PRZEKŁADNIE MECHANICZNE - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/automatyka/2/przekladnie.pdf · ZAPIS I PODSTAWY KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH Przekładnie Mechaniczne Opracował:

ZAPIS I PODSTAWY KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH Przekładnie Mechaniczne

Opracował: J. Felis Strona 1

PRZEKŁADNIE MECHANICZNE Przekładnie mechaniczne są zwykle mechanizmami kołowymi

przeznaczonymi do przeniesienia napędu od wału silnika wykonującego ruch obrotowy do członu napędowego maszyny roboczej, mechanizmu wykonawczego lub wprost członu roboczego. Przekładnie kołowe dzielimy: - przekładnie zwykłe - przekładnie o osiach geometrycznych kół

nieruchomych względem podstawy. Rozróżniamy przekładnie zwykłe szeregowe, równoległe, szeregowo-równoległe,

- przekładnie obiegowe lub inaczej planetarne - przekładnie o osiach geometrycznych kół ruchomych względem podstawy. Rozróżniamy przekładnie obiegowe proste, złożone, zamknięte. W obliczeniach kinematycznych przekładni posługiwać się będziemy tzw.

przełożeniami kierunkowymi, które ogólnie można zapisać wzorem:

cb

cac

abiωω= (1)

gdzie: a, b � człony ruchome; a - napędzający (czynny) , b - napędzany (bierny), c � człon nieruchomy

cb

ca , ωω - prędkości kątowe członów czynnego a i biernego b przy

unieruchomionym członie c. W dalszej części podręcznika te prędkości kątowe będziemy oznaczać

ba, ωω .

Przekładnie zwykłe W przypadku analizy przekładni zwykłych nie ma potrzeby wprowadzania

pojęcia członu nieruchomego i wzór (1) można uprościć do postaci:

b

aabi

ωω= lub

a

bbai

ωω= (2)

Przełożenie kierunkowe abi przyjmujemy za ujemne 0iab < , jeżeli zwroty prędkości kątowych członu a i członu b są przeciwne. Jest to przekładnia o zazębieniu zewnętrznym - przykład na Rys. 1.

Przełożenie kierunkowe abi przyjmujemy za dodatnie 0iab > , jeżeli

zwroty prędkości kątowych tych członów są zgodne. Jest to przekładnia o zazębieniu wewnętrznym - przykład na Rys. 2 .



Jeżeli moduł przełożenia kierunkowego 1i cab > , wówczas przekładnia słu-ży do redukcji prędkości kątowej i jest nazywana reduktorem.

Jeżeli moduł przełożenia kierunkowego 1i cab < , wówczas przekładnia służy do zwiększania prędkości kątowej i jest nazywana multiplikatorem.

Przełożenie przekładni można wyrazić za pomocą parametrów

geometrycznych kół uwzględniając podstawową zależność:

2d

vo ⋅= ω (3) gdzie:

vo � liniowa prędkość obwodowa wspólna dla obydwu

współpracujących kół,

sm

d � średnica podziałowa koła zębatego lub średnica koła tocznego, [ ]m ω � prędkość kątowa koła, [ ]1s− , Jeżeli chcemy wyrażać przełożenie za pomocą prędkości obrotowej n to

należy dodatkowo uwzględnić zależność: [ ]1s30

n60

n2 −⋅=⋅= ππω ,

gdzie:

minobrn .

Po uwzględnieniu powyższych związków wzór na przełożenie przekładni

zwykłej jest określony w następującej postaci:

a

b

b

a

b

aab d

dnni ===

ωω

(4)

W przypadku przekładni zębatych, biorąc pod uwagę ich podstawowe

cechy geometryczne, wzory na przełożenie możemy wyrazić również jako stosunki odpowiednich liczb zębów. Zależności geometryczne i kinematyczne dla przekładni zębatej o zazębieniu zewnętrznym przedstawia Rys. 1. Analogiczne zależności dla przekładni zębatej o zazębieniu wewnętrznym przedstawia Rys. 2.



