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Área y volumen de sólidos

Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

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Page 1: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea y

volumen de

soacutelidos

Aacuterea y volumen de soacutelidos

Contenidos

Poliedros Cuerpos redondos

Los cuerpos geomeacutetricos pueden ser de dos clases

Un cuerpo geomeacutetrico o soacutelido es todo lo que ocupa lugar en el espacio

Ejemplos

- Cuerpos redondos Teniendo alguna o todas sus caras curvas

- Poliedros Formados por caras planas

Cuerpos geomeacutetricos

Cada cuerpo geomeacutetrico o soacutelido tiene volumen y aacuterea

Volumen lugar que ocupa en el espacio (capacidad)

Aacuterea total suma de todas las superficies que forman el cuerpo geomeacutetrico

Cuerpos geomeacutetricos

Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas

veacutertice arista

cara

Al punto en el que coinciden tres o maacutes caras se le llama veacutertice y a la

liacutenea en la que coinciden dos caras se le llama arista

Poliedros

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 2: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea y volumen de soacutelidos

Contenidos

Poliedros Cuerpos redondos

Los cuerpos geomeacutetricos pueden ser de dos clases

Un cuerpo geomeacutetrico o soacutelido es todo lo que ocupa lugar en el espacio

Ejemplos

- Cuerpos redondos Teniendo alguna o todas sus caras curvas

- Poliedros Formados por caras planas

Cuerpos geomeacutetricos

Cada cuerpo geomeacutetrico o soacutelido tiene volumen y aacuterea

Volumen lugar que ocupa en el espacio (capacidad)

Aacuterea total suma de todas las superficies que forman el cuerpo geomeacutetrico

Cuerpos geomeacutetricos

Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas

veacutertice arista

cara

Al punto en el que coinciden tres o maacutes caras se le llama veacutertice y a la

liacutenea en la que coinciden dos caras se le llama arista

Poliedros

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 3: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Los cuerpos geomeacutetricos pueden ser de dos clases

Un cuerpo geomeacutetrico o soacutelido es todo lo que ocupa lugar en el espacio

Ejemplos

- Cuerpos redondos Teniendo alguna o todas sus caras curvas

- Poliedros Formados por caras planas

Cuerpos geomeacutetricos

Cada cuerpo geomeacutetrico o soacutelido tiene volumen y aacuterea

Volumen lugar que ocupa en el espacio (capacidad)

Aacuterea total suma de todas las superficies que forman el cuerpo geomeacutetrico

Cuerpos geomeacutetricos

Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas

veacutertice arista

cara

Al punto en el que coinciden tres o maacutes caras se le llama veacutertice y a la

liacutenea en la que coinciden dos caras se le llama arista

Poliedros

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 4: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Cada cuerpo geomeacutetrico o soacutelido tiene volumen y aacuterea

Volumen lugar que ocupa en el espacio (capacidad)

Aacuterea total suma de todas las superficies que forman el cuerpo geomeacutetrico

Cuerpos geomeacutetricos

Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas

veacutertice arista

cara

Al punto en el que coinciden tres o maacutes caras se le llama veacutertice y a la

liacutenea en la que coinciden dos caras se le llama arista

Poliedros

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 5: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Cuerpo tridimensional delimitado por caras poligonales planas

veacutertice arista

cara

Al punto en el que coinciden tres o maacutes caras se le llama veacutertice y a la

liacutenea en la que coinciden dos caras se le llama arista

Poliedros

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 6: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Poliedro formado por 6 caras que son paraleloacutegramos que pueden ser

rectaacutengulos o cuadrados

largo (l)

alto (h)

ancho (a)

Estas caras son paralelas e iguales dos a dos

Paralelepiacutepedo

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 7: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Volumen = largo ancho alto

Volumen de un paralelepiacutepedo

Aacuterea de un paralelepiacutepedo

Paralelepiacutepedo

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 8: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Calcular el aacuterea y el volumen de una caja de zapatos de 20 cm de ancho

30 cm de largo y 10 cm de alto

Ejemplo

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(30 20 + 30 10 + 20 10)

Aacuterea = 2(600 + 300 + 200)

Aacuterea = 2 (1100)

Aacuterea = 2200 cm2

Para el volumen se tiene

Volumen = largo ancho alto

Volumen = 30 20 10

Volumen = 6000 cm3

Paralelepiacutepedo

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 9: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes

arista (a)

El cubo tiene

- 6 caras

- 8 veacutertices

- 12 aristas

Cubo

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 10: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea = 6 (arista)2

