Relativitetsteorins Grunder · omr ade av fysiken hade James Clerk Maxwell presenterat sina ekvationer f or elektrodynamik (1864) rD~ = ˆ rB~ = 0 r E~ = @B~ @t r H~ = J~+ @D~ @t;

Relativitetsteorins Grunder

Forelasningsanteckningarna: Miklos Langvik, Helsingfors Universitet

Forord

Detta material tacker kursen Relativitetsteorins Grunder i Helsingfors universitet. Detta ar

den forsta en delen av en storre helhet som forut gick under namnet: Introduktion till den

moderna fysiken. Denna del har darfor overenskommits att innehalla en introduktion till den

speciella relativitetsteorins grunder, generell relativtet och kosmologi. Trots att man val kunde

argumentera for att kosmologin inte kan ga under rubriken relativitetsteorins grunder.

Den forsta delen av materialet tacker den speciella relativitetsteorin pa en grundlaggande niva.

Anteckningarna innehaller inte den speciella relativiteten i ett gruppteoretiskt sammanhang,

men man kunde mycket enkelt generalisera detta material till att inhalla det, om sa kravdes.

Det har dock inte varit kutym pa var institution att gora det under denna kurs utan forst i

kursen kvantmekanik 2 (”relativistisk” kvantmekanik).

Den andra delen om den allmanna relativiteten, liksom den sista delen om kosmologin ar

endast till for att bekanta sig med dessa tva omraden. Det finns specialistkurser for bada

omradena som sedan utvecklar dessa diskussioner pa en mera vetenskaplig niva. Ideen har

endast varit att lata eleverna bekanta sig med dessa omraden, sa att de far lite bakgrundsin-

formation, allmanbildning inom fysik kunde man kalla det, inom olika omraden av fysiken.

Miklos Langvik, Sideby 5:e Juli 2006

Innehall

1 Den speciella relativitetsteorin 3

1.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Einsteins postulat och den nya teorin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Tre intressanta foljder av den speciella relativitetsteorin . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Lorentztransformationerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Addition av hastigheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 Paradoxerna, som inte ar paradoxer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Relativistisk rorelsemangd och energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.8 Geometri och rum-tidsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.9 Fyrvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.10 Bocker om speciell relativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2 Generell relativitetsteori 61

2.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.2 Metriken (gµν) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3 Svarta hal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4 Einsteins rorelseekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5 Gravitationen experimentellt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 Kvanttgravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7 Bocker om generell relativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1

2 Innehall

3 Kosmologi 81

3.1 Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Hubbles upptackt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3 Den stora smallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.4 Svarigheterna med den stora smallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.5 Bocker om kosmologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Kapitel 1

Den speciella relativitetsteorin

1.1 Introduktion

Under den senare halften av 1800-talet, befann sig fysiken i en situation dar den Newtonska

mekaniken slutligen hade natt sin fulla glans genom Lagrangeformalismen. Man hade genom

teoretiska berakningar av Uranus bana kunnat bestamma att det maste finnas en planet i

narheten av Uranus som paverkade dess bana. Detta ledde till att man hittade Neptunus

mycket snart. Detta ansags som ett manifest for den Newtonska mekaniken. Inom ett annat

omrade av fysiken hade James Clerk Maxwell presenterat sina ekvationer for elektrodynamik

(1864)

∇ · ~D = ρ

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∂t

∇× ~H = ~J +∂ ~D

∂t,

och dessa forutsag existensen av elektromagnetiska vagor. Dessa upptacktes lite senare (1887)

av Heinrich Hertz i en gnistkammare (Spark Chamber (eng)). M.a.o. sag mekaniken och

elektrodynamiken ut att kunna beskrivas i enkelt formulerade lagar.

Det fanns ocksa andra omraden inom fysiken som vaxte fram pa samma satt under just denna

tid. Men vi koncentrerar oss framst pa Newtons och Maxwells teorier, eftersom den speciella

relativitetsteorin andrar fundalmentalt pa konceptet absolut tid och rum, vilka tas for givet

i Newtons lagar. Maxwells ekvationer behover inte implikera absolut tid och rum, men den

Newtonska mekaniken fungerade ju sa bra med absolut tid och rum, sa varfor andra pa det?

3

4 Den speciella relativitetsteorin

Den Newtonska mekaniken var invariant1 under Galileitransformationerna,

x′ = x− vt

y′ = y

z′ = z

t′ = t.

Galileitransformationerna ar de koordinattransformationer man behover gora i den Newtons-

ka mekaniken for att forflytta sig till ett annat koordinatsystem for att observera fenomenet

i fraga fran detta andra kooridinatsystem. Darfor tankte man sig att detta ocksa gallde for

de Maxwellska ekvationerna. Detta var inte fallet. Det betydde alltsa att det fanns ett ko-

ordinatsystem som var mera fundamentalt an de andra, dar Maxwells ekvationer hade sin

enklaste form. Detta ansags inte alls vara konstigt pa den tiden eftersom Maxwells ekvationer

implikerade att elektrodynamiken var ett vagfenomen, och vagor behovde nagot att rora sig i

tankte man pa den tiden (det gjorde ju alla vagor man kande till pa den tiden). Detta nagot

doptes till etern. Helt enkelt kandes det naturligt pa den tiden att tanka sig att det fanns en

eter. Som ”battre vetande” fysiker som lart sig i efterhand, kan man ju skratta at det. Men

som en annu battre vetande fysiker an den ”battre vetande” fysikern, vet vi att vi ar fangar

av var tid och vara barn kommer annu att skratta at oss och vara ideer (om vi inte uppfostrat

dem till battre manniskor an vi sjalva).

Skamt a sido, inte nojer sig en fysiker med en teori forran den blivit testad. I detta fall maste

man alltsa testa om det finns en eter. Ar 1887 gjorde Michelson och Morley ett mycket fint

experiment dar de visade att jorden inte hade nagon relativ rorelse i forhallande till en eter,

nagot man postulerat att maste ga att visa om det finns en eter som fyller ut hela universum.

Detta betydde att man hade ett stort problem inom den datida fysiken. Enorma mangder

arbetskraft gick at till att framfora andra teorier som skulle kullkasta experimenten, manga

av dem ad hoc2. Den mest accepterade teorin (som inte var ad hoc) skapades av H.A.Lorentz.

Denna baserade sig pa Maxwells ekvationer under antagandet att det fanns en eter, sa att tid

och rum fortfarande kunde hallas absolut. Lorentz trodde sa starkt pa den absoluta tiden och

rummet att han i sin teori t.o.m. antog att all massa var elektromagnetisk till sitt ursprung.

Han beraknade genom sin teori att materiella objekt kontraherade (precis som langder i

den speciella relativiteten), da de rorde sig genom etern, men han tankte sig ytterligare, att

eftersom alla matinstrument var materiella, sa kontraherade de ocksa lika mycket da de ror

1Invariant ar ett ord som ofta anvands av fysiker. Det betyder att en ekvation har samma form efteratt man andrat pa dess ”variabler” pa ett visst satt. T.ex. Maxwells ekvationer ar invarianta under Lo-rentztransformationen. Lorentztransformationen ar en koordinattransformation som foljer ur den speciellarelativitetsteorin. Det att Maxwells ekvationer ar invarianta under denna transformation kan bl.a. tolkas somatt fysiken ar densamma oberoende av koordinatsystem, vilket kanns som ett plausibelt pastaende och arfaktiskt ett grundantagande i den speciella relativitetsteorin.

2En teori sags vara ad hoc om den endast ar konstruerad for att forklara experimentella resultat, utan attstarta fran nagra mera fundamentala principer. Ex. Niels Bohrs atommodell ar ett utmarkt exempel pa en adhoc teori.

Introduktion 5

sig genom etern och darfor var kontraktionen inte observerbar. Det intressanta med Lorentz

teori ar att hans ekvationer ar exakt de samma som Albert Einstein kom att, oberoende, stota

pa i sin teori om den speciella relativiteten. Dessutom var Lorentz den forsta som hade en

ordentlig teori i bade ord och matematik. I Lorentz teori fanns de forsta ingredienserna till

det som Einstein senare formulerade som speciell relativitet. Men det finns ocksa en annan

laxa att lara av detta. Namligen att fysiken sitter i orden, inte i formlerna. Lorentz trodde pa

absolut tid och rum, nagot som Einstein forkastade i sin teori.

Henri Poincaree var den forsta som stallde sig skeptisk till eterns existens. Han trodde inte pa

etern och framlade postulatet att det enda observerbara var relativa hastigheter. Detta later

inte som ett stort steg inom det fysikaliska resonemanget, men de facto var det det. Detta

berodde pa att man under denna tid var mycket fast i tanken om absolut tid och rum och

utan denna filosofi hade knappast en teori som den speciella relativiteten fotts. Poicare var

den forsta relativisten.

Torts det, var Albert Einstein (1905) den forsta som hade en teori som bade i ord och mate-

matisk form var tillrackligt rigoros for att halla mattet. Einstein forkastade ideen om etern,

den absoluta tiden och ocksa det absoluta rummet. Han skapade en egen bild av tid och

rum (den relativistiska) och harledde via Maxwells ekvationer transformationsekvationerna,

vilka var precis desamma som de som Lorentz hade erhallit. Skillnaden var dock att Einsteins

rum-tid var nagot helt annat an den Newtonska absoluta. Vi hade fatt en relativistisk bild av

rum-tiden.

Michelson-Morley experimentet

Detta ar ett mycket vackert experiment som har haft langtgaende konsekvenser. Utan resulta-

tet av detta experiment fanns det ingen orsak att soka en ny teori, den speciella relativiten3.

Ur figur 1.1 ser vi uppstallningen av Michelson-Morley experimentet. Apparaten kan roteras

90◦ at vanster runt den halvsilvrade spegeln sa, att strackorna l1 och l2 byter plats i forhallande

till eterns drifthastighet. Vi borjar med att berakna tidsskillnaden for ljusets rorelse langs de

tva strackorna l1 och l2, da man antar att det finns en eter4.

Vi ser forst pa strackan l2 da apparaten inte ar roterad, utan uppstalld som i figur 1.1. Enligt

eterteorin ror sig ljuset med hastigheten c, men etern har en drifthastighet v. Da vi antar

absolut tid och rymd, blir alltsa ljusets hastighet till spegel S2, c − v och pa vagen tillbaka

till den halvsilvrade spegeln ar den c + v. Da far vi tiden (t2) som det tar for ljuset att rora

3Trots att detta experiment ar en av grundorsakerna till den speciella relativitetsteorin, var det inte i forstahand detta experiment som Einstein grundade sina tankar pa. Han harledde sin teori genom Maxwells ekva-tioner, vilka beskrev ljuset som en vagrorelse och vilka han antog att tar samma form i varje koordinatsystemenligt hans postulat (se avsnitt 1.2). Denna betraktelse leder direkt till Lorentztransformationerna. Dessa arde koordinattransformationer (jfr. Galileitransformationerna) man gor inom den speciella relativiteten for attforflytta sig fran ett koordinatsystem till ett annat

4Markval, detta ar alltsa i eterteorin dar man antar absolut tid och rymd. Forsok inte att applicera dessametoder pa era relativistiska kalkyler. Det gor bara lararen (eller assistenten) arg.


K

S

S

1

2HSS

T

<

<<

< <

l

l

1

2

<<

<<

<

< Eterns drifthastighet (v)

Figur 1.1: Schematisk bild av Michelson-Morley experimentet. Apparaturen kallas enMichelson-Morley interferometer. Ljuset kommer fran en kalla (K) och reflekteras i en halv-silvrad spegel (HSS) sa, att en del av ljuset valjer vagen l1 och den andra delen l2. Ljusetreflekteras sedan i speglarna S1 eller S2 och gar genom den halvsilvrade spegeln till ett te-leskop. Eterns drifthastighet ar parallell med strackan l2.

sig strackan l2 som,

t2 =l2

c− v+

l2c+ v

=2l2c

c2 − v2. (1.1)

Da vi beraknar tiden for ljuset att rora sig strackan l1 maste vi beakta att etern ror sig, och

det ar ju i etern som ljuset ror sig. Darfor blir strackan, om t1/2 representerar tiden ljuset ror

sig endast den ena vagen,

l′1 =√l21 + (vt1/2)2,

dar (vt1/2) ar strackan etern passerat under tiden t1/2. Nu far vi direkt den tid det tar for

ljuset att rora sig strackan l1 till spegel 1 och tillbaka som,

t1 =2l′1c

=2

c

√l21 + (vt1/2)2,

eller vackrare efter att vi lost ut t1,

t1 =2l1√c2 − v2

. (1.2)

Fran ekvationerna (1.1) och (1.2) far vi ocksa direkt skillnaden i tiderna det tar for ljuset att

rora sig strackorna l1 och l2 som,

∆t = t2 − t1 =2

c

[l2

1− v2/c2− l1√

1− v2/c2

]. (1.3)

Om vi nu roterar hela apparaturen med 90◦ runt den halvsilvrade spegeln at vanster, ”byter”

l1 och l2 plats i forhallande till eterns drifthastighet. Man kan i detta fall givetvis ocksa gora

Introduktion 7

en analys av vad tidsskillnaden for de tva vagarna for ljuset ar. I detta fall far man efter en

likadan analys som i den oroterade situationen,

∆t′ = −2

c

[l1

1− v2/c2− l2√

1− v2/c2

]. (1.4)

Alltsa blir forandringen i tidsskillnaderna for ljuset fran den forsta, oroterade situationen, till

den roterade

δt = ∆t−∆t′ =2(l1 + l2)

c

[1

1− v2/c2− 1√

1− v2/c2

]. (1.5)

Detta fas ifran ekvationerna (1.3) och (1.4). I Michelson-Morleys fall studerade man jordens

rorelse i forhallande till etern (30 km/s), vilken ar mycket langsammare an ljusets hastighet

(c ≈ 300000 km/s). Darfor kan vi gora en approximation av var δt-formel utan att tappa for

mycket noggrannhet. Efter en expansion av kvadratroten i ekvation (1.5) i binominalserie,

erhaller vi da vi endast sparar termer av ordningen v2 (termerna av den hogsta ordningen),

δt ' (l1 + l2)

c

v2

c2. (1.6)

Om vi sedan dividerar ljusets hastighet c med vaglangden λ for ljuset, far vi frekvensen for

vagtopparna i ljuset vi anvander. Da vi multiplicerar detta med δt har vi en kvantitet som

beskriver ljusets interferens mellan den oroterade och roterade apparaten. Narmare bestamt

har vi en kvantitet som beskriver interferensen av ljuset i den oroterade och roterade situa-

tionen. Vi kommer givetvis att fa interferens automatiskt p.g.a. att interferometerns armar ar

olika langa, men eftersom apparaten kan roteras sa, att armarna byter plats, kommer denna

typs konstanta interferens att forsvinna i slutresultatet. Mera explicit,

∆ =c

λδt =

l1 + l2λ

(v2

c2), (1.7)

dar ekvation (1.6) har anvants.

Michelson-Morley anvande sig av just denna formel i sitt experiment. Ljuset i deras experiment

rorde sig langs 11 m langa strackor5 (l1 = l2 = 11 m) och hela apparaturen flot i kvicksilver

for att latt kunna roteras. De anvande ljus av vaglangden λ = 5.9× 10−7 m och som bekant,

betraktade de jordens (v = 30 km/s) hastighet i etern. Detta ger ∆ ' 0.37. Men i deras

experiment observerade de som mest en deviation av ∆ = 0.01. Detta experiment gjordes om

ett halft ar senare, da jorden var pa vag at motsatt hall med avseende pa solen, men utan

storre forandringar. Detta experiment satte saledes en ovre grans pa eterns drifthastighet som

4.7 km/s.

Senare, efter Michelson-Morley, har detta experiment utforts med bl.a. masrar6 och man har

konstaterat en ovre grans for eterns drifthastighet som 0.95 km/s. Det viktiga ar dock inte

5Trots att deras interferometer hade armar av 11 m:s langd var deras interferometers armar konstruerade sa,att ljuset reflekterades nagra ganger av och ann inne i intrumentet innan det returnerades till den halvsilvradespegeln sa, att storleken pa apparaten var langt under de maktiga 11 m.

6MASER = star for Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Detta ar en sorts Laser(fast laserfysiker skulle sakert hanga mig for att saga sa) som producerar koherent ljus i mikrovagsomradet.


hur noga man kan satta en ovre grans for eterns drifthastighet7 utan det som experimentet

implikerade, det finns ingen eter. Under detta antagande byggde sedan A. Einstein sin teori

som vi skall bekanta oss narmare med.

1.2 Einsteins postulat och den nya teorin

Einstein tankte sig att endast den relativa rorelsen hade en mening. Bl.a. genom tankeexperi-

ment overtygade sig Einstein om att den Newtonska bilden ar fel. Ett av hans mest beromda

argument bestod av att tanka sig att en person ror sig med ljusets hastighet. I det Newtonska

fallet kan denna person da ta reda pa hur fort han ror sig genom att observera att ljus inte gar

att se8. Detta tyckte Einstein var motsagelsefullt, eftersom vi bara kan bestamma hastigheter

i forhallande till nagot, de relativa hastigheterna.

Den speciella relativitetsteorin bygger pa tva postulat (antaganden) av A.Einstein. Dessa

gyllene regler ar:

1. De fysikaliska lagarna ar ekvivalenta i alla inertiala koordinatsystem9

2. Ljusets hastighet i vakuum ar densamma oberoende av koordinatsystem.

Tabell 1.1: Einsteins postulat

Det forsta postulatet beskriver betydelsen av att fysiklagarna skall vara desamma oberoende

av vem som observerar ett fenomen. Man kunde i.o.f.s. tanka sig ett universum dar alla

fysiklagar skulle andra beroende pa observatorens hastighet, och det kan ju handa att vi lever

i ett som skulle beskrivas noggrannare av en modell som beaktar detta. Men ett av fysikens

starkaste vapen ar den Ockhamska rakkniven10 och det vore mycket svart att konstruera en

enkel och anvandbar teori i det fall att fysiklagarna skulle vara olika beroende pa hastigheten

for observatoren. Det basta argumentet vi har ar att teorin i fraga stammer mycket val overens

med experiment. Det kanske inte later som sa mycket, men en god fysiker vet att det ar det

enda argumentet en fysiker kan presentera for en teori.

