Rappeler les lois de conservation - cours-examens.orgcours-examens.org/.../Mecanique/Turbomachine/1_PDFBloc2_2013.pdf · dans la direction de U C x : ... Les lois de la thermodynamique
bull Introduire lrsquoeacutequation drsquoEuler pour les turbomachines
bull Preacutesenter le lien entre lrsquoeacutequation drsquoEuler et lrsquoeacutequation delrsquoeacutenergie
bull Faire un rappel du premier et du second principe de lathermodynamique
4
bull Revoir quelque eacuteleacutements de la dynamique des gaz
bull Rappeler les processus thermodynamiques dans le diagrammeh-s (enthalpie-entropie)
bull Preacutesenter des formules pour le calcul des rendements totale-agrave-totale et polytropique dans un turbomachine
Dans un systegraveme isoleacute lrsquoeacutenergielrsquoimpulsion le moment cineacutetiquesont conserveacutes au cours du temps
v
ds
0V S
d dV v dSdt
ρ ρ+ sdot =int int
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
Continuiteacute
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
4
bull Revoir quelque eacuteleacutements de la dynamique des gaz
bull Rappeler les processus thermodynamiques dans le diagrammeh-s (enthalpie-entropie)
bull Preacutesenter des formules pour le calcul des rendements totale-agrave-totale et polytropique dans un turbomachine
Dans un systegraveme isoleacute lrsquoeacutenergielrsquoimpulsion le moment cineacutetiquesont conserveacutes au cours du temps
v
ds
0V S
d dV v dSdt
ρ ρ+ sdot =int int
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
Continuiteacute
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Dans un systegraveme isoleacute lrsquoeacutenergielrsquoimpulsion le moment cineacutetiquesont conserveacutes au cours du temps
v
ds
0V S
d dV v dSdt
ρ ρ+ sdot =int int
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
Continuiteacute
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
v
ds
0V S
d dV v dSdt
ρ ρ+ sdot =int int
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
Continuiteacute
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
Continuiteacute
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Continuiteacute
V A
d dV v dAdt
ρ ρ= minus sdotint int
V
dA
Flux massique traversant la surface
Accumulation dans le volume dans le temps
0Reacutegime permanent
2
1 1 1 2 2 21
ρ ρ ρminus sdot = minusint v dA v A v A
1D
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
2 2 2 1 1 1m v A v Aρ ρ= =
Continuiteacute
1 1 1v Aρ
2 2 2v Aρ
2
2 2 2 1 1 11
ρ ρ ρsdot = minusint v dA v A v A
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
v
ds
Quantiteacute de Mouvement
= + sdotint intV Sv vdF dV v dS
dtρ ρ
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Quantiteacute de Mouvement
Variation de la Q de mouvement dans le volume
Flux de la Q de Mouv
Forces de corps et de surface
+ sdot =sumint intV AA
d vdV vv dS Fdt
ρ ρ
dSvdS
ρv
v
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
v
ds
Moment angulaire
ρ ρ= times + times sdotint intV Sv vdM r dV r v dS
dt
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
2 2 2 2 1 1 1 1 12( ( )) ( )= times sdot = times minus timesintS vM v vr v dS r v A r v Aρ ρρ
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
m m
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Moment angulaire
0times =intV vd r dVdt
ρ
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Moment angulaire
C2xC2m
C2u
r2
r1
C1m
C1u
ω
C1x
C2=v2
C1=v1
2 2 1 1( )= times minus timesM m r v r v
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Moment angulaire
V=C
r
r x v = r cuCu
θ
cu=c sinθ
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
v2
v1
( )2 2 1 1= minus u uM m c r c r
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
r x v = r cu
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )2 2 1 1M m r V r V= times minus times
v2
v1
