Upload
doanthuan
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Regresija
U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izme�u dve ilivixe promenljivih.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u stepena erozije i koliqinepadavina.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u broja ro�ene dece po �eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.
Regresija
U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izme�u dve ilivixe promenljivih.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u stepena erozije i koliqinepadavina.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u broja ro�ene dece po �eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.
Regresija
U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izme�u dve ilivixe promenljivih.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u stepena erozije i koliqinepadavina.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u broja ro�ene dece po �eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.
Regresija
U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izme�u dve ilivixe promenljivih.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u stepena erozije i koliqinepadavina.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u broja ro�ene dece po �eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.
Regresija
U velikom broju eksperimenata uoqava se veza izme�u dve ilivixe promenljivih.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u stepena erozije i koliqinepadavina.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u xirine reke i maksimalnoggodixnjeg proticaja.
PrimerMo�e se uoqiti veza izme�u broja ro�ene dece po �eni, nivoaobrazovanja i vrste zaposlenja.
Ako posmatramo obele�ja X1, X2, . . . , Xp i Y , tada tra�imofunkciju ϕ(x1, x2, . . . , xp) za koju �e biti
Y ≈ ϕ(X1,X2, . . . ,Xp).
Funkcija ϕ se bira tako da srednjekvadratno odstupanje uoznaci
E(Y − ϕ(X1,X2, . . . ,Xp))2
bude najmanje.
RegresijaFunkcija ϕ se zove regresija Y po X1, X2, . . . , Xp.
Ako posmatramo obele�ja X1, X2, . . . , Xp i Y , tada tra�imofunkciju ϕ(x1, x2, . . . , xp) za koju �e biti
Y ≈ ϕ(X1,X2, . . . ,Xp).
Funkcija ϕ se bira tako da srednjekvadratno odstupanje uoznaci
E(Y − ϕ(X1,X2, . . . ,Xp))2
bude najmanje.
RegresijaFunkcija ϕ se zove regresija Y po X1, X2, . . . , Xp.
Ako posmatramo obele�ja X1, X2, . . . , Xp i Y , tada tra�imofunkciju ϕ(x1, x2, . . . , xp) za koju �e biti
Y ≈ ϕ(X1,X2, . . . ,Xp).
Funkcija ϕ se bira tako da srednjekvadratno odstupanje uoznaci
E(Y − ϕ(X1,X2, . . . ,Xp))2
bude najmanje.
RegresijaFunkcija ϕ se zove regresija Y po X1, X2, . . . , Xp.
Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .
Tra�i se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).
Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) i predstavlja se u Dekartovojravni.
Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagramrasturanja, bira se familija funkcija sa kojom �e seraditi.
Na kraju se odre�uju vrednosti parametara regresije.
Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .
Tra�i se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).
Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) i predstavlja se u Dekartovojravni.
Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagramrasturanja, bira se familija funkcija sa kojom �e seraditi.
Na kraju se odre�uju vrednosti parametara regresije.
Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .
Tra�i se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).
Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) i predstavlja se u Dekartovojravni.
Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagramrasturanja, bira se familija funkcija sa kojom �e seraditi.
Na kraju se odre�uju vrednosti parametara regresije.
Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .
Tra�i se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).
Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) i predstavlja se u Dekartovojravni.
Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagramrasturanja, bira se familija funkcija sa kojom �e seraditi.
Na kraju se odre�uju vrednosti parametara regresije.
Najjednostavnija regresija je jednostruka regresija, kadase posmatraju dve promenljive Y i X .
Tra�i se funkcija ϕ takva da je Y ≈ ϕ(X ).
Iz populacije se izdvaja realizovani uzorak((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) i predstavlja se u Dekartovojravni.
Na osnovu dobijenog dijagrama, koji se zove dijagramrasturanja, bira se familija funkcija sa kojom �e seraditi.
Na kraju se odre�uju vrednosti parametara regresije.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresijaAko je zavisnost ϕ izme�u promenljivih Y i X linearna, tj.oblika Y = aX + b, tada ka�emo da je ϕ jednostruka linearnaregresija.