Det andra postulatet fungerar inte alls enligt vardagsintuition. Det betyder, precis som det

sager, att ljuset har samma hastighet i vakuum oberoende av observatoren. Vi kan till exempel

7Vad jag menar ar att trots att vi endast har en ovre grans for eterns drifthastighet, kan vi forkasta teorinom etern. Detta p.g.a. att den speciella relativitetsteorin galant har klarat sig genom testerna (experimenten)och den innehaller ingen eter per konstruktion.

8Tanken ar helt enkelt den, att man tanker sig att man sitter i ett rymdskepp som ror sig snabbare anljuset. Da kan man inte observera ljuset som kommer utifran rymdskeppet (en stjarna t.ex.) eftersom ljusetaldrig hinner ikapp skeppet i den Newtonska fysiken.

9Ett inertialt koordinatsystem ar ett koordinatsystem som ror sig likformigt at nagot hall utan att defor-meras sa, att koordinataxlarna skulle andra riktining eller att koordinataxlarnas skalor skulle andras.

10Filosofen William Ockham som levde i sekelskiftet av 1200- och 1300-talet har kommit med ett pastaendesom kallas den Ockhamska rakkniven. Den Ockhamska rakkniven ar foljande: Den enklaste fungerandelosningen ar den basta. Trots att fysiker oftast ar mycket ovetande om den, ar det precis den principenvi fysiker anvander hela tiden infor konstruktion av en teori.

Einsteins postulat och den nya teorin 9

tanka oss att vi springer emot mamma pa tagstationen. Mamma ser att vi kommer och springer

ocksa emot oss. Da kommer det ju att ta mindre tid att na varandra an i fallet da mamma

ar slo och star pa sin plats. Vi tanker oss att var relativa hastighet ar var hastighet plus

mammas nar bada springer for att mota varandra (vilket ar helt korrekt sa lange ingendera

springer nara ljusets hastighet). Men om vi nu tanker oss att vi ar superatleter som klarar

av att springa med ljusets hastighet som bast. Da, nar vi narmar oss mamma ar det ingen

skillnad om mamma ar en superatlet eller inte for var relativa hastighet kommer anda att

vara bara ljusets hastighet, vare sig mamma springer emot oss med ljusets hastighet (eller

nagon annan hastighet) eller inte. D.v.s. om mamma springer med ljusets hastighet kommer

vi alltid att se mamma narma sig med ljusets hastighet, vare sig vi springer emot eller inte.

Det kanske verkar som om det andra postulatet om ljusets konstans narmast ar en konstig

gissning, men detta ar inte fallet. En orsak till att Einstein kunde postulera detta var hans

krav pa att Maxwells ekvationer bibehaller formen i varje koordinatsystem. Om man gor

denna kalkyl a la Einstein, marker man snart att sa lange man kraver att ljusets hastighet ar

konstant i varje koordinatsystem, sa haller kalkylen under Lorentztransformationerna. Pa sa

vis kan man via denna berakning fa ett stod for att ljusets hastighet i vakuum ar konstant.

For att fa en lite djupare forstaelse for betydelsen av Einsteins postulat skall vi ta en titt pa

ett intressant exempel. Situationen klarlaggs i figur 1.2.

Vi har alltsa tva koordinatsystem dar en ljussignal emitteras i det ena och detekteras i det

andra en tid senare. Ljusvagen fortskrider sfariskt fran sin kalla till detektorn med ljusets

hastighet i bada fallen, oberoende om man ser pa systemet ur KS1 eller KS2. Precis enligt

Einsteins andra postulat. Detta innebar att vagen detekteras vid ∆x i KS1 och pa ett kortare

avstand ∆x′ i KS2 p.g.a. koordinatsystemens relativa hastighet. Da har vi,

∆t =∆x

ci KS1 och ∆t′ =

∆x′

ci KS2,

11

vilket direkt ger

∆x

∆t=

∆x′

∆t′.

Detta illustrerar fint vad det innebar att ljusets hastighet ar konstant. I detta fall betyder det

att tidsintervall och avstand matta i de respektive koordinatsystemen inte kan vara desamma

om ljusets hastighet skall vara konstant i bada tva. Detta kan bland annat ses ur den vinkeln

att tid inte langre ar en observabel som ar oberoende av observatoren. Klockan tickar olika

beroende pa din rorelse i forhallande till den du jamfor med. Detta betyder ocksa att simultana

handelser blir relativa. De kan vara simultana i ett koordinatsystem, men behover inte vara

det i ett annat.

11Mark att i vi i den Newtonska teorin har ∆t = ∆xc−v i KS1 och ∆t′ = ∆x′

c+v i KS2 till skillnad fran fallet daljusets hastighet ar densamma i alla koordinatsystem.


<

<

<

<

KS

KS

1

2

>v

<

<

<

<

KS

KS

1

2

>

Emissionen av ljuset

v

Detektionen av ljuset

<

<

<

<

KS

KS1

2

>v

∆x

<

<

<

<

KS

KS1

2

∆x'

> v

detektion vid ∆t detektion vid ∆t'ljuskällan som skickar iväg signalendetektorn som tar emot signalen

Figur 1.2: KS1 och KS2 ar tva koordinatsystem som ror sig med hastigheten v i forhallandetill varandra. I de ovre tva bilderna ser vi bada koordinatsystemen da de sammanfaller.Ljus emitteras fran ljuskallan i KS2 da koordinatsystemen sammanfaller. Till vanster harvi situationen ur KS1:s synvinkel och till hoger situationen som KS2 observerar. I de tvaundre bilderna har vi situationen da ljuset detekteras i KS1 ur repektive synvinkel. KS1 tillvanster och KS2 till hoger. ∆x ar platsen for detektion som sett ur KS1 och ∆x′ ar platsenfor detektion som sett ur KS2.

1.3 Tre intressanta foljder av den speciella relativitets-

teorin

Vi skall nu ta oss en titt pa vad Einsteins postulat implikerar i praktiken. De andrar funda-

mentalt pa konceptet tid och rum och darfor ar det att vanta sig att vi maste andra pa var

intuitiva bild av dessa tva koncept. Den forsta konsekvensen ar observationen att tidsintervall

inte langre ar desamma for olika observatorer i relativ rorelse. Detta kallas tidsdilatation. Den

andra ar att langder inte heller ar desamma for observatorer i relativ rorelse, vilket kallas

Tre intressanta foljder av den speciella relativitetsteorin 11

langdkontraktion12. Den tredje konsekvensen ar relaterad till forandringen av tidsintervallen

for observatorer i relativ rorelse och beskriver forandringen av frekvensen for observatorer i

relativ rorelse. Den kallas, precis som dess icke relativistiska forfader, Dopplereffekten (for

ljus).

Tidsdilatationen

For att harleda en relation mellan tidsintervallen som tva observatorer i relativ ratlinjig rorelse

uppmater mellan handelser, borjar vi med att tanka oss en observator i ett koordinatsystem

som ror sig med hastigheten v i forhallande till en annan observator, som observerar detta

koordinatsystem. Situationen visas i figur 1.3.

<

>A

B

>v

<

>A, t

B

>v

O

O

A, t'

v(t' - t)< >

<>

d

<>

d

Figur 1.3: Pa vanster sida ser vi situationen ur synvinkeln da observatoren ror sig med koor-dinatsystemet. En ljusimpuls skickas ivag fran punkten A, den reflekteras i B och atervandertill A. Pa hoger sida visas samma situation for en observator som ser koordinatsystemet rorasig med hastigheten v i forhallande till sig sjalv. Denna observator ser ljusimpulsen rora sigen annan stracka p.g.a. att koordinatsystemet han observerar ror sig i forhallande till honom.Punkten A ar pa tva stallen i den hogra figuren, men vid olika tidpunkter p.g.a. att koordi-natsystemet ror sig. Egentligen borde bilden pa hoger sida ritas som tva koordinatsystem (vidolika tidpunkter) vars x-axlar sammanfaller, sa att bilden inte blir missvisande, men tyvarrvisade sig detta gora figuren sa raddig att vi far noja oss med en kompromiss.

Observatorer som ror sig med koordinatsytemet ser naturligtvis ljusimpulsen ta tiden,

∆t0 =2d

c, (1.8)

pa sig. Men observatoren som star utanfor koordinatsystemet ser ljusimpulsen rora sig

strackan,

l =√d2 + (v(t′ − t)/2)2.

Hadanefter kallar vi t′ − t for ∆t, eftersom detta ar precis tidsintervallet vi vill relatera till

tidsintervallet ∆t0 for observatoren som ror sig med koordinatsystemet. Nu ar ju ljushastig-

12Denna langdkontraktion ar reell i form av en stracka som ar kortare for observatoren i rorelse. Men omvi ser med vara ogon pa ett objekt som ror sig, t.ex. en meter lang linjal som susar forbi i hog hastighet,kommer vi nodvandigtvis inte att se en langdkontraktion eftersom ogat registrerar en bild som konstrueras avde ljussignaler som samtidigt nar ogat. Vi kommer att se narmare pa detta senare, men det ar bra att namnaredan nu.


heten densamma for bada observatorerna enligt Einsteins andra postulat, detta antagande

ger ∆t som,

∆t =2l

c=

2

c

√d2 + (v∆t/2)2. (1.9)

Det bor namnas att vi har antagit att strackan d ar densamma for bada observatorerna. Detta

bekraftar vi som korrekt i beskrivningen av langdkontraktionen som foljer, men just nu tar

vi det som ett antagande.

Vi ville ju hitta en relation mellan ∆t0 och ∆t, nu kan vi fa den. Det ar bara att losa ut d ur

ekvation (1.8) och substituera resultatet in i ekvation (1.9). Resultatet ar,

∆t =2

c

√(c∆t0/2)2 + (v∆t/2)2.

Fran detta uttryck, genom att losa ut ∆t, far vi direkt vart slutliga resultat,

∆t =∆t0√

1− v2/c2. (1.10)

Detta ar ett resultat som vi kan generalisera till observatorer som ror sig parallellt med

varandra med den relativa hastigheten v. Vi ser tydligt att da deras relativa hastighet gar

over ljusets hastighet tappar formeln sin betydelse, tidsintervallet ∆t blir imaginart, vilket inte

fysikaliskt sett betyder nagot (forutom att vi inte observerar nagot fysikaliskt). Darfor ar det

alltid sant att tidsintervallet ∆t ≥ ∆t0. Harifran kommer namnet tidsdilatation. Observatoren

som ser nagot rora sig observerar ett langre tidsintervall an observatoren som ror sig med

koordinatsystemet.

Tidsdilatationen ar ett direkt observerat fenomen. Genom att transportera en atomklocka

runt jorden (40000 km) i ett flygplan (300 m/s), tappar flygplansklockan 10−7 s i forhallande

till en klocka som ar fast pa jorden (i jordens inertiala koordinatsystem). Detta ar en fullt

matbar effekt da de nutida atomklockorna klarar av en noggrannhet av nanosekunder.

Uppgift 1.1

En myon (en elementarpartikel som liknar elektronen, men ar 200 ggr tyngre) bildas i at-

mosfaren pa L0 = 2230 m:s hojd ovanfor jordytan. Myonen har en medellivslangd pa 2, 2×10−6

sekunder och myonen i vart fall ror sig med hastigheten 0.98c nerat mot jorden. Uppgiften

ar att forklara (i ord och genom en utrakning) varfor vi observerar myonen pa jordytan trots

att den maste ta tiden L0

0,98c= 7, 6× 10−6 s pa sig att na ytan? Den borde ju sonderfalla inom

tiden det tar att na jordytan. Hur ser myonen sjalv pa sina mojligheter att na jordytan?

Acceleration

Eftersom en partikel med konstant hastighet ser ut att mata tidsintervall olikt en observator

som inte befinner sig i partikelns inertialkoordinatsystem, hur ar det da med en partikel som

har en hastighet som funktion av tiden v(t) eller klarare sagt, en partikel som accelererar?


Man kunde ju tanka sig att generalisera var formel for tidsdilatationen som

∆t =

∫ t2

t1

dt√1− v(t)2

c2

. (1.11)

men da har partikels acceleration ingen speciell betydelse i teorin, endast hastigheten har det.

Det har visat sig att detta stammer overens med experimenten till hog noggrannhet. Bl.a.

har man accelereat myoner (jfr. uppgift 1.1) i CERNs accelerator till mycket hoga hastigheter

(γ ∼ 12), dar γ = 11−v2/c2 . Denna acceleration ar av storleksordningen 1019g dar g = 9, 81 m/s2.

I dessa experiment har man inte kunnat observera nagon namnvard paverkan pa partikelns

livstid fran denna enorma acceleration. D.v.s. ekvation (1.11) stammer atminstone med god

approximation. Noggranheten i dessa experiment var ∼ 1%.

Langdkontraktionen

Var uppgift ar nu att ta oss en funderare pa vad som hander med langder, da vi kraver att

ljusets hastighet ar densamma for alla observatorer. Vi tanker oss en situation dar en linjal

(ett matt pa langd ar vad som menas med linjal i detta fall) befinner sig i ett koordinatsystem

som ror sig med hastiheten v i forhallande till en yttre observator. Vi mater linjalens langd

genom att fasta en spegel vid dess ena anda och en ljuskalla i den andra. Situationen ar

fortydligad i figur 1.4.

<

>

< >K S< >l0

O

>v

<

>

< >K S< >l

O

>v

< >v∆t1

< >d

Figur 1.4: Pa vanster sida ses koordinatsystemet med observatorens ogon da han/hon rorsig med koordinatsystemet. K ar ljuskallan och S spegeln, l0 ar linjales langd i detta fall.Pa hoger sida har vi situationen enligt observatoren som ser koordinatsystemet i rorelse medhastigheten v i forhallande till sig. Linjalen har langden l i detta fall men observatoren serocksa systemet forflytta sig strackan v∆t1.

Observatoren som ror sig med koordinatsystemet uppmater tiden ljuset tagit pa sig pa vagen

fran kalla till spegel och tillbaka som,

∆t0 =2l0c. (1.12)


Observatoren som ser koordinatsystemet rora sig, uppmater strackan fran kalla till spegel

som,

d = l + v∆t1. (1.13)

Eftersom ljuset ror sig med ljushastigheten c ar det ocksa sant att,

d = c∆t1. (1.14)

Om vi kombinerar ekvationerna (1.13) och (1.14) far vi for ∆t1,

∆t1 =l

c− v. (1.15)

Precis pa samma satt kan vi harleda tiden det tar for ljuset att na tillbaka fran spegeln till

kallan. Den ar,

∆t2 =l

c+ v. (1.16)

Nu kan vi skriva den totala tiden for ljuset att rora sig fran kallan till spegeln och tillba-

ka. Detta ar alltsa tiden observatoren, som ser linjalen rora sig, uppmater. Den blir m.h.a.

ekvationerna (1.15) och (1.16),

∆t =l

c− v+

l

c+ v=

2l

c2(1− v2/c2). (1.17)

Men vi har sett i diskussionen om tidsdilatationen hur tidsintervallen ∆t0 och ∆t relaterars

till varandra. Substitution av ekvation (1.10) i ekvation (1.12) ger oss,

∆t√

1− v2/c2 =2l0c. (1.18)

Till slut kombinerar vi ekvationerna (1.17) och (1.18) och far var slutliga formel for

langdkontraktionen

l = l0√

1− v2/c2. (1.19)

Vi ser direkt att ju snabbare linjalen ror sig i forhallande till en observator, desto kor-

tare uppmater observatoren linjalens langd. Har maste igen papekas att denna observator

uppmater inte linjalens langd genom att se pa den. Detta, eftersom ogat inte registrerar lju-

simpulser som startat fran olika stallen (fran linjalens anda och dess bas) i samma bild p.g.a.

av ljusets andliga hastighet, men denna observator kan t.ex. uppmata linjalen genom att satta

tva ljuskallor pa linjalen. En vid dess anda och en annan vid dess bas. Da den forsta korssar

en linje som man kan dra fran observatoren till linjalens hastighetsriktning sa, att denna linje

ar i rat vinkelt mot linjales hastighetsriktning, skickar den ivag en ljussignal till observatoren

som observatoren registrerar. Da denna andra ljuskallan, den pa linjalens bas korssar samma

linje, skickar den i sin tur ivag en ljussignal som observatoren registrerar. Pa detta satt kan

observatoren sedan rakna ut att linjalen har en kortare langd an i sitt vilokoordinatsystem en-

ligt lagdkontraktionsformeln. Det ar pa detta satt man skall forsta langdkontraktionsformeln

och sattet att mata langd for objekt i hog hastighet.


Exempel 1.1

T.ex. i en 100 m loptavling uppmats 100 m strackan for en lopare i hastigheten 0.8c i

forhallande till publiken som star stilla (vilken givetvis uppmater strackan att vara 100 m),

uppmats av loparen att ha langden

100m√

1− 0, 82 = 60m

Harav namnet langdkontraktion.

Det bor sagas att vi i detta fall talar om en langdkontraktion som ar parallell med rorelsens

riktning. Det finns ingen langdkontraktion om linjalen ar stalld antiparallellt (90◦) till rorelsens

riktning.

<

>

<

>

>

v

O

O<

>

l0

K

S

<>

<>

l

K

S

K

2 2

< >v∆t

Figur 1.5: Till vanster ser vi hur en observator som som ar pa vag at hoger i samma koordi-natsystem som linjalen, upplever en ljus-signal som skickas fran linjalens bas till dess andraanda och tillbaka. I figuren till hoger ser vi samma situation fran ogonen pa en observatorsom ser linjalen susa forbi i hastigheten v relativt observatoren.