Volumen = (arista)3

Volumen de un cubo

Aacuterea de un cubo

Diagonal de un cubo

Diagonal cubo = arista 3

Diagonal de la cara del cubo

Diagonal cara = arista 2

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 11: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 (5 2 )2

Aacuterea = 6 (25 2)

Aacuterea = 6 50

Aacuterea = 300 cm2

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Multiplicando)

Cubo

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 12: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Para el volumen se tiene

Volumen = (arista)3

Volumen = (5 2 )3

Volumen = 53 23

Volumen = 125 8 cm3

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Calculando)

Volumen = 125 middot 2 2 cm3

(Descomponiendo la raiacutez)

Volumen = 250 2 cm3

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 13: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Para la diagonal del cubo se tiene

Diagonal = arista 3

Diagonal = 5 2 3

Diagonal = 5 6 cm

Cubo

Ejemplo

Calcular el aacuterea el volumen y la diagonal de un cubo de 5 2 cm de

arista

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 14: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Se generan por la rotacioacuten de 360ordm de una figura plana alrededor de su eje

Los cuerpos redondos que estudiaremos son

Son aquellos cuerpos o soacutelidos geomeacutetricos formados por regiones

curvas o regiones planas y curvas

Cono EsferaCilindro

Cuerpos redondos

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 15: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

rectaacutengulo en torno a uno de sus lados El lado en torno al cual gira

el rectaacutengulo pasa a ser la altura del cilindro

h

r

Cilindro

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 16: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea de un cilindro

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2 h

r

Volumen de un cilindro

Volumen = (radio)2 middot altura

Cilindro

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 17: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Si el diaacutemetro mide 10 cm entonces el radio mide 5 cm

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el aacuterea se tiene

Aacuterea = 2 radio middot altura + 2 (radio)2

Aacuterea = 2 5 middot 15 + 2 (5)2

Aacuterea = 2 75 + 2 25

Aacuterea = 150 + 50

Aacuterea = 200 cm2

Cilindro

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 18: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cilindro de 10 cm de diaacutemetro

basal y 15 cm de altura

Para el volumen se tiene

Volumen = (radio)2 middot altura

Volumen = (5)2 middot 15

Volumen = 25 middot 15

Volumen = 375 cm3

Cilindro

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 19: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

triaacutengulo rectaacutengulo en torno a uno de sus catetos El cateto en torno al

cual gira el triaacutengulo pasa a ser la altura del cono

veacutertice del cono

Generatriz (g)

h

Altura (h)

Cono

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 20: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

r

Aacuterea de un cono

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

g

Para calcular la generatriz (g) se utiliza el teorema de

Pitaacutegoras en el triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa

es (g) y cuyos catetos son h y r

r

hg

Recuerda

g2 = h2 + r2

Cono

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 21: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

h

r

Volumen de un cono

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 22: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Comenzaremos por el volumen

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (4)2 middot 33

1

Volumen = 16 cm3

(Reemplazando)

(Calculando)

(Simplificando)Volumen = middot middot 16 middot 313

Cono

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 23: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 3 cm de

altura

Para calcular el aacuterea del cono es necesario encontrar la medida de la

generatriz

g2 = h2 + r2

g2 = 32 + 42

g2 = 9 + 16

g2 = 25

g = 25

g = 5

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Aacuterea total = 4 middot 5 + (4)2

Aacuterea total = 20 + 16

Aacuterea total = 36 cm2

Cono

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 24: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Es el cuerpo que se produce a partir de la rotacioacuten indefinida de un

semiciacuterculo en torno a su diaacutemetro

Esfera

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 25: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Aacuterea = 4 (radio)2

Volumen de una esfera

Aacuterea de una esfera

Volumen = (radio)3

3

4 r

Esfera

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 26: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Ejemplo

Calcular el aacuterea y el volumen de una esfera de 12 cm de radio

El aacuterea es El volumen es

Aacuterea = 4 (radio)2

Aacuterea = 4 (12)2

Aacuterea = 4 144

Aacuterea = 576 cm2

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = (12)3

3

4

Volumen = 17283

4

Volumen = 4 576

Volumen = 2304 cm3

576

Esfera

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 27: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

1 El volumen de un paralelepiacutepedo mide 96 cm3 Si el ancho y el largo

miden 6 y 8 cm respectivamente entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de dicho

cuerpo

A) 2 cm2

B) 48 cm2

C) 76 cm2

D) 96 cm2

E) 152 cm2

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 28: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

El volumen de un paralelepiacutepedo es

Volumen = largo ancho alto

96 = 8 6 alto

96 = 48 alto

96

48= alto

2 = alto

Luego el alto mide 2 cm entonces conocidas las tres dimensiones del

cuerpo calcularemos el aacuterea

(Multiplicando)

