Realimentación - Portal del Área de Ingeniería de

1

Sistemas Automáticos

Universidad de Oviedo

12006

Realimentación

Tema 3



22006

Índice

• Ventajas• Inconvenientes• El regulador todo-nada• El regulador PID• Funciones de Sensibilidad

2



32006

Lazo típico de realimentación

PLANTAo

PROCESOActuadorRegulador

Captador

Σ+

-

e(t) u(t) y(t)

w(t)

r(t)

pi(t)

Acciónde

controlReferencia

Perturbaciones

Señal deerror

Variablecontrolada

VariableRealimentada

Selectorde

Referencia

u(t)

Señal deMando

pi(t) Perturbaciones

pi(t)



42006

Ventajas de la realimentación

• Rechazo de perturbaciones• Seguimiento de referencias• Sensibilidad a variaciones en parámetros• Linealización• Estabilización de sistemas inestables• Variación de la respuesta dinámica

3



52006

Control en cadena abierta

y(t)

Tensiónde inducido

uii(t)

Velocidad

MotorReguladorReferencia

de velocidadr(t)

Seguimiento de referencias (c.a.)

∞∞∞∞ ==⋅= rrA

AuAy i

1

sVrad

A

seg

L

⋅=

=

≈

10

601

0

τ

1+⋅sA

τAKca

1=

srad

r 100=∞

srad

y 100=∞



62006

K

1

Σ+

-

y(t)

Tensiónde inducido

ui(t)

Referenciade velocidad

r(t)

Señal deerrore(t)

Velocidad


ycap(t)

Captador

MotorRegulador

Control en cadena cerrada

Seguimiento de referencias (c.c.)

∞∞ += r

AKAK

y1

1+⋅sA

τ

∞∞∞ =⋅+

⋅=

=

rry

K

101100

101011010

10s

radr 100=∞

srad

y 01.99=∞

4



72006

y(t)

Tensiónde inducido

uii(t)

Velocidad

Σ

Motor

+

+

Regulador

Par de cargaw(t)


r(t)

Rechazo de perturbaciones (c.a.)

1+⋅sA

τAKca

1=

Control en cadena abierta

smNrad

B⋅⋅

= 50

srad

y 95)1.0(50100 =−⋅+=∞mNw ⋅−=∞ 1.0



82006

K

1

Σ+

-

y(t)

Tensiónde inducido

ui(t)


r(t)

Señal deerrore(t)

Velocidad


ycap(t)

Σ

Captador

Motor

Par de cargaw(t)

+

+

Regulador

Decrece conK elevada

Tiende a 1

Rechazo de perturbaciones (c.c.)

1+⋅sA

τ

Control en cadena cerrada

srad

y 96.980495.001.99)1.0(10101

50100

101011010 =−=−

⋅++

⋅+⋅=∞

5



92006

Selector de referencia

K

1

Σ+

-

y(t)

Tensiónde inducido

ui(t)

Ref.r(t)

Señal deerrore(t)

Velocidad


ycap(t)

Σ

Captador

Motor

Parw(t)

+

+

ReguladorSelector deReferencia

Decrece conK elevada

Ganancia1

1+⋅sA

τ



102006

Cadena abiertaCambio en la ganancia del motor

y(t)ui(t)

Velocidad

MotorReguladorReferencia

de velocidadr(t)

1+⋅+s

AAτ

δ

Sensibilidad ante variaciones en los parámetros (c.a.)

caK

c.a. en sistema del estática Ganancia AKT caca =

6



112006

Sensibilidad: Definición de H. W. Bode

Definición:

Puede calcularse para bucle abierto y bucle cerrado aplicando:

Variación relativa de y

Variación relativa de A

c.a. en sistema cualquier para cierto 1==

∂∂=

caca

TA

ca

caca

ca

KAK

AS

AA

AT

TA

TT

ca

δδ



122006

K

1

Σ+

-

y(t)

Tensiónde inducido

ui(t)


r(t)

Señal deerrore(t)

Velocidad


ycap(t)

Σ

Captador

Motor

Parw(t)

+

+

Regulador

1+⋅+s

AAτ

δ

Sensibilidad ante variaciones en los parámetros (c.a.)

