Rapport de PFE

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007

RAPPORT DE PROJET DE FIN DETUDES ESISAR 2006/2007

Modlisation, optimisation dynamique et commande dun mthaniseur par digestion anarobie.

Laboratoire ELIAUSLaboratoire d'ELectronique, Informatique, AUtomatique et Systmes Universit de Perpignan Via Domitia 52 Avenue Paul Alduy, F66860 Perpignan Cedex

EYNARD Julien

Dates du stage Module dapprofondissement Tuteur Entreprise Tuteur ESISAR

Du lundi 5 fvrier au vendredi 6 juillet 2007 ISC Ingnierie de la commande des Systmes Complexes Grgory Franois Laurent Lefvre

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RAPPORT DE PROJET DE FIN DETUDES ESISAR 2006/2007Mots cls :Modlisation, Identification, Optimisation analytique, Principe du Maximum de Pontryaguine, Optimisation numrique, Rgulation, Bioracteur, Mthaniseur, Digesteur Anarobie, Biofilm, AM2

Rsum :Les bioracteurs anarobies sont aujourdhui des moyens performants pour dpolluer les eaux uses des industries agro-alimentaires. Leur capacit transformer les polluants en biogaz tel que le mthane offre de plus un intrt cologique et nergtique non ngligeable puisquils sinscrivent aujourdhui dans les sources dnergies renouvelables. Cependant, la mise en uvre des bioracteurs anarobies reste souvent sous optimale, notamment pendant les phases de dmarrage pour lesquelles les modles disponibles sont insuffisamment prcis, notamment en ce qui concerne la prdiction des profils de biomasse. A partir dun modle existant, un modle de tendances a t dvelopp pour prdire de faon indpendante la biomasse en solution et la biomasse agglomre en biofilm. Lidentification des paramtres du modle a t ralise partir de donnes de dmarrage dun bioracteur appartenant au Laboratoire de Biotechnologie de lEnvironnement de lINRA de Narbonne. Ce modle a t utilis pour dterminer le profil de commande optimal du taux de dilution et de la concentration dalimentation en substrat appliquer au systme pour rduire le temps datteinte dun rendement puratoire pr-spcifi. Une tude sur la rgulation du rendement puratoire avec le taux de dilution a aussi t ralise et montre un bon compromis entre un excellent taux dpuration et une vitesse de dmarrage intressante.

Key words:Modelling, Identification, Analytic Optimization, Pontryaguine Maximum Principle, Numerical Optimization, Control, Bioreactor, Methaniser, Anaerobic Digester, Biofilm, AM2

Abstract:Today, anaerobic bioreactors are high-performance industrial facilities that are able to remove polluted wastewaters of the food-processing industries. Their capability to transform pollutant is interesting on an ecologic and energetic perspective, since biogases are deemed to be renewable energy sources. However, anaerobic digestion is often performed in a suboptimal manner, notably during the starting phases since biomass concentration transitory profiles are not correctly modelled. A tendency model has been developed on the basis of an existing dynamic model to predict independently bacteria in the solution and bacteria that are bound together in a biofilm. Model parameter identification has been performed using data obtained on the bioreactor of the Environmental Biotechnology Laboratory of the INRA of Narbonne. With this tendency model, optimal control profiles have been found, in terms of dilution rate and organic substrate inlet concentration. Applying this optimal profile to the system leads to a reducing of the time needed to reach a pre-specified yield. In addition, dilution rate was used to control the purification yield. This case study raised a good compromise between high purification rate and a significant final time reduction of the start-up phase.

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Remerciements

Je souhaite exprimer ma reconnaissance M. Grgory FRANCOIS qui ma encadr durant ce stage. Les nombreuses connaissances scientifiques quil ma apportes tout au long de ce projet ont fortement contribu son bon droulement.

Je remercie Mme Monique POLIT qui en acceptant ma candidature ma permis de raliser ce stage dans le laboratoire ELIAUS de lUniversit de Perpignan.

Je remercie galement M. Eric LATRILLE et Jean-Philippe STEYER de lINRA pour leur collaboration scientifique ce projet. Leurs comptences scientifiques, notamment en biologie et au niveau du bioracteur ont t trs utiles pour guider nos recherches.

Enfin je souhaite remercier tous les membres du laboratoire ELIAUS pour leur accueil chaleureux au cours de mon stage.

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Table des matiresIntroduction ........................................................................................................................ 5 Prsentation de lentreprise ................................................................................................ 6 2.1 LUniversit de Perpignan Via Domitia..................................................................... 6 2.1.1 Historique et prsentation................................................................................... 6 2.1.2 Formations.......................................................................................................... 6 2.1.3 International ....................................................................................................... 6 2.1.4 Recherche ........................................................................................................... 7 2.2 Laboratoire ELIAUS .................................................................................................. 7 2.2.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 7 2.2.2 Orientation des recherches ................................................................................. 7 2.2.3 Enseignement ..................................................................................................... 8 2.3 Equipe COSMOS ....................................................................................................... 8 2.3.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 8 2.3.2 Procds de dpollution des eaux uses............................................................. 8 2.3.3 Energie solaire, habitat et production dlectricit............................................. 8 2.4 Laboratoire de Biotechnologie de l'Environnement de lINRA de Narbonne ........... 9 2.4.1 Objectifs scientifiques ........................................................................................ 9 2.4.2 Axes de recherche .............................................................................................. 9 3. Cahier des charges............................................................................................................ 10 3.1 Etude bibliographique .............................................................................................. 10 3.2 Modlisation et Identification .................................................................................. 10 3.3 Optimisation ............................................................................................................. 10 3.3.1 Optimisation analytique ................................................................................... 10 3.3.2 Optimisation numrique................................................................................... 11 4. Dveloppement du sujet de stage ..................................................................................... 12 4.1 Chronologie du travail effectu................................................................................ 12 4.2 Principes de fonctionnement et modlisation dun bioracteur mthaniseur anarobie. ............................................................................................................................. 13 4.2.1 Etude du fonctionnement des biomthaniseurs................................................ 13 4.2.2 Modles existants de bioracteur ..................................................................... 19 4.2.3 Positionnement du problme ............................................................................ 23 4.3 Principes thoriques de loptimisation ..................................................................... 24 4.3.1 Problme doptimisation dynamique ............................................................... 24 4.3.2 Algorithmes doptimisation numrique ........................................................... 27 4.4 Application de loptimisation au bioracteur anarobie de lINRA ........................ 31 4.4.1 Amlioration de la modlisation ...................................................................... 31 4.4.2 Identification des paramtres du modle.......................................................... 35 4.4.3 Recherche de profils de commande optimaux ................................................. 39 4.4.4 Rgulation pour loptimisation......................................................................... 45 4.5 Conclusion sur les rsultats du projet....................................................................... 48 5. Conclusion gnrale du projet.......................................................................................... 49 6. Estimation financire : prsentation dun compte dexploitation du projet ..................... 50 7. Bibliographie.................................................................................................................... 51 8. Annexes............................................................................................................................ 52 1. 2.

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1.

Introduction

Aujourdhui, le retraitement des dchets, uvrant pour la sauvegarde de lenvironnement est devenu un des thmes prioritaire la fois pour lcologie, la politique et lindustrie. Leau, symbole de la vie par excellence, a t pendant des sicles utilise sans considration. Elle a t utilise, souille, puis rejete sans le souci de la gestion de la pollution occasionn dans le milieu naturel. Cependant, des avances importantes ont t ralises, depuis le sicle dernier pour la dpollution de cette ressource naturelle essentielle. Aprs une utilisation inconsidre pendant des sicles, une prise de conscience a favorise lessor des moyens de dpollution. Aujourdhui dans de nombreux pays, les industries se doivent de respecter cette ressource. Son utilisation des fins industrielles, par exemple, nest alors permise que si lentreprise qui lutilise fait en sorte de la rintroduire dans lenvironnement dbarrasse des principaux polluants qui pourraient empoisonner les sols, les nappes phratiques, les fleuves ou les ocans. Pour cela des stations dpurations, ou dautres moyens de dcontamination, ont t dvelopps et sont actuellement utiliss. Cependant, il y a encore de nombreux progrs faire dans ce domaine. Ce projet sintresse ltude et lamlioration de lun de ses moyens de dpollutions de leau use, sous la forme dun racteur biologique fonctionnement anarobie (sans oxygne) qui dgrade les polluants prsents dans les eaux. Ce procd est connu depuis longtemps mais reste encore marginal, malgr le dveloppement quasi-exponentiel du march. Pourtant il prsente des avantages certains par rapport aux procds arobies utiliss gnralement dans les stations dpuration. Ainsi, ce procd permet de fabriquer du biogaz qui peut tre rcupr et valoris pour faire de lnergie et entre de fait dans la catgorie des installations productrices dnergies renouvelables. Il permet en outre datteindre un taux dpuration trs important et rejette beaucoup moins de boues non biodgradables. Ce procd biologique est aujourdhui utilis principalement par les industries agro-alimentaires telles que les laiteries, les brasseries, les producteurs de vin Lobjectif principal de ce projet consistait amliorer la modlisation mathmatique de ce type de bioracteurs ainsi que de dterminer les profils dalimentation optimaux qui permettent damener le plus rapidement possible ce processus de dgradation biologique son rendement maximal, et de ly stabiliser, tout en respectant des contraintes dutilisation. Lide est de pouvoir dmarrer plus rapidement et plus efficacement les bioracteurs et donc damliorer le traitement des eaux uses pendant la phase de dmarrage, tout en rduisant les cots dexploitation. Ce stage sest droul au laboratoire ELIAUS de lUniversit de Perpignan en collaboration avec le Laboratoire de Biotechnologie et de lEnvironnement (LBE) de lINRA de Narbonne, ce dernier dtenant un de ces racteurs biologiques prindustriel. A partir des donnes de celui-ci, il a t possible deffectuer les travaux de modlisation, didentification, doptimisation et de rgulation. Ce document prsente en premier lieu lUniversit de Perpignan et plus particulirement lactivit du laboratoire ELIAUS. Ensuite, en seconde partie sont abords la thorie de loptimisation travers le principe du maximum de Pontryaguine, et les algorithmes doptimisation numrique utiliss. La troisime partie dfinit les problmes rsoudre et prsente les rsultats numriques obtenus au niveau de la modlisation, de loptimisation de la commande et de la rgulation dans le cas dun bioracteur anarobie.

