REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG OBJEKTA IZ EGOVIH …poincare.matf.bg.ac.rs/~antic/master_rad/...master_rad...prezentacija… · Master rad REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG OBJEKTA IZ EGOVIH AVANSKIHR

Matematiqki fakultet

Univerzitet u Beogradu

Master rad

REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG

OBJEKTA IZ EGOVIH RAVANSKIH

PROJEKCIJA

student: Milox Anti mentor: dr Sran Vukmirovi

30. oktobar 2012.

Projektivna preslikavaa Modeli kamere Metod rekonstrukcije Triangulacija Literatura

Sadraj

1 Projektivna preslikavaaProjektivna preslikavaa ravniProjektivna preslikavaa prostora

2 Modeli kamereModeli kamereAnatomija matrice kamereKalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutnekonike.

3 Metod rekonstrukcijeEpipolarna geometrija i fundamentalna matricaOdreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice FVixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).

4 TriangulacijaTriangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.

5 Literatura

Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 2 / 44


Projektivna preslikavaa ravni

Projektivna preslikavaa ravni P2Klasifikacija:

Grupapreslikavaǌa Matrica Distorzija

kvadrata Invarijante

Projektivnapreslikavaa

8 stepeni slobode

h11 h12 h13h21 h22 h23h31 h32 h33

konkurentnost, koli-nearnost, dvorazmera,krive drugog reda (sve sujednako tretirane)

Afinapreslikavaa

6 stepeni slobode

a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1

paralelnost, razmera napravoj, beskonaqno da-leka prava, krive drugogreda (svaku ponaosob)

Sliqnosti

4 stepena slobode

se cos θ −s sin θ txse sin θ s cos θ ty

0 0 1

razmera, uglovi, cirku-larne taqke I = (1, i, 0)T

i J = (1,−i, 0)T

Izometrije

3 stepena slobode

e cos θ − sin θ txe sin θ cos θ ty

0 0 1

duina, povrxina




Projektivna preslikavaa ravni P2Svojstva:

Teorema

Projektivno preslikavae fiksira beskonaqno daleku pravul∞ = (0, 0, 1)T AKKO je ono afino.

Definicija

Taqke I = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) koje pripadaju proizvonom kruguu ravni zovemo cirkularnim taqkama.

Teorema

Projektivno preslikavae fiksira tzv. cirkularne taqkeI = (1, i, 0) i J = (1,−i, 0) ako i samo ako je ono sliqnost.





Teorema


Definicija


Teorema






Teorema


Definicija


Teorema




Projektivna preslikavaa prostora

Projektivna preslikavaa prostora P3Klasifikacija:

Grupapreslikavaǌa Matrica Distorzija

kockeInvarijante

Projektivnapreslikavaa

15 stepeni slobode

[A tvT v

] konkurentnost, kolinearnost, dvo-razmera, povrxi i krive drugogreda (sve su jednako tretirane),znak Gausove krivine povrxi

Afinapreslikavaa

12 stepeni slobode

[A t0T v

] paralelnost, razmera na pravoj,beskonaqno daleka ravan, povrxii krive drugog reda (svaku ponao-sob), odnosi zapremina

Sliqnosti

7 stepeni slobode

[sR t0T v

]razmera, uglovi, apsolutna konikaΩ∞ : X2

1 +X22 +X2

3 = 0, X4 = 0

Izometrije

6 stepeni slobode

[R t0T v

]duina, povrxina, zapremina




Projektivna preslikavaa prostora P3Svojstva:

Teorema

Projektivno preslikavae prostora fiksira beskonaqno dalekuravan π∞ = (0, 0, 0, 1)T AKKO je ono afino.

Definicija

Apsolutna konika Ω∞ je kriva drugog reda na beskonaqnoj ravniqije taqke (X1, X2, X3, X4) zadovoavaju

X12 +X2

2 +X32 = 0, X4 = 0.

Teorema

Projektivno preslikavae prostora fiksira apsolutnu koniku Ω∞ako i samo ako je ono sliqnost.





