Random Variables and Random Processes - Test (1)

Solution _ final version 2008 April 11th Fri Test

1. A missile can be accidentally launched if two relays A and B both have failed. The probabilities of A and B failing are known to be 0.01 and 0.03, respectively. It is also known that B is more likely to fail (probability 0.06) if A has failed. (1) What is the probability of an accidental missile launch? (5 points) (2) What is the conditional probability that A will fail if B has failed? (5 points) (3) Are the events “A fails” and “B fails” statistically independent? (5 points)

2. The number of orders waiting to be processed, X, is given by a Poisson random variable with parameter / nα λ μ= , where λ is the average number of orders that arrive in a day, μ is the number of orders that can be processed by an employee per day, and n is the number of employees.

(1) Show that [ ]E X α= and [ ]Var X α= . (10 points)

(2) Let 3λ = and 1μ = . Find the number of employees required so the probability that more than 4 orders are waiting is less than 90%. (10 points)

/ ! 0,1, 2, ,Hint: ( )

0 otherwise.

x

Xe x x

P xαα −⎛ ⎞⎧ =

=⎜ ⎟⎨⎜ ⎟⎩⎝ ⎠

3. Random Signal X가 정류기(Rectifier)를 통과하여 생성된 신호를 Y라 하

자. 즉, X와 Y 사이에 Y X= 라는 식이 성립될 때 아래 문제에 답해

보아라.

(1) Y의 CDF 를 로 PDF ( )YF y ( )XF x ( )Yf y 를 ( )Xf x 로 표시해 보아라.

(10 points) (2) X가 평균값이 0이고 분산이 2σ 인 Gaussian이라고 하자. 이 때 (1)

에서 구한 ( ) 를 error function을 써서 구해 보려 한다. Error

function은 여러 가지 형태로 정의되는데 이 문제에서는 아래와 같

이 정의되는 error function을 이용하자.

YF y

∫−

=x t

dtexerf0

21 2

21)(π

.

1

( ) 2YyF y erfσ⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟임을 보여라. (10 points)

( )2

221Hint: e2

x

Xf x σ

πσ

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3) 만약 100σ = 이라면 5.0)(y =yF 가 되는 y 값을 아래 주어진 표를

이용하여 구해 보아라. (5 points) 4. X is the random variable with CDF

0 1,/ 3 1/ 3 1 0,

( )/ 3 1/ 3 0 1,

1 1 .

X

xx x

F xx x

x

< −⎧⎪ + − ≤ <⎪= ⎨ + ≤ <⎪⎪ ≤⎩

And where ( )Y g X=

0 0,

( )100 0.

Xg X

X<⎧

= ⎨ ≥⎩

(1) Find [ ]0P X≤ ≤1 . (5 points)

(2) What is ( )Xf x ? (5 points)

(3) Suppose that B is the event { }0X ≥ . Find the conditional expected value

[ ]|E X B . (10 points)

(4) What is ? (5 points) ( )YF y(5) What is ( )Yf y ? (5 points)

(6) What is [ ]Var Y ? (10 points)

5. 아래 기술한 것들 중 옳은 것은 “옳다”하고, 잘못된 것이 있으면 바로 고쳐 보아라. (맞는 답은 3점, 틀린 답은 -3점) (1) Flip four coins, a penny, a nickel, a dime, and a quarter. Examine the coins

in order (penny, then nickel, then dime, then quarter) and observe whether each coin shows a head (h) or a tail (t). Let iB = {outcomes with i heads}.

For example, { }1 , , ,B ttth ttht thtt httt= contains four outcomes. In this case,

we can claim that the set { }1 2 3 4, , ,B B B B B= forms an event space.

(2) Mobile telephones perform handoffs as they move from cell to cell. During

2

a call, a telephone either performs zero handoff ( )0H , one handoff ( )1H ,

or more than one handoff ( )2H . In addition, each call is either long ,

if it lasts more than three minutes, or brief

( )L

( )B . The following table

describes the probabilities of the possible types of calls. 0H 1H 2H

L 0.1 0.1 0.2B 0.4 0.1 0.1

We are interested in [ ]0P H that a phone makes no handoffs. It may be

computed in the following way:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0| | 0.1 0.4 0.4 0.6 0.28.P H P H L P L P H B P B= +

= × + × =

(3) A random variable is a function that assigns a real number to each outcome in the sample space of the experiment instead of each element in the event space.

