Rabotna tetratka po MATEMATIKA - matematickitalent.mk

KOSTADIN TRENÊVSKI IVAN TRAJKOV GERASIM DAVIDOVSKI ZANKO MILANOV STOJKO STOJOSKI

Rabotna tetratka po

MATEMATIKA za VII oddelenie

PROSVETNO DELO AD SKOPJE, 2002

Urednik

Aleksandra Masin

Recenzenti

D-r. Jordanka Mitevska, prof. na Prirodno – matemati~ki fakultet, Skopje

Sofija Nikolovska, nast. vo OU “Nevena Georgieva – Duwa”, Skopje

Liljana Katevenovska, nast. vo OU “Grigor Prli~ev”, Skopje

PREDGOVOR

Pri izu~uvaweto na matematikata vo VII oddelenie ti pomaga u~ebnikot po matematika od koj moè{ da razbere{ i nau~i{ mnogu novi poimi, kako i da se potseti{ na ve}e izu~enite, da se zapoznae{ so mnogu pravila {to ti ovozmoù-vaat da navleze{ vo tajnite na matematikata.

Rabotnata tetratka po matematika za VII oddelenie, kako sostaven del na u-~ebnikot ti pomaga da gi prodlabo~i{, pro{iri{ i proveri{ so kakvi i kolka-vi znaewa si se steknal vo nastavata. Rabotnata tetratka isto kako i u~ebnikot e podelena na ~etiri delovi sog-

lasno temite so nastavnata programa po matematika za VII oddelenie. Taa sodrì:

Tematski ve`bi po 1 list za sekoja od nastavnite sodrìni so po 10 zada-~i (nekade i pomalku) zavisno od obemnosta na sodrìnata.

Testovi za samoproverka za sekoja tema, {to se dadeni na krajot od sekoja tema, koi sodràt po 10 zada~i od koi prvite 5 vo vid na pra{awa, a vtorite 5 se zada~i za re{avawe.

Prvite 5 pra{awa (zada~i, koi se re{avaat usno ili bez pogolemi pote{ko-tii), predlagame da se vrednuvaat so 5 bodovi, dodeka pak vtorite 5 zada~i od tes-tot da se vrednuvaat so 15 bodovi ili vkupno testot da se vrednuva so 100 bodovi. Za pretvorawe na bodovite od testot vo ocenki ja predlagame slednava tabe-la:

Bodovi 85 – 100 65 – 84 45 – 64 25 – 44 0 – 24

Ocenka Odli~en

(5) Mnogu

dobar (4) Dobar (3)

Dovolen (2)

Nedovolen (1)

Na krajot se izvinuvame za eventualni pe~atni gre{ki ili propusti, a istovre-meno gi zamoluvame site ~itateli – korisnici na rabotnata tetratka, da dadat dob-ronamerni zabele{ki, sugestii i predlozi, koi vnimatelno }e gi razgledame i pri-fatime, pri {to }e gi vneseme vo narednoto izdanie.

5

Tema 1 VEKTORI.

TRANSLACIJA. ROTACIJA

1. PRAVEC I NASOKA. NASOÊNA OTSE^KA - VEKTOR

1. Relacijata R: “pravata p e paralelna na ...” gi ima slednite svojstva:

a) Pravata p e ________________________________________________________ sama na sebe.

b) Ako pravata p e paralelna na pravata q, toga{ ___________________________________ .

v) Ako p II q i q II r, toga{ i ________________________________________________________ .

2. a) [to e pravec opredelen so dadena prava? b) Kolku nasoki ima daden pravec?

Odgovor: a) Mnoèstvoto ____________________________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Sekoj pravec ____________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Kolku pravi minuvaat niz: a) edna to~ka; b) dve razli~ni to~ki. Odgovor: a) Niz edna to~ka __________________________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Niz dve razli~ni to~ki __________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Dadeni se pravite a, b, c i d, taka {to a b, a c, i pravata d gi se~e trite pravi. Vo vrska

so tie pravi, dadeni se nekolku iskazi. Koj od niv e to~en?

a) O1A2 O1A3 g) O2B1 O1A3

b) O1A3 O1A1 d) O2B2 O3C2

v) O1A1 O3C3 |) O1A1 O3C1

Odgovor: To~ni se slednite iskazi: ___________________________________________________

5. Koja otse~ka se vika vektor? Odgovor: Otse~kata _________________________________________________________________

__________________________________________________________________________ .

6

6. Izberi tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vektori moàt da se formiraat so po~etok vo edna, a krajot vo druga dadena to~ka? Kolku vkupno vektori obrazuvaat dadenite to~ki.

Odgovor: Moè da se formiraat ____________________ vektori.

Ima vkupno ____________________ vektori.

7. Dadeni se vektorite fedcba

,,,,, . Koi od niv se:

a) kolinearni; b) istonaso~eni; v) sprotivnonaso~eni?

Odgovor: a) Kolinearni se: __________, __________ . b) Istonaso~eni se: __________.

v) Sprotivnonaso~eni se: __________, __________ .

8. Vektorot a

e napolno (ednozna~no) opredelen so:

Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .

b) _______________________________________________________________________ .

v) ________________________________________________________________________ .

9. Neka to~kite M i N se sovpa|aat vo edna ramnina. a) Zapi{i vektor so po~etna to~ka M i krajna N; b) Zapi{i ja goleminata na toj vektor; v) Koja otse~ka se narekuva nulti vektor? Odgovor: a) ________________________________________________________________________ .

b) _______________________________________________________________________ .

v) ________________________________________________________________________ .

7

2. EDNAKVOST NA VEKTORI 1. Na crteòt se dadeni pove}e vektori: a) Istonaso~eni se vektorite _________________ .

b) Sprotivnonaso~eni se vektorite ___________ .

v) Ednakvi se vektorite _______________________ .

2. Koga dva vektora a

i b

se ednakvi?

Odgovor: Vektorite a

i b

se ednakvi ako:

a) _______________________________________________________________________________ .

b) ______________________________________________________________________________ .

3. Za koi dva vektori m

i n

velime deka se sprotivni?

Odgovor: Vektorite m

i n

se sprotivni ako:

a) _______________________________________________________________________ .

b) ________________________________________________________________________ .

4. Daden e vektorot MN ( MN = 3 sm). Prenesi go vektorot MN , taka {to to~kata SM .

Kolku takvi vektori ima?

Odgovor: __________________________________________________________________________ .

5. Daden e vektorot AB . Konstruiraj:

a). Vektor MNednakov na AB ,

b). Vektor EF sprotiven na AB . Odgovor: a) b)

8

6. Daden e paralelogramot ABCD (AB II CD i AD II BC) i to~kata S, presek na dijagonalite

AC i BD. a). Koi vektori se kolinearni, a ne se ednakvi? b). Koi vektori se ednakvi? v). Koi vektori se sprotivni?

Odgovor: a) _____________________________ . b) ________________________________ .

v) _____________________________ .

7. Dadena e kru`nicata k (O,r) i na nea se ozna~eni vektorite OP i MN . Konstruiraj vektor,

a) Sprotiven na vektor OP ?

b) Ednakov na vektor MN ?

8. Proveri ja to~nosta na iskazot:

Ako vektorot EFMN , toga{ i vektorot NFME . (Napravi crte`!).

9. Ako vektorite CDAB i CNAM , toga{ sleduva i vektorot DNBM . Dokaì!

Dadeno: CDAB i CNAM

Tvrdime: DNBM

Dokaz:

9

3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA 1. Najdi go zbirot, konstruktivno, na kolinearnite vektori:

a). ba

, b). cba

Odgovor: a) b)

2. Najdi go zbirot na vektorite ABi CD , konstruktivno, po praviloto na triagolnikot.

Odgovor: CDAB _____________________

3. Konstruiraj go zbirot na nekolinearnite vektori m

, n

i p

so nadovrzuvawe i po~etna

to~ka S.

Odgovor: S

pnm _____________________

4. Na {to e ednakov zbirot na vektorite:

a) CABCAB b) DACDBCAB

Odgovor:

a) CABCAB = _______________ b) DACDBCAB = _______________

10

5. Konstruiraj go zbirot na vektorite MN i PQ po praviloto na paralelogram so po~etna

to~ka S.

Odgovor: PQMN _____________________

6. Pokaì deka za koi bilo vektori m

i n

vaì mnnm

(koristi go praviloto na pa-

ralelogram za sobirawe na vektori).

7. Neka vektorite e

i f

se sprotivni. Konstruiraj go nivniot zbir fe

.

8. Daden e trapezot ABCD (ABIICD). To~kite M i N se sredini na kracite AD i BC soodvet-

no. Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorot ABi CD (obrazloì go odgovorot).

Odgovor: MN _____________________

9. Daden e ~etiriagolnikot ABCD kako na crteòt. Izrazi go vektorot:

a) ACso pomo{ na vektorite a

i b

;

b) BD so pomo{ na vektorite b

i c

;

v) AD so pomo{ na vektorite ACi c

;

g) AD so pomo{ na vektorite a

i BD ;

[to zaklu~uva{ za operacijata sobirawe vektori:

a) _________________ b) ___________________ v) ___________________ g) ________________

Odgovor: Operacijata sobirawe vektori e ____________________________________________

11

4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ

1. Opredeli go zbirot na sprotivnonaso~enite vektori a

i b

:

a) ba

ako ba

, b) ba

ako ba

.

Odgovor: a) ba

= __________ b) ba

= __________

2. Opredeli ja, konstruktivno, razlikata na kolinearnite vektori m

i n

:

a) nm

ako nm

, b) nm

ako nm

.

Odgovor: a) nm

=__________ b) nm

= __________

3. [to zna~i vektorot b

da se odzeme od vektorot a

?

Odgovor: Da se odzeme vektorot b

od vektorot a

_______________________________________

___________________________________________________________________________

4. Dadeni se nekolinearnite vektori ABi CD . Konstruiraj ja razlikata CDAB so po~etna

to~ka S.

Odgovor: CDAB =________

5. Neka n

e proizvolen vektor. Opredeli ja razlikata:

a) on

b) nn

v) mn

kade nm

12

6. Daden e paralelogramot ABCD (ABIICD i ADIIBC) i S prese~na to~ka na dijagonalite AC i

BD. Razlikata na vektorite e:

a) ADAB ______________

b) BDBC _______________

v) BCAB _______________

g) SCAS _______________

7. Vo koi slu~ai vaì ravenstvoto:

a) baba

b) baba

v) baba

Odgovor: a) _________________________________________________________________________

b) ________________________________________________________________________

v) _________________________________________________________________________

8. Neka a

e proizvolen vektor. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:

a) am

3 b) an

4

3

9. Opredeli go, konstruktivno, vektorot:

a) ba

32 b) ba

23 ako a

i b

se dadeni vektori.

13

5. TRANSLACIJA 1. Neka vagon~eto se dviì pravoliniski po

{inite na prugata, pri {to vo sekoja na-

redna polo`ba ostanuva paralelno so pr-

vobitnata i pritoa formata i goleminata

ostanuvaat postojani. Vakvoto dvièwe

se vika paralelno pomestuvawe ili

______________________________________

2. Koe preslikuvawe se vika translacija? Odgovor: Translacija za vektorot a

se vika

_____________________________________________________________________________________

3. So pomo{ na translacija nacrtaj:

a) prava a paralelna na dadena prava p, b) prava b paralelna na dadena prava p i minuva niz dadena to~ka B.

4. a) Pri translacija a , vektorot a

se vika __________________________________________

to~kata MM1 a e _________________________________ na originalot ________________

b) Translacijata a

se narekuva _________________________ za translacijata _________

5. Dadeni se nekolinearnite to~ki A, B i C. Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri

translacija AB

.

14

6. Dadena e pravata p i to~kite M, N, P i Q od taa prava. Konstruiraj gi slikite na tie to~-

ki pri translacijaPN

.

Odgovor: PN

(M) = _________; PN

(N) = _________; PN

(P) = _________; PN

(Q) = _________.

7. Dadena e otse~kata MN i vektorot n

. Konstruiraj ja slikata M1N1 na otse~kata MN pri

translacija n .

Odgovor: n (MN) = _________

8. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija za vektorot a

.

Odgovor: a (ABC) = _________

9. Neka a

i b

se dva nekolinearni vektora i M dadena to~ka. Da se konstruiraat to~kite

M1 = ba

(M) i M2 =

ab

(M). Dali to~kite M1 i M2 se sovpa|aat?

Odgovor: To~kite M1 i M2 __________________________________________________________ .

15

6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA 1. Osnovni svojstva na translacijata a

se:

a) Translacijata go zapazuva ________________________________________________________

b) Ako to~kata M leì me|u to~kite A i B, toga{ i ___________________________________

v) Sekoja figura F pri translacija a se preslikuva vo _______________________________

2. Izvr{i translacija za vektorot a

na otse~kata MN. Ako a1M i NN1 a

, to-

ga{ sporedi gi otse~kite MN i M1N1.

Odgovor: MN __________________ 11NM

3. Dadena e otse~kata AB i to~kata P sredina na AB. Konstruiraj ja slikata na AB pri

translacija n . Sporedi go redosledot na to~kite A, M i B i nivnite sliki.

Odgovor: Redosledot na slikite od to~kite A, M i B e ______________________________

redosledot na to~kite A, M i B.

4. Daden e ABC i vektor a

. Konstruiraj ja slikata na ABC pri translacija a . [to mo-

è{ da zaklu~i{ za ABC i negovata slika pri translacija a .

Odgovor: ABC i negovata slika ________________________________________________________

16

5. Nacrtaj proizvolen ostar agol, a potoa konstruiraj ja slikata pri translacija za dade-

niot vektor a

.

6. Konstruiraj ja slikata na pravata p pri translacija za vektorot a

, ako a p.

Odgovor: Pri ovaa translacija pravata p se preslikuva vo_______________________________

7. Dadeni se paralelnite pravi p i q i to~kite P i Q taka {to pP i qQ . Izvr{i trans-

lacija na pravite p i q za vektorot PQ.

Odgovor: Pravata p pri

PQ se preslikuva vo ____________, a pravata q vo _____________ .

8. Konstruiraj ja slikata na pravoagolnikot ABCD pri translacija za vektorot

DCADx

.

9. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2 sm) za vektorot ОPа

, P to~ka od kru`-

nicata k.

17

7. PRIMENA NA TRANSLACIJA 1. Izvr{i translacija na kru`nicata k (O,r = 2,5 sm) pri translacija za vektor x

so dol-

ìna rx 2

, pravec i nasoka po tvoj izbor.

2. Dadeni se pravata a, b i vektorot n

. Konstruiraj ja slikata M1 na pravata b pri transla-

cija n na to~ka M od pravata a.

3. Dadeni se dva agla so zaemno paralelni i sprotivnonaso~eni kraci. So pomo{ na trans-

lacija dokaì deka tie se ednakvi.

Dadeno: OAO1A1 i OBO1B1

Tvrdime: AOB A1O1B1

Dokaz: 4. So pomo{ na translacija, dokaì deka sosednite agli kaj rombot se suplementni.

18

5. Konstruiraj kru`nica koja minuva niz dadena to~ka P i dopira dve paralelni pravi p i q.

6. Ako pravite a, b se zaemno normalni i ako a1= n (a) i b1= n

(b), toga{ i pravite a1 i b1 se,

isto taka, zaemno normalni. Dokaì!

Dadeno: a b i bbaa nn 11 ,

Tvrdime: a1 b1

Dokaz:

7. Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD (ABCD), ako se dadeni osnovite a, b i krakot c.

Dadeno Skica Konstrukcija

8. Dadena e kru`nica k (0,r), pravata p i vektorot a

. Konstruiraj ja to~kata M1 na pravata p,

slika na to~kata M {to leì na kru`nicata k pri translacijata a .

19

8. NASOÊN AGOL. ROTACIJA. 1. Polupravata OA, vrtej}i se okolu to~ka-

ta O zastanuva vo polo`bite OA1, OA2, OA3 i OA4, kako na crteòt. Kako gi nare-kuvame aglite: AOA1, AOA2, AOA3 i AOA4.

Odgovor: Aglite AOA1, AOA2, AOA3 i AOA4 se vikaat ___________________________________

i pritoa AOA1 i AOA2 se _______________________________, a aglite AOA3 i

AOA4 se ______________________________

2. Na crteòt dadeni se pove}e naso~eni agli: a) Koi od niv se pozitivni? b) Koi od niv se negativni? Odgovor: a) Pozitivni agli se ___________________________________________________

b) Negativni agli se ___________________________________________________

3. Za kolku stepeni e zavrten pravoagolni-kot ABCD okolu to~kata S, za da se dobie pravoagolnikot A1B1C1D1. (Agolot izmeri go so aglomer).

Odgovor: Agolot na vrtewe (rotacija) e ______________ i toj iznesuva ________________.

Centar na rotacija e to~kata ________________.

4. Koe preslikuvawe se vika rotacija (vrtewe)?

Odgovor: Rotacija so centar O i agol (ili Ro, ) se vika ____________________________

___________________________________________________________________________________

20

5. Dadeni se to~kite A i B i agolot =30o. Konstruiraj ja slikata:

a) na to~kata A pri rotacija RB,

b) na to~kata B pri rotacija RA,

a) b)

6. Dadeni se to~kite O i M. Konstruiraj ja slikata M1 na to~kata M pri rotacija Ro, ako:

a) = 60o i b) = -300o

a) b)

7. Odredi go agolot na rotacija so centart O, taka {to to~kata M e centralno simetri~na

so nejzinata slika M1 vo odnos na centarot O.

