Pushover 01

7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris

Etablissement de la courbe de fragilité par la méthode pushover Hamou kada *, Ramdane kheir eddine * *Département de génie civil U.S.T.O U.S.T.O BP1505EL MNAOUER ORAN ALGERIE. 1E-MAIL : [email protected]

RÉSUMÉ. Durant ces dernières décennies, plusieurs séismes de différentes intensités ont frappé plusieurs pays et

occasionné des pertes considérables en vies humaines et d’importants dégâts matériels.

Ces taux de dégâts ont encouragé les chercheurs dans le domaine de génie parasismique à chercher des solutions afin de

réduire ce risque sismique, c’est pour cela plus de travaux on été réalisé dans cet axe afin de comprendre réellement

comment un séisme affecte une structure.La prévision ou bien l’estimation du dommage est un axe du génie parasismique

qui nous donne des informations sur les endommagements qui peuvent être subis par une structure, et les éléments qui

vont être touchés lors d’un futur séisme, et à partir de ces prévisions.Un outil performant souvent utilisé dans ce domaine

est fourni par les courbes de fragilité qui décrivent la probabilité d’atteindre ou de dépasser un état de dommage

provoqué par un séisme.

MOTS-CLÉS : analyse pushover, courbe de capacité, spectre de réponse, comportement élastique, comportement inélastique,

vulnérabilité, séisme.

1. Introduction

Une évaluation fiable du comportement d’un bâtiment face à un tremblement de terre, en termes de

dommages, requiert un outil permettant une analyse des structures au-delà du domaine élastique.

La méthode d’analyse de type “pushover”, basée sur les courbes de capacité (ou bien les courbes

“pushover”), représente une nouvelle approche d’estimation de dommages (structurels et non structurels),

incluant notamment les effets du comportement post-élastique.

2 7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris - 013

Les techniques d’analyse de structures consistent essentiellement à comparer un paramètre de demande de

déplacement avec un paramètre de capacité.

L’effort tranchant a été le paramètre utilisé traditionnellement pour la conception parasismique des

bâtiments. L’ingénieur calcule la sollicitation (la force) provoquée par un séisme donné (ou plusieurs) à la

base de la structure, et la compare avec la résistance de ce bâtiment.

Dans le calcul traditionnel, les forces sont réduites d’une manière artificielle (c a d avec des coefficients de

pondération), afin de garder la conception dans le domaine élastique.

Alors que dans le domaine post - élastique, le dommage apparaît progressivement, en diverses parties du

bâtiment, provoquant la plastification de certains éléments, aussi, il apparaît par conséquent une

redistribution des efforts, la demande dépendant ainsi du comportement de chaque composant. De cette

manière, l’endommagement est plus sensible, en général, au déplacement qu’à la force. Ces facteurs ont

conduit au développement des outils d’analyse non linéaire, tels que la méthode «de la sécante» ou l’analyse

« time – history » non linéaire [1].Toutefois, les deux méthodes sont relativement complexes pour un usage

généralisé.

Pour faciliter l’accès à ce type d’analyse, plusieurs approches simplifiées ont été développées, telles que la

méthode des coefficients de déplacement, du déplacement équivalent ou encore du spectre de capacité

[1] [2] [3].

(Dans cette étude, nous allons développer des courbes moyennes de capacité pour une construction dans le but

d’appliquer la méthode pushover afin d’estimer l’état d’endommagement du bâtiment).

2. la Méthode pushover : 2.1 Définition de l’analyse pushover :

L’analyse 'pushover' est une procédure statique non-linéaire dans laquelle la structure subite des charges

latérales suivant un certain modèle prédéfini en augmentant l’intensité des charges jusqu’à ce que les modes

de ruine commencent à apparaître dans la structure, [4]

Les résultats de cette analyse sont représentés sous forme de courbe (voire figure1) qui relie l’effort tranchant

à la base en fonction du déplacement du sommet de la structure.