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2.

Prsentation de lentreprise

2.1 LUniversit de Perpignan Via Domitia2.1.1 Historique et prsentationLUniversit de Perpignan a t fonde voil plus de 650 ans par ltat Catalano-Aragonais pour concurrencer lUniversit de Montpellier. Cest en effet, le 20 mars 1350 que Pierre IV le crmonieux roi dAragon, fonde la 1re Universit de Perpignan. Ds la fin du XIVme sicle, lUniversit de Perpignan Via Domitia (UPVD) devient lune des 25 plus grandes universits au monde et se caractrise par sa pluridisciplinarit, qui subsiste encore aujourdhui. Oublie par le dcret de Napolon au XIXme sicle, elle ne sera rhabilite que dans les annes 1950 et obtiendra son indpendance financire, administrative et pdagogique en 1979. Actuellement, lUniversit de Perpignan accueille chaque anne environ dix mille tudiants dont plus de trois mille trangers.

2.1.2 FormationsLUPVD est une universit pluridisciplinaire dont les formations sarticulent autours de quatre grands ples de formation et de recherche qui sont : - Sciences et technologies - Droit - Sciences de lhomme et Humanits - Economie et management Chacun de ses ples de formation propose plusieurs mentions. Ces domaines sont au centre des formations des cinq facults et des trois instituts de luniversit. - La Facult Lettres et Sciences Humaines (LSH) - La Facult Sciences Juridiques et Economiques (SJE) - La Facult Internationale de Droit Compar des Etats Francophones (FIDCEF) - La Facult Sports, Tourisme, Htellerie Internationale (STHI) - La Facult Sciences Exactes et exprimentales (SEE) - LInstitut Universitaire de Technologie (IUT) - LInstitut dAdministration des Entreprises (IAE) - LInstitut Franco Catalan Transfrontalier (IFCT) Les diplmes dlivrs par lUPVD sont conformes lorganisation europenne des tudes, qui veut que les diplmes respectent 3 paliers diffrents : Licence, Master et Doctorat, en vue dune harmonisation internationale. Les formations proposes permettent aux tudiants de sorienter soit vers un parcours professionnel, soit vers la recherche. De nombreuses collaborations existent avec des entreprises, des universits trangres ou des laboratoires de recherche, notamment pour les coles doctorales.

2.1.3 InternationalLUniversit de Perpignan est rsolument tourne vers linternational. Elle soutient une politique de mobilit et daccueil puisquenviron un tiers des tudiants scolariss sont trangers. Ceux-ci sont originaires de 64 pays diffrents. Les tudiants ne sont pas les seuls concerns car lUPVD participe des changes de chercheurs, de formateurs, de responsables administratifs dans le cadre de sjours dtude, de recherche, denseignement ou de formation. LUPVD possde un service interne, le Service Universitaire des Relations Internationales (SURI) qui soccupe de promouvoir et de dvelopper les actions en directions des tudiants trangers, de dvelopper et de coordonner les actions internationales, et de grer les accords de coopration interuniversitaires et les formations dlocalises ltranger.

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2.1.4 RechercheLa recherche scientifique sarticule autours des quatre domaines principaux de lUPVD, susmentionns prcdemment.

Laboratoire de rechercheLUPVD compte actuellement plus de 300 chercheurs rpartis dans 12 laboratoires de recherche dont 9 dans le domaine des sciences et technologies. Il y a en outre des units de recherche en collaboration avec le CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique) et avec lIRD (Institut de Recherche pour le Dveloppement).

Ecoles doctoralesLa formation doctorale est assure par deux coles doctorales au sein de lUPVD, lcole doctorale des Lettres et Sciences Humaines et lcole doctorale Energie et Environnement.

Ples de comptitivitLUPVD est membre de deux ples de comptitivit en rgion Languedoc Roussillon. Un ple de comptitivit correspond un partenariat, dans un espace gographique donn, entre des entreprises, des centres de formation et des units de recherche publiques ou prives engags dans une synergie autour de projets communs au caractre innovant. LUPVD fait donc partie du ple de comptitivit DERBI (Dveloppement des Energies Renouvelables dans le Btiment et lIndustrie) et Q@limed (Systmes agroalimentaires durables et qualits de vie en Mditerrane).

2.2 Laboratoire ELIAUSLe laboratoire ELIAUS (ELectronique, Informatique, AUtomatique et Systmes) est le laboratoire de lUPVD dans lequel jai effectu mon Projet de Fin dEtudes.

2.2.1 Objectifs scientifiquesLe laboratoire travaille sur des activits de recherche fondamentales et technologiques en relation avec le milieu industriel. Le laboratoire est trs souvent impliqu au sein du ple de comptitivit DERBI.

2.2.2 Orientation des recherchesDurant mon stage, trente trois personnes taient prsentes dans le laboratoire, dont seize enseignants chercheurs, un professeur dtach du CNRS, un technicien, une secrtaire, cinq doctorants et dix stagiaires. Le laboratoire ELIAUS sarticule autours de 3 quipes de recherches : - Lquipe COSMOS (COntrle Supervision MOdle Systmes) Cette quipe mne des travaux de recherche sur les sujets suivants : o Procds de dpollution des eaux uss o Energie solaire, habitat et production dlectricit Lquipe EPROM (Estimation des PROprits des Matriaux, Caractrisation de Composants) Les principaux axes de recherche de lquipe EPROM sont les suivants : o Caractrisation physique et thermique de matriaux multicouches o Matriaux de hautes performances thermolectriques, micro-capteurs o Composants et micro composants pour la microlectronique o Latmosphre et ses polluants - Lquipe DALI (Fiabilit numrique et haute performance informatique) Les quatre thmes de recherche sont : -

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007o o o o Augmenter le degr super scalaire des processeurs Exploiter les architectures mergentes hautes performances Amliorer la prcision des calculs Certifier les outils et les applications

2.2.3 EnseignementLes permanents du laboratoire participent aux enseignements de lUniversit dans la filire scientifique. Les filires suivantes sont sous la responsabilit du laboratoire : - Master Informatique Automatique - Licence EEA (Electronique, Electrotechnique Automatique) - Licence Sciences Physiques - Diplme Accs Etudes Universitaire (Diplme qui permet une fois valid aux personnes qui nont pas pass le baccalaurat de pouvoir poursuivre leurs tudes luniversit) - Licence Pluridisciplinaire Scientifique L3

2.3 Equipe COSMOSMon sujet de stage traitant dautomatique et doptimisation, jai effectu celui-ci au sein de lquipe COSMOS.

2.3.1 Objectifs scientifiquesLes thmes de travail de cette quipe de recherche sont orients vers lnergie et le dveloppement durable, dun point de vue automatique, c'est--dire, la modlisation, le contrle, loptimisation, la supervision, et la prdiction appliqus aux procds environnementaux. Les chercheurs de lquipe COSMOS interviennent plus prcisment dans deux domaines principaux, les procds de dpollution des eaux uss ainsi que lnergie solaire, lhabitat et la production dlectricit.

2.3.2 Procds de dpollution des eaux usesCette thmatique de recherche propose de modliser, de contrler et de superviser des procds de dpollution deaux uses. Les procds de dpollutions tudis sont des procds biochimiques difficiles modliser car ils sont complexes, non linaires et non stationnaires. Les modles dvelopps par les biologistes sont souvent composs dun nombre trop lev dquations diffrentielles et algbriques pour pouvoir les utiliser des fins de contrle. Les chercheurs de lquipe COSMOS utilisent trs souvent les rseaux de neurones et la logique floue pour modliser et contrler ces types de procds. Les principaux facteurs influents de ces procds sont le dbit gazeux en entre, le dbit dentre de leffluent industriel traiter, et la DCO (Demande Chimique en Oxygne) qui traduit le taux de pollution. Un des travaux effectus a permis de faire de lestimation de paramtres biochimiques qui se rvlent tre trs difficiles mesurer. Ces recherches destimation de paramtres et de diagnostique de capteurs ont par exemple t appliques sur des stations dpuration comme celle de Saint-Cyprien. Des travaux utilisant le clustering et lanalyse en composante principale ont permis doptimiser les paramtres de modlisation, damliorer la robustesse et les prdictions. Des commandes mixtes par logiques floue et adaptatives ont aussi t dveloppes pour contrler les procds de dpollution. Ces travaux ont ncessit un travail de coopration avec des laboratoires de recherche, notamment avec le LAAS de Toulouse, lUniversit de Grone, lUniversit Polytechnique de Catalogne.

2.3.3 Energie solaire, habitat et production dlectricitCet axe de recherche, bas sur la modlisation prvisionnelle de consommations nergtiques partir de prvisions mtorologiques, se traduit trs souvent par la ralisation de projets labelliss par le ple de comptitivit DERBI. Le travail porte sur loptimisation de lutilisation dinstallations nergies renouvelables. En fait, lobjectif est de faire de la prdiction mtorologique sur quelques jours pour savoir quelle quantit

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007dnergie sera fournie par les installations nergies renouvelables et optimiser leur utilisation avec les installations nergtiques classiques de type gaz ou fioul. Une bonne gestion de lutilisation des nergies renouvelables permet dviter de dclencher les installations lectriques nergies classiques quand ce nest pas ncessaire. La prdiction mtorologique est fate grce des traitements dimages satellites, des capteurs provenant de stations mtorologiques proches et de donnes Internet. En plus de la prdiction mtorologique, le travail porte aussi sur la prdiction de la consommation lectrique qui varie en fonction des saisons, des jours de la semaine, des heures de la journe. Pour prdire cette consommation en fonction des donnes passes, la logique floue, les rseaux de neurones et les statistiques sont trs souvent utiliss.

2.4 Laboratoire de Biotechnologie de l'Environnement de lINRA de Narbonne2.4.1 Objectifs scientifiquesLe laboratoire de Biotechnologie de lEnvironnement (LBE) est un laboratoire de lINRA (Institut National de Recherche Agronomique). Lobjectif scientifique de lINRA de Narbonne consiste mobiliser des sciences du vivant et des sciences pour l'ingnieur en vue d'explorer et d'exploiter le potentiel biochimique des microorganismes pour la protection des ressources physiques que sont l'eau, le sol et l'atmosphre.