Jednostruka linearna regresija mo�e biti:
prve vrste,
druge vrste.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteObele�je Y zavisi od sluqajne promenljive X .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteObele�je Y zavisi od nesluqajne (kontrolisane) promenljivex.
Jednostruka linearna regresija prve vrsteZavisnost je oblika Y = aX + b.
a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − aX − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
b = Y n − aX n .
Procena vrednosti
Vrednost Yi dobijena kao Yi = aXi + b je procena vrednosti Yina osnovu vrednosti Xi .
Jednostruka linearna regresija prve vrsteZavisnost je oblika Y = aX + b.a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − aX − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
b = Y n − aX n .
Procena vrednosti
Vrednost Yi dobijena kao Yi = aXi + b je procena vrednosti Yina osnovu vrednosti Xi .
Jednostruka linearna regresija prve vrsteZavisnost je oblika Y = aX + b.a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − aX − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
b = Y n − aX n .
Procena vrednosti
Vrednost Yi dobijena kao Yi = aXi + b je procena vrednosti Yina osnovu vrednosti Xi .
Jednostruka linearna regresija prve vrsteZavisnost je oblika Y = aX + b.a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − aX − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
b = Y n − aX n .
Procena vrednosti
Vrednost Yi dobijena kao Yi = aXi + b je procena vrednosti Yina osnovu vrednosti Xi .
Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao
S2Y−Y
=1n
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
Grexka ocenjivanja sadr�i informaciju o tome kolikoizabrana funkcija dobro aproksimira zavisnost obele�ja Ypo X .
Grexka ocenjivanja (mali uzorak)Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao
S2Y−Y
=1
n − 1
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao
S2Y−Y
=1n
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
Grexka ocenjivanja sadr�i informaciju o tome kolikoizabrana funkcija dobro aproksimira zavisnost obele�ja Ypo X .
Grexka ocenjivanja (mali uzorak)Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao
S2Y−Y
=1
n − 1
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao
S2Y−Y
=1n
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
Grexka ocenjivanja sadr�i informaciju o tome kolikoizabrana funkcija dobro aproksimira zavisnost obele�ja Ypo X .
Grexka ocenjivanja (mali uzorak)Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao
S2Y−Y
=1
n − 1
n∑i=1
(Yi − Yi
)2.
PrimerNa osnovu merenja pretprole�nog minimalnogsrednjemeseqnog nivoa podzemnih voda (X ), i srednjeggodixnjeg nivoa (Y ) u godinama 1952-1958. dobijeno je
X 19,51 19,02 19,04 15,80 17,52 15,96 16,31Y 17,57 17,66 18,74 14,48 15,44 13,92 15,22
Odrediti pravu linearne regresije Y po X i na osnovu njeprognozirati Y za izmerenu vrednost x = 16,99 u 1959.godini. Izraqunati grexku ocenjivanja.
Dijagram rasturanja je
Koeficijenti prave linearne regresije su:
a =2005,18− 1
7 · 123,16 · 113,032182,25− 1
7 · (123,16)2= 1,076,
b =113,03
7− 1,076 · 123,16
7= −2,784.
Tra�ena prava linearne regresije Y = 1,076 · X − 2,784.Procenjujemo da je 1959. godine srednji godixnji nivo bioy(16,99) = 1,076 · 16,99− 2,784 = 15,50.Grexka ocenjivanja je s2
Y−Y= 2,3795
6 = 0,3966 i kako je onamala u odnosu na vrednosti obele�ja Y , to zakljuqujemo dasmo dobro aproksimirali zavisnost obele�ja Y po X . �
Koeficijenti prave linearne regresije su:
a =2005,18− 1
7 · 123,16 · 113,032182,25− 1
7 · (123,16)2= 1,076,
b =113,03
7− 1,076 · 123,16
7= −2,784.
Tra�ena prava linearne regresije Y = 1,076 · X − 2,784.
Procenjujemo da je 1959. godine srednji godixnji nivo bioy(16,99) = 1,076 · 16,99− 2,784 = 15,50.Grexka ocenjivanja je s2
Y−Y= 2,3795
6 = 0,3966 i kako je onamala u odnosu na vrednosti obele�ja Y , to zakljuqujemo dasmo dobro aproksimirali zavisnost obele�ja Y po X . �
Koeficijenti prave linearne regresije su:
a =2005,18− 1
7 · 123,16 · 113,032182,25− 1
7 · (123,16)2= 1,076,
b =113,03
7− 1,076 · 123,16
7= −2,784.