Figure 1 : Signification physique de la courbe de capacité [2].

7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris 3

Figure2: Niveaux d’endommagement décrits par une courbe de capacité [5].

D’après la figure 2 on remarque que la courbe est composée de quatre segment, chaque segment correspond à une étape d’endommagement.

a) Le premier niveau correspond au comportement élastique de la structure et représente le niveau de conception parasismique habituel. Il indique par conséquent un état d’endommagement superficiel (ou bien de non endommagement).

b) Le deuxième niveau d’endommagement correspond à un niveau de dommage contrôlé. La stabilité de la structure n’est pas en danger, mais toutefois un endommagement mineur est susceptible de se développer.

c) Le troisième niveau représente un état d’endommagement avancé, sa stabilité étant en danger. Au delà de ce niveau, la structure est susceptible à l’effondrement, ne présentant aucune capacité de résistance.

2.2 Origine de l’analyse pushover :

L’analyse statique pushover est basée sur l’hypothèse que la réponse de la structure qui peut être assimilée

à la réponse d’un système à un seul degré de liberté équivalent, ce qui implique que la réponse est

fondamentalement contrôlée par un seul mode de vibration et la forme de ce mode demeure constante durant

la durée du séisme.

Les chercheurs ont montré que ces hypothèses donnent de bons résultats concernant la réponse sismique

(déplacement maximale) donnée par le premier mode de vibration de la structure simulé à un système

linéaire équivalent [6].

2.3 But de l’analyse pushover :

Le but de l’analyse pushover est de décrire le comportement réel de la structure et d’évaluer les différents

paramètres en termes de sollicitations et déplacements dans les éléments de la structure.

L’analyse pushover est supposée fournir des informations sur plusieurs caractéristiques de la réponse qui ne

peuvent être obtenues par une simple analyse élastique [6], on cite :

L’estimation des déformations dans le cas des éléments qui doivent subir des déformations

inélastiques afin de dissiper de l’énergie communiquée à la structure par le mouvement du sol.


La détermination des sollicitations réelles sur les éléments fragiles, telles que les sollicitations

sur les assemblages de contreventements, les sollicitations axiales sur les poteaux, les moments

sur les jonctions poteau-poutre, les sollicitations de cisaillement.

Les conséquences de la détérioration de la résistance des éléments sur le comportement global

de la structure ce qui permet de déterminer les points forts et les points faibles de notre structure.

L’identification des zones critiques dans lesquelles les déformations est supposée être grandes.

L’identification des discontinuités de résistance en plan et en élévation qui entraînent des

variations dans les caractéristiques dynamiques dans le domaine inélastique.

L’estimation des déplacements inter-étage qui tiennent compte des discontinuités de la rigidité et

de la résistance qui peut être utilisés dans le contrôle de l’endommagement.

2.4 Le Système linéaire équivalent :

La réponse aux séismes des systèmes non élastiques peut être estimée par méthode analytique approximative

dans les quelle le système non-linéaire est remplacé par un système linéaire d’un seul degré de liberté

équivalent [5].

Une grande partie du travail fondamental a été accompli il y a deux décennies par [Hudson, 1965 ;

Jennings, 1968 ; Iwan et portes, 1979a)].

En général, les méthodes approximatives pour déterminer les paramètres du système linéaire équivalent sont

classées en deux catégories :

Méthodes basées sur la réponse harmonique et méthodes basées sur la réponse aléatoire (Six méthodes sont

disponibles dans la première catégorie, et trois dans la deuxième catégorie).

La période normale de vibration et la constante d'amortissement sont disponibles pour chaque méthode (Iwan

et portes, 1979a).D'une manière générale, les méthodes basées sur la surestimation harmonique de réponse

prennent considérablement en compte le décalage de période, tandis que les méthodes considérant la réponse

aléatoire donnent beaucoup plus d’importance à l’évaluations de la période (Iwan et portes, 1979b).