Podstawowe zależności geometryczne i kinematyczne, wspólne dla oby-dwu rodzajów przekładni:

moduł πtm = (5)

średnica podziałowa mztzd ⋅=⋅=π (6)

prędkość obwodowa 2d

2dv 2

21

10 ⋅=⋅= ωω (7)

odległość osi pary kół:

2m)zz(a 12 ⋅+= (8)

przełożenie kierunkowe:

1

2

1

2

1

2

2

112 z

zzmzm

ddi −=

⋅⋅−=−==

ωω

(9)

Rys. 1. Zależności geometryczne i kinematyczne dla przekładni zębatej o zazębieniu zewnętrznym



odległość osi pary kół: 2m)zz(a 12 ⋅−= (10)

przełożenie kierunkowe: 1

2

1

2

1

2

2

112 z

zzmzm

ddi =

⋅⋅===

ωω

(11)

Rys. 2. Zależności geometryczne i kinematyczne dla przekładni zębatej o zazębieniu wewnętrznym



Schematy kinematyczne oraz przełożenia typowych przekładni kołowych podano na Rys. 3 do 7.

zzi1

2

2

112 −==

ωω (12)

Rys. 3. Przekładnia o zazębieniu zewnętrznym

zzi1

2

2

112 ==

ωω (13)

Rys. 4. Przekładnia o zazębieniu wewnętrznym

zzi1

2

2

112 ==

ωω (14)

W tym przypadku nie określa się znaku przełożenia

Rys. 5. Przekładnia stożkowa

ddi1

2

2

112 ==

ωω (15)

Rys. 6. Schemat przekładni cięgnowej, pasowej lub łańcuchowej ślimacznica

ślimak zzi1

2

2

112 ==

ωω

(16)

gdzie: 1z - zwojność ślimaka 1.

Także w tym przypadku nie określa się znaku przełożenia Rys. 7. Przekładnia ślimakowa



Przekładnie obiegowe (planetarne) Przekładnie obiegowe w odróżnieniu od przekładni zwykłych cechują się

tym, że środki niektórych kół zwanych dalej satelitami poruszają się po torach kołowych wokół osi geometrycznej przekładni z tym, że środki tych torów leżą w geometrycznej osi przekładni. Koła przekładni, których środki leżą w osi przekładni nazywane są kołami centralnymi natomiast człon, na którym osadzone są satelity nazywa się jarzmem. Schemat konstrukcyjny wybranego wariantu przekładni obiegowej przedstawiono na Rys. 8.

a)

b) c)

Rys. 8. Jednorzędowa przekładnia obiegowa: a) i b) schemat konstrukcyjny, c) schemat kinematyczny



a) b)

średnica podziałowa koła 3 wyznaczona na podstawie warunku współosiowości: 213 d2dd +=

liczba zębów koła 3 - 213 z2zz += Rys. 9. Człony ruchome i nieruchome jednorzędowej przekładni obiegowej:

a) schemat konstrukcyjny, b) schemat obliczeniowy

Rys. 10. Warianty przekładni obiegowych dwurzędowych



Analiza kinematyczna przekładni obiegowych Przekładnie obiegowe mają w ogólnym przypadku dwa stopnie swobody:

w = 2, jak pokazano na Rys. 11a. Jeżeli jednak unieruchomimy względem podstawy jeden z członów np. koło centralne lub jarzmo, to wówczas przekładnia będzie posiadać jeden stopień swobody: w = 1. Przy tym należy zauważyć, że przekładnia z unieruchomionym jarzmem nie jest już przekładnią obiegową. Przekładnię obiegową o jednym stopniu swobody z unieruchomionym kołem centralnym 3 przedstawia Rys. 11b.

Przekładnia obiegowa o dwóch stopniach swobody jest nazywana

przekładnią różnicową lub dyferencjałem a) Przekładnia obiegowa o dwóch b) Przekładnia obiegowa o jednym

stopniach swobody stopniu swobody n = 4 n= 3 p4 = 2 p4 = 2 p5 = 4 p5 = 3 w= 3n - p4 - 2p5 = 12 - 2 - 8 = 2 w= 3n - p4 - 2p5 = 9 - 2 - 6 = 1 1, 3 - koła centralne, 2 - satelita, j - jarzmo,

Rys. 11. Schematy kinematyczne jednorzędowej przekładni obiegowej: a) przekładnia obiegowa o dwóch stopniach swobody, b) przekładnia obiegowa o jednym stopniu swobody

W celu wyznaczenia przełożenia przekładni obiegowej posłużymy się

schematami pokazanymi na Rys. 12, gdzie symbolami a i b oznaczone zostały tzw. osiowe elementy przekładni obiegowej tj. koła centralne, natomiast przez j - oznaczono jarzmo. Na Rys. 12a pokazano prędkości kątowe członów ruchomych tj. aω , bω i jω przekładni obiegowej w przypadku kiedy posiada ona dwa stopnie swobody czyli dwa człony (np. a i b) są członami czynnymi.