Vi kan se detta genom att betrakta figur 1.5, dar vi ser en linjal som ror sig parallellt med

x-axeln, men ar riktad vinkelratt mot denna. Linjalen har en spegel langst upp, dit vi skickar

en ljussignal som detekteras nar den atervander till linjalens bas. Vi kommer att anta att

linjalens langd ar olika for oberservatoren i koordinatsystemet som ror sig med linjalen och

for den som star stilla och ser linjalen passera langs x-axeln. For observatoren i rorelse har

linjalen langden l0 och for den som star och ser pa har den langden l.

Tiden det tar for linjalen att rora sig fran linjalens bas via spegeln tillbaka till basen ar i

koordinatsystemet som ror sig med linjalen

∆t0 =2l0c, (1.20)

denna tid kan relateras till tiden den stillastaende observatoren uppmater m.h.a. tidsdilata-

tionen (1.10) som

∆t =∆t0√

1− v2/c2=

2l0

c√

1− v2/c2. (1.21)


A andra sidan ror sig ljuset strackan

d = 2

√(v∆t

2)2 + l2, (1.22)

sett som observatoren som star stilla. For denna stracka galler ocksa d = c∆t eftersom ljuset

ror sig med konstant hastighet fran basen av linjalen till dess anda och tillbaka. Detta kan

kombineras med (1.22) for att ge

c∆t = 2

√(v∆t

2)2 + l2 ⇔

∆t =2l√

c2 − v2=

2l

c√

1− v2/c2. (1.23)

Da vi jamfor (1.21) med (1.23) ser vi mycket snabbt att

l = l0, (1.24)

vilket betyder att langder vinkelratt mot rorelsens riktning inte kontraheras.

Hur ser langdkontraktionen ut?

Detta ar en fraga som i sig ar entydig, men trots det svar att besvara. Det beror pa att ogat

(liksom en kamera) registrerar ljusimpluser samtidigt da de nar ogat, men da ljusets hastighet

ar andlig betyder detta att om vi t.ex. ser pa ett rymdskepp som fardas med en hog hastighet,

kommer vi att registrera ljusimpulserna som startar samtidigt i rymdskeppets vilokoordinat-

system fran dess bas och dess front, vid olika tidpunkter och de kommer inte att samtidigt

bidra till den bild vi ser av rymdskeppet. Gjorde de det, skulle vi se ett langdkontraherat

rymdskepp.

Vi kunde gora denna analys rent matematiskt for ett objekt av vilken form som helst som

susar forbi oss med den kunskapen vi har (se http://arxiv.org/abs/physics/0412040), men

eftersom resultatet ar sa beroende av geometrin vi har i situationen, nojer vi oss med att se

pa hur ett par bilder projiceras i tva dimensioner (dessa tva dimensioner kunde vara t.ex.

en fotografisk plat) om vi tar ett foto av ett objekt som vi susar forbi (eller som allternativt

susar forbi oss).

Vi ser ur figur 1.7 att det ser ut som om huset skulle rotera (boja sig lite). Denna effekt kallas

for Terrell-rotation 13. Dessutom ser vi att fotot ser ut att uppvisa ett langre hus till vanster

om husets mittpunkt och ett kontraherat hus till hoger om dess mittpunkt. Man kunde naivt

tanka sig att dessa tva effekter skulle ta ut varandra och huset skulle ha samma langd som

i vilokoordinatsystemet, men detta ar inte fallet under en narmare analys. Daremot ser man

klart att den bilden man tar av huset kommer att bero av var huset befinner sig i forhallande

till oss (framfor eller bakom oss) nar vi tar bilden och ocksa beror den av i vilken vinkel vi

passerar huset.

13Ibland kallas den ocksa Terrell-Penrose rotation.


Figur 1.6: Vi ser hur bilden ser ut i vilokoordinatsystemet (d.v.s. v = 0). Korsset pekar utvar husenas mittpunkt ligger, medan den korssade cirkeln visar var mittpunkten for det tvadimensionella planet ligger. I (b) och (c) bilderna star det tva dimensionella planet lite i vinkeltill husena. D.v.s. i (b) ar husets vanstra gavel narmare det tva dimensionella planet och i (c)ar det den hogra gaveln som kommer narmare.

Vi kan forsta att det ar mojligt att en langd kontraheras da den passerar oss i hog hastighet,

men hur skall man kvalitativt forsta att en langd kan se ut langre vid en hog hastighet? I

detta fall kan man inse detta om man tanker pa att da objektet befinner sig till vanster om

oss (pa vag mot oss), sa ser vi den ljusimpuls som startar fran dess bass na oss, samtidigt

som den ljusimpuls som startar fran dess front som redan rort sig en bit framat nar oss,

p.g.a. att ljuset har en andlig hastighet. Denna effekt blir omsvangd da objektet passerat oss

och objektet ser kortare ut da. Hur objektet i sig ser ut, beror for mycket pa dess geometri

och var det befinner sig i forhallande till den som ser pa for att man skall kunna saga nagot

allmant om dess form, men ett resultat ar mycket kant. Namligen, en sfar andrar inte form

oberoende av hur hart den skulle susa forbi oss. Den kan vara mindre eller storre an i sitt

vilokoordinatsytem, men den har fortfarande en kontur i form av en cirkel.

Uppgift 1.2

Forenta Stjarnornas rymdskepp har en cirkel som symbol pa vingarna. Den Icke Republikanska

AtomkorruptionsNationen (IRAN) rymdskepp har en ellips pa sina. IRANs ellipser ar 1,5 ggr

langre an de ar breda. Hur fort maste IRANs rymdskepp kora for att man skall fa problem

som stationar observator (i detta fall raknar vi med att den stationara observatoren inte ser


Figur 1.7: Samma bild som i figur 1.6, men nu susar det tva dimensionella planet forbi ien hastighet av v = 0.9c. Detta betyder helt enkelt att i (b) och (c) fallena susar det tvadimensionella planet forbi lite i vinkel i forhallande till husena och inte parallellt med huset,som i (a).

med sina ogon pa skeppen utan anvander nagon sorts sensorer pa rymdskeppen for att rakna

ut deras langd.) att skilja pa de bada makternas rymdskepp? Vi antar att IRANs rymdskepp

kor parallellt med observatoren. Kan Forenta Stjarnornas skepp aka sa snabbt att det alltid

gar att skilja pa dem fran IRANs skepp? Om ja, hur snabbt maste de da aka? Om nej, varfor

inte?

Dopplereffekten for ljus

Vi tar nu en titt pa en annan intressant effekt som ar rent relativistisk, namligen Doppler-

effekten for ljus. Vi placerar en observator i en punkt som sammanfaller med origo i ett

koordinatsytem som ror sig med hastigheten v i forhallande till denna observator och fragar

oss vilken frekvens denna person utanfor ljuskallans koordinatsystem uppmater. Se figur 1.8.

Under tiden T ror sig den forsta vagtoppen fran ljuskallan strackan cT och kallan ror sig

strackan vT . Darfor ser var observator vaglangden (langden mellan vagtopparna) som λ =

T (c− v). Den uppmatta frekvensen for observatoren blir alltsa,

f =c

λ=

c

T (c− v). (1.25)

Vi vet ytterligare fran var diskussion om tidsdilatationen och ekvation (1.10) pa vilket satt


<

>

K> >

>v

vT λ< > > < < > cT

Figur 1.8: Figuren visar pa vilket satt observatoren observerar ljustopparna da koordinatsy-stemet ror sig med hastigheten v i forhallande till observatoren. T ar tidsintervallet mellanvagtoppar, d.v.s. f = 1

Tar frekvensen for ljuset. K ar ljuskallan.

tidsintervall relaterar sig mellan observatorer i relativ rorelse. Vi omformar ekvationen till,

T =T0√

1− v2/c2=

cT0√c2 − v2

,

som vi skriver om till frekvenssprak m.h.a. T0 = 1/fo,

1

T=

√c2 − v2

cT0

=

√c2 − v2

cf0. (1.26)

Om vi sedan kopplar ihop ekvationerna (1.25) och (1.26) genom att substituera for T och

kommer ihag att c2 − v2 kan skrivas som c2 − v2 = (c− v)(c+ v), far vi vart slutliga uttryck,

f =

√c+ v

c− vf0. (1.27)

Detta ar Dopplereffekten for en ljuskalla som narmar sig observatoren. For en ljuskalla som

ror sig bort ifran observatoren ar det bara att byta tecken pa v. Detta ger,

f =

√c− vc+ v

f0. (1.28)

I ekvation (1.27) ser vi att den observerade frekvenssen okar desto snabbare ljuskallan ror

sig mot observatoren. Detta betyder att vaglangden minskar enligt vagekvationen c = fλ,

vaglangden forskjuts mot den blaare delen (kortare vaglangd) av spektret. Detta kallas

darefter for blaforskjutning. Pa samma satt ser vi att frekvenssen i ekvation (1.28) mins-

kar med okad hastighet i forhallande till observatoren, vilket betyder att vaglangden okar och

forskjuts mot det roda omradet av spektret. Fenomenet kallas for rodforskjutning.

Dopplereffekten anvands bl.a. av polisen da de bestammer hastigheten for bilar m.h.a. radar.

En mycket nyttig apparatur for att observera fortkorande bilister. Man kan ocksa anvanda

Dopplereffekten for att kartlagga positionen av satelliter som sander radiosignaler.


For en fysiker ar kanske det mest kanda exemplet av Dopplereffekten, observationen av att

de flesta galaxer i universum uppvisar rodforskjutning i det ljus de sander ut. Detta tolkas

som att universum expanderar och denna observation har haft en fundamental betydelse for

kosmologins utveckling till ett omrade av fysiken.

Uppgift 1.3

Hur snabbt maste man ga mot rott ljus for att fa det att verka gront? Det roda ljuset har

vaglangden λr = 695nm och det grona λg = 525nm.

Uppgift 1.4

a.) Vi betraktar ett binart stjarnsystem (tva stjarnor som roterar runt sitt masscentrum) och

fragar oss om detta stjarnsystem som helhet star stilla eller ror pa sig relativt oss. Vi vet att

ljuset fran vatgas i ett laboratorium pa jorden produceras med frekvensen f = 4, 5679×1014Hz

och vi observerar med ett jordiskt teleskop att ljuset fran det binara stjarnsystemet varierar

mellan frekvenserna 4, 561×1014Hz och 4, 5685×1014Hz. Bestam om detta binara stjarnsystem

ror sig mot oss eller ifran oss som en helhet da vi antar att det roterar i samma plan som

jorden. Gor denna uppgift genom att approximera f =√

c+vc−vf0, genom att forst visa att

foregaende uttryck gar att skriva som

f = (1− v

c)−1/2(1 +

v

c)1/2f0.

Gor sedan en approximation m.h.a. binominalteoremet da v << c for att fa

f = f0(1 +v

c) (1.29)

Harled alltsa ekvation 1.29 och anvand den for resten av uppgiften.

b.) Ljuset fran detta binara stjarnsystem varierar med frekvensen i en period av 90 dagar. Det-

ta betyder att man observerar en maximal skillnad i frekvensser fran de bada stjarnorna med

en period pa 90 dagar. D.v.s. det tar 90 dagar att ta sig fran ett frekvensskillnadsmaximum

till ett frekvenskillnadssminmum och slutligen tillbaka till ett frekvensskillnadsmaximum. Vad

ar radien pa banan for de tva stjarnorna da vi antar att de ror sig i en cirkelbana? Bestam

ocksa deras massor om vi antar att bada har en lika stor massa. Ge ditt svar i solarmassor.

1.4 Lorentztransformationerna

Det namndes redan tidigare att Lorentz, utgaende fran Maxwells ekvationer for elektrody-

namiken, presenterade transformationsformlerna for att Maxwells ekvationer skulle halla sig

invarianta (bibehalla sin form och darmed fysiken) under koordinattransformationer. Trots

att Lorentz fysikaliska universum var absoult och nagot helt annat an Einsteins, bar trans-

formationsekvationerna fortfarande hans namn. Einstein harledde dem precis pa samma satt

genom att anta att Maxwells ekvationer skall hallas invarianta under dessa transformationer.

Lorentztransformationerna 21

For jamforelsens skull bojar vi med att se pa Galileitransformationerna mellan tva koordinat-

system som ror sig med hastigheten v (langs x-axeln) i forhallande till varandra. De ar

x′ = x− vt

y′ = y

z′ = z

t′ = t.

(1.30)

Fran dessa transformationer ser vi direkt att tiden ar densamma i bada koordinatsystemen.

Detta kan ju inte stamma relativistiskt eftersom vi just lart oss om tidsdilatationen. Dess-

utom ar inte strackan x’ langdkontraherad. Detta betyder att dessa transformationer maste

modifieras for att galla inom den speciella relativitetsteorin.

Vi atar oss uppgiften att andra pa detta och borjar med att harleda transformationen for tva

koordinatsystem som ror sig likformigt och parallellt med sina x-axlar som sammanfaller (ar

i linje med varandra (se figur 1.9). Fragan ar alltsa, nar vi har tva koordinatsystem som ror

sig parallellt med sina x-axlar, vad ar relationen mellan deras koordinater under den speciella

relativitetsteorins tva postulat?

<

>

<

>

>v

><vt

x

y y'

x'

P

<<

>>

< <

< <

Figur 1.9: Vi ser i figuren tva koordinatsystem som vid tidpunkten t = t′ = 0 sammanfallit. Ibilden visas en tidpunkt t 6= 0, t′ 6= 0. Det vanstra koordinatsystemet star stilla i forhallandetill det hogra som ror sig med hastigheten v at hoger. Punkten P har koordinaterna (x, y) idet vanstra koordinatsystemet och (x′, y′) i det hogra.

Enligt figur 1.9 ar det hogra origot strackan vt framfor det vanstra koordinatsystemets. Ef-

tersom vi borjar med att ta reda pa vad transformationen for x-koordinaterna blir, marker vi

att x′ maste vara langdkontraherad enligt ekvation (1.19) i det vanstra koordinat systemet.

Darfor blir inte transformationen x = vt+ x′ som i Galilei transformationerna, utan

x = vt+ x′√

1− v2/c2.

Fran detta loser vi ut x′ som,

x′ =x− vt√1− v2/c2

. (1.31)


Detta ar Lorentztransformationen for x-koordinaterna. Endast en koordinattransformation

racker dock inte, vi maste ocksa ta oss en titt pa hur tiden transformerar sig mellan koor-

dinatsystemen. For att astadkomma detta kommer vi ihag den speciella relativitetens forsta

postulat. Det sager att alla koordinatsystem ar lika varda, darfor maste transformationen galla

fran det vanstra koordinatsystemet till det hogra, men ocksa fran det hogra till det vanstra.

Den enda skillnaden ar att nu ser vi situationen fran det hogra koordinatsystemet, darifran

vi ser att det vanstra ror sig at vanster. D.v.s. vi behover bara satta in ett minustecken och

andra t till t′ och byta om rollerna for x och x′. Detta ger,

x′ = −vt′ + x√

1− v2/c2.

Vi anvander sedan ekvation (1.31) till att eliminera x′ ur vart uttryck. Vi loser ut t′ och far,

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

. (1.32)

Eftersom vi redan tidigare namnt att langder som star i 90◦ vinkel till rorelsens riktning halls

oforandrade blir transformationerna for y och z helt enkelt y′ = y och z′ = z. Da har vi, med

anvandning av ekvationerna (1.31) och (1.32), Lorentztransformationen for likformig rorelse

i x-led i sin fulla glans,

x′ =x− vt√1− v2/c2

= γ(x− vt)

y′ = y

z′ = z

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

= γ(t− vx/c2),

(1.33)

dar vi infort definitionen γ ≡ 1√1−v2/c2

.

Dessa ar Lorentztransformationerna for en x-stot (x-boost eng.). Detta ar inte den enda Lo-

rentztransformationen, man kan naturligtvis generalisera och valja ett koordinatsystem som

ror sig likformigt i forhallande till ett annat koordinatsystem, men inte parallellt med nagon

axel. Da maste y, och z, koordinattransformationerna modifieras. Detta ar dock endast en

teknisk detalj. I de vanligaste fallen kan man valja x-axeln sa, att den blir parallell med

rorelsens riktning och det finns darfor ingen orsak att presentera flere transformationer. Det

kan namnas att Lorentztransformationerna ocksa kan harledas for rotationer av koordinat-

system, men vi kommer inte att anvanda oss av dem och funderar inte mera pa detta just

nu.

Exempel 1.2

Vi skickar ivag en laserstrale fran jorden till en rymdsond pa 300000 km:s avstand. Hur ser

detta ut fran solens koordinatsystem? Vi vet att jorden ror sig med en hastighet 30 km/s i


forhallande till solen och att laserstralen tar ∼ 1 s pa sig att fardas till sonden sett ur jordens

koordinatsystem.

For att berakna de uppmatta avstanden i solens koordinatsystem, behover vi γ-faktorns varde.

Det ar

γ =1√

1− ( 303×105 )2

' 1 +1

2× 10−8

. Sedan anvander vi Lorentztransformationerna i ekvation (1.33) for att bestamma resten,

x′ = γ(x− vt) = γ(300000 km− 30 km/s× 1 s) = 299970 km + 1.5 m (1.34)

t′ = γ(t− v

c2x) = γ(1 s− 30 km/s

(300000 km/s)2× 300000 km) ' 1 s− 10−4 s.

Vi ser att langderna och tiderna mellan dessa tva koordinatsystem inte ar de samma, vilket

forstas var att vanta. Dessa ar saker man maste beakta da man skickar ivag rymdsonder och

sateliter och vill kommunicera med dem.

