R ÖRNEKT - matematikoabt.com fileÖabt cebİr konu anlatimli ÇÖzÜmlÜ soru bankasi yasin Şahİn Örnekt ø r

ÖABT CEBİR

KONU ANLATIMLI

ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKTİR

ÖABT

CEBİR

KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

© Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılamaz,

yayınlanamaz, depolanamaz.

Bu kitaptaki bilgilerin her türlü sorumluluğu yazara aittir.

Eser Sahibi Yasin ŞAHİN

ISBN: 978-605-66977-4-6

Aybil Basımevi Sertifika No: 31790

Baskı & Cilt:

www.aybilonline.com

Aybil Dijital Baskı Reklam Mühendislik Turizm Sanayi ve Ticaret Limited Şirketi

Ferhuniye Mh. Sultanşah Cd. No:30/A KONYA Tel: 0.332 350 21 71 Fax: 0.332 350 71 21

KONYA – KASIM – 2016

ÖRNEKTİR

İÇİNDEKİLER

Soyut Matematik Önermeler ve İspat Yöntemleri ................................................................................................................................ 1 Test 1 ........................................................................................................................................................................ 8 Çözümler ................................................................................................................................................................ 11 Konu Tarama Testi 1 .............................................................................................................................................. 13 Çözümler ................................................................................................................................................................ 14 Küme Teorisi ......................................................................................................................................................... 15 Test 2 ...................................................................................................................................................................... 19 Çözümler ................................................................................................................................................................ 21 Konu Tarama Testi 2 .............................................................................................................................................. 22 Çözümler ................................................................................................................................................................ 23 Bağıntı .................................................................................................................................................................... 24 Test 3 ...................................................................................................................................................................... 28 Çözümler ............................................................................................................................................................... 30 Konu Tarama Testi 3 .............................................................................................................................................. 36 Çözümler ................................................................................................................................................................ 37 Fonksiyon ............................................................................................................................................................... 38 Test 4 ..................................................................................................................................................................... 44 Çözümler ............................................................................................................................................................... 46 Konu Tarama Testi 4 .............................................................................................................................................. 48 Çözümler ................................................................................................................................................................ 49 İşlem ....................................................................................................................................................................... 50 Test 5 ..................................................................................................................................................................... 53 Çözümler ............................................................................................................................................................... 55 Konu Tarama Testi 5 .............................................................................................................................................. 57 Çözümler ................................................................................................................................................................ 58 Sayılabilir – Sonlu ve Sonsuz Kümeler .................................................................................................................. 59 Test 6 ...................................................................................................................................................................... 60 Çözümler ............................................................................................................................................................... 61 Genel Tarama Sınavı .............................................................................................................................................. 62 Çözümler ................................................................................................................................................................ 69

Sayılar Teorisi Tam Sayılarda Bölünebilme .................................................................................................................................. 73 Test 7 ...................................................................................................................................................................... 78 Çözümler ................................................................................................................................................................ 80 Konu Tarama Testi 6 .............................................................................................................................................. 82 Çözümler ............................................................................................................................................................... 83 Kongrüanslar .......................................................................................................................................................... 84 Test 8 ..................................................................................................................................................................... 89 Çözümler ............................................................................................................................................................... 91 Konu Tarama Testi 7 .............................................................................................................................................. 97 Çözümler ................................................................................................................................................................ 98

ÖRNEKTİR

Primitif (İlkel) Kökler ve İndeksler ........................................................................................................................ 99 Test 9 ................................................................................................................................................................... 102 Çözümler ............................................................................................................................................................. 104 Konu Tarama Testi 8 ............................................................................................................................................ 106 Çözümler .............................................................................................................................................................. 107 Genel Tarama Sınavı ............................................................................................................................................ 108 Çözümler .............................................................................................................................................................. 114

Soyut Cebir Gruplar ................................................................................................................................................................. 119 Test 10 ................................................................................................................................................................. 121 Çözümler ............................................................................................................................................................. 123 Konu Tarama Testi 9 ............................................................................................................................................ 125 Çözümler .............................................................................................................................................................. 126 Alt Gruplar ........................................................................................................................................................... 127 Test 11 .................................................................................................................................................................. 129 Çözümler .............................................................................................................................................................. 130 Konu Tarama Testi 10 .......................................................................................................................................... 131 Çözümler .............................................................................................................................................................. 132 Simetrik Gruplar .................................................................................................................................................. 133 Test 12 .................................................................................................................................................................. 137 Çözümler .............................................................................................................................................................. 139 Konu Tarama Testi 11 .......................................................................................................................................... 140 Çözümler ............................................................................................................................................................. 141 Devirli Alt Gruplar ............................................................................................................................................... 142 Test 13 .................................................................................................................................................................. 145 Çözümler .............................................................................................................................................................. 148 Konu Tarama Testi 12 .......................................................................................................................................... 150 Çözümler .............................................................................................................................................................. 151 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kasetler) ..................................................................................................................... 152 Test 14 .................................................................................................................................................................. 154 Çözümler ............................................................................................................................................................. 155 Konu Tarama Testi 13 .......................................................................................................................................... 156 Çözümler ............................................................................................................................................................. 157 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları ............................................................................................................... 158 Test 15 ................................................................................................................................................................. 160 Çözümler ............................................................................................................................................................. 161 Konu Tarama Testi 14 .......................................................................................................................................... 162 Çözümler ............................................................................................................................................................. 163 Grup Homomorfizmaları ...................................................................................................................................... 164 Test 16 .................................................................................................................................................................. 166 Çözümler ............................................................................................................................................................. 168 Konu Tarama Testi 15 .......................................................................................................................................... 170 Çözümler .............................................................................................................................................................. 171

ÖRNEKTİR

Direkt Çarpımlar (Toplamlar) .............................................................................................................................. 172 Test 17 .................................................................................................................................................................. 174 Çözümler .............................................................................................................................................................. 175 Konu Tarama Testi 16 .......................................................................................................................................... 176 Çözümler .............................................................................................................................................................. 177 Halkalar ................................................................................................................................................................ 178 Test 18 .................................................................................................................................................................. 180 Çözümler .............................................................................................................................................................. 182 Konu Tarama Testi 17 .......................................................................................................................................... 184 Çözümler .............................................................................................................................................................. 185 Alt Halka ve İdealler ............................................................................................................................................ 186 Test 19 .................................................................................................................................................................. 188 Çözümler .............................................................................................................................................................. 189 Konu Tarama Testi 18 .......................................................................................................................................... 190 Çözümler .............................................................................................................................................................. 191 Polinom Halkaları ................................................................................................................................................ 192 Test 20 .................................................................................................................................................................. 195 Çözümler .............................................................................................................................................................. 196 Konu Tarama Testi 19 .......................................................................................................................................... 197 Çözümler .............................................................................................................................................................. 198 Genel Tarama Sınavı ........................................................................................................................................... 199 Çözümler ............................................................................................................................................................. 205

Lineer Cebir Matris Cebiri ........................................................................................................................................................ 209 Test 21 .................................................................................................................................................................. 213 Çözümler .............................................................................................................................................................. 215 Konu Tarama Testi 20 .......................................................................................................................................... 217 Çözümler .............................................................................................................................................................. 218 Elementer İşlemler ............................................................................................................................................... 219 Test 22 .................................................................................................................................................................. 221 Çözümler .............................................................................................................................................................. 222 Konu Tarama Testi 21 .......................................................................................................................................... 223 Çözümler .............................................................................................................................................................. 224 Determinantlar ..................................................................................................................................................... 225 Test 23 .................................................................................................................................................................. 230 Çözümler .............................................................................................................................................................. 233 Konu Tarama Testi 22 .......................................................................................................................................... 237 Çözümler .............................................................................................................................................................. 238 Lineer Denklem Sistemleri .................................................................................................................................. 240 Test 24 .................................................................................................................................................................. 245 Çözümler .............................................................................................................................................................. 246 Konu Tarama Testi 23 .......................................................................................................................................... 247 Çözümler .............................................................................................................................................................. 248

ÖRNEKTİR

Vektör Uzayları .................................................................................................................................................... 249 Test 25 .................................................................................................................................................................. 255 Çözümler .............................................................................................................................................................. 257 Konu Tarama Testi 24 .......................................................................................................................................... 259 Çözümler .............................................................................................................................................................. 260 Lineer Dönüşümler ............................................................................................................................................. 261 Test 26 .................................................................................................................................................................. 264 Çözümler .............................................................................................................................................................. 265 Konu Tarama Testi 25 .......................................................................................................................................... 266 Çözümler .............................................................................................................................................................. 267 Özdeğerler – Özvektörler ve Köşegenleştirme .................................................................................................... 268 Test 27 .................................................................................................................................................................. 273 Çözümler .............................................................................................................................................................. 275 Konu Tarama Testi 26 .......................................................................................................................................... 276 Çözümler .............................................................................................................................................................. 277 Genel Tarama Sınavı ............................................................................................................................................ 278 Çözümler .............................................................................................................................................................. 286

ÖRNEKTİR

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Arkadaşlar,

ÖABT soruları akademik konulardan ve okul müfredatındaki temel konulardan

oluşmaktadır. Hepimizin amacı bu sınavda başarılı olmak ve istediğimiz bir okula atanmaktır.

Yeni sınav sisteminde bu amaca ulaşmak için lisans öğreniminiz süresince öğrendiklerinizi

pekiştirmeniz, çıkacak soru tiplerine uygun çok sayıda ve sistemli soru çözmeniz ayrıca sık sık

tekrar yapmanız gerekmektedir.

Cebir Konu Anlatımlı Çözümlü Soru Bankası Kitabı, yukarıdaki belirlemeye

uygun olarak değişen sınav sistemine göre, sizleri ÖABT sınavına en iyi biçimde hazırlamak

amacıyla düşünülmüştür. Bu kitabın hazırlanmasında çok emek sarf edildiğinden, kitabı kısmen ya da tamamen çoğaltanlara hakkımı helâl etmiyorum. Faydalanacak tüm

öğretmen arkadaşlara başarılar diler, bugünlere gelmemde büyük pay sahibi olan sevgili

eşime ve dostlarıma şükranlarımı sunarım.

Yasin ŞAHİN

ÖRNEKTİR

Cebir Bağıntı Soyut Matematik

24

Sıralı İkili – Sıralı n-li: a ve b gibi herhangi iki

elemanın aralarında sıra gözetilerek (a, b) biçimin-

de yazılmasına sıralı ikili denir. a ya sıralı ikilinin

birinci bileşeni, b ye de sıralı ikilinin ikinci bileşeni

denir.

(a1, a2, …. an) ifadesine de sıralı n-li denir.

Teorem:

(a, b) = (c, d) a = c ve b = d dir.

KARTEZYEN ÇARPIM

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bile-

şeni A dan ve ikinci bileşeni B den alınarak elde

edilen tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B nin kar-

tezyen çarpımı denir ve

A x B = ByveAx)y,x(

biçiminde gösterilir.

Örnek: A = a, b ve B = 1, 2, 3 kümeleri veril-

sin.

