5.4 BASIS DAN DIMENSI

SISTEM KOORDINAT TAKSEGIEMPAT

DEFINISI

Jika V adalah setiap ruang vektor dan S = { v1, v2, , vn} adalah satu set vektor dalam V,

maka S disebut basis untuk V jika dua berikut kondisi terus:

(a) S bebas linear.

(b) (b) S merentang V.

Dasar A adalah vektor ruang generalisasi dari sistem koordinat pada ruang berdimensi 2

dan 3-ruang. teorema berikut ini akan membantu kita untuk melihat mengapa demikian.

TEOREMA 5.4.1

Keunikan Representasi Dasar

Jika S = { v1, v2, , vn} adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor v di V

dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2 + + cnvn persis satu cara.

TEOREMA 5.4.2

Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi terbatas, dan biarkan { v1,v2,vn} menjadi

basis apapun.

(a) Jika himpunan memiliki lebih dari n vektor, maka itu adalah tidak bebas

linear.

(b) Jika suatu himpunan memiliki kurang dari n vektor, maka tidak merentang V.

TEOREMA 5.4.3

Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang

sama.

TEOREMA 5.4.4

TEOREMA Plus / Minus

Misalkan S adalah himpunan tidak kosong dari vektor-vektor pada ruang vektor V.

(a) Jika S adalah himpunan bebas linear, dan jika v adalah vektor di V yang

berada di luar rentang (S), maka himpunan dihasilkan dengan v

memasukkan v ke S masih bebas linear.

(b) Jika v adalah vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi

linear dari vektor lainnya di S, dan jika menunjukkan set diperoleh

dengan menghapus v dari S, maka S dan span ruang yang sama, yaitu,

TEOREMA 5.4.5

Jika V adalah ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah satu set di V dengan tepat n

vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu S merentang V atau S bebas linear.

TEOREMA 5.4.6

Misalkan S adalah himpunan berhingga dari vektor-vektor pada ruang vektor

berdimensi berhingga V.

(a) Jika S merentang V tetapi bukan merupakan suatu basis untuk V, maka S

dapat dikurangi menjadi basis untuk V dengan menghapus vektor yang sesuai

dari S.

(b) Jika S adalah himpunan bebas linear yang belum menjadi basis untuk V, maka

S dapat diperbesar menjadi basis untuk V dengan menyisipkan vektor yang sesuai

ke S.

TEOREMA 5.4.7

Jika W adalah subruang dari vektor berdimensi terhingga ruang V, maka

, Apalagi, jika , Kemudian .

5.5 RUANG BARIS, RUANG KOLOM DAN RUANG KOSONG

DEFINISI

Untuk suatu matriks m x n

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

...

21

22221

11211

Vektor-vektor

]...[

.

.

.

.

.

.

]...[

]...[

21

2322212

1312111

mnmmm aaar

aaar

aaar

Dalam nR yang dibentuk dari baris-baris A disebut vektor-vektor baris A, dan vektor-

vektor

1

21

11

1

.

.

.

ma

a

a

c ,

2

22

12

2

.

.

.

ma

a

a

c , ...,

mn

n

n

n

a

a

a

c

.

.

.2

1

Dalam mR yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut vektor-vektor kolom dari A

Definisi

Jika A adalah matriks m x n, maka subruang dari nR direntang oleh vektor-vektor baris

dari A disebut ruang baris dari A , dan subruang dari mR direntang oleh vektor-vektor

kolom dari A disebut ruang kolom dari A . Ruang solusi dari sistem homogeny dari

persamaan Ax = 0, yang merupakan ruang bagian dari nR , Disebut dengan ruang

kosong dari A .

TEOREMA 5.5.1

Sebuah sistem persamaan linear Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam

ruang kolom dari A.

TEOREMA 5.5.2

Jika 0x menunjukkan solusi tunggal dari sistem linear konsisten Ax = b , Dan jika

kvvv ,...,, 21 membentuk dasar untuk ruang nuspacel dari

A-yaitu, ruang solusi dari sistem homogen Ax = 0 -Maka setiap solusi dari Ax = b

dapat dinyatakan dalam bentuk

kkvcvcvcxx ...22110 (3)

dan, sebaliknya, untuk semua pilihan scalar kccc ,...,, 21 vektor x dalam formula ini

adalah solusi dari Ax = b

BASIS UNTUK RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG KOSONG

Kami pertama kali dikembangkan dasar operasi baris untuk tujuan memecahkan sistem

linear, dan kita tahu dari pekerjaan yang yang melakukan operasi baris elementer pada

matriks yang diperbesar tidak mengubah himpunan solusi dari linear sesuai sistem. Oleh

karena itu menerapkan operasi baris elementer untuk matriks A tidak mengubah

himpunan solusi dari yang sesuai sistem linear Ax = 0 , Atau, menyatakan cara lain, itu

tidak mengubah ruang nul dari A . Dengan demikian kita memiliki Teorema berikut.