(4) Consider the random variable X with the PMF 1/ 4 1,2,3, 4,

( )0 otherwise,X

xP x

=⎧= ⎨⎩

and

210.5 0.5 1 5,

( )50 6 10.

X X XY g X

X⎧ − ≤ ≤

= = ⎨≤ ≤⎩

In this case, [ ] 22.5.E Y =

(5) 아래와 같은 함수를 생각해 보자,

2 0 1,( )

0 otherwise.Xax bx x

f x⎧ + ≤ ≤

= ⎨⎩

이 함수가 PDF가 되기 위한 필요충분조건은 a와 b가 아래와 같은 관계식을 갖는 것이다. 6 3, 2 2 /a b a− ≤ ≤ = − 3.

( )1

0Hint: ( ) 0 ( ) 1X Xf x f x dx≥ =∫와 관계식을 이용할 것.

3

4

1번 solution (a)

( ) ( )( | ) ( ) [2

0.06(0.01)0.0006 [3 ]

P launch P A fail B failP B fail A fail P A fail

=

==

=

∩점

점

]

(b)

4

2

( | )( ) [2 ]

( )6(10 ) 0.02 [3 ]3(10 )

P A fail B failP A fail B fail

P B fail−

−

=

= =

∩점

점

(c) 4 4( ) ( ) 0.01(0.03) 3(10 ) 6(10 )

( ) ( ) ( )P A fail P B failP A fail B fail P A fail P B fail

− −= = ≠≠∩

" " " "So A fail and B fail are not independent each other.

전부 제대로 써야 5점

2번 solution #2. The number of orders waiting to be processed, X , is given by a Poisson random

variable with parameter nλαμ

= , where λ is the average number of orders that arrive

in a day, μ is the number of orders that can be processed by an employee per day,

and is the number of employees. n

(1) Show that [ ]E X α= and [ ]Var X α= . (10 points)

5

Since Poisson random variable, 0,1, 2,( ) !

0

x

X

e xP x xotherwise

αα −⎧=⎪= ⎨

⎪⎩

0

0

1

1

1

' '

' 0 ' 0

[ ]!

( 1)!

( ( 1)! )( 1)!

( ' 1( 1)!

( 1'! '!

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x x

eE X xx

ex

e is not definedx

e letting x xx

e ex x

α

α

α

α

α α

α

α

α

αα

α αα

α

−∞

=

−∞

=

−∞

=

− −∞

=

− −∞ ∞

= =

= ⋅

=−

= −−

= =−

= =

=

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∵

∵

)

)

−

2 2

0

0

0 0

2 1

2

[ ]!

( 1)!

( 1) 1( 1)! ( 1)!

( 2)! ( 1)!

x

xx

x

x x

x x

x x

x x

eE X xx

exx

e exx x

e ex x

α

α

α α

α α

α

α

α α

α α

α α

−∞

=

−∞

=

− −∞ ∞

= =

− −∞ ∞

= =

= ⋅

= ⋅−

= − ⋅ + ⋅− −

= +− −

= +

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

2 2

2 2

[ ] [ ] [ ]Var X E X E Xα α αα

= −

= + −=

6

(2) Let 3λ = and 1μ = . Find the number of employees

required so the probability that more than 4 orders are

waiting is less than 90%. (10 points)

0,1, 2,Hint : ( ) !0

x

X

e xP x xotherwise

αα −⎧=⎪= ⎨

⎪⎩

4

0

4

0

0 1 2 3 44

0

3

2 3 4

3

[ 4] 0.9[ 4] 1 { (0) (1) (2) (3) (4)}

1 0.9!

0.1!

3,! 0! 1! 2! 3! 4!