Teorema


Definicija


X12 +X2

2 +X32 = 0, X4 = 0.

Teorema






Teorema


Definicija


X12 +X2

2 +X32 = 0, X4 = 0.

Teorema




Modeli kamere

Centralno projektovae prostora P3 na ravan P2

Kamera je data centrom (C) i ravni slike (π).

Projektovae: X 7→ x

Glavna osa je prava koja sadri centar kamere, ortogonalna na ravanslike. en presek sa ravni slike je glavna taqka (p) kamere.Glavna ravan kamere je ravan koja sadri centar kamere, paralelnaravni slike.

ina daǉina (f) je udaenost ravni slike od centra kamere.



Modeli kamere


Preslikavae u Dekartovim koordinatama:

X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ, fY

Z)T = x

Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak uslici, ve ima koordinate p = (px, py)T formulapreslikavaa je:

X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ

+ px, fY

Z+ py)T = x



Modeli kamere


Preslikavae u Dekartovim koordinatama:

X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ, fY

Z)T = x

Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak uslici, ve ima koordinate p = (px, py)T formulapreslikavaa je:

X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ

+ px, fY

Z+ py)T = x



Modeli kamere


Kada glavna taqka nije koordinatni poqetak u slici, ve imakoordinate p = (px, py)T formula preslikavaa je:

X = (X,Y, Z)T 7→ (f XZ

+ px, fY

Z+ py)T = x

Matriqni zapis u homogenim koordinatama:XYZ1

7→ fX + Zpx

fY + Zpy

Z

=

f px 0f py 0

1 0

XYZ1

tj.

x = K[I | 0]Xkam (1)

gde je I = diag(1, 1, 1), K =

f px

f py

1

- kalibracija kamere i

Xkam koordinate prostorne taqke u koordinatnom sistemu kamere.



Modeli kamere


Matriqni zapis u homogenim koordinatama:

x = K[I | 0]Xkam (1)

Kada su prostorne koordinate X date u proizvonom koordinatnomsistemu, postoji veza:

Xkam = R(X − C),Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.



Modeli kamere



x = K[I | 0]Xkam (1)


Xkam = R(X − C),

Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.Ili u homogenim koordinatama:

Xkam =[R −RC0T 1

]X. (2)



Modeli kamere



x = K[I | 0]Xkam (1)


Xkam = R(X − C),Dekartovih koordinata taqaka, gde je R matrica rotacije.Ili u homogenim koordinatama:

Xkam =[R −RC0T 1

]X. (2)

Iz (1) i (2) sledix = KR[I | − C]X.

K-unutraxni, R i C spoaxi parametri kamere.



Modeli kamere

CCD (Charge-coupled device) kamere

Kamera skalira projekciju u pravcu x-ose za faktor mx, a u pravuy-ose za faktor my. Za takvu kameru,

K =

mx

my

1

f px

f py

1

=

αx x0αy y0

1

.To je qesto sluqaj kod tzv. CCD kamera.



Modeli kamere

Konaqne projektivne kamere

Neke kamere imaju kalibraciju oblika:

K =

αx s x0αy y0

1

, (3)

gde je s parametar ,,iskoxenosti\ ili ,,smicaa\.

Takve kamere su retke, ali postoje.

Kada uslikamo neki objekat kamerom P , pa egovu sliku kamerom P ,ihova kompozicija e takoe biti kamera qija e matrica imati s 6= 0.



Modeli kamere



K =

αx s x0αy y0

1

, (3)


Takve kamere su retke, ali postoje.

Kada uslikamo neki objekat kamerom P , pa egovu sliku kamerom P ,ihova kompozicija e takoe biti kamera qija e matrica imati s 6= 0.



Modeli kamere



K =

αx s x0αy y0

1

, (3)


Kamera P3 → P2 se predstava 3× 4 matricom, pa ima ukupno 11nezavisnih parametara.