A x B = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)

B x A = (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

A, B, C ve D herhangi dört küme olsun.

i) A x A = A2 , A x A x …x A = An

n tane

ii) A x B B x A (A B)

iii) A x (B C) = (A x B) (A x C)

iv) A x (B C ) = (A x B) ( A x C)

v) A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C)

vi) s(A x B) = s(B x A) = s(A) . s(B)

vii) A x = x A =

viii) A x B = ise A = V B =

ix) A B A x C B x C

x) A B C D A x C B x D

xi) (A C) x (B D) = (A x B) (C x D)

Teorem: A = IiAi ve B = JjB j aileleri

verilmiş olsun.

i) IxJ)j,i(

jiJj

jIi

i )BxA(BxA

ii) IxJ)j,i(

jiJj

jIi

i )BxA(BxA

BAĞINTI

A ve B boş kümeden farklı herhangi iki küme ol-

mak üzere, A x B nin her alt kümesine A dan B ye

bir bağıntı denir. Eğer A = B ise bu bağıntıya kısa-

ca A da bir bağıntı denir. A kümesine bağıntının

tanım kümesi, B kümesine de değer kümesi denir.

Bağıntılar , , , …. gibi sembollerle gösterilir.

Örnek: A = a, b, c ve B = 1 olsun.

A x B = (a, 1), (b, 1), (c, 1)

B x A = (1, a), (1, b), (1, c)

= (a, 1), (c, 1) A x B

= (1, b) B x A

olduklarından , A dan B ye; da B den A ya bir

bağıntıdır.

Tanım: , A dan B ye bir bağıntı olsun. Eğer (x, y)

ise B nin y elemanı A nın x elemanına bağıntısı

ile bağlıdır (yx) ya da A nın x elemanı B nin y

elemanı ile eşlenmiştir (x y) denir.

Bir Bağıntının Tersi: , A dan B ye tanımlı bir

bağıntı olsun. B den A ya

(y, x) (x, y)

bağıntısına bağıntısının tersi denir ve -1 ile gös-

terilir.

Örnek: A = 1, 2, 3 ve B = a, b olsun.

A x B = (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), 3, b)

B x A = (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)

= (1, a), (2, b), (3, a) A x B

-1 = (a, 1), (b, 2), (a, 3) B x A

ÖRNEKTİR


25

Bağıntının Özellikleri:

, A kümesinde tanımlı bir bağıntı ( A x A) ol-

sun.

1. Yansıma Özelliği:

yansıyandır x [x A (x, x) ] dır.

x A için

(x, x) x A

kümesine A kümesinin köşegeni denir ve IA ile

gösterilir.

Örnek: A = 1, 2, 3 kümesi üzerinde tanımlanan

1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3)

2 = (1, 1), (2, 2) (3, 3), (2, 3)

bağıntıları yansıyan olup

3 = (1, 1), (2, 2)

bağıntısında (3, 3) olduğundan 3 yansıyan

değildir.

2. Simetri Özelliği:

simetriktir (x, y) [(x, y) (y, x) ] dır.


1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3)

2 = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)

bağıntıları simetrik olup

3 = (1, 1), (2, 3), (1, 2), (2, 1)

bağıntısında (2, 3) 3 iken (3, 2) 3 olduğundan

3 simetrik değildir.

Teorem: A kümesinde tanımlanan bağıntısının

simetrik olması için gerek ve yeter şart = -1

olmasıdır.

simetriktir = -1 dir.

3. Ters Simetri Özelliği:

ters simetriktir (x, y) [(x y) (x, y)

(y,x) ] dır.

Bu bağıntıya denk olarak

ters simetriktir (x, y) [(x, y) (y, x)

x = y] dir.


1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3)

2 = (2, 2), (1, 3), (2, 1)

bağıntıları ters simetrik olup

3 = (3, 3), (1, 2), (2, 3), (2, 1)

bağıntısında (1, 2) 3 iken (2, 1) 3 olduğun-

dan 3 ters simetrik değildir.

4. Geçişme Özelliği:

geçişkendir (x, y) , (y, z)

[(x, y) (y, z) (x, z) ] dır.


1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3)

2 = (1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3)

bağıntıları geçişken olup

3 = (2, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 3)

bağıntısında (1, 2) 3 ve (2, 3) 3 iken (1, 3) 3

olduğundan 3 geçişken değildir.

DENKLİK BAĞINTISI VE DENKLİK SINIFLARI

Tanım: Boş kümeden farklı bir küme üzerinde

tanımlanan bağıntı yansıma, simetri ve geçişme

özelliklerini sağlıyorsa bu bağıntıya denklik bağın-

tısı denir.

Denklik bağıntıları genelde ~ sembolü ile gösterilir.

(x, y) ~ yerine daha çok x ~ y kullanılır. Aynı

zamanda denklik bağıntıları simetrik olduğundan

y ~ x yerine x ~ y de yazılabilir.


1 = (1, 1), (2, 2), (3, 3)

2 = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)

bağıntıları birer denklik bağıntısıdır.

ÖRNEKTİR


26

Tanım: , A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı

olsun. (x, y) olmak üzere, A kümesinde x ele-

manına denk olan tüm y elemanlarının kümesine

x in denklik sınıfı denir ve

x = y y A ve (x, y)

biçiminde gösterilir.

Örnek:

= (x, y) x - y çift tam sayı, x, y Z bağıntısı-

nın bir denklik bağıntısı olduğunu gösterip 1 ve 2

nin denklik sınıflarını bulalım.

i) x Z için x - x = 0 çift sayı olduğundan (x, x)

dır. Yani yansıyandır.

ii) (x, y) için x - y çift y - x = - (x - y) çift

olacağından (y, x) dır. Yani simetriktir.

iii) [(x, y) ve (y, z) ] için

x - y = 2 k (k, m Z)

y - z = 2 m

x - z = 2 (m + k)

olacağından (x , z) dır. Yani geçişkendir.

bağıntısı yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini

sağladığından bir denklik bağıntısıdır. Şimdi de 1

ve 2 nin denklik sınıflarını bulalım.

1 = y y Z ve 1 - y çift tam sayı

= …. -5, -3, -1, 1, 3, 5, ….

2 = y y Z ve 2 - y çift tam sayı

= …. -4, -2, 0, 2, 4, ….

Teorem: , A kümesi üzerinde tanımlı bir denklik

bağıntısı olsun.

i) A nın her bir elemanının boş kümeden farklı bir

denklik sınıfı vardır.

x A için x

ii) A nın iki elemanının denklik sınıfı ya eşittir ya da

ayrıktır.

x, y A için yx = yx

iii) Tüm denklik sınıflarının birleşimi A kümesine

eşittir.

AxxA

Tanım: , A kümesi üzerinde tanımlı bir denklik

bağıntısı olsun. nın A kümesinden ayırdığı tüm

denklik sınıflarının kümesine A nın bağıntısına

göre bölüm kümesi denir ve A/ biçiminde gösteri-

lir.

Örnek: = (x, y) (x, y) Z ve 3 x - y bağıntısı

bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntının Z den ayırdı-

ğı denklik sınıfları,

0 = …..,-6, -3, 0, 3, 6, …..

1 = …..,-5, -2, 1, 4, 7, …..

2 = …..,-4, -1, 2, 5, 8, …..

olduğundan Z / = 2,1,0 dir.

Teorem: A / , A kümesinin bir ayrımını, A nın

ayrımındaki her küme ise bir denklik sınıfı oluştu-

racak biçimde sadece bir denklik bağıntısı belirler.

Örnek: A = 1, 2, 3, 4, 5, 6 kümesinin bir ayrımı

A = 1, 2, 4, 3, 5, 6

olarak verilsin. Bu ayrımın belirlediği denklik bağıntı-

sı

= (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (1,2),

(2,1), (3,5), (5,3), (3,6), (6,3), (5,6), (6,5)

biçimindedir. Ayrıca A/ = 1, 3, 4 dir.

Örnek: A = a, b, c, d kümesinde tanımlı

= (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a)

bağıntısının belirlediği ayrımı bulalım.

yansıyan, simetrik ve geçişken olduğundan bir

denklik bağıntısıdır. a ve b aynı denklik sınıfında,

c ile d ise tek başına birer denklik sınıfı oluşturdu-

ğundan nın belirlediği ayrım

a,b, c, d

biçimindedir.

ÖRNEKTİR


27

SIRALAMA BAĞINTISI

Boş kümeden farklı A kümesi üzerinde tanımlanan

bir bağıntı yansıma, ters simetri ve geçişme özellik-

lerini sağlıyorsa bu bağıntıya parçalı sıralama

bağıntısı ya da kısaca sıralama bağıntısı, A küme-

sine de sıralı küme denir ve bu kümede tanımlı

sıralama bağıntısı simgesi ile gösterilir.

(x, y) x y

dir. Burada x ile y elemanlarına bağıntısına göre

karşılaştırılabilir elemanlar denir.

Tanım: A kümesinde tanımlanan bir sıralama ba-

ğıntısı olsun. A kümesinin her eleman çifti bu

bağıntı yardımıyla karşılaştırılabiliyorsa A kümesi-

ne tam sıralı küme denir.

Örnek: A = a, b kümesinin P (A) kuvvet küme-

sinde tanımlı bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.

P (A) = , a, b, a, b

a a, b

olduğundan a ve a, b elemanları bu bağıntıya

göre karşılaştırılabilir elemanlardır.

a b

olduğundan a ve b elemanları bu bağıntıya göre karşılaştırılamaz. Bu nedenle P (A) kümesi

bağıntısına göre parçalı sıralı bir kümedir. Fakat

tam sıralı bir küme değildir.

Örnek: A = 1, 2, 3, 4, 5 kümesi üzerinde tanım-

lanan bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. A nın

herhangi iki elemanı bu bağıntıya göre karşılaştırı-

labilir olduğundan A kümesi tam sıralı bir kümedir.

Teorem: Bir küme üzerinde tanımlanan sıralama

bağıntısının tersi de bir sıralama bağıntısıdır.

Tanım: A kümesinde tanımlı bir sıralama bağın-

tısı ve B A olsun.

x (x B a x)

olacak biçimde B kümesinin bir a elemanı varsa a

ya B nin en küçük (minimal) elemanı denir.

x (x B x b)

olacak biçimde B kümesinin bir b elemanı varsa b

ye B nin en büyük (maksimal) elemanı denir.

Tanım: A kümesinde tanımlı bir sıralama bağın-

tısı ve B A olsun.

“ a A x B, a x”

önermesi doğru ise B kümesi alttan sınırlıdır ve

a elemanına B kümesinin bir alt sınırı (minimal ele-

man) denir. B nin alt sınırlarının en büyüğüne de B

nin en büyük alt sınırı (minimumu) denir ve inf B veya

ebas B ile gösterilir.

“ b A x B, x b”

önermesi doğru ise B kümesi üstten sınırlıdır ve b

elemanına B kümesinin bir üst sınırı (maksimal ele-

man) denir. B nin üst sınırlarının en küçüğüne de B

nin en küçük üst sınırı (maksimumu) denir ve sup B

veya eküs B ile gösterilir.

Tanımdan da görüldüğü gibi B kümesinin üst sınırı,

alt sınırı, infumumu ve supremumu kümeye ait

olmak zorunda değildir.

Tanım: Hem alttan hem de üstten sınırlı olan kü-

meye sınırlı küme denir.

Teorem: Bir B A kümesinin infumumu ve sup-

remumu varsa tektir.

