el metodo grafico I, se

seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1 y 5. Por el

metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3,

5, 13, 16, 17 y 20. Los resultados se muestran a continuacion:

Familia Valor-P Genest y Rivest Valor-P Max-Verosimilitud

1 (Clayton) 0.9828731 0.9842223

3 • 0.9866634

5 (Frank) 0.9999773 0.9993871

13 • 0.9985338

16 • 0.6795574

17 • 0.9967550

20 • 0.9523685

Tabla 5-3.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Clayton

con τ = 0.2

Valores P para el metodo grafico II: En este caso, se seleccionan, por el metodo

de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5, y 8. Por el metodo de maxima verosimilitud

se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13, 16 y 20. Los resultados se

muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.79725614 0.7583242

3 • 0.8533583

4 (Gumbel) 0.87510661 •5 (Frank) 0.31123562 0.8937548

8 0.01426018 •13 • 0.9526732

16 • 0.3428993

20 • 0.6241018

Tabla 5-4.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Clayton

con τ = 0.2

Valores P para el metodo grafico III: En este caso, se seleccionan, por el metodo

de Genest y Rivest, las copulas 1, 4, 5 y 8. Por el metodo de maxima verosimilitud





1 (Clayton) 0.9700409 0.9700409

3 • 0.9876983

4 (Gumbel) 0.9876983 •5 (Frank) 0.7211625 0.9962552

8 0.1759535 •13 • 0.9876983

16 • 0.7870443

20 • 0.9408423

Tabla 5-5.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Clayton

con τ = 0.2

Cuando los datos son generados con la copula Clayton con τ = 0.2, se obtiene como resul-

tado con el metodo grafico I que las copulas 1 (Clayton) y 5 (Frank) son seleccionadas, pues

tienen valores P altos, de 0.9828 y 0.9999 respectivamente, cuando se estima el parametro

de dependecia con el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica.

Cuando se estima el parametro por maxima verosimilitud, el metodo grafico I selecciona a

las copulas 1 (Clayton), 3, 5 (Frank), 13 y 17 pues son las que presentan los valores p mas

altos.

Usando el metodo grafico II, se escogen las copulas 1 (Clayton) y 4 cuando se estiman el

parametro de dependencia por el metodo de Genest y Rivest, pues son los modelos que

presentan los valores P mas altos. Cuando se estima el parametro de dependencia por

maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1 (Clayton), 3, 5 (Frank) y 13, pues son las

que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste en las graficas presentadas.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 1 (Clayton) y 4, cuando se estiman

el parametro de dependencia por el metodo de Genest y Rivest, pues son los modelos que

presentan los valores P mas altos. Cuando se estima el parametro de dependencia por

maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1 (Clayton), 3, 5 (Frank), 13 y 20, pues son

las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste en las graficas presentadas.



α = 2



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 2.209687 Si 2.109803 Si

2 4.209687 Si • −3 • − 1.00718 No

4 (Gumbel) 2.104843 Si 0.86 No

5 (Frank) 2.209687 Si 6.123238 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -6.959963 No • −9 • − -64.24 No

10 • − -0.7365175 No

11 • − • −12 1.403229 Si 0.86 No

13 • − 5.046366 Si

14 1.604843 Si 0.86 No

15 2.604843 Si • −16 • − 98992.73 Si

17 • − 8.983284 Si

18 2.806458 Si • −19 • − 0.01112971 Si

20 • − 0.4693355 Si



Genest y Rivest las copulas 1, 2, 4, 5, 12, 14, 15 y 18. Por el metodo de maxima

verosimilitud se escogen las copulas 1, 5, 13, 16, 17, 19 y 20.


resultantes del proceso anterior usando la estimacion de Genest y Rivest y el de

maxima verosimilitud para el parametro de dependencia.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.21

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.105

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.21

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.403

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.605







0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.11

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=6.123

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=5.046

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=98992.73

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=8.983

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.011

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.469





verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-10.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima

Verosimilitud


a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.21

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=4.21

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.105

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.21

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.403

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.605

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.806


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=2.11

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=6.123

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

.00

.40

.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=5.046

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=98992.73

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.011

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.469

Grafica 5-12.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima

verosimilitud






seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 5, 12 y 14,

y por el metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para todas las

copulas dadas en la grafica 4-8. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.9384321 0.95748243

5 (Frank) 0.4785176 0.66133897

12 0.8226679 •13 • 0.82686325

14 0.5939843 •16 • 0.04679935

17 • 0.75089486

19 • 0.08291933

20 • 0.38621745


con τ = 0.5


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5, 12, 14 y 15. Por el metodo de maxima

verosimilitud se decide calcular el valor-p para todas las copulas dadas en la grafica

4-10. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.96707685 0.9589229

4 (Gumbel) 0.68286802 •5 (Frank) 0.11796064 0.7818083

12 0.99987278 •13 • 0.8232035

14 0.99292108 •15 0.06178138 •16 • 0.5696714

19 • 0.5935414

20 • 0.5733158


con τ = 0.5


de Genest y Rivest, las copulas 1, 4, 5, 12 y 14. Por el metodo de maxima verosimilitud


se decide calcular el valor-p para todas las copulas dadas en la grafica 4-12. Los

resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.9992670 0.9992670

4 (Gumbel) 0.8995694 •5 (Frank) 0.4542658 0.9408423

12 0.9999976 •13 • 0.9876983

14 0.9999272 •16 • 0.8995694

19 • 0.9408423

20 • 0.8995694


con τ = 0.5

Cuando los datos son generados con la copula Clayton con τ = 0.5, se obtiene como

resultado con el metodo grafico I que las copulas 1 (Clayton), y 12 son seleccionadas, pues

tienen valores P altos, de 0.9384 y 0.8226 respectivamente, cuando se estima el parametro

de dependecia con el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica.

Cuando se estima el parametro por maxima versosimilitud, el metodo grafico I selecciona

a las copulas 1 (Clayton), 13 y 17 pues son las que presentan los valores p mas altos. En

ambos casos la copula Clayton es la que presenta el mejor ajuste, pues sus valores p son

los mas altos.

Usando el metodo grafico II, se escogen las copulas 1 (Clayton), 12 y 14 cuando se estiman

el parametro de dependencia por el metodo de Genest y Rivest, pues son los modelos que

presentan los valores P mas altos y que presentan un buen ajuste graficamente. Cuando

se estima el parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1

(Clayton), 5 (Frank) y 13, como posibles candidatas para representar los datos pues son las

que presentan el mejor ajuste en las graficas presentadas, en particular la copula Clayton

es la que tiene el valor P mas alto por lo que es la candidata mas idonea en este caso.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 1 (Clayton), 4, 12 y 14 cuando se

estiman el parametro de dependencia por el metodo de Genest y Rivest, pues son los

modelos que presentan los valores P mas altos, en particular, se escogen como posibles

candidatos a los modelos 1, 12 y 14. Cuando se estima el parametro de dependencia por

maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1 (Clayton) y 13, pues son las que presentan

los valores P mas altos y el mejor ajuste en las graficas presentadas, en particular, el mejor

candidato en este caso es la copula Clayton pues es la que presenta el valor P mas alto:

0.9992.




α = 8



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 8.147059 Si 7.445955 Si

2 10.14706 Si • −3 • − 1.004445 No

4 (Gumbel) 5.073529 Si 0.86 No

5 (Frank) 8.147059 Si 18.07428 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -2.839506 No • −9 • − -28.84465 No

10 • − -0.6954385 No

11 • − • −12 3.382353 Si 0.86 No

13 • − 14.90184 Si

14 4.573529 Si 0.86 No

15 5.573529 Si • −16 • − 106370.3 Si

17 • − 28.57609 Si

18 6.764706 Si • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.7224271 Si









0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=8.147

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=5.074

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=8.147

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.382

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=4.574







0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=7.446

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=18.074

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=14.902

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=106370.3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=28.576

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.722





verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-16.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima

Verosimilitud


a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=8.147

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=10.147

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=5.074

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=8.147

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=3.382

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=4.574

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=5.574


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=7.446

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=18.074

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=14.902

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=106370.3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.722

Grafica 5-18.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima

verosimilitud






seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 12 y 14, y

por el metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas

1, 5, 13 y 17. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.7906636 0.8978164

5 (Frank) • 0.2398713

12 0.4782729 •13 • 0.7939094

14 0.1569932 •17 • 0.4500542


con τ = 0.8


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 2, 4, 12, 14, 15 y 18. Por el metodo de maxima

verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 5 y 13. Los resultados

se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.9986463 0.9916266

2 0.5891771 •4 (Gumbel) 0.6331819 •5 (Frank) • 0.9576746

12 0.7851302 •13 • 0.9958261

14 0.6702579 •15 0.6011886 •18 4.043566e-06 •


con τ = 0.8


de Genest y Rivest, las copulas 1, 2, 4, 5, 12, 14 y 15. Por el metodo de maxima





1 (Clayton) 0.9999976 0.9999272

2 0.1211884 •4 (Gumbel) 0.9408423 •5 (Frank) 0.8474885 0.9999272

12 0.9700409 •13 • 0.9999976

14 0.9408423 •15 0.8995694 •18 • •


con τ = 0.8

Cuando los datos son generados con la copula Clayton con τ = 0.8, se obtiene como

resultado con el metodo grafico I que solo la copula 1 (Clayton), es seleccionada, pues es

la que tiene el valor-P mas alto (0.7906), cuando se estima el parametro de dependecia

con el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica. Cuando se

estima el parametro por maxima versosimilitud, el metodo grafico I selecciona la copula 1

(Clayton), pues es la que presenta el valor p mas alto (0.8978). En ambos casos la copula

Clayton es la que presenta el mejor ajuste, pues sus valores p son los mas altos.

Usando el metodo grafico II, se escoge la copula 1 (Clayton), pues es la que presenta el

mejor ajuste graficamente y su valor-P es el mas alto. Cuando se estima el parametro de

dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1 (Clayton), 5 (Frank) y 13,

como posibles candidatas para representar los datos pues son las que presentan el mejor

ajuste en las graficas presentadas y valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 1 (Clayton) y 12 cuando se estiman

el parametro de dependencia por el metodo de Genest y Rivest, pues son los modelos

que presentan los valores P mas altos y mejor ajuste graficamente, en particular, el mejor

candidato en este caso es la copula Clayton pues es la que presenta el valor P mas alto:

0.99999. Cuando se estima el parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se

escogen las copulas 1 (Clayton), 5 (Frank) y 13, pues son las que presentan los valores P

mas altos y el mejor ajuste en las graficas presentadas.

5.2 Simulacion Copula Gumbel 65

5.2. Simulacion Copula Gumbel

En esta seccion, se presenta la simulacion de los datos usando la copula Gumbel para

valores de τ de 0.2, 0.5 y 0.8.

5.2.1. Copula Gumbel Usando τ = 0.2


α = 1.25



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 0.4247888 Si 0.2479858 Si

2 2.424789 Si • −3 • − 0.5443786 Si

4 (Gumbel) 1.212394 Si 0.86 No

5 (Frank) 0.4247888 Si 1.600667 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 8.430951 Si • −9 • − -0.2635251 No

10 • − -0.1979488 No

11 • − • −12 0.8082629 No 0.86 No

13 • − 1.637537 Si

14 0.7123944 No 0.86 No

15 1.712394 Si • −16 • − 0.8260482 Si

17 • − 1.518237 Si

18 1.616526 No • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.1069783 Si

Tabla 5-14.: Estimacion de α para la copula Gumbel, τ = 0.2



se escogen las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 17, 19 y 20.


resultantes del proceso anterior usando la estimacion de Genest y Rivest y el metodo

de maxima verosimilitud.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.425

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.212

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.425

Grafica 5-19.: Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest,

Copula Gumbel con τ = 0.2






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.248

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.544

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.601

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.638

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.826

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.518

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.107

Grafica 5-20.: Metodo grafico I aplicado las copulas resultantes por maxima Verosimili-

tud, Copula Gumbel con τ = 0.2




verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-21.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest,


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

Grafica 5-22.: Metodo grafico II aplicado las copulas resultantes por maxima verosimili-



a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]E

mpir

ical d.f.

a=0.425

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.425

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.212

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.425

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=8.431

Grafica 5-23.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por Genest y Rivest,


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.248

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.544

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.601

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.638

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.826

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.107

Grafica 5-24.: Metodo grafico III aplicado las copulas resultantes por maxima verosimi-

litud, Copula Gumbel con τ = 0.2






seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4 y 5. Por

el metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1,



1 (Clayton) 0.411426799 0.9497029

3 • 0.8981243

4 (Gumbel) 0.000789266 •5 (Frank) 0.999996897 0.9349473

13 • 0.8261945

17 • 0.8708023

20 • 0.9891972

Tabla 5-15.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Gumbel

con τ = 0.2


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5, y 8. Por el metodo de maxima verosimilitud

se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13 y 20. Los resultados se



1 (Clayton) 0.303645451 0.4859877

3 • 0.7762521

4 (Gumbel) 0.929933025 •5 (Frank) 0.510993949 0.8716213

8 0.000431633 •13 • 0.5911708

20 • 0.5087336

Tabla 5-16.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Gumbel

con τ = 0.2


de Genest y Rivest, las copulas 1, 4, 5 y 8. Por el metodo de maxima verosimilitud se

decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13 y 20. Los resultados se muestran

a continuacion:



1 (Clayton) 0.7211625 0.8995694

3 • 0.9408423

4 (Gumbel) 0.9876983 •5 (Frank) 0.8995694 0.9876983

8 0.0265997 •13 • 0.9408423

20 • 0.8995694

Tabla 5-17.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Gumbel

con τ = 0.2

Cuando los datos son generados con la copula Gumbel con τ = 0.2, se obtiene como resulta-

do con el metodo grafico I que las copulas 1 (Clayton) y 5 (Frank), son seleccionadas, pues

son las que tienen los valores-P mas altos, cuando se estima el parametro de dependencia

con el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica, en este

caso, el metodo falla, pues no logra identificar la copula de donde se simularon los datos

o por lo menos seleccionarla como una posible candidata. Cuando se estima el parametro

por maxima versosimilitud, el metodo grafico I selecciona la copula 1 (Clayton), 5 (Frank)

y 20 pues son las que presentan valores-P mas altos. Cabe resaltar que cuando se estima

el parametro de dependencia por maxima verosimilitud y los datos son generados de una

copula Gumbel, los metodos no seleccionan a la copula Gumbel como un posible candida-

to porque no hay una forma cerrada para dicha copula usando maxima verosimilitud, sin

embargo, el metodo si selecciona otras copulas que pueden ser posibles candidatos y que

presentan un buen ajuste.

