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pruebas de hipótesis

Es un procedimiento estadístico que comienza con una suposiciónque se hace con respecto a un parámetro de población, luego se recolectan datos demuestra, se producen estadísticas de muestra y se usa esta información para decidir quétan probable es que sean correctas nuestras suposiciones acerca del parámetro depoblación en estudio.

Ejemplos de hipótesis pueden ser: Se deseaa) Probar si las ventas diaria de un abasto son 1 Mio de bolívares o nob) Probar si la proporción de individuos que compran algún artículo en una tienda eso no mayor del 0.3.

Objetivo de la prueba de hipótesisDecidir, basado en una muestra de una población, cuál de dos hipótesis complementariases cierta. Las dos hipótesis complementarias se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa.

Conceptos Básicos

Hipótesis Nula (H0)

Representa la hipótesis que mantendremos cierta a no ser que los datos indiquen su Falsedad. Esta hipótesis nunca se considera aceptada, en realidad lo que se quiere decir es que no hay suficiente evidencia estadística para rechazarla por lo que aceptar H0 no garantiza que H0 sea cierta.

Hipótesis Alternativa (H1)Hipótesis que se acepta cuando los datos no respaldan la hipótesis nula.

Tipos de pruebasa) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales. Estas pruebas son del tipo:

Ho: 0 1 1 H :b) Pruebas de hipótesis de un extremo o unilateral.b.1) Ho: 01 1 H :b.2) Ho: 0 1 1 H :

Metodología:

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio penal, donde debe decidirse si el acusado es inocente o culpable y el juicio consiste en aportar evidencia para rechazar la hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda razonable. Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos observados permitan rechazar la hipótesis nula, comprobando si éstos tienen una probabilidad de aparecer lo suficientementepequeña cuando es cierta la hipótesis nula.

Las etapas de una prueba de hipótesis son:

a) Definir la hipótesis nula a contrastar.

b) Definir una medida de discrepancia entre los datos muéstrales y la hipótesis Ho. Supongamos que el parámetro de interés es la media de una poblacióny que a partir de una muestra hemos obtenido su estimador x , entonces debemos medir dealguna manera la discrepancia entre ambos, que denotaremos como d(, x) .

c) Decidir qué discrepancia consideramos inadmisibles con Ho, es decir, a partir deque valor de d, la discrepancia es muy grande como para atribuirse al azar yconsiderar que Ho pueda ser cierta. Para ello debemos entonces:Tomar la muestraCalcular el estimador del parámetro, en nuestro ejemplo xCalcular la medida de discrepancia d.Tomar la decisión: Si d es “pequeña”, aceptar Ho, si es lo“suficientemente “grande, rechazarla y aceptar H1.

Es por ello que necesitamos establecer una Regla de Decisión mediante la cual seaEspecificado:a) La medida de discrepancia.b) Un criterio que nos permita juzgar qué discrepancia son “ demasiado grandes”a) Medidas de discrepancias:Es natural considerar medidas de discrepancias del tipo:, de las que será posible conocer su distribución de probabilidad..

Si las hipótesis son bilaterales el signo de la desviación entre ˆ

0 _no es importante, sin embargo cuando la hipótesis es unilateral el signo de la discrepancia sí lo es. b) Calculo de un valor mínimo c d para la discrepancia para la aceptación de Ho.Para ello definamos:

Nivel de Significancia.Para realizar una prueba de hipótesis dividiremos el rango de discrepancias que puedeobservarse cuando Ho es cierta en dos regiones: una región de aceptación de Ho y otra de

rechazo.Se consideran discrepancias “ demasiado grandes” , las que tienen una probabilidadpequeñade ocurrir si Ho es cierta. A este valor lo llamamos nivel de significación:generalmente tomamos valores de 0.1,0.05,0.01 o 0,005.El nivel de significación puede interpretarse también como la probabilidad queestamos dispuestos a asumir de rechazar Ho cuando esta es cierta.Cabe destacar que mientras más alto sea el nivel de significancia que se utiliza paraprobar una hipótesis, mayor será la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando escierta.En la siguiente figura se muestran tres niveles de significancia distintos:

Región de Rechazo:Una vez fijado , la región de rechazo se determina a partir de la distribución deprobabilidad de d(, x) cuando Ho es cierta. Como esta distribución es conocidaelegiremosc d de manera que discrepancias mayores de c d tengan probabilidad de ocurrir menor de ,si Ho es cierta.La región de rechazo será c d dy la de no rechazo será por consiguiente: c d d

Tipos de erroresCuando se decide sobre el rechazo de una hipótesis se pueden cometer dos

Error tipo l se presenta si la hipótesis nula Ho es rechazada cuando es verdadera y debía ser aceptada. La probabilidad de cometer un error tipo I se denomina con la letra alfa α

Un error tipo II, se denota con la letra griega β se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.

Existe un equilibrio entre los dos tipos de errores, la probabilidad de cometer un tipo deerror puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro.