La méthode sécante de rigidité (Jennings, 1968) est utilisé dans la méthode de spectre de réponse pour vérifier

l'adéquation d'une conception structurale ( Freeman, 1978 ; Deierlein et Hsieh, 1990 ; Reinhorn et autres,

1995) et a été adapté pour développer "le procédé statique non-linéaire" dans le rapport ATC-40 [1] et le

rapport FEMA-274 [6].

Basé sur la réponse harmonique, ces deux méthodes sont connues pour ne pas être assez précise comme

méthodes basées sur la réponse aléatoire (Iwan et portes, 1979a).

Plusieurs recherches récentes ont étais faites par plusieurs chercheurs, (Saiidi et Sozen (1981), Fajfar et

Fischinger (1988), Qi et Moehle (1991), Miranda (1991), Lawson et al. (1994)) ont montré que le


déplacement d’un système à plusieurs degrés de liberté peut être approximativement égal à celui d’un système

à un seul degré de liberté quand la réponse dominante est celle du premier mode [6].

2.4.1 Hypothèse :

L’hypothèse de base commune entre toutes les approches, est que la déformée du système à plusieurs degrés

de liberté peut être représentée par une forme de vecteur {! } qui reste constante durant le mouvement.

2.4.2 Mise en équation :

Le vecteur de déplacement relatif x sous la forme :

x= {! }.xt (1)

(xt : Déplacement au sommet de la structure).

L’équation différentielle du mouvement du système sera donc écrite comme suit :

{ } { } { } {} gtt xMfxCxM &&&&& 1][][][ !=++ "" (2)

[M] : matrice de masse.

[C] : matrice d’amortissement.

{f} : vecteur des forces dans les niveaux de la structure.

gx&& : L’accélération du sol.

x* sera noté comme étant le déplacement du système à un seul degré de liberté équivalent, donné par

l’expression suivante :

{ } { }{ } {} tT

T

x

M

Mx

1][

][

!

!!=" (3)

En multipliant l’éq.(1) par {! }T, et en utilisant l’éq.(2), on obtient l’équation différentielle du système

équivalent :

gxMfxCxM &&&&&******

!=++ (4)

M*, C*, p* désignent les propriétés du système équivalent et elles sont données par les formules suivantes avec { 1=

n! , n : niveau du toit} :

{ } {}1][*

MMT

!= (5)


{ } { }{ } {}

{ } { }!!

!!!

][

1][][

*

M

MCC

T

T

T

= (6)

{ } { }ffT

!=* (7)

La forme du vecteur {! } est connue et est supposée représenter la déformé du système à plusieurs degrés de

liberté durant sa réponse au séisme dans le premier mode.

Plusieurs formulations localisent le nœud pour lequel le déplacement est calculé au sommet du bâtiment et la

forme du vecteur {! } est normalisée pour avoir une amplitude égale à 1 au sommet [5].

On déduit alors l’effort tranchant Vy et le déplacement correspondant xt,e , comme le montré par la figure (3)

ci-dessous :

Figure 3 : courbe pushover.

De la courbe bi-linéaire reliant ces deux paramètres, qui peuvent être calculés avec

L’éq. (2) et l’éq. (4) pour calculer les paramètres du système à un seul degré de liberté et qui sont données

par les expressions ci après :

{ } { }{ } {} etT

T

y xM

Mx ,

1][

][

!

!!="

(8)

{ } { }yT

y ff !=* (9)

{fy} : vecteur des forces dans chaque étage à la limite élastique (Vy = {1}T {fy}).

Ayant calculé ces caractéristiques, on peut déterminer la période élastique du système équivalent comme suit :

*

**

2

Y

y

eqf

MxT != (10)


3. Application de la méthode pushover sur une structure en béton armé : 3.1-Introduction : La méthode pushover qui a été décrite, qui se base sur l’augmentation de la charge jusqu'à ce que les modes de ruine apparaissent. Dans cette partie nous allons essayer de vérifier la validité de cette méthode qui sera illustrée par un exemple d’une structure en béton armé et de définir son point de performance ainsi le positionnement des rotules plastiques. Ainsi nous avons pris trois types de séisme différent (séisme de faible, moyen et forte magnitude), pour essayer de comparer leurs manières d’influencer sur le comportement de notre structure.