Kamera P = KR[I | − C] gde je K oblika (3) ima takoe 11 nezavisnihparametara:

5 za K (αx, αy, s, x0, y0),3 za R (uglovi rotacije),

3 za C,

pa predstava najopxtiji oblik kamere. Takve kamere nazivamokonaqne projektivne kamere.



Modeli kamere



K =

αx s x0αy y0

1

, (3)


Kamera P3 → P2 se predstava 3× 4 matricom, pa ima ukupno 11nezavisnih parametara.

Kamera P = KR[I | − C] gde je K oblika (3) ima takoe 11 nezavisnihparametara:

5 za K (αx, αy, s, x0, y0),3 za R (uglovi rotacije),

3 za C,

pa predstava najopxtiji oblik kamere. Takve kamere nazivamokonaqne projektivne kamere.



Modeli kamere


Teorema

Matrica P formata 3× 4 je matrica konaqne projektivne kamereAKKO je leva 3× 3 podmatrica matrice P regularna.

Kamere qija leva 3× 3 podmatrica nije regularna su tzv. afine kameresa centrom u beskonaqnosti.



Modeli kamere


Teorema

Matrica P formata 3× 4 je matrica konaqne projektivne kamereAKKO je leva 3× 3 podmatrica matrice P regularna.

Kamere qija leva 3× 3 podmatrica nije regularna su tzv. afine kameresa centrom u beskonaqnosti.



Anatomija matrice kamere

Anatomija matrice kamereCentar kamere

Teorema

Centar kamere, qija je matrica P , u homogenim koordinatama jenenula vektor C kojim je generisano desno jezgro matrice P .

Neka je P = [M | p4] matrica kamere.

Ako je detM 6= 0, centar kamere je C =[−M−1p4

1

].

Ako je detM = 0, centar kamere je C =[d0

], gde je Md = 0, i zaista

se nalazi u beskonaqnosti.




Anatomija matrice kamereKolone matrice kamere

P = [p1 p2 p3 p4 ]p1, p2 i p3 predstavaju koordinateslika beskonaqno dalekih taqaka osa Ox,Oy i Oz.

p4 su koordinate slike koordinatnogpoqetka u projekciji.




Anatomija matrice kamereVrste matrice kamere

P =

p11 p12 p13 p14p21 p22 p23 p24p31 p32 p33 p34

=

p1T

p2T

p3T

.p1 je vektor kojipredstava homogenekoordinate ravni kojasadri centar kamere iy-osu u slici.

p2 je vektor kojipredstava homogenekoordinate ravni kojasadri centar kamere ix-osu u slici.

p3 je vektor koji predstava homogene koordinate glavne ravni.



Kalibracija kamere. Taqke i prave ixqezavaa. Slika apsolutne konike.

Kalibracija kamereUgao izmeu zrakova projektovaa

Teorema

Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su x koordinate taqke u slici, d vektor pravcazraka projektova u x i K kalibracija kamere, tada je d = K−1x.

cos θ = d1Td2√

(d1Td2)(d1

Td2)=

x1T (K−TK−1)x2√

x1T (K−TK−1)x1√x2T (K−TK−1)x2

Zbog izometrijske povezanostiproizvonog koordinatnog sistema ikoordinatnog sistema kamere prethodnaformula vai i u proizvonomkoordinatnom sistemu.




Slika apsolutne konike, ω

Preslikavae kamere P = KR[I | − C] indukuje ravansku homografijubeskonaqne ravni na ravan slike.

X∞ = (dT , 0)T - proizvona taqka sa beskonaqne ravni se slika u

x = PX∞ = KR[I | − C][d0

]= KRd.

Taqka koja na π∞ ima koordinate d se slika u taqku x = Hx, gde jeH = KR.

Preslikavae ne zavisi od pozicije kamere (C).

Teorema

Slika apsolutne konike Ω∞ kamerom qija je matricaP = KR[I | − C] je konika u ravni projekcije qija je matricaω = (KKT )−1 = K−TK−1.




Slika apsolutne konike, ωSvojstva:

Teorema

Slika apsolutne konike Ω∞ kamerom qija je matricaP = KR[I | − C] je konika u ravni projekcije qija je matricaω = (KKT )−1 = K−TK−1.