( )2 2 1 1u um c U c U= minus( )2 2 1 1= minusu uM m c r c r ( )2 2 1 1= minusu uW m c r c r ω
Cu composante tangentielle de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction de UCx composante axiale de la vitesseCm composante meacuteridionale de la vitesse absolue C projeteacutee dans la direction normale agrave U
Uvitesse tangentielle de la roue
r x v = r cu
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )2 2 1 1u uW m c U c U= minus
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )2 2 1 1= = minus
u uWE C U C Um
( )2 2 1 1minus= u uC U C U
Hg
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
dAv
vdA
ρe p
Q
W
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )ρ ρ+ + sdot = minusint int V S
d edV e p v dS Q Wdt
0 1-D 02
2 11
) ( ) ( )( ρρ ρ ρρ ρ ρ+ sdot = + minus + = minusint e p v dS vAe pvA vAe pvA W
1-D
( )2 2= + +e u v gz
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
2 1( ) ( )+ minus + = minus vAe pvA vAe pvA Wρ ρρ ρ ρ ρ
2 22 2
2 22 2
+ minus + = minus
p pm e m e Wρ ρ
2 22 1
2 12 2
+ minus + = minus
V Vm h h W
( )02 01minus = m h h WSoudainement on se place du point de vue du fluideet on considegravere que lrsquoeacutenergie 119882 est positive si lefluide augmente son niveau eacutenergeacutetique lors dupassage par le rotor
( )2 2= + +e u v gz
( )ρ= +h u p
2
0 2= +
Vh h
2 2 2 1 11= =m v A v Aρ ρ
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( ) ( )02 01 2 2 1 1u uh h C U C Uminus = minus
Eacutenergie Euler
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Roue
Avant-DistributeurAvant-Directrices
Directrices
Aspirateur
Bacircche spirale
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
02= sdot =int r im v ds v rbρ ρ π
02rm Q v rbρ ρ π= = 814 =rv m s
814 940 cos 0866θ
= = =rvV m s
vr vitesse radiale
ir
0b
030
VQ = 272 m3s r i = 38m bo=14 m θ=300 ρ=1000 kgm3
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Calculez la puissance geacuteneacutereacutee
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
01 1 cos 20 916 = =uc c m s
2 25236 916 479616( )
= minus times = minus
W m sm
2 26( ) 479616( ) 02877 = minus times = minusW kg s m s MW
2 1 60 5236π= = = =U U U d n m s
( )2 2 1 1= = minus
u uWE c U c Um
Puissance
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Les lois de la thermodynamique controcirclent lamonteacutee et la chute des systegravemes politiques laliberteacute ou la soumission des peuples lesmouvement de lrsquoindustrie et du commerce lesorigines de la richesse et de la pauvreteacute et le bien-ecirctre de la race humaine
FREDERICK SODDY(Prix Nobel 1921)
Le premier principe concerne le caractegravereconservatif de lrsquoeacutenergieLe second principe regarde la qualiteacute delrsquoeacutenergie
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Indeacutependant du chemin
( ) ( )f
reacutev
i
QS f S iT
δminus = int
( ) ( )f
irr
i
QS f S iT
δminus ne int
f reacuteversible
irreacuteversiblei
i
f
reacuteversible
Irreacuteversible + systegraveme isoleacute
( ) ( )S f S ige
frev
i
QS( f ) S( i )T
δminus = int
0minus + leintf
irrvi
QS( i ) S( f )T
δ 0irrvQδ = (systegraveme isoleacute)
0f f
irrv reacutevi i
Q QT T
δ δminus leint int
∮ 120575120575119876119876119879119879le0
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
i
f
reacuteversible
Irreacuteversible + systegraveme isoleacute
( ) ( )S f S ige
frev
i
QS( f ) S( i )T
δminus = int
0minus + leintf
irrvi
QS( i ) S( f )T
δ 0irrvQδ = (systegraveme isoleacute)
0f f
irrv reacutevi i
Q QT T
δ δminus leint int
∮ 120575120575119876119876119879119879le0
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Il existe une fonction qui ne peut jamais deacutecroicirctre dans un systegraveme isoleacute Cette fonction est lrsquoentropie S
La variation de lrsquoentropie ΔS est donneacutee par