Odgovor: Agolot e ______________________________.

8. Pri koja rotacija kru`nicata se preslikuva sama vrz sebe. Pokaì! 9. Dadeni se to~kite O i S. Konstruiraj ja slikata S1 na to~kata S pri rotacija Ro,180

o, a

potoa slikata S2 na to~kata S1 pri rotacija Ro,-180o. [to moè{ da zaklu~i{?

Odgovor:

Pri ovaa rotacija moè da se zaklu~i deka ______________________________________________

______________________________________________________________________________________

21

9. SVOJSTVA NA ROTACIJATA 1. Koi svojstva gi ima rotacijata Ro,?

Rotacijata Ro, gi ima slednite svojstva:

a) Pri rotacijata Ro, za sekoi dve to~ki A i B i nivnite sliki __________________ vaì

ravenstvoto ______________________________________________________________________ .

b) Ako to~kata M e me|u to~kite A i B, toga{ i slikata M1 = Ro, (M) e _____________

slikite A1 i B1 na to~kite A i B.

v) Pri rotacijata Ro, sekoja figura F se preslikuva vo _____________________________ .

2. Dadena e otse~kata MN i to~kata O. Konstruiraj ja slikata M1N1 na MN pri rotacija Ro,

ako = -120o. Izmeri gi dolìnite na otse~kite MN i M1N1 i zapi{i {to zabeleùva{.

Odgovor: ____________________________________________________________________________ .

3. Dadeni se kolinearnite to~ki A, B, C, kade B e me|u to~kite A i C i proizvolna to~ka O.

a) Konstruiraj gi slikite na ovie to~ki pri rotacija Ro,, ako = 60o.

b) Proveri ja to~nosta 111111 CACBBA , ako A1, B1 i C1 se sliki na to~kite A, B i C

soodvetno pri rotacijata Ro,.

4. Daden e ABC i to~kata O nadvor od ABC. Konstruiraj ja slikata A1B1C1 na ABC pri

rotacija Ro,. [to moè{ da zaklu~i{ za ABC i negovata slika A1B1C1.

Odgovor: ABC _________________ A1B1C1

22

5. Pri sekoja Ro, vaì:

a) Pravata se preslikuva vo _______________________________________________________ .

b) Otse~kata se preslikuva vo _____________________________________________________ .

v) Agolot se preslikuva vo ________________________________________________________ .

g) Kru`nicata se preslikuva vo ____________________________________________________ .

d) Mnoguagolnikot se preslikuva vo ________________________________________________ .

6. Dadeni se pravata m, to~kata M ( M m) i agolot . Konstruiraj ja slikata m1 na pravata

m pri rotacija Rm .

7. Dadeni se zaemnonormalnite pravi p i q, to~kata O i agolot = 120O. Konstruiraj gi sli-

kite p1, q1 na pravite p i q pri rotacija Ro,. [to moè{ da zaklu~i{ za pravite p1 i q1.

Odgovor: Pravite p1, q1 se ____________________________________ 8. Dadeni se to~kite M, N, P, Q, taka {to, sekoi tri od niv se nekolinearni.

a) Izvr{i rotacija RM, ako = 45o

b) Izvr{i rotacija RP,, ako = NPQ.

23

10. PRIMENA NA ROTACIJATA

1. Dadena e kru`nica k (O,r) i tetivite MN i PQ, takvi {to PQMN . So pomo{ na rotacija

dokaì deka centralnite agli MON i POQ se ednakvi.

Dadeno: k(O,r); PQMN

Tvrdime: MON POQ

Dokaz:

2. To~kata S e sredina na otse~kata AB. Nad otse~kite AS i SB od ista strana konstruiraj

ramnostrani triagolnici ASM i BSN. Dokaì, so pomo{ na rotacija, deka SMN e ram-

nostran triagolnik.

Dadeno: SA=SB; ASM i BSN –

ramnostran triagolnik

Tvrdime: SMN – ramnostran triagolnik

Dokaz:

3. To~kite M i M1 dobieni se soodvetno pri rotacija Ro,. Odredi go centarot O i agolot na

rotacijata , ako se znae deka centarot O leì na prava koja minuva niz dadena to~ka M.

Odgovor: Centarot O leì na ___________, a agolot = _____________.

4. Na stranite AB i BC od pravoagolniot triagolnik ASM (C = 90o), konstruirani se ram-

nostrani triagolnici ABM i BCN, taka {to ABM e nadvor, a BCN vo ABC. Dokaì,

so pomo{ na rotacija, deka ACMN .

Dokaz:

24

5. Konstruiraj ramnostran triagolnik ABC i opi{i kru`nica okolu nego, so centar vo

to~ka O. So pomo{ na rotacijata Ro,120o, odredi ja slikata A1B1C1 na ABC. Dali dobie-

niot {estagolnik AA1BB1CC1 e centralno i osno simetri~en. Odgovor: [estagolnik AA1BB1CC1 e ____________________________________________. 6. So pomo{ na rotacija konstruiraj kvadrat, taka {to tri negovi temiwa da leàt na tri

dadeni paralelni pravi a, b i c.

(pomo{: neka temeto B b i BP b,

izvr{i rotacija Ro,90o i vo taa to~-

ka povle~i normala koja pravata c ja presekuva vo to~ka C. (To~kata C e teme, a otse~kata BC – strana na ba-raniot kvadrat). Prodolì sam.

7. Dadeni se pravite p, q i otse~kata AB. Konstruiraj otse~ka CD paralelna i ednakva na

AB, taka {to C p i D q.

8. Dadeni se dva ostri agla so zaemnonormalni kraci. So pomo{ na rotacija, dokaì deka

tie se skladni.

Dadeno: O1A1 OA i O1B1 OB

Tvrdime: AOB A1O1B1 (ako i dvata se ostri) Dokaz:

25

TEST - 1 1. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

a) Mnoèstvoto P od site pravi {to se ___________________________________ so pravata a

se vika ____________________________________ zadaden so pravata a.

b) Dva vektora se sprotivni samo, ako _______________________________________________ 2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) CBAC b) CBDCAD

Odgovor: a) CBAC = ________________ b) CBDCAD = ________________

3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) ADAB b) ABAC

Odgovor: a) ADAB =________________ b) ABAC = ________________

4. Vo paralelogramot ADPN vektorite n

CDBCAB i m

MNAM .

Izrazi go vektorot AP so pomo{ na vektorite m

i n

.

Odgovor: AP= _________________________________________

5. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

a) Pri translacija a pravata se preslikuva _________________________________________

b) Agolot e negativno naso~en (negativen), ako _____________________________________

___________________________________________________________________________________

6. Daden e trapezot ABCD (AB CD), to~kite M i N sredini na kracite AD i BC, soodvetno

i MP BC. Izrazi go zbirot MPMN so pomo{ na vektorite AB , DCi CB .

Odgovor: MPMN = ___________________________________

26

7. Dadeni se nekolinearnite vektori m

i n

.

Konstruiraj go vektorot:

a) m

+ n

b) m

- n

Odgovor:

a) m

+ n

= ________________

b) m

- n

= ________________

8. Dadeni se pravite p, q i vektorot a

. Konstruiraj otse~ka AB, taka {to A p, B q i

a

AB .

9. Nacrtaj kru`nica k (O,r = 2,5 cm), a potoa preslikaj ja so pomo{ na rotacijata RS,90o, ako

centarot S e nadvor od kru`nicata k.

10. Nacrtaj dva agla so zaemnonormalni kraci od koi edniot da bide ostar, a drugiot tap. Dokaì, so pomo{ na rotacija, deka tie agli se suplementni.

27

TEST - 2 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

a) Dve polupravi se istonaso~eni, ako leàt na edna prava i imaat _____________________

______________________ili leàt na razli~ni paralelni pravi, ako ___________________

___________________________________________________________________________________

b) Dva vektora se ednakvi, ako ______________________________________________________

2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot:

a) CBAC b) DADC

Odgovor: a) CBAC = ________________ b) DADC = ________________

3. Spored crteòt opredeli go vektorot:

a) ABAC b) ACAD

Odgovor: a) ABAC = ________________ b) ACAD = ________________

4. Vo ABC vektorite a

NBMNAM i

b

PCAP . Izrazi go vektorot CB so

pomo{ na vektorite a

i b

.

Odgovor: CB = ___________________________________


a) Pri translacijata a agolot se preslikuva vo _____________________________________

b) Ako pri rotacijata Ro,, to~kata M leì me|u to~kite A i B, toga{ i slikata

M1=Ro,(M) leì __________________________________________________________________

6. Neka m

, n

i p

se tri proizvolni vektori. Pokaì ja konstruktivno to~nosta na ravenst-

voto pnmpnm

- asocijativniot zakon.

28

7. Dadeni se kolinearnite vektori a

i b

.


a) ba

b) ba

Odgovor:

a) ba

= ________________

b) ba

= ________________

8. Nacrtaj kru`nica k (O,r). So pomo{ na translacija m preslikaj ja kru`nicata, ako

OP2 m

i P to~ka od kru`nicata.

9. Nacrtaj otse~ka AB= 4 cm. So pomo{ na rotacijata Ro, preslikaj ja otse~kata AB , ako

centarot O e sredina na ABi agolot = 75o .

10. Nad stranite AB i AC od ABC konstruiran e ramnostran triagolnik ABM od nadvo-

re{nata strana i ACN od vnatre{nata strana, na ABC. So pomo{ na rotacija dokaì

deka otse~kata BCMN .

Dadeno: AMBMAB i NCANAC

Tvrdime: BCMN

Dokaz:

29

TEST - 3 1. Dopolni ja re~enicata za da bide to~en iskazot -

a) Podredeniot par to~ki (A,B) go opredeluva ________________________________________

b) Vektorite m

i n

se kolinearni, ako ______________________________________________

2. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot

a) BDAB b) CDBC

Odgovor: a) BDAB = ________________ b) CDBC = ________________


a) MQMN b) QPMN

Odgovor: a) MQMN = ________________ b) QPMN = ________________

4. Daden e trapezot ABCD (ABCD). Neka M i N

se sredini na kracite AD i BC, soodvetno.

Izrazi go vektorot MN so pomo{ na vektorite

a

AB i b

DC .

Odgovor: MN = ___________________________________


a) Translacija za vektorot a

se vika ____________________________pri koe na sekoja

to~ka M i se pridruùva ___________________________________________________________

b) Pri rotacijata Ro, kru`nicata se preslikuva vo _________________________________

6. Otse~kite AA1, BB1 i CC1 se medijani na ABC.

Izrazi go vektorot 111 CCBBAA so pomo{

na vektorite bac

CA,BC,AB .

Odgovor: 111 CCBBAA = _______________________

30

7. Dadeni se nekolinearnite vektori a

i b

.

Opredeli go konstruktivno vektorot:

a) ba

b) ba

Odgovor:

a) ba

= ________________

b) ba

= ________________

8. Preslikaj go ramnokrakiot ABC so pomo{ na

translacijata a , kade vektorot AMa

i M e

sredi{na to~ka na stranata BC od ABC.

9. Daden e pravoagolnikot ABCD i to~kata O kako presek na dijagonalite AC i BD. Izvr{i

rotacija Ro, , ako = ABC od

pravoagolnikot ABCD.

10. Nad stranite AB i CD od paralelogramot ABCD konstruirani se kvadratite ABB1A1 i

DCC1D1, taka {to vektorite 1AA i 1DD se istonaso~ni. Ako prese~nite to~ki od dijago-

nalite na tie kvadrati se M i N, toga{ so pomo{ na rotacija dokaì deka BCMN .

Dadeno: ABB1A1 i DCC1D1

M=AB1BA1; N=DC1CD1

Tvrdime: BCMN

Dokaz:

31


a) Vektorot e napolno opredelen so _________________________________________________

b) Niz sekoja to~ka od ramninata _______________________________________ daden pravec.


a) BCAB b) MNAP

Odgovor: a) BCAB = ________________ b) MNAP = ________________


a) ADAB b). DCAB

Odgovor: a) ADAB = ________________ b) DCAB = ________________

4. Dadena e otse~kata MN, to~kata P sredina na

MN i to~kata S AB. Izrazi go vektorot SP so

pomo{ na vektorot SM i SN .

Odgovor: SP = ___________________________________

5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

a) Translacijata a gi ima slednite svojstva:

- __________________________________________________________________________________

- __________________________________________________________________________________

- __________________________________________________________________________________

b) Pri rotacija Ro,, otse~kata se preslikuva vo _____________________________________

6. Vo ABC, to~kite M, N i P se sredini na

stranite AB, BC i AC, soodvetno.

Izrazi go vektorot PMPN so vektorite ABi

CB .

Odgovor: PMPN = _____________________________

32


i b

.


a) ba

b) ba

Odgovor:

a) ba

= ________________

b) ba

= ________________

8. So pomo{ na translacija a preslikaj go

rombot ABCD za vektorot ADABa

.

9. Konstruiraj ramnostran triagolnik ABC so strana 3 cm. So pomo{ na rotacijata Ro,

preslikaj go ABC so centar vo to~ka O koja se sovpa|a so temeto B i agol = 120o.


10. So pomo{ na translacija konstruiraj trapez ABCD, ako se dadeni site strani, t.e. aAB ,

dBC , bCD i cAD


33


a). Za sekoi dva vektora vaì ____________________________ zakon, a za sekoi tri vektori

vaì ____________________________ zakon.

b). Proizvod na nenulti vektor a

so brojot K 0 se vika ______________________________


a) BCAB b) CDBCAB

Odgovor: a) BCAB = ________________ b) CDBCAB = ________________

3. Spored dadeniot crte` opredeli go vektorot -

a) ABAC b) ACAD

Odgovor: a) ABAC = ________________ b) ACAD = ________________

4. Po te~enieto na edna reka se dviì brod so brzina 42 km/h, a sproti te~enieto na rekata

so brzina 28 km/h. Kolkava e brzinata samo na brodot, a kolkava na vodata na rekata.

Odgovor: Brzinata na brodot e _______________________, a na vodata e _____________________

5. Dopolni gi re~enicite za da bide to~en iskazot -

a). Translacijata za vektorot - a

, t.e. a

e _______________________ na translacija a .

b). Rotacijata Ro, gi ima slednite svojstva

1. _________________________________________________________________________________

2. _________________________________________________________________________________

3. _________________________________________________________________________________

6. Neka vektorot CDAB i CTAS . Dokaì deka TDSB .

Dadeno: CDAB i CTAS

Tvrdime: TDSB

Dokaz:

34


, b

i c

.

Odredi go konstruktivno vektorot:

a) cba

b) ca

Odgovor:

a) cba

= ______________________

b) ca

= ______________________

8. Dadeni se dva agla so zaemnoparalelni kraci od koi edniot par kraci se istonaso~eni, a

drugiot sprotivnonaso~eni. Dokaì so pomo{ na translacija deka tie agli se suplement-ni.

Dadeno: OAO1A1 i OBO1B1

Tvrdime: AOB + A1O1B1 = 180o

Dokaz:

9. Daden e trapezot ABCD (ABCD). Izvr{i trans-

lacija na trapezot za vektorot DCADx

.

10. Dadeni se dve skladni kru`nici k1 (S1,r) i k2 (S2,r) koi se se~at vo to~kite M i N. Odredi go

centarot i agolot na rotacija R, taka {to R(k1) = k2. Odgovor:

Centar na rotacijata e to~kata _________,

a agolot na rotacija e __________________

35

Tema 2 STEPENI.

KVADRATEN KOREN. POLINOMI

1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ.

1. Zapi{i gi najkratko slednive izrazi:

a) 444 i 444 b) xxxx i xxxx

v) 22222

aaaaa

g) mnoìteli10

xxxx 2.....222

2. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednite stepeni:

a) 3

4 b) 4

2x v)

2

4

3 g)

53a

3. Popolni ja tablicava:

Stepen 32 2

4

2

42x

5

2

5

3

01x 73

Osnova 3 1,3 3n 3

2

Eksponent 1 0 5 4

4. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 32 23 ; b) 52 25 ; v) 32 32 xx ; za 2,1,0,1,2 x

36

5. Odredi go znakot na brojot:

a) 201 ; b) 15

1 ; v) 33 ; g) 1004 .

6. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 10 broevite:

a) 1000; b) 100 000; v) 1500; g) 74 000 000.

7. Zapi{i gi kratko, so pomo{ na stepen so osnova 0,1 broevite:

a) 0,001; b) 0,000001; v) 0,0000001; g) 0,1.

8. Presmetaj ja vrednosta na sekoj od izrazite:

a)

64

1449:7104,0 343 b) 332 104:8200

37

2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN

1. Izvr{i go mnoèweto na stepenite:

a) 442 b) 52

33 v) 34 xxx g) 20

222 aaa

2. Za koj broj n e to~no tvrdeweto:

a) 72 222 n ; b) nxxxx 32 .

3. Pokaì deka:

a) izrazot 45 1212 e deliv so 11; b) izrazot 1012 55 e deliv so 24.

4. Presmetaj gi slednive koli~nici:

a) 24 3:3 b)

310

5

4:

5

4 v) 1230 : aa g)

553:3 xx

5. Presmetaj:

a) 325 : xxx ; b) 3210 : yyy ; v)

13

238

a

aaa ; g)

5

555 054 .