Tanım: A kümesinde tanımlı bir sıralama bağıntısı

olsun. A kümesinin boş kümeden farklı her alt

kümesinin bir en küçük elemanı varsa A ya iyi sıralı

küme denir.

Örnek: Doğal sayılar kümesinin boş kümeden

farklı her alt kümesinin en küçük elemanı olduğun-

dan doğal sayılar kümesi bağıntısına göre iyi

sıralı bir kümedir.

Tam sayılar kümesi iyi sıralı bir küme değildir.

Çünkü negatif tam sayılar kümesinin bir en küçük

elemanı yoktur.

Teorem: İyi sıralı her küme tam sıralıdır. Fakat tam

sıralı her küme iyi sıralı olmayabilir.

ÖRNEKTİR

Cebir Bağıntı Test 3

28

1. B A , B

s(C) = 5

s[(A x C) (B x C)] = 30

olduğuna göre, s(A) en çok kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. A = -2, -1, 0, 1, 2 ve B = 1, 2, 3, 4 küme-leri veriliyor. A x B kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin çapı kaç birimdir?

A) 2 B) 25 C) 3 D) 4 E) 5

3. = (x, y) x + y 2 , x , y Z bağıntı-sının eleman sayısı kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 13

4. A = a, b, c ve B = 1, 2 kümeleri veriliyor. Buna göre, A dan B ye tanımlanan bağıntı- ların kaç tanesinde (a, 1) bulunur, (c, 2) bulunmaz?

A) 16 B) 24 C) 32 D) 48 E) 56

5. A = a, b, c kümesi üzerinde tanımlanan 5 elemanlı yansıyan bağıntı sayısı kaçtır?

A) 3 B) 6 C) 9 D) 10 E) 15

6. 4 elemanlı bir küme üzerinde yansıyan ve simetrik kaç bağıntı tanımlanabilir?

A) 24 B) 26 C) 28 D) 212 E) 216

ÖRNEKTİR


29

7. 5 elemanlı bir küme üzerinde yansıyan olan simetrik ve ters simetrik olmayan bir bağın-tı en az kaç elemanlıdır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

8. = (x, y) 2x + y = 6, x, y Z) bağıntısı veriliyor. -1 bağıntısı aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-2, 2) B) (2, 2) C) (-2, -2)

D) (4, 2) E) (4, -2)

9. Tam sayılar kümesinde bir denklik bağıntısı

= (x, y) x3 - x = y3 - y

şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, sıfırın denklik sınıfı aşağıdakilerden hangisidir?

A) -1, 0, 1 B) -1, 1 C) 0, 1

D) -1, 0 E) 0

10. A = x x - 3 2 , x Z kümesi üzerinde

tanımlanan

= (x, y) y x ve x, y A

bağıntısının noktalarını dışarıda bırakma- yan en küçük üçgenin alanı kaç br2 dir?

A) 8 B) 12 C) 2

25 D) 16 E) 25

11. = (x, y) x2 + y2 9 , x, y R bağıntısı için

I. Yansıyandır.

II. Simetriktir.

III. Geçişkendir.

Yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II D) II ve III

12. , kan grupları kümesi üzerinde birinin diğeri-

ne kan verebilmesi bağıntısı olsun.

bağıntısı ile ilgili olarak,

I. Yansıyandır.

II. Simetriktir.

III. Ters simetriktir.

IV. Geçişkendir.


A) I ve II B) I ve III C) I, II ve IV

D) I, III ve IV E) I, II, III ve IV

ÖRNEKTİR

Cebir Çözümler Test 3

30

1. S Cx A B 30

S A B 6

Cevap D

2.

Cevap E

3. 0 0 1 0 1 1 2 0

0 1 1 1 0 21 0 1 1 2 00 1 1 1 0 2

x y 2, x y 2, x y 2, x y 2

bağıntısını sağlayan 13 tane elemanı vardır.

Cevap A

4. 42 16

AxB a,1 , a,2 , b,1 , b,2 , c,1 , c,2

Cevap A

5. AxA a,a , b,b , c,c ,... 9

6a,a , b,b , c,c , , 15

2

Cevap E

6. 4 elemanlı bir küme

A a,b,c,d olsun

AxA a,a , b,b , c,c , d,d ,... 16

a,a , b,b , c,c , d,d ,...

geriye kalan 12 eleman simetri özelliğinden

dolayı ikili gruplandırılırsa, 6 eleman için 62

hem yansıyan hem de simetrik bağıntı sayısı

olur.

Cevap B

7. 5 elemanlı bir kümeyi

A 1,2,3,4,5 seçelim.

1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , 1,2 , 2,1 , 3,1

seçilirse yansıyan olan simetrik ve ters simetrik

olmayan bir bağıntı olur.

Cevap D

8.

21

2x y 6

/ 2y x 6 B 2,2y 2, x 2

Cevap B

ÖRNEKTİR


31

9. 3 3x x y y

3 20 0 y yy 0, y 1 0 1,0,1

Cevap A

10.

1 x 5A 1,2,3,4,5

Cevap A

11. I) Yansıyandır. x için x,x ,

2 2 2 2 9x x 9 2x 9 x2

II) Simetriktir. 2 2 2 2x y 9, y x 9

III)Geçişkendir. 2 2

2 22 2

x y 9x z 9

y z 9

gelmez

Cevap B

12. 0,0 , A,A , B,B , AB,AB , 0,A , 0,B ,

0,AB , A,AB , B,AB

bağıntısı yansıyan, ters simetrik, geçişkendir.

Cevap D

ÖRNEKTİR

Cebir Bağıntı Konu Tarama Testi 3

36

1. A, B, C, D kümeleri verilmiş olsun.

I. (A x B) (C x D) = (A C) x (B D)

II. (A x B) (C x D) = (A C) x (B D)

III. A x (B \ C) = (A x B) \ (A x C)

Yargılarından hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II

D) I ve III E) II ve III

2. A ve B herhangi iki küme olmak üzere,

I. A = B

II. A = B =

III. A B B A

yargılarından hangileri A x B = B x A eşitli-ğini sağlar?


D) I ve III E) I, II ve III

3. Tam sayılar kümesinde tanımlanan

sayıçiftysayıtekx)y,x( bağıntısı

I. Yansıma

II. Simetri

III. Ters simetri

IV. Geçişme

özelliklerinden hangilerini sağlar?

A) Yalnız III B) Yalnız IV C) III ve IV

D) I ve III E) II ve IV

4. Reel sayılar kümesi üzerinde bir denklik ba-

ğıntısı,

y4yx4x)y,x( 33

biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 1 in denklik sınıfı kaç elemanlıdır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

5. 1 ve 2 , A kümesi üzerinde tanımlı denklik

bağıntıları olmak üzere,

I. 1 2

II. 1 2

III. 1 \ 2

bağıntılarından hangileri A kümesinde daima bir denklik bağıntısı belirtir?


D) II ve III E) I, II ve III

6. I. İyi sıralı bir kümenin her alt kümesi de iyi

sıralıdır.

II. Tam sıralı bir kümenin her alt kümesi de

tam sıralıdır.

III. Tam sıralı bir küme aynı zamanda iyi sıralı

bir kümedir.

Yargılarından hangileri daima doğrudur?



ÖRNEKTİR

Cebir Çözümler Konu Tarama Testi 3

37

1. I ve III doğrudur.

Cevap B

2. Verilen yargıların her üçü de doğrudur.

Cevap E

3. I) T,T Ç,Ç

II) T,Ç iken Ç,T olduğundan ters

simetriktir.

IV) bağıntısının çift tamsayı ile biten elema-

nı vardır. Ama çift tamsayı ile başlayan ele-

manı olmadığından geçişkendir.

Cevap C

4. 3 3x 4x y 4y

3 3

3

2

0 old. içiniki reel kök gelir.

1 4.1 y 4y

3 y 4y

0 y 1 . y y 3

y 1

Cevap D

5. I) 1 2 birleşim her zaman sağlamaz.

II) 1 2 kesişim her zaman sağlar.

III) 1 2\ yansıma bozulur.

Cevap B

6. İyi sıralı her küme tam sıralıdır. Fakat tam

sıralı her küme iyi sıralı değildir.

Cevap C

ÖRNEKTİR

Cebir Kongrüanslar Sayılar Teorisi

84

Kongrüanslar, bir tam sayının sıfırdan farklı başka

bir tam sayı ile bölümünden elde edilen kalan üze-

rinde yapılan aritmetiktir.

Tanım: a, b Z ve m > 0 olmak üzere, eğer m a -

b ise a ile b, m modülüne göre kongrüenttir (denk-

tir) denir ve a b (mod m) biçiminde gösterilir.

Teorem: a, b, m Z ve m > 0

a b (mod m) a = b + m . k

olacak biçimde bir k Z vardır.

Teorem: Tam sayılarda m modülüne göre kongrüent

olma bağıntısı bir denklik bağıntısı olduğundan tam

sayılar kümesini m tane denklik (kalan) sınıfına

ayıracaktır. m modülüne göre en küçük kalanlar )1m,.....(2,1,0 olduğundan her tam sayı m modü-

lüne göre bu sayılardan bir tanesine kongrüenttir

denir.

m modülüne göre oluşan tüm denklik sınıflarının

kümesi

)1m,.....(2,1,0Zm/Z m

ile gösterilir. Burada Zm e tam kalan sınıfı denir.

Örnek: 5 modülüne göre oluşan tüm kalan sınıfla-

rının kümesi

4,3,2,1,0Z5/Z 5

biçimindedir.

Örnek: m = 7 modülüne göre tam sayılar kümesini

denklik sınıflarına ayıralım.

Tam sayılar kümesi 7 modülüne göre yedi tane

denklik sınıfına ayrılır. Bunlar,

,....14,7,0,7,14.....0

,....8,1,6,13.....1

,....9,2,5,12.....2

,....10,3,4,11.....3

,....11,4,3,10.....4

,....12,5,2,9.....5

,....13,6,1,8.....6

biçimindedir. 6,5,4,3,2,1,0 sayıları 7 modülüne

göre en küçük kalanlar ya da tüm kalanlar sistemi-

dir.

Özellikleri: a, b, c, d, m, n Z , m > 0 , a b (mod

m) ve c d (mod m) olsun.

i) a c b d (mod m)

ii) a . c b . d (mod m)

iii) a n b n (mod m)

iv) a . n b . n (mod m)

v) an bn (mod m)

Teorem: a, b, c, m Z , m > 0 , c 0 (mod m) ve

(c, m) = d olsun.

a . c b . c (mod m) ise a b (mod dm ) dir.

İspat: a . c b . c (mod m) mc . (a - b) oldu-

ğundan c . (a - b) = m . k olacak şekilde bir k Z

vardır.

(c, m) = d olduğundan d m ve d c dir. Buradan

m = d . k1 ve c = d . k2 olacak biçimde k1, k2 Z

vardır ve (k1, k2) = 1 dir.

c . (a - b) = m . k denkleminde m yerine d . k1 ve c

yerine d . k2 yazılırsa

d . k2 . (a - b) = d . k1 . k

k2 . (a - b) = k1 . k

a - b = 2

1 kkk

Ztkkvek

dm

21

a - b = tdm olacağından ba

dm

elde edilir.

Bu da a b (mod dm ) demektir.