Usando el metodo grafico II, se escoge la copula 4 (Gumbel), pues es la que presenta el mejor

ajuste graficamente y su valor-P es el mas alto, en este caso el metodo acierta. Cuando

se estima el parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se escoge la copulas 5

(Frank), como posible candidata para representar los datos pues es la que presenta el mejor

ajuste en las graficas presentadas y valor-P mas alto.

Usando el metodo grafico III, se escoge la copula 4 (Gumbel), pues es la que presenta

el mejor ajuste graficamente y su valor-P es el mas alto, en este caso el metodo acierta.

Cuando se estima el parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las

copulas 3, 5 (Frank) y 13, pues son las que presentan los valores P mas altos y el mejor

ajuste en las graficas presentadas.



α = 2




la siguiente tabla:


1 (Clayton) 1.96692 Si 1.115868 Si

2 3.96692 Si • −3 • − 0.972911 Si

4 (Gumbel) 1.98346 Si 0.86 No

5 (Frank) 1.96692 Si 5.586324 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -8.205269 No • −9 • − -0.235108 No

10 • − -0.7656491 No

11 • − • −12 1.322307 Si 0.86 No

13 • − 3.801665 Si

14 1.48346 Si 0.86 No

15 2.48346 Si • −16 • − 102192.5 Si

17 • − 7.598207 Si

18 2.644613 Si • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.2934184 Si




verosimilitud se escogen las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 17, 19 y 20.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

.00

.40

.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.967

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.983

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.967

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.322

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.483



En la grafica 3 se muestra el resultado del metodo grafico I aplicado a las copulas





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.116

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.973

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=5.586

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.802

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=102192.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=7.598

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.293






verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)




a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.967

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=3.967

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.983

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.967

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.322

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.483



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.116

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.973

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=5.586

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=3.802

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=102192.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.293








seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 5,12 y 14.

Por el metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas

1, 3, 5, 13, 16, 17 y 20. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.1470033 0.6566567

3 • 0.7441318

4 (Gumbel) • •5 (Frank) 0.4578680 0.2619845

12 0.3794824 •13 • 0.6072086

14 0.3503042 •16 • 0.7190847

17 • 0.4059064

20 • 0.6390347


con τ = 0.5


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5, 12 y 14. Por el metodo de maxima verosi-

militud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13 y 16. Los resultados



1 (Clayton) 0.38284827 0.3210969

3 • 0.1994343

4 (Gumbel) 0.89245846 •5 (Frank) 0.04741486 0.7349686

8 • •12 0.71103009 •13 • 0.8119596

14 0.74268502 •16 • 0.2335874


con τ = 0.5




se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 19 y 20. Los resultados



1 (Clayton) 0.6527114 0.7211625

3 • 0.5841819

4 0.9962552 •5 (Frank) • 0.9408423

8 • •12 0.9408423 •13 • 0.9700409

14 0.9700409 •16 • 0.6527114

19 • 0.3412249

20 • 0.2923143


con τ = 0.5

Cuando los datos son generados con la copula Gumbel con τ = 0.5, se obtiene como

resultado con el metodo grafico I que solo la copula 5 (Frank) es seleccionada, pues es la

que tiene el valor-P mas alto (0.4578), cuando se estima el parametro de dependecia con

el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica, en este caso,

el metodo falla, pues no logra identificar la copula de donde se simularon los datos o por

lo menos seleccionarla como una posible candidata. Cuando se estima el parametro por

maxima verosimilitud, el metodo grafico I selecciona la copula 3 y 16 pues son las que

presentan valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico II, se escoge la copula 4 (Gumbel), pues es la que presenta el

mejor ajuste graficamente y su valor-P es el mas alto, en este caso el metodo acierta.


copulas 5 (Frank) y 13 como posibles candidatas para representar los datos pues son las

que presentan el mejor ajuste en las graficas presentadas y valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico III, se escoge la copula 4 (Gumbel), pues es la que presenta

el mejor ajuste graficamente y su valor-P es el mas alto, en este caso el metodo acierta.


copulas 5 (Frank) y 13, pues son las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste

en las graficas presentadas.




α = 5



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 7.777632 Si 3.749149 Si

2 9.777632 Si • −3 • − 1.005361 No

4 (Gumbel) 4.888816 Si 0.86 No

5 (Frank) 7.777632 Si 16.8225 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -2.885265 No • −9 • − -27.56243 No

10 • − -0.7050527 No

11 • − • −12 3.259211 Si 0.86 No

13 • − 10.64478 Si

14 4.388816 Si 0.86 No

15 5.388816 Si • −16 • − 109449.3 Si

17 • − 23.22195 Si

18 6.518422 Si • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.4643665 Si









0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=7.778

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=4.889

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=7.778

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.259

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=4.389








0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.749

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=16.823

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=10.645

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=109449.3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=23.222

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.464






verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)




a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=7.778

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=9.778

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=4.889

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=7.778

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=3.259

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]E

mp

iric

al d

.f.

a=4.389

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=5.389



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=3.749

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=16.823

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=10.645

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=109449.3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.464








seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 12 y 14. Por

el metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1,

5, 13, 17 y 19. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.009095391 0.08535427

5 (Frank) • 0.40536126

12 0.682248366 •13 • 0.31537486

14 0.839721720 •17 • 0.49885822

19 • 0.13243109


con τ = 0.8






1 (Clayton) 0.808534834 0.4154773

2 0.003761767 •4 (Gumbel) 0.989048730 •5 (Frank) 0.689081490 0.9341082

12 0.990032732 •13 • 0.9017965

14 0.996685940 •15 0.972154129 •


con τ = 0.8


de Genest y Rivest, todas las copulas graficadas por el metodo grafico III. Por el

metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 5 y

13. Los resultados se muestran a continuacion:



1 (Clayton) 0.98769827 0.7870443

2 0.09956185 •4 (Gumbel) 0.99992721 •5 (Frank) 0.94084227 0.9992670

12 0.99926698 •13 • 0.9962552

14 0.99999759 •15 0.99992721 •


con τ = 0.8

Cuando los datos son generados con la copula Gumbel con τ = 0.8, se obtiene como

resultado con el metodo grafico I que las copulas 12 y 14 son seleccionadas, pues son las

que tienen los valores-P mas altos, cuando se estima el parametro de dependecia con el

metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica, en este caso, el

metodo falla, pues no logra identificar la copula de donde se simularon los datos o por

lo menos seleccionarla como una posible candidata. Cuando se estima el parametro por

maxima verosimilitud, el metodo grafico I selecciona las copulas 5 y 17 pues son las que

presentan valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico II, se escogen las copulas 4 (Gumbel), 12, 14 y 15 pues son las

que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas alto, en este caso el

metodo incluye como una posible candidata a la copula de donde se simularon los datos.


copulas 5 (Frank) y 13 como posibles candidatas para representar los datos pues son las

que presentan el mejor ajuste en las graficas presentadas y valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 4 (Gumbel), 12, 14 y 15 pues son las

que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas alto, en este caso el

metodo incluye como una posible candidata a la copula de donde se simularon los datos.


copulas 5 (Frank) y 13, pues son las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste

en las graficas presentadas.

5.3 Simulacion Copula Frank 85

5.3. Simulacion Copula Frank

En esta seccion, se presenta la simulacion de los datos usando la copula Frank para valores

de τ de 0.2, 0.5 y 0.8.

5.3.1. Copula Frank Usando τ = 0.2


α = 1.860884



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 0.5592011 Si 0.4169161 Si

2 2.559201 Si • −3 • − 0.7262241 Si

4 (Gumbel) 1.279601 Si 0.86 No

5 (Frank) 0.5592011 Si 2.056746 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 11.61165 Si • −9 • − -0.2131379 No

10 • − -0.1529198 No

11 • − • −12 0.853067 No 0.86 No

13 • − 1.946265 Si

14 0.7796006 No 0.86 No

15 1.779601 Si • −16 • − 1.431808 Si

17 • − 2.409513 Si

18 1.706134 No • −19 • − -0.002242271 No

20 • − 0.1672309 Si

Tabla 5-26.: Estimacion de α para la copula Frank, τ = 0.2



se escogen las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 17 y 20.





0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.559

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.28

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.559


Copula Frank con τ = 0.2






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.417

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.726

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.057

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.946

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.432

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=2.41

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.167


tud, Copula Frank con τ = 0.2




verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)




a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]E

mpir

ical d.f.

a=0.559

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.559

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.28

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.559

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 8

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=11.612



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.417

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.726

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.057

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.946

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.432

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.167


litud, Copula Frank con τ = 0.2






seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1 y 5. Por el

metodo de maxima verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3,



1 (Clayton) 0.9476252 0.9985590

3 • 0.9749340

4 (Gumbel) • •5 (Frank) 0.9998163 0.8557188

13 • 0.9904582

16 • 0.6050466

17 • 0.8996072

20 • 0.9998590

Tabla 5-27.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico I, Copula Frank con

τ = 0.2


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5 y 8. Por el metodo de maxima verosimilitud




1 (Clayton) 0.81281954 0.7373670

3 • 0.9585151

4 (Gumbel) 0.94842957 •5 (Frank) 0.40137861 0.9983852

8 0.02335629 •13 • 0.9791651

16 • 0.3877377

20 • 0.6550393

Tabla 5-28.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico II, Copula Frank

con τ = 0.2







1 (Clayton) 0.9876983 0.9700409

3 • 0.9992670

4 (Gumbel) 0.9992670 •5 (Frank) 0.7870443 0.9999272

8 0.2923143 •13 • 0.9992670

16 • 0.7211625

20 • 0.9408423

Tabla 5-29.: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para el Metodo Grafico III, Copula Frank

con τ = 0.2

Cuando los datos son generados con la copula Frank con τ = 0.2, se obtiene como resultado

con el metodo grafico I que las copulas 1 (Clayton) y 5 (Frank) son seleccionadas, pues

son las que tienen los valores-P mas altos, cuando se estima el parametro de dependecia

con el metodo de Genest y Rivest, lo que se aprecia tambien de forma grafica, en este

caso, el metodo acierta, pues selecciona como posible candidata a la copula Frank y es la

que tiene el valor-P mas alto. Cuando se estima el parametro por maxima verosimilitud,

el metodo grafico I proporciona muchos posibles candidatos para modelar los datos, entre

estos modelos esta la copula 5 de donde provienen los datos.

Usando el metodo grafico II, se escogen las copulas 1 (Clayton), 4 (Gumbel) y 5 (Frank)

pues son las que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas alto, en

este caso el metodo incluye como una posible candidata a la copula de donde se simularon

los datos con un valor-P de 0.4013. Cuando se estima el parametro de dependencia por

maxima verosimilitud, se escogen las copulas 3, 5 (Frank) y 13 como posibles candidatas

para representar los datos pues son las que presentan el mejor ajuste en las graficas presen-

tadas y valores-P mas altos, en este caso el metodo acierta y entre los modelos seleccionados

se incluye la copula de la que provienen los datos, ademas es la que presenta el valor-P

mas alto.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 1(Clayton), 4 (Gumbel) y 5 pues son

las que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas alto, en este

caso el metodo incluye como una posible candidata a la copula de donde se simularon los

datos, por lo que proporciona un resultado acertado. Cuando se estima el parametro de

dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1 (Clayton), 3, 5 (Frank)

y 13, pues son las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste en las graficas

presentadas.