38

6. Izrazi go stepenuvaweto:

a) 24xy ; b) 3axy ; v)

4

23

2

1

xa ; g)

233

5

2

yx.

7. Stepenuvaj gi dropkite:

a)

3

4

3

; b)

2

2

a; v)

3

12

7

; g)

5

35

43

3

2

ya

ya.

8. Zapi{i go izrazot vo vid na stepen so osnova a:

a) 23a ; b) 4224 aa ; v) 283 aa ; g)

7

233

a

aaa .

9. Presmetaj ja vrednosta na izrazot 10

325

x

xx za 2,4x .

39

3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ

1. Zapi{i gi vo vid na proizvod slednive stepeni:

a) 24 ; b) 23 ; v) 25,0 ; g)

2

7

4

.

2. Zapi{i gi proizvodite vo vid na kvadrat (stepen) na broj:

a) 33 ; b) 44 ; v) 3

2

3

2 ; g) 00 .

3. Popolni ja tablicata:

x 2

1

3

1 1 1 0 4,0

7

3 01,0 10 3 2

2x

4. Presmetaj go kvadratot na broevite: -6, 6, -2, -10, 7, -5. 5. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 2234 ; b) 1434

2 ; v) 0370 22

; g)

22

4

1

3

1

.

40

6. Re{i gi ravenkite:

a) 492 a ; b) 642 x ; v) 12 a ; g) .1002 x

7. Presmetaj ja vrednosta na kvadratniot koren:

a) 9 ; b) 144 ; v) 25,6 ; g) 225

169.


a) 254 ; b) 1002 ; v) 01,010 ; g) 5

625.

9. Odredi ja vrednosta na izrazot:

a) 26 ; b)

2

7

4

; v) 25,0100 ; g) 04,0:64 .

10. Uprosti go izrazot:

a) 264a ; b) 2100x ; v) 2

2

64

25

b

a; g) 22 81:36 yx .

41

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ. 6. REALNI BROEVI. 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA.

1. So primena na pokaànata postapka za odreduvawe na kvadraten koren presmetaj:

a) 256 ; b) 3600 ; v) 25,12 ; g) 04,27 .

2. So pomo{ na tablica ili digitron odredi ja pribli`nata vrednost na broevite na dve

decimali:

a) 28 ; b) 280 ; v) 5,12 ; g) 8,47 .


a) 25,725,664 ; b) 26,025,23253252 .

4. Odredi ja vrednosta na:

a) 2 ; b) 3 ; v) 10 ; g) 200 so to~nost od 0,01.

5. Na brojnata oska pretstavi gi iracionalnite broevi:

a) 5 ; b) 7 ; v) 6 ; g) 13 .

42


a) 102 x ; b) 252 x ; v) 502 a ; g) 1002 b .

7. Dadeno e mnoèstvoto:

5,2,3,3

1,2,3,3R . Zapi{i gi mnoèstvata tabelarno:

RA xx i Qx i RB xx i Jx

8. Odredi gi decimalnite zapisi na broevite ;10

15;2;

100

141 a potoa sredi gi.

9. Na brojnata oska xO , pretstavi gi realnite broevi:

a) 3

1; b) 17 ; v) 3,75; g) 10 .

10. Na brojnata oska na crteòt pretstavi gi to~kite:

A(-2), B(+4), C(-3,5), D( 2 ), E( 2 ) i F( 21 )

43

8. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI)

1. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:

a) 2423 ; b) 222

4:820

; v)

1,0

64:8)4( 22 ; g) 24:86532 224 .

2. Odredi koj od dadenite brojni izrazi nemaat (brojna vrednost) smisla i zo{to:

a)

4

1205

5,0314

; b)

3557

168

; v)

112

1001,0103

2

; g)

42

2

24

11417

.

3. Odredi ja brojnata vrednost na algebarskiot izraz:

a) 232 3 xx za 1x ; b) 2

2

3

5

ab

ba

za 1a i 3b .

4. Za racionalniot izraz x

xx

3

1)(A

3

, odredi )2(A i )0(A

44

5. Na polesen na~in opredeli ja vrednosta na izrazot:

a)

3

5

34

aa

aaza 2a ; b)

2

3

54

b

bbza 2b ; v)

45

234

xx

xxx

za 1x .

6. Daden e izrazot P1

222

2

a

aa. Odredi ja negovata brojna vrednost za 24,1,0,1,2 a .

Za koi od dadenite vrednosti na promenlivata a izrazot ne e definiran.

7. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: yxx 33 , za:

a) 1,2 yx ; b) 0,2 yx ; v) 1,0 yx ; g) 3

1x .2y

8. Popolni ja tablicata na vrednosta na izrazite:

),( ba ba ab ba 2 ab 2

)2,1(

)1,3(

)4,2(

)5,1;2

1(

[to zabeleùva{? Kakvi se vrednosite na izrazite ba i ab t.e. ba 2 i ab 2 za ist

par vrednosti na promenlivite a i b .

45

9. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI

1. Dovedi gi vo normalen vid monomite:

a) 42 aa ; b) )6(5,0 223 baab ; v) )5

22(

4

1 2 aa ; g) )2

1(10

5

2 32 yyxx .

2. Odredi ja glavnata vrednost i koeficientot na monomot:

a) )2(5 4yx ; b) )4

3(

3

2 32 aba ; v) 34axy ; g) 42 32 aab

3. Napi{i monomi so:

a) glavna vrednost 2xy i koeficient 2

1 ; b) koeficient a

3

1i glavna vrednost 23 yx

v) koeficient 1 i glavna vrednost yx3 ; g) glavna vrednost 23ba i koeficient 1 .

4. Presmetaj ja brojnata vrednost na monomot:

a) 324 ba za 1a i 2b ; b) yx2

2

1 za

2

1x i 4y .

46

5. Popolni ja tablicata:

monom sprotiven monom sli~en monom

23axy

bxy3

1

425,0 yx

axy2

14

6. Odredi koi, od dadenive monomi se sli~ni:

a) 32xy ; b) xy3 ; v) xy3

1 ; g) 32,0 xy .

7. Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:

a) ab3

1 ; b) 322,0 ba ; v) ab

3

1; g) ab2,0 .

47

10. BINOM. TRINOM. POLINOM. 11. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT.

1. Od monomite: ;4ax ,2 2xa ,7ay ,2x ,8 ,3x formuliraj

a) 1 binom; b) 1 trinom; v) 1 polinom.

2. Dovedi go polinomot vo normalen vid:

a) )3(4)3(2 22 yxyxyx ; b) 322232 4,23,45,25,1 yaayayya .

3. Pretstavi gi vo vid na polinom broevite:

a) xy ; b) yx ; v) xyz ; g) abcd.

4. Odredi ja definicionata oblast na polinomot:

a) 322 23 aa ; b) 23

1 2 xyx ; v) 5

134 ba.

5. Svedi go polinomot vo normalen vid:

a) bababaaba 222 53473 ; b) 3333

10

3

5

1yxyx + baba 22

2

1

4

3 .

48

6. Odredi ja brojnata vrednost na polinomot:

a) 532 2 aa za 5a ; b) yxxyxy 234 22 za 2x i 5y

7. Odredi go stepenot na monomot:

a) 2

3

12 xy ; b) 2a ; v) 232 yx ; g)

5

14 .

8. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:

a) 122 23 xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0 .

9. Odredi go stepenot na sekoj od dadenite polinomi so promenliva x i y

a) 753 6423 xyyy ; b) xxyyxx 426,45,0 2536 .

10. Podredi gi spored stepenot na promenlivata x , po~nuvaj}i od najvisokiot stepen poli-

nomite:

a) 32543 352 xxxx ; b) 7543 5,02,112 xyxyx

49

12. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI 13. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI

1. Odredi go zbirot na monomite:

a) 22xy , 2xy , 23xy , 25,0 xy ; b) 324 yx , xy2 , xyyx 2,2

1 22

2. Od monomot 233 yx odzemi go monomot:

a) 235 yx ; b) 233 yx ; v) 233 yx ; g) 23 yx

3. Odredi go monomot x za koj e to~no ravenstvoto:

a) 2323

4

1

2

13 babax ; b) baxba 22 2,35,4 .

4. Odredi momom {to e ednakov na izrazot:

a) 2222 25,535,4 xyxyxyxy ; b) 222

3

1

4

1bababa .

5. Zapi{i polinom {to e sprotiven na polinomot:

a) 122 23 xxx ; b) yxyxxy 3222 3,45,12,0

50

6. Transformiraj go izrazot vo polimom od normalen vid:

a) );3()22( 2 xxx b) )4()4( 33 aaaa .


a) )22()2( 2323 xxxxx ; b) )342()342( 22 xxxx .


a) a24 7)43( a ; b) 100)107()34( xx .

9. Dokaì deka vrednosta na izrazot:

)152()235()123( bababa ne zavisi od a i b .

10. Pretstavi go trinomot:

a) 242 2 aa ; b) 233 2 xx vo vid na zbir od dva binoma.

51

14. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI 1. Transformiraj go vo normalen vid, polinomot:

a) )1()12( 22 xxxx b) )32()34( 2222 abbaabba

2. Dadeni se polinomite: A ,132 2 xx B 122 xx , i C 32 x .

Pokaì deka vaàt zakonite:

a) ABBA ; b) )CB(AC)BA(

3. Odredi polinom A , koj e ednakov na zbirot na polinomite:

a) xyxyyx 23 42 i xyxyyx 23 2 ; b) 33

1

4

1 2 abba i 54

1

2

1 2 abba

4. Odredi polinom M , koj e ednakov na razlikata na polinomite:

a) 224 xx i 423 2 xx ; b) 52 23 xxax i 54 23 xxax

52

5. Za polinomite: A 132 23 xxx , B 422 23 xxx i C 522 23 xxx odredi:

a) CBA ; b) )CB(A ; v) )CB(A ; g) )CB(A .

6. Pokaì deka e to~no ravenstvoto:

a) 0)432()423( 22 xxxx ; b) 3232233223 8,4)4,23()4,23( xaxaxaxaxa

7. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot )5()54( xx e ednakva na 0.

8. Dokaì deka zbirot od koj bilo dvocifren broj i brojot napi{an so isti cifri, no po

obraten red e deliv so 11.

53

15. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI 16. STEPENUVAWE NA MONOMI 17. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM

1. Presmetaj go proizvodot na monomite:

a) 34 aa ; b) )3(4 2 abab ; v) )3(2 2 xx ; g) )5,0()4( 22 xxy .

2. Presmetaj:

a) xyyx4

34 24 ; b) )4(6 22 ababx ; v) )5,0()6,0( 2332 yxyx .

3. Odredi gi slednive proizvodi:

a) nn xyyx 33 2 ; b) nnn yxyx 2221

5

4

4

1 .

4. Izvr{i go nazna~enoto delewe na monomite:

a) )6(:24 45 xyccyx ; b) yxyx 424 12,0:6,3 ; v) 222244

2

11:

3

11 yxayxa .

5. Presmetaj:

a) )5,0(:4,0 333457 zyxzyx ; b) )2

1(:

3

2 23234 xyayxa .

54

6. Stepenuvaj gi monomite:

a) 2)2( x ; b) 23)3( abx ; v) 32 )( zxy ; g) 342 )2

1( ba

7. Presmetaj:

a) 2)4( xy ; b) 3222 )2(4

3abba ; v) )()4( 2232 xyyx .

8. Presmetaj:

a) xyx 2)32( ; b) )2()346( 2 abaabab .

9. Odredi go polinomot P , taka {to:

a) 222 P)1()1( aaaaa ; b) )12(3)2(P 22 xxxxx .

10. Za koja vrednost na x brojnata vrednost na izrazot:

a) 6)2(3 x e ednakva na 10; b) )2(3)1(2 xx e ednakva na 8.

55

18. MNO@EWE NA POLINOMI 1. Presmetaj gi proizvodite:

a) )5()12( aa ; b) )33()1( 2 xxx ; v) )53()24( yxyxxy .

2. Izvr{i gi nazna~enite operacii:

a) )2()4()2()2()3()1( xxxxxx ; b) )13(4)1()12( 22 xxxxxx .

3. Dadeni se polinomite: 1A x , 23B x , 32C x . Presmetaj:

a) CA ; b) CB ; v) CBA ; g) B)(A)(C .

4. Pretstavi go, kako polinom vo normalen vid, izrazot:

a) 10)4()32()23)(126( 22 xaaaa ; b) )1()1( 234 aaaaa .

56

5. Pokaì deka ravenstvoto e to~no:

2)1)(1()1()1( 22 aaaaaa .

6. Odredi ja vrednosta na x za koja izrazot:

)23)(32(6 2 xxx ima vrednost 7.

7. Dokaì deka za Na izrazot:

)5)(11()5( aaaa e deliv so 11.

8. Odredi )(C)(B)(A xxx ako 1)12()(A xxx .

12)1()(B 2 xxx i 2)(C2 xxx

9. Dokaì deka, pri sekoja vrednost na n, izrazot

)23(3)12(5)2()3( 2 nnnnn e sekoga{ pozitiven.

57

19. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE 1. Presmetaj gi proizvodite:

a) )2)(2( aa ; b) )12)(12( xx ; v) )53)(35( xyyx .


a) ),())(( 22 yxyxyx b) )1()1)(1( 2aaa .

3. Transformiraj go izrazot vo vid na polinom vo normalen vid:

a) )2()3()3( xxxx ; b) ( xyyxxyxyx 2)(2)2)(2 .

4. Presmetaj gi proizvodite:

a) 1723 ; b) 5,65,7 ; v) 10298 ; g) 2

19

2

110 .

5. So koristewe na formulata za kvadrat na binom, presmetaj:

a) 2)3( x ; b) 2)4( a ; v) 2)12

1( x ; g) .)23( 2ba

58

6. Odredi go monomot M , taka {to ravenstvoto da bide to~no:

a) ,8M)4( 2222 bbaba b) 422 4129)M3( xx .


a) )3)(3()32()52( 22 xxxx ; b) )1)(1(6)1(4)1( 22 aaaa


a) 20)5(2)1(2 2 xxx ; b) 22)1)(1(4)12( 2 xxx .

9. So pomo{ na formulata za kvadrat na binom kvadriraj gi broevite:

a) 251 ; b) 25,199 ; v) 22 99101 ; g) 2105 .

59

20. DELEWE NA POLINOM SO MONOM. 21. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM


a) 3:)186( yx ; b) )5(:)1525( 2243 xyyxyx ; v) xxxx 8,0:)22,14,0( 23 .

2. Transformiraj gi vo polinom vo normalen vid izrazite:

a) )42(65:)1510( xx ; b) )4

3

2

1(4)4(:)816( 2 aaaa

3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot:

)13(:)1378169( 33334334 babababa za 1a i 2b

4. Re{i ja ravenkata:

92

1:)32()2(:10 223 xxxxx

5. Odredi go koli~nikot:

a) )3(:)12( 2 aaa ; b) )1(:)12( 2 xxx .

60

6. Prvo, podredi go polinomot, a potoa izvr{i go deleweto:

451020164120 4734 xxxxx

7. Presmetaj gi koli~nicite:

a) )1(:)1( 2 aa ; b) )1(:)1( 5 aa ; v) )1(:)1( 9 xx .


a) 4)12(:)352( 2 aaa ; b) 4)32(:)6136( 2 xxx .

9. Ako 3223 24128)(B)(A yxyyxxxx i yxx 2)(B . Opredeli go )(A x .

10. Izvr{i go nazna~enoto delewe na polinomot so ostatok:

a) )23(:)4415( 2 aaa ; b) )532(:)2537( 2234 xxxxxx

61

22. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI 1. Odredi koi od slednive racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi:

a) x2 ; b) 4

2 yx ; v)

y

2; g)

1

32

a

a.

2. Zapi{i dva algebarski izraza: a)koi se racionalni b)koi ne se racionalni 3. Odredi ja definicionata oblast na drobno-racionalniot izraz:

a)1

2

x

x; b)

ya

12 ; v)

)2)(1(

2

xx; g)

a

aa

31

12

.

4. Skrati gi dropkite:

a)2

2

)1(

1

x

x; b)

)3)(3(

92

xx

x; v)

22

2)(

ba

ba

.

62

5. Za koja vrednost na a izrazot ne e definiran:

a)a

a

31

4

; b)

a

a

22

1

; v)

a

a

51

3

; g)

)23)(3(

aa

ba.

6. Odredi go mnoèstvoto na dopu{tenite vrednosti na promenlivata, za koi racionalnite

izrazi imaat smisla:

a)12

1

a; b)

4

22 a

a; v)

)23)(3(

aa

ba.

7. Za koja vrednost na promenlivata x dadeniot izraz ima smisla?

a)x

x

32

4

; b)

x

x

22

2

; v)

x

x

71

1

; g)

6

5

x

x.

63

23. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI

1. Izvle~i gi zaedni~kite mnoìteli pred zagrada:

a) 22 a ; b) xyx 2 ; v) axay 63 ; g) xax 43 .

2. Razloì gi polinomite na mnoìteli:

a) 23 4 xyxyxy ; b) 4332 201510 yxxyyx ; v) abbaba 24126 2243 .

3. Skrati ja dropkata:

a)2)(

22

yx

yx

; b)

x

x

927

)3( 2

; v)

yyx

xyyxx

)(

2)(; g)

)(3

)(2 2

ba

aabba

.