Örnek: 15 3 (mod 12) kongrüansında

5 . 3 1 . 3 (mod 12) ve (3, 12) = 3 olduğundan

5 1 (mod 4) tür.

ÖRNEKTİR


85

Sonuç: (c, m) = 1 ise

a . c b . c (mod m) ise a b (mod m) dir.

Örnek: 35 14 (mod 3) kongrüansında

5 . 7 2 . 7 (mod 3) ve (7, 3) 1 olduğundan

5 2 (mod 3) tür.

Teorem: a, b Z, mi Z+, i = 1, 2, …. n olsun.

a b (mod mi) ise a b (mod [m1, m2, …mn]) dir.

Örnek:

x 1 (mod 4)

x 1 (mod 6)

ve [4, 6] = 12 olduğundan

x 1 (mod 12)

dir.

Teorem: f(x), katsayıları tam sayılar olan bir poli-

nom fonksiyon ve a b (mod m) olsun. Bu takdir-

de,

f(a) f(b) (mod m)

dir.

Tanım: m modülüne göre m ile aralarında asal

olan kalan sınıfına indirgenmiş (asal) kalan sınıfı denir ve *

mZ ile gösterilir.

Teorem: m modülüne göre indirgenmiş (asal)

kalan sınıflarının sayısı (m) tanedir.

Örnek:

(6) = 2 ve (7) = 6 olduğundan

6,5,4,3,2,1,0Z6 ise 5,1Z*6 tir.

6,5,4,3,2,1,0Z7 ise 6,5,4,3,2,1Z*7 dır.

Teorem (Euler): (a, m) = 1 olmak üzere,

a(m) 1(mod m) dir.

Örnek: a = 3, m = 5 olsun.

(3, 5) = 1 ve (5) = 4 olduğundan

3(5) 1 (mod 5)

34 1 (mod 5) tir.

Teorem (Fermat): p asal ve p a olmak üzere,

ap - 1 1 (mod p) dir.

Örnek: a = 5 ve p = 7 için 7 5 olduğundan

57 - 1 1 (mod 7)

56 1 (mod 7)

Teorem (Wilson): Herhangi bir p asalı için,

(p - 1) ! - 1 (mod p)

dir.

Örnek: 10 ! - 1 (mod 11) dir.

Lineer Kongrüanslar

a, b, m Z, m > 0 , a 0 (mod m) ve x bilinmeyeni

göstermek üzere,

a x b (mod m)

şeklindeki kongrüanslara bir bilinmeyenli lineer

kongrüanslar denir. Bu denkliği gösteren x tam

sayılarının kümesine lineer kongrüansın çözüm

kümesi denir.

Kongrüansın çözümlerinden aynı kalan sınıfına ait

olan çözümlere kongrüent çözümler, aynı kalan

sınıfına ait olmayan çözümlere de kongrüent olma-

yan çözümler denir.

Teorem: a, b, m Z, m > 0 ve (a, m) = d olsun.

a x b (mod m)

kongrüansının çözülebilir olması için gerek ve yeter

şart d b olmasıdır. Eğer bu kongrüans çözülebilir-

se m modülüne göre birbirlerine kongrüent olma-

yan d tane çözüm vardır.

Örnek: 3x 5 (mod 7) kongrüansını çözelim.

(3, 7) = 1 ve 1 5 olduğundan kongrüansın 1 tane

çözümü vardır. x = 4 kongrüansı sağlar. O halde

tüm çözümler x 4 (mod 7) veya x = 4 + 7k (k Z)

şeklindedir.

ÖRNEKTİR


86

Örnek: 12x 21 (mod 45) kongrüansını çözelim

(12, 45) = 3 ve 3 21 olduğundan kongrüansın

birbirine kongrüent olmayan 3 tane çözümü vardır.

12x 21 (mod 45)

4x 7 (mod 15)

kongrüansında x0 = -2 13 (mod15) bir çözüm

oldu-ğundan tüm çözümler k = 0, 1, 2, ….. (d-1)

olmak üzere, x = x0 + k .

dm şeklindedir. Buradan x =

13 + 15k ve k = 0, 1, 2 için 3 tane birbirine

kongrüent olmayan çözüm bulunur ki bu çözümler

13, 28 ve 43 tür.

Sonuç: a, b, m Z, m > 0 ve a 0 (mod m) ol-

sun.

i) (a, m) = 1 ise ax b (mod m) kongrüansının

tek çözümü vardır.

ii) m asal sayı ise a x b (mod m) kongrüansının

tek çözümü vardır.

Lineer Kongrüans Denklemlerinin Çözümünde Kullanılan Bazı Metotlar

Modülün küçük bir sayı olması durumunda m mo-

dülüne göre tüm kalanlar denenerek çözüm veya

çözümler bulunabilir. Fakat modülün büyük bir sayı

olması durumunda bu metod uygun değildir. Lineer

kongrüans denklemlerinin çözümü için bazı metod-

lar geliştirilmiştir. Bunlardan bazılarını verelim:

1) Kongrüansın temel özellikleri kullanılarak lineer

kongrüans denklemleri çözülebilir.

Örnek: 18 x 20 (mod 28) kongrüansını çözelim.

18x 20 (mod 28)

9 x 10 (mod 14)

-5 x 10 (mod 14)

-x 2 (mod 14)

x 12 (mod 14)

olarak bulunur. x = 12 + 14k , k = 0, 1 için x = 12 ve

x = 26 olmak üzere birbirine kongrüent olmayan iki

tane çözüm vardır.

2) Euler teoremi kullanılarak lineer kongrüanslar

çözülebilir.

(a, m) = 1 olmak üzere,

a(m) 1 (mod m) dir.

ax b (mod m) kongrüansının her iki tarafı a(m)-1

ile çarpılırsa,

a(m)-1 . a x a(m)-1 . b (mod m)

a(m) . x a(m)-1 . b (mod m)

a(m) 1 (mod m) olduğundan

x a(m)-1 . b (mod m)

elde edilir.

Örnek: 3x 5 (mod 7) kongrüansında (3, 7) = 1, (7) =

6 olduğundan her iki taraf 35 ile çarpılırsa

36 . x 35 . 5(mod 7)

36 1 (mod 7) olduğundan

x 35 . 5 (mod 7)

dir. Buradan 35 . 5 4 (mod 7) olduğundan x 4 (mod

7) elde edilir.

3) Lineer Diophantine denklemleri yardımıyla da

lineer kongrüanslar çözülebilir.


Verilen kongrüans, y Z olmak üzere

23x = 1 + 101y …………………………..(I)

23x - 101y = 1

Diophantine denklemine dönüşmüş olur. Son denk-

lem

-101y 1 (mod 23)

şeklinde yazılarak modül küçültülmüş olur. Bura-

dan

-101 14 (mod 23)

olduğundan

ÖRNEKTİR


87

14 y 1 (mod 23)

y 5 (mod 23)

y = 5 + 23 k (k Z) değeri I. denklemde yerine

konulur ve her iki taraf 23 ile bölünürse

23x = 1 + 101 . (5 + 23k)

x = 22 + 101 k

bulunur ve buradan

x 22 (mod 101)

aranılan çözümdür.

4) Lineer kongrüansların çözümünde diğer bir

metot Euclid bölme algoritmasıdır.


(5, 17) = 1 olup

1 = 17 . 3 + 5 . (-10)

olarak yazılır ve her iki taraf üç ile çarpılırsa

3 = 17 . 9 + 5 . (-30)

olur. Bu ifade kongrüans şeklinde yeniden düzen-

lenirse,

5 . (-30) 3 (mod 17)

elde edilir.

-30 4 (mod 17)

olduğundan x 4 (mod 17) elde edilir.

Örnek: 21 x 15 (mod 24) kongrüansını çözelim

(21, 24) = 3 ve 3 15 olduğundan çözüm var ve

3 tanedir. Kongrüansı 3 ile sadeleştirirsek,

7x 5 (mod 8)

(7, 8) = 1 olduğundan

1 = 8 . 1 + 7 . (-1)

5 = 8 . 5 + 7 . (-5)

7 . (-5) 5 (mod 8)

yazılabilir. Bu durumda bir çözüm

x -5 (mod 8)

x 3 (mod 8)

dir. x = 3 + 8k ve k = 0, 1, 2 için 3 tane birbirine

kongrüent olmayan çözüm vardır ve bu çözümler

de 3, 11, 19 dur.

Tanım: (a, m) = 1 olmak üzere, ax 1 (mod m)

kongrüansının çözümüne a nın m modülüne göre

inversi (tersi) denir.

Örnek: 11 in 13 modülüne göre inversini bulalım.

Bunun için 11x 1 (mod 13) kongrüansını çözme-

liyiz. Bu kongrüans çözüldüğünde x 6 (mod 13)

bulunur. 13 modülüne göre 6 ya denk olan bütün

tam sayılar 11 in 13 modülüne göre inversleridir.

Tanım: a, b, c, m Z, m > 0 ve x, y bilinmeyenler

olmak üzere,

ax + by c (mod m)

şeklindeki kongrüanslara iki bilinmeyenli lineer

kongrüanslar denir ve bu kongrüansın çözümleri

(x, y) tam sayı sıralı çifti ile gösterilir.

Teorem: a, b, c, m Z ve m > 0 olmak üzere,

ax + by c (mod m) kongrüansında (a, b, m) = d

ve d c ise d . m tane birbirine kongrüent olmayan

çözüm vardır. d c ise çözüm yoktur.

(a, b, m) = 1 ise

çözümlerin sayısı m tanedir.

Örnek: 4x + 7y 3 (mod 11) kongrüansını çözelim.

(4, 7, 11) = 1 ve 1 3 olduğundan çözüm vardır ve

11 tanedir. Verilen denklik,

4x 3 - 7y (mod 11)

-7x 14 - 7y (mod 11)

-x 2 - y (mod 11)

x -2 + y (mod 11)

şeklinde düzenlenebilir. y nin alabileceği değerler

0, 1, 2, …. 10 olduğundan bu değerlere karşılık

ÖRNEKTİR


88

gelen (x, y) tam sayı çözümleri,

(9, 0), (10, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4),

(3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8), (7, 9), (8, 10)

olarak bulunur.

Teorem (Çin Kalan): m1, m2, …, mr ikişer ikişer ara-

larında asal olan pozitif tam sayılar olsun. Bu durum-

da,

x a1 (mod m1)

x a2 (mod m2)

……………….

x ar (mod mr)

lineer kongrüans sistemi M = m1 . m2 ….. mr modü-

lüne göre bir tek çözüme sahiptir.

1

1 mMM

2

2 mMM

…………

r

r mMM

M1 y1 1 (mod m1)

M2 y2 1 (mod m2)

………….

Mr yr 1 (mod mr)

olmak üzere, sistemin x ortak çözümü

x a1 . M1 . y1 + a2 . M2 . y2 + …. + ar . Mr . yr (mod

M)

şeklindedir.

Örnek:

x 2 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 4 (mod 7)

kongrüans sistemini çözelim.

M = 3 . 5 . 7 = 105

2a,353

105M 11

3a,215

105M 22

4a,157

105M 33

35 . y1 1 (mod 3) ise y1 2 (mod 3)

21 . y2 1 (mod 5) ise y2 1 (mod 5)

15 . y3 1 (mod 7) ise y3 1 (mod 7)

olarak bulunur. Buradan sistemin x ortak çözümü,

x 2 . 35 . 2 + 3 . 21 . 1 + 4 . 15 . 1 (mod 105)

x 53 (mod 105)

elde edilir.

