PORCENTAJES, RAZONES Y PROPORCIONES

PORCENTAJES

¿EN QUÉ CIRCUNSTANCIAS HEMOS ESCUCHADO EL TÉRMINO “PORCENTAJE”?

En la vida diaria: "El 58% de los aspirantes a ingresar

en la Universidad son mujeres".

"La proporción de levadura y harina para el bizcocho es del 3%".

"El 16% de la población de Perú tiene estudios superiores".

"El nivel del agua almacenada en los embalses ha subido un 8% en lo que va de año".

Las entidades financieras (bancos, cajas de ahorros, etc.) dan a sus clientes un interés por tener depositado su dinero. Es directamente proporcional a la cantidad guardada y al tiempo que dura el depósito, y se mide en “tanto” por ciento. Cuando se pide un préstamo al banco también se paga un interés.

¿EN QUÉ ACTIVIDADES SE APLICA PORCENTAJES?

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 (“por ciento” significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación. Por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'.

Gran parte de la Estadística se expresa en porcentajes.

El tanto por ciento se divide por 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo: Para saber cómo se representa el 10% en fracción se divide y luego se simplifica:

REPRESENTACIÓN DEL TANTO POR CIENTO COMO FRACCIÓN

REPRESENTACIÓN DE UNA FRACCIÓN COMO

PORCENTAJE

REPRESENTACIÓN DEL TANTO POR CIENTO COMO DECIMAL

¿CÓMO OBTENER UN TANTO POR CIENTO DE UN NÚMERO?

APLICACIONES DE PORCENTAJES

1. El bono navideño va a ser calculado a base de un 3% del sueldo anual. El sueldo anual de José es $13.540. ¿A cuánto asciende su bono navideño?

$13,540 x 3% = ? se establece la expresión

$13.540 x 0.03 = ? se cambia a decimal o a fracción

$406,20 = ? se resuelve

Respuesta: $406,20 será la cantidad del bono navideño de José.

3. Jorge recibe un salario de $23.780 anuales y le descuentan el 9%anual para su seguro social. ¿Cuánto es el descuento anual?

9% x $23.780 = ? se establece la expresión0.09 x $23,780 = ? se convierte en decimal o fracción

$2.140,20 = ? se resuelve

Respuesta: $2.140,20 es el descuento anual para su seguro social.

RAZONES

Una razón es una comparación de dos magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades de medida, etc.).

Se expresa como el cociente de una cantidad dividida por otra cantidad.

Se escribe como donde

También se puede expresar como

Se lee “a es a b” en ambos casos.

En la imagen podemos ver cómo sedenominan los términos de una razón.

b

a0b

a:b

RAZONES

Las razones tienen las mismas propiedades que las fracciones.

Pero aunque se parezcan, no hay que confundirlas: en una fracción los números (numerador y denominador) deben ser enteros.

En una razón, los números (antecedente y consecuente) pueden ser enteros, decimales, fracciones, etc.

EJEMPLO

En lenguaje de cartografía la razón se conoce como ESCALA. Si un mapa está a escala 1:100.000, ¿Qué significa?Significa que cualquier distancia (por ejemplo 1 cm) en el mapa, representa 100.000 cm en la vida real, es decir 1.000 m o, lo que es lo mismo, 1 km.

APLICACIONES DE LAS RAZONES

Esto quiere decir que por cada 1000 habitantes

nacieron, en el año 2007, 15 bebés.

APLICACIONES DE LAS RAZONES

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de la provincia de Buenos Aires es de 15.600.000 habitantes (según el censo del año 2010), y también se sabe que la superficie es de 307.571 kilómetros cuadrados.

Es decir, por cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 51 personas.

APLICACIONES DE LAS RAZONES

Dos razones son equivalentes si el valor de la razón es el mismo.

Ejemplos:

• La razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8, ya que 3:4 = 6:8

3:4 = 0,75 y 6:8 = 0,75

• La razón 2:4 es equivalente a 4:8, ya que 2:4 = 6:8

2:4 = 0,5 y 4:8= 0,5

• La razón 5:2 es equivalente a 10:4, ya que 5:2 = 10:4

5:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5

RAZONES EQUIVALENTES

Dado que una razón cumple las mismas propiedades que una fracción, podemos amplificarla y simplificarla para obtener razones equivalentes. Así:

AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR RAZONES

• Cuando simplificamos, dividimos antecedente y consecuente por el mismo número, hasta llegar a una razón irreducible.

• Cuando amplificamos, multiplicamos antecedente y consecuente por el mismo número.

PROPORCIONES

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Se expresa como

Se lee: “a es a b como c es a d”.

Ejemplo:

“dos es a tres como seis es a nueve”

d

c

b

a

PROPORCIONES

MIEMBROS DE UNA PROPORCIÓN

En el siguiente ejemplo vemos cómo se denominan los miembros

de una proporción. Recuerden que los términos de una razón se

denominan “antecedente” y “consecuente”.

En este caso, los extremos son

8 y 3, y los medios son 4 y 6.

PROPIEDAD 1: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

PROPIEDAD 2: En toda proporción un extremo es igual alproducto de los medios dividido por el otro extremo.

PROPIEDAD 3: En toda proporción un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

PROPIEDADES

LOS PRODUCTOS SON IGUALES, POR LO TANTO FORMAN PROPORCIÓN

EJEMPLOS

Aplicamos la propiedad 1: producto de los medios igual al producto de los extremos.

Aplicamos la propiedad 3: un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio.

Resuelve la siguiente proporción:

10

5

4

n

2010n

10

20n

2n

Resuelva la siguiente proporción:

x

27

10

9

10279 .x

2709x

30x

En una clase, la razón de niñas a niños es de 3:2. Si hay 15 niñas, ¿cuántos niños hay en la clase?

Respuesta: hay 10 niños en la clase

3

2

15

n

2153 .n

303n

10n