3 9 27 811 0.12 6 24

,

X X X X Xx

xx

x

x

x

n

n

P XP X P P P P P

ex

exe e e e e e herex n n

en n n n

A e

α

α

α α α α α α

α

α

α α α α α α λαμ

−

=

−

=

− − − − − −

=

−

−

> <> = − + + + +

= − <

>

⎛ ⎞= + + + + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + + + >⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑

∑

∑

2 3 4

3 9 27 8112 6 24

Bn n n n

= + + + +

7

1,true for n n is a natural number∴ ≥

A B A*B

1 16.375 0.049787 0.815263

2 4.398438 0.22313 0.981424

3 2.708333 0.367879 0.99634

4 2.114746 0.472367 0.998935

5 1.8214 0.548812 0.999606

6 1.648438 0.606531 0.999828

7 1.534933 0.651439 0.999916

8 1.454926 0.687289 0.999955

9 1.395576 0.716531 0.999974

10 1.349838 0.740818 0.999984

11 1.313529 0.7613 0.99999

12 1.284017 0.778801 0.999993

13 1.259563 0.793923 0.999995

14 1.238973 0.807118 0.999997

15 1.2214 0.818731 0.999998

16 1.206228 0.829029 0.999998

17 1.192998 0.838223 0.999999

18 1.181359 0.846482 0.999999

19 1.171042 0.85394 0.999999

20 1.161834 0.860708 0.999999

21 1.153564 0.866878 1

22 1.146098 0.872525 1

23 1.139323 0.877714 1

24 1.133148 0.882497 1

2

(

번 문제 부분점수 배점

1) E[x] 구하면 5점, Var[x] 구하면 5점 – 틀리면 각 0점

(2) n>=1 의 정수 조건을 구하면 10점

결과식 까지만 쓰고, 조건에 만족하는 n에 대한 언급 있으면 9점

결과식에서 잘못된 결과 도출하면 6점, 결과 도출(론) 언급 없으면 6점

식 틀리면 0점

8

부분 실수 -2점

3번 solution Random Signal X가 정류기(Rectifier)를 통과하여 생성된 신호를 Y라 하자.

즉, X와 Y 사이에 Y X= 라는 식이 성립될 때 아래 문제에 답해 보아라.

그림 3. 1. y x=

(1) Y의 CDF 를 로 PDF ( )YF y ( )XF x ( )Yf y 를 ( )Xf x 로 표시해 보아라.

(10 points)

Solution) From the definition of cdf and from Fig. 3.1, we can write

( ) [ ] [ ]| |YF y P Y y P X y= ≤ = ≤ (3.1) (1 points)

[ ] [ ] [ ]P y X y P X y P X y= − ≤ ≤ = ≤ − < − (3.2) (2 points)

9

( ) ( ) 0

0 0

X XF y F y y

y

− − ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ .

(3.3) (2 points)

Differentiating Eq. (3.3), we can obtain the pdf of y

( ) ( )YY

dF yf y

dy= (3.4) (2 points)

( ) ( ) 0

0 0

X Xf y f y y

y

+ − ≥⎧⎪= ⎨.<⎪⎩ (3.5) (3 points)

(2) X가 평균값이 0이고 분산이 2σ 인 Gaussian이라고 하자. 이 때 (1)

에서 구한 ( ) 를 error function을 써서 구해 보려 한다. Error

function은 여러 가지 형태로 정의되는데 이 문제에서는 아래와 같

이 정의되는 error function을 이용하자.

YF y

21

20

1( )2

x terf x e dt

π−

= ∫ .