Teorem: p bir asal sayı ve d p - 1 ise

xd - 1 0 (mod p)

kongrüansının birbirine kongrüent olmayan d tane

kökü vardır.

Örnek: x3 - 1 0 (mod 7) kongrüansının birbirine

kongrüent olmayan köklerini bulalım.

7 asal ve 37 - 1 olduğundan

kongrüansın birbirine kongrüent olmayan 3 tane

kökü vardır. Bu kökler 1, 2 ve 4 tür.

ÖRNEKTİR

Cebir Kongrüanslar Test 8

89

1. a, b, c, m Z , m > 0 ve a b (mod m) olsun.

I. a + c b + c (mod m)

II. a . c b . c (mod m)

III. cb

ca (mod m) , (c 0)

yargılarından hangileri daima doğrudur?



2. 1101 + 2101 + 3101 + ….. + 100101

toplamının 101 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 50 D) 99 E) 100

3. x + y 2 (mod 7)

x . y 6 (mod 7)

x3 + y3 a (mod 7)

kongrüans sistemini sağlayan en küçük a sayma sayısı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. 72 modülüne göre kaç tane indirgenmiş (asal) kalan sınıfı vardır?

A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 36

5. 225 + 326 x (mod 13)

kongrüansını sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

6. 7100 sayısının 120 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

A) 1 B) 3 C) 19 D) 53 E) 79

ÖRNEKTİR

Cebir Kongrüanslar Test 8

90

7. 9! sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5

8. m > 1 olmak üzere,

2014 1 (mod m)

kongrüansını sağlayan kaç farklı m sayma sayısı vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. p 5 bir asal sayı olmak üzere,

x2 + 2x 3 (mod p)

kongrüansının tüm çözümleri aşağıdakile-rin hangisinde verilmiştir?

A) x 3 (mod p) veya x p - 2 (mod p)

B) x 1 (mod p) veya x p - 3 (mod p)

C) x 3 (mod p) veya x p + 2 (mod p)

D) x 2 (mod p) veya x p + 3 (mod p)

E) x 3 (mod p)

10. 385 sayısının birler ve onlar basamağındaki rakamların sayı değerleri çarpımı kaçtır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 15 E) 18

11. x2 + x 0 (mod 6)

kongrüansının birbirine kongrüent olmayan kaç tane kökü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12. x 4 - 1 0 (mod 5)

kongrüansının birbirine kongrüent olmayan kaç tane kökü vardır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

ÖRNEKTİR


91

1. I ve II öncülleri kongrüans özelliklerinden dola-

yı doğrudur.

III. öncül c,m 1 durumunda doğru olur.

a b mc, m d ise modc c d

olduğundan.

Cevap C

2. 101 101 1011 2 ... 100 ? mod 101

101 101 101 101 101 101

101 101 101101 101 101

100 1 mod 101

99 2 mod 101

.

.

.

51 50 mod 101

1 2 ... 50 51 ... 99 100 ? mod101

1 2 ... 50 50 ... 2 1 ? mod101

0 ? mod101 kalan 0 olur.

Cevap A

3. 3 3x y a mod 7

2 2

2

2

x y x xy y a mod7

x y x y 3xy a mod 7

2 2 3.6 a mod 7

28 a mod 7

a 0 mod 7a 0 7

Cevap E

4. 72 ile aralarında asal olan ve 72 den küçük

sayılar indirgenmiş kalanlardır.

2 3

2 1 3 2

72 ?

72 9.8 3 . 2

3 3 . 2 2

6.4 24

Cevap D

5. 13 asal ve 13† 2 ve 13† 3 olduğundan

Fermat teoremi gereğince,

12 122 1 mod 13 ve 3 1 mod 13 olur.

25 26

2 212 12 2

2 3 x mod 13

2 .2 3 .3 x mod 13

2 9 mod 13 x 11 mod 13min x 11

Cevap E

6. 7, 120 1 olduğundan Euler teoremi gere-

ğince,

120

3

3 2 1 0 1 0 32

332 4

4

7 1 mod 120 olur.

120 2 .3.5

2 2 . 3 3 . 5 5 7 1 mod 120

4.2.4 32

7 .7 ? mod 120

7 ? mod 120

343.7 ? mod 120

103.7 ? mod 120

721 ? mod 120

? 1 mod 120

Cevap A

ÖRNEKTİR


92

7. p asal olmak üzere,

p 1 ! 1 mod p dir. Wilson Teoremi

11 asal olduğundan,

11 1 ! 1 mod 11

10! 10 mod 11

9!.10 10 mod 11

9! 1 mod 11

Cevap B

8. 2014 1 mod m

2013 ün pozitif bölen sayısına bakılır

2013 3.11.61

2014 1 km, k

2013 km

2013 mk

2.2.2 8 tane m 1değeri

var dır. m 1 çıkarılırsa 7 tane m değeri olur.

Cevap D

9. 2x 2x 3 mod p

2x 2x 3 0 mod p

x 1 . x 3 0 mod p

x 1 0 mod p veya x 3 0 mod p

x 1 mod p veya x 3 mod p

x 1 mod p veya x p 3 mod p

Cevap B

10. 853 ? mod 100

100

2 2 2 1 2

40

85 40

240 5

5

Euler Teoremi

3, 100 1 ise

3 1 mod 100

100 2 .5 2 2 . 5 5

2.20 40

3 1 mod 100

3 ? mod 100 ve3 1 mod 100

3 .3 ? mod 100

3 ? mod 100 243 ? mod 100

? 43 mod 100

4.3 12

Cevap C

11. 6 asal olmadığından tüm kalan sınıflarına tek

tek bakılır.

4 tane var dır.

x 0 için 0 0 0 mod 6




x 4 için 16 4 2 mod 6

x 5 için 25 5 0 mod 6

Ç.K. 0, 2, 3, 5

Cevap D

12. 41x 1 0 mod 5 x 1

2 22

23

4

x 1 x 1 0 mod 5 x 1 4

x 1 x 1 x 4 0 mod 5 x 2

x 1 x 1 x 2 x 2 0 mod5 x 2 3

Cevap: E

ÖRNEKTİR

Cebir Kongrüanslar Konu Tarama Testi 7

97

1. m > 1 olmak üzere,

1000 -1 (mod m)

kongrüansını sağlayan kaç farklı m değeri vardır?

A) 1 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

2. 90 modülüne göre kaç tane indirgenmiş (asal) kalan sınıfı vardır?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

3. 10! sayısının 13 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4. 39 + 416 + 525 x (mod 24)

kongrüansını sağlayan en küçük x doğal sayısı kaçtır?

A) 0 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

5. x3 - 1 0 (mod 13)

kongrüansında birbirine kongrüent olmayan en küçük x sayma sayılarının çarpımı kaçtır?

A) 12 B) 15 C) 27 D) 36 E) 40

6. 23 sayısının 73 modülüne göre inversi (tersi) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 18 B) 19 C) 35 D) 54 E) 55

7. x 1 (mod 3)

x 3 (mod 5)

x 5 (mod 7)

kongrüans sistemini sağlayan en küçük x doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

8. 13215 sayısının 13 ile bölümünden elde

edilen kalan kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

ÖRNEKTİR


98

1. 1000 1 0 modm

1001 0 modm1001

mm 1, 7, 11, 13, 7.11, 7.13, 11.13, 7.11.13m 1 olduğu için 7 tane değeri var dır.

Cevap D

2. 290 2 . 3 . 5

1.6.424

Cevap E

3. 12! 1 mod13

12.11.10! 1 mod 13

1. 2 .10! 1 mod 13

2.10! 1 mod 13

10! 6 mod 13

Cevap D

4. 1 13 3 mod24 4 4 mod24 24 8

32 2 8 1

3 3

4

3 9 mod24 4 16 mod24 5 .5 5 mod24

3 3 mod24 4 16 mod24

3 9 mod24 ::

3 16 5 x mod24

0 x mod24

Cevap A

5. 2x 1 . x x 1 0 mod13

2

2

x 1 mod13 , x x 1 0 mod13

x x 12 0 mod13

x 4 . x 3 0x 4, x 3x 9

9.3.1 27

Cevap C

6. 23x 1 mod 73

4

1

69x 3 mod73

72x 54 mod73

x 54 mod73

Cevap D

7. x 1 3k 3 5t 5 7z k, t,z

x 2 105k k 1 içinx 2 105x 1031 0 3 4

Cevap B

8. 13 12

21

2 1

2 1 1 0

54 1

5

3

3 2

5 x mod 12

12 2 . 3

2 2 . 3 3

2.24

5 .5 x mod 12

5 x

3 x mod 13

3 1 mod 13

3 .3 9 mod 139 1 10

Cevap C

ÖRNEKTİR

Cebir Halkalar Soyut Cebir

178

Tanım: “+* ve “” boş kümeden farklı bir H kümesi

üzerinde tanımlı iki işlem olsun. Aşağıdaki aksiyomları

sağlayan (H, +, ) cebirsel yapısına halka denir.

H1) (H, +) değişmeli bir gruptur.

H2) “” işleminin H de birleşme özelliği vardır. Diğer

bir ifadeyle,

a, b, c H için

a . (b . c) = (a . b) . c

H3) “” işleminin “+” işlemi üzerine sağdan ve sol-

dan dağılma özelliği vardır. Diğer bir ifadeyle,

a, b, c H için

a . (b + c) = a . b + a . c (Soldan Dağılma Özelliği)

(b + c) . a = b . a + c . a (Sağdan Dağılma Özelliği)

Toplama işlemine göre birim elemana halkanın sıfırı

denir ve 0H ile gösterilir. Fakat çarpma işlemine göre

birim eleman olmayabilir. Eğer çarpma işlemine göre

de birim eleman varsa bu halkaya birimli halka denir

ve halkanın birimi 1H ile gösterilir.

Ayrıca a, b H için a . b = b . a oluyorsa H ye

değişmeli halka denir.

Örnek: (Z, +, ) , (Q, +, ), (R, +, ) ( , +, ) birer

birimli ve değişmeli halkadır. Bu halkalara sırasıyla

tam sayılar halkası, rasyonel sayılar halkası, reel

sayılar halkası ve kompleks sayılar halkası denir.

Örnek: (Z6, , ) , (Z7, , ) birimli ve değişmeli

bir halkadır.

NOT: m Z+ olmak üzere, (Zm, , ) birimli ve

değişmeli bir halkadır.

Örnek: (2Z, +, ) değişmeli bir halkadır. Fakat

birimli değildir. Çünkü “” işleminin birim elemanı

yoktur. Yani 1 2Z dir.

Örnek: (M2(R), +, ) birimli fakat değişmeli olma-

yan bir halkadır. NOT: n 2 olmak üzere n. mertebeden reel mat-rislerin kümesi toplama ve çarpma işlemleri ile birlikte (Mn(R), +, ) birimli fakat değişmeli olma-yan bir halkadır.