ougrave Qrev est la chaleur eacutechangeacutee de maniegravere reacuteversible et T est la tempeacuterature agrave laquelle lrsquoeacutechange se produit
frev
i
QS S( f ) S( i )T
δ∆ = minus = int
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
P2
V1 V2
W
P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Vi Vf
W
δrarr0P2 Eacutetat initial
P1 Eacutetat final
P2- δP2- 2δ
P2
P2
P2- δP2
P1
P2- nδ=P1
Eacutetat finalEacutetat initial
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Vi Vf
W
δrarr0
Vi Vf
W
La qualiteacute de la transformation est diffeacuterente Le travail produit estmaximal pour une transformation reacuteversible
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
Pi Eacutetat initial
Pf Eacutetat final
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
P1V1T1
P2V2T2
P3V3T3
1
2 3 Ensemble de points agrave lrsquoeacutequilibredans ldquolrsquounivers thermodynamique rdquo
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Y
S
X
A
B
Processus quasi-statique une courbe (une succession drsquoeacutetats drsquoeacutequilibre) sur la surface XYS
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
0B AS Sminus ge
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Processus quasi-statique irreversible une courbesur la surface qui a lieu agrave entropie croissante
Y
X
AB
S=cte
S
Processus quasi-statique reacuteversibleun processus quasi-statique qui a lieu agrave entropie constante
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Y
S
X
A
B
processus reacuteel
La surface drsquoeacutetat est une ideacutealisation dans lrsquouniversthermodynamique Cette ideacutealisation permet deconcevoir un processus ideacuteal (des eacutequations) ditquasi-statique deacutecrivant le passage par une seacuteriedrsquoeacutetats drsquoeacutequilibre sur cette surface
Un processus reacuteel est succession drsquoeacutetats hors lrsquoeacutequilibrethermodynamique Il ne peut donc pas ecirctre deacutefini sur lasurface drsquoeacutetat et on ne connait pas des eacutequations pour ledeacutecrire
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
T= cte
T= cte
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Solide
Liquide
LiquideVapeur
SolideVapeur
p= cte
p= cte
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
R est le rapport entre la costante universelle Ru=83143 J(kmol K) et la masse moleacuteculaire du gaz
MRR u=
=p RTρ
vv
u ducT dTpart = = part
minus = int2
1
T
2 1 vTu u c dT
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
2
1
T
2 1 pT
h h c dTminus = int
ρpuh +=
pp
h d hcT dTpart = = part
1 1
pp v p v
v
cR Rc c R c cc
γ γγ γ
minus = = = =minus minus
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
revQdsT
δ=
frev
i
QsT
δ∆ = int
qdsTδ
= q Td sδ =
revq Qδ δ=
Le premier principe 119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934 = 120633120633119954119954 minus 119953119953119941119941119953119953 srsquoeacutecrit donc
du Tds p d v= minus d h Tds vd p= +
Tds du pdv dh vdp= + = minus
Il srsquoagit de la formulation du premier principe en fonction devariables deacutetat uniquement
q Td sδ =
119941119941119941119941 = 120633120633119954119954 minus 120633120633119934119934
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
La deacutefinition drsquoenthalpie 119889119889ℎ = 119888119888119901119901119889119889119879119879 ainsi que lrsquoeacutequation des gazparfaits 119875119875119875119875 = 119877119877119879119879 permettent drsquoeacutecrire lrsquoeacutequation du premierprincipe 119879119879119889119889119879119879 = 119889119889ℎ minus 119875119875119889119889119875119875 sous la forme
= minuspRTTds c dT dPP
= minuspdT dPds c RT P
minus = minus2 22 1 v
1 1
T Vs s c ln R lnT V
minus = minus2 22 1 p
1 1
T Ps s c ln R lnT P
Lorsque cp cong constante et cv cong constante on trouve