( ) 2YyF y erfσ⎛= ⎜⎝ ⎠

⎞⎟임을 보여라. (10 points)

( )2

221Hint: e2

x

Xf x σ

πσ

−⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Solution)

From ( )2

221 e2

x

Xf x σ

πσ

−

= , the cdf of x is obtained by

( )2

221 e2

tx

XF x σ

πσ

−

−∞= ∫ dt (3.6) (1 point)

The cdf of y is the written

( ) ( ) ( )Y X XF y F y F y= − − (3.7)

10

2 22 22 21 1e e

2 2

t ty ydt dtσ σ

πσ πσ

− −−

−∞ −∞= −∫ ∫ (3.8) (2 point)

2221 e

2

ty

ydtσ

πσ

−

−= ∫ (3.9) (2 point)

222

0

1 2 e2

tydtσ

πσ

−

= ∫ (3.10) (1 point)

variable change by /u t σ=

2

20

2 12

y u

e dσ uσσ π

−= ∫ (3.11) (3 point)

2

20

22

y t

e dtσ

π−

= ∫ (3.12)

( )21

20

12 . where e2

x tyerf erf x dtσ π

−⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ (3.13) (1 point)

(3) 만약 100σ = 이라면 5.0)(y =yF 가 되는 y 값을 아래 주어진 표를

이용하여 구해 보아라. (5 points) Solution)

For , ( ) 0.5 and 100YF y σ= =

( ) 2 0.5 0.25100 100Y

y yF y erf erf⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= (2 points)

Since and ( )0.65 0.24215erf = ( )0.70 0.25803erf = in the table,

0.25 0.242150.65 0.05 0.6747100 0.25803 0.24215

67.47

y

y

−= + × =

−=

. (3 points)

11

4번 solution X is the random variable with CDF

0 1,/ 3 1/ 3 1 0,

( )/ 3 1/ 3 0 1,

1 1 .

X

xx x

F xx x

x

< −⎧⎪ + − ≤ <⎪= ⎨ + ≤ <⎪⎪ ≤⎩

And where ( )Y g X=

0 0,

( )100 0.

Xg X

X<⎧

= ⎨ ≥⎩

(1) Find [ ]0P X≤ ≤1 . (5 points)

Solution)

[ ] ( ) ( ) 1 20 1 1 0 13 3X XP X F F −≤ ≤ = − = − = (5 points)

(2) What is ( )Xf x ? (5 points)

Solution)

( ) ( )Xd

Xf x Fdx

= x 이므로 (1 points)

12

( ) ( )

1 1 131 1 13

0 .

X

x

x xf x

otherwise

δ

⎧ − ≤ <⎪⎪⎪ − == ⎨⎪⎪⎪⎩

,

, (4 points)

(3) Suppose that B is the event { }0X ≥ . Find the conditional expected value

[ ]|E X B . (10 points)

Solution)

[ ] ( )|| x bE X B x f x dx∞

−∞= ∫ (1 points)

Where ( )( )[ ]|

0

X

x b

f xx B

P Bf xotherwise

⎧∈⎪= ⎨

⎪⎩

(1 points)

[ ] [ ] [ ] 1 20 1 0 13 3

P B P X P X= ≥ = − < = − = (1 points)

( ) ( )|

1 1 121 1 12

0 .

x b

x

x xf x

otherwise

δ

⎧ − ≤ <⎪⎪⎪ − == ⎨⎪⎪⎪⎩

,

, (3 points)

[ ] ( ) ( ) 1 20 1 1 0 13 3X XP X F F −≤ ≤ = − = − =

13

[ ] ( ) ( )1

| 0

12

0

1 1| 12 2

1 1 34 2 4

x bE X B x f x dx xdx x x dx

x

δ∞ ∞

−∞ −∞= = +

= + =

∫ ∫ ∫ − (4 points)

(4) What is ? (5 points) ( )YF y Solution)

0 1,/ 3 1/ 3 1 0,

( )/ 3 1/ 3 0 1,

1 1 .

X

xx x

F xx x

x

< −⎧⎪ + − ≤ <⎪= ⎨ + ≤ <⎪⎪ ≤⎩

To find the CDF of Y, Y can only take on two possible values, 0 and 100. so the probability that Y takes on two values depends on the probability the 0X < and , respectively. 0X ≥

[ ] [ ]0 0,

( ) 0 0 100,1 100 .

Y

yF y P Y y P X y

y

<⎧⎪= ≤ = < ≤ <⎨⎪ ≤⎩

(1 points)

Since [ ] ( ) 10 0 3XP X F −< = = , the CDF of Y is (1 points)

14

[ ]0 0,1( ) 0 100,31 100 .