Teorem: H bir halka olmak üzere,

a, b, c H için

i) a . 0H = 0H . a = 0H

ii) a . (-b) = (-a) . b = -(a . b)

iii) (-a) . (-b) = ab

iv) a . (b - c) = a . b - a . c

(b - c) . a = b . a - c . a

Sonuç: H birimli bir halka ve a H için

i) (-1H) . a = -a

ii) (-1H) . (-1H) = 1H

Tanım: H halkasında a H için (a 0H)

a . b = 0H veya b . a = 0H

olacak şekilde b H (b 0H) varsa a ile b ye

halkanın sıfır bölenleri denir.

Örnek: (Z, +, ) , (Q, +, ), (R, +, ) ( , +, ) birimli

ve değişmeli halkaları sıfır bölensizdir.

Örnek: (Z7, , ) birimli ve değişmeli halkası sıfır

bölensizdir. Çünkü

a Z7 (a 0 ) için a . b = 0 olacak şekilde bir

b Z7 (b 0 ) yoktur.

NOT: m asal ise (Zm, , ) halkası sıfır bölensizdir.

Örnek: (Z6, , ) birimli ve değişmeli bir halkadır.

2 3 = 0 , 3 4 = 0 olduğundan 2, 3 ve 4

(Z6, , ) halkasının sıfır bölenleridir.

Örnek: (Z18, , ) halkasının kaç tane sıfır böleni-

nin olduğunu bulalım.

18 den küçük ve 18 ile aralarında asal olan 17,13,11,7,5,1 sayıları ile 0 sayısı, (Z18, , )

halkasının sıfır bölenleri değildir. O halde (Z18, ,

) halkasının sıfır bölenleri

o(Z18) - [(18) + 1] = 18 - (6 + 1) = 11

tanedir. Bu sıfır bölenler

16,15,14,12,10,9,8,6,4,3,2

ÖRNEKTİR

Cebir Halkalar Soyut Cebir

179

NOT: m Z, m > 1 ve m asal sayı değilse (Zm, , )

halkasının o(Zm) - [(m) + 1] tane sıfır böleni

vardır.

Teorem: m 2 ve a Zm (a 0 ) için aşağıdaki

önermeler denktir.

i) (a, m) = 1

ii) a-1 Zm

iii) a, Zm nin sıfır böleni değildir.

Tanım: Sıfır bölensiz bir halkaya tam halka denir.

Birimli değişmeli ve sıfır bölensiz bir halkaya da

tamlık bölgesi denir.

Örnek: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) ve ( , +, ) birimli

ve değişmeli halkaları sıfır bölensiz olduklarından

birer tamlık bölgesidir.

Örnek: (Z12, , ) birimli ve değişmeli halkasının

sıfır bölenleri olduğundan tamlık bölgesi değildir.

Fakat (Z11, , ) birimli ve değişmeli halkası sıfır

bölensiz olduğundan tamlık bölgesidir.

NOT: m asal sayısı ise (Zm, , ) birimli ve de-

ğişmeli halkası sıfır bölensiz olduğundan tamlık

bölgesidir.

Teorem: H bir halka ve H nin sıfır bölen olmayan

bir elemanı c olsun.

a, b H için

ac = bc ise a = b (sağdan kısalma)

ca = cb ise a = b (soldan kısalma)

özellikleri sağlanır.

Tanım: (F, +, ) birimli ve değişmeli bir halka olsun.

Eğer F* = F - 0F olmak üzere, (F*, ) bir grup ise

(F, +, ) halkasına bir cisim denir.

Örnek: (Q, +, ), (R, +, ) ve ( , +, ) birer cisimdir.

Fakat (Z, +, ) bir cisim değildir. Çünkü (Z*, ) bir

grup değildir.

Teorem:

i) Her cisim bir tamlık bölgesidir. Fakat her tamlık

bölgesi bir cisim değildir.

ii) Sonlu elemanlı her tamlık bölgesi bir cisimdir.

Örnek: (Q, +, ) bir cisimdir ve aynı zamanda bir

tamlık bölgesidir. Fakat (Z, +, ) halkası tamlık

bölgesi olduğu halde bir cisim değildir.

Örnek: (Z5, , ) birimli ve değişmeli halkası sonlu bir tamlık bölgesi ve ( *

5Z ,) bir grup oldu-

ğundan (Z5, , ) bir cisimdir.

Örnek: (Z8, , ) birimli ve değişmeli halkası

tamlık bölgesi olmadığından cisim değildir.

NOT: m asal ise (Zm, , ) birimli ve değişmeli

halkası bir cisimdir.

Tanım: Bir cismin kendisinden başka hiçbir alt

cismi yoksa bu cisme asal cisim denir.

Teorem: Her cismin asal bir alt cismi vardır.

Tanım: H bir halka olsun. a H için n . a = 0H

olacak şekildeki en küçük n sayma sayısına H

halkasının karakteristiği denir. Eğer böyle bir n

sayma sayısı yoksa halkanın karakteristiği sıfırdır.

Örnek: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ) ve ( , +,) halka-

larının karakteristikleri sıfırdır.

Örnek: (Z6, , ) halkasının karakteristiği 6, (Z7, ,

) halkasının karakteristiği ise 7 dir.

NOT: m Z+ olmak üzere, (Zm, , ) halkasının

karakteristiği m dir. Ayrıca katsayıları Zm içinde

olan polinomların oluşturduğu Zm[x] halkasının da

karakteristiği m dir.

Teorem: Bir tamlık bölgesinin karakteristiği ya

sıfırdır ya da asaldır.

Teorem: H birimli bir halka ve birim elemanı 1H

olsun.

i) 1H nin (H, +) grubundaki mertebesi sonsuz ise H nin

karakteristiği sıfırdır.

ii) 1H nin (H, +) grubundaki mertebesi n ise H nin

karakteristiği de n dir.

ÖRNEKTİR

Cebir Halkalar Test 18

180

1. Aşağıdakilerden hangisi bir halka değildir?

A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, )

D) ( , +, ) E) ( *7Z , , )

2. Aşağıdakilerden hangisi birimli bir halka değildir?

A) (Z, +, ) B) (3Z, +, ) C) (Z8, , )

D) (Q, +, ) E) (Z11, , )

3. (Z72, , ) halkasının kaç tane sıfır böleni vardır?

A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49

4. Aşağıdakilerden hangisi (Z45, , ) halka- sının sıfır bölenlerinden biri değildir?

A) 21 B) 24 C) 25 D) 28 E) 30

5. Aşağıdakilerden hangisi Z Z6 nın bir sıfır böleni değildir?

A) (2, 3 ) B) (1, 4 ) C) (0, 2 )

D) (1, 5 ) E) (3, 3 )

6. Aşağıdakilerden hangisi bir tamlık bölgesi değildir?

A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, )

D) ( , +, ) E) (Z15, , )

ÖRNEKTİR

Cebir Halkalar Test 18

181

7. Aşağıdakilerden hangisi bir cisim değildir?

A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, )

D) ( , +, ) E) (Z5, , )

8. I. Her cisim bir tamlık bölgesidir.

II. Sonlu elemanlı her tamlık bölgesi bir ci-

simdir.

III. Bir cisim içerisinde sıfır bölen yoktur.




9. I. Bir tamlık bölgesinin karakteristiği ya sıfır-

dır ya da asaldır.

II. (Z, +, ) halkasının karakteristiği sıfırdır.

III. (Z6, , ) halkasının karakteristiği 6 dır.




10. (Z4 x Z6, , ) halkasının karakteristiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 B) 3 C) 6 D) 12 E) 24

11. H bir halka ve a H olsun. Eğer a2 = a ise H

ye Boole Halkası, a ya da H nin bir idempotent

elemanı denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi (Z10, , ) halkasının bir idempotent ele- manıdır?

A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

12. H birimli bir halka ve a H olsun. an = 0H

olacak şekilde bir n sayma sayısı varsa a ya H

nin bir nilpotent elemanı denir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi (Z18, , ) halkasının bir nilpotent elemandır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 9

ÖRNEKTİR


182

1. 7 1, 2, 3, 4, 5, 6 olduğundan

7, Bir grup olmaz.

Dolayısıyla 7, , cebirsel yapısı da

halka olamaz.

Cevap: E

2. x 3 için x.e x olacak biçimde bir

e 3 bulamayız.

Yani 3 , , halkası birimli değildir.

Cevap: B

3. Sıfır bölen sayısı 72 72 1

723 2

3 2 2 1

72

72 2 .3

2 2 3 3 4.6 24

Sıfır bölen sayısı 72 24 1 47

Cevap: C

4. 45 45, k 1 ise k , , halkasının

bir sıfır böleni değildir.

Yani, 45 45 ile arasında asal olması

gerekir.

45, 28 1 olduğundan 28 sayısı 45z , ,

halkasının sıfır böleni değildir.

Cevap: D

5. H, , bir halka olmak üzere,

H Ha 0 , b 0 , a.b H olmak üzere Ha.b 0

oluyorsa a ve b elemanları halkanın sıfır böle-

nidir.

6, , halkasının birim elemanı

0, 0 dır.

2, 3 2, 3 . 0, 2 0, 0 sıfır bölenidir

1, 4 1, 4 . 0, 3 0, 0 sıfır bölenidir

0, 2 0, 2 . 3, 3 0, 0 sıfır bölenidir

3, 3 3, 3 . 0, 2 0, 0 sıfır bölenidir

1, 5 1, 5 . 0, 0 0, 0

Başka bir eleman sağlamaz

1, 5 bu halkanın sıfır böleni değildir.

Cevap: D

6. Tamlık bölgesi Birimli, değişmeli, sıfır bö-

lensiz

, , Birimli, değişmeli, sıfır bölensiz




15, , Birimli, değişmeli fakat sıfır

bölensiz değil

3.5 0 olduğundan 3 ve 5 sıfır bölenidir.

Cevap: E

ÖRNEKTİR


183

7. F, , yapısı birimli ve değişmeli bir halka ve

F , bir grup ise F, , yapısına cisim denir.

FF F 0

, , birimli ve değişmeli halka, , bir

grup


grup


grup

5, , birimli ve değişmeli halka 5, bir

grup

, , birimli ve değişmeli halka ancak

, bir grup değildir.

Dolayısıyla , , yapısı cisim değildir.

Cevap: A

8. I) Teorem gereği doğrudur.

II) Teorem gereği doğrudur.

III) Her cisim içerisinde sıfır bölen yoktur.

Cevap: E

9. I) Teorem gereği doğrudur.

II) x için n.x 0 koşulunu sağlayan tek

sayı 0 olduğu için , , halkasının karakte-

ristiği sıfırdır.

III) 6, , halkası için,

n. 0, 1, 2, 3, 4, 5 0

Denkliğini sağlayan en küçük sayma sayı 0

dır. 6 6Kar Char 6

Cevap: E

10. okek 4, 6 4, 6 12

Cevap: D

11. 24 6 mod 10 ,

2

2

2

2

7 9 mod 10 ,

8 4 mod 10 ,

9 1 mod 10 ,

5 5 mod 10

5, H nin bir idempotent elemanıdır

Cevap: B

12. 218 2.3 asal çarpanları 2 ve 3 olan eleman-

ları incelemek yeterli.

Bu koşula uyan şıklarda sadece 6 var. Ger-

çekten de,

26 36 0 mod 18

186, , , halkasının bir nilpotent elema-

nıdır.