Slika apsolutne konike je potpuno odreena unutraxim parametrimakamere (matricom K).

Ugao izmeu zrakova projektovaa u taqke x1 i x2 je odreen formulom

cos θ = x1Tωx2√

(x1Tωx1)√

(x2Tωx2).

Taqke u slici sa koordinatama x1 i x2 odgovaraju ortogonalnimzracima projektovaa ako i samo ako je x1

Tωx2 = 0.




Taqke ixqezavaa

Taqka ixqezavaa prave je slika ene beskonaqno daleke taqke.

Teorema

Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su v koordinate taqke ixqezavaa pravihparalelnih vektoru d i K kalibracija kamere, tada je d = K−1v.

Ako su v1 i v2 taqke ixqezavaadveju pravih, ugao koji onezaklapaju je odreen formulom:

cos θ = v1Tωv2√

(v1Tωv1)√

(v2Tωv2).




Prave ixqezavaa

Prava ixqezavaa ravni je slika ene beskonaqno daleke prave.

Teorema

Neka su koordinate taqaka i matrica kamere dati u koordinatnomsistemu kamere. Ako su l koordinate prave ixqezavaa ravniortogonalnih na vektor n i K kalibracija kamere, tada je n = KT l.

Ako su l1 i l2 prave ixqezavaadveju ravni, ugao koji onezaklapaju je odreen formulom:

cos θ = l1Tω−1l2√

(l1Tω−1l1)√

(l2Tω−1l2).




Odreivae kalibracije kamere iz jedne projekcije

Uslov Homogene jednaqine ] nezavisnihjednaqina

Taqke ixqezavaa v1 i v2 odgova-raju ortogonalnim pravcima.

vT1 ωv2 = 0 1

Taqka ixqezavaa v i pravaixqezavaa l odgovaraju redompravoj i ravni koje su meusobnoortogonalne.

[l]×ωv = 0 2

Poznata je homografija H =[h1 h2 h3] neke ravni iz prostorana ravan slike

hT1 ωh2 = 0

hT1 ωh1 = hT

2 ωh22

Parametar iskoxenosti s = 0. ω12 = ω21 = 0 1

Parametar iskoxenosti s = 0 islika je poednako skalirana upravcima osa, tj. αx = αy = f .

ω12 = ω21 = 0ω11 = ω22

2



Epipolarna geometrija i fundamentalna matrica

Rekonstrukcija iz dve projekcijeCi:

Date su dve fotografije prostornog objekta kamerama iz raznihpoloaja u prostoru.

Odrediti:

Poziciju taqaka u prostoru koje se vide u projekcijama.Kamere kojima su fotografije dobijene.

Prvi korak: Uspostaviti vezu izmeu taqaka xi ↔ x′i u projekcijamakoje su u korespodenciji, tj. koje su slike iste prostorne taqke X.




Epipolarna geometrija

Epipolarna geometrija je unutraxa projektivna geometrija dvejuprojekcija.

Epipolarne ravni suravni koje sadre obacentra kamera.

Epipolarna prava (l′)je preseqna pravaepipolarne ravni i ravnislike. (Slika zraka CXdrugom kamerom.)

Epipol (e, e′) je slikacentra jedne kameredrugom kamerom.

Osnovica je prava koja spaja centre kamera.




Fundamentalna matrica F

x 7→ l′

Fundamentalnamatrica (F ) je matricatog preslikavaa(Fx = l′).F je algebarskareprezentacijaepipolarne geometrije.




Fundamentalna matrica FGeometrijska konstrukcija

F =?: Fx = l′.

F = [e′]×Hπ

π proizvona ravan kojane sadri centre kamera.

Kompozicijaperspektivnihpreslikavaa

π1C→ π

C′

→ π2 je ravanskahomografija:

x′ = Hπx

indukovana ravni π.

x′, e′ ∈ l′ ⇒ l′ = e′ × x′ ⇒

l′ = [e′]×Hπx

.Milox Anti Master rad 30.okt.2012. 25 / 44



Fundamentalna matrica FAlgebarska konstrukcija

F =?: Fx = l′.

