Tema 6: Puntos, rectas y planos en el espacio

Puntos:Ejercicios: 1, 2, 3 página 156

Ecuaciones de la recta

1

Ejemplos de como pasar de unas formas a otras

Ejercicios: 2, 3, 4 página 159.

2

Posiciones relativas de dos rectas en el espacioPosiciones

Posiciones aplicando el criterio de los vectores directores

Ya que si el determinante es 0, los tres vectores son linealmente dependientes y por lo tanto coplanarios y si el determinante es distinto de 0, los tres vectores son linealmente independientes.

Ejercicio: 1 página 163

3

Ejemplos

Ejercicio: 1, 2 página 163

4

Rectas cruzadas. Calcular la perpendicular común

Ejercicio: Halla la ecuación de la recta perpendicular común a las dos rectas del apartado a) del ejercicio 1 de la página 163

5

Posiciones de 2 rectas en el espacio por rangosEn forma general o implícitas:Las 4 ecuaciones forman un sistema que podemos analizar a partir del Teorema de Rouchè.

6

En forma parametricas:

Sea M la matriz formada por los vectores directores de ambas rectas y M' la matriz formada por los vectores directores de ambas rectas y por un tercer vector que las une

Casos Rango de M Rango de M' Posición 1 2 3 cruzadas 2 2 2 secantes 3 1 2 paralelas 4 1 1 coincidentes

Ejercicios: del 7 al 12 página 176

Ecuaciones del plano

Determinación de un plano en el espacio

7

Ejemplos:

Ejercicio: 1 página 165

8

Posición relativa de dos planos en el espacio

Posición relativa de dos planos en el espacio dados en forma general

9

Ejemplos

Ejercicios: Estudiar la posición de los siguientes planos:

Aplicando la proporcionalidad de los coeficientes y los rangos.

10

Posiciones relativas de tres planos en el espacioPosiciones de tres planos dados en forma general, aplicando rangos

Caso 1

Sistema compatible determinado.

Caso 2

Sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común.

Caso 3

Sistema compatible indeterminado.

Caso 4

Sistema incompatible. Los tres planos son paralelos pero no coincidentes.

Ejercicio: 28 página 177

11

Haz de planos secantes

Conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. El haz queda determinado por dos planos distintos del mismo.

Su ecuación es: t ( A x + B y + C z + D ) + s ( A´x + B´y + C´z + D´ ) = 0, t y s Є R

La expresión del haz de planos secantes nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto y por la intersección de otros dos. Obtenemos t y s sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación del haz.

Ejemplos

12

Posiciones relativas de una recta y un planoPosiciones de recta y plano

Ejemplos

13

Ejercicio:Hallar la posición relativa de los planos:

14