2.4.2 Axes de rechercheLes principaux axes de recherche du LBE sont les suivants : La digestion anarobie Lcologie microbienne des procds de dpollution Les composs minoritaires des matrices Les biofilms et les flocs en racteur La matire biorfractaire solide ou soluble

Le LBE comporte 3 quipes de recherche : L'quipe Ecologie Microbienne tudie la microbiologie des procds de dpollution sous deux aspects, le rle de la microflore sur les procds (rendement, stabilit, rsilience) et l'impact de cette microflore lors de son rejet dans l'environnement (survie de micro-organismes indsirables) L'quipe Transfert Technologique a une double mission. D'une part assurer l'interface entre les quipes de recherche du LBE et le milieu industriel (transposition au stade prindustriel de rsultats de recherche) et d'autre part, rpondre des demandes en recherche applique ou en dveloppement, provenant des acteurs conomiques. L'quipe Ingnierie des Procds regroupe des comptences en gnie microbiologique, gnie des procds et automatique. Elle met en uvre et optimise sous l'angle cintique des ractions microbiennes afin de dvelopper sous contraintes conomiques et environnementales des bioprocds de traitement des effluents et des rsidus organiques solides. Ces bioprocds peuvent tre coupls des traitements physicochimiques dans le but d'amliorer les performances du traitement biologique. L'optimisation des procds tudis passe par la connaissance de l'hydrodynamique et des transferts de matire dans les racteurs, en particulier dans le cas des procds intensifs biomasse fixe (biofilm). Il est alors possible, en s'appuyant sur des modles, d'optimiser les performances et/ou garantir la stabilit des bioprocds de traitement, en se basant sur le dveloppement de nouveaux capteurs en ligne, la mise en uvre de lois de commande et de stratgies de supervision.

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3.

Cahier des charges

Le LBE de lINRA a dj travaill exprimentalement sur la diminution du temps de monte en charge des digesteurs anarobies. Des rsultats intressants dun point de vue pratique ont t obtenus. Lobjectif principal de ce projet tait de dvelopper les outils de base (un modle de tendances fiable, et des premiers rsultats de contrle optimal sur le modle) permettant denvisager de dterminer de faon thorique ou numrique la meilleure faon de dmarrer un digesteur anarobie lit fixe, tel quutilis au LBE.

3.1 Etude bibliographiqueTravail effectuer :Le premier objectif de ce projet est de procder un tat de lart en ce qui concerne la modlisation des racteurs biologiques anarobies qui sont utiliss pour la dpollution des eaux uses et qui produisent du biogaz, essentiellement du mthane. Le travail consiste consulter tous les articles et publications scientifiques sur le sujet et rdiger une synthse bibliographique pour choisir le type de modle utiliser pour la suite du projet.

Dlivrables :Un document rdig synthtisant les diffrents modles de bioracteurs mthaniseur digestion anarobie dvelopps ce jour. Un choix de modle partir de la synthse bibliographique

3.2 Modlisation et IdentificationTravail effectuerA partir de la synthse bibliographique et des donnes exprimentales disponibles lINRA, un modle dynamique du procd doit tre dvelopp, sous la forme dun systme algbro-diffrentiel dordre modr, permettant deffectuer efficacement des tudes de commande et doptimisation, avec les outils usuels (Matlab). Lidentification des paramtres se fait par optimisation numrique avec Matlab (minimisation de la distance entre les tats simuls et les donnes exprimentales).

DlivrablesUn ou plusieurs modles de tendance. Des fichiers de simulation Matlab permettant de simuler le modle de mthaniseur choisi et didentifier les paramtres du modle.

3.3 OptimisationLe travail doptimisation peut se dcomposer en deux tapes : une tude analytique, avec les outils de la gomtrie diffrentielle (crochets de Lie) sur un modle gnrique pour tudier la prsence darcs singuliers (cf. dfinition [4.3.1.3]), et une tude numrique, avec les outils doptimisation de Matlab, visant dterminer le profil de commande optimal dun modle ajust sur les donnes exprimentales.

3.3.1 Optimisation analytiqueTravail effectuerA partir du modle choisi la suite de la synthse bibliographique, le travail consiste calculer les arcs singuliers du modle. Les calculs doivent tre vrifis avec Matlab en utilisant la toolbox

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007symbolique. Si les rsultats sont assez simples ils pourront tre exploits lors de loptimisation numrique.

Dlivrablesdes fichiers de calculs symboliques Matlab permettant de faire le calcul analytique des arcs singuliers du modle selon le type de commande utilis pour contrler le systme. des documents rdigs faisant tat des rsultats des calculs analytiques darcs singuliers et concluant lexistence ou non darcs singuliers (selon le type de commande utilis) et leurs potentielles utilisations lors de loptimisation numrique selon leur complexit

3.3.2 Optimisation numriqueTravail effectuerLe travail consiste dfinir un problme doptimisation sous contraintes rsoudre. Pour cela, un travail de bibliographie doit permettre de savoir quel genre de problme doptimisation a t majoritairement tudi concernant les bioracteurs et quel formalisme mathmatique a t utilis. Ensuite il faut prdfinir des structures de commande appliquer et utiliser des algorithmes doptimisation numrique qui permettront de dterminer les paramtres optimaux. Enfin un travail de rgulation sera envisag selon les rsultats obtenus avec les profils optimaux de commande.

Dlivrablesun document de synthse bibliographique sur ltat de lart en ce qui concerne la dfinition des problmes doptimisation pour les bioracteurs. un document dfinissant le problme doptimisation choisit et les structures de commande choisies, ainsi que les rsultats numriques obtenus. un document dtaillant le type de rgulation choisi et les rsultats numriques obtenus. un document comparant les rsultats obtenus entre les profils : exprimental, optimal en boucle ouverte et rgul. des fichiers de Simulation Matlab permettant de dterminer le profil de commande optimal (instants de commutation entre les diffrents profils de commande et amplitudes des commandes) des fichiers de simulation Matlab avec des correcteurs permettant de rguler le systme

-

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4.

Dveloppement du sujet de stage

4.1 Chronologie du travail effectuMon travail a dbut par une tude bibliographique sur la modlisation des mthaniseurs par digestion anarobie. Cette tude a permis de choisir un modle de tendance pour modliser le bioracteur de lINRA. A partir de ce modle un travail doptimisation analytique a permis de prouver lexistence de profils optimaux de commande pour le dmarrage de ce bioracteur. Le projet sest poursuivit par trois itrations dun travail en cinq tapes successives : - Une amlioration de la modlisation existante, - Une identification des paramtres du nouveau modle avec un jeu de donnes exprimentales partir des mesures effectues sur le bioracteur de lINRA - Une recherche de profils optimaux de commande pour acclrer le dmarrage du bioracteur - Une synthse simple de correcteur pour contrler le dmarrage du bioracteur. - Une comparaison des rsultats obtenus A chacune de ces itrations le modle a t modifi en vue de lamliorer. Les rsultats de modlisation, didentification, doptimisation, et de rgulation prsents dans le rapport sont les meilleurs qui ont t obtenus lors de la dernire itration. Tout au long du projet, les biologistes de lINRA ont t prsents pour nous fournir des donnes, nous guider dans nos recherches et analyser les rsultats qui ont t obtenus.

Janvier

Etude bibliographique sur les bioracteurs anarobies Modlisation numrique

Fvrier

Etude bibliographique sur loptimisation analytique Recherche des arcs singuliers du systme

Mars

Travail de modlisation et didentification

Travail doptimisation numrique Avril Runion lINRA et prsentation des rsultats Mai Amlioration de la Modlisation, Identification Optimisation numrique, Rgulation Juin Amlioration de la Modlisation, Identification Optimisation numrique, Rgulation Rdaction Rapport Projet de Fin dEtudes

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4.2 Principes de fonctionnement et modlisation dun bioracteur mthaniseur anarobie.Les deux parties suivantes prsentent ce quest un bioracteur digestion anarobie, quel est son fonctionnement biochimique et quelles sont les manires de modliser mathmatiquement ce genre de procd.

4.2.1 Etude du fonctionnement des biomthaniseursLtat de lart sur les bioracteurs mthaniseurs anarobies ma permis de dcouvrir le fonctionnement de ces racteurs et les modles mathmatiques existants. Dans cette partie sera dtaill le fonctionnement biochimique de ce genre de racteur. Les modles associs seront abords dans la partie suivante qui traite de la modlisation.

4.2.1.1 Le bioracteur4.2.1.1.1 Quest-ce quun bioracteur ?Un bioracteur, ou racteur biologique est un contenant dans lequel un substrat, gnralement des dchets organiques solubiliss dans leau, sont rduits puis digrs par des organismes vivants, par exemple des bactries. [1] Le bioracteur permet donc de dpolluer diffrents types de dchets, tels que les eaux uses, les excrments animaux, etc. En sortie du racteur on obtient une eau plus ou moins dpollue, selon le choix des conditions opratoires, et pour nombre de bioracteurs, du biogaz (mthane, dioxyde de carbone) issu de la dcomposition organique peut tre rcupr et utilis des fins nergtiques pour produire de llectricit par exemple. Il existe dautres moyens bactriens utiliss pour la dpollution des eaux uses comme par exemple les procds de dpollution arobies majoritairement mis en uvre dans les stations dpuration. Cependant, la digestion anarobie prsente de nombreux avantages par rapport la digestion arobie [2] : - Le volume de boues non biodgradables produites est rduit dun facteur cinq dix. - La quantit de composants volatils est fortement rduite. - Le procd induit une production de mthane gazeux (75% du biogaz) pouvant tre rcupr et valoris. - Le cot de production est plus faible car il est inutile doxygner le systme en mettant en marche des machines pour arer la solution. - Ce procd permet de faire des traitements de charges organiques leves (jusqu 80kg de DCO par mtre cube de racteur et par jour). - Le taux dpuration trs lev est de lordre de 80 98%. - Ce procd peut traiter des effluents teneurs limits en azote et en phosphore. Cependant certains inconvnients sont considrer : - La vitesse de croissance des bactries est faible ce qui induit que les cintiques dpuration sont lentes et que les priodes de dmarrage des bioracteurs peuvent tre longues. - Les populations bactriennes sont sensibles aux perturbations (oxygne, mtaux lourds) et aux surcharges organiques ce qui peut rendre le procd instable - Le traitement lheure actuelle se rvle parfois insuffisant. Il y a donc ncessit de traiter leffluent de sortie avant le rejet dans la nature, pour liminer le reste de carbone, de lazote et du phosphore. Mais globalement, les avantages des digesteurs anarobies lemportent sur les inconvnients, ce qui explique le dveloppement exponentiel du march des digesteurs anarobies au cours des trente dernires annes.