α = 5.736283



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 1.964115 Si 1.018518 Si

2 3.964115 Si • −3 • − 0.9433932 Si

4 (Gumbel) 1.982058 Si 0.86 No

5 (Frank) 1.964115 Si 5.657317 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -8.223322 No • −9 • − -0.2059786 No

10 • − -0.7498588 No

11 • − • −12 1.321372 Si 0.86 No

13 • − 3.710056 Si

14 1.482058 Si 0.86 No

15 2.482058 Si • −16 • − 99558.37 Si

17 • − 7.781852 Si

18 2.642744 Si • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.2706178 Si



Genest y Rivest las copulas 1, 2, 4, 5, 12, 14, 15 y 18.. Por el metodo de maxima






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.964

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.982

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.964

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.321

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.482








0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=1.019

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.943

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=5.657

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.71

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=99558.37

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=7.782

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.271






verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)




a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.964

0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=3.964

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.982

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.964

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.321

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.482

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=2.643



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=1.019

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.943

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=5.657

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=3.71

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=99558.37

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ical d.f.

a=0.271








seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 5, 12 y 14.


1, 3, 5, 13, 16, 17 y 20. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.3549054 0.5345831

3 • 0.3199512

4 (Gumbel) • •5 (Frank) 0.3294918 0.8747140

12 0.6506905 •13 • 0.9310300

14 0.7899398 •16 • 0.5477651

17 • 0.9326512

20 • 0.2155466


τ = 0.5


de Genest y Rivest, a las copulas 1, 4, 5, 12, 14 y 15. Por el metodo de maxima

verosimilitud se decide calcular el valor-p para las copulas 1, 3, 5, 13, 16, 19 y 20.

Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.363622289 0.07799941

3 • 0.04318256

4 (Gumbel) 0.330857131 •5 (Frank) 0.008222851 0.78512229

12 0.459220789 •13 • 0.44299687

14 0.410221726 •15 0.180872201 •16 • 0.07171114

19 • 0.03941975

20 • 0.01085491


con τ = 0.5



de Genest y Rivest, las copulas 1, 4, 5, 12 y 14. Por el metodo de maxima verosimilitud




1 (Clayton) 0.72116247 0.3952983

3 • 0.2923143

4 (Gumbel) 0.72116247 •5 (Frank) 0.09956185 0.9876983

12 0.89956940 •13 • 0.8474885

14 0.78704428 •16 • 0.3952983

19 • 0.2485482

20 • 0.1211884


con τ = 0.5

Cuando los datos son generados con la copula Frank con τ = 0.5 y el parametro de

dependencia se estima con el metodo de Genest y Rivest se obtiene como resultado con el

metodo grafico I que las copulas 1 (Clayton), 5 (Frank), 12 y 14 presentan un buen ajuste

en las graficas y este resultado se puede confirmar en los valores-P. En este caso, las copulas

que tienen los valores-P mas altos son la 12 y 14, sin embargo, el metodo incluye como

posible candidata a la copula de donde provienen los datos. Cuando se estima el parametro

por maxima verosimilitud, el metodo grafico I proporciona muchos posibles candidatos

para modelar los datos, entre estos modelos esta la copula 5 de donde provienen los datos,

la copula 13 y 17 que tienen los valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico II, se escogen las copulas 1 (Clayton), 12 y 14 pues son las

que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas altos cuando se

estima el parametro de dependencia por Genest y Rivest. Cuando se estima el parametro

de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 5 (Frank) y 13 como

posibles candidatas para representar los datos pues son las que presentan el mejor ajuste

en las graficas presentadas y valores-P mas altos, en este caso el metodo acierta y entre los

modelos seleccionados se incluye la copula de la que provienen los datos, ademas es la que

presenta el valor-P mas alto.

Usando el metodo grafico III, se escogen las copulas 1 (Clayton), 4 (Gumbel), 12 y 14 pues

son las que presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas alto cuando

se estima el parametro de dependencia con Genest y Rivest. Cuando se estima el parametro

de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 5 (Frank) y 13, pues son


las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste en las graficas presentadas, en

este caso el metodo acierta e incluye dentro de los posibles modelos para modelar los datos

a la copula de la que fueron simulados.



α = 18.19154



la siguiente tabla:



1 (Clayton) 8.209424 Si 3.353893 Si

2 10.20942 Si • −3 • − 0.9971143 Si

4 (Gumbel) 5.104712 Si 0.86 No

5 (Frank) 8.209424 Si 18.38902 Si

6 • − 0.86 No

7 • − • −8 -2.832244 No • −9 • − -24.42065 No

10 • − -0.7002993 No

11 • − • −12 3.403141 Si 0.86 No

13 • − 10.79054 Si

14 4.604712 Si 0.86 No

15 5.604712 Si • −16 • − 108506.8 Si

17 • − 26.29929 Si

18 6.806283 Si • −19 • − 0.86 Si

20 • − 0.86 Si









0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=8.209

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=5.105

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=8.209

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.403

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=4.605








0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=3.354

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.997

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=18.389

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=10.791

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=108506.8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 17

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=26.299

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

C1[F(x),G(y)]

U(0

,1)

a=0.86






verosimilitud:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 19

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

U(0

,1)




a continuacion:


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=8.209

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 2

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=10.209

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 4

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=5.105

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=8.209

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 12

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=3.403

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 14

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=4.605

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 15

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=5.605

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 18

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=6.806



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 1

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=3.354

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 3

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.997

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 5

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=18.389

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 13

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=10.791

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 16

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=108506.8

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.4

0.8

Family 20

Kc[C(F(x),G(y))]

Em

pir

ica

l d

.f.

a=0.86








seleccionan entonces, por el metodo de Genest y Rivest, a las copulas 1, 5, 12 y 14.


5, 13 y 17. Los resultados se muestran a continuacion:


1 (Clayton) 0.08495030 •5 (Frank) 1.847994e-05 0.9594565

12 0.1803805 •13 • 0.2943807

14 0.4902627 •17 • 0.9899398


τ = 0.8






1 (Clayton) 0.8619852 0.2954175

2 0.006325107 •4 (Gumbel) 0.9646228 •5 (Frank) 0.4458474 0.9999370

12 0.8645143 •13 • 0.8315925

14 0.9320884 •15 0.9849018 •18 4.743733e-06 •


con τ = 0.8


de Genest y Rivest, las copulas 1, 2, 4, 5, 12, 14, 15 y 18. Por el metodo de maxima





1 (Clayton) 0.987698269 0.7211625

2 0.121188414 •4 (Gumbel) 0.999266985 •5 (Frank) 0.847488454 0.999999

12 0.996255192 •13 • 0.9876983

14 0.996255192 •15 0.999927214 •18 0.003150525 •


con τ = 0.8

Cuando los datos son generados con la copula Frank con τ = 0.8, se obtiene como resultado

con el metodo grafico I que las copulas 12 y 14 presentan un buen ajuste en las graficas y este

resultado se puede confirmar en los valores-P, en este caso el metodo falla y no selecciona

ni incluye entre los posibles modelos a la copula Frank cuando se estima el parametro de

dependencia con el metodo de Genet y Rivest. Cuando se estima el parametro por maxima

verosimilitud, el metodo grafico I proporciona como posibles modelos para los datos a las

copulas 5 (Frank) y 17, que presentan un buen ajuste de forma grafica y teorica, pues

tienen los valores-P mas altos.

Usando el metodo grafico II, cuando se estima el parametro de dependencia por el metodo

de Genest y Rivest se escogen las copulas 1 (Clayton), 4, 5, 12, 14 15 pues son las que

presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son los mas altos. Cuando se estima

el parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 5 (Frank) y

13 como posibles candidatas para representar los datos pues son las que presentan el mejor

ajuste en las graficas presentadas y valores-P mas altos, en este caso el metodo acierta y

entre los modelos seleccionados se incluye la copula de la que provienen los datos, ademas

es la que presenta el valor-P mas alto.

Usando el metodo grafico III, cuando se estima el parametro de dependencia con el metodo

de Genest y Rivest, el metodo grafico I proporciona una variedad de posibles modelos, entre

los que se encuentra la copula 1 (Clayton), 2, 4 (Gumbel), 5, 12, 14 y 15 pues son las que

presentan el mejor ajuste graficamente y sus valores-P son altos. Cuando se estima el

parametro de dependencia por maxima verosimilitud, se escogen las copulas 1(Clayton), 5

(Frank) y 13, pues son las que presentan los valores P mas altos y el mejor ajuste en las

graficas presentadas, en este caso el metodo acierta e incluye dentro de los posibles modelos

para modelar los datos a la copula de la que fueron simulados.

6. Pruebas de Bondad de Ajuste de

Vuong y Clarke

Para estudiar la estructura de dependencia de datos bivariados (multivariados), es necesario

inicialmente resolver dos problemas. El primero es elegir una familia apropiada de copulas,

es decir validar la hipotesis H0 : C ∈ ζ para alguna clase ζ, donde ζ es el conjunto de

familias que se quieren probar, por ejemplo ζ = Gauss, Student, Clayton,Gumbel, . . . ,el segundo es el problema de estimar el parametro de dependencia θ de la clase de copula

elegida C = Cθ : θ ∈ Θ, donde Θ es el rango de todos los posibles valores de θ (Belgo-

rodski, 2010). Hay muchos procedimientos de pruebas de bondad de ajuste para copulas,

uno de ellos es el expuesto en el capıtulo anterior, donde se estimo el parametro de de-

pendencia de la copula usando los metodos de Genest y Rivest y maxima verosimilitud.

Tambien se pueden usar otros metodos propuestos por Genest (2009). En algunas pruebas

de bondad de ajuste, (como las vistas en el capıtulo anterior) y en Genest (2009) puede

pasar que no se rechaza la hipotesis nula para mas de una familia de copulas o que por el

contrario la hipotesis nula se rechaza para todas las familias copula de interes (Belgorodski,

2010). En el primer caso, el investigador podrıa hacer un analisis subjetivo y decidir cual

de los modelos copula seleccionadas es mas adecuado. En el segundo caso, uno no puede

tomar ninguna decision (Belgorodski, 2010). En esta seccion se presenta una metodologıa

alternativa para pruebas de bondad de ajuste que son las pruebas de Vuong y Clarke. Estos

metodos fueron desarrollados para la comparacion de modelos no anidados.

6.1. Prueba de Vuong

La prueba de Vuong, como su nombre lo indica fue propuesta por Vuong (1989), esta prueba

compara dos modelos de regresion los cuales no deben ser anidados y esta basada en el

criterio de informacion de Kullback-Leibler (KLIC) (Kullback, 1951). KLIC es una medida

de distancia entre dos modelos estadısticos (Belgorodski, 2010). Considere un conjunto de

datos de tamano n que consiste de una variable dependiente Yi y un posible conjunto de

variables explicatorias xi, tenemos que:

KLIC := E0[log h0(Yi|xi)]− E0[log f(Yi|xi, β)] (6-1)

donde h0(.) es la densidad real (desconocida) de Yi dado xi, i = 1, . . . , n y E0 es el valor

108 6 Pruebas de Bondad de Ajuste de Vuong y Clarke

esperado del modelo real dado. f(.) es la densidad condicional del modelo ajustado con

parametro estimados β. En esta prueba se elige el modelo que tenga el valor del KLIC

mas pequeno. Por ejemplo, para dos modelos con densidades condicionales f1(Yi|xi, β1) y

f2(Yi|xi, β2) se comparan sus valores del KLIC. Si el modelo 1 es mejor que el modelo 2,

su estadıstico KLIC es mas pequeno, ası KLIC1 < KLIC2. En terminos de la ecuacion

anterior, se tiene que:

E0[log h0(Yi|xi)]− E0[log f1(Yi|xi, β1)] < E0[log h0(Yi|xi)]− E0[log f2(Yi|xi, β2)] (6-2)

esta expresion se reduce a:

E0

[log

(f1(Yi|xi, β1)

f2(Yi|xi, β2)

)]> 0 (6-3)

En otras palabras, el modelo 1 se prefiere sobre el modelo 2 si los valores de su log-

verosimilitud son significativamente mas grandes (Belgorodski, 2010). En Vuong (1989) se

propone el siguiente estadıstico

mi := log

(f1(Yi|xi, β1)

f2(Yi|xi, β2)

)i = 1, . . . , n (6-4)

De esta manera, m := (m1, . . . ,mn)t es un vector aleatorio. En este caso, si h(.) es la

funcion de masa real, entonces el valor esperado de m, esta dado por (Belgorodski, 2010):

E0 [m] := µm0 = (µm1 , . . . , µmn )t (6-5)

Si ambos modelos estan muy cercanos al modelo real que se esta probando h(.), entonces

se cumple que µm0 = 0, de esta manera, se formulan las hipotesis (Belgorodski, 2010):

H0 : µm0 = 0 vs H1 : µm0 6= 0 (6-6)

Vuong (1989) define el estadıstico v, basado en m, como se muestra a continuacion:

v =

√n(

1n

∑ni=1mi

)√1n

∑ni=1 (mi − m)2

(6-7)

con m := 1n

∑ni=1mi, y demuestra que bajo H0, v

D→ N(0, 1). De esta manera, a un nivel de

significancia α, se rechaza H0 si |v| ≥ z1−α2, donde z1−α

2es el cuantil 1− α

2de la distribucion

normal estandar.