Y

y

F y P Y y y

y

<⎧⎪

= ≤ = ≤ <⎨⎪

≤⎩

(3 points)

(5) What is ( )Yf y ? (5 points) Solution)

( ) ( )Yd

Yf y Fdx

= y 이므로 (1 points)

1 ( ) , =03( )2 ( 100) =100.3

Y

y yf y

y y

δ

δ

⎧⎪⎪= ⎨⎪ −⎪⎩

(4 points)

(6) What is [ ]Var Y ? (10 points)

Solution)

[ ] ( )

1 20 1003 3

200 66.663

YE Y y f y dy∞

−∞=

= +

= =

∫ (3 points)

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2

( )

10 1003 3

2 1003

YE Y y f y dy∞

−∞⎡ ⎤ =⎣ ⎦

= +

=

∫2

(5 points)

[ ] [ ]

( )

22

222 200 20000100 2222.2

3 3 9

Var X E X E X⎡ ⎤∴ = −⎣ ⎦

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2 points)

15

5번 solution 아래 기술한 것들 중 옳은 것은 “옳다”하고, 잘못된 것이 있으면 바로 고

쳐 보아라. (맞는 답은 3점, 틀린 답은 -3점) (1) Flip four coins, a penny, a nickel, a dime, and a quarter. Examine the coins

in order (penny, then nickel, then dime, then quarter) and observe whether each coin shows a head (h) or a tail (t). Let iB = {outcomes with i heads}.

For example, { }1 , , ,B ttth ttht thtt httt= contains four outcomes. In this case,

we can claim that the set { }1 2 3 4, , ,B B B B B= forms an event space.

Sol> 답: 옳지 않다. 이유) event space가 되기 위해서는 mutually exclusive 및 collectively exhaustive 의 두 가지 조건을 만족해야 한다.

{ }1 2 3 4, , ,B B B B B= 의 각 요소는 mutually exclusive 하지만 B안에 0B 가 없

기 때문에 collectively exhaustive 하지 않다. B가 event space가 되기 위해서 B를 다음과 같이 정의해야 한다.

16

{ }{ }{ }{ }{ }{ }

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

, , , ,

, , ,

, , , , ,

, , ,

B B B B B B

B tttt

B ttth ttht thtt httt

B hhtt htht htth thht thth tthh

B thhh hthh hhth hhht

B hhhh

=

=

=

=

=

=

(2) Mobile telephones perform handoffs as they move from cell to cell. During

a call, a telephone either performs zero handoff ( )0H , one handoff ( )1H ,

or more than one handoff ( )2H . In addition, each call is either long ,

if it lasts more than three minutes, or brief

( )L

( )B . The following table

describes the probabilities of the possible types of calls. 0H 1H 2H

L 0.1 0.1 0.2B 0.4 0.1 0.1

We are interested in [ ]0P H that a phone makes no handoffs. It may be

computed in the following way:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]0 0 0| | 0.1 0.4 0.4 0.6 0.28.P H P H L P L P H B P B= +

= × + × =

Sol>답: 옳지 않다.

17

Handoff가 없을 확률을 구하려면 이면서 L이 되거나 이면서 B가 될 두 사건을 생각해야 한다. 이 두 사건이 를 구성하고 서로 배반

사건이며 다음과 같이 Handoff가 없을 확률을 계산할 수 있다.

0H 0H

0H

[ ] [ ] [ ]0 0

0.1 0.4 0.5P H P H L P H B= + 0

= + =

(3) A random variable is a function that assigns a real number to each outcome in the sample space of the experiment instead of each element in the event space.

Sol>답: 옳다. (random variable의 정의; 교재 p.50)

(4) Consider the random variable X with the PMF 1/ 4 1,2,3,4,

( )0 otherwise,X

xP x

=⎧= ⎨⎩

and

210.5 0.5 1 5,

( )50 6 10.

X X XY g X

X⎧ − ≤ ≤

= = ⎨≤ ≤⎩

In this case, [ ] 22.5.E Y =

Sol>답: 옳다.