F = [e′]×P ′P+

P+ = PT (PPT )−1

pseudo-inverz matrice Pprve kamere.

PP+x =PPT (PPT )−1x = x⇒P+x - taqka na zrakuprojektovaa u x.

P ′P+x, e′ ∈ l′ ⇒ l′ =e′ × P ′P+x⇒

l′ = [e′]×P ′P+x

.




Fundamentalna matrica FSvojstva:

Teorema

Matrica F je fundamentalna matrica dveju projekcija AKKO zasvake dve taqke x i x′ koje su projekcije iste prostorne taqke vai:

x′TFx = 0.

Epipolarne prave:l′ = Fx i l = FTx′.

Epipol: e′TF = 0 i Fe = 0.Stepeni slobode:9 - 1 (zbog homogenosti)- 1 (zbog detF = 0)= 7.7 nezavisnih uslova odreuje F !




Fundamentalna matrica FOdreivae:

Teorema


x′TFx = 0. (4)

Projekcije x = (x, y, 1)T i x′ = (x′, y′, 1) iste prostorne taqke daju jednujednaqinu odreenosti fundamentalne matrice

F =

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33

.(4)⇔ xx′f11 + x′yf12 + x′f13 + y′xf21 + y′yf22 + y′f23 + xf31 + yf32 + f33 = 0⇔ (xx′, x′y, x′, y′x, y′y, y′, x, y, 1)f = 0,za f = (f11, f12, f13, f21, f22, f23, f31, f32, f33)T

Ako je poznato n (n ≥ 7) korespodencija, f nalazimo u desnom jezgru matrice

A =

x1x′1 x′

1y1 x′1 y′

1x1 y′1y1 y′

1 x1 y1 1...

......

......

......

......

xnx′n x′

nyn x′n y′

nxn y′nyn y′

n xn yn 1

numeriqkim metodama (SV D).





Teorema


x′TFx = 0. (4)


F =

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33



A =

x1x′1 x′

1y1 x′1 y′

1x1 y′1y1 y′

1 x1 y1 1...

......

......

......

......

xnx′n x′

nyn x′n y′

nxn y′nyn y′

n xn yn 1






Teorema


x′TFx = 0. (4)


F =

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33



A =

x1x′1 x′

1y1 x′1 y′

1x1 y′1y1 y′

1 x1 y1 1...

......

......

......

......

xnx′n x′

nyn x′n y′

nxn y′nyn y′

n xn yn 1







F =

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33



A =

x1x′1 x′

1y1 x′1 y′

1x1 y′1y1 y′

1 x1 y1 1...

......

......

......

......

xnx′n x′

nyn x′n y′

nxn y′nyn y′

n xn yn 1







F =

f11 f12 f13f21 f22 f23f31 f32 f33



A =

x1x′1 x′

1y1 x′1 y′

1x1 y′1y1 y′

1 x1 y1 1...

......

......

......

......

xnx′n x′

nyn x′n y′

nxn y′nyn y′

n xn yn 1




Odreivae matrica kamera na osnovu fundamentalne matrice F

Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.

x = PX ⇒ x = (PH)(H−1X)Par kamera (P, P ′) odreujejedinstvenu fundamentalnumatricu F .Obrat ne vai.

Teorema

Ako je H matrica projektivnog preslikavaa prostora, tada sufundamentalne matrice koje odgovaraju parovima kamera (P, P ′) i(PH,P ′H) jednake.




Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.Vixeznaqnost

Teorema

Ako je H matrica projektivnog preslikavaa prostora, tada sufundamentalne matrice koje odgovaraju parovima kamera (P, P ′) i(PH,P ′H) jednake.

Teorema

Neka su parom kamera qije su matrice P i P ′ dobijene iste slikekao parom kamera qije su matrice P i P ′. Ako je matrica Ffundamentalna matrica za parove kamera (P, P ′) i (P , P ′) tadapostoji projektivna transformacija prostora qija je matrica Htakva da je P = PH i P ′ = P ′H.