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4.2.1.1.2

Le bioracteur mthaniseur anarobie de lINRA de Narbonne

Le bioracteur sur lequel portait mon stage est un bioracteur de lINRA de Narbonne dont le synoptique de fonctionnement est prsent en annexe 8.[A.1.], tir de [3]. Il sagit dun bioracteur bactrien en ce sens quil sagit dune cuve de plusieurs centaines de litres ensemence avec plusieurs espces de bactries. La cuve est alimente de faon continue en eaux uses, de type vinasse de vin, effluents de laiterie, qui doivent tre dpollues. Les bactries se nourrissent du substrat organique prsent dans ces effluents et lutilisent dans leur mtabolisme pour crotre et se reproduire. Elles rejettent du biogaz, principalement du mthane, qui est rcupr, et un peu de dioxyde de carbone. Cette gnration de mthane gazeux justifie la dnomination de mthaniseur . Toutes ces ractions biochimiques entre les bactries et le substrat se font dans un milieu sans oxygne, do la dnomination anarobie . La digestion anarobie fait intervenir diffrentes tapes physicochimiques et biochimiques. Ce bioracteur est dit lit fixe car les bactries sont agglutines en un biofilm (voir partie suivante) sur des supports prvus cet effet 8.[A.2.] dans le bioracteur comme on peut le voir sur la photo 8.[A.3.] qui a t obtenue aprs 54 jours dutilisation du bioracteur. Il existe diffrents types de bioracteur lit fixe. Le flux de la solution entrante peut tre ascendant, ou descendant comme le prsente la figure 8.[A.4.]. On peut voir sur la photo 8.[A.5.] des bactries prleves sur le biofilm du support.

4.2.1.1.3

Les biofilms

On a vu que les bactries se dveloppes principalement sous la forme dun biofilm dans les racteurs lit fixe. Comme il a t dit, un biofilm est un agglomrat de bactries attaches sur un support.

Cration du biofilmLe processus de cration du biofilm consiste en une succession de cinq tapes 8.[A.6.] :

A) Le conditionnementLorsque le support solide est immerg, ses surfaces sionisent et attirent les macromolcules organiques (le substrat organique), qui sont prsentes en phase liquide. Ainsi, les surfaces du support se recouvrent de substrat.

B) Le transportSous diffrents effets hydrodynamiques (convection, coulement) et gravitationnels les bactries entrent en contact avec les surfaces du support.

C) Ladhsion rversibleEn raison de forces dattraction chimiques et lectrostatiques prsentes entre les bactries et les surfaces du support, les bactries se fixent au support. Celles-ci possdent galement des protubrances en forme de bras leur permettant de sapprocher au plus prs de la surface du support. Ces bras permettent de passer au travers du champ de rpulsion qui se cre entre une surface plane et un corps sphrique lchelle microscopique.

D) La co-adhsion co-agrgationLes cellules qui ont adhr au support se nourrissent du substrat et secrtent une substance polysaccharidique leur permettant dadhrer de faon irrversible au support. Cest ce quon appelle le bio-attachement. Une fois que la premire couche de cellule a recouvert le support, de nouvelles cellules se dveloppent et adhrent leur tour la premire couche. Cest cette co-adhsion qui cre un biofilm.

E) Lancrage irrversibleUne fois que ltape prcdente a dbut et pour peu que ladhsion soit suffisamment forte, lancrage des cellules est irrversible.

14

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007Une fois les cellules attaches, elles se dveloppent et augmentent la taille du biofilm. Le biofilm organis en rseaux permet aux cellules de crotre dans un environnement optimal. Le substrat se diffuse lintrieur de ce rseau pour nourrir toutes les cellules. Cette croissance du biofilm seffectue cependant jusqu un maximum qui est limit par laccs au substrat des cellules situes dans les niveaux infrieurs du biofilm car au fur et mesure de la croissance du biofilm, les molcules de substrat ont plus de difficults diffuser lintrieur du biofilm. Ainsi, la concentration en substrat diminue dans les couches basses du biofilm.

Le dtachementLes cellules qui forment le biofilm peuvent sen dtacher cause de trois phnomnes diffrents.

A) LrosionLrosion peut tre lorigine du dtachement des bactries. En effet, les conditions dynamiques du fluide entranent des forces de cisaillement sur la surface du biofilm ce qui peut dtacher la partie suprieure du biofilm. De plus dans un racteur lit fixe, laugmentation de la taille du biofilm rduit le volume du racteur ce qui, dbit volumique constant, augmente la vitesse dcoulement du fluide et favorise le dtachement.

B) La mueLa mue, o dtachement massif du biofilm apparat lorsque le racteur est soumit des changements de conditions dfavorables telles la surcharge organique o la prsence de toxines dans le fluide. Une grosse partie du biofilm peut alors se dtacher et tre lessive.

C) La colonisationPar ailleurs, lorsque la taille du biofilm atteint un maximum critique qui ne permet plus dalimenter en substrat de nouvelles bactries, celles-ci ne restent pas dans le biofilm mais rejoignent la solution pour aller coloniser de nouveaux emplacements favorables la cration dun biofilm.

4.2.1.1.4

Fonctionnement biochimique dun mthaniseur par digestion anarobie

Les tapes biochimiques font intervenir de nombreuses espces de bactries, jusqu plusieurs centaines selon le type deffluent. Il existe diffrents groupes de bactries qui participent des ractions biochimiques cibles. Le modle 8.[A.7.] inspir du modle de Zeikus (1980) schmatise les diffrentes tapes biochimiques impliques dans le processus anarobie.

La dsagrgationLa toute premire tape, la dsagrgation est une tape physico-chimique principalement non biologique. Les particules composites du substrat sont dcomposes en particules inertes qui sont des particules de composs carbons, des lipides et des protines. Les dchets de cette raction sont des particules inertes qui ne sont donc pas biodgradables et donc non traitables par la digestion anarobie.

LhydrolyseLtape dhydrolyse est une tape enzymatique extracellulaire dans laquelle les macromolcules issues de ltape de dsagrgation sont rduites en monomres de la faon suivante : - Les polysaccharides sont transforms en monosaccharides - les lipides sont transforms en longues chanes dacides gras - les protines sont transformes en acides amins - les acides nucliques sont transforms en bases azotes

15


LacidognseLors de cette tape, les produits de lhydrolyse sont absorbs par des bactries fermentaires qui mtabolisent les monomres pour produire des acides gras volatils (AGV) (actate, propionate, butyrate, isobutyrate, valrate et isovalrate), des alcools, du sulfure de dihydrogne, ( H 2 S ) responsable de lodeur caractristique des mthaniseurs, du dioxyde de carbone ( CO2 ), et de lhydrogne ( H 2 ) Ainsi, on obtient des produits ferments simplifis. Notons que cette tape est trs rapide et que les bactries y participant ont un temps de duplication trs court par rapport aux autres tapes et aux taux de duplications des autres populations de bactries. Ainsi, il peut y avoir une accumulation de ces produits intermdiaires de digestion anarobie qui peut dstabiliser et arrter les autres tapes cause du pouvoir inhibiteur dune trop grande concentration de ces lments.

LactognseLors de cette tape, les produits issus de lacidognse sont transforms par les bactries actognes en actate, en dioxyde de carbone, et en hydrogne. Le temps de ddoublement de ces bactries est beaucoup plus long que ceux de lacidognse. On distingue 2 groupes de bactries qui participent cette tape : 1. Les premires sont les bactries productrices obliges dhydrogne qui produisent de lactate, de lhydrogne et du gaz carbonique partir des produits de lacidognse. Leur fonctionnement est dfavorable dun point de vue thermodynamique (consommation dnergie) avec une pression dhydrogne trop importante. Ainsi laccumulation dhydrogne peut conduire larrt de lactognse, ce qui implique que ce groupe de bactrie doit tre associ un groupe consommateur dhydrogne. Ci-dessous, les ractions chimiques mises en jeu lors de la dgradation : De lthanol : CH 3 CH 2 OH + H 2 O CH 3 COO + 2 H 2 + H + Du butyrate : CH 3 (CH 2 )2 COO + 2 H 2 O 2CH 3 COO + 2 H 2 + H + Du propionate : CH 3 CH 2 OO + 2 H 2 O CH 3 COO + 3H 2 + CO 2

2. Les secondes produisent principalement de lactate partir de lhydrogne et du dioxyde de carbone comme le montre la raction chimique suivante :

2 HCO 3 + 4 H 2 + H + CH 3 COO + 4 H 2 O

La mthanognseLors de cette tape, les produits des ractions prcdentes, principalement lactate, le formate, le dioxyde de carbone et lhydrogne, sont convertis en mthane par les bactries dites mthanognes. Leur temps de ddoublement est un peu plus rapide que les populations de bactries actognes. Deux familles principales de bactries mthanognes existent : 1. La premire population comprend les mthanognes hydrognophiles qui produisent du mthane partir dhydrogne : - et de dioxyde de carbone : 4 H 2 + HCO3 + H + CH 4 + 3H 2 O - et de formate : HCOO + H + + 3H 2 CH 4 + 2 H 2 O Ces bactries permettent donc lactognse de se drouler correctement en utilisant lhydrogne qui en trop grande quantit peut inhiber lactognse. 2. La deuxime population comprend les mthanognes actoclastes qui produisent le mthane partir dacide actique, de mthanol, et de mthylamine. On rencontre principalement deux types de bactries mthanognes actoclastes dans les digesteurs anarobies, les premires utilisent uniquement lactate pour produire le mthane alors que les secondes peuvent utiliser

16

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007lactate, le dioxyde de carbone, lhydrogne, le mthanol, et les mthylamines comme substrat pour produire le mthane. La raction suivante montre la conversion de lactate en mthane et en dioxyde de carbone :