Cevap: D

ÖRNEKTİR

Cebir Halkalar Konu Tarama Testi 17

184

1. Aşağıdakilerden hangisi birimli ve değiş-meli bir halkadır?

A) ( *12Z , , ) B) ( *

7Z , , )

C) (2Z, , ) D) (Q*, , )

E) (Z, , )

2. I. Her tamlık bölgesi bir cisimdir.

II. Bir tamlık bölgesinin karakteristiği ya sıfır-

dır ya da asaldır.

III. m Z+ olmak üzere, (Zm, , ) halkasının

karakteristiği m dir.


A) Yalnız II B) Yalnız III C) II ve III


3. (Z90, , ) halkasının kaç tane sıfır böleni vardır?

A) 63 B) 64 C) 65 D) 66 E) 67

4. Aşağıdakilerden hangisi bir tamlık bölgesi değildir?

A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, )

D) (Z6, +, ) E) (Z5, , )

5. Aşağıdakilerden hangisi Z Z18 in bir sıfır böleni değildir?

A) (2, 3 ) B) (0, 3 ) C) (2, 7 )

D) (2, 9 ) E) (5, 6 )

6. (Z6 x Z10, , ) halkasının karakteristiği aşağıdakilerden hangisidir?

A) 6 B) 10 C) 15 D) 30 E) 60

7. Aşağıdaki halkalardan hangisi birimli fakat değişmeli değildir?

A) (Z, +, ) B) (Q, +, ) C) (R, +, )

D) (M3(R), +, ) E) (3Z, + , )

8. H bir halka olsun.

a H , a2 = a

oluyorsa a ya H nin bir idempotent elemanı

denir.

Buna göre, (Z6, , ) halkasının kaç tane idempotent elemanı vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÖRNEKTİR


185

1. , , halkası birimli ve değişmelidir.

Cevap E

2. II ve III doğrudur.

Cevap C

3. 90o 90 1

901 2 1 1 0 2 1 1 0

o 90

90 2 .3 .5 2 2 . 3 3 . 5 5

1. 6 . 424

sıfır bölen sayısı 90 24 190 2565

Cevap C

4. 5, , , , , , , , , , , birimli,

değişmeli, sıfır bölensiz olduğu için tanımlık

bölgesidir.

6, , birimli, değişmeli fakat sıfır bölensiz

değildir.

2, 3 0 2 ve 3 sıfır bölenidir.

Cevap D

5. 18, , halkasının birim elemanı

0, 0 dır.

2,3 0,6 0,0 sıfır bölenidir




2,7 0,0 0,0 başka bir eleman sağlamaz

2,7 bu halkanın sıfır böleni değildir.

Cevap C

6. okek 6,10 30

Cevap D

7. 3M , , halkası birimli fakat değişmeli

değildir.

Cevap D

8. 21 1 mod 6

2

2

2

2

2

2 4 mod6

3 3 mod6

4 4 mod6

5 1 mod6

0 0 mod6

Cevap D

ÖRNEKTİR

Cebir Lineer Denklem Sistemleri Lineer Cebir

240

Tanım: a1, a2, …..an, b R ve x1, x2, …..xn bilin-

meyenler olmak üzere,

a1x1 + a2x2 + ….. + anxn = b

şeklindeki denkleme lineer denklem denir. Eğer b =

0 ise bu durumda

a1x1 + a2x2 + ….. + anxn = 0

denklemine de homojen lineer denklem denir.

Tanım:

a11x1 + a12x2 + ….. + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ….. + a2nxn = b2

…………………………………..

am1x1 + am2x2 + ….. + amnxn = bm

şeklindeki sisteme lineer denklem sistemi denir.

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa............

a...aaa...aa

A

1

2

n

xx

X:

x

,

m

2

1

b:

bb

B

olmak üzere AX = B denklemine lineer denklem

sisteminin matris gösterimi denir.

A katsayılar matrisine B sabitler matrisini eklemek-

le elde edilen [A : B] matrisine ilaveli ya da artırıl-

mış matris denir.

mmn2m1m

2n22221

1n11211

b:a...aa:............

b:a...aab:a...aa

B:A

Elementer Satır İşlemleri ile Bir Matrisin Rankı-nın Bulunması

Bir matrise elementer satır işlemleri uygulanarak

eşelon hâle getirildikten sonra sıfırdan farklı satırla-

rının sayısı bu matrisin rankını verir.

Örnek:

1891342123

4231A

matrisinin rankını elementer satır işlemleri yardı-

mıyla bulalım.

189134147704231

~

2110147704231

~

211021104231

~

000021104231

şeklinde eşelon forma indirgenmiş olur. Elde edilen

eşelon matrisin sıfırdan farklı satırlarının sayısı 2

olduğundan rank A = 2 dir.

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü

a)

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa............

a...aaa...aa

A

n

2

1

x:

xx

X ,

m

2

1

b:

bb

B

olmak üzere, homojen olmayan AX = B lineer

denklem sisteminde

1. rank [A : B] = rank A = r olsun. Bu durumda

i) n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü

vardır.

Örnek:

x1 + 2x2 - x3 = 0

x1 - x2 + x3 = 1

2x1 + x2 + 3x3 = -2

lineer denklem sisteminin çözümünü araştıralım.

ÖRNEKTİR


241

2:3121:1110:121

]B:A[ ~

2:3121:2300:121

~

2:5301:2300:321

~

3:3001:2300:321

~

1:1001:2300:321

~

1:10031:

3210

0:321

Elde edilen son matriste [A : B] matrisinin sıfırdan

farklı satırlarının sayısı 3 ve A matrisinin de sıfır-

dan farklı satırlarının sayısı 3 olduğundan

rank [A : B] = rank A = 3

tür. Buradan lineer denklem sisteminin tek çözü-

münün olduğu anlaşılır.

ii) r < n ise lineer denklem sisteminin (n - r) para-

metreye bağlı sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnek:

x1 + 2x2 - x3 = 1

2x1 - x2 + 3x3 = -4

3x1 + x2 + 2x3 = -3

lineer denklem sisteminin çözümünü araştıralım.

3:2134:312

1:121]B:A[ ~

3:2136:550

1:121

~

6:5506:550

1:121~

0:0006:550

1:121

~

0:00056:1101:121

rank [A : B] = rank A = 2 ve bilinmeyen sayısı 3

olduğundan 3 - 2 = 1 parametreye bağlı sonsuz

çözüm vardır.

2. rank [A : B] rankA ise lineer denklem sistemi-

nin çözümü yoktur.

Örnek:

x1 + x2 + 2x3 = 2

2x1 - 3x2 - x3 = 4

3x1 - 2x2 + x3 = 5

lineer denklem sisteminin çözümünün mevcut olup

olmadığını araştıralım.

5:1234:1322:211

]B:A[ ~

5:1230:5502:211

~

1:5500:5502:211

~

1:5500:1102:211

~

1:0000:1102:211

Elde edilen son matriste [A : B] matrisinin sıfırdan

farklı satırlarının sayısı 3 ve A matrisinin sıfırdan

farklı satırlarının sayısı 2 olduğundan

rank [A : B] = 3, rank A = 2

dir. Buradan rank [A : B] rank A olduğundan

verilen denklem sistemi bir çözüme sahip değildir.

Diğer bir ifadeyle tutarsızdır.

b) AX = 0 homojen lineer denklem sisteminde

1. rankA = r olsun.

i) n = r ise homojen lineer denklem sisteminin

aşikâr (sıfır) çözümden başka çözümü yoktur. ÖRNEKTİR


242

Örnek:

x1 + x2 + x3 = 0

2x1 - x2 - x3 = 0

x1 + x2 - 2x3 = 0

homojen lineer denklem sisteminin çözümünü bula-

lım.

211112

111A ~

300330

111

~

300110111

~

100110111

Elde edilen son matriste rankA = 3 ve bilinmeyen

sayısı 3 olduğundan denklem sisteminin aşikâr

(sıfır) çözümden başka çözümü yoktur.

ii) r < n ise homojen lineer denklem sisteminin (n-r)

parametreye bağlı sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnek:

x1 + 3x2 + 2x3 = 0

3x1 + 4x2 + x3 = 0

x1 + 8x2 + 7x3 = 0

lineer homojen denklem sisteminin çözümünü bula-

lım.

781143231

A ~

781550

231 ~

550550

231 ~

000550

231 ~

000110231

Elde edilen son matriste rank A = 2 (sıfırdan farklı

satırlarının sayısı) ve bilinmeyen sayısı 3 olduğun-

dan 3 - 2 = 1 parametreye bağlı sonsuz çözüm

vardır.

Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntem-leri

Bilinmeyen sayıları aynı olan iki lineer denklem

sisteminin çözüm kümeleri de aynı ise bu iki denk-

lem sistemi birbirine denktir, denir.

Lineer denklem sisteminin denklemlerine uygula-

nan aşağıdaki elemanter işlemlerin her biri verilen

denklem sistemine denk bir denklem sistemi mey-

dana getirir. Bu elemanter işlemler,

i) Lineer denklem sistemindeki herhangi iki denk-

lemin yer değiştirmesi

ii) Lineer denklem sistemindeki herhangi bir denk-

lemin her iki tarafının sıfırdan farklı bir sayı ile

çarpılması

iii) Lineer denklem sistemindeki herhangi bir denkle-

min belirli bir katının diğer bir denkleme ilave edilmesi

1. Gauss Eliminasyon Yöntemi: Lineer denklem

sistemini eşelon forma indirgeme işlemidir.

Örnek:

x1 + x2 - 2x3 = -3

2x1 - x2 - x3 = -3

3x1 + 2x2 + x3 = 10

lineer denklem sistemini Gauss Eliminasyon Yön-

temi ile çözelim.

Birinci denklemi -2 ile çarpıp ikinci denkleme, -3 ile

çarpıp üçüncü denkleme ekleyip ikinci ve üçüncü

denklemdeki x1 leri yok edelim.

x1 + x2 - 2x3 = -3

-3x2 + 3x3 = 3

-x2 + 7x3 = 19

ikinci denklemi -3 e bölüp üçüncü denkleme ekleye-

lim.

x1 + x2 - 2x3 = -3

x2 - x3 = -1

6x3 = 18

x3 = 3 , x2 = 2, x1 = 1 bulunur.

ÖRNEKTİR


243

2. Cramer Yöntemi: Bilinmeyen sayısı denklem

sayısına eşit olan lineer denklem sisteminin çözü-

münde kullanılan bir yöntemdir.

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b:

bb

x:

xx

a...aa............

a...aaa...aa

A . X = B

denklem sisteminde

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa............

a...aaa...aa

olsun. Bu determinantta 1. sütundaki elemanların

yerine sabitler matrisinin elemanları yazılarak elde

edilen determinant 1, 2. sütundaki elemanların

yerine sabitler matrisinin elemanları yazılarak elde

edilen determinant 2, ……, n. sütundaki elemanla-

rın yerine sabitler matrisinin elemanları yazılarak

elde edilen determinant n ise

nn2nn

n2222

n1121

1

a...ab::::

a...aba...ab

,

nnn1n

n2221

n1111

2

a...ba::::

a...baa...ba

……………..

n2n1n

22221

11211

n

b...aa............b...aab...aa

dir.

i) 0 ise denklem sisteminin tek çözümü vardır.