En esta prueba, se prefiere al modelo 1 sobre el modelo 2 si v ≥ z1−α2, esto es, valores

altos de v indican que KLIC del modelo 1 mas pequeno comparado con el modelo 2. De

manera similar, la prueba elige al modelo 2, si v ≤ z1−α2, ambos modelos son equivalentes

6.1 Prueba de Vuong 109

si −z1−α2≤ v ≤ z1−α

2. La prueba de Vuong no es una prueba exacta, dado que el estadısti-

co pueba se distribuye como una normal estandar solo de forma asintotica (Belgorodski

(2010)). El estadıstico de Vuong es sensible al numero de coeficientes estimados en ambos

modelos, pues se basa en los valores individuales del log-verosimilitud y no incorpora en

el calculo el numero de parametros del modelo. Para mejorar esto Vuong (1989), sugiere

mejorar su prueba incluyendo un factor de correccion que tiene en cuenta el numero de

parametros estimados en el modelo, llamado, factor de correccion de Schwarz:

p1

2log n− p2

2log n, (6-8)

donde p1 y p2 corresponden al numero de parametros en el modelo 1 y 2 respectivamente

y n es el numero de observaciones. Ası, el estadıstico ajustado de Vuong con la correccion

de Schwarz esta definido por:

v :=

√n[(

1n

∑ni=1mi

)−(p12

log n− p22

log n)]√

1n

∑ni=1 (mi − m)2

(6-9)

Note que, la correccion de la funcion individual log-verosimil del modelo 1 por el terminop12

log n y del modelo 2 por el termino p22

log n, dada en la ecuacion anterior, produce un

estadıstico de forma similar al de la ecuacion 6-7:

v :=

√n(

1n

∑ni=1 mi

)√1n

∑ni=1 (mi − ¯m)

2(6-10)

con mi = mi−(p12n

log n− p22n

log n)

=[log f1

(Yi|xi, β1

)− p1

2log n

]−[log f2

(Yi|xi, β2

)− p2

2log n

].

El valor P de la prueba se define como el nivel de significancia (α) mas pequeno con el cual

la prueba rechaza la hipotesis nula, en la prueba de Vuong, se calcula como:

|v| = z1−α2

(6-11)

Sea Φ(.) la funcion de distribucion de la normal estandar, aplicando Φ(.) a ambos lados de

la igualdad anterior y usando la simetrıa de Φ(.), tenemos que (Belgorodski, 2010):

Φ (|v|) = 1− α2

⇒ α2

= 1− Φ (|v|)⇒ α = 2 (1− Φ (|v|))⇒ α = 2Φ (−|v|)

(6-12)

Ası, de esta ultima expresion, tenemos que el valor p de la prueba de Vuong es:

p = 2Φ(−|v|) (6-13)


6.2. Prueba de Clarke

Como en la prueba de Vuong, el prueba de Clarke esta basada en el criterio de informacion

de Kullback-Leibler y compara si la funcion log-verosimil de un modelo es significativa-

mente mas grande que la funcion log-verosimil de otro modelo. Esta prueba fue propuesta

por Clarke (2007). En la hipotesis nula de esta prueba se supone que los modelos son

equivalentes, formulada de la siguiente manera:

H0 : P

(log

(f1(Yi|xi, β1

f2(Yi|xi, β2)

)> 0

)= 0.5 (6-14)

Esta ecuacion significa que las funciones log-verosimiles estan igualmente distribuidos al-

rededor del cero bajo la hipotesis nula, es decir, la mitad de las observaciones de la razon

del log-verosimilitud podra ser mas grande que cero y la otra mitad podrıa ser menor que

cero (Belgorodski (2010)). Se define di, i = 1, . . . , n como:

di = log f1

(Yi|xi, β1

)− log f2

(Yi|xi, β2

)(6-15)

y se define el estadıstico como (Belgorodski, 2010):

B =n∑i=1

I(0,∞)(di) (6-16)

donde I(.)es una funcion indicadora y B corresponde al numero de diferencias positivas (di)

y puede ser interpretado como una variable aleatoria binomial con parametro n y p = 0.5

bajo la hipotesis nula, es decir, B ∼ Binom(n, p).

El modelo 1 caracterizado por el vector de parametros β1 es equivalente al modelo 2,

caracterizado por el vector de parametros β2, si B es igual al valor esperado de np =

n/2 bajo la hipotesis nula (Belgorodski, 2010). Se puede asumir la equivalencia de ambos

modelos a un nivel de significancia α si (Belgorodski, 2010):

B ∈(n

2− εα,

n

2+ εα

)(6-17)

para εα pequeno. Denotemos como cα+ := n2

+εα y cα− := n2−εα. Ası, la expresion anterior,

tiene la forma:

B ∈ (cα−, cα+) (6-18)

Si el modelo 1 es mejor que el modelo 2, B sera significativamente mas grande que su valor

esperado(n2

)bajo la hipotesis nula. Generalmente, esto dificulta la construccion de una

prueba de dos colas para el problema 6-14. En este caso, el uso de pruebas unilaterales

tiene mas sentido en cada situacion. De esta forma, dividimos el problema de la prueba

bilateral

6.2 Prueba de Clarke 111

H0 : B =n

2vs H1 : B 6= n

2

en dos casos: una prueba de cola superior

H0 : B =n

2vs H1 : B >

n

2(6-19)

y una prueba de cola inferior

H0 : B =n

2vs H1 : B <

n

2(6-20)

Ahora, se definen las regiones de rechazo para las pruebas 6-19 y 6-20 respectivamente. La

prueba de cola superior tiene un nivel de significancia α, si la probabilidad del error tipo I

no es mas grande que α, es decir,

P (B ≥ cα+) ≤ α (6-21)

Usando, la distribucion binomial, tenemos que:

P (B ≤ a) =a∑i=1

(n

i

)pi (1− p)n−i (6-22)

De esta manera, para B ∼ Binom(n, p), la expresion 6-21 se puede escribir como:

P (B ≥ cα+) =n∑

c=cα+

(n

c

)0.5n ≤ α (6-23)

En la prueba de cola superior, se rechaza la hipotesis nula a un nivel de significancia del

α, si B ≥ cα+ donde cα+ es el entero mas pequeno de tal forma que la expresion 6-22 se

cumple.

Para determinar el valor de cα+ usamos la igualdad dada en 6-21:

P (B ≥ cα+) = α

⇔ 1− P (B < cα+) = α

⇔ P (B < cα+) = 1− α⇔ P (B ≤ cα+ − 1) = 1− α⇔ B (cα+ − 1) = 1− α⇔ cα+ − 1 = zbin (1− α)

⇔ cα+ = 1 + zbin (1− α)

(6-24)

Donde B denota la funcion de distribucion de B ∼ Binom (n, 0.5) y zbin es su funcion

cuantil. Ası, el valor p de la prueba de cola superior esta dado por (Belgorodski, 2010):


B = cα+

⇔ B = 1 + zbin (1− α)

⇔ B − 1 = zbin (1− α)

⇔ B (B − 1) = 1− α⇔ α = 1−B (B − 1)

⇔ p = 1−B (B − 1)

(6-25)

De manera similar, la prueba de cola inferior tiene un nivel de significancia α, si la proba-

bilidad del error tipo I no es mas grande que α, es decir:

P (B ≤ cα−) ≤ α (6-26)

o si

P (B ≤ cα−) =

cα−∑c=0

(n

c

)0.5n ≤ α (6-27)

De esta manera, se rechaza la hipotesis nula a un nivel de significancia α, si B ≤ cα−,

donde cα− es elegido como el entero mas pequeno tal que 6-27 se conserve.

Para determinar cα− usamos la igualdad dada en 6-26 (Belgorodski, 2010):

P (B ≤ cα−) = α

⇔ B (cα−) = α

⇔ cα− = zbin (α)

(6-28)

Finalmente, se llega a que el valor p de la prueba de cola inferior esta dado por (Belgorodski

(2010)):

B = cα−⇔ B = zbin (α)

⇔ B (B) = α

⇔ p = B (B)

(6-29)

6.3. Simulacion en R

En esta seccion, se presenta un estudio de simulacion de las pruebas de bondad de ajuste

de Voung y Clarke expuestas anteriormente implementadas en el paquete CDVine de R. Las

pruebas de Voung y Clarke comparan dos copulas ajustadas al mismo conjunto de datos,

en este caso, se considerara el conjunto de todos los posibles modelos a ser comparados

denotado por ζ : Clayton, Frank,Normal,Gumbel, Joe . Se ilustra el procedimiento

6.3 Simulacion en R 113

implementado en R, generando datos de una copula Frank usando un parametro de depen-

dencia de τ = 0.8. El proceso de simulacion se realizara siguiendo los siguientes pasos:

1. Estimar el parametro de dependencia θi de cada copula Ci, i = 1, . . . ,m dadas en

ζ. Note que el parametro de dependencia para las copulas Normal, Gumbel, Clayton

y Frank tienen una relacion directa con el τ de Kendall, de esta manera, se pueden

estimar usando dicha relacion. En el caso de la copula Joe, se usara el metodo de

maxima verosimilitud.

2. Para cada i = 1, . . . ,m se compara la copula Cθi con el resto de las copulas dadas en

ζ.

3. Se calculan los puntajes de acuerdo al resultado obtenido en cada prueba, en este

caso, se denota (I) al modelo que se esta comparando, por ejemplo, la copula Frank

y (II) es una de las otras copulas dadas en ζ, Normal, Gumbel, Clayton o Joe. Los

puntajes se asignan de la siguiente manera:

Si la prueba elige el modelo (I), es decir, (I)>(II), se asigna un valor de 1. Si la prueba

elige al modelo (II), (I)<(II), se asigna un valor de -1 y si la prueba no elige ninguno

de los dos modelos (I)=(II), se asigna un valor de cero.

El puntaje asociado a cada copula resulta de sumar todos los valores obtenidos segun

los resultados de las pruebas.

4. Se toma la decision de acuerdo a los puntajes obtenidos, la copula con el puntaje mas

alto es la mas adecuada entre todas las copulas consideradas aplicando las pruebas

de Voung y Clarke.

Como se menciono anteriormente, en este caso, se ilustrara el proceso simulando 300 datos

de una copula Frank, usando τ = 0.8. Se contrasta las hipotesis H0 : (I) = (II). El

resultado (I) > (II) significa que la prueba selecciono el modelo (I), es decir, este modelo

es mas adeucado que el modelo (II) para los datos simulados y (I) < (II) indica que el

modelo (II) es mejor. Los resultados se muestran a continuacion:

Frank (II) Gumbel (II) Normal (II) Joe (II) Clayton (II) Puntaje

Frank (I) (I) > (II) (I) > (II) (I) > (II) (I) > (II) 4

Gumbel (I) (I) < (II) (I) = (II) (I) > (II) (I) > (II) 1

Normal (I) (I) < (II) (I) = (II) (I) > (II) (I) > (II) 1

Joe (I) (I) < (II) (I) < (II) (I) < (II) (I) = (II) -3

Clayton (I) (I) < (II) (I) < (II) (I) < (II) (I) = (II) -3

Tabla 6-1.: Resultados prueba de Voung


Frank (II) Gumbel (II) Normal (II) Joe (II) Clayton (II) Puntaje

Frank (I) (I) > (II) (I) > (II) (I) > (II) (I) > (II) 4

Gumbel (I) (I) < (II) (I) = (II) (I) > (II) (I) > (II) 1

Normal (I) (I) < (II) (I) = (II) (I) > (II) (I) > (II) 1

Joe (I) (I) < (II) (I) < (II) (I) < (II) (I) = (II) -3

Clayton (I) (I) < (II) (I) < (II) (I) < (II) (I) = (II) -3

Tabla 6-2.: Resultados prueba de Clarke

Segun los resultados dados en las tablas 6.3 y 6.3, las pruebas de Vuong y Clarke logran

identificar a la copula Frank, de donde se simularon los datos, como la copula mas adecua-

da, cuando esta se compara con el resto, las pruebas seleccionan dicha copula, logrando

el puntaje mas alto. Estos resultados, se obtuvieron luego de realizar el proceso de 4 pa-

sos descrito anteriormente (ver codigos de las pruebas en el anexo). Usando la instruccion

BiCopVuongClarke del paquete CDVine de R, se lleva al mismo resultado, dicha instruc-

cion arroja solo los puntajes obtenidos por cada copula, no da informacion acerca de los

estadısticos de prueba y valores P, pero ofrece una gran variedad de modelos que se pueden

contrastar a los datos simulados. los resultados obtenidos con esta instruccion, se mestran

a continuacion:

Prueba Frank Gumbel Normal Joe Clayton

Voung 4 1 1 -3 -3

Clarke 4 1 1 -3 -3

Tabla 6-3.: Resultados pruebas de Voung y Clarke usando el paquete CDVine de R

Ahora, para ver como se comportan las pruebas de Voung y Clarke para diferentes valores de

τ , se aplicaran dichas pruebas implementadas en R en la instruccion BiCopVuongClarke

para valores de τ de 0.2, 0.5 y 0.8. Ademas se simulan los datos de las copulas Frank,

Clayton, Gumbel y Joe y se compara cada una con las 10 primeras copulas del paquete

CDVine, usando n = 300 datos.