CH 3 COO + H + CH 4 + CO 2

La sulfato-rductionEn marge de la digestion anarobie, conduisant la production de mthane et qui est intressante en terme de traitement des eaux pollues, une autre population de bactrie est prsente dans les digesteurs anarobies. Cette population bactrienne rduit diffrents types de molcules sulfates, le 2 2 2 sulfate SO4 , le sulfite SO3 , et le thiosulfate S 2 O3 en sulfure S 2 . Cette population bactrienne sulfato-rductrice (BSR) intervient au stade terminal de la dgradation anarobie, tout comme les mthanognes. Lacide sulfurique (H 2 S ) produit par cette raction possde un effet inhibiteur sur les mthanognes, soit de manire directe, soit en faisant prcipiter les mtaux essentiels ncessaires la mthanognse. Deux comportements de bactries sulfato-rductrices peuvent tre identifis : Le premier groupe utilise le lactate afin de loxyder en actate et en dioxyde de carbone. Ce groupe peut en outre utiliser certains produits de la premire tape de fermentation tels que lthanol, le fumarate, le malate, le pyruvate

(

)

(

)

(

)

( )

Le deuxime groupe utilise lactate, des acides gras longues chanes, certains composs aromatiques, et certains des substrats utiliss par le premier groupe, quil oxyde entirement jusqu lobtention de dioxyde de carbone. Les principales ractions chimiques des bactries sulfato-rductrices sont donnes ci-dessous : - Oxydation de lactate :2 CH 3 COO + SO 4 2 HCO3 + HS

-

Oxydation de lthanol :2 CH 3 CH 2 OH + 1 2 SO 4 CH 3 COO + 1 2 HS + 1 2 H + + H 2 O

Oxydation du propionate :2 CH 3 CH 2 COOH + 3 4 SO 4 CH 3 COO + 3 4 HS + 1 4 H +

Oxydation du butyrate :2 CH 3 CH 2 CH 2 COOH + 1 2 SO 4 2CH 3 COOH + 1 2 HS + 1 2

H+

Oxydation de lhydrogne :2 4 H 2 + SO4 + H + HS + 4 H 2 O

Oxydation du thiosulfate :2 S 2 O3 + H 2 O SO4 + HS + H + 2 4SO32 + H + 3SO4 + HS

Le principal problme est la comptition qui sopre entre les bactries mthanognes et les bactries sulfato-rductrices, car ces dernires possdent un meilleur taux de croissance et une limitation de leur croissance plus faible. Ainsi, les composs carbons utiles la mthanognse sont dtourns au profit de la sulfato-rduction. En effet, les bactries sulfato-rductrices, dans un milieu non limitant en terme de sulfate, utilisent lhydrogne, lactate, le dioxyde de carbone, ncessaires la mthanognse. En labsence de sulfate, ces bactries utilisent des acides organiques (lactate, pyruvate, formate, malate), des acides gras volatils (actate), et des alcools (thanol, propanol, mthanol, butanol). Dans ce cas, certaines populations peuvent changer de lhydrogne avec des bactries mthanognes. Dans le cas o le sulfate est prsent mais dans un aspect limitant, les bactries sulfato-rductrices peuvent oxyder le propionate, en syntrophie avec les bactries mthanognes. Cependant dans un biofilm les bactries sulfato-rductrices sont dsavantages en raison de moins bonnes proprits dagrgation.

17

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007Par ailleurs si le rapport entre la charge organique et la charge en sulfate est faible la mthanognse devient quasiment inexistante par rapport la sulfato-rduction. Le schma 8.[A.8.] permet de voir partir de quel rapport la mthanognse prdomine sur la sulfatorduction.

4.2.1.1.5

Conditions physico-chimiques

Pour comprendre les processus de la digestion anarobie il tenir compte de linfluence des conditions physico-chimiques suivantes : Prsence daccepteurs dlectrons Potentiels redox Temprature pH Concentration en nutriments.

Accepteurs dlectronsLe tableau 8.[A.9.] permet de voir les accepteurs dlectrons utiles aux processus de digestion anarobie. Il apparat quil y a dabord une tape de dnitrification, puis de sulfato-rduction (avec la rduction du sulfate en sulfure), puis enfin la mthanognse, rendue possible par la rduction du dioxyde de carbone en mthane.

Potentiel redoxOn voit sur le tableau redox 8.[A.10.] que les bactries mthanognes ne peuvent se dvelopper convenablement en milieu anarobie que pour des potentiels redox trs bas au alentour de -400mV.

TempratureLa temprature affecte le dveloppement des bactries ainsi que les ractions biochimiques et physico-chimiques. Ainsi, on distingue trois comportements bactriens diffrents, selon la temprature. - Les psychrophiles qui vivent dans des milieux de 4 30 C avec un optimum de 12 18C. - Les msophiles qui vivent dans des milieux de 20 50C avec un optimum autour de 35C - Les thermophiles qui vivent dans des milieux de 45 75 C avec un optimum autour de 65C. La figure 8.[A.11.] prsente le taux de croissance des bactries mthanognes selon la temprature et leur groupe daffinit thermique. Lactivit enzymatique subit elle aussi linfluence de la temprature, avec une augmentation de lactivit avec laugmentation de la temprature jusqu une activit optimale avant que des tempratures trop leves ne dnaturent et ne dtruisent lenzyme.

pHLe pH influence les ractions biochimiques et le dveloppement des bactries. Il peut se rvler fortement inhibiteur. Les bactries des digesteurs anarobies peuvent gnralement vivre dans des conditions de pH compris entre 4 et 9 mais leur dveloppement est optimal entre 6.5 et 7.3 de pH. Lactivit enzymatique est elle aussi fortement influence par le pH car elle dpend fortement de la concentration du milieu en ions H + .

Concentration en nutrimentsAfin de comprendre le comportement de croissance des bactries il est primordial de considrer les nutriments permettant aux bactries de se dvelopper. En effet, les bactries ont besoin 95% de carbone, doxygne, dazote, dhydrogne, et de phosphore pour se constituer. Ces matires sont puises directement dans les effluents pendant les fermentations anarobies. Cependant, les bactries ont besoin en petites quantits dautres lments plus rares : K+, Ca2+, Cu2+, Mo6+, Co2+, V2+, Mg2+, Fe2+, Fe3+, Mn2+, Zn2+, Ni2+, Na+, B3+, Se2-, Ag+, Au+, I-, Ti2+.

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007Ces lments sont prsents en quantits variables dans les effluents et donc parfois en quantits insuffisantes tout comme lazote et le phosphore. Il faut donc prvoir une alimentation des bactries par des mlanges de nutriments adapts. Cependant une concentration trop leve de ces minraux peut inhiber certaines ractions biochimiques et mme conduire larrt du bioracteur. A partir de toutes ces connaissances sur le fonctionnement biochimique et physico-chimique des bioracteurs, il est possible de crer des modles mathmatiques qui dcrivent les processus et les influences des conditions exprimentales.

4.2.2 Modles existants de bioracteur4.2.2.1 Modlisation de processus biologiquesLes articles [4] et [5] prsentent de manire dtaille les quations permettant de modliser des processus biologiques de faon gnrale. Gnralement un processus biochimique dans un bioracteur parfaitement agit peut se modliser sous la forme :

& X = ( D )X & S = (S in S ) X - S : la concentration en substrat dans le bioracteur - S in : la concentration en substrat dentre X : la concentration de la biomasse - : le taux de croissance D : le taux de dilution (le rapport entre le dbit dentre et le volume du racteur) -

Plusieurs quations permettent de modliser des comportements de croissance diffrents. Par exemple le taux de croissance dune population de bactries peut tre modlis par : - Equation de Monod :

= max

S avec, max le taux de croissance maximal, K S la constante de demi saturation. S + KS

Cette quation permet de modliser la croissance dune population de bactries se nourrissant dun substrat et dont la croissance maximale est limite.8.[A.12.] Equation de Haldane :

= max

S S2 S + KS + KI

avec K I la constante dinhibition.

Cette quation permet de modliser en plus le fait quune trop grande concentration en substrat inhibe le dveloppement des bactries. Il y a donc un taux de substrat optimal pour la croissance des bactries.

4.2.2.2 Modles de bioracteurs anarobies4.2.2.2.1 Premiers modlesLes premiers modles mathmatiques de bioracteurs anarobies ont t dfinis dans les annes 1970. De trs nombreux modles ont depuis t dvelopps. Le document [6] prsente les modles les plus connus. Ces modles sont plus ou moins complexes selon le nombre de processus biochimiques reprsents. Ils essayent de dcrire la croissance des bactries en fonction du substrat, linhibition de la croissance des bactries par le substrat La dpendance de la croissance des bactries vis--vis des

19

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007conditions de temprature et de pH est parfois explicite. Ces modles doivent pouvoir prdire une surcharge organique ou hydrodynamique pouvant altrer le fonctionnement du racteur, jusqu larrt.

4.2.2.2.2

Modle ADM1

Le modle ADM1 pour Anaerobic Digestion Model n1, est un modle qui a t dvelopp par les chercheurs de lIWA (International Water Association) dans le livre [7]. Le but tait de crer un modle trs complet bas au plus prs du modle phnomnologique, permettant de simuler au mieux les racteurs anarobies. Comme on peut le constater, par exemple sur le schma de modlisation 8.[A.13.], ADM1 est un modle complexe. En effet, il dcrit 19 processus biochimiques, 3 processus cintiques de transferts gaz-liquide et 7 populations bactriennes diffrentes. Pour tre utilis par des calculateurs numriques, il peut tre implant sous 2 formes diffrentes. Soit uniquement avec des quations diffrentielles, modle ODE, qui contient 32 variables dtat dynamiques et 6 processus cintiques dacide-base, soit avec des quations diffrentielles et des quations algbriques, modle ODE-DAE, qui contient 26 variables dtats dtat dynamique. [8] LADM1 permet daccder jusqu 32 sorties de simulation. Pour pouvoir utiliser ce modle qui dcrit trs gnralement les procds de digestion anarobie, il faut prvoir de rgler plus de 80 paramtres. Ce modle est donc trs compliqu identifier et demande une bonne connaissance des paramtres cintiques et stchiomtriques du bioracteur modliser.[9] Des extensions ont t dveloppes pour amliorer et largir encore la prdiction de lADM1, par exemple pour prendre en compte les sulfato-rductions, ou la dgradation de certains substrats.[10] et [11] Ce modle est donc trs intressant en ce qui concerne la prcision des simulations si le rglage des paramtres savre possible pour le type de substrat quon veut utiliser. Cependant, sa complexit est un gros handicap pour faire de loptimisation ou synthtiser des lois de commande bases sur le modle. De plus, sa complexit le rend difficile implanter numriquement [12]. Cest pour ces raisons que ce modle na pas t retenu.