Odreenost matrica kamera fundamentalnom mat.Kanonski par matrica kamera

Definicija

Par matrica kamera (P, P ′), koji za prvu matricu ima P = [I | 0] jekanonski par matrica kamera.

Za svaki par matrica kamera postoji kanonski (P, P ′) = ([I | 0], [M |m])sa istom fundamentalnom matricom,

F = [m]×M




Kanonski par matrica kamera za poznato FFormula

Teorema

Neka je F matrica formata 3× 3 i ranga 2, i neka je

P = [I | 0] i P ′ = [[e′]×F | e′]

gde je e′ epipol takav da je e′TF = 0. Tada je (P, P ′) par matrica

kamera qija je fundamentalna matrica upravo matricu F .



Vixeznaqnost rekonstrukcije. Uklaae distorzije (ispravae).

Metod rekonstrukcije

Odreivae fundamentalne matrice F na osnovu korespodencijataqaka xi ↔ x′i.

Odreivae matrica kamera (P, P ′) preko F .Ako su (PE , P

′E) originalne kamere kojima su dobijene projekcije,

postoji projektivno preslikavae prostora qija je matrica H, td.(PE , P

′E) = (PH,P ′H)

Za poznato (P, P ′) i (x,x′) traimotaqku X u prostoru u preseku dvazraka projektovaa.Traena taqka je rexee sistema:PX = x i P ′X = x′

Poziciju taqke koja se slika uepopolove je nemogue odrediti.

(P, P ′, Xi) je jednarekonstrukcija.




Vixeznaqnost rekonstrukcije

Teorema projektivne

rekonstrukcije

Ako su (P1, P′1, X1,i) i

(P2, P′2, X2,i) dve

rekonstrukcije izkorespodencija xi ↔ x′i, tadapostoji nesingularnamatrica H takva da jeP2 = P1H

−1, P ′2 = P ′1H−1 i

X2,i = HX1,i za sve i sem zaone za koje je Fxi = x′iF = 0.

Pomenutim metodom dolazimo do rekonstrukcije koja se od stvarnerazlikuje za projektivno preslikavae prostora.




Vixeznaqnost rekonstrukcije

Projektivna rekonstrukcija je rekonstrukcija koja se od stvarnerazlikuje za projektivno preslikavae prostora.

Afina rekonstrukcija se od stvarne razlikuje za afinopreslikavae prostora.

Metriqka rekonstrukcija seod stvarne razlikuje zapreslikavae sliqnosti prostora.

Kada do e doemo prostor samotreba skalirati koliko je potrebno.




Direktno ispravae

Doxli smo do projektivne rekonstrukcije (P, P ′, Xi).Ona se od stvarne razlikuje za neku projektivnu transformacijuprostora qija je matrica H.

Poznate su koordinate u originalu bar 5 od taqaka Xi: XEi

Iz sistema j-na XEi = HXi moemo da odredimo matricu H

Primenom H na projektivnu rekonstrukciju dolazimo do punerekonstrukcije u kojoj nema distorzije.




Slojevito ispravaeAfina rekonstrukcija

Projektivnarekonstrukcija

→ Afinarekonstrukcija

→ Metriqkarekonstrukcija

U punoj rekonstrukciji beskonaqna ravan ima koordinate (0, 0, 0, 1).U projektivnoj rekonstrukciji je ta ravan izmextena i ima neke drugekoordinate π.

Kada odredimo π, projektivno preslikavae prostora qija je matrica

H =[I | 0πT

]e izmexetenu beskonaqnu ravan postaviti u kanonski poloaj(0, 0, 0, 1).Novodobijena rekonstrukcija se od pune razlikuje za projektivnutransformaciju prostora koja fiksira beskonaqnu ravan⇒ afina transformacija⇒ imamo afinu rekonstrukciju.