(Dividiendo por 48)

(Dividiendo)

(Reemplazando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 29: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

El aacuterea es

Aacuterea = 2(largo ancho + largo alto + ancho alto)

Aacuterea = 2(8 6 + 8 2 + 6 2)

Aacuterea = 2(48 + 16 + 12)

Aacuterea = 2 76

Aacuterea = 152 cm2

(Reemplazando las dimensiones del paralelepiacutepedo)

(Multiplicando)

(Multiplicando)

(Sumando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

E

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 30: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

2 El aacuterea de una esfera mide 324 cm2 iquestCuaacutel es el volumen de dicha

esfera

A) 81 cm3

B) 324 cm3

C) 243 cm3

D) 972 cm3

E) 1296 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 31: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Conocida el aacuterea de la esfera podemos calcular el radio de la esfera

(Reemplazando)

(Dividiendo por 4)

(Simplificando)

(Aplicando raiacutez cuadrada)

Aacuterea = 4 (radio)2

324 = 4 (radio)2

= (radio)2

4

324

81 = (radio)2

radio = 9 cm

radio = 81

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 32: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Calculando el volumen de la esfera

(Reemplazando)

(Elevando al cubo)

(Simplificando por 3)

(Multiplicando)

Volumen = (radio)3

3

4

Volumen = 93

3

4

Volumen = 7293

4

Volumen = 4 243

Volumen = 972 cm3

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 33: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

3 Un cono estaacute inscrito en un cilindro de radio basal 6 cm y altura 8 cm

iquestCuaacutento mide el aacuterea del cono

A) 480 cm2

B) 96 cm2

C) 60 cm2

D) 72 cm2

E) 48 cm2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 34: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Dado que el cono estaacute inscrito en el cilindro entonces tienen el mismo

radio basal y tambieacuten la misma altura

Para calcular el aacuterea de un cono es necesario conocer la medida de la

generatriz

Como se forma un triaacutengulo rectaacutengulo de hipotenusa (g) y catetos r y h

por triacuteo pitagoacuterico 6 ndash 8 ndash 10 se tiene que la generatriz mide 10 cm

Aacuterea total = radio middot generatriz + (radio)2

Luego

Aacuterea total = 6 middot 10 + (6)2

Aacuterea total = 60 + 36

Aacuterea total = 96 cm2

(Calculando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

B

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 35: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

4 Si la diagonal de un cubo mide 9 cm entonces iquestcuaacutento mide el aacuterea de

dicho cubo

A) 162 cm2

B) 81 cm2

C)162 3 cm2

D) 81 3 cm2

E) cm2

3

9

Apliquemos nuestros

conocimientos

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 36: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

Se sabe que la diagonal de un cubo se calcula como

Diagonal = arista 3

9 = arista 3

3

9= arista

El aacuterea de un cubo se calcula como

Aacuterea = 6 (arista)2

Aacuterea = 6 ( )2

3

9

Aacuterea = 6 3

81

Aacuterea = 162 cm2

(Reemplazando)

(Dividiendo por raiacutez de 3)

(Reemplazando)

(Elevando al cuadrado)

(Simplificando y multiplicando)

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

A

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 37: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

A B

C

5 En la figura el triaacutengulo ABC es rectaacutengulo en B AB = 5 cm y

AC = 13 cm iquestCuaacutel es el volumen del cuerpo generado al rotar el

triaacutengulo en torno al lado AB

A) 30 cm3

B) 60 cm3

C) 120 cm3

D) 240 cm3

E) 624 cm3

iquestCuaacutel es la alternativa

correcta

Apliquemos nuestros

conocimientos

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

Habilidad Aplicacioacuten

D

Page 38: Área y volumen de sólidos€¦ · Para el volumen se tiene: Volumen = (arista)3 Volumen = (5 2 )3 Volumen = 53 23 Volumen = 125 8 cm3 (Reemplazando) (Elevando al cubo) (Calculando)

A B

C

Por triacuteo pitagoacuterico 5 ndash 12 ndash 13 se tiene que BC = 12 cm

5

1213

El volumen del cono es

Volumen = (radio)2 middot altura3

1

Volumen = (BC)2 middot AB3

1

Volumen = (12)2 middot 53

1

Volumen = 144 middot 53

1

Volumen = 48 middot 5

Volumen = 240 cm3

Al girar el triaacutengulo en torno a AB se genera un cono de radio BC y

de altura AB

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolucioacuten

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D


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