Tra�ena prava linearne regresije Y = 1,076 · X − 2,784.Procenjujemo da je 1959. godine srednji godixnji nivo bioy(16,99) = 1,076 · 16,99− 2,784 = 15,50.
Grexka ocenjivanja je s2Y−Y
= 2,37956 = 0,3966 i kako je ona
mala u odnosu na vrednosti obele�ja Y , to zakljuqujemo dasmo dobro aproksimirali zavisnost obele�ja Y po X . �
Koeficijenti prave linearne regresije su:
a =2005,18− 1
7 · 123,16 · 113,032182,25− 1
7 · (123,16)2= 1,076,
b =113,03
7− 1,076 · 123,16
7= −2,784.
Tra�ena prava linearne regresije Y = 1,076 · X − 2,784.Procenjujemo da je 1959. godine srednji godixnji nivo bioy(16,99) = 1,076 · 16,99− 2,784 = 15,50.Grexka ocenjivanja je s2
Y−Y= 2,3795
6 = 0,3966 i kako je onamala u odnosu na vrednosti obele�ja Y , to zakljuqujemo dasmo dobro aproksimirali zavisnost obele�ja Y po X . �
Grafik prave linearne regresije je
Mo�e se posmatrati i linearna regresija X po Y .
Ona je oblika X = cY + d , gde su c i d nepoznatiparametri koji se odre�uju iz uslova da srednjekvadratnoodstupanje E(X − cY − d)2 bude najmanje.
Ocene parametara c i d su:
c =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑Y 2
i −1n (∑
Yi)2 ,
d = X n − cY n.
Mo�e se posmatrati i linearna regresija X po Y .
Ona je oblika X = cY + d , gde su c i d nepoznatiparametri koji se odre�uju iz uslova da srednjekvadratnoodstupanje E(X − cY − d)2 bude najmanje.
Ocene parametara c i d su:
c =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑Y 2
i −1n (∑
Yi)2 ,
d = X n − cY n.
Mo�e se posmatrati i linearna regresija X po Y .
Ona je oblika X = cY + d , gde su c i d nepoznatiparametri koji se odre�uju iz uslova da srednjekvadratnoodstupanje E(X − cY − d)2 bude najmanje.
Ocene parametara c i d su:
c =
∑XiYi − 1
n∑
Xi∑
Yi∑Y 2
i −1n (∑
Yi)2 ,
d = X n − cY n.
Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao
S2X−X
=1n
n∑i=1
(Xi − Xi
)2.
Grexka ocenjivanja (mali uzorak)Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao
S2X−X
=1
n − 1
n∑i=1
(Xi − Xi
)2.
Grexka ocenjivanjaGrexka ocenjivanja se definixe kao
S2X−X
=1n
n∑i=1
(Xi − Xi
)2.
Grexka ocenjivanja (mali uzorak)Ako je uzorak mali, tada se grexka ocenjivanja definixe kao
S2X−X
=1
n − 1
n∑i=1
(Xi − Xi
)2.
Jednostruka linearna regresija druge vrsteZavisnost je oblika Y = ax + b + ε, gde je ε sluqajnapromenljiva, koja se najqex�e identifikuje kao grexkamerenja. Pretpostavlja se da je E(ε) = 0 i D(ε) = σ2.
a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − ax − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑xiYi − 1
n∑
xi∑
Yi∑x2
i −1n (∑
xi)2 ,
b = Y n − axn .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteZavisnost je oblika Y = ax + b + ε, gde je ε sluqajnapromenljiva, koja se najqex�e identifikuje kao grexkamerenja. Pretpostavlja se da je E(ε) = 0 i D(ε) = σ2.
a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − ax − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑xiYi − 1
n∑
xi∑
Yi∑x2
i −1n (∑
xi)2 ,
b = Y n − axn .