Cadena cerradaCambio en la ganancia del motor

KAKAKK

KAKAKKAK

KAKAA

S

AA

AT

TA

TT

ccTA

cc

cccc

cc

+=

+=

+−+

+

=

∂∂=

11

)1()1()1(

1

2

δδc.c. en sistema del estática Ganancia : ccT

7



132006

Linealización por realimentación

• Sea f un función no lineal que modela un proceso P

• Sea C un controlador que consigue anular el error:

Entonces:

)(ufy =

01 ≈−= yk

re

rky ⋅≈



142006

Ej: Amplificador de Black (1927)

8



152006

Estabilización de sistemas inestables

Motor:SistemaInestable

Motor CC (sin realimentación)



162006

Estabilización de sistemas inestables

Motor: SistemaEstabilizado

Motor CC (con realimentación)

9



172006

K

1

Σ+

-

y(t)ui(t)r(t) e(t)

ycap(t)

Captador

MotorRegulador

K

ui(t)

MotorRegulador

Dinámica:τ1, τ2

No depende de K

Dinámica:τ∗

1, τ∗2

¡Depende de K!

Polos de la FDT del sistema realimentado:

Variación de la respuesta dinámica



182006

Σ+

-K

1FDT en bucle cerrado:


10



192006

Σ+

-K

1




202006

Inconvenientes de la realimentación

• Generación de posibles inestabilidades• Necesidad de sensores• Introducción de ruidos• Complejidad adicional

11



212006

Variación diariamedia

10

Temperaturamedia exterior

Scope1

EncendidoCasa

Mdot*ha

Calefacción

Tin

Temperaturainterior/exterior

Mando

Control todo-nada

Cadena abierta

text cte

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Horas

Tem

pera

tura

inte

rior/

exte

rior

text variable

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

25

Horas

Tem

pera

tura

inte

rior/

exte

rior



222006

Termodinámica de la casa(Double click on the "?" for more info)

Variación diariamedia

Termostato

10

Temperaturamedia exterior

Scope

Double clickhere for

Simulink Help

?

20

ConsignaCasa

Mdot*ha

Calefacción

MandoTerr

Tin

Tin

Temperaturainterior/exterior

Control todo-nada

Cadena cerrada

0 5 10 15 20 250

5

10

15

20

Horas

Tem

pera

tura

inte

rior/

exte

rior

Parámetros de ajuste:• Acciones de control:

umax, umin• Histéresis

12



232006

Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional (P)

e(t)

u(s) = Kp·e(s)e(t)

t

Kp

Propiedades• La acción de control es directamente

proporcional al error e(t) cometido• Esta acción surte efecto de forma

instantánea a la aparición del error• Reduce el error, tanto en seguimiento de

referencias como el originado por perturbaciones, pero no lo anula en régimen permanente

• Valores elevados de Kp originan menos error y respuestas más rápidas, aunque una acción P excesiva pueden producir respuestas sobreosciladas o incluso inestables

u(t) = Kp·e(t)



242006

Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral (PI)

e(t)

u(s) = Ki·(1/s) e(s)e(t)

t

u(t)

Ki1/s

Propiedades• Se basa en la integral del error• Mientras el error persiste en régimen

permanente, la acción de control se incrementa (el integrador sigue integrando)

• En régimen permanente, el error se hace cero (si no, tendríamos un sistema inestable)

• La acción se basa en la “historia” del error, por tanto conlleva cierto retraso (no confundir con retraso puro)

• Este retraso origina dinámicas lentas, más oscilatorias y a veces inestabilidad

• La acción integral siempre suele ir acompañada de una acción proporcional (Kp) � ACCIÓN Proporcional-Integral (PI)

Kp

Ki1/s

+

+

e(s) u(s)

13



252006

Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Diferencial (PD)

e(t)

Td

ê(t+T)u(s) = K·[e(s) + Td·s e(s)] = K(1+Tds)e(s)

parteproporcional

partediferencial

u(t) = K·ê(t+Td) = e(t) + Td·de/dt

parteproporcional

partediferencial

1

Tds

K

e(t)

t

Propiedades• Se basa en la predicción lineal del valor del

error dentro de Td segundos � es ANTICIPATIVA

• Esta predicción se basa en la pendiente del error (derivada)

• Su carácter anticipativo hace que, en general, mejore la dinámica de la respuesta

+

+

e(s) u(s)

u(t) = K·e(t+Td)



262006

Análisis de las acciones P, PI, PDAcción Proporcional-Integral-Diferencial (PID)