6.3.1. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula

Frank

En este caso, los resultados son:

Prueba Normal t-Student Clayton Gumbel Frank Joe BB1 BB6 BB7 BB8

Voung -1 -1 -4 0 4 -1 0 0 -5 8

Clarke -7 -3 -9 4 4 -3 4 4 -3 9

Tabla 6-4.: Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Frank

con τ = 0.2


Voung 1 3 -5 0 8 -7 0 -2 -5 7

Clarke 0 5 -8 0 9 -8 2 -2 -5 7


con τ = 0.5


Voung 5 6 -4 -1 9 -8 0 -3 -3 -1

Clarke 5 8 -5 1 7 -9 4 -1 -5 -5


con τ = 0.8

Con τ = 0.2 las pruebas de Vuong y Clarke no logran identificar la copula de la que

provienen los datos, en este caso, la prueba de Vuong identifica a la copula t, BB1 y BB7

como las adecuadas o posibles modelos para los datos, mientras que la prueba de Clarke

selecciona a la copula BB7 como candidata. Con τ = 0.5, la prueba de Vuong selecciona a

la copula Clayton como la mas adecuada para modelar los datos, mientras que la prueba de

Clarke no logra identificar la copula de la que provienen los datos y en este caso selecciona

a la copula BB1. Cuando τ = 0.8, la prueba de Voung le sigue dando el puntaje mas alto a

la copula Clayton, mientras que la prueba de Clarke selecciona a la copula Clayton y BB1

como posibles modelos para modelar los datos. En general, la prueba de Vuong proporciona

mejores resultados.



Clayton



Voung 4 5 3 -2 -4 -7 5 -4 5 -5

Clarke -5 8 1 0 -2 -9 5 0 8 -6

Tabla 6-7.: Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Clayton

con τ = 0.2


Voung 0 0 8 -5 1 -9 7 -7 6 -1

Clarke -2 4 3 -5 6 -9 7 -7 5 -2


con τ = 0.5


Voung 0 2 8 -4 2 -9 7 -6 6 -5

Clarke -1 1 8 -3 4 -9 8 -5 4 -7


con τ = 0.8

Cuando los datos son simulados de la copula Frank, en general se observa que al aumentar

τ el desempeno de las pruebas tambien mejora. Con τ = 0.2 las pruebas de Vuong y Clarke

no logran identificar la copula de la que provienen los datos, en este caso, seleccionan a

la copula BB8 implementada en el paquete, como la copula mas adecuada para los datos.

Con τ = 0.5, los metodos mejoran, pues le dan los puntajes mas altos a la copula Frank,

en este caso se selecciona como la mas adecuada tanto por la prueba de Vuong como la de

Clarke. Cuando τ = 0.8, la prueba de Voung le sigue dando el puntaje mas alto a la copula

Frank, mientras que la prueba de Clarke le da el puntaje mas alto a la copula t. En este

caso, se comporta mejor, la prueba de Vuong.



Gumbel



Voung 1 1 -8 1 1 0 1 1 1 1

Clarke -5 -2 -9 6 2 -4 6 3 0 3

Tabla 6-10.: Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Gumbel

con τ = 0.2


Voung 1 1 -9 4 -2 -2 4 4 1 -2

Clarke -4 4 -9 4 4 -7 6 2 -4 4


con τ = 0.5


Voung -1 -1 -9 7 -2 -1 7 7 -6 -1

Clarke 4 6 -9 6 -1 -3 5 4 -7 -5


con τ = 0.8

Con τ = 0.2 la prueba de Vuong proporciona resultados confusos, pues selecciona como po-

sibles candidatas a la mayorıa de las copulas propuestas, entre ellas a la copula t, Normal,

Gumbel, Frank, BB1, BB7, BB7 y BB8. Mientras que la prueba de Clarke solo escoge a la

copula Gumbel y BB1 como los mas adecuados para los datos. Con τ = 0.5, los metodos

mejoran, la prueba de Vuong en este caso reduce el numero de posibles modelos, seleccio-

nando a las copulas Gumbel, BB1 y BB6, mientras que la prueba de Clarke selecciona a la

copula BB1 como el modelo adecuado para los datos. Cuando τ = 0.5 la prueba de Vuong

proporciona mejores resultados, pues dentro de las copulas seleccionadas se encuentra la

copula Gumbel, de donde se simularon los datos. Cuando τ = 0.8, nuevamente la prueba

de Voung selecciona a las copulas Gumbel, BB1 y BB6 como los mas adecuados, mientras

que la prueba de Clarke le da el puntaje mas alto a la copula t y a la copula Gumbel.


6.3.4. Prueba de Vuong y Clarke: Datos simulados de la copula Joe



Voung -5 -5 -9 1 -5 6 -1 6 5 6

Clarke -7 -4 -9 0 -4 5 0 5 5 9

Tabla 6-13.: Resultados pruebas de Voung y Clarke Simulando datos de la copula Joe con

τ = 0.2


Voung -5 -5 -9 1 -5 6 -1 6 6 6

Clarke -7 0 -9 4 -5 0 4 2 4 7


τ = 0.5


Voung -6 -3 -9 4 -5 8 2 8 -2 3

Clarke -6 -3 -9 5 -2 8 3 8 -4 0


τ = 0.8

Con τ = 0.2 la prueba de Vuong selecciona como posibles candidatas a las copulas Joe, BB6

y BB8, en este caso ,a la prueba de Vuong incluye entre los posibles modelos a la copula de

donde se simularon los datos. Mientras que la prueba de Clarke solo escoge a la copula BB8

como los mas adecuada para los datos. Con τ = 0.5, la prueba de Vuong selecciona a las

copulas Joe, BB6, BB7 y BB8, mientras que la prueba de Clarke selecciona a la copula BB8

como el modelo adecuado para los datos. Cuando τ = 0.5 la prueba de Vuong proporciona

mejores resultados, pues dentro de las copulas seleccionadas se encuentra la copula Joe,

de donde se simularon los datos. Cuando τ = 0.8, tanto la prueba de Voung como la de

Clarke seleccionan a las copulas Joe y BB6 como las mas adecuadas. En general, la prueba

de Vuong proporciona mejores resultados en este caso.

7. Conclusiones y Trabajos Futuros

Los metodos graficos para detectar dependencia vistos en este trabajo proporcionan

una herramienta util y alternativa al grafico que tradicionalmente se usa: El grafico

de dispersion. Los graficos Chi-Plot y K-Plot tienen la ventaja de que al aumentar

el tamano de muestra, su desempeno mejora y logran detectar dependencia aun si

se tiene un parametro de dependencia de τ = 0.3, resultado que no se logra con el

grafico de dispersion, pues este no logra detectar dependencia cuando el parametro

de dependencia es bajo aunque el tamano muestral sea grande.

Las pruebas graficas de bondad de ajuste expuestas en este trabajo, sirven como

una ayuda visual al momento de identificar un posible modelo para ajustar a los

datos, en general, los metodos graficos II y III proporcionan mejores resultados que

el metodo grafico I, por ejemplo, en el caso en que los datos son simulados de la

copula Gumbel, el metodo grafico I falla cuando el parametro de dependencia es

estimado por el metodo de Genest y Rivest pues no considera a la copula Gumbel

como un buen modelo para los datos estimados, mientras que los metodos graficos II

y III si incluyen este modelo como un modelo adecuado. Cabe resaltar que en el caso

de la copula Gumbel, cuando se estima el parametro de dependencia por maxima

verosimilitud, dicha copula queda descartada. Cuando los datos son simulados de la

copula Frank, nuevamente el metodo grafico I falla y no considera a este modelo como

un modelo adecuado para los datos cuando τ = 0.8 y el parametro de dependencia

se estima por Genest y Rivest, mientras que los metodos graficos II y III consideran

a la copula Frank como un modelo adecuado para los datos simulados. En general,

los metodos II y III presentan un mejor desempeno a la hora de identificar la copula

adecuada. Como se menciono anteriormente, estos metodos proporcionan una ayuda

visual para identificar un posible o posibles modelos para los datos en una primera

etapa de seleccion, para luego aplicar pruebas teoricas a las copulas pre-seleccionadas

que ayuden a tomar una decision.

Existe una variedad de pruebas teoricas de bondad de ajuste, entre ellas se encuentran

las pruebas de Vuong y Clarke, que presentan una buena alternativa al momento de

seleccionar una copula adecuada. En general, la prueba de Vuong presenta mejores

resultados que la prueba de Clarke, pues es mas eficaz a la hora de identificar la

copula de la que provienen los datos cuando el parametro de dependencia es alto.

Cuando se tiene un parametro de dependencia bajo, los resultados de las pruebas

120 7 Conclusiones y Trabajos Futuros

de Vuong y Clarke son similares, en ambos casos, no logran identificar el modelo de

donde provienen los datos. Ademas, tienen la ventaja de que estan implementadas

en R y se identifica de manera sencilla al modelo o posibles modelos para los datos.

Como trabajo futuro, crear una librerıa en R que incorpore los metodos graficos de

bondad de ajuste presentados en este trabajo.

A. Tablas Primeras y segundas

derivadas de las familias copulas

Familia C1 (u, v) = ∂∂uC (u, v)

1 u(−1−a)

(−1+u−a+v−a)(1+a)a

2 No tiene forma cerrada

3 v+av(−1+v)(−1+a(−1+u)(−1+v))2

4 (− log(u))−1+a((− log(u))a+(− log(v))a)−1+a−1

exp((−log(u))a+(− log(v))a)1a u

5 ea(−1+eav)−ea+e(a+au)−e(au+av)+ea+av

6 −[1− u(−1+a)−1 + (1− v)a(1− u)a + (1− v)a − (1− u)a(1− v)a(−1+ 1a )]



9 v−av log(v)expa log(u) log(v)

10 − v(−2+va)

(2−va+ua(−1+va))(1+a)a


12[−1+ 1

u ](−1+a)[(−1+ 1

u )a+(−1+ 1

v )a](−1+ 1

a)

u2[1+(−1+ 1u )a+(−1+ 1

v )a

1a ]2

131u exp1− [−1 + (1− log(u))a + (1− log(v))a]

1a ∗

[1− log(u)](−1+a)[−1 + (1− log(u))a + (1− log(v))a](−1+1a )

14u−(1+a)

a [−1 + u−1a ](−1+a)[(−1 + u−

1a )a + (−1 + v−

1a )a](−1+

1a )∗

[1 + ((−1 + u−1a )a + (−1 + v−

1a )a)

1a ](−1−a)


1612

(1 + a

u2 +[(

1 + au2

) (−1 + u− a

(−1 + 1

u + 1v

)+ v)])∗

12

√4a+

(−1 + u− a

(−1 + 1

u + 1v

)+ v)2

17[1+u](−1−a)[−1+(1+v)−a]

[−1+2−a][1+

(−1+(1+u)−a)(−1+(1+v)−a)

−1+2−a

] (1+a)a


19 a2eau(

−ea+eau+e

av

)u2 log

[−ea+e

au+e

av

]220 e

1ua u(−1−a)(

−e+e1ua +e

1va)log[−e+e

1ua +e

1va] (1+a)

a

Tabla A-1.: Primera derivada de las familias copulas

122 A Tablas Primeras y segundas derivadas de las familias copulas

Familia C12 (u, v) = ∂∂u

∂∂vC (u, v)

1 (1 + a)u(−1−a)v(−1−a)(−1 + 1ua + 1

va )(−2−1a )


3−1 + a2(−1 + u+ v − uv)− a(−2 + u+ v + uv))∗

1

[−1 + a(−1 + u)(−1 + v)]3

4

[[− log(u)](−1+a)[−1 + a+ ((− log(u))a + (− log(v))a)1a ]]∗

[(− log(u))a + (− log(v))a](−2+1a )[− log(v)](−1+a)∗

1

exp(− log(u))a + (− log(v))a 1auv

5a expa(1 + u+ v)(−1 + ea)