4.2.2.2.3

Modle AM2

Un modle rcent, de bioracteur anarobie a t dvelopp par des chercheurs de lINRA de Narbonne et de lINRIA de Sophia-Antipolis, en 2001. [13] Ce modle appel AM2 pour Anaerobic Model n2, est un modle de tendance beaucoup plus simple utiliser que le modle ADM1, pour faire du contrle ou de loptimisation. Ce modle a t dvelopp partir des rsultats exprimentaux obtenus sur le racteur lit fixe de lINRA de Narbonne. La suite dcrit de manire dtaille ce modle de bioracteur.

A)

Processus biochimique

La modlisation comprend deux processus et deux populations bactriennes comme on peut le voir sur la figure 8.[A.14.]. La premire tape est celle de lacidognse modlise par une population de bactries acidoactognes de concentration X 1 qui dcompose le substrat carbon S1 en acides gras volatiles (AGV qui devient le substrat S 2 ), et en dioxyde de carbone. On considre dans ce modle simplifi que les AGV sont uniquement prsents sous forme non ionise et se comportent comme de lacide actique. Notons que les deux substrats sont aussi prsents dans lalimentation du racteur. La raction chimique modlise est donc la suivante : k1 S1 X 1 + k 2 S 2 + k 4 CO2 avec la vitesse de raction : r1 = 1 X 1 .r1

20

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007La croissance de cette population suit une cintique de Monod: 1 = 1 max

S1 8.[A.15.] S1 + K S 1

La seconde tape est celle de la mthanognse modlise par une population de bactries mthanognes actoclastes de concentration X 2 qui transforment les AGV (substrat S 2 , provenant de lalimentation et/ou issu de lacidognse) en mthane et en dioxyde de carbone selon la raction chimique suivante : k 3 S 2 X 2 + k 5 CO 2 + k 6 CH 4 avec la vitesse de raction : r 2 = 2 X 2 . La croissance de cette population suit une cintique de Haldane: 2 = 2 maxr2

S2 S2 + KS2 S2 + 2 KI2

.

8.[A.16.] Linhibition de la mthanognse par laccumulation dAGV est donc modlise.

B)

Processus physico-chimiques

Carbone inorganiqueCe modle prdit la concentration de carbone inorganique. Pour un pH entre 6 et 8 celui-ci est gal la concentration en dioxyde de carbone et de bicarbonate tel que C C = C CO 2 + C B . Ces deux lments suivent les ractions suivantes en phase liquide : B + H + CO2 + H 2 O et K b =

[H ]B+

CO2

avec

K b = 6.5 10 11 mol L1

Alcalinit totaleLalcalinit totale est dfinie par la somme des acides dissocis dans le milieu liquide. Ainsi Z = S 2 + B . Cette hypothse nest cependant pas vrifie si le pH de leffluent est assez faible et il faut prendre en considration lalcalinit de leffluent Z in = Bin +

Ka S 2in avec K a + 10 pH

K a = 1.5 10 5 mol .L1

C)

Modle dtat dynamique

En considrant le vecteur de variables dtats suivantes :

X1 X 2 Z = S1 S 2 C C

Concentration de la population bactrienne mthanogne Alcalinit totale Concentration du substrat 1 de matire carbons Concentration du substrat 2 d' AGV Concentration totale de carbone inorganique Concentration de la population bactrienne acidogne

Le modle dynamique est alors le suivant :

21


& X 1 = [1 ( ) D ]X 1 & X 2 = [ 2 ( ) D ]X 2 Z = D[Z Z ] & in &= & S1 = D(S1in S1 ) k1 1 ( )X 1 S = D(S S ) + k ( )X k ( )X & 2 in 2 2 1 1 3 2 2 2 & = D(C C ) q ( ) + k ( )X + k ( )X C C Cin C CO2 4 1 1 5 2 2 Le terme reprsente le degr dagitation du bioracteur avec 0 1 . = 1 implique le racteur est compltement agit. = 0 implique que le racteur est parfaitement lit fixe.

D)

Sorties supplmentaires accessibles

Les sorties calculables sont donc les valeurs des 6 variables dtat. Il est galement possible de calculer les sorties associes au dbit de mthane, au dbit de dioxyde de carbone et le pH. Le dbit de mthane est calcul de la faon suivante : CH 4 = k 6 2 X 2 exprim en mmol L1 j 1 . Pour obtenir une valeur comparable avec les signaux

[

]

provenant

des

capteurs,

il

est

ncessaire

deffectuer

une

conversion

en

[L j ]1

:

CH 4 VMolaire Vreacteur 1000 Avec Vreacteur = 528 L le volume du bioracteur et V Molaire = 24 L mol 1 le volume molaire. qCH 4 =Le dbit de dioxyde de carbone est calcul avec la loi de Henry:

q CO2 = k L a C CO2 K H PCO2

(

)

- k L a est le coefficient de transfert liquide gaz. - K H est la constante de Henry pour le dioxyde de carbone - PCO2 est la pression partielle de CO2 Les pressions des gaz tant lquilibre on la relation entre la pression partielle et le dbit de gaz suivante :

PT PCO2 qCH 4

=

PCO2 qCO2

avec PT la pression totale applique au fermenteur donc la pression

atmosphrique. Ceci permet de dduire la pression partielle de CO2 : PCO2 =

2 4 K H PT CCO2K H

2

avec

= CCO + K H PT +2

qCH 4 kLa

et C CO2 = C C + S 2 Z

Il est aussi possible de calculer le pH : pH = log10 K b

CC Z + S 2 Z S2

E)

Paramtres

Les paramtres, identifis sur le bioracteur de lINRA de Narbonne, sont donns 8.[A.17.] et 8.[A.18.]. Cependant selon le type deffluent (vinasse, laiterie etc.) ces paramtres varient fortement. Il faut donc vrifier leurs valeurs et au besoin les ridentifier.

22

Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007 F) Intrt et limites du modle

Ce modle prsente lintrt de reproduire 97.8% la variabilit du systme rel. [9] Son ordre dynamique modr facilite lestimation des paramtres cintiques et stchiomtriques. Les sorties principales les plus intressantes sont accessibles directement. Larticle [14] illustre la robustesse de ce modle ce qui rend sont utilisation possible pour des conditions exprimentales assez varies. Un des dfauts principaux de ce modle est quil ne prend pas en compte lactognse qui est implicitement intgre lacidognse. Ceci implique quil est impossible de prdire le taux des diffrents AGV, comme par exemple le propionate qui a un fort potentiel inhibiteur sur le processus gnral. Les AGV sont tous comptabiliss comme de lactate directement mthanisable. Un des autres dfauts majeurs du modle est que, lors des phases transitoires de dmarrage du bioracteur, la biomasse est mal prdite. Toutefois, la bonne reprsentation de la dynamique du systme rel et sa relative simplicit par rapport des modles beaucoup plus complexes comme lADM1 font de ce modle un trs bon candidat pour la synthse de commande ou des travaux doptimisation. Cest donc le modle que nous avons choisit pour ce projet. Une fois ce modle choisi, un modle numrique a t dvelopp sur Matlab pour pouvoir faire de la simulation en fournissant les entres de commande.

G)

Extensions, Amlioration

Depuis le dveloppement de ce modle, certains travaux de recherche ont cherch lamliorer. Par exemple, dans [15] les auteurs considrent que le milieu ractionnel nest pas homogne. Ainsi, le modle tient compte de la dpendance spatio-temporelle des variables dtat : les concentrations des lments ne sont pas ici rparties de manire uniforme dans le racteur mais obissent aux lois dun systme paramtres distribus. Un modle [16] a aussi t dvelopp sur la base de lAM2 pour permettre destimer la concentration en propionate.

4.2.3 Positionnement du problmeNous venons de voir quel est le fonctionnement biochimiques et physico-chimique dun bioracteur anarobie, ainsi que plusieurs modles mathmatiques disponibles. Au vu des avantages que prsente le modle AM2 pour le contrle et la commande, nous avons dcid dutiliser ce modle pour simuler le bioracteur de lINRA de Narbonne. Cest donc sur ce modle que se baseront tous les autres travaux de ce projet. Lobjectif de ce projet est de dvelopper, sur la base dAM2, un modle capable de simuler le fonctionnement dynamique du bioracteur de lINRA de Narbonne et doptimiser son dmarrage et ses performances. La partie suivante prsente les principes mathmatiques de loptimisation ainsi que les algorithmes utiliss pour loptimisation numrique.

23


4.3 Principes thoriques de loptimisationDans cette partie sont prsents les principes mathmatiques des mthodes qui ont t employes dans le cadre de loptimisation du bioracteur anarobie, ainsi que les principes de fonctionnement des algorithmes doptimisation numrique utiliss.

4.3.1 Problme doptimisation dynamiqueLa premire tape dun problme doptimisation dynamique, et sans aucun doute la plus importante, consiste en la formulation mathmatique du problme. Le fait que cette formulation se traduise par une expression mathmatique formalise ne doit pas occulter la rflexion sous-jacente. En effet, avant de se lancer dans un tel type de problmes, il convient de sinterroger sur la notion mme de performance. De nombreux indicateurs peuvent traduire le bon ou le mauvais fonctionnement dun procd. Nanmoins, il convient den choisir un (ou plusieurs dans le cas de loptimisation multi-objectif) et de dfinir les contraintes associes au problme. Dans le cas dun procd soumis des entres de commande, le problme consiste dterminer les entres optimales qui permettent doptimiser le ou les objectifs fixs. En pratique, notamment pour les procds industriels ou semi-industriels, lexprience montre quil est difficile de mettre les diffrents acteurs (oprateurs, responsables de la production, chercheurs, ) daccord sur un problme unique. Cette tape est nanmoins cruciale, car les rsultats obtenus, sils permettent de dvelopper la comprhension que nous avons dun procd, dpendent toujours de la formulation choisie.