Kp

Ki1/sK

Propiedades• Combina las tres acciones• Bien diseñado puede reunir las ventajas de

las tres• Las tres acciones básicas P, PI, PD, son

casos particulares de ésta• La gran mayoría de los reguladores

utilizados en la industria son PID’s

+

+

e(s) u(s)

Kds

14



272006

C G Σ

Σ

Σr e u

do

y

n++

+

-

++Σ

di

++ x

referencia

pert.de carga

pert.de salida

salida

ruidode medida

controlador proceso

acc.de control

Funciones de sensibilidadBucle básico de control



282006

C G Σ

Σ

Σr e u

do

y

n++

+

-

++Σ

di

++ x

Funciones de sensibilidadBucle básico de control

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292006

sensibilidad

sensibilidad complementaria

sensibilidad de entrada

sensibilidad de control

Funciones de sensibilidad Las 4 funciones de sensibilidad



302006

• El sistema realimentado está caracterizado por 4 funciones de transferencia (S, T, Su, Si)

• Estas 4 funciones condensan toda la información sobre la respuesta del sistema

• Sus propiedades pueden mostrarse mediante su respuesta frecuencial o mediante su respuesta temporal

Funciones de sensibilidad Observaciones

16



312006

C G ΣΣr=0 e u

do

y+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle abierto



322006

C G ΣΣr=0 e u

do

y+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle abierto

17



332006

C G ΣΣr=0 e u

do

y

+Σn=0+

+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle cerrado



342006

C G ΣΣr=0 e u

do

y

+Σn=0+

+

-

++Σ

di

++ x

Rechazo a perturbacionesBucle cerrado

18



352006

Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s)

Bucle abierto �

Bucle cerrado �



362006

• La función de sensibilidad describe la atenuación en las perturbaciones que proporciona la realimentación

• La realimentación atenúa perturbaciones a frecuencias en las que |S(jw)|<1

• La realimentación amplifica perturbaciones a frecuencias en las que |S(jw)|>1


19



372006

wcs=0.86 rads/s

wms=1.36 rads/s

Rechazo a perturbacionesInterpretación de S(s). Regulador PI (kp=1, ki=0.3)

mejor queBA

peor queBA

atenúa perturbacioneslentas hasta unos 0.86 rads/s

bloquea las perturbacionesen continua (reg. perm)

se muestra especialmentesensible ante perturbacionesa ciertas frecuencias



382006


S(s) describe cuánto atenúa la realimentación las perturbacionesen comparación con bucle abierto

informa también sobre:• Estabilidad relativa• Robustez• etc.

(a continuación...)

Puede también representarse en el tiempo

permite dar esa información en frecuencia (frecuencias vulnerables, frecuencias robustas ...)

20



392006

Estabilidad y sensibilidad

Re

Im

-1+0j α1

α2

α

Los márgenes clásicos puedenestablecerse en términos de α1 y α2

αsustituyendo α1 y α2 por αse obtienen versiones conservadorasde los dos márgenes:

MF(º)

aMG = 1/a

La distancia del punto –1 al punto L(jw)es precisamente la inversa

del módulo de la sensibilidad

punto de distanciamínima :



402006

Estabilidad y sensibilidad

Visualizando la curva de sensibilidadpuede obtenerse información muy útilsobre la estabilidad

6.89 dB

wms = 0.9 rads/s

Re

Im

-1

Márgenes robustos:

wcs

wcs

α = α = α = α = 1/Ms wms

21



412006

Ej: Colada continua



422006

Ej: Colada continua

K= 1 K= 5

22



432006

C G Σ

Σ

Σr e u y

n++

+

-

++Σ

++ x

Controlador:

Proceso:

Ej: Análisis de las acciones P, PI, PD



442006

Ej: Análisis de las acciones P, PI, PD

23



452006

Referencias

[Franklin02] Franklin, G.F. et al. Tema 4 de “Feedback Control ofDynamic Systems”, 4ª edición, Prentice-Hall, 2002.

[Asmur05] Astrom, K.J., Murray R.M. Tema 1 de “Feedback Systems”http://www.cds.caltech.edu/~murray/books/AM05/pdf/am05-intro_14jan06.pdf

[Astrom02] Astrom, K.J. Tema 5 de “Control System Design.Lecture Notes for ME 155A” http://www.cds.caltech.edu/~murray/courses/cds101/fa02/caltech/astrom-ch5.pdf

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