Tipos de pruebas

a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales.Es una prueba en la que H0 se rechaza si el valor de la muestra es significativamente mayor o menor que el valor hipotetizado del parámetro de población. Esta prueba involucra dos regiones de rechazo

b) Pruebas de hipótesis de 1 extremo o unilaterales Es una prueba en la que sólo hay unaregión de rechazo, es decir, sólo nos interesa si el valor observado se desvía del valorhipotetizado en una dirección. Pueden ser:

b.1) Prueba de extremo inferiorEs una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuentra Significativamente por debajo del valor de la población hipotetizado, nos llevará a Rechazar la hipótesis nula. Gráficamente:

b.2) Prueba de extremo superiorEs una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuentra significativamente por encima del valor de la población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula. Gráficamente:

Zona de rechazo

Ejemplo1

Considere la prueba de hipótesis siguiente:

n= 25, = 14 s = 4.32.

a) Calcule el valor del estadístico de prueba.

t=x−μ0

s√n

=14−124.32√25

= 2.864

=2.31

b) Use la tabla de la distribución t para calcular un intervalo para el valor –p.Grados de libertad = 25 – 1 = 24Usando la distribución t el valor –p se encuentra entre:0.025 y 0.01 y el valor exacto es:Valor –p = .0147

c) Con = 0.05, ¿Cuál es su conclusión?α0.0147 ≤ 0.05, se rechaza H0.

d) ¿Cuál es la regla de rechazo usando el valor crítico? ¿Cuál es su conclusión?Grados de Libertad= 25 – 1 = 24Valor crítico: t α = 1.711Se rechaza H0 si: t tα

2.31 > 1.711, se rechaza H0.

23.Considere la prueba de hipótesis siguiente:

n =48

.1304Valor -p

.0147valor -p

Zona de rechazoα/2 = .025

H0: µ ≤ 12Ha: µ ¿ 12

Escala t 0 1.71 2.31

α=0.05

Zona de rechazoα/2 = .025

= 17

24.Considere la prueba de hipótesis siguiente:

n =48

Ejemplo 2

Determine si la región de rechazo es de la cola derecha, de la cola

H0 = µ ¿ 18Ha = µ ≠ 18

izquierda o de dos colas.

a. H0 : = 15, H1 : 15, =.05

b. H0 : p 0.7, H1 : p > 0.7, =.02

Solución: La forma de la región de rechazo está determinada por la hipótesis alterna.

a. H1 : 15 significa que la región está en ambas colas.

b. H1 : p > 7 significa que la región está en la cola

derecha.

Ejemplo 3: En el Ejemplo 1a, presumamos que la región de rechazo es parte de la curva normal estándar. Complete el dibujo de

.05/2 .05/2

.02

la región crítica para los valores siguientes:

a. = .05

Solución:

a. Del ejemplo 1(a), tenemos:

Ejemplo 4: En el ejemplo 1a, presumamos que la región de rechazo es parte de la curva t. Complete el dibujo de la región de rechazo

.05/2=0.025 .05/2=0.025De la tabla de la distribución normal, la

P(Zz) =.025 corresponde a un valor Z= -1.96. Por simetría la P(Z>z)=.025 corresponde a Z= 1.96.

1.96-1.96

para:

a. = .05 y = 14

Solución:a. Del ejemplo 1(a), = .05, y = 14, tenemos:

Ejemplo 5:

.05/2=0.025 .05/2=0.025 De la tabla de la distribución t, la

P(Tt) =.025 corresponde a un valor t= -2.086. Por simetría la P(T>t)=.025 corresponde a t= 2.086.

2.086-2.086

Establezca las hipótesis nula y alterna.

a. Las millas por galón (mpg) promedio de un nuevo modelo de automóvil es 32.

b. Más del 65% de los empleados de un colegio aportan a Fondos Unidos.

c. En promedio, los empleados de cierta compañía viven a no más de 15 millas de la misma.

d. Al menos un 60% de la población adulta de una comunidad votará en las próximas elecciones Presidenciales.

e. El peso promedio de un pollo para asar es de al menos cuatro libras.

Solución:a. H0 : = 32 b. H0 : p .65 c. H0 : 15

H1 : 32 H1 : p < .65 H1 : > 15

d. H0 : p .6 e. H0 : 4

H1 : p < .6 H1 : < 4

Ejemplo 6

De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media muestral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04.

Ho: u1 = u2Ho: u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

    Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b) Establezca la regla de decisión 

    Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa  

c) Calcule el valor del estadístico de prueba   

Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1

 

 

d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?

    Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa  

    Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05 

   

 

 

e) Cuál es el valor p?

     Z = 2,59  Area 0,4952 

            0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096 

 

Ejemplo 7

Un artículo reciente, publicado en el diario USA today, indica que solo a uno de cada tres egresados de una universidad les espera un puesto de trabajo. En una investigación a 200 egresados recientes de su universidad, se encontró que 80 tenían un puesto de trabajo. Puede concluirse en el nivel de significancia 0,02, que en su universidad la proporción de estudiantes que tienen trabajo es mayor?

 

Ejemplo 8

Para H1: > valor aceptado, la región de rechazo está dada por:

(Cola derecha, z ó t)

Para H1 : < valor aceptado, la región de rechazo está

dada por:

(Cola izquierda, z ó t)

Para H1 : valor aceptado, la región de rechazo es

de dos colas y está dada por:

(2-colas, z ó t)

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