PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS

Ing. Adriana M. ApazaMatemática para Ingenieros

Vimos cómo puede estimarse un parámetro a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea un sólo número (estimador puntual) o un intervalo de valores posibles (intervalo de confianza). Sin embargo, muchos problemas de ingeniería, ciencia, y administración, requieren que se tome una decisión entre aceptar o rechazar una proposición sobre algún parámetro. Esta proposición recibe el nombre de hipótesis. Este es uno de los aspectos más útiles de la inferencia estadística, puesto que muchos tipos de problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingeniería, pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis.

• Hipótesis: Es un suposición acerca del valor de un parámetro de una población con el propósito de discutir su validez.

• Prueba de hipótesis: es un procedimiento, basado en la evidencia de la muestra y en la teoría de las probabilidades, usado para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable y debería no ser rechazada o si no es razonable debería ser rechazada

Las pruebas de Hipótesis tiene la siguiente estructura

• Una Hipótesis Nula, H0 , la hipótesis que desea probarse y en la que se especifica un valor exacto de un parámetro, por ejemplo μ X = μ0

• Una Hipótesis Alternativa, H1 . El rechazo de H0

conduce a la aceptación de H1 . En esta hipótesis el parámetro toma valores en un intervalo y puede presentarse en alguna de estas formas: μ X ≠ μ0 o μ X > μ0 o μ X < μ0

• Toma de la muestra• Cálculo del estadístico de prueba a partir de la

muestra• Empleo de la distribución de probabilidades del

estadístico para tomar la decisión respecto de H0

Suponga que se tiene interés en la rapidez de combustión de un agente propulsor sólido utilizado en los sistemas de salida de emergencia para la tripulación de aeronaves. El interés se centra sobre la rapidez de combustión promedio. De manera específica, el interés recae en decir si la rapidez de combustión promedio es o no 50 cm/s. Esto puede expresarse de manera formal como dos alternativas o hipótesis:

Ejemplo:

Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población bajo estudio, no proposiciones sobre muestra.

El valor del parámetro en la hipótesis nula surge de:1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del

proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro.

2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.

3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones

La hipótesis nula, representada por Ho, es la afirmación sobre una o más características de la población que al inicio se supone cierta (es decir, la“creencia a priori”).

La hipótesis alternativa, representada por H1, es la afirmación contradictoria a Ho, y ésta generalmente es la hipótesis a investigar.

La hipótesis nula se rechaza en favor de la hipótesis alternativa, sólo si la evidencia muestral sugiere que Ho es falsa. Si la muestra no contradice decididamente a Ho, se continúa creyendo en la validez de la hipótesis nula. Entonces, las dos conclusiones posibles de un análisis por prueba de hipótesis son: Rechazar Ho o No rechazar Ho.

considere el problema anterior de la rapidez de combustión, lo que se desea probar es:

Supóngase que se realiza una prueba sobre una muestra de n=10, y que se observa cual es la rapidez de combustión promedio muestral (.

La media muestral es un estimador de la media verdadera de la población.

Un valor de la media muestral que esté próximo al

valor hipotético μ= 50 cm/s es una evidencia de que

el verdadero valor de la media μ es realmente 50

cm/s; esto es, que apoya la hipótesis nula Ho. Por otra

parte, una media muestral muy diferente de 50 cm/s

constituye una evidencia que apoya la hipótesis

alternativa H1. Por tanto, en este caso, la media

muestral es el estadístico de prueba.

La media muestral puede tomar muchos valores

diferentes. Supóngase que si 48.5 ≤ ≤51.5, entonces

no se rechaza la hipótesis nula Ho; μ= 50 cm/s, y que

si < 48.5 ó >51.5, entonces se acepta la hipótesis

alternativa H1; μ≠50 cm/s.