Jednostruka linearna regresija druge vrsteZavisnost je oblika Y = ax + b + ε, gde je ε sluqajnapromenljiva, koja se najqex�e identifikuje kao grexkamerenja. Pretpostavlja se da je E(ε) = 0 i D(ε) = σ2.
a i b su nepoznati parametri koji se odre�uju iz uslovada je srednje-kvadratno odstupanje E(Y − ax − b)2 najmanje.
Ocene parametara su:
a =
∑xiYi − 1
n∑
xi∑
Yi∑x2
i −1n (∑
xi)2 ,
b = Y n − axn .
Nelinearni modeli zavisnosti
Nelinearni modeli zavisnostiNelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnimtransformacijama mogu da svedu na linearne modele.
Posmatra�emo:
model linearan po parametrima,
stepeni model,
eksponencijalni model.
Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.
Nelinearni modeli zavisnosti
Nelinearni modeli zavisnostiNelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnimtransformacijama mogu da svedu na linearne modele.
Posmatra�emo:
model linearan po parametrima,
stepeni model,
eksponencijalni model.
Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.
Nelinearni modeli zavisnosti
Nelinearni modeli zavisnostiNelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnimtransformacijama mogu da svedu na linearne modele.
Posmatra�emo:
model linearan po parametrima,
stepeni model,
eksponencijalni model.
Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.
Nelinearni modeli zavisnosti
Nelinearni modeli zavisnostiNelinearni modeli zavisnosti su modeli koji se jednostavnimtransformacijama mogu da svedu na linearne modele.
Posmatra�emo:
model linearan po parametrima,
stepeni model,
eksponencijalni model.
Nelinearni modeli mogu biti prve i druge vrste.
Model linearan po parametrima
Model linearan po parametrima prve vrste je oblika
Y = ag(X ) + b,
gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenljiveX , a a i b su nepoznati parametri.
Model se smenom Z = g(X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b.Nepoznati parametri a i b se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,Y1), (Z2,Y2), . . . , (Zn,Yn)) koji je dobijentransformacijom Zi = g(Xi), i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Model linearan po parametrimaModel linearan po parametrima prve vrste je oblika
Y = ag(X ) + b,
gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenljiveX , a a i b su nepoznati parametri.
Model se smenom Z = g(X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b.Nepoznati parametri a i b se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,Y1), (Z2,Y2), . . . , (Zn,Yn)) koji je dobijentransformacijom Zi = g(Xi), i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Model linearan po parametrimaModel linearan po parametrima prve vrste je oblika
Y = ag(X ) + b,
gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenljiveX , a a i b su nepoznati parametri.
Model se smenom Z = g(X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b.
Nepoznati parametri a i b se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,Y1), (Z2,Y2), . . . , (Zn,Yn)) koji je dobijentransformacijom Zi = g(Xi), i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Model linearan po parametrimaModel linearan po parametrima prve vrste je oblika
Y = ag(X ) + b,
gde je g unapred poznata funkcija od sluqajne promenljiveX , a a i b su nepoznati parametri.
Model se smenom Z = g(X ) svodi na linearan model prvevrste Y = aZ + b.Nepoznati parametri a i b se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,Y1), (Z2,Y2), . . . , (Zn,Yn)) koji je dobijentransformacijom Zi = g(Xi), i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Ocene parametara a i b regresionog modela Y = aZ + b su:
a =
∑ZiYi − 1
n∑
Zi ·∑
Yi∑Z 2
i −1n (∑
Zi)2 ,
b = Y n − a · Z n .
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblika
Y = ag(X ) + b.
Ocene parametara a i b regresionog modela Y = aZ + b su:
a =
∑ZiYi − 1
n∑
Zi ·∑
Yi∑Z 2
i −1n (∑
Zi)2 ,
b = Y n − a · Z n .
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblika
Y = ag(X ) + b.
PrimerOdrediti regresionu krivu Y = a log X + b veze izme�u xirinereke Y i maksimalnog godixnjeg proticaja X (u m3/sec), naosnovu uzorka od 10 reka:
maks. proticaj 5,7 17 22 31 50 61 85 120 12 19xirina reke 63 260 92 230 720 890 2500 1150 93 210
Dijagram rasturanja je
Realizovane vrednosti ocena a i b su redom:
a =25857,48− 1
10 · 33,781 · 6208122,108− 1
10 · (33,781)2= 611,360,
b =6208
10− 611,360 · 33,781
10= −1407,754.