Przyjmiemy, że cała przekładnia została wprawiona w ruch z prędkością kątową ( jω− ). W takim przypadku prędkości kątowe kół centralnych a i b zostaną pomniejszone o wartość ( jω− ), natomiast jarzmo stanie się nieruchome 0jj =−ωω , (Rys. 12b), co oznaczamy symbolicznie wiążąc na rysunku dźwignię jarzma z podstawą. a) aω jω bω b) jb ωω − Rys. 12. Schematy przekładni obiegowej z zaznaczonymi prędkościami kątowymi: a) bezwzględne prędkości kątowe członów przekładni o dwóch stopniach swobody tj.

aω , bω , jω , b) względne prędkości kątowe członów przekładni po nadaniu całej

przekładni prędkości kątowej ( jω− ) tj. ja ωω − , jb ωω − , 0jj =−ωω .

Przełożenie kierunkowe pomiędzy kołem a i kołem b przekładni przy

unieruchomionym w ten sposób jarzmie, zapiszemy w postaci zależności zwanej wzorem Willisa:

jb

jajabi

ωωωω

−−

= (17)

gdzie: jabi - przełożenie kierunkowe od członu a do b przy nieruchomym

jarzmie j.

ja ωω −



Dla przekładni o jednym stopniu swobody, w której koło b jest nieruchome 0=bω , natomiast koło a i jarzmo j są członami ruchomymi, Rys. (12b), wzór

Willisa przyjmie postać:

baj

j

a

j

ja

jb

jajab i11

0i −=−=

−−

=−−

=ωω

ωωω

ωωωω

(18)

Zauważymy jednak, że w rzeczywistości poszukiwanym przełożeniem przekładni o jednym stopniu swobody jest przełożenie pomiędzy kołem a i

jarzmem j przy nieruchomym kole b czyli baji . Wyznaczymy to przełożenie

przekształcając wzór (18): jab

baj i1i −= (19)

Zasadnicza zaleta przedstawionego powyżej sposobu rozumowania polega

na tym, że przełożenie przekładni o osiach ruchomych j

abaji

ωω= udało się

wyrazić za pomocą prostego wzoru, w którym występuje przełożenie jabi .

Przełożenie to bardzo łatwo wyznaczyć ponieważ dotyczy przekładni

zwykłej szeregowej lub równoległej o osiach nieruchomych, powstałej poprzez myślowe unieruchomienie jarzma oraz myślowe uruchomienie koła w rzeczywistości nieruchomego.

W analogiczny sposób można wyznaczyć przełożenie kierunkowe

przekładni w przypadku kiedy koło a jest kołem nieruchomym ( 0a =ω ), natomiast koło b i jarzmo są członami ruchomymi.

jba

abj i1i −= (20)

Jak zauważymy we wzorach (19) i (20) następuje zamiana wskaźników a, b oraz j. Sposób zamiany wskaźników podaje wzór:

jab

baj

bja

i11

i1i

−== (21)

gdzie: bjai - przełożenie przekładni obiegowej (jarzmo j ruchome, indeks j u

dołu), jabi - przełożenie przekładni z myślowo unieruchomionym jarzmem j (indeks

j u góry).



Praktyczne wykorzystanie wzoru Willisa do obliczania przełożeń przekładni obiegowych pokażemy na przykładach.

Przykład 1. Analiza kinematyczna jednorzędowej przekładni obiegowej

Schemat przekładni pokazano na Rys. 13. Dane: 0,z,z, 3311 =ωω , ponieważ koło 3 jest członem nieruchomym.

Szukane: przełożenie przekładni j

13j1i ω

ω= oraz jω , 2ω .

a) b)

we1 ωω = wyj ωω =

Rys. 13. Przekładnia obiegowa jednorzędowa o jednym stopniu swobody a) schemat kinematyczny przekładni o ruchomym jarzmie b) schemat kinematyczny przekładni z unieruchomionym jarzmem Jak zauważymy nie podano liczby zębów koła 2, gdyż wynika ona z tzw. warunku

współosiowości przekładni. Warunek ten określa związek geometryczny pomiędzy średni-cami kół zębatych przekładni, które leżą w rozważanym przypadku w jednej płaszczyźnie, mają wspólny moduł a ponadto dwa z nich mają wspólną oś obrotu.

Dla rozważanej przekładni obiegowej warunek współosiowości można zapisać:

2dd

2d 3

21 =+ ; 2

zmzm2zm 3

21 ⋅

=⋅+⋅

czyli: 2zzz 13

2−

= (P1.1)

Przełożenie przekładni j

13j1i ω

ω= wyznaczymy korzystając ze wzoru

Willisa (17) przyjmując 03 =ω

3j1

j

1

j

j1

j3

j1j13 i11

0i −=−=

−−

=−−

=ωω

ωωω

ωωωω

(P1.2)

Po przekształceniu otrzymamy: j13

3j1 i1i −=



Przełożenie j13i przekładni z myślowo unieruchomionym jarzmem z Rys. 13b wyzna-

czymy z prostych związków obowiązujących dla przekładni szeregowej o osiach nieru-chomych.