Este procedimiento de decisión puede conducir a una de dos conclusiones erróneas. Por ejemplo, es posible que el valor verdadero de la rapidez promedio de combustión del agente propulsor sea igual a 50 cm/s. Sin embargo, para todos los especímenes bajo prueba, bien puede observarse un valor del estadístico de prueba que cae en la región crítica. En este caso, la hipótesis nula Ho será rechazada en favor de la alternativa H1cuando, de hecho, Ho en realidad es verdadera. Este tipo de conclusión equivocada se conoce como error tipo I.

Ahora supóngase que la verdadera rapidez promedio de combustión es diferente de 50 cm/s, aunque la media muestral cae por error de muestreo dentro de la región de aceptación. En este caso se acepta Ho cuando ésta es falsa. Este tipo de conclusión recibe el nombre de error tipo II.

Al probar cualquier hipótesis estadística, se tiene cuatro posibilidades que determinan si la decisión es correcta o equivocada.

Decisión

NO se RECHAZA DECISIÓN CORRECTA

ERROR TIPO II

SE RECHAZA ERROR TIPO I DECISIÓN CORRECTA

Lo que haremos es tomar todos los valores y encontrar un punto crítico , tal que

SI rechazo H0

Si no rechazo H0

Error tipo I y rechazo H0 cuando en realidad H0 es verdaderaError tipo II y no rechazar H0 cuando en realidad H0 es falsa

H0\H0 es verdadera)

H0\H1 es verdadera)

Quien diseña la prueba controla la tasa de error tipo I estableciendo el nivel de riesgo qué esta dispuesto a tolerar en términos de rechazar una hipótesis nula verdadera.

Un convenio que se sigue con frecuencia establecer el resultado significativo si la hipótesis se rechaza con y muy significativo si la hipótesis se rechaza con .

Determinación de la región de rechazo

n/

μXσ

Z X

___

X

𝑍 𝑁 (0,1)

Sea la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera

Con sabemos que el 5% de todas las muestras me llevarán a rechazar cuando esto es verdadero.

Empleando el estadístico de prueba, obtenemos la región de rechazo

𝑃 (𝑍>𝑍𝛼 )=𝑃 ( 𝑋−𝜇0𝜎 𝑋

√𝑛

>𝑋 𝑐−𝜇0𝜎 𝑋

√𝑛 )=𝛼Donde

Cálculo de

H0\H1 es verdadera)

𝛽=𝑃 (𝑋 ≤ 𝑋𝐶❑   {𝜇¿¿ 𝑋>50 )=𝑃 ( 𝑋−𝜇𝑋

𝜎 𝑋

√𝑛

≤𝑋 𝑐−𝜇𝑋

𝜎 𝑋

√𝑛 )𝛽=𝑃 (𝑋 ≤ 𝑋𝐶

❑   {𝜇¿¿ 𝑋>𝜇1 )=𝑃 (𝑍 ≤ 𝑋 𝑐−𝜇1𝜎 𝑋

√𝑛 )

Potencia de la prueba

La potencia de un test esta dada por la probabilidad de rechazar , dada verdadera.Siendo verdadera es la probabilidad de no cometer un error tipo II y puede interpretarse como la probabilidad de rechazar de manera correcta una falsa.Potencia del test=1-β

Decisión

NO se RECHAZA 1-α βSE RECHAZA α 1-β

Probabilidades

Tipos de Pruebas de HipótesisSe pueden presentar dos tipos de pruebas de hipótesis que son:

1.De dos colas, o bilateral.

2.De una cola, o unilateral. Este último puede ser de cola derecha o izquierda.

EJEMPLOUna muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años. Queremos probar si la vida media hoy en día es mayor a 70 años con base en esa muestra. La muestra parecería indicar que es así pero ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera media de la población? Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida. Datos:μ =70 años σ= 8.9 años= 71.8 añosn = 100α= 0.05

Establecemos las HipótesisHo; μ= 70 años.H1; μ> 70 años. Nivel de significanciaα α= 0.05, = 1.6454. Regla de decisión:Si ≤ 1.645 no se rechaza Ho.Si > 1.645 se rechaza Ho.

Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.