교재 p.74 Theorem 2.10에 의해 다음과 같이 [ ]E Y 를 계산할 수 있다.

18

2

[1,5] [6,10]

42

1

[ ] ( )

1(10.5 0.5 ) (50) 04

1(10.5 0.5 ) 22.54

X

Xx S

x x

x

E Y g x P

x x

x x

∈

∈ ∈

=

=

= − × +

= − × =

∑

∑ ∑

∑

×

(5) 아래와 같은 함수를 생각해 보자,

2 0 1,( )

0 otherwise.Xax bx x

f x⎧ + ≤ ≤

= ⎨⎩

이 함수가 PDF가 되기 위한 필요충분조건은 a와 b가 아래와 같은 관계식을 갖는 것이다. 6 3, 2 2 /a b a− ≤ ≤ = − 3.

/ 3

( )1

0Hint: ( ) 0 ( ) 1X Xf x f x dx≥ =∫와 관계식을 이용할 것.

Sol>답: 옳다. 다음과 같이 PDF를 전체 구간에 대해서 적분한 값은 1이 되어야 한다.

1 2

0( ) / 3 / 2 1 2 2ax bx dx a b b a+ = + = ⇔ = −∫ (1)

위 결과를 이용하면, [0,1]x∈ 구간에 대한 확률은 다음과 같이 정리된

다.

2( ) ( 2 2 / 3) 0Xf x ax bx x ax a= + = + − ≥ (2)

x가 0 이상이기 때문에 위 식은 다음과 같이 정리된다. ( 2 2 / 3) 0 (2 / 3 )ax a a x+ − ≥ ⇔ − ≤ 2 (3)

식 (3)에서 의 범위를 찾기 위해 a (2 / 3 ) 0x− > , ,

인 세 경우로 나누어 생각하자.

(2 / 3 ) 0x− <

2 / 3x =ㄱ) 먼저 일 때 식(3)은 좌변이 0이고 모든 a에 대해서 부등식이 2 / 3x =

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성립한다. ㄴ) 다음으로 일 경우 식 (3)으로부터 다

음 식이 성립한다.

(2 / 3 ) 0 0 2 / 3x x− > ⇔ ≤ <

2 (2 / 3 )

ax

≤−

(4)

0 2x≤ < / 3 인 모든 x에 대해서 식 (4)를 만족하는 의 범위는 다음과 같다. (x=0을 대입)

a

3a ≤ (5) ㄷ) 마찬가지 방법으로 (2 / 3 ) 0 2 / 3 1x x− < ⇔ < ≤ 경우 식 (3)으로

부터 다음 식이 성립한다. 2

(2 / 3 )a

x≥

− (6)

2 / 3 1x< ≤ 인 모든 x에 대해서 식 (6)를 만족하는 의 범위는 다음과 같다. (x=1을 대입)

a

a ≥ −6

3

(7) ㄱ, ㄴ, ㄷ으로부터 세 경우를 동시에 만족하는 의 범위는 다음과 같

이 쓸 수 있다.

a

6 a− ≤ ≤ (8) 따라서 문제에서 제시된 조건은 옳다.

답을 제대로 썼을 경우 (1)번 채점기준: 답만 맞으면 1점 설명이 부족하면 2점 0B 가 들어가야 한다는 언급이 있으면 3점

(2)번 채점기준: 답만 맞으면 1점 설명이 부족하면 2점

[ ]0 0.5P H = 를 보이면 3점

(3) ,(4),(5)번 옳다고 쓰면 무조건 3점 옳다는 것을 보였지만 아무런 언급이 없으면 1점 ((3)번 제외)

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그 외의 경우 옳다는 말을 안쓰면 0점

답을 반대로 썼을 경우 (1),(2),(4),(5) 번 채점 기준 답만 쓰거나 설명이 완전히 잘못되었으면 -3점 설명이 잘못되었으나 일부 내용을 알고 있으면 -2점 설명이 잘못되었으나 대부분의 과정이 맞으면 -1점 모든 과정이 다 맞았지만 단순 계산 실수면 0점 (3) 번 채점 기준 답 틀리면 -3점

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