Regresiona prava izme�u obele�ja Y i Z je oblikaY = 611,360 · Z − 1407,754.Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u xirinereke i maksimalnog godixnjeg proticaja jeY = 611,360 · log X − 1407,754. �
Realizovane vrednosti ocena a i b su redom:
a =25857,48− 1
10 · 33,781 · 6208122,108− 1
10 · (33,781)2= 611,360,
b =6208
10− 611,360 · 33,781
10= −1407,754.
Regresiona prava izme�u obele�ja Y i Z je oblikaY = 611,360 · Z − 1407,754.
Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u xirinereke i maksimalnog godixnjeg proticaja jeY = 611,360 · log X − 1407,754. �
Realizovane vrednosti ocena a i b su redom:
a =25857,48− 1
10 · 33,781 · 6208122,108− 1
10 · (33,781)2= 611,360,
b =6208
10− 611,360 · 33,781
10= −1407,754.
Regresiona prava izme�u obele�ja Y i Z je oblikaY = 611,360 · Z − 1407,754.Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u xirinereke i maksimalnog godixnjeg proticaja jeY = 611,360 · log X − 1407,754. �
Grafik regresione krive je
Stepeni model
Stepeni model prve vrste je oblika
Y = bX a,
gde su a i b su nepoznati parametri.
Model se smenama Z = ln X , W = ln Y i c = ln b svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,W1), (Z2,W2), . . . , (Zn,Wn)) koji je dobijentransformacijama Zi = ln Xi i Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n,poqetnog uzorka ((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Stepeni modelStepeni model prve vrste je oblika
Y = bX a,
gde su a i b su nepoznati parametri.
Model se smenama Z = ln X , W = ln Y i c = ln b svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,W1), (Z2,W2), . . . , (Zn,Wn)) koji je dobijentransformacijama Zi = ln Xi i Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n,poqetnog uzorka ((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Stepeni modelStepeni model prve vrste je oblika
Y = bX a,
gde su a i b su nepoznati parametri.
Model se smenama Z = ln X , W = ln Y i c = ln b svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c.
Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,W1), (Z2,W2), . . . , (Zn,Wn)) koji je dobijentransformacijama Zi = ln Xi i Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n,poqetnog uzorka ((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Stepeni modelStepeni model prve vrste je oblika
Y = bX a,
gde su a i b su nepoznati parametri.
Model se smenama Z = ln X , W = ln Y i c = ln b svodi nalinearan model prve vrste W = aZ + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((Z1,W1), (Z2,W2), . . . , (Zn,Wn)) koji je dobijentransformacijama Zi = ln Xi i Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n,poqetnog uzorka ((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aZ + c su:
a =
∑ZiWi − 1
n∑
Zi∑
Wi∑Z 2
i −1n (∑
Zi)2 ,
c = W n − aZ n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = bX a.
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aZ + c su:
a =
∑ZiWi − 1
n∑
Zi∑
Wi∑Z 2
i −1n (∑
Zi)2 ,
c = W n − aZ n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = bX a.
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aZ + c su:
a =
∑ZiWi − 1
n∑
Zi∑
Wi∑Z 2
i −1n (∑
Zi)2 ,
c = W n − aZ n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = bX a.
PrimerNa obali zaliva se ispituje vla�nost mulja (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno
dubina (x) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5vla�nost (y) 84 50 32 28 24 23 20
Odrediti regresionu krivu Y = bxa + ε.
Dijagram rasturanja je
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =37,614− 1
7 · 11,363 · 24,450
21,259− 17 (11,363)2 = −0,738,
c =24,450
7+ 0,738 · 11,363
7= 4,691,
b = e4,691 = 108,962.
Regresiona prava izme�u obele�ja W i Z je oblikaW = −0.738 · Z + 4.691.Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 108,962 · x−0,738 + ε. �
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =37,614− 1
7 · 11,363 · 24,450
21,259− 17 (11,363)2 = −0,738,
c =24,450
7+ 0,738 · 11,363
7= 4,691,
b = e4,691 = 108,962.