4. So razloùvawe na mnoìteli pokaì deka izrazot:

a) 456 888 e deliv so 57; b) 12137 6636 e deliv so 31.

5. Razloì go na prosti mnoìteli izrazot cxbxax , a potoa presmetaj ja brojnata vred-

nost za: 41a , 34b , 25c i 55,0x

6. Razloì gi slednive binomi na mnoìteli:

a) 19 22 ba ; b) 222 25 yxx ; v) 22 9100 yx .

64

7. Presmetaj:

a) 22 1939 ; b) 22 39111 ; v) 22 )4

25()

4

37( .

8. Skrati gi dropkite:

a)25

52

2

a

aa; b)

4

242

x

x; v)

1

1 2

x

x.

9. Dokaì deka, za koj bilo Na vrednosta na izrazot:

a) 22)11( aa e deliv so 11, b) 1)74( 2 a e deliv so 4.

10. Razloì gi na mnoìteli polinomite:

a) 269 xx ; b) 22 44 yxyx ; v) 2

3

2

9

1aa ; g) 22 92416 baba .


a) 962 xx za 2x ; b) 22 4129 baba za 3

1a i

2

1b

12. Presmetaj ja na najednostaven na~in vrednosta na izrazot:

a) 22 232369269 b) 22 8,58,53,823,8

13. Skrati ja dropkata:

a) 169

3

yy

xxy b)

2

2

925

25159

x

xx

65

TEST - 1

1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so sistemi:

a) 503 aaaa

b) 73)(a

v) 2

4

6

3

x

x

g)

2

23

83

)(xxx

xxx

2. Presmetaj i izvr{i proverka:

a) 3600 b) 25,12


222 )8,0(55,42

4. Daden e monomot 43

2

1yx odredi:

a) sli~en monom -

b) sprotiven monom -

v) stepen na monomot -

g) koeficient na monomot -

5. Zbirot na polinomite: 234 2 xx i xx 445 2 namali go za trinomot 462 xx .

66


a) 232

3

2

2

1xyyx =

b) 342 )2

1( ba =

v) )22( 232 aaaa =

g) )22)(125( 2 xxx =

7. Pretstavi go so polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) )3)(3( xx

b) 2)2(x

v) 272


a) abbaab3

2:)

8

7

4

3( 322 ; b) )347(:)7612139( 524725 xxxxxx .

9. Razloì go na polinomot na prosti mnoìteli:

a) 1644 23 aaa ; b) adacab 8124 ; v) xxcxb 3)3()3(

10. Dokaì go identitetot:

25)1(100)510( 2 nnn

67

TEST - 2

1. Zapi{i gi kako stepen so osnova x, slednive izrazi:

a) 23 xxx

b) 46 )(x

v) 3

12

x

x,

g) 2

32

45

)(xx

xxx


a) 2116 b) 04,27


2332 4)2

1()2()

4

3(

4. Daden e monomot 235,0 xya odredi:

a) sli~en monom -

b) sprotiven monom -



5. Od polinomot 3642 23 aaa odzemi go zbirot na polinomite:

524 23 aaa i 132 23 aaa

68


a) yaxax 2121,0 =

b) 232 )2,0( yx =

v) )22(2 22 yxxyx =

g) )1()72( 2 aaa =

7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:

a) )5)(5( aa

b) 2)3( a =

v) 2)32( a =


a) xyxyx 4:)1816( 243 b) )43(:)91212228( 432 xxxxx

9. Razloì go polinomot na prosti mnoìteli:

a) 32223 1269 bababa ; b) nynxyxn )( ; v) yxayaxyaxa 22 .


2

6

)12)(1(

6

)12)(1(n

nnnnnn

69

TEST - 3

1. Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:

a) 056 xxx

b) 1510 : xx

v) 53 )(x

g)

236

327

)(

)(

xx

xx


a) 57 ; b) 5,38 .


)7529(439 22

4. Daden e monomot 42

4

3ba odredi:

a) koeficient na monomot -

b) stepen na monomot -

v) sli~en monom -

g) sprotiven monom -

5. Na polinomot 3653 23 xxx , dodaj ja razlikata na polinomite: 5452 32 xxx i

xxx 321 23

70


a) )3()2( 2xyxy =

b) nyx )( 32 =

v) )32(4 cba =

g) )()2( 22 yxyxyx =

7. Pretstavi go vo normalen vid proizvodot:

a) 2)52( x

b) )72)(72( xx

v) 692 =


a) )5(:)1525( 322 abbyxyax ; b) )32(:)610159( 2432 xxxxx .


a) mxxmxm 36 23 ; b) )1()1()1( yxryxqyxp ; v) babzazbzaz 22 .


4

1)1()

2

1( 2 aaa

71

TEST - 4 1. Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:

a) aaaa 035

b) 84 )(a

v)

3

543

32

)(aaa

aaa

g) 10

20

a

a


a) 13600= b) 25,2 =


5333 )1()2()3(2

4. Dovedi go vo normalen vid monomot )()2( 3332 yxyx , a potoa odredi:

a) sprotiven monom -

b) sli~en monom -



5. Od zbirot na polinomite 22 24 abab i 22 552 baba , odzemi ja razlikata na polinomi-

te 22 432 baab i 22 323 aabb .

72


a) )3

2(:

4

14 322 yxxyyx =

b) 322 )4()5,0( xyxy =

v) )32(4 32 xaxaxx =

g) )34()1( 222 yxyxxx =


a) 2)32( a

b) )3)(3( yxyx

v) 273

8. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid proizvodot:

a) 334253 2:)268,4( ababbaba

b) )1(:)1( 7 aa


a) 2324 3126 xyyxxy ; b) )1()1( xbxa ; v) bcacaba 224 2

10. Ako 10 cb , toga{ bcaacaba )1(100)10)(10( . Dokaì!

73

TEST - 5 1. Presmetaj:

a) 085 xxx

b) 2)2( 43 yx

v) 714 : xx

g)

243

)2

(yx

yx


a) 625= b) 437,94 =


323 2:1249:33)2(5

4. Dovedi go vo normalen vid monomot )2(93

1 22 xyxyx , a potoa odredi:

a) koeficient na monomot -

b) stepen na monomot -

v) sprotiven monom -

g) sli~en monom -

5. Presmetaj )B(A C , ako e:

2562A 23 xxx ; 634B 23 xxx i 1422C 23 xxx .

74


a) )(:)2(2 222 axyaxxya =

b) 2432 )2

1()( xyyx =

v) axxxx 2)765( 32 =

g) )3)(42( xx =

7. Pretstavi go kako binom vo normalen vid, proizvodot:

a) )43()34( ayya

b) 2)72( yx

v) 298


a) )2(:)46( 24 abbaba

b) )1(:)1( 9 aa


a) 243322 423630 bababa ; b) )(4)(5 baxybax ; v) yaxbybxa

10. Dokaì deka izrazot 22 22 ba moè da se pretstavi kako zbir od dva kvadrata.

75

TEST - 6 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 3)2(

b) 610

v) 100)1(

g) 4)1,0(


a) 961= b) 25,42 =

3. Daden e izrazot 1

32B

2

2

x

xxx . Odredi:

a) 0B ; b) 1B .

4. Od monomite: 33 ;4;2 xyxyxy i xy7

a) sostavi polinom -

b) svedi go vo normalen vid -

v) odredi go stepenot na polinomot po )(y -

g) odredi go sprotivniot polinom -

5. Presmetaj ja tretata strana na triagolnikot, ako perimetarot e ba 340 , a dvete strani

se ba 317 i ab 311

76


a) )3(2 25 abba =

b) )2

1()4( 2235 xayx =

v) )3()52( xx =

g) )2

12(4 32 xxx =

7. Pretstavi go proizvodot vo normalen vid:

a) )53()35( xyyx

b) 2)53( ba

v) 284


a) 32325344

2

3:)639( pcpcpcpc

b) )1(:)1( 7 xx


a) 222443

3

13

3

12

9

5yxyxyx ; b) )8)(2(4)2( 22 xyayxa ; v) ybyaybxa 2222 .


))(()()( 222222 yxbabxaybyax

77

TEST - 7 1. Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) 2)3

2(

b) 4105

v) 3)4,0(

g) 20)1(


a) 1681= b) 12,8 =


13A

2

)(

a

aaa odredi:

a) )2(A , b) )2(A

4. Od monomite: yx32 ; 222 yx ; 3xy ; yx34



v) odredi go stepenot na polinomot po )(xy -


5. Zbirot 2073 x denari e podelen na tri lica, taka {to liceto A dobilo 531 x denari,

liceto B dobilo 520 x denari, a tretoto lice go dobilo ostatokot. Po kolku denari

dobile licata A, B i C.

78


a) )3(:24 243 yxyx =

b) 33 )4

3( xy =

v) )534(2 2 xxax =

g) )23()458( 223 xxxx =

7. Pretstavi go kako polinom vo normalen vid, proizvodot:

a) 1624

b) 2)12

1( a

v) 2)32( yx


a) 2356 4:)42,56( aaaa

b) )1(:)1( 9 xx


a) 2534 86,1 yaxa b) )(3)(12 yxabyxa v) pxpxp 22 2

10. Dokaì deka ravenstvoto e to~no:

4245232 6)6

13(6)

3

142(3 ccccccc

79

TEST - 8 1. Pretstavi go vo vid na stepen proizvodot:

a) )3()3()3()3( aaaa

b) 3

2

3

2

3

2

2. Presmetaj ja vrednosta na sistemot:

a) 200)1(

b) 4)1,0(


a) 280 = b) 5,12 =


41C

2

3

)(

y

yyy . Odredi:

a) )2(C , b) )

2

1(

C

5. Od monomite: xy , 222 yx , xy3 i 22

2

1yx



v) odredi go stepenot na polinomot po )(x -


6. Za polinomite: 12A 23 xxx , 42B 2 xx i 24C 23 xxx , odredi B)(AC .

80


a) )3

2(:

4

3 3245 yxzyx =

b) 332 )6( yx =

v) )3()24( 223 axaxx =

g) )32)(236( 222 xyyxxyxy =


a) 2)35( a

b) 5,65,7

v) 22 )34( x


a) 2

1:)1( ba b) )2(:)65( 22 bababa


a) )23(7)32(9 ybya

b) 2222 12186 yxyxxy

v) yaxbybxa

11. Dokaì deka za sekoja vrednost na x izrazot:

)21(5)424(5,1)87)(43( xxxxx e negativen.

81

TEST - 9 1. Preststavi go vo vid na proizvod, stepenot:

a) 2)5( x

b) 4)3

2( a

2. Presmetaj ja vrednosta na stepenot:

a) 3)3(

b) 4)2

1(


a) 121= b) 16,25 =


222A

2

)(

x

xxx . Odredi:

a) )4(A ; b) )0(A .

5. Od monomite: 32ba ; ab3 ; ab

2

1 i 327 ba



v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ba -


6. Odredi go polinomot M , taka {to: 422M)132( 2332 xxxxxx

82


a) )5(7 2223 yxzyx =

b) 23 )4

3( cxy =

v) 323 3)24( axaxa =

g) )34()912( 23 xxx =

8. Pretstavi go kako polinomot vo normalen vid, proizvodot:

a) 2)32( ba

b) 2)4

3

2

1( yx

v) 10298


a) 2234 4,0:)32,104,04,2( xxxx b) )53(:)15953( 23 xxxx


a) 222443

3

13

3

12

9

5nmnmnm

b) )2(8)2(4 22 axyayx

v) xbyaybxa 2222


222 3148))((2)4( nmmnnmnmnm

83

TEST - 10 1. Pretstavi go vo vid na proizvod, stepenot:

a) 3)( nm

b) 2)4

3( b

2. Presmetaj ja vrednosta na stepenot:

a) 4)3(

b) 5)3

2(


a) 256 = b) 25,6 =


5B

2

2

)(

x

xxx . Odredi:

a) )

2

1(

B ; b) )2(B .

5. Od monomite: 2

2

1ac , ac4 , 2

2

1ac i ac10



v) odredi go stepenot na polinomot po ),( ca -


6. Odredi go polinomot N , taka {to:

342)122(N 2323 aaaaaa

84


a) )4(:16 3268 yxyx =

b) 43 )3( zxy =

v) )532(4 2 xxx =

g) )354()27( 2 aaa =


a) 5,95,10

b) 22 )53( xx =

v) 2)32( ca


a) xyxyyxyx 4:)163224( 5245 b) )32(:)674( 223 yyyyy


a) 33245

10

5

4

11

2

12 bababa

b) )(18)(9 32 bayxbax

v) bybxayax 3232 =


22)432()12()2( 22322 xxxxxxxx

85

Tema 3 KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK.

PLO[TINA.

1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA

1. Eden kruèn lak pretstavuva:

a) 12

5; b)

5

3; od kru`nicata.

Odredi go soodvetniot centralen agol, a potoa nacrtaj go vo dadenata kru`nica. a). b). 2. Kolkav centralen agol odgovara na edna polukru`nica kako del od kru`nica?

Odgovor: ________________________________

3. Kolkav del od kru`nicata zafa}a eden centralen agol so golemina od 135O? Odgovor: ________________________________

4. Centralniot agol na dadenata kru`nica razdeli go na tri agli, ~ii golemini se odnesu-vaat kako 1 : 2 : 3.

5. Neka ABCDEF e {estagolnik ~ii temiwa leàt na edna kru`nica so centar vo to~ka O i

pritoa EFCDAB i FADEBC . Dokaì deka AOC = 120O.

86

2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA 1. Vo dadena kru`nica ozna~i periferen agol so golemina: a) 70O; b) 130O; v) 90O. 2. Kolkav periferen agol odgovara na eden centralen agol so golemina: a) 180O; b) 43O; v) 235O 25’ 36”. Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Dokaì deka perifernite agli nad dva skladni kru`ni laka vo edna kru`nica se skladni.

4. Dokaì deka bisektrisite na site periferni agli nad ist kruèn lak se se~at vo sredi-nata S na toj lak.

5. Konstruiraj pravoagolen triagolnik, ako se poznati hipotenuzata c i visinata hc kon nea.

87

3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA 1. Konstruiraj tangenta od to~kata A kon dadenata kru`nica k. a) b) 2. Kakvo mnoèstvo od to~ki obrazuvaat centrite na kru`nicite koi se dopiraat: a) do kracite na daden konveksen agol, b) do dve paralelni pravi ? Odgovor: a) ____________________ b) ____________________

3. Neka pravite p i q se tangenti na kru`nica k pri {to p q i p q. Dokaì deka dopirni-

te to~ki p q i q k se dijametralno sprotivni to~ki na kru`nicata.

4. Dadena e kru`nicata k i dve zaemnonormalni tangenti p i q na k. Kakvo mnoèstvo od to~-

ki obrazuvaat presecite p q na site pravi p i q so toa svojstvo?

5. Neka AOB e centralen agol na kru`nicata k. Ako a i b se tangenti na kru`nicata k vo

to~kite A i B, kolkav e agolot me|u to~kite A i B?

88

k

4. AGOL POME\U TANGENTA I TETIVA 1. Vo dadenata kru`nica k nacrtaj tetiva AB i od to~kata B povle~i tangenta t. Potoa ozna-

~i go agolot pome|u tetivata AB i tangentata t.

2. Kolkav e agolot me|u tangentata i tetivata na edna kru`nica, ako periferniot agol nad istiot kruèn lak {to odgovara na tetivata e :

a) 15O; b) 90O; v) 125O? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ . 3. Kolkav e agolot me|u tangentata i tetivata na edna kru`nica, ako centralniot agol {to

odgovara na dadenata tetiva e: a) 35O; b) 180O; v) 148O?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .

4. Periferniot agol nad eden kruèn lak AB e 35O. Opredeli go agolot me|u tangentite a i b povle~eni od to~kite A i B.

5. Dadena e otse~ka AB i prava p koja minuva niz A i ne minuva niz B. Konstruiraj kru`nica

koja minuva niz to~kata B i ja dopira pravata p vo to~kata A.

89

5. TETIVEN ÊTIRIAGOLNIK 1. Dali okolu pravoagolen trapez moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot i

napravi crte`.

Odgovor: ________________________________ 2. Dali okolu eden ~etiriagolnik ~ii tri agli se:

a) A = 50O, B = 70O, C = 130O, b) A = 65O, B = 115O, D = 80O,

v) B = 50O, C = 60O, D = 80O, moè da se opi{e kru`nica?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 3. Dali moè da se konstruira tetiven ~etiriagolnik, ako zbirot na tri negovi agli se ed-

nakvi na: a) 80O, 56O, 124O, b) 130O, 150O, 40O, v) 20O, 70O, 160O?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .

4. Dali okolu deltoid moè da se opi{e kru`nica? Obrazloì go odgovorot?

Odgovor: ________________________________

5. Vo dadenata kru`nica vpi{i ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni agli se 70O, 80O i 140O.

90

6. TANGENTEN ÊTIRIAGOLNIK 1. Vo koi paralelogrami moè da se vpi{e kru`nica? Zo{to?

Odgovor: _________________________________

2. Odredi ja dolìnata na ~etvrtata strana na eden ~etiriagolnik ABCD, za toj da bide tan-

genten, ako:

a) AB= 5 cm, CD = 7 cm i AD = 8 cm ; b) BC = 6 cm, CD = 8 cm i DA = 5 cm .

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Dali postoi tangenten ~etiriagolnik ~ii tri posledovatelni strani imaat dolìni

2 cm, 8 cm i 5 cm? Zo{to? Odgovor: _________________________________ 4. Dokaì deka vo pravoagolnik {to ne e kvadrat ne moè da se vpi{e kru`nica!

5. Nacrtaj trapez vo koj moè da se vpi{e i se opi{e kru`nica.

91

7. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT 1. Nacrtaj konveksen ~etiriagolnik i nekonveksen petagolnik. 2. Kolku dijagonali moè da se povle~at: a) od edno teme, b) od site temiwa na eden sedumagolnik? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; 3. Eden n – agolnik e takov {to vo nego moè da se povle~at vkupno n dijagonali. Koja e

vrednosta na n?

Odgovor: ________________________________

4. Odredi go {estiot agol na eden {estagolnik, ako pet negovi agli imaat golemini: 165O,

148O, 172O, 155O i 163O. 5. Dali postoi konveksen n – agolnik, ako osum negovi vnatre{ni agli se ednakvi na 130O?

Zo{to? (Upatstvo: Razgledaj gi nadvore{nite agli!)

Odgovor: ________________________________

92

8. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 1. Nacrtaj mnoguagolnik so ednakvi: a) agli, b) strani, koj ne e pravilen mnoguagolnik. 2. Kaj koj pravilen mnoguagolnik eden nadvore{en agol iznesuva 45O? 3. Dokaì deka kaj sekoj pravilen mnoguagolnik, negoviot centralen agol e ednakov so nad-

vore{niot agol.

4. Neka za petagolnikot ABCDE, triagolnicite ABC, BCD, CDE, DEA i EAB se skladni ram-nokraki triagolnici so temiwa vo B, C, D, E i A, soodvetno. Dali ABCDE e pravilen pet-agolnik?

Odgovor: _________________________________

5. Ako A1A2A3A4 ..... An e pravilen n – agolnik, dokaì deka A1A4 A2A3.

93

9. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA 1. Odredi go mnoèstvoto od site to~ki vo ramninata koi se ednakvo oddale~eni od: a) temiwata, b) sredinite na stranite, na eden pravilen mnoguagolnik. Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;

2. Za koj pravilen n – agolnik karakteristi~niot triagolnik e ramnostran triagolnik? Odgovor: n = __________ 3. Ako A1A2A3 ..... A2k e pravilen 2k – agolnik (k > 2), pokaì deka A1A3A5 ..... A2k-1 e pravilen

k – agolnik.

4. Eden pravilen n – agolnik ima 9 oski na simetrija. Kolkav e negoviot centralen agol?

Odgovor: ________________________________

5. Vo koj pravilen mnoguagolnik vnatre{niot agol e za 108O pogolem od centralniot agol? Odgovor: ________________________________

94

10. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI

1. Konstruiraj ramnostran (pravilen) triagolnik koj e vpi{an vo dadenata kru`nica.

2. Okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen {estagolnik.

3. So pomo{ na aglomer, okolu dadenata kru`nica opi{i pravilen petagolnik.

4. So pomo{ na aglomer, konstruiraj pravilen petagolnik so strana a = 1,5 cm. 5. Vo dadenata kru`nica so pomo{ na aglomer vpi{i pravilen desetagolnik.

95

11. PITAGOROVA TEOREMA 1. Najdi ja dolìnata na ednata kateta, ako se dadeni hipotenuzata i drugata kateta: a) c = 20 cm, b = 16 cm ; b) c = 29 cm, b = 21 cm ; v) c = 7 cm, b = 3 cm . Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ 2. Strelkite na eden ~asovnik se dolgi 2,4 cm i 1,8 cm. Kolku se oddale~eni vrvovite na

strelkite koga tie pokaùvaat 3 ~asot? Odgovor: ________________________________ 3. Kolkav e dijametarot na opi{anata kru`nica okolu pravoagolen triagolnik, ~ii kateti

se dolgi: a = 6 cm, b = 2,5 cm?

4. Katetite na eden pravoagolen triagolnik se dolgi 2,4 dm i 7 dm. Odredi ja dolìnata na teì{nata linija {to e povle~ena kon hipotenuzata.

Odgovor: ________________________________ 5. Dali triagolnikot so strani: a) 15 cm, 2 dm i 2,5 dm ; b) 5 cm, 1 cm i 14 cm, e pravoagolen? Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;

96

12. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA 1. Odredi ja katetata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 20 cm.

Odgovor: _________________________________ 2. Vo pravilen {estagolnik so strana 4 cm vpi{ana e kru`nica. Presmetaj go radiusot na

taa kru`nica. Odgovor: _________________________________ 3. Presmetaj go perimetarot na pravoagolen trapez, ako se poznati negovite osnovi a = 5,7

cm, b = 1,9 cm i visinata h = 2,5 cm. Odgovor: _________________________________ 4. Centrite na dve ednakvi kru`nici so radius 3,9 cm se na rastojanie eden od drug 7,2 cm.

Presmetajte ja dolìnata na nivnata zaedni~ka tetiva.

Odgovor: _________________________________

5. Vo edna kru`nica so radius 5 cm e vpi{an ramnokrak triagolnik, kaj koj viso~inata kaj osnovata e dolga 6,4 cm. Odredete gi dolìnite na stranite na triagolnikot.

Odgovor: _________________________________

97

13. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA

KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ...

1. Da se konstruira otse~ka so dolìna:

a) 10 cm; b) 13 cm.

2. Da se konstruira otse~ka so dolìna:

a) 15 cm; b) 21 cm.

3. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 22 9ba .

4. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna 224 ab .

5. Dadeni se otse~ki so dolìni a i b. Da se konstruira otse~ka so dolìna ab4 .

(Upatstvo: 224 babaab )

98

14. POIM ZA PLO[TINA 1. Nacrtaj eden triagolnik i eden ~etiriaglonik koi se ednakvoplo{ni. 2. Plo{tinata od 4 m 2, izrazi ja vo: a) cm 2 ; b) mm 2 .

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ;

3. Daden e paralelogram ABCD. Na polupravata AB odredi to~ka M, taka {to triagolnikot AMB e ednakvoplo{ten so paralelogramot ABCD.

4. Dadeniot triagolnik ABC razdeli go na 4 ednakvoplo{ni delovi.

5. Neka F1 i F2 se dve geometriski figuri. Obidi se da dokaè{ deka:

P (F1 F2) = P (F1) + P (F2) - P (F1 F2).

99

15. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK 1. Edna niva vo forma na pravoagolnik so strani 240 m i 180 m treba da se nasadi so lozje.

Kolku lozi }e se nasadat na taa niva, ako rastojanieto na lozite vo redot e 1 m, a rastojanieto me|u redovite e 1,2 m?

Odgovor: ________________________________ 2. Kvadrat so strana 12 cm i pravoagolnik so edna strana 8 cm imaat ednakvi plo{tini. Ko-

ja od tie dve figuri ima pogolem perimetar?

Odgovor: ________________________________

3. Konstruiraj kvadrat ~ija plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dva dadeni kvadrata so strani a i b.

4. Vo kvadrat ABCD so strana 8 cm vpi{an e drug kvadrat MNKL, ~ii temiwa leàt na stra-nite na kvadratot ABCD. Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot MNKL.

Odgovor: _________________________________ 5. Vo kru`nica so radius 6,5 cm vpi{an e pravoagolnik na koj ednata strana mu e dolga 5 cm.

Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj pravoagolnik.

Odgovor: _____________________________________________________________________________

100

16. PLO[TINA NA PARALELOGRAM 1. Ako dolìnata na osnovata na paralelogramot ja zgolemime 3 pati, kako treba da ja prome-

nime soodvetnata viso~ina pri {to plo{tinata na paralelogramot da ostane nepromene-ta?

Odgovor: _________________________________

2. Romb so strana a = 8 cm ima plo{tina 43,2 cm 2. Presmetaj ja viso~inata na rombot. Odgovor: _________________________________ 3. Edna niva ima forma na paralelogram so osnova 500 m i soodvetna viso~ina 280 m. Za

kolku dena taa }e bide izorana: a) so dva kowa koi za eden den izoruvaat 40 ari; b) od eden traktor koj izoruva po 3,5 ha dnevno?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ .

4. Da se presmeta plo{tinata na eden romb ako se znae deka negovata strana ima dolìna 6 cm, a pomaliot agol me|u stranite iznesuva 60O.

Odgovor: _________________________________

5. Presekot na dijagonalite na eden paralelogram e na rastojanie 2,5 cm i 3 cm od pravite na koi leàt negovite strani. Presmetaj go perimetarot na toj paralelogram, ako negova-ta plo{tina iznesuva 60 cm 2.

Odgovor: _________________________________

101

17. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK 1. Stranata i soodvetnata viso~ina na eden triagolnik se dolgi 5 cm i 8 cm. Moè li nego-

vata plo{tina da bide ednakva na: a) 16 cm 2; b) 20 cm 2; v) 25 cm 2? Zo{to?

Odgovor: a) __________ ; b) __________ ; v) __________ .

2. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik ~ij krak e b = 4,8 cm, a viso~inata {to í odgovara na osnovata ima dolìna 3,6 cm.

Odgovor: ________________________________

3. Vo kru`nica so radius 6,6 cm vpi{an e ramnostran triagolnik. Presmetaj gi perimeta-rot i plo{tinata na triagolnikot.

Odgovor: ________________________________ 4. Eden dvor vo forma na triagolnik ima strana 15 m, 10 m i 12 m. Presmetaj ja plo{tinata

na dvorot. Odgovor: ________________________________

5. Poznato e deka triagolnikot ABC ima plo{tina P = 10 cm2 i perimetar 20 cm. Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica.

Odgovor: ________________________________

102

18. PLO[TINA NA TRAPEZ 1. Da se presmeta plo{tinata na trapez ako negovite osnovi se 7 cm i 5 cm, a viso~inata mu

e 5,5 cm.

Odgovor: _________________________________

2. Osnovite na pravoagolen trapez se dolgi 2 dm i 2,5 dm, a podolgiot krak e 13 cm. Presme-tajte go perimetarot i plo{tinata na toj trapez.

Odgovor: _________________________________ 3. Presmetajte ja plo{tinata na ramnokrak trapez, ako se poznati negovite osnovi: a = 26

cm, b = 12 cm i krakot c = 17 cm.

Odgovor: _________________________________

4. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez e P = 68 cm 2, a osnovite mu se dolgi 13 cm i 4 cm. Presmetaj go negoviot perimetar.

Odgovor: _________________________________

5. Perimetarot na eden ramnokrak trapez iznesuva 149 cm, a osnovite mu se dolgi 63 cm i 32 cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.

Odgovor: _________________________________

103

19. PLO[TINA NA DELTOID 1. Dijagonalite na eden romb se dolgi d1 = 7,3 dm i d2 = 5,6 dm. Presmetaj ja negovata plo{-

tina. Odgovor: ________________________________

2. Plo{tinata na eden deltoid e 256 cm2. Presmetaj gi dolìnite na negovite dijagonali, ako se znae deka ednata dijagonala e dvapati podolga od drugata dijagonala.

Odgovor: ________________________________ 3. Presmetaj ja plo{tinata na eden tetiven deltoid, ako se znae deka podolgata strana ima

dolìna 3 cm, a pokratkata dijagonala isto taka ima dolìna 3 cm.

Odgovor: ________________________________

4. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako pokratkata negova strana ima dolìna 2 cm i ako se znae deka dijagonalata koja ne e simetrala na deltoidot zafa}a agli od 45O i 60O so pomalata i pogolemata strana, soodvetno.

Odgovor: ________________________________

5. Presmetaj ja plo{tinata na eden ~etiriagolnik so normalni dijagonali, ako negovite di-jagonali imaat dolìni d1 = 7 cm i d2 = 11 cm.

Odgovor: ________________________________

104

20. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK 1. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo ramnostran triagolnik e r = 2,5 cm. Presmetaj gi pe-

rimetarot i plo{tinata na triagolnikot. Odgovor: _________________________________

2. Stranata na pravilen {estagolnik e 3,4 cm. Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na {estagolnikot.

Odgovor: _________________________________ 3. Stranata na eden pravilen osumagolnik e a = 2 cm. Da se presmeta plo{tinata na osuma-

golnikot, ako se znae deka radiusot na vpi{anata kru`nicata ima dolìna 21r cm.

Odgovor: _________________________________ 4. Okolu kru`nica so radius r opi{ani se ramnostran triagolnik, kvadrat i pravilen

{estagolnik. Koj od opi{anite mnoguagolnici ima najgolema, a koj najmala plo{tina?

Odgovor: _________________________________

5. Okolu kru`nica so radius 3 cm opi{an e petagolnik so perimetar 32 cm. Presmetaj ja plo{tinata na petagolnikot.

Odgovor: _________________________________

105

21. DOL@INA NA KRU@NICA 1. Presmetaj ja dolìnata na edna kru`nica so radius r = 3,14 cm. Odgovor: ________________________________

2. Okolu kvadrat so dijagonala d = 4,6 cm opi{ana e kru`nica. Presmetaj ja dolìnata na taa kru`nica.

Odgovor: ________________________________ 3. Trkalata na eden avtomobil imaat dijametar 0,6 m. Kolku zavrtuvawa }e napravi ednoto

trkalo otkako avtomobilot }e izmine pat dolg 17 km?

Odgovor: ________________________________

4. Edna trka~ka pateka ima radius 350 m. Eden motociklist taa kru`na pateka ja obikoluva 6 pati za 11 minuti. Presmetaj ja brzinata na motociklistot vo:

a) metri vo sekunda, b) kilometri na ~as.

Odgovor: ________________________________

5. Eden kruèn stolb moè da se namota to~no 4 pati so edno jaè ~ija dolìna e 5 m. Pres-metaj go radiusot na stolbot.

Odgovor: ________________________________

106

22. DOL@INA NA KRU@EN LAK 1. Presmetaj ja dolìnata na kruèn lak od kru`nicata so radius r = 6,8 cm, {to odgovara

na centralen agol od 75O. Odgovor: _________________________________

2. Eden kruèn obra~ so radius r = 0,7 m e prese~en i od nego e napraven kruèn lak {to od-govara na kru`nica so radius 0,9 m. Presmetaj go centralniot agol {to odgovara na toj kruèn lak.

Odgovor: _________________________________

3. Pri vrteweto na Zemjata okolu svojata oska, kolkav pat izminuva sekoja to~ka od ekvato-rot za vreme od:

a) 1 ~as, b) 1 minuta, v) 1 sekunda? (Radiusot na Zemjata e 6370 km.) Odgovor: _________________________________ 4. Ohrid i Belgrad se nao|aat pribli`no na ist meridijan. Presmetaj ja nivnata me|usebna

oddale~enost, ako e poznato deka geografskata {irina na Ohrid e 1 = 41O7’, a na Belgrad

e 2 = 44O48’. (Radiusot na Zemjata e 6370 km.)

Odgovor: _________________________________

5. Eden gumen kai{ opfa}a tri kru`nici so radiusi 1 cm koi me|usebno se dopiraat (vidi go crteòt). Presmetaj ja dolìnata na kai{ot.

Odgovor: _____________________________________

107

23. PLO[TINA NA KRUG 1. Presmetaj ja plo{tinata na eden kruèn bazen, ako perimetarot na bazenot e 100 m.

Odgovor: ________________________________ 2. Kvadrat so strana 15,7 cm i eden krug imaat pribli`no ednakvi perimetri. Koja od tie

dve figuri ima pogolema plo{tina i za kolku?

Odgovor: ________________________________

3. Zemjotresot se {iri so brzina od 800 m/s. Presmetaj kolkava povr{ina moè da zafati zemjotresot po 5 sekundi od negoviot po~etok?

Odgovor: ________________________________

4. Edna {uma ima forma na krug so radius 2 km. Drvjata vo {umata se rasporedeni pribli`-no po 3 drva na sekoi 10 m2. Presmetaj go pribli`no brojot na drvata vo taa {uma.

Odgovor: ________________________________ 5. Edna kru`na sala so radius r = 10 m e poplo~ena so plo~ki vo forma na pravilen {esta-

golnik. Kolku plo~ki pribli`no se koristeni za poplo~uvawe, ako stranata na sekoja plo~ka iznesuva 10 cm ?

Odgovor: ________________________________

108

24. PLO[TINA NA KRU@EN ISEÔK I KRU@EN PRSTEN 1. Plo{tina na eden krug e P = 140 cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na kruèn ise~ok, {to mu

odgovara na centralen agol od 70O. Odgovor: _________________________________

2. Perimetarot na eden krug e L = 25,2 cm, a dolìnata na lakot na eden kruèn ise~ok od nego e l = 8,4 cm. Odredi go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok.

Odgovor: _________________________________ 3. Dve koncentri~ni kru`nici imaat dolìni L1 = 9,42 dm i L2 = 6,28 dm. Presmetaj ja plo{-

tinata i {irinata na kru`niot prsten, {to tie go obrazuvaat.

Odgovor: _________________________________

4. êtiri kru`nici so ednakvi radiusi r = 2,8 cm se dopiraat edna so druga odnadvor. Pres-metaj ja plo{tinata na delot od ramninata me|u niv. Napravi crte`.

Odgovor: _________________________________ 5. Presmetaj go radiusot na kru`nicata, koja razdeluva daden krug so radius r na dve ednak-

voplo{ni figuri – kruèn prsten i krug.

Odgovor: _________________________________

109

25. DIJAGRAMI 1. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so zelen~uk, 2,6 dekari so ovo{je, a 3,5 dekari posadil

so ìtarici. Ovie podatoci pretstavi gi so: a) stolbest dijagram, b) sektoren dijagram. 2. Podatocite od sektorniot dijagram pretstavi gi so stolbest dijagram. 3. Vo edna fabrika vo poslednite 5 godini se proizvedeni slednite koli~estva na hrana:

1997 1998 1999 2000 2001

1600 toni 1750 toni 1870 toni 1720 toni 1690 toni Ovie podatoci pretstavi gi so dijagram. Koj dijagram }e go izbere{? 4. Na eden natprevar na koj u~estvuvale 163 sportisti dodeleni se 5 zlatni, 16 srebreni i 40

bronzeni medali. Pretstavi gi ovie podatoci so sektoren dijagram. Na kolku delovi }e go podeli{ krugot?

5. Edna fabrika ima proizvedeno 105 proizvodi. 9% od proizvodite se so lo{ kvalitet, 53% se so zadovoluva~ki kvalitet, a ostanatite proizvodi se so prvoklasen kvalitet. Pret-stavi gi ovie podatoci so sektoren i stolbest dijagram.

110

26. POPULACIJA. PRIMEROK 1. Od 25600 proizvodi vo edna fabrika na proizvolen na~in se izbrani 100 proizvodi. Se

pokaàlo deka 9 proizvodi se neispravni. Kolku neispravni proizvodi se pretpostavuva deka ima me|u vkupniot broj na proizvodi?

Odgovor: _________________________________ 2. Od eden ribnik koj ima okolu 1200 ribi, na proizvolen na~in izvle~eni se 25 ribi. Se po-

kaàlo deka 60 % od ribite teàt pomalku od 500 grama. Kolkav e pribli`no brojot na ribi koi se pote{ki od 500 grama?

Odgovor: _________________________________

3. Na proizvolen na~in se izbrani 1000 rabotosposobni lica i ustanoveno e deka 8,5 % se nevraboteni. Na kolku se procenuva brojot na nevraboteni gra|ani vo taa dràva, ako se znae deka vo nea ìveat 3.500.000 rabotosposobni gra|ani?

Odgovor: _________________________________ 4. Na 25 prodadeni vozila vo edna prodavnica, vo garantniot rok se prijaveni 3 reklamacii.

Kolku reklamacii se o~ekuvaat da pristignat na 156 vozila koi gi nara~ala prodavnica-ta?

Odgovor: _________________________________ 5. Po is~eznuvaweto na epidemijata na grip, anketirani se proizvolno izbrani 160 gra|ani.

Od niv 73 odgovorile deka bile zaboleni od gripot. Na kolku se procenuva brojot na ì-teli koi bile zaboleni od grip vo toj grad, ako se znae deka vo nego ìveat 850 000 ìte-li?

Odgovor: _________________________________

111

TEST - 1 1. Neka ABCDE e pravilen petagolnik, a ta tangenta na opi{anata kru`nica okolu

petagolnikot. Agolot pome|u ta i AB e ednakov na _____________________________________

2. Proizvolen pravilen n – agolnik ima _______________ oski na simetrija.

3. Dve figuri koi imaat ednakvi plo{tini se vikaat ___________________________________

4. [irinata (R - r) na eden kruèn prsten e 1 cm, a negovata plo{tina e 5 cm 2. Radiusite na

dvete koncentri~ni kru`nici se ____________________________________________________

5. Dali postoi pravilen n – agolnik so nadvore{en agol 37O? Odgovor: ___________________________ , bidej}i ______________________________________ 6. Obem na populacija e ______________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

112

7. Konstruiraj otse~ka so dolìna 13 , ako e dadena edini~na dolìna 1.

8. Presmetaj ja plo{tinata na eden triagolnik, ako dve negovi strani imaat dolìni 3 cm i

6 cm, a agolot me|u niv e 60O.

Odgovor: _________________________________ 9. Daden e krug so centar vo O i radius 6 cm. Presmetaj go radiusot na krug so centar vo

istata to~ka O, takov {to, plo{tinata na kru`niot prsten e 8 pati pogolema od plo{ti-nata na toj krug.

Odgovor: _________________________________ 10. Konstruiraj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo to~kata C, ako se poznati ot-

se~kite c1 i c2 na koi viso~inata spu{tena od praviot agol ja razdeluva hipotenuzata.

113

TEST - 2 1. Neka ABCDEF e pravilen {estagolnik so centar vo to~kata O. Goleminata na agolot

BAD e ______________________________ .

2. Neka aglite na eden tetiven ~etiriagolnik se 60O, 80O, 100O, 120O. Toga{ eden moèn

posledovatelen redosled na goleminite na negovite agli e ____________________________

3. Perimetarot na eden deltoid iznesuva 30 cm, a radiusot na vpi{anata kru`nica e 1,5 cm.

Plo{tinata na deltoidot e _________________________________________________________

4. Dolìnata na kruèn lak {to odgovara na centralen agol i radius r e ednakva na _____

___________________________________________________________________________________

5. Plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 2 cm iznesuva _________________________ 6. Ako od edno ezero na proizvolen na~in odbereme 100 ribi, toga{ ovie ribi pretstavuva-

at ________________________, a mnoèstvoto na site ribi vo ezeroto e __________________

114

7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 10 cm se dopiraat odnadvor. Presmetaj ja dolìnata na nivnata zaedni~ka tangenta, {to e zaklu~ena me|u to~kite na dopir.

Odgovor: _________________________________ 8. Edna kru`na sala so dijametar 15 m pokriena e so parket. Dimenziite na edno par~e par-

ket se 4 cm h 22 cm. Kolku takvi par~iwa pribli`no se potrebni za pokrivawe na salata?

Odgovor: _________________________________

9. Vo dadenata kru`nica vpi{i deltoid, a potoa vo deltoidot vpi{i kru`nica.

10. Vo eden grad ima okolu 20 000 priklu~oci na fiksnata telefonija. Za da se izvr{i anke-ta po telefon, eden slu`benik dobil zada~a da se javi po telefon na site pretplatnici ~ii broevi zavr{uvaat na 25 ili na 34. Kolku telefonski javuvawa pribli`no treba da napravi slu`benikot?

Odgovor: _________________________________

115

TEST - 3 1. Site periferni agli vo edna kru`nica {to se nad ist kruèn lak se ___________________ 2. Zbirot na site nadvore{ni agli vo eden konveksen n – agolnik iznesuva ________________ 3. Kako }e se promeni plo{tinata na eden triagolnik, ako negovata osnova se namali 6

pati, a viso~inata se nagolemi 2 pati. Odgovor : _____________________________________________________________________________ 4. Kako }e se promeni plo{tinata na eden krug ako negoviot radius se zgolemi 3 pati? Odgovor : _____________________________________________________________________________

5. Viso~inata na eden ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ____________________ 6. Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c e dadena so __________________________ , kade

___________________________________________________________________________________

116

7. Dve kru`nici so radiusi 6 cm i 8 cm se se~at, pri {to tangentata na ednata kru`nica vo edna od prese~nite to~ki minuva niz centarot na drugata kru`nica. Presmetaj go rastoja-nieto me|u centrite na dvete kru`nici.

Odgovor: _________________________________ 8. Presmetaj ja plo{tinata na eden deltoid, ako dvete pomali strani zafa}aat agol od 60O i

imaat dolìna 3 cm, a podolgata dijagonala ima dolìna 8 cm.

Odgovor: _________________________________ 9. Od kruèn lak od edna kru`nica so radius 20 cm {to odgovara na centralen agol od 72O

napravena e kru`nica. Kolkava e plo{tinata na taka dobienata kru`nica?

Odgovor: _________________________________

10. êtiri agli na eden petagolnik se ednakvi na 110O, 111O, 112O, 113O. Najdi go pettiot agol na petagolnikot.

Odgovor: _________________________________

117

TEST - 4 1. Neka radiusite na OA i OB na kru`nicata k (O,r) zafa}aat agol . Toga{ agolot pome|u

tangentite ta i tb na kru`nicata k vo to~kite A i B e __________________________________

2. Pravilen mnoguagolnik e takov mnoguagolnik na koj __________________________________

___________________________________________________________________________________

3. Plo{tinata na eden ramnokrak trapez so normalni dijagonali so dolìni 8 cm iznesuva

___________________________________________________________________________________

4. Dolìnata na kruèn lak iznesuva 4,5 cm, a radiusot na kru`nicata e 6 cm. Plo{tinata

na soodvetniot kruèn ise~ok e _____________________________________________________

5. Eden pravilen n – agolnik ima neparen broj oski na simetrija. Dali toj e centralno

simetri~en? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 6. Nabroj gi vidovite dijagrami koi gi poznava{:

___________________________________________________________________________________

118

7. Neka triagolnikot ABC e pravoagolen so prav agol vo temeto C. Nad stranite AB, BC i CA od nadvore{nata strana na triagolnikot nacrtani se polukrugovi so dijametri AB, BC i CA. Dokaì deka PAB = PAC + PBC, kade PAB e plo{tina na polukrugot so dijametar AB itn.

8. Najdi ja plo{tinata na eden paralelogram so strani 6 cm i 2 cm, ako agolot me|u osnovite e ednakov na 60O.

Odgovor: _________________________________

9. Plo{tinata na kruèn ise~ok {to odgovara na centralen agol od 130O e 25 cm2. Presme-taj go radiusot na kru`nicata.

Odgovor: _________________________________ 10. Neka ABCDE e pravilen petagolnik. Presmetaj gi aglite na triagolnikot ACD.

Odgovor: _________________________________

119

TEST - 5

1. Centralen agol {to odgovara na 8

5 od kru`nicata iznesuva ___________________________

2. Neka dolìnite na stranite na eden ~etiriagolnik se 6 cm, 7 cm, 9 cm i 4 cm. Toga{ eden

moèn posledovatelen redosled na dolìnite na negovite strani e _______________________

3. Radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravilen {estagolnik so strana 6 cm iznesuva

___________________________________________________________________________________

4. Kako }e se promeni dolìnata na eden kruèn lak, ako centralniot agol se namali 9 pa-

ti, a radiusot se zgolemi 3 pati? Odgovor: _____________________________________________________________________________ 5. Dijagonalata na eden pravoagolnik iznesuva 10 cm, a ednata strana e dolga 8 cm. Drugata

strana ima dolìna ________________________________________________________________

6. Obem na primerokot e ______________________________________________________________

120

7. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolnik ako edna negova strana ima dolìna 21 cm, a dijagonalata ima dolìna 29 cm.

Odgovor: _________________________________ 8. Dolìnata na edna kru`nica e za 5 cm podolga od nejziniot dijametar. Presmetaj ja plo{-

tinata na krugot. Odgovor: _________________________________ 9. Najdi go vkupniot broj dijagonali vo konveksen mnoguagolnik so: a) 7 strani, b) 9 strani.

Odgovor: _________________________________ 10. Eden zemjodelec posadil 3 dekari so lozje, 2 dekari so praski i 2,5 dekari so kajsii.

Pretstavi go toa so sektoren dijagram.

121

TEST - 6 1. Goleminata na eden centralen agol e 146O. Soodvetniot periferen agol e ______________

2. Brojot na site dijagonali vo eden n – agolnik iznesuva ________________________________ 3. Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana 4 cm iznesuva ________________________

4. Ako dolìnata na kruèn lak e l, a soodvetniot centralen agol e , toga{ radiusot na

kru`nicata iznesuva ______________________________

5. Dijagonalite na eden romb imaat dolìni 6 cm i 8 cm. Stranata na rombot iznesuva

__________________________

6. Plo{tinata na eden mnoguagolnik so perimetar L, vo koj moè da se vpi{e kru`nica so

radius r, e ednakva na _______________________________________________________________

122

7. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 2 cm i 10 cm, a krakot ima dolì-na 5 cm.

Odgovor: _________________________________ 8. Eden kai{ povrzuva tri kruga so centri vo to~kite A, B i C so radius 1 cm. Presmetaj ja

dolìnata na kai{ot ako se znae deka AB = 3 cm, BC = 4 cm i CA = 5 cm.

Odgovor: _________________________________ 9. Vo deltoid eden od vnatre{nite agli obrazuvan od neednakvi strani e 40O. Odredi gi dru-

gite agli, ako deltoidot e tetiven. Odgovor: _________________________________ 10. Tri posledovatelni strani na eden tangenten ~etiriagolnik imaat dolìni 5 cm, 10 cm, 8

cm. Najdi ja dolìnata na ~etvrtata strana.

Odgovor: _________________________________

123

Tema 4 FUNKCIJA.

PROPORCIONALNOST.

1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA

1. Vo podredeniot par ),( yx , prva komponenta e _________ , a vtora komponenta e _________ .

2. Zapi{i gi site podredeni parovi koi moàt da se formiraat od elementite na mnoèst-

voto 6,4,2A

Odgovor: ____________________________________________________________________________ 3. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta mu pripa|a na mnoèstvoto

6,5,2A , a vtora komponenta na mnoèstvoto ba,B .

Odgovor: ____________________________________________________________________________ 4. Pretstavi gi so graf podredenite parovi: a) (4,5); b) (6,2); v) (3,3). Odgovor:

5. Dadeni se mnoèstvata 7,5,3A i 4,2B . Zapi{i go tabelarno i pretstavi go so graf

mnoèstvoto:

a) BA b)

124

6. Dadeni se mnoèstvata ba,A i 5,4,3B . Pretstavi go: tabelarno i so koordinantna

{ema mnoèstvoto AB Re{enie:

a) AB b)

7. Dadeno e mnoèstvoto NxxA i 74 x . Pretstavi go na a) tabelaren na~in i b) so

graf mnoèstvoto 2AAA Re{enie:

a) 2A b)

8. Dadeno e mnoèstvoto )9,5(),8,2(),4,3(),4,2(),4,5(),8,3(BA . Zapi{i gi tabelarno mno-

èstvata:

A B

9. Dadeni se mnoèstvata 5,3,1M i 4,2B . Formiraj gi mnoèstvata BA i AB i

obrazloì zo{to ABBA Re{enie:

a) BA b) AB

v) ABBA bidej}i ... __________________________________________________________

10. Dadeni se mnoèstvata 2,1,0A , 3,2B i 5,4C . Pokaì deka e to~no slednovo

ravenstvo: C)(BC)(ACB)(A

125

2. PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM

1. Na brojnata oska odredi ja mestopolo`bata na to~kite: )5,2(A ,

4

31B ; )3(C ; )0(0 .

Odgovor:

2. Odredi go rastojanieto na to~kata M

od pravite Ox i Oy na crteòt.

Odgovor: To~kata M:

od Ox e oddale~ena _____ edinici.

od Oy e oddale~ena _____ edinici.

3. Odredi gi apscisata i ordinatata na

to~kata )5,2;2

1(A

Odgovor:

apscisa e: ___________________________

ordinata e: _________________________

4. Vo koj kvadrant se nao|aat

to~kite NT,M, i K , crte` 2.

Odgovor:

M se nao|a vo ___________________

T se nao|a vo ____________________

N se nao|a vo ___________________

K se nao|a vo ___________________

5. Zapi{i gi koordinatite na

to~kite NT,M, i K , crte` 2.

Odgovor:

M ( , ); T ( , ); N ( , ); K (

, ).

6. Vo pravoagolniot koordinaten sistem pretstavi gi to~kite:

3,2)A( ; )4,1(B ; )3;3(C ;

)2;0(D ; )0;1(E

126

7. Vo pravoagolen koordinaten sistem

pretstavi ja otse~kata AB , ako:

)1;2(A i )4;3(B

8. Vo pravoagolen koordinaten sistem

pretstavi go triagolnikot ABC, ako

)2;1(A )2;1(B i )3,3(C

9. Vo pravoagolen koordinaten

sistem dadeni se koordinatite

na to~kite )2;4(A i )3;2(D .

Konstruiraj go trapezot ABCD ,

na koj temiwata B i C se

simetri~ni so A i D soodvetno vo odnos na koordinatnite oski.

10. Odredi gi koordinatite na

temiwata na kvadrat na koj

ednoto teme e to~kata )2;1(A ,

dve po dve strani mu se paralel-ni so koordinantnite oski i stranata mu e dolga 4 edinici.

127

3. RELACIJA. SVOJSTVA NA RELACIITE 1. Ako A i B se neprazni mnoèstva, sekoe podmnoèstvo od Dekartoviot proizvod BA se

vika_______________________ od A vo B .

2. Vo mnoèstvoto M so graf zadadena e relacijata R . Zapi{i ja tabelarno relacijata R .

Odgovor: R = ______________________________________________

3. Vo mnoèstvoto 8,7,6,5,4,3,2,1A zadadena e relacijata R “...... e za dva pogolemo od ..... “.

Pretstavi ja relacijata : a) na tabelaren na~in; b) na opisen na~in.

Odgovor: a) R = _______________________ b) R = _______________________

4. Od mnoèstvoto 10,8,6,4,2A kon mnoèstvoto 5,4,3,2,1B dadena e relacijata:

R ”..... e dva pati pomal od ..... “.

a) Relacijata R pretstavi ja so graf;

b) Grafikonot na relacijata R zapi{i go na tabelaren na~in. Odgovor: a) b) R = _______________________ 5. Spored grafovite na relaciite :

),(),,(),,(),,(),,(R1 cccabbbaaa i )3,2)(2,3)(3,1)(1,3)(1,1)(1,2(),2,1(R2 ,

opredeli koja od niv e refleksivna, a koja e simetri~na.

Odgovor: a) 1R e ______________________; b) 2R e ______________________.

128

6. Koja od relaciite vo mnoèstvoto A e antisimetri~na, a koja tranzitivna. Odgovor: a) tranzitivni relacii se: ________; b) antisimetri~ni relacii se: ________;

7. Vo grafot na relaciite docrtaj u{te edna strelka za da bidat relaciite:

1R refleskivna, 2R simetri~na, 3R antisimetri~na, 4R tranzitivna.

8. Vo mnoèstvoto cba ,,A dadena e relacijata ..":"..R

a) pretstavi ja relacijata so graf b) utvrdi dali ovaa relacija e za ekvivalentnost (obrazloì go odgovorot) Odgovor: a) b)

Relacijata _____________________________________,

bidej}i ________________________________________

9. Vo mnoèstvoto 6,4,2M e dadena relacijata ":"R

a) pretstavija relacijata tabelarno; b) utvrdi dali ovaa relacija e za podreduvawe (obrazloì go odgovorot). Odgovor: a) b) Relacijata _____________________________________,

bidej}i ________________________________________

10. Vo mnoèstvoto 8,6,4,2M dadeni se relaciite 1R 2R i 3R so svoite grafovi. Utvrdi

koja relacija e za ekvivalentnost, a koja za podreduvawe: yxyxyx ,M,),(R1 ,

M,)(,(R2 yxyx x e delitel na y , yxyxyx ,M,)(,(R3

Odgovor: a) relacija za ekvivalentnost e ___________

b) relacija za podreduvawe e ___________

129

4. FUNKCIJA. VIDOVI FUNKCII. 1. Na crteòt so graf dadeni se tri relacii. Opredeli: a) koja od tie relacii e funkcija; b) domenot i kodomenot na funkcijata. Odgovor: a) Funkcija e _______ ; b) Domen e mnoèstvo _______ ; v) Kodomen e mnoèstvo _______ . 2. Kaj funkcijata BA: f , simbolot Ax se vika ___________, a y ili B(x)f se vika

___________.

3. Funkcijata BA: f se vika injekcija, ako i samo ako sekoi dva _______________________

od A imaat _____________________ vo V. 4. Zaokruì ja bukvata pred to~niot odgovor: mnoèstvoto A e ekvivalentno na

mnoèstvoto V (AB), samo toga{ koga postoi barem edna:

a) biekcija od BA ; b) surjekcija od BA ; v) injekcija BA

5. Neka se dadeni mnoèstvata 4,3,2,1A i cba ..B .

Preslikuvaweto ),4(),,2(),,3(),,1( ccbaf e surjekcija,

dodeka preslikuvaweto ),4(),,3(),,2(),,1(q baba ne e surjekcija.

Zo{to? (Obrazloì) Odgovor:

6. Funkcijata f e zadadena so grafikonot:

)5,2(),4,1(),3,0(),2,1(),1,2(),0,3( f . Opredeli gi :

a) domenot na f ; b) kodomenot na f .

Odgovor:

a) D = ____________________ ; b) B = ____________________ ;

130

7. Od mnoèstvoto 7,6,5A , kon mnoèstvoto 16,14,13,12,10B zadadena e funkcijata

:"...f e delitel na ..." .

Opredeli: a) )6(),5( ff i )7(f ; b) mnoèstvoto na vrednosti na funkcijata, unija 8,7 .

Odgovor: a) )5(f = __________ ; )6(f = __________ ; )7(f = __________ ; b) 8,7V = __________

8. Od mnoèstvoto NxxA i 8x kon mnoèstvoto cba ,,B dadeno e preslikuvawe-

to :"...f ako x e prost broj, toga{ ax , ako x e sloèn broj, toga{ bx , ako x ne e ni

prost ni sloèn broj, toga{ cx . Preslikuvaweto treba da se pretstavi so graf, a po-

toa da se opredeli vidot na preslikuvaweto.

9. Od mnoèstvoto BA dadeno e surjektivno preslikuvawe ),5(),,7(),,3(),,1(: xyyxf . Da

se opredelat domenot i kodomenot na preslikuvaweto. Odgovor: Domen e mnoèstvoto _______________ , a kodomenot e mnoèstvoto _____________ .

10. Sekoja to~ka ),K( yx od koordinatnata ramnina se preslikuva vo to~ka ),('K xy .

Pri toa preslikuvawe, vo koja to~ka }e se preslika sekoja od to~kite:

)0,5(D);2,0(C);4,3(B);3,1(A .

a) Napravi crteì: b) Od koj vid e toa preslikuvawe. Odgovor: a) b)

131

5. ZADAVAWE NA FUNKCII

1. Zadadeni se funkciite: ),4)(,3)(,2)(,1( acbaf ),3)(,2)(,1( cbaq i ),4)(,3)(,2)(,1( cacbh .

Koi od ovie funkcii se ednakvi: Odgovor: Ednakvi se funkciite _______________________________________________________

2. Za edna funkcija BA: f velime deka e zadadena, ako se poznati:

__________________________________________________________________________________ 3. Traktor pri orawe pominuva prese~no po 4,5 km na ~as. Izrazi ja zavisnosta pome|u po-

minatiot pat i potro{enoto vreme: Odgovor:

4. Grafikot na funkcijata e )1,2(),4,5(),1,3(),0,2(),1,1( f .

Pretstavi ja funkcijata so tablica. Odgovor:

x

f(x)

5. Dnevnata temperatura vo edno mesto se meri sekoi 3 ~asa i e dobiena slednata tablica.

~as 6 9 12 15 18 21 24

tem -6 -2 8 6 2 0 -4

Od tablicata odredi:

a) )24()18();9( fff . b) vo kolku ~asot temperaturata bila najvisoka

Odgovor: a) )9(f _______________; )18(f _______________; )24(f _______________;

b) Temperaturata bila najvisoka vo _________ ~asot.

6. Grafikot na edna funkcija e )1,0(),3,2(),1,1)(3,1(),5,2( f .

Pretstavi ja funkcijata )(xf : a) tabelarno , b) grafi~ki.

Re{enie: a) b)

x

f(x)

132

7. Zapi{i ja analiti~ki funkcijata definirana vo mnoèstvoto Z so koja e izrazeno:

“sekoj argument x e za tri pogolem od vrednosta na funkcijata”.

Odgovor: )(xf ___________________________

8. Pretstavi ja tabelarno i grafi~ki funkcija-

ta ZA: f 2)( xxf , ako definicionata

oblast na funkcijata e mnoèstvoto

2;1;0;1;2;3A

x

f(x)

9. Dadena e funkcijata 1:)ZA(: xxq . Opredeli go mnoèstvoto podredeni parovi

qyx ),( , ako 4;2;0;1;3;5A

Odgovor: q _____________________________

10. Funkcijata h e zadadena so tablica.

x -2 -1 0 1 2

h(x) 5 3 1 -1 -3

Pretstavi ja grafi~ki.

133

6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA 1. Koi od slednive koli~nici se razmeri

a) 7 : 9; b) 5

4:

4

3; v) 9 m : 5 km ; g) 0,7 : 2 kg ; d) gg

2

1:1,0 .

Odgovor: Razmeri se: __________________________________________________________________

2. Zapi{i go obratniot razmer na razmerot y

x.

Odgovor: Obratniot razmer e: _________________________________________________________ 3. Napi{i gi to~no slednite odnosi:

a) 64 km : 8 m; b) 5 ~asa : 2 min; v) 1,2m2:4dm

2.

Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 4. Slednive razmeri pretstavi gi so celi broevi:

a) 0,6 : 0,7; b) 4

1:

3

2; v) 4,0:

4

38 .

Re{enie: Odgovor: a) _____________ b)_______________ v)_________________ 5. Presmetaj go nepoznatiot ~len na razmerot:

a) 6:72 b) 5

11

4

12: x

Odgovor:

a) x = _____________ ; b) x =_______________ .

134

6. Sostavi proporcija od slednive ravenstva na proizvodite:

a) 12503020 b) 56,142

Odgovor: a) 20 : 50 = b) 2 : 1,6 =

7. Kolku treba da iznesuva x vo ravenstvoto: 20:9:5,4 x

Odgovor: x = _____________ ; 8. Presmetaj go x vo slednata proporcija: 21:42)2(:18 x

Odgovor:

x = _____________ ; 9. Vo edno u~ili{te brojot na ma{kite sprema brojot na ènskite u~enici se odnesuva

kako 4 : 5. Opredeli kolku bile ma{ki, a kolku ènski u~enici, ako vo u~ili{teto ima-lo vkupno 990 u~enici.

Re{enie: Odgovor: ma{ki u~enici bile __________________

ènski u~enici bile _________________

10. Opredeli gi vnatre{nite agli na triagolnikot, ako nivnite golemini se odnesuvaat ka-

ko 3 : 4 : 5. Re{enie:

Odgovor:

135

7. PRAVA PROPORCIONALNOST

1. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 3

2.

Zapi{i ja zavisnosta so formula. Odgovor:

2. Ako elementot x od mnoèstvoto A (domen) se preslikuva vo elementot y od mnoèst-

voto B (kodomen) po formulata kxy , toga{ zavisnosta me|u tie dve veli~ini e________

__________________________________________________________________________________ 3. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y se dadeni so podredenite parovi: (2,8),

(3,12), (5,20). Odredi go koeficientot na proporcionalnosta:

Odgovor: ______k _________

4. Eden avtobus se dviì so 75 km na ~as. Kolkav pat }e pomine za t ~asa.

Odgovor: Za t ~asa }e pomine_______ km.

5. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4k .

Opredeli go mnoèstvoto na vrednosta y , ako 5,4,0,1,2,3 x .

Re{enie:

Odgovor: y

6. Opredeli koi od veli~inite dadeni so tablicata se pravoproporcionalni. a) b) v)

x 3 6 9 12 x 4 8 12 16 x 9 12 15 18

y 5 10 15 20 y 6 12 8 4 y 3 4 5 6

Odgovor: Pravoproporcionalni veli~ini se: __________________________________________

136

7. Popolni ja tablicata, ako veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na

porcionalnosta 4,0k .

x 0.5 1,25 2

11

8

1 2

y

8. Popolni ja tablicata, ako e poznato deka veli~inite x i y se pravoproporcionalni:

x -3 -2 5 8

y -10 10 25 50

9. Pretstavi ja grafi~ki pravata proporcionalnost xy 2

x -2 -1 0 1 2 3

y

10. Koeficientot na pravoproporciolanost e 2

12 .

Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik

x -4 -2 0 2 4

y

137

8. OBRATNA PROPORCIONALNOST

1. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni. Zapi{i ja taa zavisnost so formula ako ko-eficientot na proporcionalnost e 5.

Odgovor: 2. So koja od slednite formuli e pretstavena obratnata proporcionalnost.

a) x

y2

; b) xy4

3 ; v)

xy

12

Odgovor: Obratnoproporcionalni se: _________________.

3. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost 2

1k .

Odredi ja vrednosta na y , ako 6,0x

Odgovor: _________y

4. Veli~inite x i y se obratnoproporcionalni so koeficient na proporcionalnosta 5

2.

Odredi ja vrednosta x ako 4,0y .

Odgovor: _______x _____

5. Odnosot na dve proizvolni vrednosti od domenot e ednakov na obratniot odnos na : __________________________________________________________________________________ 6. Veli~inite x i y se obratno proporcionalni so koeficient na proporcionalnost 4.

Sostavi tablica za ovie veli~ini ako 5,2,1,0,1,2,5 x .

Re{enie:

x -5 -2 -1 0 1 2 5

y

138

7. Ako x i y se obratnoproporcionalni veli~ini. Popolni ja tablicata otkako }e go od-

redi{ koeficientot na proporcionalnosta.

Re{enie: k = _____________________

x 4 6 8 24

y 8 4

8. Veli~inite x i y zadadeni so tablicata se obratnoproporcionalni. Od tablicata opre-deli go koeficientot na proporcionalnost i zapi{i ja formulata so koja e izrazena za-visnosta me|u x i y .

x 24 12 6 3

y 2 1 2

1

4

1

Odgovor: a) ______k b) y =

9. Popolni ja tablicata i nacrtaj go grafot na funkcijata x

y4

x 1 2 2

1 -

2

1 -1 -2 -4 4

y

10. Nacrtaj go grafikot na funkcijata x

y8

x

y

139

9. PROSTO TROJNO PRAVILO

1. Za {iewe na 12 ma{ki kostumi upotrebeno e 36 m {tof. Kolku metri e potrebno za {ie-we na 16 takvi kostumi.

Odgovor: Potrebni se _________ metri {tof.

2. Od 0,5 toni sveì jabolka se dobivaat 95 kg suvi jabolka. Kolku kilogrami suvi jabolka }e se dobijat od 2,1 ton sveì jabolka.

Odgovor: ]e se dobijat _________ jabolka.

3. Edna pumpa za voda dava 72 m3 voda za 4 ~asa i 12 minnuti. Za kolku vreme pumpata }e dade

2143 m3voda. Odgovor: Za vreme od ____________ 4. 24 kravi se hranat so nekoja hrana 6 dena. Kolku dolgo }e se hranat so istata hrana 36

kravi? Odgovor: 36 kravi }e se hranat _________ dena.

5. Eden avtomobil na 120 km vozewe tro{i 9 litri benzin. Kolku benzin }e potro{i na pat

od 216 km? Odgovor: ]e potro{i _________ litri benzin.

140

6. Edno ni{alo pravi 67 oscilacii (ni{awa) vo edna minuta. Za kolku sekundi }e napravi 2278 oscilacii?

Odgovor: ]e napravi za ________ oscilacii ___________ minuti. 7. Eden traktor so tri pluga moè da izora 84 dekari zemja. Kolku dekari zemja }e izora

ako raboti so 4 pluga so ista brzina. Odgovor: ]e izora ________ dekari zemja. 8. Eden zap~enik so 30 zapci pravi 80 zavrtuvawa vo minuta. Kolku zapci ima drug zap~enik

koj e svrzan so nego, ako za isto vreme pravi 60 zavrtuvawa. Odgovor: Ima ________ zapci. 9. Edna rabota ja zapo~nale 33 rabotnici, i po planot bi ja zavr{ile za 80 dena. Me|utoa

posle 16 dena rabotewe, 9 rabotnici se premesteni na drugo gradili{te. Za kolku dena e zavr{ena rabotata.

Odgovor: Rabotata }e se zavr{i za ________ dena. 10. 32 rabotnika moàt da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se

zgolemil za 16. Za kolku dena }e se zavr{i istata rabota. Odgovor: Istata rabota }e se zavr{i za _______ dena.

141

10. RABOTA SO PODATOCI

1. Prose~nata temperatura vo tekot na edna nedela vo mesec januari iznesuva:

-9OC, -11,5

OC, -7,8

OC, -3,2

OC, 2

OC, 5,5

OC i 6

OC. Presmetaj ja srednata temperatura na

vozduhot vo taa nedela: Re{enie:

Odgovor: Srednata temperatura e: _____ OC

2. Odredi ja geometriskata sredina na broevite

a) 3 i 27 b) 36

5i

5

4

Odgovor: a) _______________ ; b) _______________. 3. Vo nizata (podatoci) broevi: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7 opredeli go modot. Odgovor: Mod _________

4. Dadena e nizata broevi 2; ;3

12 3; 3,5; 4; 5; 6. Opredeli go rangot.

Odgovor: Rang _________

5. Opredeli go rangot, modot i medijanata na podatoci. 2; ;4

36;

2

13 8; 8; 9; 9; 9; 12.

Odgovor: a) Rang ___________ ; b) Mod ___________ ; v) Medijana ___________

142

6. Vo edna kutija ima 15 beli, 25 crveni i 20 sini top~iwa. Koja e verojatnosta so edno izv-

lekuvawe da se izvle~e: belo, crveno ili sino top~e. Odgovor: belo: __________ ; crveno: __________ ; sino: __________ ; 7. Koja e verojatnosta na frlena kocka za igrawe da se pokaè brojot 6. Odgovor: _________ 8. Dali e mo`no? Ako na polno} vrne do`d, dali moème da se nadevame deka po 48 ~asa vre-

meto }e bide son~evo? Odgovor: _________ 9. Da se dokaè deka me|u 367 lu|e sekoga{ ima barem dvajca {to imaat zaedni~ki roden-

den? Odgovor: __________ 10. Dadeni se pet proizvolni prirodni broevi. Dokaì deka pome|u niv postojat barem dva,

taka {to nivnata razlika e deliva so 4. Odgovor: ___________

143

TEST - 1

1. Mnoèstvo R od podredenite parovi na relacijata R, }e go vikame ____________________ 2. Ako razli~ni elementi od mnoèstvoto A se preslikuvaat vo razli~ni elementi od mno-

èstvoto B t.e. 21 xx , toga{ e )()( 21 xfxf preslikuvaweto BA: f velime deka e

__________________________ ili _______________________ preslikuvame.

3. Razmerite 24 : 6 i 16 : x se ednakvi za x = _____________________________________________

4. Daden e grafikot na funkcijata )6,3)(4,2();2,1();0,0();2,1( f .

Nejziniot analiti~ki zapis e: )(xf _______________________________

5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se obratnoproporcionalni veli~ini:

x 2 3 6

y 12 4

6. Presmetaj ja geometriskata sredina za broevite 8 i 18.

Re{enie: Odgovor: Geometriskata sredina e brojot ____________ .

7. Dadeno e mnoèstvoto 5,3,1A . Zapi{i go so graf i tabelarno mnoèstvoto A2.

Odgovor: a) b)

2A

144

8. Presekot na dijagonalite na kvadratot leì vo koordinatniot po~etok. Temeto A ima koordi-nati (-4,-4). Opredeli gi koordinatite na osta-natite tri temiwa na kvadratot.

9. Vo eden den dvièweto na temperaturata na vozduhot bilo zapi{ano so sledniov grafik.

~as 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

temp. OC

Koristej}i go grafikot popolni ja tablicata, a potoa opredeli ja najniskata i najvisoka-ta temperatura na denot:

Odgovor: b) temperaturata bila najvisoka vo _______ ~asot, a najniska vo _______ ~asot. 10. Masata na èlezoto od 120 m

3 e 93,6 g. Kolkava e masata na èlezoto od 20 cm

3?

Re{enie: Odgovor: Masata na èlezoto od 20 cm

3 e ________ g.

145

TEST - 2

1. Mnoèstvoto od podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto A, a

vtorata od B se vika __________________ na mnoèstvoto A i B i se ozna~uva so _________.

2. Vrednostite na apscisata i ordinatata na edna to~ka so edno ime se vikaat _____________

na to~kata.

3. Izrazi ja so formula zavisnosta me|u stranite i perimetarot na kvadrat. Odgovor:

4. Kolku treba da iznesuva h vo ravenstvoto 3 : h = 6 : 8, za ravenstvoto da bide proporcija. Odgovor: h=_________ 5. Popolni ja tablicata vo koja x i y se pravoproporcionalni veli~ini so koeficient na

proporcionalnost 12k

Odgovor:

x 2 3 4

y

6. Opredeli go procentot na sol vo rastvor, ako vo 5 kg rastvor ima 250 g sol.

Re{enie: Odgovor: Vo rastvorot ima _________% sol.

7. Vo mnoèstvoto NxA x i 13x zadadena e relacijata A),(R xyx i y A i

12 yx

a) pretstavi ja relacijata tabelarno; b) koe svojstvo go ima ovaa relacija Re{enie: Odgovor: a) R = ______________________________________________________________

b) Relacijata R e ____________________________________________________

146

8. Vodostojot na rekata od 1 do 6 juni se menuva spored dadenata tablica. Nacrtaj go grafi-kot na vodostojot na rekata vo ovoj vremenski period.

Datum 1 2 3 4 5 6

Vodostoj 4 0 -2 -3 -5 -6

9. Veli~inite x i y vo dadenata tablica se obratnoproporcionalni. Odredi go koefici-

entot na proporcionalnosta, a potoa popolni ja tablicata. Odgovor: a)

______k ;

b)

x 8 4 1 0,5

y 5 20 2

1

10. êtiri traktori moàt da izoraat edna niva za 12 dena. Za kolku dena istata niva }e ja

izoraat 6 traktori so ista mo}nost.

Re{enie: Re{enie: [este traktori }e ja izoraat nivata za __________ dena.

147

TEST - 3

1. Mnoèstvoto AA se vika________________________________ i se ozna~uva so __________.

2. Kako od grafot na edna relacija se utvrduva deka taa e simetri~na? Odgovor: _____________________________________________________________________________

3. Ako grafikot na funkcijata e )7,5(),6,4(),5,3(),4,2(),3,1(),2,0f . Zapi{i ja funkcijata

analiti~ki. Odgovor: )(xf

4. So formulata 3x

y iskaàna e _______________________ proporcionalnost me|u veli~i-

nata x i y so koeficient na proporcionalnosta ______k ____.

5. Popolni ja tablicata vo koja veli~inite x i y se vo obratna proporcionalnost.

x 1 3 9

y 18 6 1

6. Konstruiraj go grafikot na prvata proporcionalnost xy 2 .

Re{enie:

x

y

148

7. Grafikot na edna funkcija e )6,3(),4,2(),1,1(),0,0(),0,3(),4,2(),1,1( f .

Pretstavi ja grafi~ki funkcijata.

Re{enie:

x

y

8. Opredeli ja vrednosta m vo proporcijata 2:149:)3( m .

Re{enie:

Odgovor: m = ____________ 9. Na slikata grafi~ki e pretstavena zavisnosta na vremeto t i brzinata v na telo koe se

dviì od mestoto A do mestoto B. So pomo{ na grafikot opredeli so koja brzina }e se dviì teloto na patot od A do B, ako mu e potrebno vreme od: a) 1 ~as; b) 2 ~asa; v) 4 ~asa; g) 8 ~asa.

Odgovor: a)________km,

b)________km,

v)________km,

g)________km

10. Eden patnik za 11 ~asa }e pomine 55 km. Kolku km pat, patnikot }e pomine za 9 ~asa, ako

se dviì so ista brzina.

Re{enie: Odgovor: Za 9 ~asa }e pomine ________ km.

149

TEST - 4

1. Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija{to prva komponenta mu pripa|a na mnoèstvoto

8,5,2A a vtorata na mnoèstvoto ba,B .

Odgovor:

2. Vo grafot docrtaj dve strelki za relacijata da bide relacija za podreduvawe.

3. Dopolni ja re~enicata za tvrdeweto da bide to~no. Za edna relacija R od mnoèstvoto A

kon mnoèstvoto B velime deka e preslikuvawe (funkcija), ako ________________________

___________________________________________________________________________________

4. Od broevite 3, 5, 9 i 15 sostavi edna proporcija. Odgovor:

5. So formulata x

y6

opredlena e ________________________ proporcionalnost so koefi-

cient na proporcionalnost _________k

6. Vo edno oddelenie imalo 30 u~enici, od koi 6 bile odli~ni. Izrazi go brojot na drugite

u~enici vo procent.

Re{enie: Odgovor: Procentot na drugite u~enici bil_________%.

7. Funkcijata f e zadadena so mnoèstvoto parovi, )3,2(),2,1(),1,0(),0,1(),1,2(),2,3(),1,4( .

Opredeli: a) definiciona oblast (mnoèstvo) i b) mnoèstvo na vrednosti

Odgovor:

a) D b) V

150

8. Dadena e funkcijata R,2 xxy .

Popolni ja tablicata i nacrtaj go nejziniot grafik. Re{enie:

x -2 -1 0 1 2

y

9. Opredeli dali se pravoproporcionalni veli~inite dadeni vo tabelata, a potoa opredeli go koeficientot na proporcionalnost ako go ima.

x 3 -4 -3 2,5 -6,1

y 9 -12 -9 7,5 -18,3

Odgovor: a) Veli~inite se: _______________ ; b) Koeficient na proporcionalnosta e ________k .

10. Edna rabota 72 rabotnika }e ja zavr{at za 45 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr-{at 60 rabotnici? Re{enie:

Odgovor: 60 rabotnici rabotata }e ja zavr{at za ___________ dena.

151

TEST - 5

1. Dadeno e mnoèstvo )6,5)(5,4)(4,3)(3,2)(2,1(BA . Zapi{i gi na tabelaren na~in

mnoèstvata:

A B

2. To~kata A (-3,-2) leì vo _____________________ kvadrat od koordinatnata ramnina.

3. Od mnoèstvoto A kon mnoèstvoto B so graf zadadena e funkcijata f

Od grafot odredi: _______)1( f ; _____)3( f __; _____)4( f ___

Odgovor:

_______)1( f ; _____)3( f __; _____)4( f ___

4. Funkcijata f zadadena e so mnoèstvo poredeni parovi )5,2(),4,1(),2,1(),0,3(),2,5( .

Pretstavi ja funkcijata so tablica:

x

y

5. Pravata proporcionalnost na veli~inite x i y dadena e so podredenite parovi (2,8);

(3,12); (4,16); (6,24). Odredi go koeficientot na proporcionalnost? Odgovor:

_______k

152

6. Konstruiraj go grafot na obratna proporcionalnost x

y8

.

x -1 -2 -4 -8 1 2 4 8

y

7. Vo mnoèstvoto M = {A,B,V,G,D,\,E} e zadadena relaci-

jata R, “.... e sestra na ....”. a) relacijata pretstavi ja na tabelaren na~in

R =________________________________________ b) zapi{i go mnoèstvoto na ma{ki deca

A ________________________________________

8. Vo edno u~ili{te brojot na u~enici ~lenovi na grupite, mladi matemati~ari, mladi fi-

zi~ari i mladi biolozi se odnesuva kako 5 : 4 : 2 soodvetno, a nivniot vkupen broj e 55. Opredeli go brojot na ~lenovite vo sekoja grupa:

Re{enie: Odgovor: matemati~ari: ________; fizi~ari: ________ ; biolozi: ________ . 9. Se znae deka veli~inite x i y se obratnoproporcionalni.

a) popolni ja slednava tabela

x 1 2 4 8 -1 -2 -4

y -2

b) napi{i ja formulata {to ja izrazuva proporcionalnosta me|u veli~inite x i y

___________________________________)( xf

10. 32 rabotnika moàt da asfaltiraat edna ulica za 12 dena. Brojot na rabotnicite se zgolemil za 16. Za kolku dena }e bide zavr{ena istata rabota.

Re{enie: Odgovor: Rabotata }e bide zavr{ena za _________ dena.

153

SODR@INA

TEMA 1 - VEKTORI. TRANSLACIJA. ROTACIJA

1. PRAVEC I NASOKA. NASOÊNA OTSE^KA – VEKTOR ..................................................................................... 05 2. EDNAKVOST NA VEKTORI .................................................................................................................................. 07 3. SOBIRAWE NA VEKTORI. SVOJSTVA ............................................................................................................... 09 4. ODZEMAWE NA VEKTORI. MNO@EWE NA VEKTORI SO BROJ ...................................................................... 11 5. TRANSLACIJA ...................................................................................................................................................... 13 6. SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA ........................................................................................................................ 15 7. PRIMENA NA TRANSLACIJA .............................................................................................................................. 17 8. NASOÊN AGOL. ROTACIJA ............................................................................................................................... 19 9. SVOJSTVA NA ROTACIJATA ............................................................................................................................... 21 10. PRIMENA NA ROTACIJATA ................................................................................................................................ 23 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 25 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 27 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 29 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 31 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 33

TEMA 2 – STEPENI. KVADRATEN KOREN. POLINOMI

1. POIM ZA STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ ..................................................................................... 35 2. MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI. STEPENUVAWE NA PROIZVOD. KOLI^NIK I STEPEN .................................................................................. 37 3. POIM ZA KVADRAT NA RACIONALEN BROJ. POIM ZA KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ................................................................................... 39

4. PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN OD RACIONALEN BROJ ..................................................................... 41 5. POIM ZA IRACIONALEN BROJ ......................................................................................................................... 41 6. REALNI BROEVI .................................................................................................................................................. 41 7. PRETSTAVUVAWE NA REALNITE BROEVI NA BROJNA OSKA ....................................................................... 41

8. ALGEBARSKI IZRAZ.BROJNA VREDNOST NA IZRAZ (BROJNI IZRAZI. IZRAZI SO PROMENLIVI) ................................................................................................ 43

9. POIM ZA MONOM. SLI^NI I SPROTIVNI MONOMI .................................................................................... 45 10. BINOM. TRINOM. POLINOM .............................................................................................................................. 47 11. STEPEN NA MONOMOT I POLINOMOT ............................................................................................................. 47 12. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI ........................................................................................................... 49 13. SPROTIVNI POLINOMI. OSLOBODUVAWE OD ZAGRADI ............................................................................ 49 14. SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI ....................................................................................................... 51 15. MNO@EWE I DELEWE NA MONOMI .................................................................................................................. 53 16. STEPENUVAWE NA MONOMI .............................................................................................................................. 53 17. MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM ............................................................................................................... 53 18. MNO@EWE NA POLINOMI ................................................................................................................................ 55 19. FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE ................................................................................................................ 57 20. DELEWE NA POLINOM SO MONOM ................................................................................................................... 59 21. DELEWE NA POLINOM SO POLINOM ............................................................................................................... 59 22. VIDOVI RACIONALNI IZRAZI ......................................................................................................................... 61 23. RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI ...................................................................... 63 TEST 1 ............................................................................................................................................................................ 65 TEST 2 ............................................................................................................................................................................ 67 TEST 3 ............................................................................................................................................................................ 69 TEST 4 ............................................................................................................................................................................ 71 TEST 5 ............................................................................................................................................................................ 73 TEST 6 ............................................................................................................................................................................ 75 TEST 7 ............................................................................................................................................................................ 77 TEST 8 ............................................................................................................................................................................ 79 TEST 9 ............................................................................................................................................................................ 81 TEST10 ........................................................................................................................................................................... 83

154

TEMA 3 – KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[TINA

1. CENTRALEN AGOL. SVOJSTVA ............................................................................................................................ 85 2. PERIFEREN AGOL. TALESOVA TEOREMA ......................................................................................................... 86 3. KONSTRUKCIJA NA TANGENTA NA KRU@NICA ............................................................................................... 87 4. AGOL POME\U TANGENTA I TETIVA ................................................................................................................. 88 5. TETIVEN ÊTIRIAGOLNIK ................................................................................................................................ 89 6. TANGENTEN ÊTIRIAGOLNIK ........................................................................................................................... 90 7. OP[TO ZA MNOGUAGOLNIKOT .......................................................................................................................... 91 8. PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ............................................................................................................................ 92 9. OPI[ANA I VPI[ANA KRU@NICA .................................................................................................................. 93 10. KONSTRUKCIJA NA NEKOI PRAVILNI MNOGUAGOLNICI ........................................................................... 94 11. PITAGOROVA TEOREMA ....................................................................................................................................... 95 12. PRIMENA NA PITAGOROVA TEOREMA .............................................................................................................. 96 13. KONSTRUKCIJA NA TO^KI NA BROJNATA OSKA

KOI ODGOVARAAT NA BROEVITE 2 , 3 , 5 , ... ...................................................................................... 97

14. POIM ZA PLO[TINA............................................................................................................................................ 98 15. PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK ......................................................................................................................... 99 16. PLO[TINA NA PARALELOGRAM ....................................................................................................................... 100 17. PLO[TINA NA TRIAGOLNIK ............................................................................................................................ 101 18. PLO[TINA NA TRAPEZ ...................................................................................................................................... 102 19. PLO[TINA NA DELTOID ................................................................................................................................... 103 20. PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK .................................................................................................. 104 21. DOL@INA NA KRU@NICA .................................................................................................................................. 105 22. DOL@INA NA KRU@EN LAK ............................................................................................................................... 106 23. PLO[TINA NA KRUG ........................................................................................................................................... 107 24. PLO[TINA NA KRU@EN ISEÔK I KRU@EN PRSTEN ................................................................................. 108 25. DIJAGRAM ............................................................................................................................................................. 109 26. POPULACIJA. PRIMEROK ................................................................................................................................. 110 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 111 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 113 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 115 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 117 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 119 TEST 6 .......................................................................................................................................................................... 121

TEMA 4 – FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST

1. DEKARTOV PROIZVOD NA MNO@ESTVA ........................................................................................................ 123 2. PRAVOAGOLEN KOORDINATIVEN SISTEM ................................................................................................... 125 3. RELACIJA. SVOJSTVA NA RELACIITE ........................................................................................................... 127 4. FUNKCIJA. VIDOVI FUNKCII ........................................................................................................................ 129 5. ZADAVAWE NA FUNKCII .................................................................................................................................. 131 6. RAZMER. PROPORCIJA. PRODOL@ENA PROPORCIJA ................................................................................ 133 7. PRAVA PRAPORCIONALNOST .......................................................................................................................... 135 8. OBRATNA PROPORCIONALNOST .................................................................................................................... 137 9. PROSTO TROJNO PRAVILO .............................................................................................................................. 139 10. RABOTA SO PODATOCI ..................................................................................................................................... 141 TEST 1 .......................................................................................................................................................................... 143 TEST 2 .......................................................................................................................................................................... 145 TEST 3 .......................................................................................................................................................................... 147 TEST 4 .......................................................................................................................................................................... 149 TEST 5 .......................................................................................................................................................................... 151

155

Akcionersko dru{tvo za izdavawe na u~ebnici i nastavni sredstva

PROSVETNO DELO – SKOPJE, ul.”Dimitrie ûpovski” br.15

Za izdava~ot:

m-r Pavle PETROV, generalen direktor

Avtorite

Kostadin TRENÊVSKI, Ivan TRAJKOV, Gerasim DAVIDOVSKI, Zanko MILANOV, Stojko STOJOSKI

RABOTNA TETRATKA

PO MATEMATIKA

ZA VII ODDELENIE

Lektor

Elena TO[EVA

Tehni~ki urednik

Blaè TANÊVSKI

Korektor

Sofija VULOVSKA Vildan HAXIMUHAREM

Prelom na tekst

Metodija ANDONOV

Rakopisot e predaden vo pe~at vo avgust 2002 godina. Pe~ateweto e zavr{eno vo avgust 2002 godina. Obem 156 stranici.

Format: 20 h 28 cm. Tira`: 3.000 primeroci. Knigata e

otpe~atena vo Pe~atnica “Ilinden” – [tip.

Documents

Rabotna tetratka po MATEMATIKA - matematickitalent.mk