Kausalitet

Ett mycket viktigt begrepp inom fysiken kommer fran ordningen pa orsak och verkan. Man

antar inom fysik att kausalitet alltid galler. D.v.s. orsak kommer alltid fore verkan. Detta

ar enkelt att forsta inom deterministiska fysikteorier14, eftersom begreppet kausalitet ar de-

terministiskt. Orsaken kommer alltid fore verkan. Detta ar definitionen pa kausalitet. Inom

icke-deterministiska teorier, sa som kvanttmekaniken, ar den kausala tolkningen av teorin in-

te lika enkel, men man har aldrig observerat ett kvantmekaniskt fenomen dar detta skeende

nodvandigtvis maste tolkas som brutet. Darfor, trots att den teoretiska konstruktionen av

kvanttmekaniken inte behover vara kausal, finns det tillsvidare ingen orsak att nagot fysika-

liskt system skulle masta beskrivas sa, att orsak-verkan skeendet ar brutet.

Eftersom man tanker att kausalitet alltid galler, galler det i varje koordinatsystem. Om vi

betraktar ett system dar vi antar att 2 ar foljden av 1 vid tidpunkterna t2 respektive t1, dar

t2 > t1, kan vi skriva ∆t = t2−t1 ≥ 0 och foljdaktilgen anvandande Lorentztransformationerna

(1.33) erhaller vi

∆t′ = γ(∆t− v

c2∆x) ≥ 0, (1.35)

vilket ger

∆t− v

c2∆x ≥ 0. (1.36)

Eftersom ∆x alltid kan valjas positivt (ar ∆x negativ svanger vi bara pa x-axeln) eller noll,

har vi ∆x ≥ 0 och da kan vi omforma ekvation (1.36) till

c2

v≥ ∆x

∆t. (1.37)

14Newtonsk gravitation och den klassiska elektromagnetismen ar exempelm pa deterministiska teorier inomfysiken. Kvanttmekanik ar daremot inte en deterministisk teori.


∆x∆t

ar i detta fall hastigheten mellan orsak och verkan, d.v.s. hastigheten mellan handelserna

2 och 1. Hastigheten v star endast for den relativa hastigheten mellan 1:s och 2:s koordinat-

system och darfor har det ingen betydelse vad den ar infor denna betraktelse. Da olikheten

(1.37) ocksa maste halla i fallet da v → c, far vi

c ≥ ∆x

∆t. (1.38)

Detta kan direkt tolkas som att: signalhastigheten kan aldrig overskrida ljusets hastighet, om

vi antar ett kausalt beroende mellan handelserna. Om vi daremot ger upp kausaliteten ar

overljushastighet mojligt. Overljushastighet har studerats bl.a. genom en teoretisk modell av

tachyoner, partiklar som ror sig snabbare an ljuset. Dessa har dock aldrig observerats, liksom

man heller inte observerat nagot annat fenomen som skulle rora sig med overljushastighet.

Huvudpoangen ar i varje fall att kausalitet tillsammans med speciell relativitet implikerar att

ingen signalhastighet overskrider ljusets.

Daremot maste man annu konstatera att trots att man antar kausalitet inom fysik, sa ar

kausalitet som begrepp inte sa latt-tolkat da man infor t.ex. kvantteffekter. I de fallen galler

fortfarande att fysikalisk kausalitet bevaras sa lange signalhastigheten ar ≤ c, men trots

det kan handelser ske inom teorin15 dar kausaliteten sa som den presenterades har, bryts.

D.v.s. om handelse A ar orsaken till handelse B, foljer inte automatiskt att A kommer fore B

tidsmassigt i den teoretiska betraktelsen. T.ex. i partikelreaktioner vid hog energi kan man i

den teoretiska betraktelsen inte alltid sakert saga att partiklarna krockade fore nya bildades.

T.ex. i en formulering av kvanttfaltteori16 ordnas diagrammen (partikelprocesserna) i en sadan

ordning att vissa av dem ar inte ar kausala i ordets riktiga betydelse. D.v.s. i vissa av dessa

diagram kan det handa att nya partiklar bildas fore de gamla forstorts. Torts det sager manga

fysiker att kausalitet bevaras, men da menar man en sorts fysikalisk kausalitet som ar mycket

svardefinierad inom teorier med kvanttfenomen. Det enklaste ar att saga att kausalitet inte

har en entydig fysikalisk definition i teorier som inte ar deterministiska, trots att man sager

att kausalitet skall halla inom alla fysikteorier. I detta fall syftar man pa den erfarenhet vi

har av experiment.

Lorentztransformationerna grafiskt

Vi tar oss nu en kort titt pa hur man grafiskt kan se pa Lorentztransformationerna genom

sk. rum-tidsdiagram (space-time diagrams (eng.)). Om vi anvander oss av axlarna ct och x17

for y-axel respektive x-axel, kan vi m.h.a. Lorentztransformationerna rita in axlarna ct′ och

x′ for systemet som ror sig med hastigheten v i forhallande till de oprimmade koordinaterna.

15Detta ar viktigt, for som konstaterats tidigare, finns det inga experimentella antydelsser pa att kausalitetbryts heller i kvanttsammanhang.

16Tids Ordnad Stornings Teori, TOPT = Time Ordered Pertubation Theory (eng.)17Egentligen borde man ju rita alla rymdaxlar och inte bara x-axeln, men eftersom vi inte kan rita 4 orto-

gonala axlar pa ett 2-dimensionelt papper, sager vi att rymdaxlarna y och z ar underforstadda i diagrammet,trots att vi inte explicit ritar ut dem. Detta satt att rita andrar inte pa diagrammens duglighet for attaskadliggora de fysikaliska processerna mellan koordinatsystem i relativ rorelse.


Det enda vi behover gora ar att ta reda pa var i diagrammet vi placerar axlarna for ct′, x′

koordinaterna. Detta gar enkelt genom Lorentztransformationerna (1.33). Vi tar reda pa hur

vi skall rita x′-axeln, genom att satta in t′ = 0 i Lorentztransformationerna. Detta ger

ct = βx for t′ = 0, (1.39)

dar β = vc. ct′ axeln far vi fran kravet x′ = 0, vilket direkt ger

ct =1

βx for x′ = 0. (1.40)

Ekvationerna (1.39) och (1.40) bestammer hur vi skall rita in axlarna i koordinatsystemet

med ct langs y-axeln och x langs x-axeln. Resultatet ser vi i figur 1.10. Ur samma diagram ser

vi direkt att simultana handelser inte nodvandigtvis ar desamma i bada koordinatsystemen.

Handelserna A och B, vilka hander vid samma tidpunkt i det oprimmade koordinatsystemet

ar inte simultana i det primmade koordinatsystemet.

<

<

<

<ct ct’

x’

x

1_

Act(A), ct(B)

ct’(A)

x’(A)

x(A)

B

ct’(B)

x(B)

x’(B)

ct =

xβ

Figur 1.10: Figuren visar tva koordinatsystem ovanpa varandra dar det primmade ror sig medhastigheten v i forhallande till det oprimmade koordinatsystemet. A och B ar tva handelsersom inte, trots simultanitet i det oprimmade koordinatsystemet, ar simultana i det primmadekoordinatsystemet. Den strackade linjen i 45◦ vinkel till x-axeln representerar den maximalahastigheten c, for vilken β = 1. D.v.s. sa ror sig en foton i rum-tidsdiagrammet.


Uppgift 1.5

Ronny har tillsammans med sin slakt just vunnit en intergalaktisk tandemcykeltavling och kor

slaktcykeln (en mycket lang cykel pa 300 m, Ronny har en stor slakt) over mallinjen samtidigt

som hans avlagsnaste slakting (han sitter ocksa langst bort pa cykeln) skickar ett ”Hurra!”

meddelande at Ragge som star vid mallinjen. Ronny och hans avlagsnaste slakting befinner sig

i tandemcykelns koordinatsystem som ror sig med hastigheten 0,6c i forhallande till mallinjen

och Ragge. Nar observerar Ragge att hela cykeln gatt over mallinjen, var befinner sig Ronny

i forhallande till mallinjen i sitt egna och i Ragges koordinatsystem just da och nar uppfattar

Ragge meddelandet som Ronnys avlagsnaste slaktning skickade?

Uppgift 1.6

Gor ett variabelbyte i Lorentztransformationerna 1.33 med bytet ψ = tanh−1 β = tanh−1 vc.

Dar tanh−1 x ar tanhx = sinhxcoshx

:s inversa funktion. ψ kallas for rapiditet. Gor detta och fa

Lorentztransformationerna,

x′ =x− vt√1− v2/c2

= γ(x− vt)

y′ = y

z′ = z

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

= γ(t− vx/c2),

(1.41)

i formen

t′ = t coshψ − x

csinhψ

x′ = −ct sinhψ + x coshψ

y′ = y

z′ = z.

Uppgift 1.7

Albert i underlandet

Einstein spelar tennis med Lorentz. De spelar en mycket speciell sorts tennis, utan nat. Du

kan anta att de slar bollen parallellt med marken. Lorentz svingar ivag en serv pa 80m/s,

vilken returneras av Einstein med den mattliga hastigheten av 1.8× 108m/s. Under Einsteins

retur springer en vit kanin forbi planen med en hastighet av 2.2×108m/s. a.) Vad ar kaninens

hastighet relativt bollen da kaninen springer parallet med planen i riktningen fran Einstein

mot Lorentz? (for denna del av uppgiften se nasta sektion) b.) Vad ar langden pa tennisplanen

(som Einstein och Lorentz mater till 20m) enligt den vita kaninen? c.) Hur lange tar det for

den vita kaninen att springa forbi planen enligt spelarna? d.) Den vita kaninen bar pa ett


fickur, vilket han anvander for att mata tiden det tar att springa forbi tennisplanen. Vad

avlaser han for tid?

Uppgift 1.8

a.) Vagekvationen for elektromagnestisk stralning i 1+1 dimensioner i koordinatsystem S ar

∂2y(x, t)

∂x2− 1

c2

∂2y(x, t)

∂t2= 0 (1.42)

Visa att denna ekvation under den Galileiska transformationen

x′ = x− vt

y′ = y

z′ = z

t′ = t

(1.43)

ger (1− v2

c2

)∂2y(x′, t′)

∂x′2+

2v

c2

∂2y(x′, t′)

∂x′∂t′− 1

c2

∂2y(x′, t′)

∂t′2= 0 (1.44)

i koordinatsystem S’.

Tips: Anvand partialderivatornas kedjeregel for att uttrycka derivatorna ∂∂x

och ∂∂t

m.h.a.

derivatorna ∂∂x′ och ∂

∂t′.

b.) Gor samma sak som i uppgift a, men nu med Lorentztransformationerna

x′ =x− vt√1− v2/c2

= γ(x− vt)

y′ = y

z′ = z

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

= γ(t− vx/c2).

(1.45)

Detta skall ge

∂2y(x′, t′)

∂x′2− 1

c2

∂2y(x′, t′)

∂t′2= 0 (1.46)

Forklara varfor detta visar att ljusets hastighet ar c i bada koordinatsystemen S och S’.

Exempel 1.3

Maxwell ekvationernas invarians


Maxwell ekvationerna i vakum ar

∇ · ~E = 0

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B

∂t

∇× ~B =1

c2

∂ ~E

∂t.

Dessa kan skrivas om genom att marka att ekvationen ∇· ~B = 0 kan skrivas genom att infora

en ny potential ~A, den s.k. vektorpotentialen som satisfierar ~B = ∇× ~A. Da vi substituerar

detta in i ∇× ~E = −∂ ~B∂t

far vi

∇× ~E +∂(∇× ~A)

∂t= 0 (1.47)

∇×(~E +

∂ ~A

∂t

)= 0 (1.48)

~E +∂ ~A

∂t= −∇φ, (1.49)

dar vi infort en ny skalar funktion, φ och anvant mojligheten att byta ordning pa derivering

i avseende a t och ∇× operatorn, vilket emdast ar mojligt om funktionen ~A uppfor sig

tillrackligt val. D.v.s. vi kan skriva elfaltet ~E och magnetfaltet ~B som

~E = −∂~A

∂t−∇φ (1.50)

~B = ∇× ~A. (1.51)

Om vi substituerar detta reultat in i ∇ · ~E = 0 respektive ∇× ~B = 1c2∂ ~E∂t

, far vi ekvationerna

∇2φ+∂(∇ · ~A)

∂t= 0

∇2 ~A+1

c2

∂2 ~A

∂t2−∇

(∇ · ~A− 1

c2

∂φ

∂t

)= 0.

(1.52)

Nu kan vi antligen askadliggora vad ordet invarians medfor. Det beror pa att dessa tva

ekvationer ar invarianta under transformationerna

~A′ = ~A+∇ψ

φ′ = φ− ∂ψ

∂t.

(1.53)

Detta betyder att om vi insatter dessa tranformationer i ekvationerna (1.52), far vi samma

ekvationer tillbaka och fysiken ar saledes densamma under denna transformation (1.53). Vi

Addition av hastigheter 29

provar forst med ∇2φ+ ∂(∇· ~A)∂t

= 0. Insattning av (1.53) ger

∇2φ′ +∂(∇ · ~A′)

∂t= 0

∇2(φ− ∂ψ

∂t) +

∂(∇ · ( ~A+∇ψ))

∂t= 0

∇2φ+∂(∇ · ~A)

∂t−∇2∂ψ

∂t+∂∇ · ∇ψ

∂t= 0

∇2φ+∂(∇ · ~A)

∂t= 0,

vilket visar att ekvationen ar invariant. Vi gor likadant med den andra ekvationen. Det ger

∇2 ~A′ +1

c2

∂2 ~A′

∂t2−∇

(∇ · ~A′ − 1

c2

∂φ′

∂t

)= 0

∇2( ~A+∇ψ) +1

c2

∂2( ~A+∇ψ)

∂t2−∇

(∇ · ( ~A+∇ψ)− 1

c2

∂(φ− ∂ψ∂t

)

∂t

)= 0

∇2 ~A+1

c2

∂2 ~A

∂t2−∇

(∇ · ~A− 1

c2

∂φ

∂t

)+∇2∇ψ +

1

c2

∂2∇ψ∂t2

−∇(∇ · ∇)ψ − 1

c2∇∂

2ψ

∂t2= 0

∇2 ~A+1

c2

∂2 ~A

∂t2−∇

(∇ · ~A− 1

c2

∂φ

∂t

)= 0,

vilket slutligen visar oss att ekvationerna (1.52) ar invarianta under transformationerna (1.53).

Fysikaliskt sett betyder det att om man kan skriva en vektorpotential ~A som nagonting plus

en del som kan skrivas i formen ∇ψ och en skalarpotential φ som nagonting minus ∂ψ∂t

, sa

kommer inte Maxwells ekvationer att paverkas av detta och fysiken ar densamma ocksa om

man kastade bort denna ψ-del ur formen pa vektor- och skalarpotentialen. Denna invarians

under transformationerna (1.53) kallas for mattinvarians (gauge invariance (eng.)) och ar

mycket betydelsefull inom den moderna fysiken. Vi skall dock inte koncentrera oss pa den

utan bara namna att sitationen ar analog med den speciella relativiteten. Om en ekvation ar

invariant under Lorentztransformationerna andrar fysiken inte fast man forflyttar sig fran ett

koordinatsystem S till ett annat S ′, precis som Einstein kravde i sitt forsta postulat.

1.5 Addition av hastigheter

Efter att vi har harlett Lorentztransformationerna kanner vi oss lite tomma i huvudet och

undrar om vi kunde anvanda dem till nagot. Vi marker bl.a. att langdkontraktionen, tidsdi-

latationen och Dopplereffekten kan harledas mycket enkelt m.h.a. transformationerna. Men a

andra sidan har vi redan upptackt de fenomenen, sa varfor slosa tid pa det? Istallet kommer vi

ihag att i.o.m. Galileitransformationerna, fanns det ocksa en Galileihastighetstransformation.

Den bestar helt enkelt bara av att addera hastigheterna mellan tva koordinatsystem i rorelse.


Detta maste ju vara fel, enligt relativitetsteorin! Annars kunde vi ju addera c+ c = 2c, vilket

inte var mojligt enligt Einsteins andra postulat. Dessa ekvationer behover alltsa en korrigering.

>

>

>

>

>

A(x, y, z, t)>

>

B(x’, y’, z’, t’)

V

X

X

1

2

Figur 1.11: Vi ser tva koordinatsystem som ror sig parallellt med den relativa hastighetenV . Koordinatsystem A anvander sig av oprimmade koordinater medan koordinatsystem Banvander sig av primmade koordinater. Handelserna X1 och X2 anger platsen for en partikelsom ror sig enligt nagon bana fran X1 till X2.

Vi placerar en partikel i punkten X1 enligt figur 1.11. Denna punkt innehaller inte bara rymd-

koordinater, utan ocksa tiden som en koordinat. Vi har forflyttat oss till 4 dimensioner. Dess

koordinater ar i koordinatsystem A, (x1, y1, z1, t1)A, och i koordinatsystem B, (x′1, y′1, z′1, t′1)B.

Pa samma satt har vi i en senare punkt pa partikelns bana X2 med koordinaterna i

A, (x2, y2, z2, t2)A och i B, (x′2, y′2, z′2, t′2)B.

Koordinatsystemen A och B ror sig med hastigheten V relativt varandra.