Regresiona prava izme�u obele�ja W i Z je oblikaW = −0.738 · Z + 4.691.
Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 108,962 · x−0,738 + ε. �
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =37,614− 1
7 · 11,363 · 24,450
21,259− 17 (11,363)2 = −0,738,
c =24,450
7+ 0,738 · 11,363
7= 4,691,
b = e4,691 = 108,962.
Regresiona prava izme�u obele�ja W i Z je oblikaW = −0.738 · Z + 4.691.Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 108,962 · x−0,738 + ε. �
Grafik regresione krive je
Eksponencijalni model
Eksponencijalni model prve vrste je oblika
Y = beaX ,
gde su a i b nepoznati parametri.
Model se smenama W = ln Y i c = ln b svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((X1,W1), (X2,W2), . . . , (Xn,Wn)) koji je dobijentransformacijom Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Eksponencijalni modelEksponencijalni model prve vrste je oblika
Y = beaX ,
gde su a i b nepoznati parametri.
Model se smenama W = ln Y i c = ln b svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((X1,W1), (X2,W2), . . . , (Xn,Wn)) koji je dobijentransformacijom Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Eksponencijalni modelEksponencijalni model prve vrste je oblika
Y = beaX ,
gde su a i b nepoznati parametri.
Model se smenama W = ln Y i c = ln b svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c.
Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((X1,W1), (X2,W2), . . . , (Xn,Wn)) koji je dobijentransformacijom Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Eksponencijalni modelEksponencijalni model prve vrste je oblika
Y = beaX ,
gde su a i b nepoznati parametri.
Model se smenama W = ln Y i c = ln b svodi na linearanmodel prve vrste W = aX + c.Nepoznati parametri a i c se ocenjuju na osnovu uzorka((X1,W1), (X2,W2), . . . , (Xn,Wn)) koji je dobijentransformacijom Wi = ln Yi , i = 1,2, . . . ,n, poqetnog uzorka((X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn)).
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aX + c su:
a =
∑XiWi − 1
n∑
Xi∑
Wi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
c = W n − aX n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = beaX .
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aX + c su:
a =
∑XiWi − 1
n∑
Xi∑
Wi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
c = W n − aX n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = beaX .
Ocene parametara a i c regresionog modela W = aX + c su:
a =
∑XiWi − 1
n∑
Xi∑
Wi∑X 2
i −1n (∑
Xi)2 ,
c = W n − aX n.
Parametar b ocenjujemo kao b = ec.
U tom sluqaju, poqetni regresioni model je oblikaY = beaX .
PrimerNa obali zaliva se ispituje vla�nost mulja (u gramima vodena 100 grama suve materije). Iz jedne buxotine je dobijeno
dubina (x) 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5vla�nost (y) 84 50 32 28 24 23 20
Odrediti regresionu krivu Y = beax + ε.
Dijagram rasturanja je
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =137,48− 1
7 · 42 · 24,45
315− 17 (42)2 = −0,146,
c =24,45
7+ 0,146 · 42
7= 4,369,
b = e4,369 = 78,965,
Regresiona prava izme�u obele�ja W i X je oblikaW = −0,146x + 4,369 + ε.
Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 78,965 · e−0,146x + ε. �
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =137,48− 1
7 · 42 · 24,45
315− 17 (42)2 = −0,146,
c =24,45
7+ 0,146 · 42
7= 4,369,
b = e4,369 = 78,965,
Regresiona prava izme�u obele�ja W i X je oblikaW = −0,146x + 4,369 + ε.
Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 78,965 · e−0,146x + ε. �
Realizovane vrednosti ocena nepoznatih parametara su
a =137,48− 1
7 · 42 · 24,45
315− 17 (42)2 = −0,146,
c =24,45
7+ 0,146 · 42
7= 4,369,
b = e4,369 = 78,965,
Regresiona prava izme�u obele�ja W i X je oblikaW = −0,146x + 4,369 + ε.
Regresiona kriva kojom se opisuje veza izme�u dubine ivla�nosti mulja je Y = 78,965 · e−0,146x + ε. �
Grafik regresione krive je