4.3.1.1 Formulation standard dun problme doptimisation [18] [19]Lorsquon souhaite optimiser un procd dynamique, on cherche minimiser une fonction objectif ( x, t , u ) . Dans le cas de loptimisation dun procd dcrit par un modle dynamique,

& x = F ( x, t , u ) , celui-ci est alors considr comme un ensemble de contraintes respecter pour

lentre de commande et le temps ncessaire qui permettent de minimiser le critre J = ( x, t , u ) Le problme peut alors se formaliser sous une forme directe, o le critre J est minimistf ,u (t )

loptimisation. Si certaines conditions, en plus des quations du modle, doivent tre respectes au cours de lintgration numrique du modle, on ajoute des contraintes de chemin ( x, t , u ) pour dcrire ces conditions. De la mme faon, si certaines conditions doivent tre respectes la fin de lintgration numrique du modle, on ajoute des contraintes temps final T x t f . On cherche alors

( ( ))

min J = ( x, t , u )

( x, t , u ) 0T (x(t f

sous contraintes & x (0 ) = x0 x = F ( x, t , u )

)) 0tf 0

contraintes de chemin contraintes temps finalf

Avec, par exemple J = x t f

( ( )) + L(x, u )dt dans lequel (x(t )) est un cot terminal et L(x, u )

est le cot sur la dure dintgration. On peut rcrire le mme problme sous la forme dune minimisation du temps final, moyennant lajout dtats artificiels supplmentaires, daprs la thorie de loptimisation dynamique. Ceci amnera une solution identique au niveau des entres de commande.

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007tf ,u (t )

min t f

)) 0 (x(t )) Jf

( x, u ) 0T (x(t f

sous contraintes & x = F ( x, u ) x (0) = x0 contraintes de chemin contraintes temps final

4.3.1.2 Principe du Maximum de PontryaguineIl est possible de reformuler le problme doptimisation prcdent en utilisant le Principe du Maximum de Pontryaguine.u (t ), (t ),v

min H = T F (x, u ) + T (x, u )

sous contraintes & x (0) = x0 x = F ( x, u ) & T = H x T (t f ) = x

tf

T + vT x tf

Avec :

(t ) 0 le vecteur de taille n des tats adjoints (Multiplieur de Lagrange pour le systme

dquations)

(t ) 0 le vecteur de taille des multiplieurs de Lagrange pour les contraintes de chemin. v 0 le vecteur de taille des multiplieurs de Lagrange pour les contraintes temps terminal. Les multiplieurs et v sont non nuls quand les contraintes correspondantes sont actives et nuls T dans les autres cas. Ainsi on a toujours les galits suivantes : T ( x, u ) = 0 et v T (x(t f )) = 0 . Lax, u , , , v existent et vrifient les quations :

condition ncessaire doptimalit est dfinie par H u =

H = 0 . Cette condition implique que u

& x = F (x, u ), H F & = T T T = x x x T + vT T (t f ) = x tf x tf v T T (x(t f

T ( x, u ) = 0

)) = 0

H F = T + T =0 u u u

4.3.1.3 Expression analytique des entres optimales.La condition ncessaire doptimalit pour lentre u i est donne par :

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007H F = T + T = T Fui + T ui = 0 u i u u Deux cas peuvent tre distingus, qui annulent H ui : H ui =

1

Solutions dtermines par les contraintes de chemin actives

T Fui 0 sur un certain intervalle ce qui implique pour respecter lgalit que 0 sur lintervalleconsidr. Une des contraintes de chemin est active ce qui implique quon peut dterminer lentre de commande partir de cette contrainte active. Par exemple si on considre que les contraintes sont places uniquement sur lamplitude de lentre du systme, c'est--dire que u i u i max 0 et u i min u i 0 , tant donn que 0 alors u i = u i max pour T Fui < 0 et u i = u i min pour T Fui > 0 . Si on a des contraintes sur dautres variables que lentre du procd, et que lune dentre elle est active, alors on peut dterminer lentre optimale u i = u ipath qui permet de respecter de maintenir lentre u i sur cette contrainte.

2

Solutions lintrieur du domaine de faisabilit

Dans le cas o T Fui = 0 , on ne peut pas obtenir directement lexpression de lentre de commande u i . Dans ce cas la solution u icomp quon recherche est appele arc singulier. Cette solution reprsente un compromis entre les diffrentes contraintes et objectifs qui psent sur loptimisation. Pour rechercher cette solution on part du fait qu chaque instant t on a H ui = 0 . Sachant quune fonction nulle sur un intervalle a toutes ses drives temporelles successives qui sont nulles : alors montrer que

d j H ui = 0, j On peut dt j

dH ui S Fui = 0 = T Fui T x dt g F v F g + (k ) u (k +1) avec x x 0 u

avec un oprateur bas sur les crochets de Lie tel que g =

u (k ) la kime drive de u par rapport au temps.

d j H ui j 1 = T j Fui T Fui = 0 avec Cette expression se gnralise lordre j : j x dt j g = ( j 1 g )Afin de se librer de la contrainte de devoir calculer les multiplieurs de Lagrange, pour un systme dordre n on diffrencie Fui jusqu lordre i 1 , c'est--dire quon calcul les j Fui pour j = { ,..., i 1} . 1 On peut ainsi construire la matrice M i = Fui

[

Fui

... i 1 Fui

]

Le nombre i correspond au nombre de diffrentiation qui najoute plus de rang la matrice M i . Le rang de cette matrice est alors fonction des tats et des entres de commande du systme. Il a t montr que si la matrice perd un rang, cela signifie que la commande est lintrieur du domaine de faisabilit, c'est--dire quaucune des contraintes nest active. Si la commande u i apparat explicitement dans lune des diffrentiations j Fui alors on peut calculer la commande optimale sur cet intervalle qui annule le dterminant de la matrice M i . Si i = i 1 alors la commande est un retour de boucle statique dpendant uniquement des tats du systme.

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007En revanche si i < i 1 cela signifie que la perte de rang est fonction de la commande mais aussi de ses drives temporelles successives u , u 1 ,..., u i 1 i

.

Si i > i 1 cela signifie que la perte de rang nest pas fonction de la commande. Dans le cas particulier o i = n , faire perdre un rang la matrice consiste dterminer lexpression qui annule le dterminant de la matrice. Cest gnralement le cas que nous avons eu traiter. Lentre de commande optimale u i est alors constitue dune squence des entres de commande qui annulent H ui . La commande optimale est donc scind en intervalles temporels sur lesquels lentre de commande est soit u i = u i max , soit u i = u i min , soit u i = u ipath , soit u i = u icomp . Il existe alors une unique squence dentre qui permet dobtenir la structure correcte de la commande u i . La connaissance de la structure de ces arcs dentre et de lordre de la squence permet de dterminer la structure de la commande optimale. La recherche des meilleures valeurs des instants de commutation entre chaque arc de la squence permet de dterminer la vritable commande optimale qui permet doptimiser le procd pour rpondre lobjectif fix et gnralement, dassurer le respect des contraintes temps final. La squence des arcs et la valeur des temps de commutation peuvent tre dtermines grce des considrations exprimentales bases sur lexprience des personnes ayant une bonne connaissance du procd et des considrations analytiques bases sur sa modlisation mathmatique et sur loptimisation numrique. Dans ce projet nous avons utilis loptimisation numrique des instants de commutation et des paramtres des arcs de commandes.

4.3.2 Algorithmes doptimisation numriqueprocessus est atteint en minimisant une fonction objectif f ( x ) . Le problme gnral doptimisation scrit donc :

x = {x1 , x 2 ,..., x n } qui rendent un processus optimal. Bien souvent, le caractre optimal dun min f ( x )x

Les techniques doptimisation numrique visent dterminer un jeu de paramtres

s.c. Gi ( x ) = 0 i = 1,..., me Gi ( x ) 0 i = me ,..., m

Avec G ( x ) les contraintes dgalits et dingalits valus en x . Nous prsentons ici les deux mthodes doptimisation numrique implmentes dans la toolbox doptimisation de Matlab et qui ont t utilises au cours de ce projet.

4.3.2.1 Optimisation numrique contrainte et mono objectifLes mthodes utilises dans loptimisation dune fonction objective avec des contraintes parfois non linaires sont bases sur les solutions des quations de Kuhn-Tucker. Ces quations reprsentent les conditions ncessaires doptimalits pour un problme doptimisation contraint. Dans le cas o f ( x ) et G ( x ) sont des fonctions convexes, les quations de Kuhn-Tucker sont la fois ncessaires et suffisantes pour la solution globale. Ces quations stablissent sous la forme :

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007f x * + * Gi x * = 0 ii =1

* i* i

( ) G (x ) = 0m * i

( )

i = 1,..., m i = me + 1,..., m

0

La premire quation dcrit lannulation du gradient de la fonction objective et des contraintes actives au point de la solution. Le multiplicateur de Lagrange i , i = 1,..., m sert contrebalancer lamplitude du gradient de la fonction objectif et des contraintes actives. Les solutions de ces quations forment la base des algorithmes de programmation non linaires qui calculent directement les multiplicateurs de Lagrange. Ces mthodes sont appeles mthodes de programmation quadratiques successives (SQP pour Sequential Quadratic Programming). Ce sont des algorithmes itratifs qui rsolvent chaque itration un sous problme de Programmation Quadratique (QP pour Quadratic Programming). La mthode utilise par ces algorithmes se rapproche de la mthode du gradient de Newton. A chaque itration, la matrice hessienne du Lagrangien est approxime. Ceci gnre un sous problme QP dont les solutions servent dfinir la direction de recherche de la procdure SQP. A partir du problme gnral doptimisation, le principe de la formulation dun sous problme QP est bas sur lapproximation du Lagrangien :

L ( x, ) = f ( x ) + i g i ( x )i =1

m

On obtient alors le sous problme QP en linarisant les contraintes non linaires.