TEOREMA 5.5.3

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nuldari matriks.

TEOREMA 5.5.4

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris dari matriks

TEOREMA 5.5.5

Jika A dan B adalah matriks-matriks ekuivalen baris, maka

a. Sebuah himpunan vektor-vektor kolom dari A bebas linear jika dan hanya jika

vektor-vektor kolom yang sesuai B bebas linear.

b. Sebuah himpunan vektor-vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang

kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang sesuai B membentuk

basis untuk ruang kolom B.

TEOREMA 5.5.6

Jika matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor baris dengan 1

terkemuka 's (vektor-vektor baris nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R,

dan vektor-vektor kolom dengan 1 terkemuka murah dari baris vektor membentuk suatu

basis untuk ruang kolom dari R.

5.6 PERINGKAT DAN KEKOSONGAN

EMPAT RUANG MATRIKS DASAR

Jika kita mempertimbangkan matriks A dan transposnya TA bersama-sama, maka ada

enam ruang vektor yang menarik:

ruang baris dari A ruang baris dari TA

ruang kolom dari A ruang kolom dari TA

nul dari A nul dari TA

Namun, transposing matriks mengkonversi vektor baris ke vektor kolom dan vektor

kolom menjadi vektor baris, sehingga kecuali untuk perbedaan notasi, ruang baris dari

TA adalah sama dengan ruang kolom dari A , dan ruang kolom dari TA adalah sama

dengan ruang baris dari A . Hal ini membuat empat ruang vektor yang menarik:

ruang baris dari A ruang kolom dari A

nul dari A nul dari TA

Ini dikenal sebagai ruang matriks dasar yang terkait dengan A . Jika A adalah matriks

m x n, maka ruang baris dari A dan nul dari A adalah subruang dari nR , Dan ruang

kolom dari A dan ruang nul dari TA adalah subruang dari nR . Tujuan utama kami

dalam bagian ini adalah untuk membangun hubungan antara dimensi empat ruang

vektor tersebut.

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM MEMPUNYAI DIMENSI YANG SAMA

TEOREMA 5.6.1

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai

dimensi yang sama.

TEOREMA 5.6.2.

Jika A adalah sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT).

TEOREMA 5.6.3 (Teorema Dimensi untuk Matriks).

Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka

rank(A) + kekosongan(A) = n (4)

TEOREMA 5.6.4.

Jika A adalah suatu matriks nm , maka:

(a) rank(A)= jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0.

(b) kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian dari Ax = 0.

TEOREMA 5.6.5 (Teorema Konsistensi).

Jika Ax = b adalah suatu sistem linier dengan m persamaan san n peubah, maka

pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen.

(a) Ax = b Konsisten

(b) b berada dalam ruang kolom dari A

(c) Matriks koefisien A dan matriks yang diperbanyak [A | b] mempunyai peringkat

yang sama

TEOREMA 5.6.6.

Jika Ax = b adalah suatu sistem linier dengan m persamaan dalam n peubah, maka

pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen.

(a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x l

(b) Vektor-vektor kolom A merentang mR .

(c) Rank(A) = m

TEOREMA 5.6.7

Jika Ax = b adalah suatu sisten linier yang konsisten dengan m persamaan dalam n

peubah, dan jika A mempunyai peringkat r, maka penyelesaian umum dari sistem

tersebut mengandung n-r paremeter.

TEOREMA 5.6.8

Jika A adalah suatu materiks m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.

(a) Ax = 0 hanya mempunyain penyelesaian trivial

(b) Vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier

(c) Ax = b paling banyak mempunyai suatu penyelesaian (tidak ada atau satu)

untuk setiap matriks b, m x l

TEOREMA 5.6.9

Jika A adalah suatu matriks n x n, dan jika nnA RRT : adalah perkalian dengan A,

maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen.

(a) A dapat dibalik

(b) Ax = 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial

(c) Bentuk baris-eselon tereduksi dari A adalah In

(d) A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-matriks dasar

(e) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1

(f) Ax = b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks b, n x 1

(g) det A 0

(h) Daerah hasil AT adalah nR

(i) AT adakah satu-satu

(j) Vektor-vektor kolom dari A bebas secara linier

(k) Vektor-vektor baris dari A bebas secara linier

(l) Vektor-vektor kolom dari A merentang nR

(m) Vektor-vektor baris dari A merentang nR

(n) Vektor-vektor kolom dari A membentuk suatu basis untuk nR

(o) Bektor-vektor baris dari A membeentuk suatu basis untuk nR

(p) A berperingkat n

(q) A mempunyai kekosongan 0