= minuspdT dPds c RT P
2 22 1
1 1p
T Ps s c ln RlnT P
minus = minus
1Rcp minus
=γγ
2 2
1 1
p
RCT p
T p
=
Relation isentropique lorsque cp=cnste
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
Processus isentropique
minus
=
=
1
2 2
1 1s const
T pT p
γγ
La valeur atteinte par lrsquoenthalpie h lorsque le fluide est emmeneacute au repos selon unprocessus adiabatique reacuteversible
2vhh
2
0 +=
0 0
=int inth T
ph T
dh c dT
h0
2
0 2= +
p
vT Tc
2
0 0( )2
minus = minus =pvh h c T T
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2vhh
2
0 +=
h0
h0
d Effects - HondaRC 512000Yoshimura Dual ExhaustByFastGroan
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
1gz
2gz
22
2V
22
2 p
Vc
2T
01T
➊ ➋
22
02 2 2 p
VT Tc
= +
RTa γ=
avM =
1=
minuspRc γ
γ
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
22
2 p
Vc
2T
01T
➊ ➋
22
02 2 2 p
VT Tc
= +
RTa γ=
avM =
1=
minuspRc γ
γ
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
RTa γ=
avM =
1=
minuspRc γ
γ
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
2
0 2 p
vT Tc
= + 20 112
T MT
minus= +
γ
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
bull La tempeacuterature de stagnation est supeacuterieure agrave latempeacuterature statique
bull La diffeacuterence entre ces deux tempeacuteratures correspond agravelrsquoeacutenergie cineacutetique du fluide
Remarque Quantiteacute Totale= Quantiteacute de Stagnation = Quantiteacute drsquoArrecirct
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
La valeur atteinte par les variables T p et ρ lorsque le fluide estemmeneacute au repos par un processus isentropique
minus= + 20T 11 M
T 2γ
γ γγ minusminus = +
( 1 )20p 11 M
p 2
γρ γρ
minusminus = +
1 ( 1 )20 11 M
2
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
On parle de quantiteacutes critiques lorsque M = 1
minuslowast = +
( 1 )
0
p 2p 1
γ γ
γ
lowast = + 0
T 2T 1γ
lowast minus = +
11
0
21
γρρ γ
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Pour un eacutecoulement isentropique dans une conduite il est possible decombiner plusieurs eacutequations en une seule afin drsquoexprimer le deacutebit massiqueen fonction du nombre de Mach des conditions de stagnation et de lasection de la conduite Notamment
= = = =p p pm v A v A v A A
RT RT Ta M
Rγ γ
γ γρ
a RT M v aγ= =
= = =p pm v A M A M AR
RTT RT
γρ γ γγ γ
=RTm MpA
γ
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
=RTm MpA
γ
20 M2
11TT minus
+=γ
1 11
0 0 0 0
minus
minus = =
T p TT p T
γγ γρ
ρ
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
Connaissant le nombre de Machon peut trouver facilement le deacutebitPar contre il faut reacutesoudre uneeacutequation non lineacuteaire pour trouverle nombre de Mach
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
12( 1 )0 2
0
RT 1m M 1 MP A 2
γγγγ+
minusminusminus = +
m vAρ=
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
La thermodynamique est 3D
Transformation agrave s=cte
Transformation irreversible
Nous regarderons la projection enthalpie-entropie
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
bull Le diagramme h-s est utiliseacute pour repreacutesenter lestransformations dans les turbomachines
bull Dans le plan h-s on peut facilement visualiser et comparerles variations drsquoenthalpie entre une transformation reacuteelleet la transformation ideacuteale
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
Ce graphique h-s comprend 4 plans agrave p=cte p1p01p2 p02
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
1 2
=minus=minus
01 02
01 02s s
r
W h hW h h
η minus=
minus01 02
ttT01 02s
h hh h
h01
h02
C222
2s
WrWs h1
1
h2
2
C122
C222
1 2
02 01
02 01
η minus=
minuss
ttCh hh h
02 01
02 01
s s
r
W h hW h h
= minus
= minus
h02
h01
C222
C222
C122
h1
h2
❶
❷
Wr Ws
02 01
02 01
sttC
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 02ttT