(ea − e(a+au) + ea(u+v) − e(a+av))2

6[1− u](−1+a)[a− (−1 + (1− u)a)(−1 + (1− v)a)]∗

[(1− u)a + (1− v)a − (1− u)a(1− v)a](−2+1a )(1− v)(−1+a)



91− a− a log(v) + a log(u)(−1 + a log(v))

expa log(u)log(v)

10 [2− va + ua(−1 + va)](−2−1a )[4− 2va + ua(−2− (−1 + a)va)]


12

[−1 + 1u ]a[−1 + a+ (−1 + 1

u )a + (−1 + 1v )a 1

a + a(−1 + 1u )a + (−1 + 1

v )a 1a ]∗

[(−1 + 1u )a + (−1 + 1

v )a](−2+1a )[−1 + 1

v ]a

1

(−1 + u)u[1 + (−1 + 1u )a + (−1 + 1

v )a 1a ]3(−1 + v)v

13

1

uvexp1− (−1 + (1− log(u))a + (1− log(v))a)

1a ∗

[1− log(u)](−1+a)[−1 + a+ −1 + (1− log(u))a + (1− log(v))a 1a ]∗

[−1 + (1− log(u))a + (1− log(v))a](−2+1a )[1− log(v)](−1+a)

14

[−1 + u(−1a )]a[−1 + v(−

1a )]a ∗ [(−1 + u(−

1a ))a + (−1 + v−

1a )a](−2+

1a )∗

[1 + (−1 + u(−1a ))a + (−1 + v(−

1a ))a 1

a ](−2−a)∗[−1 + a+ 2a(−1 + u(−

1a ))a + (−1 + v(−

1a ))a 1

a ]∗1

au[−1 + u1a ]v[−1 + v

1a ]

Tabla A-2.: Segunda derivada de las familias copulas

123


162a[a2 + u2v2 + a(u2 + v2)] ∗ 1√

4a+ [−1 + u− a(−1 + 1u + 1

v ) + v]2∗

1

[u2v2(−1 + u+ v)2 + a2(u+ v − uv)2 + 2auvu2(−1 + v)− (−1 + v)v + u(1− v + v2)]

17

2a[(−1 + 2a)a(1 + u)a(1 + v)a + 2a−1 + (1 + u)a−1 + (1 + v)a]∗1

(1 + u)(1 + v)[2a − 2a(1 + u)a − 2a(1 + v)a + (1 + u)a(1 + v)a]2∗

1[1 + [−1+(1+u)(−a)][−1+(1+v)(−a)]

−1+2(−a)

] 1a


19a3 expa

(1u + 1

v

)[2 + log(−ea + e

au + e

av )]

(−ea + eau + e

av )2u2v2 log(−ea + e

au + e

av )3

20

expu(−a) + v(−a)u(−1−a)v(−1−a)∗log(−e+ e

1ua + e

1va )(−2−

1a )[1 + a+ a log(−e+ e

1ua + e

1va )]∗

1

[−e+ e1ua + e

1va ]2

Tabla A-3.: Segunda derivada de las familias copulas

B. Codigo Metodos Graficos para

Detectar Dependencia

library(CDVine)

#Datos simulados con tau=0.3 y n=20

tau=0.3

#Copula Gaussiana

gaussiana = BiCopSim(20,1,BiCopTau2Par(1, tau))

#Copula Clayton

clayton = BiCopSim(20,3,BiCopTau2Par(3, tau))

#Copula Gumbel

gumbel = BiCopSim(20,4,BiCopTau2Par(4, tau))

#Copula Frank

frank = BiCopSim(20,5,BiCopTau2Par(5, tau))

#Copula Joe

joe = BiCopSim(20,6,BiCopTau2Par(6, tau))

#Se toman las variable u1 y u2 con parametro de dependencia 0.3

ga1 = gaussiana[,1]

ga2 = gaussiana[,2]

c1=clayton[,1]

c2=clayton[,2]

gu1=gumbel[,1]

gu2=gumbel[,2]

f1=frank[,1]

f2=frank[,2]

j1=joe[,1]

j2=joe[,2]

#Grafico de Dispersion

126 B Codigo Metodos Graficos para Detectar Dependencia

par(oma=c(1,1,3.5,1),font=2,cex=0.9)

nf <- layout(rbind(c(1,1,2,2,3,3), c(0,4,4,5,5,0)))

plot(gaussiana,xlab=’u1’,ylab=’u2’,main=’Copula Gaussiana’)

abline(lm(ga2 ga1),lty=1)

plot(clayton,xlab=’u1’,ylab=’u2’,main=’Copula Clayton’)

abline(lm(c2 c1),lty=1)

plot(gumbel,xlab=’u1’,ylab=’u2’,main=’Copula Gumbel’)

abline(lm(gu2 gu1),lty=1)

plot(frank,xlab=’u1’,ylab=’u2’,main=’Copula Frank’)

abline(lm(f2 f1),lty=1)

plot(joe,xlab=’u1’,ylab=’u2’,main=’Copula Joe’)

abline(lm(j2 j1),lty=1)

mtext(outer=T,expression(paste(n,"=",20,", ",tau,"=",0.3)),side=3)

#Grafico Chi-plot:

par(oma=c(1,1,3.5,1),font=2,cex=0.9)


BiCopChiPlot(ga1, ga2, PLOT=TRUE, mode="NULL",main=’Copula Gaussiana’,

xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

BiCopChiPlot(c1, c2, PLOT=TRUE, mode="NULL",main=’Copula Clayton’,

xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

BiCopChiPlot(gu1, gu2, PLOT=TRUE, mode="NULL",main=’Copula Gumbel’,

xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

BiCopChiPlot(f1, f2, PLOT=TRUE, mode="NULL",main=’Copula Frank’,

xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

BiCopChiPlot(j1, j2, PLOT=TRUE, mode="NULL",main=’Copula Joe’,

xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))


#Grafico K-Plot:

127

par(oma=c(1,1,3.5,1),font=2,cex=0.9)


BiCopKPlot(ga1, ga2, PLOT=TRUE,main=’Copula Gaussiana’)

BiCopKPlot(c1, c2, PLOT=TRUE,main=’Copula Clayton’)

BiCopKPlot(gu1, gu2, PLOT=TRUE,main=’Copula Gumbel’)

BiCopKPlot(f1, f2, PLOT=TRUE,main=’Copula Frank’)

BiCopKPlot(j1, j2, PLOT=TRUE,main=’Copula Joe’)


C. Codigo Pruebas Graficas de Bondad

de Ajuste

#Estimacion No parametrica del parametro de dependencia de la copula Alpha (procedimiento

de Genest y Rivest):

calc.alpha<-function(ktau)

# family no. 1

a.1=(2*ktau)/(1-ktau)

if (a.1>=-1 && a.1!=0) isValid=" is valid!"

else isValid=" is not valid!"

cat("a.1=",a.1,isValid,"\n")

# family no. 2

a.2=-2/(ktau-1)

if (a.2>=1) isValid=" is valid!" else isValid=" is not valid!"


# family no. 4

a.4=-1/(ktau-1)

if (a.4>=1) isValid=" is valid" else isValid=" is not valid"


debye<-function(k,x)\\

t1<-k/(x^k)

t2<-function(t) t^k/(exp(t)-1)

t3<-integrate(t2,lower=0,upper=x)

t1*t3$value

f2<-function(x,ktau)

130 C Codigo Pruebas Graficas de Bondad de Ajuste

(1+(4/x)*(1-debye(1,-x))-ktau)^2

a.5=optimize(f2,interval=c(0, 1000000000),ktau)

if (a.5>=-1 && a.5!=0) isValid=" is valid!"

else isValid=" is not valid!"


# family no. 8

a.8=-4/(-1+3*ktau)



# family no. 12

a.12=2/(3*(1-ktau))



# family no. 14

a.14=(1+ktau)/(2*(1-ktau))



# family no. 15

a.15=(3-ktau)/(2*(1-ktau))



# family no. 18

a.18=4/(3*(1-ktau))



invisible(ktau)

calc.alpha(ktau=tau)

#Para la estimacion del alpha usando el procedimiento de maxima

#verosimilitud, primero debe hallarse la Funcion de densidad de la copula: c12(u,v)=d/du

d/dv C(u,v)

131

duv.1<-function(u,v,a)

(1+a)*u^(-1-a)*v^(-1-a)*(-1+u^(-a)+v^(-a))^(-2-a^(-1))

duv.3=function(u,v,a)

(-1+a^2*(-1+u+v-u*v)-a*(-2+u+v+u*v))/

(-1+a*(-1+u)*(-1+v))^3


((-log(u))^(-1+a)*(-1+a+((-log(u))â+(-log(v))â)â^(-1))

*((-log(u))â+(-log(v))â)^(-2+a^(-1))*(-log(v))^(-1+a))/

(exp((-log(u))â+(-log(v))â)â^(-1))*u*v


(a*exp(a*(1+u+v))*(-1+exp(a)))/

(exp(a)-exp(a+a*u)+exp(a*(u+v))-exp(a+a*v))^2


(1-u)^(-1+a)*(a-(-1+(1-u)â)*(-1+(1-v)â))*

((1-u)â+(1-v)â-(1-u)â*(1-v)â)^(-2+a^(-1))*(1-v)^(-1+a)


(1-a-a*log(v)+a*log(u)*(-1+a*log(v)))/exp(a*log(u)*log(v))


(2-vâ+uâ*(-1+vâ))^(-2-a^(-1))*(4-2*vâ+uâ*(-2-(-1+a)*vâ))


((-1+u^(-1))â*(-1+a+((-1+u^(-1))â+(-1+v^(-1))â)â^(-1)+a*

((-1+u^(-1))â+(-1+v^(-1))â)â^(-1))*((-1+u^(-1))â+

(-1+v^(-1))â)^(-2+a^(-1))*(-1+v^(-1))â)/

((-1+u)*u*(1+((-1+u^(-1))â+(-1+v^(-1))â)â^(-1))^3*(-1+v)*v)


(exp(1-(-1+(1-log(u))â+(1-log(v))â)â^(-1))*

(1-log(u))^(-1+a)*(-1+a+(-1+(1-log(u))â+(1-log(v))â)â^(-1))*

(-1+(1-log(u))â+(1-log(v))â)^(-2+a^(-1))*(1-log(v))^(-1+a))/(u*v)



((-1+u^(-a^(-1)))â*(-1+v^(-a^(-1)))â*

((-1+u^(-a^(-1)))â+(-1+v^(-a^(-1)))â)^(-2+a^(-1))*

(1+((-1+u^(-a^(-1)))â+(-1+v^(-a^(-1)))â)â^(-1))^(-2-a)*

(-1+a+2*a*((-1+u^(-a^(-1)))â+(-1+v^(-a^(-1)))â)â^(-1)))/

(a*u*(-1+uâ^(-1))*v*(-1+vâ^(-1)))


(2*a*(a^2+u^2*v^2+a*(u^2+v^2)))/

(sqrt(4*a+(-1+u-a*(-1+u^(-1)+v^(-1))+v)^2)*(u^2*v^2*(-1+u+v)^2+a^2*

(u+v-u*v)^2+2*a*u*v*(u^2*(-1+v)-(-1+v)*v+u*(1-v+v^2))))


(2â*((-1+2â)*a*(1+u)â*(1+v)â+2â*(-1+(1+u)â)*

(-1+(1+v)â)))/((1+u)*(1+v)*(2â-2â*(1+u)â-2â*(1+v)â+

(1+u)â*(1+v)â)^2*(1+((-1+(1+u)^(-a))*(-1+(1+v)^(-a)))/

(-1+2^(-a)))â^(-1))


(a^3*exp(a*(u^(-1)+v^(-1)))*(2+log(-exp(a)+exp(a/u)+exp(a/v))))/

((-exp(a)+exp(a/u)+exp(a/v))^2*u^2*v^2*log(-exp(a)+exp(a/u)+exp(a/v))^3)


(exp(u^(-a)+v^(-a))*u^(-1-a)*v^(-1-a)*log(-exp(1)+exp(u^(-a))+

exp(v^(-a)))^(-2-a^(-1))*(1+a+a*log(-exp(1)+exp(u^(-a))+exp(v^(-a)))))/

(-exp(1)+exp(u^(-a))+exp(v^(-a)))^2

#Luego se transforman los datos en una distribucion uniforme estandar, es decir,

#Se hallan las marginales empıricas usando:

Empiric.df=function(data,x)

data <- sort(data)

if(min(data) > 0) a=0 else a=floor(min(data)/100)*100

if(max(data) < 0) b=0 else b=ceiling(max(data)/100)*100

for(j in 1:length(x))

if(x[j] < a) x[j] <- a

if(x[j] > b) x[j] <- b

133

data <- c(a,data,b)

n <- length(data)

p <- c(rep(NA,(n-1)))

q <- c(rep(NA,(n-1)))

for(i in 2:(n-2))

p[i] <- (data[i]+data[i+1])/2

q[i] <- (i-1)/(n-2)

p[1] <- a

p[n-1] <- b

q[1] <- 0

q[n-1] <- 1

approx(p,q,xout=c(x))$y

Emp.x <- Empiric.df(x,x)