H =[I | 0πT











H =[I | 0πT











H =[I | 0πT





Slojevito ispravaeMetriqka rekonstrukcija

Afinarekonstrukcija


U punoj rekonstrukciji apsolutna konika Ω∞ za matricu imadiag(1, 1, 1) na beskonaqnoj ravni.U afinoj rekonstrukciji je apsolutna konika izmextena nabeskonaqnoj ravni i ima neku drugu matricu.

Teorema

Neka je u jednoj od projekcija, kojoj odgovara matrica kamereP = [M |m], identifikovana slika izmextene apsolutne konike, ω.Tada se afina rekonstrukcija moe transformisati na metriqkuprimenom prostorne transformacije

H =[A−1

1

]gde je A definisana formulom: AAT = (MTωM)−1.





Afinarekonstrukcija



Teorema


H =[A−1

1






Afinarekonstrukcija



Teorema


H =[A−1

1







Teorema


H =[A−1

1




Triangulacija prostornih taqaka. Optimalan metod triangulacije.

Triangulacija prostornih taqaka

Za poznato (P, P ′) i (x,x′) traimo taqku X u prostoru u preseku dvazraka projektovaa.

X: PX = x i P ′X = x′

postava sistem od2× 2 = 4 nezavisnejednaqine sa nepoznatimX = (X1, X2, X3, X4).Problem: x′

TFx ≈ 0

pa su zraci u opxtemsluqaju mimoilazni isistem nema rexea.




Triangulacija prostornih taqakaOptimalan metod

Problem: x′TFx ≈ 0

pa su zraci u opxtem sluqaju mimoilazni i sistem nema rexea.

Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojimafunkcija

C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2

dostie minimum pri uslovu

x′TF x = 0Traene taqke e pripadatinekom paru epipolarnih pravih uprojekcijama koje su ukorespodenciji.





Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojima funkcija

C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2


x′TF x = 0Traene taqke e pripadati nekom paru epipolarnih pravih uprojekcijama koje su u korespodenciji.





Optimalno rexee:traimo taqke x i x′ u kojima funkcija

C(x, x′) = d(x, x)2 + d(x′, x′)2


x′TF x = 0Pramen epipolarnih pravih jedne projekcije je jednodimenzioniprojektivni prostor, pa se moe parametrizovati jednim parametroml = l(t).Epipolarnu pravu u drugoj projekciji koja odgovara pravoj l, moemotakoe za izrazimo preko t.

Funkcija koju treba minimizovati je sada

s(t) = d(x, l(t))2 + d(x′, l′(t))2.





Funkcija koju treba minimizovati je sada

s(t) = d(x, l(t))2 + d(x′, l′(t))2.

Problem se svodi na traee minimuma polinoma xestog stepena.

Dobra strana ovog rexea je xto je projektivno invarijantan.U traeu optimalnog rexea minimizovali smo rastojaa uprojekcijama, koja ostaju nepromeena pri bilo kakvoj prostornojtransformaciji kamera i rekonstruisanog objekta.



Literatura

R. Hartley, A. Zisserman: Multiple View Geometry in Computer Vision, 2ndEdition, Cambridge University Press, 2004.

N. Bokan, Sran Vukmirovi: Projektivna geometrija, Matematiqkifakultet, Beograd, 2004.

G. Kalaji: Linearna algebra i geometrija, Zavod za ubenike -Beograd, 2011.

N. Blai, N. Bokan, Z. Luqi, Z. Raki: Analitiqka geometrija,Matematiqki fakultet, Beograd, 2003.

[5] Robotics Research Group in the Department of Engineering Science,University of Oxford

Dan Kalman: A Singularly Valuable Decomposition: The SVD of a Matrix,The American University, Washington, DC 20016, 2002.


http://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/

http://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/

Documents

REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG OBJEKTA IZ EGOVIH …poincare.matf.bg.ac.rs/~antic/master_rad/...master_rad...prezentacija… · Master rad REKONSTRUKCIJA PROSTORNOG OBJEKTA IZ EGOVIH AVANSKIHR