Bu çözüm,

nn

22

11 x,.....,x,x

ii) = 0 ve 1, 2, …. n lerden en az biri sıfırdan

farklı ise denklem sisteminin çözümü yoktur.

iii) = 1 = 2 = …… = n = 0 ise denklem siste-

minin sonsuz çözümü vardır.

Örnek:

x1 - x2 + 2x3 = -1

2x1 + x2 + 3x3 = -1

x1 + 2x2 - x3 = 2

lineer denklem sistemini Cramer Yöntemi ile çözelim.

6121

312211

6122

311211

1

0121

312211

2

6221112111

3

31 21 2 3x 1, x 0, x 1

bulunur.

3. Gauss - Jordan Yöntemi: Ax = B lineer denk-

lem sisteminin [A : B] ilaveli matrisinde A matrisi

birim matris haline dönüştürülünceye kadar [A : B]

matrisine elemanter satır işlemleri uygulanır ve [A :

B] matrisi [I : C] formuna dönüştürülür. Burada C

sütun matrisi aranan çözümdür.

ÖRNEKTİR


244

Örnek:

x1 + 2x2 + x3 = 2

x1 - x2 - x3 = -1

2x1 + x2 + 3x3 = 10

lineer denklem sistemini Gauss-Jordan yöntemi ile

çözelim.

Verilen lineer denklemi Ax = B formunda yazarsak,

101

2B,

312111

121A

matrislerini elde ederiz.

10:312

1:1112:121

]B:A[ ~

10:312

3:2302:121

~

6:1303:230

2:121~

9:3003:230

2:121

~

3:1003:230

2:121~

3:1006:330

2:121

~

3:1002:1102:121

~

3:1001:010

2:121

~

3:1001:010

4:101 ~

3:1001:010

1:001

elde edilen son matris [I : C] formunda olduğundan

3

2

1

xxx

31

1C

istenilen çözümdür.

4. Ters Matris Yöntemi: Bilinmeyen sayısı denk-

lem sayısına eşit ve A tersinir bir matris olsun. AX

= B lineer denklem sisteminin çözümü

A-1 . AX = A-1 . B

X = A-1 . B

biçimindedir.

ÖRNEKTİR

Cebir Lineer Denklem Sistemleri Test 24

245

1. a + 2b + c = 0

3a - b + 2c = 7

2a + b - c = 3

doğrusal denklem sisteminde a . b . c çar-pımı kaçtır?

A) -6 B) -2 C) 0 D) 3 E) 6

2. x - y - z = 0

x + 2y + 3z = 0

3x + az = 0

homojen lineer denklem sisteminin aşikâr olmayan çözümleri olduğuna göre, a kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.

5000054000543005432054321

A

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yan-lıştır?

A) A, tekil olmayan bir matristir.

B) A matrisinin determinantı 5! dir.

C) A matrisinin rankı 5 tir.

D) Ax = 0 denkleminin aşikâr olmayan bir

çözümü vardır.

E) iz(A) = 15’tir.

4. x - y + z = 1

x + a . z = -2

x + a . y + z = 0

lineer denklem sisteminin çözümü olmadı- ğına göre, a kaçtır?

A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2

5. x1 + 2x2 - x3 = -1

2x1 - x2 + 3x3 = 2

3x1 + x2 + 2x3 = 1

lineer denklem sisteminde A katsayılar matrisi,

B sabitler matrisi ve [A : B] ilaveli matris olmak

üzere,

I. Bir parametreye bağlı sonsuz sayıda çö-

züm vardır.

II. rank [A : B] = rank A dır.

III. Çözümsüzdür.


A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) I ve II E) II ve III

6. a, b, c, d R

dcba

A

düzgün bir matris olduğuna göre, aşağıda- kilerden hangisi yanlıştır?

A) ad - bc 0 dır.

B) A, I2 birim matrisine satır denktir.

C) A, elementer matrislerin çarpımıdır.

D) Ax = 0 homojen lineer denklem sisteminin

sonsuz sayıda çözümü vardır.

E) rank A = 2 dir.

ÖRNEKTİR


246

1. 2. ve 3. denklemler taraf tarafa toplanırsa 5a c 10 2. denklemin iki katı ile 1. denklem toplanırsa 7a 5c 14

5 / 5a c 107a 5c 14

25a 5c 5018a 36

7a 5c 14

a 2, c 0

İse a.b.c 2.b.0 0

Cevap: C

2. rank A 3

olursa denklem sisteminin tek çözümü aşıkar çözümdür.

rank A r 3 ise

Denklem sisteminin 3-r parametreye bağlı sonsuz çözümü olur.

Bu soruda aşıkar olmayan çözümlerden bah-

settiğine göre rank A 3 olmalı yani A 0

olmalıdır.

1 1 1

A 1 2 3 3 3a 0 a 13 0 a

olmalı

Cevap: A

3. A matrisi üst üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerin-deki elemanların çarpımına eşittir.

1

1

det A 1.2.3.4.5 5! b şıkkı doğrudet A 0 olduğundanrank A 5 c şıkkı doğru

1A .ek AA

A A 0 olsun a şıkkı doğru

iz A esas köşegendeki elemanların top-

lamıdır.

iz A 1 2 3 4 5 15 e şıkkı doğru

Ax 0 denklem sisteminde A 0 ise

rank 5 olur ve dolayısıyla sistemin tek çö-zümü aşikar sıfır çözümdür.

Cevap: D

4. n bilinmeyen sayısı olmak üzere, rank A rank A : B r

n r ise tek çözüm vardır. r < n ise n r parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır. rank A rank A : B

ise sistemin çözümü yoktur.

1 1 1 : 1 1 1 1 : 1

A : B 1 0 a : 2 0 1 a 1 : 31 a 1 : 3 0 a 1 0 : 2

rank A rank A : B olması için a 1 0 olmalı yani a 1

Cevap: B 5.

1 2 1 : 1 1 2 1 : 1

A : B 2 1 3 : 2 0 5 5 : 43 1 2 : 1 0 5 5 : 4

1 2 1 : 10 5 5 : 40 0 0 : 0

rank A : B rank A 2

Bilinmeyen sayısı 3 olduğundan 3 2 1 parametreye bağlı sonsuz çözüm vardır.

Cevap: D 6. A matrisi düzgün (tersi olan) matris olduğuna göre det A 0 olmalıdır. det A a.d b.c 0

Teorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birimin matrise satır denk olmasıdır. A tersinir bir matris olduğundan 2I birim matri sine satır denktir. Teorem: Tersinir her matris elementer matrislerin çarpımı şeklinde yazılabilir.(c şıkkı doğru) det A 0 olduğundan rank A 2 dir.

Ax 0 homojen lineer denklem sisteminde, rank A 2 bilinmeyen sayısı olduğundan sistemin sadece aşikar çözümü vardır.

Cevap: D

ÖRNEKTİR

Cebir Lineer Denklem Sistemleri Konu Tarama Testi 23

247

1. x - y + z = 4

2x + y - 3z = -4

x + 2y - z = 1

doğrusal denklem sisteminde (x + y + z) toplamı kaçtır?

A) -4 B) -1 C) 3 D) 4 E) 6

2. a + b - c = 0

2a + b + c = 0

a + m . b = 0

homojen lineer denklem sisteminin aşikâr olmayan çözümleri olduğuna göre, m kaçtır?

A) -2 B)-1 C) 31 D)

32 E) 2

3. x1 + 2x2 + x3 = a

x1 + x2 = b

3x1 + x2 - 2x3 = c

lineer denklem sisteminin çözümü olduğu-na göre, a, b ve c arasındaki bağıntı aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 5b + c = 8a B) 2a + c = 5b

C) 3b + c = 5a D) b + 5c = 4a

E) 3a + b = 5c

4.

365024001

A

olduğuna göre,

I. A, alt üçgen matristir.

II. A, tersinir bir matristir.

III. rank A = 3 tür.




5. a, b, c, x, y, z, m, n, k R

knmzyxcba

A

matrisi düzgün bir matris olduğuna göre,

I. A, elementer matrislerin çarpımıdır.

II. A, I3 birim matrisine satır denktir.

III. AX = B lineer denklem sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır. Yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve III

D) I ve II E) I, II ve III

6. Bir lineer denklem sistemine aşağıdaki elementer işlemlerin hangileri uygulanırsa bu denklem sistemine denk olan bir denklem sistemi elde edilir?

I. Lineer denklem sistemindeki iki denklemin yer değiştirmesi

II. Lineere denklem sistemindeki denklemler- den birinin 2 ile çarpılması

III. Lineer denklem sistemindeki denklemler- den birinin 3 katının diğer bir denkleme ilave edilmesi

IV. Lineer denklem sistemindeki denklemler- den her birinin sağ tarafına 1 eklenmesi

B) I ve II B) I ve III C) I, II ve III

D) I, II ve IV E) I, II, III ve IV

ÖRNEKTİR


248

1. 2 denklemi ( - ) ile çarpıp 3 denklem taraftarafa toplanırsa

x y z 4

2x y 3z 4x 2y z 1

z 3ax 3z 9

1. ve 2. denklemin taraf tarafa toplanırsax y z 4

2x y 3z 43x 2z 0

3x 2z 3x 6x 2

x 2, y 1, z 3x y z 6

Cevap E 2. rank A = 3

olursa denklem sisteminin tek çözümü aşikar

çözümdür.

rank A = r < 3 ise

denklem sisteminin 3 – r parametreye bağlı

sonsuz çözümü olur.

Bu soruda aşikar olmayan çözümlerden bah-

settiğine göre rankA 3 olmalı yani

A 0 olmalıdır.

1 1 1

A 2 1 1 0 1. m 1. 1 1 . 2m 1 01 m 0

m 1 2m 1 03m 2

2m3

Cevap D

3. n bilinmeyen sayısı olmak üzere,

rankA rank A : B r

n = r ise tek çözüm vardır.

r n ise n r parametreye bağlı sonsuz

çözüm vardır.1 2 1:a 1 2 1:a 1 2 1:a1 1 0:b 0 1 1:b a 0 1 1:b a3 1 2:c 0 5 5:c 3a 0 0 0:c 5b 2a

c 5b 2a 0c 2a 5b

Cevap B

4. * A matrisi alt üçgensel bir matristir. Üçgen

matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki

elemanların çarpımına eşittir. (I. öncül doğru)

* A 0 olduğu için tersinir bir matristir. (II. öncül

doğru)

* A 0 olduğu için rank A = 3 tür. (III. öncül doğ-

ru)

Cevap E

5. A matrisi düzgün bir matris ise A 0 dır.

Teorem: Tersinir her matris elemanter matrislerin

çarpımı şeklinde yazılabilir. (I. öncül doğru)

Teorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek

ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk

olmasıdır.

A tersinir bir matris olduğundan 3 birim matrisine

satır denktir. (II. Öncül doğru)

Ax = B lineer denklem sisteminde,

rank A : B rankA 3 ise,

n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü

vardır. (III. Öncül yanlış)

Cevap D

6. Verilen yargıların üçü de doğrudur.

Cevap C ÖRNEKTİR

Documents

R ÖRNEKT - matematikoabt.com fileÖabt cebİr konu anlatimli ÇÖzÜmlÜ soru bankasi yasin Şahİn Örnekt ø r