For att fa fram partikelns medelhastighet mellan punkterna sett ur koorinatsystem B, maste

vi fa fram ∆x′

∆t′pa nagot satt. D.v.s. vi behover forandringen i position och tid mellan de tva

punkterna. Darfor definierar vi ∆x′ = x′2− x′1,∆x = x2− x1, e.t.c. Eftersom Lorentztransfor-

mationerna, ekvationerna (1.33), relaterar de tva olika koordinatsystemen A,B, far vi direkt

∆x′,∆t′ m.h.a. ∆x,∆t, vilket vi efterstravar. Explicit,

∆x′ = x′2 − x′1 = γ(x2 − V t2)− γ(x1 − V t1) = γ(∆x− V∆t) = γ(∆x

∆t− V )∆t

∆y′ = ∆y

∆z′ = ∆z

∆t′ = γ(∆t− V∆x

c2) = γ(1− V

c2

∆x

∆t)∆t

(1.54)

Nu kan vi direkt med definitionerna ∆x∆t

= vx,∆x′

∆t′= v′x, e.t.c., komma at hastigheterna, vilka i

detta fall annu bara ar medelhastigheter. Vi har genom division av alla rymdintervall ∆x′,∆y′

Addition av hastigheter 31

och ∆z′ med ∆t′, fran ekvationerna (1.54),

v′x =∆x′

∆t′=

vx − V1− (vxV/c2)

v′y =vy

γ[1− (vxV/c2)]med γ =

1√1− V 2/c2

v′z =vz

γ[1− (vxV/c2)].

(1.55)

Dessa ar formlerna for hastighets addition i den speciella relativiteten. Det namndes att ek-

vationerna (1.55) bara ar harledda for medelhastigheter, vilket ocksa ar klart fran figur 1.11.

For att fa de momentana forandringarna borde man ta gransvardena ∆t → 0,∆t′ → 0,

och fysikaliskt sett forflytta punkterna X1 och X2 i figur 1.11 sa nara varandra som mojligt

langs partikelns bana. Detta forandrar dock inte var situation, i.o.m. att de primmade stor-

heterna finns pa en sida och de oprimmade pa den andra sidan ekvationerna. Gransvardet

∆t → 0,∆t′ → 0 andrar inte pa vara ekvationer och darfor galler formlerna inte enbart

medelhastigheter, utan ocksa momentana hastigheter.

Det bor ocksa namnas att punkterna X1 och X2 inte nodvandigvis behover sammansbinda

banan for en partikel. Det enda som kravs ar att ”handelserna” X1 och X2 forloper kausalt.

D.v.s. forst intraffar handelsen X1 och efter det X2 i nagot kausalt samband sa, att inte

ljushastigheten overskrids.

Vi har igen hittat nagra transformationsformler som inte verkar valdigt intuitiva. Vi ser i.o.f.s.

att da alla hastigheter ar mycket laga jamfort med ljusets, sa kollapsar ekvationerna till de

vanliga Galileiska. Men da hastigheterna ar mycket hoga, har vi helt annorlunda resultat an

de Galileiska.

Dessa ekvationer gar forstas att sattas pa prov och detta gjordes faktiskt redan sa tidigt som

ar 1851 av H.L. Fizeau (fast de inte fanns pa denna tid). Men experimentet kom i skymundan,

i.o.m. att man genast hittade pa en ad hoc losning pa problemet, vilket annars starkt skulle

ha ifragasatt det Galileiska sattet att addera hastigheter.

Exempel 1.4

I en partikelaccelerator ror sig tva partiklar mot varandra, sa att deras hastigheter i labo-

ratoriets koordinatsystem ser ut att vara v1 = 0, 9c och v2 = −0, 9c. Vad ar den relativa

hastigheten mellan dessa tva partiklar? D.v.s. hur snabbt ror sig partikel 2 i forhallande till

partikel 1? Vi anvander oss av hastighetsadditions formlerna (1.55) och konstaterar att

v =v2 − v1

1− v1v2/c2=−0, 9c− (0, 9c)

1 + 0, 9c× 0, 9c/c2≈ −0, 994c.

Trots de hoga hastigheterna, sa narmar sig inte partikel 2 partikel 1 med en hastighet hogre

an ljusets. Med Galileisk hastighetsaddtion skulle vi daremot fa −0.9c− 0.9c = −1.8c.


Uppgift 1.9

Visa att additionen av tva parallella hastigheter alltid ar = eller ¡ an ljusets hastighet.

Uppgift 1.10

Harled hastighetsadditionsformlerna genom direkt differentiering av Lorentztransformationer-

na

x′ =x− vt√1− v2/c2

= γ(x− vt)

y′ = y

z′ = z

t′ =t− vx/c2√1− v2/c2

= γ(t− vx/c2).

(1.56)

Gor sahar: differentiera pa bada sidor om Lorentztransformationerna sa att du far dx′ som

funktion av dx och dt, samt dt′ som funktion av dx och dt. M.h.a. dessa uttryck kan du sedan

latt harleda v′ = dx′

dt′dar du kan identifiera hastigheten v och pa savis harleda hastighetsad-

ditionen utgaende fran Lorentztransformationerna.

Uppgift 1.11

En foljduppgift till foregaende uppgift. Da du genom differentiering har harlett hastighetsad-

ditionen for v′ = dx′

dt′, kan du ju differentiera detta uttryck en gang till och dividera med dt’,

sa att du far dv′

dt′. Detta ar ju accelerationen och pa sa vis kan du harleda Lorentztransforma-

tionerna for acceleration ocksa. Harled dem!

Uppgift 1.12

Harled Lorentztransformationen mellan koordinatsystemen S och S”, dar S’ ror sig med has-

tigheten v i forhallande till S och S” ror sig med hastigheten u i forhallande till S’. Du kan

anta att alla koordinatsystem ror sig parallelt med x-axeln i S.

Fizeauexperimentet

Fizeaus experiment bestod i att sanda in ljus i vatten som strommade med hastigheten V i

laboratoriet. Sedan uppmatte han ljusets hastighet i laboratoriet. Ljusets hastighet i vatten

ar inte c utan cn, dar n ar vattnets brytningsindex. Detta ar darfor ett fint test pa hastighets-

additionen, med en hog och en lag hastighet, bada olika ljusets hastighet i vakuum. Vi vet

redan nu svaret, namligen

vc =c/n+ V

1 + (V/nc), (1.57)

dar V ar vattnets hastighet i laboratoriet och vc ar ljusets hastighet i laboratoriet. Mark

ocksa att vi inte har minustecken i formeln p.g.a. att situationen ar omsvangd i forhallande

Paradoxerna, som inte ar paradoxer 33

till den dar vi harledde hastighetsadditions formelerna. D.v.s. vi ar nu i det stillastaende

koordinatsystemet och vill ta reda pa hastigheten dar da vi vet hur snabbt ljuset ror sig i

vattnets koordinatsystem och hur snabbt vattnet ror sig i labbets koordinatsystem. Detta

betyder att vi maste ur (1.55) losa ut den oprimmade hastigheten som vi doper till vc. Detta

ger oss (1.57).

Galileitransformationen ger vc = cn

+ V . For att battre jamfora det relativistiska resultatet

med Galileitransformationen, expanderar vi namnaren i ekvation (1.57) i en binominal serie,

for att fa

vc =[ cn

+ V][

1− V

cn+ ...

]≈ c

n+ V (1− 1

n2). (1.58)

Detta ar en effekt som ar observerbar med interferensmetoder, som i Michelson-Morley ex-

perimentet, for vattenhastigheter av storlek ∼ 10 m/s. Uppstallningen av experimentet ses i

figur 1.12.

K

IMA

B

C D<

vatten

<

<

vatten

<<

>

>

> >

<

>

> >

Figur 1.12: I figuren visas en U-formad tub som vattnet flyter igenom. A, B, C, D ar speglar.A ar halvsilvrad. Ljuset startar fran kallan K och avslutar sin fard i IM (InterferoMeter).

Ideen med experimentet ar att man kan mata skillnaden i tid for ljuset som ror sig strackan

ABCDA medstroms och strackan ADCBA motstroms. Det gor man genom att observera in-

terferensmaxima i punkten IM medan man varierar vattnets hastighet. Detta ar inte det mest

generella experimentet man kan gora for den relativistiska hastighetsadditionen, darfor att

vattnets stromningshastighet ar sa lag. Men det ar intressant att det gjordes sa mycket fore

(1851) Einstein kom med sin teori (1905). Det ar ju ett experiment som motsager eterhypo-

tesen, trots att det gor det mera indirekt an vad Michelson-Morley experimentet gjorde.

1.6 Paradoxerna, som inte ar paradoxer

Med fodseln av en ny teori kommer det ocksa naturligtvis kritik fran olika hall. Speciellt

som Einsteins teori andrade pa prioriteringen av vart vanliga ”bondfornuft”. Manga forsok


till paradoxer har foreslagits, men inte en enda har visat sig att vara en paradox under

forstoringsglaset. Har presenteras nagra av de vanligaste och mest beromda forsoken till att

omkullkasta den speciella relativitetsteorin.

Tvillingparadoxen

I tvillingparadoxen ar tvillingarna Ronny och Ragge ute pa aventyr. Ronny ar mycket lat av

sig och tycker om att ligga i hangmattan och sova. Ragge daremot ar ett energipaket som

bara maste fa rora sig och upptacka nya saker. En dag hittar Ragge pa att fara ivag i en

sjalvkonstruerad rymdfarkost for att upptacka rymden. Ragge aker ivag med en hiskelig fart

fran jorden. P.g.a. hans mycket hoga hastighet (han anvander en typ av ladraket som fungerar

bast i drommar) kommer hans klocka att ga langsammare an Ronnys som stannar pa jorden.

Da Ragge atervander till jorden marker Ronny att Ragge fortfarande ar i sin basta alder

medan Ronny ar en gamling pa kryckor. Men detta ar konstigt tycker Ragge for som han ser

det, sa ger sig Ronny ivag pa en snabbtur genom rymden. Jorden far ivag fran Ragge med en

hiskelig fart och kommer tillbaka med en lika stor hastighet. Da kommer paradoxen: Borde

inte Ronny vara den unga ur Ragges synvinkel? Detta ar det som kallas tvillingparadoxen.

Bada kan ju inte ha ratt.

Forklaringen ligger i det att Ragge maste byta inertialkoordinatsystem atminstone tva ganger

under sin rymdfard. Ett for vagen bort fran jorden och ett annat for vagen tillbaka. Da

man gor ett byte av inertial koordinatsystem, maste man accelerera pa nagot satt. I det

ideala fallet av ett koordinatsystemsbyte, deccelerera oandligt snabbt och accelerea upp igen

oandligt snabbt. I sa fall galler inte den speciella relativiteten langre utan vi maste gora en

berakning m.h.a. allman relativitet av ∆t =∫ t2t1dt′√

1− v(t′)2/c2 over precis den strackan

Ragge avlagger. For nagon som star stilla blir kvadratroten givetvis 1 och mindre for en som

ror sig. Om man gor detta exakt (man maste forstas kanna till Ragges rutt for att kunna gora

det), marker man att det inte finns nagon paradox. Ragge kommer att vara yngre an Ronny

da han atervander till jorden. Skillnaden ar latt att forsta kvalitativt i.o.m. att Ronny aldrig

byter inertial koordinatsystem under Ragges flygtur bort och tillbaka till jorden.

Vad ser de?

En intressant fraga som uppstar da man gar igenom detta exempel ar, hur ser det ut? Vi vet

att Ronny kommer att vara aldre an Ragge nar han kommer tillbaka, men vad ser de tva

tvillingarna ur sina koordinatsystem da de ser pa varandra under Ragges fard? Vi askadliggor

situationen genom foljande rum-tids diagram 1.13.

I figuren har vi utritat ct- och x-axlarna for Ronny och ct′-axeln for Ragge enligt uttrycket

ct = 1βx, vilket bestammer ct′-axelns plats i rum-tids diagrammet, precis enligt stycket om

rum-tids diagram. Vi har ocksa valt hastigheten v = 23c for Ragge sa, att ct = 3

2x bestammer

ct′-axelns plats i diagrammet. Da Ragge kommer tillbaka ar hans hastighet givetvis −v och

darfor far vi en ct′′-axel som gar tillbaka mot ct-axeln.

Paradoxerna, som inte ar paradoxer 35

>

>ct

x

<

<

ct’

ct’’

>

>ct

x

<

<

ct’

ct’’

a b

Figur 1.13:

Tanken i diagrammet ar att i figur a, sander Ronny ljussignaler (som alltid fardas i 45◦ vinkel

i rum-tids diagram) at Ragge med jamna mellanrum sett ur hans koordinatsystem. Ragge,

kommer daremot att observera dem forst med mycket langa mellanrum, anda tills punkten

da skeppet vander om, da kommer han att observera ljussignalerna med mycket kortare mel-

lanrum. Om vi da gar over till digram b, ser vi att om Ragge hela tiden sander ut ljussignaler

med jamna mellanrum kommer Ronny att forst observera dem med jamna, lite langre mellan-

rum, och sedan, just innan Ragge kommit tillbaka till jorden, kommer Ronny att observera

signalerna med mycket korta mellanrum. Detta illustrerar mycket klart Dopplereffekten for

ljus. Ljus som kommer fran en kalla som aker ivag fran en observator ”dras ut” och man

observerar en langre vaglangd, en rodforskjutning i ljuset och ljus som kommer fran en kalla

som narmar sig observatoren kommer att ”pressas ihop” vaglangden minskar och blaforskjuts.

Om vi raknar ut hur mycket frekvenssen for ljuset trycks ihop respektive dras ut far vi fran

den relativistiska Dopplereffekten for en ljuskalla pa vag ifran oss (1.28)

f =

√c− vc+ v

f0 =

√1− 2

3

1 + 23

f0 =1√5f0 ≈ 0, 45f0, (1.59)

och da ljuskallan ar pa vag mot oss (1.27)

f =

√c+ v

c− vf0 =

√1 + 2

3

1− 23

f0 =√

5f0 ≈ 2, 24f0. (1.60)


Detta betyder att om Ronny ser pa Ragge da han studsar pa en boll under sin fard, kommer

han att se att Ragge studsar pa bollen 0,45 ggr langsammare an vad Ragge tycker att han gor

pa vagen bort fran jorden. Men direkt da rymdskeppet svanger om, ser vi att Ronny kommer

att se Ragge studsa bollen 2,24 ggr snabbare an vad Ragge tycker att han gor. Vi ser ocksa

att Ronny kommer att se Ragge studsa bollen med den langsammare hastigheten en mycket

langre tid an han observerar Ragge studsa med den snabba hastigheten. Pa samma satt, om

vi svanger om pa situationen, kommer Ragge att se (om Ronny nu studsar pa bollen) pa sin

vag fran jorden att Ronny studsar pa bollen langsamt och pa tillbakavagen ser han Ronny

studsa bollen snabbt. Skillnaden ar att Ragge ser Ronny studsa pa bollen snabbt en langre

tid an han ser honom studsa den langsamt. Pa detta vis kan bade Ronny och Ragge ocksa

”se med ogonen” att Ronny aldras snabbare an Ragge.

Flaggstangsparadoxen

Ronny och Ragge har fatt en 10 m lang flaggstang i present av deras mormor. De ar egentligen

inte sa fortjusta over presenten, men en present fran mormor kastar man inte bort. De maste

alltsa hitta pa ett satt att forvara den. Ronny foreslar att om Ragge springer in i deras lada som

ar 5 m lang med hastigheten v =√

3c2

, sa kommer flaggstangen att forkortas till,√

1− v2/c2 =12, halften av sin langd i vilokoordinatsystemet. Detta ur Ronnys koordinatsystem som star

stilla i forhallande till Ragges da han springer in i ladan i full fart. Men Ragge tycker att

detta inte kan lyckas. Han kommer ju fortfarande att se att flaggstangen ar 10 m i hans

koordinatsystem och dessutom ladan forkortad till l = 5 m√

1− v2

c2= 5/2 m = 2, 5 m. Harav

paradoxen, Ronny ser flaggstangen passa in ladan, medan Ragge ser att den inte gor det

(atminstone momentant). Men ar detta egentligen en paradox?

Nej, inte denna gang heller. Det ar Ragges argument som felar. Ragge har antagit att da

flaggstangen kanner av vaggen i ladan sa vet flaggstangens andra anda redan om detta. Men

detta kan inte stamma, for att ingen signal ror sig snabbare an ljuset som har en andlig

hastighet. Da flaggstangen beror vaggen i ladan ror sig annu dess andra anda mot ladan.

Shockvagen som flaggstangen kanner av da den krockar med ladans vagg utbreder sig hogst

med ljusets hastighet d.v.s. den tar minst tiden 10 m/c pa sig for att na flaggstangens andra

anda. A andra sidan tar det maximalt tiden 7, 5 m/v (den del av flaggstangen som ar utanfor

den langdkontraherade ladan da falggstangen beror ladans vagg) for den andra andan att

ta sig till ladans oppning. I detta fall 7, 5 m/v ≈ 8, 66 m/c da v =√

3c2

18. Vi kan alltsa dra

slutsatsen att flaggstangen ryms in i ladan (momentant) ocksa ur Ragges koordinatsystem.

Paradoxen har losts. Detta kan ocksa summeras i att det inte finns rigida objekt i den speciella

relativiteten.

Egentligen ar inte detta hela historien. Denna paradox borjar ifran att man tanker sig att

18Man maste komma ihag att ladan vaxer (ljuset har en andlig hastighet och darfor blir inte ladan 5 mlang pa momangen da Ragge stannat) till 5 m lang for Ragge da han stannat, darfor raknar vi har med 7,5m for att vara pa den sakra sidan. Pa riktigt ar strackan kortare an 7,5m p.g.a. att ladan vaxer ut till 5m.