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
Nous travaillerons avec cette deacutefinition
2 01
02 01
stt
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 2tt
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
1 2
02 01
02 01
η minus=
minuss
ttCh hh h
02 01
02 01
s s
r
W h hW h h
= minus
= minus
h02
h01
C222
C222
C122
h1
h2
❶
❷
Wr Ws
02 01
02 01
sttC
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 02ttT
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
Nous travaillerons avec cette deacutefinition
2 01
02 01
stt
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 2tt
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
02 01
02 01
sttC
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 02ttT
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
Nous travaillerons avec cette deacutefinition
2 01
02 01
stt
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 2tt
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
2 01
02 01
stt
h hh h
η minus=
minus
01 02
01 2tt
s
h hh h
η minus=
minus
Compresseur
Turbine
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
02 02 01 02 01( )s s s p sW h h h c T T= ∆ = minus = minus
020 01
01
1
= ∆ = minus s
s s pTW h c TT
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
1
γ= =γ minusp
Rc cnste
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Isentropique
0201
01
1 1ss
TW RTT
γ minus= minus γ
( 1)
02 02
01 01
sT pT p
γminus γ
=
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Processus deacutecrit par 119901119901119875119875119899119899 119900119900119900119900 119901119901120588120588119899119899
= 119888119888119888119888119879119879119888119888119888119888 (119888119888119901119901 demeure frasl120574120574119877119877 120574120574 minus 1 )( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Lrsquoeacutequilibre thermodynamiquecorrespond au maximum delrsquoentropie
J Willard Gibbs
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
= minusTds dh vdp2 2
2 11 1= minus minusint intTds h h vdp
Nous voulons calculer le travail polytropique utilisant larelation Tds de Gibbs
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( 0)=Q02
0 02 01 01h h h vdp∆ = minus = int
0W hm
minus = ∆
eWWm
=
02
01eW vdp= minusint1egravere loi
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
=npv cte02
01eW vdp= minusint
( ) ( )02 02 01 01 02 011 1pn nRW p v p v T T
n n= minus minus = minus minus
minus minus1
02 02
01 01
nnT p
T p
minus
=
( 1)
01 02
01 01
11
n n
pp pnW
n p
minus = minus minus minus ρ
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( 1)
01 02
01 01
11
minus = minus minus ρ
n n
pp pnW
n p
( 1)
01 02
01 01
11
minus γ = minus γ minus ρ
n n
effp pW
p
Isentropique
( 1)
01 02
01 01
11
γminus γ γ = minus γ minus ρ s
p pWp
Effectif
Polytropique
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Turbine
= =eff effs p
s p
W WW W
η η
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
n n
n np
p pp
p pnn p
minus
minus
γ minus γ minus ρ η = minus minus ρ
( 1) ( 1) pn nηγ γminus
=minus
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Compresseur
η η= = pss p
eff eff
WWW W
( 1)
( 1)
01 02
01 01
01 02
01 01
11
11
minus
minus
minus minus ρ η = γ minus γ minus ρ
n n
n np
p pnn p
p pp
( 1) ( 1) γ γη minus
=minusp n n
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
δh
δhs
On regarde le rapport entre le travail reacuteel et le travail ideacuteal drsquoun eacutetage infiniteacutesimal
lim= rarrps
hhη δδ
Compresseur
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Compresseur
= minusTds dh vdp
sp dh
dh=η
= minussdhTds vdp
= pdh c dT
pp p
dp dpRT pc dT c dT
ρη = =
2
1
2
1
p
pp p
dT R dpT c pη
=int int
2 2
1 1
p p
RcT p
T p
η =
Deacutefinition
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Turbine
= minusTds dh vdp
ps
dhdh
=η
= minussTds dh vdp