Emp.y <- Empiric.df(y,y)

#Ahora encontramos el estimador del parametro de la copula usando el procedimiento

de maxima verosimilitud:

likest=function(u, v, nr, start)

diffmethod=paste("duv.",nr,sep="")

assign("udata", u)

assign("vdata", v)

assign("dfunc", diffmethod)

negloglik <- function(alpha)

f <- - sum(log(eval(call(dfunc,udata, vdata, alpha))))

f

result<-nlminb(objective=negloglik,start=start)

loglik.value <- -negloglik(result$par)

#list(result)

#find out, if estimator is valid or not

validtest="alpha is not valid"


if (nr==1) if(result$par >= -1 & result$par != 0)

validtest="alpha is valid" else

if (nr==3) if(result$par >= -1 & result$par< 1)


if (nr==4) if(result$par >= 1) validtest="alpha is valid" else

if (nr==5) if(result$par != 0) validtest="alpha is valid" else


if (nr==9) if(result$par > 0 & result$par <= 1)


if (nr==10) if(result$par > 0 & result$par <= 1)



if (nr==13) if(result$par >0) validtest="alpha is valid" else



if (nr==17) if(result$par != 0) validtest="alpha is valid" else

if (nr==19) if(result$par > 0) validtest="alpha is valid" else

if (nr==20) if(result$par > 0) validtest="alpha is valid"

else validtest="validity test not successfull!"

list(result$par, loglik.value, result$message, validtest)

#Al momento de llamar a la funcion, indique el nombre de cada familia usando

nr para el no. de la familia. #Seleccioando un punto arbitrario para iniciar

la optimizacion (start). Por ejemplo:

likest(Emp.x,Emp.y,1,0.86)

#Metodos Graficos:

#Metodo Grafico I: el metodo grafico I hace uso de las primeras derivadas, dadas

a continuacion:

du.1=function(u,v,a)

u^(-1-a)/((-1+u^(-a)+v^(-a))^((1+a)/a))


((1+(a*(-1+v)))*v)/(-1+(a*(-1+u)*(-1+v)))^2


(((-log(u))^(-1+a))*((-log(u))â+(-log(v))â)^(-1+a^(-1)))/

135

(exp((-log(u))â+(-log(v))â)â^(-1)*u)


(exp(a)*(-1+exp(a*v)))/(-exp(a)+exp(a+a*u)-exp(a*(u+v))+exp(a+a*v))


-(((1-u)^(-1+a))*(-1+((1-v)â))*((1-u)â+(1-v)â-((1-u)â*(1-v)â))^(-1+a^(-1)))


(v-a*v*log(v))/exp(a*log(u)*log(v))


-((v*(-2+vâ))/(2-vâ+uâ*(-1+vâ))^((1+a)/a))


((-1+u^(-1))^(-1+a)*((-1+u^(-1))â+(-1+v^(-1))â)^(-1+a^(-1)))/

(u^2*(1+((-1+u^(-1))â+(-1+v^(-1))â)â^(-1))^2)


(exp(1-(-1+(1-log(u))â+(1-log(v))â)â^(-1))*

(1-log(u))^(-1+a)*(-1+(1-log(u))â+(1-log(v))â)^(-1+a^(-1)))/u


((-1+u^(-a^(-1)))^(-1+a)*((-1+u^(-a^(-1)))â+

(-1+v^(-a^(-1)))â)^(-1+a^(-1))*(1+((-1+u^(-a^(-1)))â+

(-1+v^(-a^(-1)))â)â^(-1))^(-1-a))/u^((1+a)/a)


(1+a/u^2+((1+a/u^2)*(-1+u-a*(-1+u^(-1)+v^(-1))+v))/

sqrt(4*a+(-1+u-a*(-1+u^(-1)+v^(-1))+v)^2))/2


((1+u)^(-1-a)*(-1+(1+v)^(-a)))/((-1+2^(-a))*

(1+(((-1+(1+u)^(-a))*(-1+(1+v)^(-a)))/(-1+2^(-a))))^((1+a)/a))


(a^2*exp(a/u))/((-exp(a)+exp(a/u)+exp(a/v))*

u^2*log(-exp(a)+exp(a/u)+exp(a/v))^2)



(exp(u^(-a))*u^(-1-a))/((-exp(1)+exp(u^(-a))+exp(v^(-a)))*

log(-exp(1)+exp(u^(-a))+exp(v^(-a)))^((1+a)/a))

#M~A c©todo Gr~A¡fico 1:

plotmeth1=function(data1,data2,alpha,nr)

psfile=paste("Meth1=",nr,".ps",sep="")

diffmethod=paste("du.",nr,sep="")

title=paste("Family",nr)

alphavalue=paste("a=",round(alpha,digits=3),sep="")

message=c("no message")

#postscript(psfile)

data3=sort(eval(call(diffmethod,data1,data2,alpha)))

diffdata=data3[!is.na(data3)]

if(length(data3)>length(diffdata))

message=paste("Family ",nr,"contains NA!")

tq=((1:length(diffdata))/(length(diffdata)+1))

plot(diffdata,tq,main=title,xlab="C1[F(x),G(y)]",ylab="U(0,1)",type="l")

legend(0.6,0.3,c(alphavalue))

abline(0,1)

#dev.off()

#Metodo Grafico II. Este metodo hace uso de la funcion K y de las funciones

copula, dadas a continuacion:

Kfi.1=function(t, a)

fi.1=1/a*(t^-a-1)

dfi.1=-t^(-1-a)

Kfi.1=t-fi.1/dfi.1

Kfi.1


fi.2=(1-t)â

dfi.2=-(a*(1-t)^(-1+a))

Kfi.2=t-fi.2/dfi.2

Kfi.2


137

fi.3=log((1-a*(1-t))/t)

dfi.3=(-1 + a)/((1 + a*(-1 + t))*t)

Kfi.3=t-fi.3/dfi.3

Kfi.3


fi.4=(-log(t))â

dfi.4=a*(-log(t))â/(t*log(t))

Kfi.4=t-fi.4/dfi.4

Kfi.4


fi.5=-log((exp(-a*t)-1)/(exp(-a)-1))

dfi.5=a/(1-exp(a*t))

Kfi.5=t-fi.5/dfi.5

Kfi.5


fi.6=-log(1-(1-t)â)

dfi.6=-((a*(1 - t)^(-1 + a))/(1 - (1 - t)â))

Kfi.6=t-fi.6/dfi.6

Kfi.6


fi.7=-log(1-(1-t)â)

dfi.7=-((a*(1 - t)^(-1 + a))/(1 - (1 - t)â))

Kfi.7=t-fi.7/dfi.7

Kfi.7


fi.8=(1-t)/(1+t*(a-1))

dfi.8=-(a/(1-t+a*t)^2)

Kfi.8=t-fi.8/dfi.8

Kfi.8


fi.9=log(1-a*log(t))

dfi.9=a/(-t + a*t*log(t))

Kfi.9=t-fi.9/dfi.9

Kfi.9



fi.10=log(2*t^(-a)-1)

dfi.10=(2*a)/(t*(-2 + tâ))

Kfi.10=t-fi.10/dfi.10

Kfi.10


fi.11=log(2-tâ)

dfi.11=(a*t^(-1 + a))/(-2 + tâ)


Kfi.11


fi.12=(1/t-1)â

dfi.12=-(a*(-1+1/t)^(-1+a)/t^2)


Kfi.12


fi.13=(1-log(t))â-1

dfi.13=-((a*(1 - log(t))^(-1 + a))/t)


Kfi.13


fi.14=(t^(-1/a)-1)â

dfi.14=(-1+t^-(1/a))â/(t*(-1+t^(1/a)))


Kfi.14

Kfi.15<-function(t, a)

fi.15=(1-t^(1/a))â

dfi.15=-(t^(-1+1/a)*(1-t^(1/a))^(-1+a))


Kfi.15

139


fi.16=(a/t+1)*(1-t)

dfi.16=-1 - a/t^2


Kfi.16


fi.17=-log(((1+t)^(-a)-1)/(2^(-a)-1))

dfi.17=-(a/((1 + t)*(-1 + (1 + t)â)))


Kfi.17


fi.18=exp(a/(t-1))

dfi.18=-(a*exp(a/(-1+t))/(-1+t)^2)


Kfi.18


fi.19=exp(a/t)-exp(a)

dfi.19=-((a*exp(a/t))/t^2)


Kfi.19


fi.20=exp(t^(-a))-exp(1)

dfi.20=-(a*exp(t^(-a))*t^(-1 - a))


Kfi.20

#-----copula clayton (copula 1)--------------------

copula.1<-function(data1,data2,alpha)


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

for(i in 1:n)

Cl[i]<-max(1/(((data1[i]^(-alpha))+(data2[i]^(-alpha))-1)^(1/alpha)),0)

return(Cl)

#-----copula 2--------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

for(i in 1:n)

Cl[i]<-max(1-((1-data1[i])^(alpha)+(1-data2[i])^(alpha))^(1/alpha),0)

return(Cl)

#-----copula 3--------------------


n<-length(data1)

Gum<-numeric(n)

for(i in 1:n)

Gum[i]<-(data1[i]*data2[i])/(1-alpha*(1-data1[i])*(1-data2[i]))

return(Gum)

#-----copula gumbel (copula 4)--------------------


n<-length(data1)

Gum<-numeric(n)

for(i in 1:n)

Gum[i]<-exp(-((-log(data1[i]))^(alpha)+(-log(data2[i]))^(alpha))^(1/alpha))

return(Gum)

#-----copula frank (copula 5)-------------------

141


n<-length(data1)

Fra<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

c<-numeric(n)

d<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a<- -(1/alpha)

b[i]<-(exp(-alpha*data1[i])-1)

c[i]<-(exp(-alpha*data2[i])-1)

d<-(exp(-alpha)-1)

Fra[i]<-a*log(1+((b[i]*c[i])/d))

return(Fra)

#-----copula 6-------------------


n<-length(data1)

j<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

c<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-(1-data1[i])âlpha

b[i]<-(1-data2[i])âlpha

c[i]<-a[i]*b[i]

j[i]<-1-(a[i]+b[i]-c[i])^(1/alpha)

return(j)

#-----Copula 7--------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

for(i in 1:n)

Cl[i]<-max(alpha*data1[i]*data2[i]+(1-alpha)*(data1[i]+data2[i]-1),0)


return(Cl)

#-----Copula 8--------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

c<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-(1-data1[i])

b[i]<-(1-data2[i])

c[i]<-a[i]*b[i]

Cl[i]<-max((alpha^2*data1[i]*data2[i]-a[i]*b[i])/(alpha^2-((alpha-1)^2)*c[i]),0)

return(Cl)

#-----Copula 9-------------------


n<-length(data1)

cop<-numeric(n)

for(i in 1:n)

cop[i]<-data[i]*data2[i]*exp(-alpha*log(data1[i])*log(data2[i]))

return(cop)

#-----Copula 10------------------


n<-length(data1)

cop<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-(1-(data1[i]âlpha))

b[i]<-(1-(data2[i]âlpha))

cop[i]<-(data1[i]*data2[i])/(1+(a[i]*b[i]))^(1/alpha)

return(cop)

143

#-----Copula 11------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-(1-data1[i])âlpha

b[i]<-(1-data2[i])âlpha

Cl[i]<-max(((data1[i]âlpha)*(data2[i]âlpha)-2*a[i]*b[i])^(1/alpha),0)

return(Cl)

#-----Copula 12-------------------


n<-length(data1)

cop<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-((data1[i]^(-1))-1)âlpha

b[i]<-((data2[i]^(-1))-1)âlpha

cop[i]<-(1+(a[i]+b[i])^(1/alpha))^(-1)

return(cop)

#-----copula 13-------------------


n<-length(data1)

G<-numeric(n)

for(i in 1:n)

G[i]<-exp(1-((1-log(data1[i]))^(alpha)+(1-log(data2[i]))^(alpha)-1)^(1/alpha))

return(G)

#-----copula 14-------------------



n<-length(data1)

G<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-((data1[i]^(-1/alpha))-1)âlpha

b[i]<-((data2[i]^(-1/alpha))-1)âlpha

G[i]<-(1+(a[i]+b[i])^(1/alpha))^(-alpha)

return(G)

#-----copula 15------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-(1-(data1[i]^(1/alpha)))âlpha

b[i]<-(1-(data2[i]^(1/alpha)))âlpha

Cl[i]<-max((1-(a[i]+b[i])^(1/alpha))âlpha,0)

return(Cl)

