Reaktionsdiffusionsgleichung

𝑢 = 𝑓 𝑢 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢

𝑢 = 𝑓 𝑢 − ∇ ⋅ 𝑱

Kontinuitätsgleichung

𝑱 = −𝐷∇𝑢

Fourier‘sches Gesetz, Erstes Fick‘sches Gesetz

„Von nichts kommt nichts“

u: Dichte einer Größe

f: Reaktionsterm (z. B. chemische Reaktion, Mitose, …)

falls 𝑓(𝑢) ≡ 0: u ist eine lokal erhaltene Größe

(Masse, Impuls, Energie, Ladung, …)

J: Stromdichte von u

Divergenz von J negativ → Senke → Zufluß aus Umgebung

Divergenz von J positiv → Quelle → Abfluß in Umgebung

„Fluß(-dichte) ist proportional zum

Wärme-/Konzentrationsgradienten.“

D: Diffusionstensor(-/koeffizient)

Reaktion Diffusion

Reaktionsdiffusionsgleichungen

𝑢 = 𝑢′′ + 𝑢 1 − 𝑢

Fisher-Kolmogorov-Gleichung (1D)

Anwendung: Populationsdynamik

http://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Purwins/RD/struktur-e.gif

𝑢 = 𝑓 𝑢, 𝑣 + 𝐷𝑢∇2𝑢

𝑣 = 𝑔 𝑢, 𝑣 + 𝐷𝑣∇2𝑣

Aktivator-Inhibitor-Systeme

𝒖 = 𝒇 𝒖 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝒖

RD-System

https://homepages.warwick.ac.uk/

staff/D.Barkley/Research/

spiral_spectra/node1.html

Mit ∇2𝑢 = Δ𝑢 = 𝛻 ⋅ 𝛻𝑢 = 𝑖𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝑖2 (Laplace-Operator)

𝑢 = 𝑢 1 − 𝑢2 − 𝑣 + 𝜅 + 𝐷𝑢∇2𝑢

Z. B. Gierer-Meinhardt-Modell

𝜏 𝑣 = 𝑣 − 𝑢 + 𝐷𝑣∇2𝑣

Bewegung von Bakterien, Zellen etc.

Stylonychia

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stylonychia_Side_view.jpg

Zufällig, „Random Walk“: Diffusion Zielgerichtet: Taxis-Term

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Random_walk_25000_not_animated.svg

Taxis

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Chtxphenomen1.png

Außerdem

- Galvanotaxis

- Aerotaxis

- Anemotaxis

- Barotaxis

- Durotaxis

- Gravitaxis

- Hydrotaxis

- Magnetotaxis

- Phototaxis

- Rheotaxis

- Thermotaxis

etc.

(Chemo-)Taxis-Modell

𝑱chemo = 𝜒(𝑢1, 𝑢2)∇𝑢2

𝑱diff = −𝐷∇𝑢1

𝑱 = 𝑱diff + 𝑱chemo 𝑢1 = 𝑓 𝑢1, 𝑢2 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢1 − ∇ ⋅ 𝜒 𝑢1, 𝑢2 ∇𝑢2

Reaktion Diffusion Chemotaxis

In Kontinuitätsgleichung:

𝑢2 = 𝑔 𝑢1, 𝑢2 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢2

Reaktion Diffusion

Ziel: 𝑢1 (Zellen, Bakterien) soll sich entlang des Gradienten von 𝑢2 bewegen

mit

und

Chemosensitvität

Keller-Segel-Modell (Keller & Segel 1970)

(Problem: Blow-Ups/Singularitäten:

Partikeldichte kann beliebig groß werden)

𝑱chemo = 𝜒 𝑢1, 𝑢2 ∇𝑢2

𝜒 𝑢1, 𝑢2 =𝑘1𝑢1

𝑘2 + 𝑢22

Lapidus & Schiller 1976

Woodward et al. 1995

(empirisch, „phänomenologisch“)

𝜒 𝑢1, 𝑢2 = 𝑘1𝑢1

Escherichia-coli-Modell

aus Mathematical Biology II, S. 260ff

Stewart et al. 2005

𝑛 = 𝐷𝑛∇2𝑛 − ∇ ⋅

𝑘1𝑛

𝑘2 + 𝑐 2∇𝑐 + 𝑘3𝑛 𝑘4

𝑠2

𝑘9 + 𝑠2− 𝑛

Diffusion Chemotaxis Proliferation, Nekrose

𝑐 = 𝐷𝑐∇2𝑐 + 𝑘5𝑠

𝑛2

𝑘6 + 𝑛2− 𝑘7𝑛𝑐

Diffusion Produktion Verbrauch/Aufnahme

𝑠 = 𝐷𝑠∇2𝑠 − 𝑘8𝑛

𝑠2

𝑘9 + 𝑠2

Diffusion Verbrauch

Budrene & Berg 1995

Death rate prop. to n

Birth rate ~ Logistic growth

Nahrungsaufnahme ~ Proliferation

Zelldichte

Chemo-

attraktor

Stimulans

Mathematical Biology II, S. 260ff

Vereinfachtes Modell

𝑏 = 𝐷𝑏∇2𝑏 − 𝑘1∇ ⋅

𝑏

𝑘6 + 𝑛 2∇𝑛 + 𝑘2𝑏

𝑘3𝑛2

𝑘4 + 𝑛2− 𝑏

Proliferation, NekroseDiffusion Chemotaxis

𝑛 = 𝐷𝑛∇2𝑛 − 𝑘5𝑏

𝑛2

𝑘4 + 𝑛2

VerbrauchDiffusion

𝑏: Bakterienkonzentration (relativ, 𝑏0 ∈ 0, 1 m−2)

𝑛: Nährstoffkonzentration (relativ, 𝑛0 ∈ 0, 1 m−2)

Equation-BasedModeling