DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU

DEPARTMAN ZA MATEMATIČKE, FIZIČKE I

INFORMATIČKE NAUKE

SMER: MATEMATIKA I FIZIKA

Seminarski rad iz predmeta Statistička fizika

TEMA: Raspodela verovatnoće mogućih mikrostanja četrnaest

molekula u dve polovine suda

Studenti: Mentor:

Azamela Papić, 15-008/09 Prof. dr Vukota Babović

Senad Avdović, 15-005/09

Novi Pazar,

decembar 2012. godine

Azamela Papić i Senad Avdović 1

UVOD

Pretpostavimo da je posmatrani sistem konzervativan i u stacionarnom stanju, pa proučimo

načine na koje se može odrediti njegovo stanje. Možemo stanje sistema definisati pomuću skupa

koordinata i impulsa svih čestica sistema, čime je određeno mehaničko stanje sistema i tako

određeno stanje naziva se mikrostanje sistema. Možemo, pak, stanje sistema definisati pomoću

skupa parametara koji određuju unutrašnje stanje sistema i uticaj spoljašnjih faktora na njega,

čime smo odredili stanje sistema kao celine pod posmatranim uslovima i tako definisano stanje

naziva se makrostanje sistema. Veličine koje određuju stanje sistema na prvi način nazivaju se

mikrofizički parametri, a veličine koje odgovaraju drugom načinu makrofizički parametri. Pošto

mehanička reverzibilnost važi samo za kretanja individualnih čestica sistema, promene

mikrostanja su uvek reverzibilne, dok su promene makrostanja ireverzibilne, što bitno razlikuje

mikrostanja od makrostanja i može predstavljati i kriterijum za njihovo razlikovanje.

Svakom makrostanju sistema odgovara izvestan broj mikrostanja, koji je u većini slučajeva

ogroman broj. Ovaj broj mikrostanja koja određuju dato makrostanje sistema naziva se

statistička verovatnoća. Napomenimo pri tome da je za razliku od obične verovatnoće, koja je

uvek između nule i jedinice, statistička verovatnoća uvek ceo broj, koji ne može biti manji od

jedinice.

Kao primer uzmimo idealni gas u stacionairanom stanju, koji se nalazi u sudu određene

zapremine na datoj temperaturi. Makrofizički se stanje posmatranog gasa može odrediti pomoću

njegove temperature i zapremine i ova dva parametra jesu makrofizički parametri, pri čemu

temperatura određuje samo stanje gasa, a zapremine karakteriše uticaj spoljašnjih faktora na ovaj

gas. Međutim, za mikrofizičko određivanje stanja gasa potrebne su nam koordinate i

komponente impulsa svih molekula gasa i ovi parametri jesu mikrofizički parametri. Svakom

datom makrostanju gasa, tj. svakoj datoj temperaturi i zapremini odgovara ogroman broj

kombinacija mehaničkih stanja gasa koje daju iste, date vrednosti temperature i zapremine i

svaka od ovih kombinacija predstavlja jedno mikrostanje gasa, a njihov broj statističku

verovatnoću posmatranog makrostanja gasa.

Azamela Papić i Senad Avdović 2

Tabela mikrostanja četrnaest molekula raspoređenih u dve polovine

suda

Za potrebe ovog rada imali smo ukupno četrnaest molekula koji su raspoređeni u dve

polovine nekog suda koji ima određenu temperaturu i zapreminu. Računaćemo statističku i

običnu verovatnoću, uzimajući u obzir sve moguće načine realizacije molekula na obe strane

suda, ali ćemo i odrediti ukupan broj verovatnoće raspodele kao i relativnu fluktuaciju.

Pošto imamo četrnaest molekula, označićemo ih sa N, i dve polovine suda, formula za

izračunavanje ukupnog broja verovatnoće raspodele je

mogućih načina.

Relativnu fluktuaciju dobijamo pomoću sledeće relacije:

relativna fluktuacija

√

√ .

Statistička verovatnoća se računa po sledećoj formuli:

P(n, N-n) =

( ) ,

gde N predstavlja ukupan broj molekula, a n označava broj molekula koji se nalazi na jednoj

strani suda, čiji grafički prikaz izgleda ovako:

Obična verovatnoća predstavlja količnik statističke verovatnoće i ukupnog broja

verovatnoća raspodele na levu ili desnu stranu suda, koji smo odredili na samom početku, a koji

se zapisuje u obliku ; pa ako statističku verovatnoću obležimo sa P, a običnu sa , relacija

pomoću koje je izračunavamo dobija sledeći oblik:

,

i konačno, tražena tabela izgleda ovako:

n N-n

Azamela Papić i Senad Avdović 3

BROJ MOLEKULA (N) STATISTIČKA

VEROVATNOĆA

(P)

OBIČNA

VEROVATNOĆA

( ) Sleva (n) Zdesna (N-n)

0 14 1 6,1∙10-5

1 13 14 8,5∙10-4

2 12 91 5,5∙10-3

3 11 364 2,2∙10-2

4 10 1001 6,1∙10-2

5 9 2002 0,12

6 8 3003 0,18

7 7 3432 0,21

8 6 3003 0,18

9 5 2002 0,12

10 4 1001 6,1∙10-2

11 3 364 2,2∙10-2

12 2 91 5,5∙10-3

13 1 14 8,5∙10-4

14 0 1 6,1∙10-5

Treba napomenuti da kada je statistička verovatnoća proporcionalna običnoj verovatnoći,

onda su sva mikrostanja datog sistema jednako verovatna. Tvrdnja o jednakoj verovatnoći svih

mikrostanja naziva se ergodička hipoteza. Takođe, stanje koje ima najviše mikrostanja je ujedno

i najverovatnije.