Relativistisk rorelsemangd och energi 37

man springer in med en flaggstang igenom en lada. Om man da springer med en tillrackligt

hog hastighet kommer en person utanfor ladan att se att flaggstangen passar in i ladan

(for nagon nanosekund), men personen som springer med flaggstangen kommer att se ladan

langdkontraherad och att flaggstangen inte nagonsin passar in i ladan. Detta var den forsta

”flaggstangsparadoxen” som man kom med. Orsaken till att den forskastats ar att det inte ar

en paradox. Den speciella relativiteten kraver inte att vi skall se samma saker fran olika koor-

dinatsystem, utan endast att samma handelse hander i bada nangang (men inte nodvandigtvis

samtidigt). I detta fall ar handelserna de att flaggstangens knopp korssar ladans oppning och

ladans anda samt att flaggstangens bas ocksa korssar ladans oppning och ladans anda. Detta

hander givetvis i bada koordinatsystemen och vi har ingen paradox, trots att flaggstangen

ryms in i ladan ur det ena koordinatsystemet sett, men inte ur det andra. Detta leder oss

till flaggstangsparadoxen sa, som den forst presenterades. Iden var alltsa att om man stannar

med flaggstangen, sa skulle flaggstangens bas aldrig korssa ladans oppning och detta skulle

vara en paradox, men som vi sag kommer den nog att gora det och vi har ingen paradox.

Jattesaxen

Ett annat intressant exempel pa detta med att alla signaler hogst ror sig med ljusets hastighet,

ar att tanka sig en jattesax. Tank dig en sax som sitter i din hand men vars andor stracker

sig till andromeda galaxen. Om du da klammer fast saxens skanklar, borde inte den relativa

hastigheten mellan saxens spetsar vara hogre an ljusets? Nej an en gang. For vi har samma

problem som med flaggstangen, signalhastigheten19 fran att dina fingrar sluter saxen ror sig

hogst med ljusets hastighet till spetsarna av saxen och detta gor att inte ens med denna fint

konstruerade sax kan man overlista den speciella relativitetsteorins postulat. Det finns ingen

motsagelse i dem, i alla fall ingen som nagon annu kommit pa och, tro mig, det finns valdigt

manga mycket listigare forsok an dessa tre att forsoka kora in teorin i en atervandsgrand.

1.7 Relativistisk rorelsemangd och energi

Vi har borjat denna introduktion till den speciella relativitetsteorin med att se pa dess

forutsagelser for rum-tiden. Men vi kan givetvis stalla oss fragan om vad som hander med

rorelsemangden vid hoga hastigheter och vi kan ocksa fraga oss vad energin for en partikel

med hog hastighet ar. Dessa fragor skall vi nu behandla. Vi borjar med rorelsemangden.

Den relativistiska rorelsemangden

Klassiskt sett ar rorelsemangden p = mv. Galler denna formel aven relativistiskt? Det kan

bli svart att fa den att galla, vi vet ju redan att ljusets hastighet ar den hogsta uppnabara.

19Signalhastigheten, vilken som namnet sager ar hastigheten en signal ror sig med, maste vara ett kausalthandelseforlopp. D.v.s. i vart fall med saxen ar signalhastigheten den hastighet med vilken signalen att saxenborjar stangas tar sig fran punkten dar saxens tva eggar mots till saxens spetsar.


Detta betyder att om vi har en klassisk partikel med en viss massa m, sa kommer den storsta

rorelsemangden att bli pmax = mc. Da maste vi kunna besvara fragan, kan vi ha en maximal

rorelsemangd som beror pa att ljusets hastighet ar konstant? Vi kunde kanske konstruera en

teori som bygger pa detta, men da skulle vi hogst antagligen vara tvungna att forkasta lagen

om rorelsemangdens bevarande (och lagen om energins bevarande pa samma gang). Detta

beror pa att rorelsemangdens bevarande kraver att, da vi har N partiklar med massorna mi

och hastigheterna ui som efter en tid krockar och kombinerar om sig till N partiklar med

hastgheterna uj och massorna mj, skall foljande uttryck halla.

N∑i=1

miui =N∑j=1

mjui (1.61)

Detta uttryck maste galla (vara invariant) under Lorentztransformationerna for att lagen om

rorelsemangdens bevarande skall galla vid hoga hastigheter. Men eftersom uttrycket redan

ar invariant under Galilei transformationerna, ar det mer eller mindre sjalvklart att det in-

te kommer att halla samma form under Lorentztransformationerna. Enligt Einsteins forsta

postulat sa skall de fysikaliska lagarna vara desamma oberoende av koordinatsystemet de

befinner sig i. De ar de inte, om vi anvander var klassiska definition av rorelsemangd. D.v.s.

lagen om rorelsemangdens bevarande ar inte densamma oberoende av observator. Detta ar ett

problem, som vi pa nagot satt maste fixa. Eftersom vi har lite pa kann att problemet ligger

i att rorelsemangden klassiskt sett skulle fa ett maximivarde p.g.a. den speciella relativite-

tens postulat om en maximal signalhastighet, sa gissar vi oss till att relativistiskt sett har vi

rorelsemangden given som p = f(|~u|)mu, dar vi infort en ny funktion som ar en funktion av

hastighetens storlek endast. Detta ar bara ett antagande som vi halft kan motivera, men som

vi hoppas kunna leda oss pa ratt spar.

>

>

>

>

>>

< >

(-u , u )x y

2 2

2 2

1 1 1 1

(-u , -u )x y

(u , u ) (u , -u )x xy y(o, v) (0, -v)

(-w , -w )(-w , w )x y yx

C står stillaD rör sig med (u , 0)

D står stillaC rör sig med (-u , 0)x x

Figur 1.14: Pa vanster sida ser vi den situation som observator C ser. Till hoger ser vi sammasituation ur D:s ogon. Pa bada sidorna ser vi en elastisk kollision mellan de identiska par-tiklarna 1 och 2. Lagg ocksa marke till pilarnas riktningar. Fran dem ser man pa vilket sattpartiklarna krockar.

Vi borjar med att rita upp sitationen for tva partiklar i en elastisk kollision. Se figur 1.14.


Situationen ar den foljande: Bada partiklarna 1 och 2 kommer in med samma hastighet

(olika riktning) langs en rak linje. Detta betyder att den totala rorelsemangden ar noll for

systemet. De kolliderar och fortsatter sedan med lika stor men motsatt hastighet i 90◦ vinkel

till deras inkomstvinkel. Fortfarande ar den totala rorelsemangden noll. Sahar langt har vi

endast definierat rorelsemangden som en monoton funktion20 av hastigheten. Om vi ocksa

antar att energin ar en monoton funktion av endast hastighetens storlek for dessa identiska

partiklar och att energin bevaras, foljer att alla hastigheter ar lika stora ur observator C:s

position. Darfor de lite speciella hastigheterna, trots att kollisionen ar generell for de identiska

paritklarna i figur 1.14. Det ar ju bara en konsekvens av att vi antagit energins bevarande

och rorelsemangdens bevarande (och att alla varden pa ux och uy ar mojliga), for det foljande

resonemanget.

Vi granskar situationen ur observator D:s synvinkel. D flyger over C:s experiment med has-

tigheten (ux, 0) och ser experimentet som pa hoger sida i figur 1.14, observera de olika be-

teckningarna for hastighetskomponenterna i vardera system. Vi vill uttrycka hastigheterna

observator D ser i sitt koordinatsystem m.h.a. hastigheterna i C:s koordinatsystem. Detta

kan vi gora direkt enligt hastighetsadditionen (1.55), men vi skriver formlerna ocksa har for

tydlighetens skull

v′x =vx − V

1− (vxV/c2)

v′y =vy

γ[1− (vxV/c2)]med γ =

1√1− V 2/c2

.

v′z =vz

γ[1− (vxV/c2)]

(1.62)

Vi identifierar direkt hastigheterna i ekvationerna (1.62) som V = ux, de primmade hastig-

heterna som de som D ser och de oprimmade som de som C ser. Detta leder till att ur D:s

ogon motsvarar hastigheten for den inkommande partikeln 1

(0, v)D =( ux − ux

1− u2x/c

2,

uyγ[1− u2

x/c2]

)D

= (0, γuy)D. (1.63)

Emedan hastigheten for den utgaende partikeln 2 ar

(−wx, wy)D =( −2ux

1 + u2x/c

2,

uyγ[1 + u2

x/c2]

)D, (1.64)

dar γ = 1√1−u2

x/c2. Nu anvander vi oss av rorelsemangdens bevarande. Vi antar att

rorelsemangden for en partikel kan skrivas som

p = f(u)mu,

20En monoton funktion ar en funktion vars forsta derivata aldrig byter tecken. Dess derivata behover intevara kontinuerlig.


dar u ar partikelns hastighet, m dess massa och f(u) en funktion av enbart u for vilken

galler f(u) = f(−u). For partikel 2 anvander vi den gamla goda Pythagoras sats och far

w2 = w2x + w2

y. Om rorelsemanden ar bevarad i y-led for experimentet som observator D ser,

maste foljande uttryck for rorelsemangden i y-led galla.

mvf(v)−mwyf(w) = −mvf(−v) +mwyf(w)

vf(v)− wyf(w) = −vf(v) + wyf(w)

wyf(w) = vf(v). (1.65)

Det ar klart ur figuren 1.14 att rorelsemangden i x-led ar bevarad. Vi anvander oss nu av

ekvationerna (1.63) och (1.64) och skriver om ekvation (1.65) som,

uyγ[1 + u2

x/c2]f(w) = γuyf(γuy),

eller annu vackrare,

f(w) =1 + u2

x/c2

1− u2x/c

2f(γuy). (1.66)

Eftersom uy:na har forsvunnit gar det att ta gransvardet uy → 0 i ekvation (1.66), medan vi

haller ux andligt. Vi gor samma sak ocksa i ekvation (1.64), vilket ger,

γuy → 0, |w| → 2ux1 + u2

x/c2,

dar |w| ar w:s storlek utan att ta stallning till dess riktning. Ur det hogra uttrycket for w kan

vi nu losa ut ux som,

ux =c−√c2 − w2

w/c.

Fran detta far vi slutligen det vi sokte, u2x.

u2x =

2c(c−√c2 − w2)− w2

w2/c2. (1.67)

Da vi substituerar ekvation (1.67) in i vart uttryck (1.66) och kommer ihag att γuy → 0 far

vi slutligen,

f(w) =1√

1− w2/c2f(0). (1.68)

Eftersom vi inforde den monotona funktionen f(u) utan att krava att den antar nagot speciellt

varde, kan vi fritt valja dess vade i punkten u = 0. Vi valjer f(0) = 1 for enkelhetens skull.

Detta val tillsammans med ekvation (1.68) leder till en ny definition pa rorelsemangd

p = γmv, med γ =1√

1− v2/c2. (1.69)

I figur 1.15 ser vi en jamforelse mellan den Newtonska klassiska rorelsemangden och den

relativistiska. En tydlig skillnad borjar uppkomma vid hastigheter av v = 0.7c.


<

>

-

-

-

-

-

-

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

0- -- ---

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00

-

v/c

prel p

klass/

Figur 1.15: En jamforelse av den Newtonska rorelsemangden pklass = mv och den relativistiskaprel = γmv. Figuren ar rent kvalitativ.

Ytterligare en komplikation maste namnas. Vi kunde ha harlett denna ekvation genom att

anta att massan ar en monoton funktion av hastigheten. D.v.s. p = m(u)u skulle ha varit

vart utgangslage. Detta skulle inte andra pa var harledning, men vi skulle i slutandan av den

ha m(w) som beror av m(0). Detta m(0) skulle masta tolkas som partikelns vilomassa. D.v.s.

man skulle se situationen sa, att partikeln okar pa sin massa da dess hastighet okar. Detta

kan vara en tolkning av den relativistiska rorelsemangden, men eftersom Lorentztransforma-

tionerna (och darmed hastighetsadditionsformlerna som vi anvande i var harledning) endast

ar beroende av rum-tiden, kanns denna tolkning som lite konstgjord. Darfor valjer vi att tala

om massan som i foregaende tolkning kallas for vilomassa.

Den relativistiska energin

Vi kan fortsatta pa vart resonemang genom att definiera den relativistiska kraften som

~F ≡ d~p

dt=d(γm~v)

dt, (1.70)

vilket i sig inte infor nagon ny definition. Definitionen pa kraft andras p.g.a. att definitionen pa

rorelsemangden andrats i den relativistiska bilden, men annars ar kraften fortfarande ~F ≡ d~pdt

som den definieras i den Newtonska bilden (trots att Newton sjalv inte definierade den sa).

For att tala om energi, maste vi ytterligare valja en definition for arbete. Anvandande var

”nya” definition for kraft, ekvation (1.70), finns det inte sa manga satt att definiera arbete.

Vi hittar inte pa nagon ny definition som i fallet for den relativistiska rorelsemangden21, utan

anvander den klassiska

WP→Q =

∫ Q

P

~F ·d~s. (1.71)

Detta ar det arbete som utfors av en partikel som forflyttar sig fran punkten P till punkten

Q under inverkan av kraften ~F . Nu kan vi direkt fa ett uttryck for det relativistiska arbetet

21Egentligen har vi definierat arbete pa nytt eftersom vi anvander en ny definition pa rorelsemangd ochdarfor pa kraften, men detta kan betraktas som en bagatell.


att ta sig fran punkten P till punkten Q.

WP→Q =

∫ Q

P

~F ·d~s =

∫ Q

P

{d

dt

[ m~v√1− v2/c2

]}· d~s =

∫ Q

P

{d

dt

[ m~v√1− v2/c2

]}· ~vdt

=

∫ Q

P

{d[ m~v√

1− v2/c2

]}· ~v = ~v ·

[ m~v√1− v2/c2

]∣∣∣∣∣Q

P

−∫ Q

P

d~v · m~v√1− v2/c2

=mv2√

1− v2/c2

∣∣∣∣∣Q

P

+mc2√

1− v2/c2|QP =mc2√

1− v2/c2

∣∣∣∣∣Q

P

= γmc2

∣∣∣∣∣Q

P

. (1.72)

Pa detta satt har vi ”harlett” den beromda ekvationen E = mc2 (γ = 1, for en stillastaende

partikel), varldens mest beromda ekvation som den kallas. Om vi dessutom satter in hastig-

heterna, mark val att ekvation (1.72) endast beror av hastigheten, vQ = v och vP = 0 far vi

den kinetiska energin som,

K(v) = γmc2∣∣∣vQ=v

vP =0=

mc2√1− v2/c2

−mc2 = mc2(γ − 1). (1.73)

Formlerna (1.73) och (1.72) ar avsevart olika de klassiska definitionerna for energi. Speciellt

ekvation (1.72) ar mycket annorlunda. Den sager att massa ar en form av energi, nagot som

ingen fore Einstein tagit stallning till. I den klassiska mekaniken ar massan nagot som ofta

kopplas till energin for en kropp, men inte en form av energi. Man brukar brukar kalla massan,

sa som den ar definierad i Newtons II:a lag, for trog massa.

Nar Einstein presenterade sitt resultat for massans och energins ekvivalens ar 1905, var det

ingen som tog nagon storre notis om det, men med tiden blev det kant och man kan pasta

att det mer eller mindre bekraftats forsta gangerna i samband med karnreaktioner. Da massa

forsvinner och energi uppstar i sonderfall av partiklar, kan man direkt observera energin mc2

som den forsvunna massan haft, som bl.a. kinetisk energi hos sluttillstandspartiklarna.

Det forsta experimentella testet for Einsteins beromda formel, E = mc2, gjordes 1932 av

Cockcroft och Walton som anvande den nukleara reaktionen 1H1 +3 Li7 → 2α. D.v.s. de

krockade protoner med Litium. Da man beraknar forandringen i energi, energin till vanster i

reaktionslikheten minus energin till hoger, far man

∆E = c2∆m0 = c2(mLi +mH − 2mα) = 17.25MeV.

Denna energi borde vara densamma som skillnaden i kinetisk energi for alfapartiklarna och

den krockande protonen. Pa detta satt konstaterade man att den frigjorda kinetiska energin

var 16.95 MeV i just Cockcrofts och Waltons experiment. Senare (1939) upprepades detta

experiment noggrannare och man fick da vardet 17.28±0.03 MeV som resultat for forandringen

i kinetisk energi, vilket passar bra in pa det relativistiskt forvantade ∆E = 17.25 MeV.


Pa sa vis har vi konstaterat att Einsteins formel ocksa har experimentellt stod. Dessutom

finns det mangder av annat experimentellt stod som vi kan konstatera i form av alla byggda

partikelacceleratorer, karnreaktorer, sprangda atombomber, e.t.c.

Exempel 1.5

For att fa en bild av hur lite massa som behovs for att ge en stor mangd energi kan vi se pa

foljande exempel. Vi har en bilackumulator pa 12 V med typspecifikationen att den kommer

att avge en strom pa 81 A under 20 min fran fullt laddad till tom. En hur stor forandring i

massa motsvarar detta da ackumulatorn urladdats totalt. Energin i ackumulatorn blir

Eacku = 81C/s× 60s/min× 20min× 12V = 1, 16× 106J.

Alltsa motsvarar detta massan

m =Eackuc2

= 1, 3× 10−11kg.

Detta ar en sa liten massa att den inte gar att observera experimentellt. Denna massa kunde

ocksa tankas motsvara den energi som mikroskopiskt frigors da varje elektron binds till de

positiva jonerna under elektrolysen i ackumulatorn, precis pa samma satt som man vid en

fusionsprocess av ex. deuterium far helium och forlusten i massa avges som andra former

av energi, t.ex. som varme. Da skulle man kunna tolka denna process som att ackumulatorn

forlorar den mangd massa den skapar som energi da den ar igang. Detta ar dock en ny tolkning

av energiskapelsen i en ackumulator och i.o.m. att den inte kan testas experimentellt p.g.a.

av den minimala massforlusten skall man ta denna tolkning med en nypa salt.

For att avsluta detta avsnitt harleder vi snabbt en mycket viktig formel. Vi gor detta genom

att rora om lite i uttrycket E2 − p2c2 enligt foljande

E2 − p2c2 = γ2m2c4 − γ2m2c2v2 = γ2m2c4(1− v2/c2) = m2c4 ⇔

E2 = p2c2 +m2c4. (1.74)

Ekvation (1.74) kommer vi att anvanda en del da vi diskuterar partikelkollisioner. Denna

ekvation ar en av de fa som det lonar sig att komma ihag utantill under ens korta liv som

fysiker.