#-----copula 16-------------------


n<-length(data1)

j<-numeric(n)

s<-numeric(n)

for(i in 1:n)

s[i]<-data1[i]+data2[i]-1-alpha*(1/data1[i]+1/data2[i]-1)

j[i]<-1/2*(s[i]+sqrt(s[i]^2+4*alpha))

return(j)

145

#-----copula 17-------------------


n<-length(data1)

j<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-1/(1-data1[i])âlpha

b[i]<-1/(1-data2[i])âlpha

j[i]<-(1+(((a[i]-1)*(b[i]-1))/(2^(1/alpha)-1)))^(-1/alpha)-1

return(j)

#-----copula 18----------------------


n<-length(data1)

Cl<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-exp(alpha/(data1[i]-1))

b[i]<-exp(alpha/(data2[i]-1))

Cl[i]<-max(1+(alpha/log(a[i]+b[i])),0)

return(Cl)

#-----copula 19----------------------------


n<-length(data1)

G<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-exp(alpha/data1[i])

b[i]<-exp(alpha/data2[i])

G[i]<-alpha/(log(a[i]+b[i]-exp(alpha)))

return(G)


#-----copula 20---------------------------


n<-length(data1)

G<-numeric(n)

a<-numeric(n)

b<-numeric(n)

for(i in 1:n)

a[i]<-exp(data1[i]^(-alpha))

b[i]<-exp(data2[i]^(-alpha))

G[i]<-(log(a[i]+b[i]-exp(1)))^(-1/alpha)

return(G)

#Metodo Grafico 2

plotmeth2=function(data1,data2,alpha,nr)

psfile=paste("Meth2=",nr,".ps",sep="")

distmethod=paste("Kfi.",nr,sep="")

title=paste("Family",nr)

alphavalue=paste("a=",round(alpha,digits=3),sep="")

copulamethod=paste("copula.",nr,sep="")

message=c("no message")

#postscript(psfile)

data3=eval(call(copulamethod,data1,data2,alpha))

data4=sort(eval(call(distmethod,data3,alpha)))

distdata=data4[!is.na(data4)]

if(length(data3)>length(distdata))

message=paste("Family ",nr,"contains NA!")

tq=((1:length(distdata))/(length(distdata)+1))

plot(distdata,tq,main=title,xlab="Kc[C(F(x),G(y))]",ylab="U(0,1)",type="l")

#legend(0.6,0.3,alphavalue,font=13)

abline(0,1)

#dev.off()

#Metodo Grafico III:

rndvar<-function(y)

n=(length(y)/2)

147

W=numeric(n)

for(i in 2:n)

W[i]=sum(y[1,][1:n]<y[1,][i]& y[2,][1:n]<y[2,][i])/(n-1)

W

z <- rbind(sort(x),y[order(x)])

kn<-function(b)

w=rndvar(b)

f<-Empiric.df(w,w)

return(f)

plotmeth3<-function(data1,data2,z,alpha,nr)

psfile<-paste("Meth3=",nr,".ps",sep="")

distmethod<-paste("Kfi.",nr,sep="")

title<-paste("Family",nr)

alphavalue<-paste("a=",round(alpha,digits=3),sep="")

copulamethod<-paste("copula.",nr,sep="")

message<-c("no message")

#postscript(psfile)

data3<-eval(call(copulamethod,data1,data2,alpha))

data4<-data3[!is.na(data3)]

# nonparametric distribution

emp.distdata<-kn(z) # le quit~A c© [!is.na(data3)]

# parametric distribution

distdata<-sort(eval(call(distmethod,data4,alpha)))

# check, if NA occured

if(length(data3) > length(distdata[!is.na(distdata)]))

message<-paste("Family ",nr,"contains NA!")

plot(sort(distdata),sort(emp.distdata),main=title,xlab="Kc[C(F(x),G(y))]",ylab="Empirical d.f.",type="l")

legend(0.5,0.3,alphavalue)

abline(0,1)

#dev.off()

#Valores-P de los metodos Graficos de Bondad de ajuste


#Valores P para el Metodo Grafico I (Prueba de K-S):

pvalue.meth1=function(data1,data2,alpha,nr)

ks=numeric(length(nr))

for(i in 1:length(nr))

diffmethod=paste("du.",nr[i],sep="")

data3=sort(eval(call(diffmethod,data1,data2,alpha[i])))

diffdata=data3[!is.na(data3)]

ks[i]=ks.test(diffdata,"punif")$p

GOF=cbind(nr,ks)

ordered.ks=cbind(as.integer(nr),ks)

ordered.ks=cbind(ordered.ks[,1]

[order(-ordered.ks[,2])],-sort(-ordered.ks[,2]))

return(GOF)

#Valores p para el Metodo Grafico II (Prueba de K-S):

pvalue.meth2=function(data1,data2,alpha,nr)



distmethod=paste("Kfi.",nr[i],sep="")

copulamethod=paste("copula.",nr[i],sep="")

data3=eval(call(copulamethod,data1,data2,alpha[i]))

distdata=sort(eval(call(distmethod,data3,alpha[i])))

ks[i]=ks.test(distdata,"punif")$p

GOF=cbind(nr,ks)


ordered.ks=cbind(ordered.ks[,1]

[order(-ordered.ks[,2])],-sort(-ordered.ks[,2]))

return(GOF)

#Valores P para el Metodo Gafico II (Prueba de K-S):

149

pvalue.meth3=function(data1,data2,data3,alpha,nr)



distmethod=paste("Kfi.",nr[i],sep="")

copulamethod=paste("copula.",nr[i],sep="")

data4=eval(call(copulamethod,data1,data2,alpha[i]))

distdata=sort(eval(call(distmethod,data4,alpha[i])))

emp.distdata<-kn(z) # le quit~A c© [!is.na(data3)]

ks[i]=ks.test(distdata,emp.distdata)$p

GOF=cbind(nr,ks)


ordered.ks=cbind(ordered.ks[,1][order(-ordered.ks[,2])],

-sort(-ordered.ks[,2]))

return(GOF)

D. Codigo Pruebas de Vuong y Clarke

# --------------------------- VUONG-TEST -----------------------------------

#===============================================================================

# Author: Natalia Djunushalieva, TU M~A14nchen, March 2010

# For more details see Quang H. Vuong, 1989, Econometrica

# "Likelihood Ratio Tests for Model Selection and Non-Nested Hypotheses"

#-------------------------------------------------------------------------------

vuong.test<-function(loglik.model1,loglik.model2,alpha=0.05,p1=0,p2=0,

correction="Schwarz",print.result=TRUE,name.model1=NULL,name.model2=NULL)

#-----------------------------------------------------------------------------

# INPUT: PARAMETER DESCRIPTION

# loglik.model1 - numerical vector, individual log-likelihoods of model 1


# alpha - numerical, significance level of the test

# p1 - numerical, number of parameters in model 1


# correction - character, correction due to Schwarz or due to Akaike

# ("Schwarz" or "Akaike")

# print.result - logical, should test results be printed?

# name.model1 - character, model 1 denotation


#-----------------------------------------------------------------------------

# OUPUT: PARAMETER DESCRIPTION

# result - numerical, favored model (1=model1, 2=model2 or 0=non)

# nu - numerical, value of test statistic

# pvalue - numerical, p-value of test statistic nu

# kutosis - numerical, kurtosis of diff=loglik.model1-loglik.model2

#-----------------------------------------------------------------------------

# REQUIRED PACKAGES: timeDate (for kurtosis() function)

#-----------------------------------------------------------------------------

# load required packages - timeDate etc.

if(!is.element(c("package:timeDate"),search()))library("timeDate")

152 D Codigo Pruebas de Vuong y Clarke

model.spec<-""

result<-NA

if((is.null(name.model1)+ is.null(name.model2))==0)

model.spec1<-paste("(1) ",name.model1,sep="")


model.spec<-paste(model.spec1,model.spec2,sep=" ~ ")

#cat(paste("VUONG TEST: ",model.spec,sep=""), "\n")

if(print.result)cat("H0: model (1) is eqivalent to model (2)", "\n")

n<-length(loglik.model1)

if(correction=="Schwarz")

correction.term<-(p1-p2)*log(n)/(2*n) # for individual log-likelihoods

else if(correction=="Akaike")

correction.term<-(p1-p2)/n # for individual log-likelihoods

# Calculate test statistic

m.i<-loglik.model1-loglik.model2-correction.term

kurt.ratios<-kurtosis(loglik.model1-loglik.model2)

nu<-(sqrt(n)*mean(m.i))/(sqrt((n-1)/n*var(m.i)))

if(abs(nu)<qnorm(1-alpha/2))

decision<-"Decision: non of the models is favored"

result<-0

if(nu >=qnorm(1-alpha/2) )

decision<-"Decision: favor model 1"

result<-1

if(nu <= -qnorm(1-alpha/2) )


result<-2

if(print.result)cat(decision,"\n")

153

pvalue<-2*pnorm(-abs(nu))

result<-data.frame(result,round(nu,digits=3),

round(pvalue,digits=3),round(kurt.ratios,digits=3))

names(result)<-c("model","nu","p.value","kurtosis")

rownames(result)<-NULL

if(print.result)print(result)

if(print.result)cat("\n")

return(result)

rm(n,m.i,kurt.ratios,nu,pvalue,result,decision)

# end of vuong.test()

#===============================================================================

# --------------------------- CLARKE-TEST -----------------------------------

#===============================================================================

# Author: Natalia Djunushalieva, TU M~A14nchen, March 2010

# For more details see Kevin A. Clarke, 2007, Political Analysis

# "A Simple Distribution-Free Test for Nonnested Model Selection"

#-------------------------------------------------------------------------------

clarke.test<-function(loglik.model1,loglik.model2,alpha=0.05,p1=0,p2=0,

correction="Schwarz",print.result=TRUE,name.model1=NULL,name.model2=NULL)

#-----------------------------------------------------------------------------

# INPUT: PARAMETER DESCRIPTION



# alpha - numerical, significance level of the test



# correction - character, correction due to Schwarz or due to Akaike

# ("Schwarz" or "Akaike")

# print.result - logical, should test results be printed?



#-----------------------------------------------------------------------------

# OUPUT: PARAMETER DESCRIPTION

# result - numerical, favored model (1=model1, 2=model2 or 0=non)

# nu - numerical, value of test statistic

# pvalue - numerical, p-value of test statistic nu

# kutosis - numerical, kurtosis of diff=loglik.model1-loglik.model2

#-----------------------------------------------------------------------------

154 D Codigo Pruebas de Vuong y Clarke

# REQUIRED PACKAGES: timeDate (for kurtosis() function)

#-----------------------------------------------------------------------------

# load required packages - timeDate etc.

if(!is.element(c("package:timeDate"),search()))library("timeDate")

model.spec<-""

result<-NA

if((is.null(name.model1)+ is.null(name.model2))==0)



model.spec<-paste(model.spec1,model.spec2,sep=" ~ ")

#cat(paste("CLARKE TEST: ",model.spec,sep=""), "\n")

if(print.result)cat("H0: model (1) is eqivalent to model (2)", "\n")

n<-length(loglik.model1)

if(correction=="Schwarz")

correction.term<-(p1-p2)*log(n)/(2*n) # for individual log-likelihoods

else if(correction=="Akaike")

correction.term<-(p1-p2)/n # for individual log-likelihoods

# Calculate test statistic

m.i<-loglik.model1-loglik.model2-correction.term

kurt.ratios<-kurtosis(loglik.model1-loglik.model2)

B<-sum(m.i > 0)

# Calculate critical value

decision<-"Decision: non of the models is favored"

result<-0

if(B>=n/2)

if(print.result)cat("Perform upper tail test", "\n")

cAlphaPlus<-1+qbinom(p=(1-alpha),size=n,prob=0.5)

#cat(paste("cAlphaPlus = ",cAlphaPlus), "\n")

pvalue<-1-pbinom(B - 1, n, 0.5)

if(pvalue<=alpha)


155

result<-1

if(B<n/2)

if(print.result)cat("Perform lower tail test", "\n")

cAlphaMinus<-qbinom(p=alpha,size=n,prob=0.5)

#cat(paste("cAlphaMinus = ",cAlphaMinus), "\n")

pvalue<-pbinom(B, n, 0.5)

if(pvalue<=alpha)


result<-2

if(print.result)cat(decision,"\n")

result<-data.frame(result,round(B,digits=3),round(pvalue,digits=3),

round(kurt.ratios,digits=3))

names(result)<-c("model","B","p.value","kurtosis")

rownames(result)<-NULL

if(print.result)print(result)

if(print.result)cat("\n")

return(result)

rm(n,m.i,kurt.ratios,B,cAlphaMinus,cAlphaPlus,result,decision,pvalue)

# end of clarke.test()

\endverbarim

\beginverbatim

library(CDVine)

tau1=0.8

param1=BiCopTau2Par(6,tau1)

data=BiCopSim(300,6,param1)

x=data[,1]

y=data[,2]

BiCopVuongClarke(x,y,familyset=c(1:10))

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