Avant de commencé l’application, il faut noté certains hypothèses qui ont étais pris en compte dans la modélisation : -Le plancher est considéré comme étant un diaphragme rigide. -Les poteaux sont considérés qui travaille a la compression avec une rigidité de flexion pris égal à gc IE ..7,0 . -Les poutres sont considérées qui travaille à la traction avec une rigidité de initial à gc IE ..5,0 . -L'interaction de sol structure n'a pas été considérée dans le calcul.

3.2-Description de la structure : Il s’agit d’une structure R+5 en béton armé, dalles en corps creux de 20 cm d’épaisseur,et les dimensions des poutres principales sont de (30x60) cm, et les poutres secondaires sont de dimensions de (30x40) cm, ainsi les poteaux sont de section (30x30) cm, la hauteur de chaque niveau est de 3m.


Figure 4 : caractéristique verticaux de la structure.

Figure 5 : caractéristique horizontaux de la structure.


D’après la figure (6), on peut visualiser notre structure en une vue en trois dimensions (3D).

Figure5 : vue en 3D de notre structure.

Propriété des matériaux : a) le béton : - contrainte de compression………………..

b! = 25 MPa.

-Module d’élasticité………………………...E =32164 MPa. b) L’acier : - la limite élastique ………………………..fy = 413 MPa. -Module d’élasticité……………………. Es=248211.28 MPa. 3.3-L’analyse Pushover : 3.3-1.Distribution des forces latérales :

La distribution des forces est prise celle qui a la forme triangulaire donnée par l’équation :

!!

=

=

=n

xi

i

xn

xi

ipx

w

wF

CCCF

321..

1 (11)

M =

!!!!!!

"

#

$$$$$$

%

&

600000

063000

006300

000630

000063

[t]

Figure 6: matrice de masse.

3.3-2.Détermination de la courbe ‘pushover’ :

Nous avons utilisé pour l’obtention de la courbe pushover le logiciel SAP2000 non-linéaire version8.08.Ce logiciel à été développer par le CSI (Computers and Structures, Incorporation) [9] [10]. En premier lieu les résultats sont donnés sous forme de courbe non linéaire qui relie l’effort tranchant à la base et le déplacement au sommet de la structure voire la figure (6).


Nous allons déterminer cette courbe pour voire qu’elle est le sens le plus vulnérable. a) L’analyse pushover Dans le sens x-x :

En détermine alors la courbe de fragilité, est elle est donnée sous forme :

Figure6 : déplacement en fonction de l’effort tranchant à la base.

Dans la figure (7), on à la forme générale de notre courbe, on ajoutant le spectre de réponse.

Figure7 : courbe de fragilité selon le logiciel suivant le sens x-x.


En plus ce logiciel nous permet de connaître la possibilité de la formation des rotules plastiques et leurs

positionnements dans la structure, et leurs positionnements au niveau de la structure étudier, ce que l’on nous

montre au dessous la figure (8) :

Figure 8 : Formations des rotules plastiques.

Commentaire :

D’après l’analyse pushover nous pouvons conclure que pour un effort tranchant d’une valeur de 199,102 KN

qui correspond à un déplacement de 45cm, provoque l’apparition des rotules plastique de ruine.

Pour cette valeur de l’effort tranchant qui peut causé la ruine de la structure on peut dire que notre structure

est fragile.Pour la conservé ou amélioré son niveau de performance il faut intervenir il faut donc utilisé ou

remédier par l’utilisons des systèmes de renforcement existantes.

b) L’analyse pushover Dans le sens y-y :

La figure (9), nous montre les résultats trouvés suivant le sens y - y :


Figure9 : Courbe de fragilité suivant le sens y-y.