Uppgift 1.13

Den ryska fysikern P.A. Cerenkov upptackte att da en partikel ror sig snabbare an ljuset

i ett medium, ger den ifran sig ljus. Denna effekt ar analog med den da ett overljudsplan

overskridit ljudets hastighet. Vad ar den minimala kinetiska energin en partikel maste ha for

att producera denna effekt i glas (n = 1.62), da n = cv?

Uppgift 1.14

Fission av 239Pu med termiska (langsamma) neutroner ger bl.a


104Mo + 133Te + 3n och 94Sr + 143Ba + 3n

Berakna energin (i elektron volt) som frigors i de bada reaktionerna. Nuklidernas massor ar

mSr = 93, 91523u, mMo = 103, 91358u, mTe = 132, 91097u och mBa = 142, 92055u.

Uppgift 1.15

Berakna den frigjorda energin i varje steg av deuteron-fusionsprocessen

3d → α + n + p,

vilken bestar av processerna

d +3 H → 4He + n

d + d → 3He + n

d + d → 4H + H

d +3 He → 4He + H.

Uppgift 1.16

En hypotetisk vatebomb med explosionsstyrkan 50 megaton TNT (trotyl) utnyttjar reaktio-

nen

d + d → 3He + n.

Den konventionella atombomben som fungerar som tandladdning har sprangstyrkan 2 mega-

ton, vilket ingar i de 50 megaton som angets tidigare. Ett ton TNT producerar 2, 6 × 1022

MeV energi.

a.) Berakna den energimangd som varje fusionsreaktion ger.

b.) Hur mycket vate (i kg) innehaller bomben?

1.8 Geometri och rum-tidsdiagram

Vi skall nu disskutera geometrin for den speciella relativitetsteorin samt utvidga var kunskap

om rum-tidsdiagram. Vi borjar med geometrin.

Om vi observerar en foton som beger sig ivag med hastigheten c ifran origo i nagot koor-

dinatsystem. Kan vi uttrycka detta som c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0. Da vi kommer ihag att

ljusets hastighet alltid ar densamma oberoende av koordinatsystem kan vi ocksa skriva, for

Geometri och rum-tidsdiagram 45

samma foton, men sett ur ett annat koordinatsystem som ror sig i forhallande till det forsta

c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = 0. Detta ger direkt

c2t2 − x2 − y2 − z2 = c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = 0, (1.75)

for en foton. Detta ser ut att betyda att c2t2 − x2 − y2 − z2 ar en invariant under Lorentz-

transformationerna. Detta kan vi latt kolla, men forst infor vi en ny definition i Lorentztrans-

formationerna (1.33). Den ar

β ≡ v

c. (1.76)

Med denna skriver vi om Lorentztransformationerna ur ekvation (1.33) som,

ct′ = γ(ct− βx)

x′ = γ(x− βct)

y′ = y

z′ = z.

(1.77)

Da tar vi och kollar m.h.a. dessa om c2t2 − x2 − y2 − z2 verkligen ar en invariant.

s′2 = c2t′2 − x′2 − y′2 − z′2 = γ2(ct− βx)2 − γ2(x− βct)2 − y2 − z2

= γ2(c2t2 + β2x2 − 2βctx)− γ2(x2 + β2c2t2 − 2βctx)− y2 − z2

= γ2(1− β2)c2t2 − γ2(1− β2)x2 − y2 − z2

= c2t2 − x2 − y2 − z2 = s2,

(1.78)

Wow. Det ar den. I fallet for fotoner galler c2t2−x2−y2−z2 = 0, men for partiklar med massa

ar den 6= 0. Denna invariant reflekterar rum-tidens geometri inom den speciella relativiteten.

Man brukar beteckna kvantiteten c2t2 − x2 − y2 − z2 med s2

s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2. (1.79)

Da vi ser pa tva handelser A och B, far vi for skillnaden mellan koordinaterna ∆t = tB − tAoch ∆x = xB − xA, och lika for de andra koordinaterna

∆s2 = c2∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2. (1.80)

Eftersom detta intervall ∆s2 ar klart invariant under Lorentztransformationerna kunde vi

tanka oss att det ar en underliggande egenskap av geometrin i fyra dimensioner i den spe-

ciella relativiteten. ∆s2 kan alltsa tolkas som en sorts invariant ”langd” mellan handelser

i Minkowski (sa kallas geometrin inom den speciella relativiteten) rum-tiden. Man brukar

klassificera intervallet ∆s2 enligt om det ar

∆s2 > 0

∆s2 = 0

∆s2 < 0.


I det forsta fallet kallas det tidslikt (timelike (eng.)). I nasta kallar man det ljuslikt (lightlike

(eng.)) och i det sista rumslikt (spacelike (eng.)). Detta kan vi latt forsta da vi ser pa figur

1.16.

<

<

ct

x

A

BC

D

A:s framtid

A:s förflutna

Annanstans för AAnnanstans för A

Figur 1.16: I rum-tidsdiagrammet ser vi hur A:s ljuskon gransar av A:s framtid och forflutna.B, C och D ar handelser vars ∆s2 intervall mellan dem och A forhaller sig repsektive tidslikt,ljuslikt och rumslikt till A.

De strackade linjerna som gransar av de olika omradena for A ar de linjer som motsvarar en

partikel med ljusets hastighet (se Lorentztranformationsfiguren 1.10 och satt β = 1). Uppat

fran A har vi omradet for A:s framtid. D.v.s. handelsen B befinner sig inom denna framtid

och ∆s2 > 0 mellan handelserna A och B. Detta betyder fysikaliskt att vi kan hitta ett

sadant koordinatsystem, dar handelserna A och B intraffar vid samma rymdkoordinater. Pa

samma satt kan vi ocksa saga om det rumslika intervallet (∆s2 < 0) mellan handelserna A

och D, att vi alltid kan hitta ett koordinatsystem dar dessa tva handelser intraffar vid samma

tidskoordinat. Detta illustreras i figur 1.17.

For tillfallet har vi endast introducerat de nya rum-tidsaxlarna (ct′, x′), men for att dra mera

nytta av dem borde vi pa nagot satt rita in langdskalorna langs dem. For att gora detta

anvander vi oss av invarianten s2 = c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2 = ±1. Vi valjer alltsa ett system

(som i vilket koordinat system som helst) dar avstandet mellan tva punkter ar ±1. Da vi ritar

in dem i rum-tidsdiagrammet far vi (se figur. 1.18)

Om vi satter ct = 0, far vi x = ±1 vilket i sin tur betyder att strackan OA har langden |x| = 1.

Pa samma satt gor vi sedan for x′ axeln. D.v.s. vi satter ct′ = 0 och far x′ = ±1, vilket i sin

tur betyder att strackan OC har langden av |x′| = 1. Denna metod visar ocksa att strackorna

OB och OD ar av langden 1 i det oprimmade respektive det primmade koordinatsystemet.

Man kan ocksa lagga marke till att hyperblarnas tangenter i punkterna C och D ar linjer av

konstant x′ respektive t′.


<

<

<

<ct ct’

x’

x

A

BC

D

Linje med konstant t’

Figur 1.17: I denna figur ser vi hur man genom en passlig Lorentztransformation farhandelserna i det rumslika intervallet mellan A och D att handa vid samma tidpunkt i ettnytt koordinatsystem (ct′, x′). Jfr. figur 1.16.

Nu har vi kommit till nagot fint. Vi marker att man direkt kan avlasa langdkontraktionen

och tidsdilatationen ur detta diagram. T.ex. om vi beaktar strackan OC vilken har langden

1 i det primmade koordinatsystemet marker vi, da vi foljer strackan av konstant x′, att den

skar av x-axeln pa ett kortare avstand an langden 1, vilken representeras av strackan OA i

det oprimmade koordinatsystemet. Detta ar alltsa en klar illustration av langdkontraktionen.

Pa samma satt ser vi genom att betrakta linjen av konstant t′ i figuren 1.18 att t′ = 1

avstandet skar av t-axeln pa ett kortare avtand an strackan OB, vilken representerar tiden 1

i det oprimmade koordinatsystemet. Alltsa har vi ocksa hittat ett satt att grafiskt illustrera

tidsdilatationen.

Innan vi avslutar detta avsnitt skall vi annu se lite mer pa invarianten ∆s2 och dess betydelse.

Vi kan skriva om den for infinitesimala handelser som

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2, (1.81)

dar ds ar skillnaden mellan koordinaterna (ct, x, y, z) och (c(t + dt), x + dx, y + dy, z + dz).

Man skall inte tolka notationen ds2 som differentialen av s2 utan som ds2 = (ds)2 och lika for

koordinaterna. Orsaken till denna lite daliga notation ar historisk.

Denna nya inifinitesimala invariant ar ocksa givetvis Lorentzinvariant, vilket vi ser pa dess


<

<

<

<ct ct’

x’

xA

B

C

Dlinje med konstant t’

linje

med

konst

ant

x’

O

Figur 1.18: Ett rum-tidsdiagram dar hyperblarna c2t2 − x2 = ±1 ar utritade. Vi ser huravstand skalas i koordinatsystemen (ct, x) och (ct′, x′) langs strackorna OB, OD, OA och OC.

struktur och vidare kan vi ocksa adoptera samma klassificering av intervall som for ∆s2. Alltsa

ds2 > 0, tidslikt

ds2 = 0, ljuslikt

ds2 < 0, rumslikt.

Eftersom den relativistiska mekaniken forbjuder en massiv partikel att ha en hogre hastighet

an ljusets, leder detta till att dess bana i rum-tiden alltid ligger innanfor ljuskonen (se figur

1.19). Denna bana kallas for partikelns varldslinje (worldline (eng.)). Detta innebar ocksa att

alla infinitesimalt separerade handelser pa partikelns bana skiljs at av tidslika intervall. For

en foton eller en masslos partikel ligger dess varldslinje alltid i 45◦ vinkel till x-axeln sa att

alla intervall pa dess varldslinje ar separerade ljuslikt.

Man kan beskriva en partikels bana i rum-tiden genom att ge varje koordinat som en funktion

av nagon parameter. Ex. t((λ), x(λ), y(λ), z(λ)) dar λ ar nagon parameter. Man brukar valja

denna parameter som nagot som kallas for egentiden (proper time (eng.)). Den definieras som

c2dτ 2 = ds2, (1.82)


<

<

ct

x

Figur 1.19: Vi ser varldslinjerna for en massiv partikel till vanster och for en foton till hoger.Den massiva partikeln ror sig hela tiden sa att de infinitesimalt separerade intervallen artidslika och innanfor ljuskonen medan fotonens varje intervall ar ljuslikt och varldslinjenligger ovanpa ljuskonen.

vilket direkt ger att c2dτ 2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2. Om vi dividerar med dt2 far vi

c2dτ2

dt2= c2 − dx2 + dy2 + dz2

dt2.

Men dx2 + dy2 + dz2 = dr2, dar r ar den radiella positions koordinaten i sfariska koordinater.

Eftersom drdt

= v, som ar partikelns hastighet erhaller vi slutligen

c2dτ 2 = (c2 − v2)dt2, (1.83)

vilket snabbt omskrivs till

dτ =

√1− v2

c2dt. (1.84)

Detta betyder narmare bestamt att om vi integrerar fran punkten A pa partikelns varldslinje

till punkten B far vi

∆τ =

∫ B

A

dτ =

∫ B

A

[1− v(t)2

c2

]1/2

dt. (1.85)

Vi ser alltsa att om partikeln ifraga ar i vila, sa ar egentiden endast tiden som klockor i vila

mater i det oprimmade koordinatsystemet. Om vi introducerar ett momentant koordinatsy-

stem som ror sig med partikeln, blir egentiden latt att tolka som den tiden partikeln uppmater

i sitt vilokoorinatsystem. Egentiden ar ocksa en invariant, vilket man ser fran dess definition.

Det finaste ar att nu har vi bbevisat formel (1.11) som tills nu endast varit en gissning.

Uppgift 1.17

Helan ar lat och ligger i sin hangmatta och vilar. Halvan sticker ivag pa en rymdfard med

hastigheten v = 56c. Efter 12 ar i Helans koordinatsystem, kommer Halvan ihag att han glomt


satta pa tevattnet pa jorden och svanger om. Han aker tillbaka med hastigheten v = −56c.

Helan sander en ljussignal at Halvan 2 ar efter hans avfard. Da Halvan mottar denna signal,

sander han tillbaka en ljussignal som tecken pa att han tagit emot Helans meddelande. Nar

tar Halvan (enligt sin klocka) emot Helans signal och nar tar Helan (enligt sin klocka) i sin

tur emot Halvans svar? Svara pa fragorna genom att rita ett rum-tidsdiagram for Helans och

Halvans varldslinjer och avlas fran det de ungefarliga tidpunkterna. Det gar givetvis inte att

gora uppgiften lika exakt med rum-tidsdiagram som rent matematiskt, men en vacker och

noggrann ritning ar allt som kravs for ungefarliga svar.

Uppgift 1.18

En fysiker gor foljande experiment. Han befinner sig i punkten (ct, x) = (−200 cm, 0 cm)

varifran han skickar ivag tva partikelstralar, bada med hastigheterna v = 0, 5c. Den ena far

at den positiva x-axelns hall och den andra aker ivag at den negativa x-axelns hall. Bada

partikelstralarna kommer till (olika) partikeldetektorer samtidigt som efter en tid ct = 50 cm

skickar tillbaka partikelstralar med hastigheten v = 0, 75c, vilka nar fysikern samtidigt i hans

koordinatsystem i punkten x = 0 cm.

a.) Rita ett rum-tidsdiagram sett ur fysikerns synvinkel som visar att partikelstralarna verk-

ligen nar detektorer och fysikern samtidigt sett i fysikerns koordinatsystem.

b.) En annan fysker som har brottom till lunchen susar forbi experimentet med hastigheten

v = 0, 75c. Rita ut axlarna ct′ och x′ for henne i ditt rum-tids diagram och avlas punkter-

na nar partiklarna nar detektorerna och skickas ivag fran dem. M.h.a. dessa kan du rita ett

ratvinkligt rum-tids diagram for hela experimentet for ct′- och x′-axlarna och avlasa darifran

om fysikern pa vag till lunch kommer att se partiklarna na detektorerna samtidigt. Ifall hon

inte observerar dessa handelser samtidigt som fysikern som gor experimentet, hur lange gar

det mellan dessa handelser i hennes koordinatsystem?

c.) Berakna intervallen ∆s2 = c2∆t2 −∆x2 mellan handelserna da detektorerna skickar ivag

sina signaler bade i experimentatorns och lunchfysikerns koordinatsystem genom att avlasa

dem fran diagrammet du ritat. Ar de lika stora?

TIPS: Rita en stor figur for att ha tillrackligt med plats for allt!

1.9 Fyrvektorer

En fyrvektor ar en vektor med fyra komponenter som ar definierade for en speciell sorts

skalarprodukt och transformeras pa ett visst satt under Lorentztransformationerna. Vi skall

i det foljande ga in pa dem introduktionsvis och motivera anvandningen av dem,

I invarianten s2 har vi anvant oss av nagot man kunde likna vid en skalarprodukt av en vektors

Fyrvektorer 51

komponenter med sig sjalv. Vektorn skulle i detta fall besta av komponenterna (ct, x, y, z)22

vilket anger en ”plats” i fyra dimensioner. Skalarprodukten skulle sta for tecknena mellan

vektorns ”kvadrerade” komponenter.

For att forsta definitionen pa kvantiteten s2 kan vi ta oss en titt pa den vanliga

skalarprodukten i tre dimensioner. Den ar definierad sa, att skalarprodukten for en vektor

~m = (x, y, z) med sig sjalv ar

~m · ~m = m2 = x2 + y2 + z2.

Detta liknar ju mycket var definition for s2 och sanningen ar att vi i s2 faktiskt anvander oss

av definitionen for skalarprodukt i fyra dimensioner i Minkowski rymd. Den ar

s · s = s2 = xµxµ = gµνxµxν = x20 − x2

1 − x22 − x2

3, (1.86)

dar x:na ar s vektorns komponenter. Mark ocksa att man inte anvander vektortecken for

fyrvektorer. Lat oss se lite narmare pa de olika beteckningarna.

xµxµ ar ett annat satt att skriva skalarprodukten. I denna beteckning har vi anvant Einsteins

summeringsregel som sager att man summerar over upprepade index. Summeringen gar fran

0→ 3 eftersom vi ar i fyra dimensioner.

I nasta steg har vi betckningen gµνxµxν , dar gµν ar den nya grejen. I detta fall skall vi ocksa

summera, men denna gang over alla kombinationer dar µ = 0, 1, 2, 3 och ν = 0, 1, 2, 3. gµν

kallas for metriken och i detta fall ar den 1 da µ = ν = 0 och -1 da µ = ν 6= 0. Om µ 6= ν

ar gµν = 0. Det ar denna konvention partikelfysiker anvander, men man kan ocksa definiera

metriken som gµν ar -1 da µ = ν = 0, 1 da µ = ν 6= 0 och 0 annars. Det ar en konvention

som fysiker som sysslar med den allmanna relativitetsteorin anvander. For denna kurs ar vi

partikelfysiker och struntar i relativisternas beteckningar, men det kan vara bra att kanna till

infor framtida problem. I var situation kan vi ocksa skriva gµν som en matris, namligen

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (1.87)

Da maste vi ocksa se s vektorerna som kolumnvektorer och placera dem passligt pa bada

sidorna sa att vi verkligen far en skalar,

s2 = sµsνgµν = sT (gµν)s =

[ct x y z

]1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

ctxyz

, (1.88)

dar sT betecknar att kolumnvektorn s har transponerats (kolumner och rader utbytta sinse-

mellan) till sT . (gµν) betyder i dennaz notation att det ar fraga om en matris darfor att gµν

22Detta ar ett exempel pa en fyrvektor.


inte egentligen ar en matris i sig utan en tensor, men kan forstas som en matris i detta fall. I

Einsteins allmanna relativitetsteori spelar gµν en central roll. Den definierar massans paverkan

pa geometrin, men det skall vi se mera pa i nasta kapitel.