1

3

2

3

1

2

3

2

2

1j13 z

zzz

zzi −=

+⋅

−=⋅=

ωω

ωω

(P1.3)

Ostatecznie przełożenie przekładni obiegowej wyniesie:

1

31

1

3j13

3j1 z

zzzz1i1i +=

−−=−= (P1.4)

Przełożenie 1i 3j1 > , co oznacza, że przekładnia jest reduktorem a ponadto zwroty pręd-

kości kątowych koła napędzającego 1 i jarzma j są zgodne. Poszukiwaną prędkość kąto-wą ω j wyznaczamy z prostego przekształcenia:

j

1

1

313j1 z

zziωω=

+= ; 1

31

1j zz

z ωω+

= (P1.5)

Analizowaną przekładnię można również użytkować traktując jarzmo j jako człon napę-dzający a człon 1 jako wyjściowy. Wówczas jej przełożenie wyniesie:

zzz

i1i

31

13j1

31j +

== (P1.6)

Przełożenie 1i0 31j << oznacza, że taka przekładnia jest multiplikatorem.

W celu obliczenia prędkości kątowej satelity również wykorzystamy związki wynikające ze

wzoru Willisa: 3j2

j

2

j

j2

j3

j2j23 i11

0i −=−=

−−

=−−

=ωω

ωωω

ωωωω

(P1.7)

2

32

2

3j23

3j2 z

zzzz1i1i −

=−=−= (P1.8)

Ponieważ j

23j2i ω

ω= to j2

322 z

zz ωω ⋅−

= . Po podstawieniu uprzednio wyprowadzone-

go wzoru na prędkość jarzma 131

1j zz

z ωω ⋅+

= otrzymamy:

131

1

2

322 zz

zz

zz ωω ⋅+

⋅−

= (P1.9)

Po podstawieniu 2zzz 13

2−

= i prostych przekształceniach ostatecznie

otrzymamy wzór na prędkość kątową satelity: 113

12 zz

z ωω ⋅−

−= .

Znak (-) w powyższym wzorze oznacza, że zwrot prędkości kątowej satelity 2 jest przeciwny do zwrotu koła napędzającego 1.



Przykład 2. Analiza kinematyczna przekładni falowej Przekładnię falową pokazano na Rys. 14. Dane: 100z2 = , 102z3 = , członem napędzającym jest jarzmo j, członem wyjściowym elastyczny pierścień zębaty 2 (w zwykłej przekładni obiegowej jest to satelita, Rys.14a),

Obliczyć przełożenie przekładni: 2

j32ji

ωω

= .

Elastyczny pierścień zębaty 2 a) b)

Rys. 14. Schemat obliczeniowy i schemat kinematyczny przekładni falowej: a) schemat obliczeniowy przekładni falowej, b) schemat kinematyczny przekładni falowej Przełożenie przekładni obliczamy podobnie jak przełożenie j

23i w Przykła-dzie 1 korzystając ze wzoru Willisa. W obliczeniach posługujemy się schema-tem obliczeniowym (Rys. 14a).

3j2

j

2

j

j2

j3

j2j23 i11

0i −=−=

−−

=−−

=ωω

ωωω

ωωωω

(P2.1)

2

32

2

3j23

3j2 z

zzzz1i1i −

=−=−= (P2.2)

Poszukiwane przełożenie wynosi: 50102100

100zz

zi32

232j −=

−=

−=



Przykład 3. Przekładnia kształtowo-toczna (cykloidalna) Dane: 3z - liczba palców koła 3, 2z - liczba zębów cykloidalnych satelity 2

Obliczyć przełożenie przekładni: 2

j32ji

ωω

= .

03 =ω Przełożenie:

3j2

j

2

j

j2

j3

j2j23 i11

0i −=−=

−−

=−−

=ωω

ωωω

ωωωω

2

32

2

3j23

3j2 z

zzzz1i1i −

=−=−=

32

232j zz

zi−

=

Rys. 15. Schematy konstrukcyjne i kinematyczne przekładni cykloidalnej

Documents

PRZEKŁADNIE MECHANICZNE - home.agh.edu.plhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/automatyka/2/przekladnie.pdf · ZAPIS I PODSTAWY KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH Przekładnie Mechaniczne Opracował: