BAB 6 : GEOMETRI KOORDINAT

Sesi 1

Jarak dan titik tengah antara dua titik

y

B(x2, y2)

A(x1 , y1)x

Jarak AB=√ (x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2

Titik tengah AB=( x1+x2

2,y1+ y2

2 )Contoh 1

Cari jarak di antara titik P(−6 ,−2) dan titik Q(6 ,3).

Penyelesaian

Jarak PQ=√ (6+6 )2+ (3+2 )2

¿√122+52 ¿√144+25 ¿√169 ¿13 unit

Contoh 2

Jarak di antara titik A(−4 ,2) dan titik B(2 , k ) ialah 10 unit. Cari nilai-nilai k .

Penyelesaian

Jarak AB=10

√ (2+4 )2+ (k−2 )2=10

√62+(k−2 )2=10

62+( k−2 )2=100 36+( k−2 )2=100 (k−2 )2=100−36 (k−2 )2=64 k−2=±√64

40

k−2=±8

⇒ k−2=8 atau k−2=−8 k=10 k=−6

Contoh 3

Cari koordinat titik tengah M bagi garis lurus yang menyambungkan titik P(−7 ,5) dan Q(3 ,1).

Penyelesaian

M=(−7+32

, 5+12 )

¿(−42, 62 )

¿(−2 ,3)

Contoh 4

Titik tengah bagi A(h ,−2) dan B(−6 , k ) ialah (−1 ,3). Cari nilai h dan k .

Penyelesaian

Titik tengah AB=(−1 ,3 )

( h−62,−2+k

2 )=(−1 ,3)

⇒ h−62

=¿

h−6=−2 h=¿

∴−2+k2

=¿

−2+k=6 k=¿

41

Sesi 2

Koordinat titik yang membahagikan tembereng garis dengan nisbah m : n

y

B(x2 , y2) n

mP(x , y)

A(x1 , y1) x

Contoh 1

Titik A(1 ,−2), P dan B(4 ,7) terletak pada suatu garis lurus. Jika P membahagikan AB dengan nisbah 2 :1, cari koordinat P.

Penyelesaian

B(4,7)1P

2

A(1 ,−2)

P=( 2 ( 4 )+1 (1 )2+1

, 2 (7 )+1 (−2 )2+1 )

¿( 8+13, 14−2

3 ) ¿( 9

3, 12

3 ) ¿( ,)

P ( x , y )=( nx1+mx2

m+n,n y1+m y2

m+n )

42

Contoh 2

Titik A(7 ,−5), P(3 ,−1) dan B terletak pada satu garis lurus. Jika P membahagikan AB dengan nisbah 2 :3, cari koordinat B.

Penyelesaian

B(x , y )

3P(3 ,−1)

2A(7 ,−5)

Katakan B(x , y )

( 3 (7 )+2 x3+2

, 3 (−5 )+2 y3+2 )=(3 ,−1)

( 21+2 x5

,−15+2 y5 )=(3 ,−1)

⇒ 21+2x5

=3

21+2 x=¿ 2 x=−6 x=¿

∴−15+2 y5

=¿

−15+2 y=−5 2 y=10 y=¿

⇒B(−3 ,5)

Contoh 3

Titik L( p ,3) membahagikan KM dengan nisbah m : n. Koordinat K dan M masing-masing ialah (−10 ,6) dan (−2 ,−6). Cari

a) m : n ,b) nilai p

Penyelesaian

K (−10 ,6)

43

L( p ,3)

M (−2 ,−6)

a) (m (−2 )+n (−10 )m+n

, m (−6 )+n (6 )m+n )=( p ,3)

(−2m−10nm+n

,−6m+6nm+n )=( p ,3)

−6m+6nm+n

=¿

−6m+6n=3m+3n −6m−3m=3 n−6n −9m=−3n mn=¿

mn=¿

⇒m :n=:

b) p=−2m−10nm+n

¿−2 (1 )−10 (3 )

1+3

¿ −2−304

¿

44

Sesi 3

Luas segitiga

yA(x1 , y1)

B(x2 , y2)

C (x3 , y3)

x

Luas ∆ ABC

¿12|x1 x2 x3

y1 y2 y3

x1

y1| ¿ 1

2|x1 y2+x2 y3+x3 y1− y1x2− y2 x3− y3 x1|

Contoh 1

Cari luas segitiga PQR dengan P ,Q dan R masing-masing ialah (5 ,−2 ) ,(3 ,4) dan (−6 ,−1).

Penyelesaian

Luas ∆ PQR

¿ 12|20+(−3 )+12−(−6 )−(−24 )−(−5 )|

¿ 12|20−3+12+6+24+5|

¿ 12|64|

45

¿ 12()

¿unit 2

Contoh 2

Diberi titik (−2 ,−1 ) ,(2 , k ) dan (10 ,5) adalah segaris, cari nilai k .

Penyelesaian

12|−2 2 10

−1 k 5−2−1|=0

12|−2k+10+ (−10 )−(−2 )−10k−(−10 )|=0

12|−2k+10−10+2−10k+10|=0

12|−12k+12|=0

|−12k+12|=0 −12k+12=0 −12k=−12 ∴ k=1

Contoh 3

Titik-titik (−1 ,−3 ) , (5 , k) dan (−4 ,−1) ialah bucu-bucu sebuah segitiga. Diberi luas segitiga itu ialah 15unit 2, cari nilai-nilai k .

Penyelesaian

12|−1 5 −4

−3 k −1−1−3|=15

12|−k+ (−5 )+12−(−15 )−(−4k )−1|=15

12|−k−5+12+15+4k−1|=15

12||=15

|3k+21|=30 ⇒3k+21=¿ atau 3k+21=¿

3k=¿ 3k=¿k=¿ k=¿

46

Sesi 4

Pintasan-x dan pintasan-y

y

B(0 ,3)

A(2,0)x

Pintasan-x=2Pintasan-y=3

Kecerunan garis lurus

y

Q(x2 , y2)

P(x1 , y1)

47

x

Kecerunan, m=y2− y1

x2−x1

Juga, m=−( pintasan− ypintasan−x )

Contoh 1

Cari kecerunan garis lurus yang menyambungkan titik R(−5 ,6) dan titik S(−4 ,−2).

Penyelesaian

mRS=−2−6

−4−(−5 )

¿−81

¿−8

Contoh 2

Kecerunan bagi garis yang menyambungkan titik (−2 , k ) dan (1 , 9) ialah 2. Cari nilai k .

Penyelesaian

m=2 9−k1+2

=2

9−k3

=2

9−k=¿ −k=−3 k=¿

Contoh 3

Diberi titik (−1 ,−2 ) ,(2 , k ) dan (4 ,8) terletak pada satu garis lurus. Cari nilai k .

Penyelesaian

(4 ,8)

(2 , k )

48

(−1 ,−2)

m1=8−(−2 )4−(−1 )

¿ 105

¿

m2=8−k4−2

¿ 8−k2

m1=m2

¿ 8−k2

4=8−k −4=−k ∴ k=4

Contoh 4

y

A

x

-5B

Cari kecerunan garis lurus AB.

Penyelesaian

m=−(−5 )−2

¿ 5−2

¿−52

-2 0

49

Sesi 5

Persamaan garis lurus

1. y− y1=m(x−x1)2. Bentuk pintasan :

xa+ yb=1, dengan a ialah pintasan-x,

b ialah pintasan-y3. Bentuk am :ax+by+c=0

Contoh 1

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (7 ,−2) dan mempunyai kecerunan −13 .

Penyelesaian

50

y− y1=m(x−x1)

y− (−2 )=−13

(x−7)

y+2=−13x+ 7

3

y=−13x+ 7

3−6

3

y=−13x+ 1

3

3 y=−x+1

Contoh 2

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 ,5) dan (1 ,−7).

Penyelesaian

m=−7−51+3

¿ −124

¿−3

y−5=−3( x+3) y−5=−3 x−9 y=−3x−4

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus dengan pintasan-x dan pintasan-y masing-masing ialah 2 dan −6.

Penyelesaian

xa+ yb=1

x2+ y(−6)

=1

x2− y

6=1

Contoh 4

51

Tukarkan persamaan berikut kepada bentuk am.

a) y=23x−2

b)x6+ y

12=1

Penyelesaian

a) y=23x−2

(×3 ) :3 y=2x−6 0=2x−3 y−6

2 x−3 y−6=0

b)x6+ y

12=1

(×12 ) : (12 )( x6 )+ (12 )( y12 )=(12)(1)

2 x+ y=12 2 x+ y−12=0

Sesi 6

Kecerunan dan pintasan garis lurus

Contoh 1

Cari kecerunan dan pintasan-y bagi yang berikut :a) 3 x+4 y=2b) y−5=2 x

Penyelesaian

52

a) 3 x+4 y=24 y=−3 x+2

y=−3 x4

+ 24

y=−3 x4

+ 12

⇒m=−34

c=12

b) y−5=2 xy=2x+5

⇒m=¿ c=¿

Contoh 2

Tulis persamaan garis lurus berikut dalam bentuk pintasan. Seterusnya, cari pintasan-x, pintasan-y dan kecerunan garis lurus tersebut.

a) x− y=2b) y=8−4 xc) y−2x=4d) 2 y=5 x+10

Penyelsaian

a) x− y=2

(÷2 ) : x2− y

2=1

x2+ y(−2)

=1

∴ pintasan−x=2 pintasan− y=−2

m=−(−2 )

2

¿ 22

¿1

b) y=8−4 x4 x+ y=8

53

(÷8 ) : 48x+ y

8=8

8

x2+ y

8=1

∴ pintasan−x=¿ pintasan− y=¿

m=¿ ¿

c) y−2x=4

(÷4 ): y4−2

4x=4

4

y4− x

2=1

−x2

+ y4=1

x(−2)

+ y4=1

∴ pintasan−x=¿ pintasan− y=¿

m=¿ ¿

d) 2 y=5 x+10−10=5x−2 y 5 x−2 y=−10

(÷−10 ) : 5−10

x− 2−10

y=−10−10

x

(−2 )+ y

5=1

∴ pintasan−x=−2 pintasan− y=5

m=−5−2

¿ 52

Titik persilangan dua garis

Contoh

54

Cari titik persilangan bagi garis lurus x+2 y+3=0 dan 2 x+ y=3.

Penyelesaian

x+2 y+3=1 12 x+ y=3 2

Daripada 2 :2 x+ y=3 y=3−2 x 3

Gantikan 3 ke dalam 1 :⇒ x+2 (3−2 x )+3=0

x+6−4 x+3=0 −3 x+9=0 −3 x=−9 x=3

⇒ y=3−2(3) ¿3−6 ¿−3

Titik persilangan ialah (,)

Sesi 7

Garis selari

55

Garis lurus y=m1 x+c1 adalah selari dengan garis lurus y=m2 x+c2 jika dan hanya jika m1=m2.

Contoh 1

Tentukan sama ada x3+ y

2=1 dan 9 y+6 x=5 selari atau tidak.

Penyelesaian

x3+ y

2=1

m1=− yx

¿−23

¿−23

9 y+6 x=5 9 y=−6 x+5

y=−69x+ 5

9

y=−23x+ 5

9

m2=−23

m1=m2 ⇒ Selari

Contoh 2

Diberi bahawa garis lurus 2 y+4 x=5 adalah selari dengan garis lurus y=−k3x−4. Cari

nilai k .

Penyelesaian

2 y+4 x=5 2 y=−4 x+5

y=−42x+ 5

2

56

y=−2x+ 52

m1=−2

y=−k3x−4

m2=−k3

m1=m2

⇒−2=−k3

−6=−k k=6

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (−3 ,6) dan selari dengan garis 2 x−4 y=3.

Penyelesaian

2 x−4 y=3 2 x−3=4 y 4 y=2 x−3

y=12x−3

4

⇒m=¿

y−6=12(x+3)

y−6=12x+3

2

(×2 ) :2 y−12=x+3 0=x−2 y+15

x−2 y+15=0

57

Sesi 8

Garis serenjang

Dua garis lurus dengan kecerunan m1 dan m2 adalah berserenjang jika dan hanya jika m1m2=−1.

Contoh 1

Tentukan sama ada garis x3+ y

2=1 dan 5 y−3 x=10 berserenjang atau tidak.

Penyelesaian

x3+ y

3=1

⇒m1=−23

5 y−3 x=10 5 y=3 x+10

y=35x+2

m2=35

m1m2=−23 ( 3

5 ) ¿ −6

15

¿−25

⇒Tidak berserenjang.

Contoh 2

Diberi garis lurus k2x+ y=7 berserenjang dengan garis lurus 5 x+10 y=3. Cari nilai k .

58

Penyelesaian :

k2x+ y=7

y=−k2x+7

m1=−k2

5 x+10 y=3 10 y=−5 x+3

y=−510x+ 3

10

m2=−510

m1m2=−1 −k2 (−5

10 )=−1

k4=−1

∴ k=−4

Contoh 3

Cari persamaan garis lurus yang melalui (−1 ,2 ) dan berserenjang dengan garis 3 x−2 y=7

Penyelesaian

3 x−2 y=7 −2 y=−3 x+7

y=32x−7

2

m1m2=−1 32m2=−1

m2=−1× 23

m2=−23

y−2=−23

(x+1)

(×3 ) :3 y−6=−2 (x+1) 3 y−6=−2 x−2

59

2 x+3 y−4=0

Contoh 4

Diberi A(3 ,−6) dan B(−2 ,4). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang AB.

Penyelesaian

mAB=4+6

−2−3

¿ 10−5

¿−2 −2m2=−1

m2=−1−2

¿ 12

Titik tengah AB=( 3−22,−6+4

2 )¿( 1

2,1)

y− y1=m(x−x1)

y+1=12 (x−1

2 ) y+1=1

2x−1

4

(×4 ): 4 y+4=2 x−1 4 y=2 x−5

y=12x−5

4

Sesi 9

Lokus

Contoh 1

60

Cari persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya jaraknya dari titik A(2,4 ) sentiasa 2 unit.

Penyelesaian

Katakan P ialah (x , y ),PA=2

√ ( x−2 )2+( y−4 )2=2

( x−2 )2+( y−4 )2=4 x2−4 x+4+ y2−8 y+16−4=0 x2+ y2−4 x−8 y+16=0

Contoh 2

Titik A ialah (0 ,1) dan B(3 ,4). Titik P bergerak dengan keadaan PA :PB=1 :2. Cari persamaan lokus titik P.

Penyelesaian

Katakan P ialah (x , y ),PA :PB=1 :2 PAPB

=12

2 PA=PB

⇒2√ ( x−0 )2+ ( y−1 )2=√( x−3 )2+ ( y−4 )2

4 [ ( x )2+( y−1 )2 ]=( x−3 )2+( y−4 )2

4 (x2+ y2−2 y+1 )=x2−6 x+9+ y2−8 y+16 4 x2+4 y2−8 y+4=x2+ y2−6x−8 y+25 3 x2+3 y2+6 x−21=0 (÷3 ) : x2+ y2+2 x−7=0

61