1 T min d T H k d + f ( x k ) d n d R 2 s.c. g i ( x k ) d + g i ( x k ) = 0T T

i = 1,..., me

g i ( x k ) d + g i ( x k ) 0 i = me + 1,..., mAvec : d la direction de la recherche de la solution, H k lapproximation de la matrice hessienne du Lagrangien, dfinie positive lors de litration k . Ce problme QP est rsolu par un algorithme QP et la solution x k est rutilise pour une nouvelle itration : x k +1 = x k + k d k Avec k le pas de recherche qui est dtermin par une procdure base sur la dcroissance suffisante dune fonction mrite. La matrice hessienne du Lagrangien est adapte selon lquation (qui peut tre rapproche de la mthode classique de quasi-Newton BFGS):

H h +1 = H k +Avec : s k = x k +1 x k

T qk qk HTH Tk k T qk sk sk H k sk

n n q k = f ( x k +1 ) + i g i ( x k +1 ) f ( x k ) + i g i ( x k ) i =1 i =1

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4.3.2.2 Optimisation numrique contrainte et multi objectif4.3.2.2.1de

Dfinition du problme doptimisation multi objectif

F ( x ) = {F1 ( x ), F2 ( x ),..., Fm ( x )}

Souvent loptimisation dun procd quel quil soit ne peut pas se contenter dun unique objectif et contraintes. Le plus souvent il y a un vecteur dobjectifs optimiser.

Loptimisation concerne la minimisation du vecteur F ( x ) qui peut tre sujet des contraintes ou des limites.

min F ( x ) nxR

Gi ( x ) 0

Gi ( x ) = 0 xl x x u

s.c.

i = 1,..., me i = me + 1,..., m

Lespace de faisabilit correspond lespace des paramtres x dans lequel x R n permet de satisfaire toutes les contraintes.

= x Rn s.c. g i (x ) = 0 i = 1,..., me g i (x ) 0 i = me + 1,..., m xl x xu

{

}

On peut dfinir alors lespace de faisabilit des fonctions objectif = y R m comme on peut le voir sur le graphique ci dessous.

{

}

Les solutions de cette minimisation sont appeles les solutions non infrieures. Elles correspondent aux solutions dont une variation de paramtre pour amliorer un objectif dgrade de manire plus importante les autres objectifs. Ainsi, x * est une solution non infrieur si il nexiste pas de petite variation x tel que x * + x et Fi x * + x Fi x * pour i = 1,..., m .

(

)

( )

Diffrentes mthodes doptimisation numrique multi objectif existent. Citons par exemple : - Weighted Sum Method, - Epsilon-Constraint Method, - Goal Attainment Method.

4.3.2.2.2

La Goal Attainment Method

La mthode que nous avons utilise est la Goal Attainment Method , [20].

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007* atteindre F * ( x ) = F1* ( x ), F2* ( x ),..., Fm ( x ) . Durant loptimisation, ces objectifs peuvent tre atteints entirement ou non selon leur importance. Celle-ci est dfinie par des coefficients de pondration

Pour le vecteur de fonctions objectifs F ( x ) = {F1 ( x ), F2 ( x ),..., Fm ( x )} on prdfinit des objectifs

{

}

w = {w1 , w2 ,..., wm }

Le problme multi objectif est alors reformul comme un problme doptimisation standard : R , x

min

Fi ( x ) wi Fi* R , x

i = 1,..., m

Par exemple dans le cas o on a deux fonctions objectif minimiser :

min

F1 ( x ) w1 F1*

F2 ( x ) w2 F2*La procdure doptimisation est illustre sur la figure ci-dessous :

w dfini la direction de la recherche de P vers lespace de faisabilit ( ) . Pendant loptimisation,

La spcification des objectifs F1* , F2* dfinie le point objectif P . Le vecteur de pondration

{

}

varie ce qui change la taille de la rgion de faisabilit. Les contraintes permettent de converger vers lunique point de solution en {F1S , F2 S } La section suivante prsente le travail qui a t effectu partir du modle du bioracteur en terme damlioration de la modlisation, de lutilisation de loptimisation pour identifier les paramtres du modle, rechercher des profils de commande optimaux et amliorer la rgulation.

30


4.4 Application de loptimisation au bioracteur anarobie de lINRA4.4.1 Amlioration de la modlisationComme cela a t mentionn prcdemment, AM2 est un bon modle de tendance en rgime tabli mais modlise mal la biomasse lors des phases transitoires pendant le dmarrage du bioracteur. Une partie du travail effectu durant ce stage a t de complter cette lacune. Les phases didentification ont t bases sur un jeu de donnes exprimentales, recueillies lors de dmarrages du bioracteur en 2005. Cette identification sest faite en plusieurs itrations. Lintroduction de nouveaux paramtres se faisant aprs une valuation du dernier modle et des essais doptimisation et de rgulation associs.

4.4.1.1 Dtermination du rendement puratoireLe rendement puratoire se dfinit comme la diffrence en pourcentage entre la concentration totale en substrat en entre du bioracteur et la concentration totale en substrat lintrieur du bioracteur. Nous avons donc modlis ce rendement puratoire de la faon suivante : = Avec S Tin = 1 S1in + 2 S 2in et S T = 1 S1 + 2 S 2 Avec 1 , 2 les rapports de transformation qui permettent de revenir en g COD L1

S Tin S T S Tin

S1[gCODL1 ] = 1 S1[g L1 ] 1 = 1,07 g COD g 1

S 2[gCODL1 ] = 2 S1[mmolL1 ] 2 =

1 80% 20% 1000 + 1,07 M 1,51 M propionate acetate

0,07 g COD mmol 1

(pour 80% dactate et 20% de propionate) et M acetate = 60 g mol et M acetate = 74 g mol La proportion dactate et de propionate composant S 2 correspond la moyenne observe exprimentalement.

4.4.1.2 Prise en compte de la rgulation du pH pour lalcalinitSur le bioracteur de lINRA, le pH est autorgul par un contrleur de pH, une pompe soude, autours dune valeur de rfrence pH ref 7 . Il est alors possible de dterminer lalcalinit totale en fonction de cette valeur de rfrence et en fonction de la concentration du substrat S 2 et en fonction de la concentration de carbone inorganique C C . Aprs calcul, nous obtenons alors : Z =

S 2 K b + 10 10

(

pH ref

)+ K Cb

C

pH ref

+ Kb

Ceci permet donc de supprimer une des quations diffrentielles du modle. Lalcalinit totale peut donc se calculer directement aprs lintgration numrique.

4.4.1.3 Modlisation et identification du paramtre alphaLa premire piste sur laquelle nous avons travaill pour amliorer la modlisation de la biomasse a t de jouer sur le terme . En effet, cette constante permet de dcrire quel degr le bioracteur est plutt, compltement agit ( = 1 ), ou parfaitement lit fixe ( = 0 ). La ralit est intermdiaire, puisque la solution peut tre considre comme un racteur parfaitement agit, tandis que la croissance des bactries attaches se droule sur un lit fixe.

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Rapport de PFE : Modlisation et Optimisation dun biomthaniseur Julien Eynard Ingnierie de la commande des Systmes Complexes ESISAR 2006/2007Des tudes biologiques ont montr quune valeur constante du degr dagitation du bioracteur, ne permettait pas de reprsenter le fonctionnement du bioracteur, notamment pendant les phases transitoires du dmarrage. Nous avons donc essay de faire varier ce paramtre en fonction du temps. Pour cela nous avons essay diffrentes structures didentification dans lesquelles tait fonction de la biomasse, du taux de dilution ou du substrat, avec une valeur de toujours comprise entre 0 et 1. Les diffrents essais didentification nont pas permis de dterminer une structure permettant de modliser correctement . Cest pourquoi, cette tape a t abandonne au profit dune rflexion sur une autre manire damliorer la modlisation du bioracteur. Cependant, cette tude a permis de conforter lide selon laquelle, une modlisation aussi sommaire quAM2 ne permettait pas de modliser correctement le dmarrage du mthaniseur considr.

4.4.1.4 Modlisation des bactries attaches et des bactries en solutionUn des problmes relatifs au modle AM2 est quil ne permet pas de simuler de faon diffrencie les populations de bactries libres et les populations de bactries attaches. Or cela peut savrer intressant pour lidentification car il est plus facile daccder des mesures de concentrations de biomasse en solution que de biomasse attache. De plus, les bactries en solution et les bactries attaches entrent en comptition pour consommer le substrat ncessaire leur mtabolisme et les bactries en solution vont tre lessives si le dbit dalimentation est fort, tandis que les bactries attaches non. En dautres termes, scinder la population bactrienne en deux est dun grand intrt pour loptimisation du dmarrage qui consistera vraisemblablement trouver un compromis entre des effets hydrodynamiques (essentiellement sur les bactries en solution) et des effets lis au mtabolisme des bactries attaches. Dans les bioracteurs une partie des bactries attaches au biofilm se dtachent de celui-ci pour aller coloniser dautres parties du racteur. Une partie des bactries attaches se dtachent donc pour rejoindre les bactries en solution. Nous avons donc ajout un coefficient de dtachement qui permet aux bactries attaches de passer la population dtache. Le dtachement peut aussi provenir de conditions hydrodynamiques. En effet, un fort dbit peut arracher certaines bactries du biofilm et les faire passer dans la solution. Ainsi, en plus dtre fonction du nombre de bactries le dtachement est aussi proportionnel au dbit. Il faut savoir que le bioracteur est soumis deux dbits. Le premier est li lentre qui amne du nouveau substrat purer. Ce dbit peut tre variable et reste gnralement assez faible, de lordre de 22L/h au maximum. Le second est li au circuit de recirculation de la solution prsente dans le bioracteur qui assure le mlangeage de la solution et permet une meilleure assimilation du substrat par les bactries. Ce dbit, constant, est beaucoup plus important puisquil vaut environ 600L/h, mais nintervient pas directement dans le bilan matire sur le racteur, puisquil est rinject 100%. Nous avons finalement dcid de modliser le dtachement comme tant proportionnel, la concentration de bactries attaches, et la somme des dbits dentre et de recirculation. Le dtachement reste donc principalement variant par rapport la concentration de bactries. Le dbit dentre ninflue rellement sur le dtachement que sil devient suffisamment important par rapport au dbit de recirculation. Ceci assure aussi un dtachement, dans le cas o le dbit dalimentation serait nul, ce qui correspond mieux la ralit biologique. Dtot = D + Drecirculation = D +

Qrecirculation Vreacteur

Des tudes biologiques ont par ailleurs montres que lorsque les bactries attaches forment un biofilm pais, le substrat natteint plus aussi bien les bactries lintrieur du biofilm que les bactries de la surface externe du biofilm. La croissance des bactries li

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Rapport de PFE