= pdh c dT
ηρ
= =p pp
c dT c dTdp dpRT p
2
1
2
1
η=int int
pp
pp
RdT dpT c p
2 2
1 1
η
=
p
p
RcT p
T p
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η γ γη
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ps s
s
p pT T T TT T T T p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
Compresseur
pc cte=
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )minus
= =
p p pR c 1
2 2 2
1 1 1
T p pT p p
η η γ γ
( )( )
( 1)
( 1)2 12 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
η γ γ
γ γη
minus
minus
minusminus minus = = = minus minus minus
p
ss s
p pT T T TT T T T p p
pc cte=
Turbine
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1
p
s
p p
p p
γ η γ
γ γη
minus
minus
minus = minus s pη ηge
( )( )
( 1)
( 1)2 1
2 1
1
1ps
p p
p p
γ γ
γ γηηminus
minus
minus = minus s pη ηle
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Agrave lrsquoentreacute du rotor drsquoun compresseur la vitesse moyenne est C1=300 ms Lrsquoairede la section de passage est A=008 m2 La tempeacuterature et la pression delrsquoenvironnement autour du compresseur sont respectivement T =300K etP = 100kPa La puissance fournie au fluide est W=300 kW Calculez
A=008 m2
c1
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
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C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
1bullLes conditions de stagnation tempeacuterature pression et
masse volumique agrave lrsquoentreacutee du compresseur
2bullLe deacutebit massique
3 bullLa pression de stagnation maximale possible agrave la sortie
Consideacuterez un processus isentropique entre tout point delrsquoenvironnement et lrsquoentreacutee du compresseurConsideacuterez que la vitesse c1 est aligneacutee avec lrsquoaxe de lrsquoarbreConsideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R~287(Jkg-K) etcp =1010(Jkg -K)
Stagnation= Arrecirct
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
c1=300 ms 01
01
01
Tpρ
=
=
=300100==
T Kp kPa
m =
02 (max) p ==c 0
⓿
❶ ❷
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Conditions de stagnation agrave lrsquoentreacutee du compresseur
Deacutebit massique ρ1c1A1
Tempeacuterature T1
21
01 1 2 p
cT Tc
= +
21
1 01 2 p
cT Tc
= minus2300300 2554
2 1010K= minus =
times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
0101 01 01 3
01
300 100 1162p kgT K p kPaRT m
ρ= = rarr = =
❶
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Pression
1010287
1 1
01 01
255100 5675300
pcRp T kPa
p T = rarr =
Masse volumique ρ1
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kWR=287(Jkg-K) cp =1010(Jkg-K)
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Masse volumique ρ1
Deacutebit massique
11 3
1
5675 0774287 255
p kgRT m
ρ = = = times
1 1 1 0774 008 300 1857 m A c kg sρ= = times times =
Voie rapide
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
12( 1 )01 2
1 0
RTRT 1M M 1 Mc P A 2
mγγγ γγ+
minusminusminus = rArr = +
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
02 01 3158p
WT T Km c
= + =times
02 0202
01 01
1198
pcRp T p kPa
p T
= rarr =
C1=300 ms A=008 m2
T =300K P = 100kPaW=300 kW
Pression (totale) maximale agrave la sortie
02 01 02 01( )pW h h c T Tm
= minus = minus
01
01
300100
==
T Kp kPa
1857 =m kg s
02 (max) =p
W=300 MW
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
La formule drsquoEuler etlrsquoeacutequation de lrsquoeacutenergie
Eacutenergie
Eacutenergie 1D eacutetat stationnaire
Eacutenergie
Eacutequation fondamentale
Diapositive numeacutero 27
Diapositive numeacutero 28
Diapositive numeacutero 29
Diapositive numeacutero 30
Diapositive numeacutero 31
Thermodynamique
Frederick Soddy
Premier et second principes
La Mafia de la Thermo
Systegraveme + convention
Reacuteelquasi-statique
d vs δ
Travail de compression
Cycle premier principe
Cycle second principe