Figure 10 : Formations et des rotules plastiques.

Commentaire : D’après l’analyse suivant le sens y-y, on remarque qu’il y’ a apparition de rotule du typa LS au niveau des poutre qui ne causeront pas un grand dommage. Conclusion : On comparons les deux courbe de vulnérabilité calculer dans les deux sens (x-x) Et le sens (y-y), on constat bien que la structure est plus vulnérable dans le sens (x-x). Donc pour augmenter la résistance de la structure, il est préjudiciaux que l’implantation des systèmes de renforcement soit d’une manière a augmenté la résistance dans le sens vulnérable c à d suivant le sens (x-x). 4. Etude de l’Influence des séismes sur les courbes de capacités : Dans cette partie nous avons pris trois type de séisme, pour essayer de comparer leurs influence sur le comportement de notre structure, ainsi de voire ou prédire le point de performance de la structure pour chaque séisme.


Nous avons essayé de prendre différents séismes : 1)-Séisme de faible magnitude (LOW earthquake). 2)- Séisme de moyenne magnitude (Moderate earthquake). 3)- Séisme de forte magnitude (HIGH earthquake).

4.1) Structure à l’état initial : a) seime de faible magnitude (LOW): On incrémentant les données suivantes : CA=0,126 et CV=0,126. La figure (11) nous montre la courbe de Pushover obtenus pour ces données.

Figure 11 : détermination du point de performance de la structure sous séisme de faible magnitude. b) séisme de moyenne magnitude (Moderate): On incrémentant les données suivantes : CA=0,2.et CV=0,2. La figure (12) nous montre la courbe de Pushover obtenus pour ces données.


Figure 12 : détermination du point de performance de la structure sous séisme de magnitude modéré.

c) séisme de forte magnitude (High) : On incrémentant les données suivantes : CA=0,308 et CV=0,518. La figure (13) nous montre la courbe de Pushover obtenus pour ces données.

Figure 13 : détermination du point de performance de la structure sous séisme de forte magnitude. 7. Conclusion : Les résultats qu’on peut conclure peuvent êtres représenté par la figure (14) suivant :


Figure1 : représentation des résultats.

Le degré de fragilité augmente, lorsque la sismicité d’un séisme augmente aussi.

8. Bibliographie

[1] ATC, «ATC 40, Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings », Applied Technology Council, 1996.


[2] Chopra, A.K. and Goel, R.K. (2001). A Modal Pushover Analysis Procedure to Estimate Seismic Demands for Buildings: Theory and Preliminary Evaluation.Tech. Rep.2001/3, Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, CA. [3] P.Fajfar. A nonlinear analysis method for performance based seismic design. Earthquake spectra, Vol.16, N°.3, pp.573-

592, 2000.

[4] H.Krawinkler, Procedure and construction of pushover analysis of seismic performance evaluation engineering structure, vol: 20, edition: Elsever science, Department of civil engineering standford university U.S.A 1998. [5] M.Inel, M.Erich, B.Edgar, F.Black, A. Mark. USEE 2001.Utility Software for Earthquake Engineering. Report and User’s Manual.Civil and Environmental Engineering.University of Illinois at Urbana.. [6] FEMA273 Federal Emergency Management Agency. “NEHRP recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures.” Chapitre3, Washington, D.C. [7] P.Fajfar. Capacity spectrum method based on inelastic demand spectra. Earthquake engineering and structural dynamics

.1999.

[8] J.A.Castillo Hiyane, “Study on Criteria for Seismic Evaluation of Existing Peruvian School RC building», Earthquake Engineering Course, faculty of Civil engineering, Lima-Peru, July 4th, 2003. [9] SAP2000, web tutorial1-quick pushover analysis tutorial (1999).computer and structures, Inc.Berkeley, California.

[10] SAP2000, web tutorial2-quick pushover analysis tutorial (1999).computer and structures, Inc.Berkeley, California.

Documents

Pushover 01