Alorshellip
Rudolf Clausius1865
Lrsquoineacutegaliteacute de Clausius
Systegraveme continu
La notion drsquoentropie
Croissance de lrsquoentropie
La notion drsquoentropie
Transformation irreacuteversible
Transformation reacuteversible
Reacuteelle et ideacuteale
Surface drsquoeacutetat
Processus
Processus
Processus reacuteel
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Surface drsquoeacutetat P-V-T
Eacutecoulements compressibles
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations des gaz parfaits
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Eacutequations Tds
Gaz parfait
Gaz parfait
Gaz parfait cp=cnste
Eacutetat de stagnation drsquoarrecirct ou total
Eacutetat de stagnation
Analogie
Analogie
Tempeacuterature
Agrave savoir
Eacutetat de stagnation indice 0
Eacutetat critique
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Eacutequation non lineacuteaire du deacutebit
Projection
Le diagramme h-s
Processus
Rendement isentropique
Turbine
Compresseur
Rendement total-agrave-total
Total-agrave-statique et Stat-agrave-total
Rendement polytropique
Travail isentropique
Travail isentropique
Travail effectif
Travail Polytropique
Relation de Gibbs
Rendement thermique
Travail Polytropique
Alorshellip
Rendement polytropique
Rendement polytropique
Rendement polytropique II
Rendement Polytropique II
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Relations polytropiques
Diapositive numeacutero 104
Diapositive numeacutero 105
Diapositive numeacutero 106
Diapositive numeacutero 107
Diapositive numeacutero 108
Diapositive numeacutero 109
Diapositive numeacutero 110
Diapositive numeacutero 111
Donneacutees
Travail speacutecifique
Tempeacuterature totale T02
Pression
Diapositive numeacutero 116
Formulesrappel
Rendement eacutetage 1
Tempeacuteratures
Rendements
Agrave venir
Chapitre 9 Eacutecoulements compressibles
Eacutetat de stagnation
Consideacuterez que la vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement agrave lrsquoentreacutee est aligneacutee aveclrsquoaxe de lrsquoarbre (sans preacuterotation)Consideacuterez lrsquoair comme un gaz ideacuteal avec R=287(Jkg-K)
Un compresseur centrifuge tourne agrave n=20000 rpm Le diamegravetre exteacuterieur estD=300 mm et le nombre de pales est Z =15 Les conditions de stagnation agravelrsquoentreacutee sont T0 =150C et p0 = 100kNm2 Le deacutebit massique drsquoair est 119950 =09kgset la composante peacuteripheacuterique de la vitesse absolue agrave la sortie est 90 de lavitesse tangentielle U en ce point Le rendement polytropique du compresseur estηp=80 Trouvez a) le travail speacutecifique We b) la tempeacuterature totale agrave la sortie T02
c) le rapport P-drsquoarrecirct-sortieP-drsquoarrecirct-entreacutee dans le rotor
n 20000 rpm=
00
0 2
T 15 CkNp 100m
=
=
22u 0c 9U=
p 08η =
=kgm 09s
c1
u1w1
c2
U2
c2m
c2u
2D
300m
m=
( )02 01 2 2 1 1 2 2( ) 09u uW h h c U c U U Um
= minus = minus = times
2
02 01 02 01 2( ) 88826pW mh h c T Tm s
= minus = minus =
2 2
209 31416 88826W m mm s s
= times =
22
20000 030 3141660 60
π π times times= = =
nD mUs
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
p pcR
02 02
01 01
p Tp T
η
=
c1
1 0uc =
001
2
01 2
2
p
u 2
kgm 09s
T 15 CkNP 100m
D 300mm08
n 20000 rpm09Uc
=
=
=
=η =
==
2 2
02 0188826288
1012p
W m sT T Kc m J kg K
= + = +minus
02 37568T K=
On a chercheacute une tempeacuterature moyenne puisque la valeur de cpdeacutepend de la tempeacuterature
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
P01 =15 bar T01 =350 K γ=14 ηks=rendement isentropique de lrsquoeacutetage k
Calculer le rendement polytropique du premier eacutetage Trouver le rapportT0entreacutee T0sortie pour chaque eacutetage Par la suite calculer ce rapport detempeacuterature le rp et le ηs pour des configurations agrave 23 et 4 eacutetages