Trots att vi inte tanker anvanda oss av gµν i definitionen for skalarprodukt, kommer vi att se

lite narmare pa nyttan med matriser. T.ex. kan vi uttrycka Lorentztransformationerna m.h.a.

av matriser som ct′

x′

y′

z′

=

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

ctxyz

, (1.89)

och i matrisnotation kan vi skriva ekvation (1.89) mycket kompakt som

s′ = Ls, (1.90)

dar matrisen L ar definierad som

L =

γ −γβ 0 0−γβ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (1.91)

Matrisen L ar en Lorentztransformationsmatris och ett element i nagot man kallar en grupp23.

Man hor ofta fysiker tala om att nagot ar invariant under Lorentztransformationerna och da

ar det just denna grupp som dessa matriser bildar, som man avser.

Nyttan med fyrvektorer

Nu har vi bara anvant oss av en typ av fyrvektor, s = (ct, x, y, z). Trots att s ar en fin

fyrvektor introducerar vi en generalisering for att kunna dra mera nytta av begreppet fyr-

vektorer. En fyrvektor ar fyrdimensionell och anvander den fyrdimensionella definitionen for

skalarprodukt. Men det speciella ar att de ar konstrurerade sa att de transformeras som s

under Lorentztransformationerna. Kom ihag att fyrvektorer inte betecknas med vektortecken.

Iden bakom fyrvektorer bestar av anvandaningen av invarianten s2 som ar densamma obe-

roende av koordinatsystem. Om vi hittar en tillrackligt informativ fyrvektor kan vi kanske

borja relatera handelser i ett koordinatsystem till ett annat pa ett enklare och mera givande

satt. For detta behov konstruerar vi rorelsemangds-energi fyrvektorn. Dess komponenter ar

p = (E

c, px, py, pz). (1.92)

23En grupp ar en samling element, exempelvis matriser, som satisfierar vissa algebraiska krav. Den som arintresserad kan ga kursen FYMM3 eller bara lasa en bit i H.F.Jones Groups, Representations and Physics,IOP Publishing Ltd 1998.

Fyrvektorer 53

Denna transformerar precis enligt Lorentztransformationerna, d.v.s. p′ = Lp sa, att

p′x = γ(px −V E

c2)

p′y = py

p′z = pzE ′

c= γ(

E

c− V px

c).

(1.93)

Detta betyder givetvis att dess skalarprodukt med sig sjalv ar invariant. Alltsa narmare

bestamt,

p · p = p2 = p′2 = p′ · p′, (1.94)

dar p och p′ ar fyrvektorer i olika koordinatsystem. Vi tar och illustrerar nyttan med detta

genom nagra exempel.

Exempel 1.6

Vi har en for tillfallet hypotetisk partikelreaktion, p+p→ p+p+p+p, dar protoner kolliderar

med protoner i ett stationart mal. Vi vill veta den minsta kinetiska energin vi behover ge

protonerna for att reaktionen overhuvudtaget skall kunna ske och en antiproton p + proton

(p) skall kunna bildas. Reaktionen kan ju inte ske om det inte finns tillrackligt med kinetisk

energi for att skapa de slutliga partiklarnas vilolagesenergi. Da dessa partiklar, 3 protoner och

1 antiproton, skapas med minimienergin, skapas de i vila. D.v.s. energin racker endast till for

att de skall sta stilla i forhallande till varandra. Alltsa valjer vi den ena fyrvektorn att vara

p′ = (4Mc, 0, 0, 0), (1.95)

dar M ar protonens massa.

I labbets koordinatsystem, dar vi ar och mater den kinetiska energin, finns tva protoner. En

som ror sig och en som star stilla. Vi betecknar den kolliderande protonens energi med E och

far fyrvektorn i labbets koordinatsystem som,

p = (E +Mc2

c, p0, 0, 0), (1.96)

dar p0 ar protonens rorelsemangd och M , den stillastaende protonens massa.

Nu anvander vi oss av vart fina invarianssamband (1.94) for att relatera fyrvektorerna (1.95)

och (1.96).(E +Mc2)2

c2− p2

0 = 16M2c2. (1.97)

For att komma vidare anvander vi den fina formeln (1.74). Den ger oss ett samband mellan

rorelsemangd och energi, i vart fall med den kolliderande protonen, ar den

E2 = p20c

2 +M2c4.


Vi instatter detta pa E2:s plats i ekvation (1.97) och far efter lite algebra

2EM + 2M2c2 = 16M2c2,

vilket ger E = 7Mc2. Men vi maste komma ihag att E ar protonens totala energi och inte

endast den kinetiska, sa vi subtraherar Mc2 for att fa den minsta kinetiska energi som denna

process kraver for att kunna fortga, som K = 6Mc2. Detta betyder att for en kinetisk energi

under denna, kan vi inte observera reaktionen i fraga och inga antiprotoner kan produceras i

detta experiment.

Exempel 1.7

Comptonstralning

Comptonstralningen ar ett fenomen som starkt paverkat konstruktionen och formuleringen av

kvantmekaniken under dess ungdomsar. Fenomenet bestar i att fotoner krockar med elektroner

och ”studsar” tillbaka precis som om ljuset vore en partikel. Om man antar att ljuset bestar

av fotoner och anvander sig av fyrvektorer kan man harleda ett uttryck for vaglangdens

forandring hos fotonerna som funktion av vinkeln de traffar elektronerna i. Vi gor detta m.h.a.

rorelsemangdens och energins bevarande samt skalarproduktens invarians for fyrvektorer.

Vi sager att den inkommande fotonen har fyrimpulsen k (fyrvektorn for energi och

rorelsemangd) och komponenterna k = (Ek

c, ~k). Efter kollisionen har fotonen komponenterna

k′ = (Ek′c, ~k′). Vi valjer att elektronen star stilla da fotonen krockar och den har saledes fy-

rimpulsen p = (mec,~0) fore kollisionen och fyrimpulsen p′ = (Ep′

c, ~p′) efter kollisionen. Se figur

1.20 for illustration. Eftersom rorelsemangden och energin bevaras, kommer energi-implus

fyrvektorn att bevaras, vilket ger oss att

θ

k

k’

p’

Figur 1.20: Vi ser hur den inkommande fotonen k krockar med en elektron i vila och somresultat avlankas den en vinkel θ fran sin inkommande bana och elektronen far at motsatthall, sa att rorelsemangden bevaras.

p+ k = p′ + k′ ⇐⇒ p′2 = (k − k′ + p)2 = k2 + k′2 + p2 − 2k · k′ + 2k · p− 2k′ · p. (1.98)

Genom anvandning av formel (1.74) far vi p2 = p′2 = m2ec

2 och k2 = k′2 = 0 eftersom fotonen

ar masslos. Dessutom ar skalarprodukten k · k′ = EkEk′c2

(1− cos θ) och skalarprodukten mellan

Fyrvektorer 55

k och p samt k′ och p far vi fran komponenterna som k · p = Ek

ccme och k′ · p =

E′k

ccme.

Substitution in i ekvation (1.98) ger

0 = −E′kEkc2

(1− cos θ) +me(Ek − Ek′). (1.99)

Eftersom E = hν = hcλ

for en foton, kan vi skriva om detta for vaglangder som

λ′ − λ = ∆λ =h

mec(1− cos θ). (1.100)

Ekvation (1.100) ar vart slutliga uttryck. Det visar hur vaglangden forandras som funktion

av den inkommande fotonens vinkel. Detta ar ett fullt observerbart fenomen for kortvagigt

ljus som t.ex. gammastralning.

Exempel 1.8

Ljusets aberration

Vi kan ocksa dra nytta av fyrvektorer utan att anvanda deras skalarprodukts invarians, trots

att detta nog ar deras mest anvandbara egenskap. For att illustrera (se figur 1.21) detta

tanker vi oss en inkommande foton som bildar vinkeln α med x-axeln i ett koordinatsystem

vi kallar for S. Da kommer riktingen for denna foton att vara ~r = − cosα~ex− sinα~ey och dess

fyrimpuls kommer att vara<

<

x

y

α

<

en ink

omm

ande

fot

on

Figur 1.21: Vi ser hur den inkommande fotonen gor en vinkel α med x-axeln. Observera attdetta inte ar ett rum-tidsdiagram, da vi har y- och x-axel istallet for ct- och x-axel.

p =E

c~et + ~n|~p|

=hν

c~et −

hν

ccosα~ex −

hν

csinα~ey

= p0~et + p1 ~ex + p2 ~ey. (1.101)


Om vi ser pa ekvationen (1.101) i ett nytt koordinatsystem S’ som ror sig med hastigheten

V langs med x-axeln i koordinatsystemet S, vet vi att vi maste Lorentztransformera kom-

ponenterna for fyrimpulsvektorn. Detta gor vi enligt ekvationerna (1.93), vilkas bevis far bli

en hemuppgift. Dessa transformationer ger oss tillsammans med komponenterna i ekvation

(1.101)

E ′

c=

hν ′

c= γ(

E

c− V

cp1) = hγ(

ν

c+V ν

c2cosα)

p′1 =−hν ′

ccosα′ = γ(p1 −

V E

c2) = hγ(−ν

ccosα− V ν

c2)

p′2 =−hν ′

csinα′ = p2 = −−hν

csinα.

Detta ger oss ekvationerna

ν ′ = νγ(1 +V

ccosα))

ν ′ cosα′ = νγ(V

c+ cosα)

ν ′ sinα′ = ν sinα.

Fran den forsta av dessa ekvationer ser vi att vi far Dopplereffekten. For att fa formlerna vi

hade tidigare ar det bara att satta α = 0 for blaforskjutning och α = π for rodforskjutning.

Om vi dividerar de tva senare ekvationerna med varandra far vi

tanα′ =sinα

γ(cosα + Vc). (1.102)

Ekvation (1.102) uttrycker ljusets aberration. D.v.s. hur vinkeln stralningen kommer in med

beror av observatorens rorelse. I denna harledning har vi inte anvant oss av fyrimpulsens

skalarprodukts invarians, utan endast av rorelsemangdens och energins bevarande, vilket man

kan uttrycka som fyrimpulsens bevarande. Trots att man bra kunde strunta i fyrvektorerna i

detta fall, sa tycker jag att de ger ett enkelt och klart (mera straight forward) satt att rakna

i den speciella relativitetsteorin.

Uppgift 1.19

Hur stor kinetisk energi maste en elektron ha, da den krockar med en stillastaende elektron

jamfort med situationen da tva elektroner i rorelse krockar i deras masscentrums koordinatsy-

stem? Denna betraktelse ar mycket viktig att beakta da man designar en accelerator som skall

komma upp till de hogsta mojliga energierna. Om energin i masscentrums koordinatsystemet

ar 2 TeV som i Fermilabs Tevatron, hur hog skall den kinetiska energin for en elektron vara

da den krockar med en stillastaende elektron for att kunna na upp till samma energi? Tips:

Skriv en fyrvektor for bada situationerna och relatera dem genom invariansen pa fyrvektorns

kvadrat.

Uppgift 1.20

Fyrvektorer 57

Vi pastod efter ekvation 1.92 att energi-rorelsemangds fyrvektorn ar invariant under Lorentz-

transformationerna. I denna uppgift skall vi visa hur denna fyrvektor transformeras under

Lorentztransformationerna. Vi har fyrvektorn p′ med komponenterna

p′x =m0v

′x√

1− v′2/c2p′y =

m0v′y√

1− v′2/c2

p′z =m0v

′z√

1− v′2/c2

E ′

c=

m0c√1− v′2/c2

som vi kan relatera till fyrvektorn p:s komponenter genom hastighetsadditionsformeln 1.62.

Efter det bevisar vi att

γv′ = γvγV (1− vxV

c2) (1.103)

dar

γv =1√

1− v2/c2, γV =

1√1− V 2/c2

och γv′ =1√

1− v′2/c2

Genom anvandning av ekvationerna 1.62. Detta kan vi sedan anvanda for att skriva

p′x, p′y, p′z, E

′ m.h.a. px, py, pz, E. Slutligen far vi

p′x = γ(px −V E

c2)

p′y = py

p′z = pzE ′

c= γ(

E

c− V px

c)

(1.104)

Vilket ar vart slutliga svar som helt tydligt ar Lorentzinvariant. Uppgiften blir alltsa att fylla

i ”halen” i beviskedjan. Skriva om p’ med hastighetsadditionsformlerna och sedan bevisa

ekvation 1.103 for att slutligen na Lorentztransformationerna for energi och rorelsemangd i

ekvation 1.104.

Uppgift 1.21

Da en strale av α-partiklar traffar ett 9Be-mal, ses en resonans (ett kortlivat tillstand som

sonderfaller eller avger sin energi mycket snabbt) da den kinetiska energin for α-partikeln ar

1,732 MeV. Berakna energin for motsvarande excitatonstillstand i compoundkarnan. D.v.s.

berakna energin for det exciterade tillstandet da α-partiklen och 9Be-malet slagit ihop sig till

en 13C karna. Uppgiften skall goras icke relativistiskt men fortfarande beaktande att massa

ar energi enligt E = mc2.

Uppgift 1.22

En foljduppgift till foregaende uppgift. Uppgiften ar densamma, men nu skall den goras totalt

relativistiskt, beaktande allt. I nagot skede kommer denna betraktelse att leda till en ekva-

tion som inte gar analytiskt att losa, men den kan latt losas pa en miniraknare exempelvis.

Uttryckena i denna relativistiska betraktelse kan bli mycket langa sa hall gott mod.


Uppgift 1.23

Berakna den minimienergi som fotonerna maste ha for att processen

γ + p → π0 + p

skall vara mojlig.

Uppgift 1.24

π−-mesoner traffar ett protonmal. Berakna troskelenergierna (den minsta energin for vilken

processen ar mojlig) for reaktionerna

a.) π− + p → π+ + π− + n

b.) π− + p → K+ + Σ−.

1.10 Bocker om speciell relativitet

Det finns mangder av bocker om den speciella relativitetsteorin och jag kan har endast pre-

sentera en brakdel. Som tur ar den speciella relativitetetsteorin ett ganska smalt omrade och

de flesta bocker innehaller samma saker. Dessa bocker fungerar mest som bredvidlasning till

detta material, men de kan vara bra att kanna till. Det finns sa manga satt att forklara.

[1] John J. Brehm & William J. Mullin, Introduction To The Structure Of Matter,

John Wiley & Sons, Inc., 1989.

Kursboken for materiens struktur innehaller ett kapitel om speciell relativitet, det

forsta. Boken innehaller nastan allt som finns i detta material och fungerar bra som

bredvidlasning. Personligen tycker jag att materialet blir lite raddigt, trots en ok

upplaggning, men det kan anda vara nyttigt att ta sig en titt pa vad boken har att

erbjuda.

[2] Michael Mansfield & Colm O’Sullivan, Understanding Physics,

John Wiley & Sons Ltd in association with Praxis Publishing Ltd, 1998.

Boken innehaller ett kapittel om speciell relativitet (det 9:de) och torde vara bekant for

dem som gatt de svensksprakiga approbaturkurserna i fysik. Boken innehaller ungefar

samma saker som detta material forutom de tva sista avsnitten i detta material, vars

motsvarighet inte finns i Understanding Physics. Som bredvidlasning ar boken utmarkt.

[3] Claude Kacser, Introduction to the special theory of relativity,

Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New jersey, 1967.

Bocker om speciell relativitet 59

Denna bok ar mycket bra och innehaller nastan allt som kursmaterialet gar igenom. Den

fungerar utmarkt som sekundar lasning och som en andra kalla trots vissa alderdomliga

tankegangar. Ta garna en titt.

[4] V.A. Ugarov, Special theory of relativity,

Mir publishers, english translation, 1979.

Detta ar ocksa en mycket bra bok och innehaller mer an detta kursmaterial om speciell

relativitet. Den fungerar utmarkt som sekundar lasning och som en andra kalla. Speciellt

de langa texterna far en att kanna sig som fysiker i motsats till matematiker, vilket de

flesta bocker alltfor sallan betonar. Den kompakta layouten i boken ar tyvarr lite jobbig

och ar bokens enda minus.


Kapitel 2

Generell relativitetsteori

2.1 Introduktion

Den generella relativitetsteorin ar en teori som vuxit fram till nastan 100% tackvare A. Eins-

tein. Man kan och brukar tanka pa den som en sorts generalisering till den speciella relativi-

tetsteorin, eftersom den innehaller den. Man kunde argumentera mot detta genom att saga

att den speciella relativitetsteorin inte speciellt galler gravitationen medan den generella eller

allmanna relativitetsteorin endast handlar om gravitation. Pa sa satt ar den generella rela-

tivitetsteorin inte en generalisering av den speciella relativitetsteorin utan en ny teori som

behandlar andra saker. Detta resonemang ar dock lite lost, eftersom gravitationen inte innehar

en speciel position inom den generella relativiteten. Snarare ar den generella relativiteten en

generalisering av rorelse med konstant hastighet till en rorelse av koordinatsystem som ror sig

”hur som helst”. Inte bara med konstant hastighet i forhallande till varandra utan ocksa sa,

att hastigheten mellan kordinatsystemen kan andra och sa, att koordinatsystemen kan andra

form och skala under sin fard och saledes inte langre behover vara inertta. D.v.s. man kan

se den generella relativiteten som en generalisering av konceptet inertialkoordinatsystem till

koordinatsystem som inte ar inertta. Hur man an vill ha det sa anvande sig Einstein av den

speciella relativitetsteorin for att formulera den generella, och den generella innehaller darfor

den speciella som ett specialfall av nagot man kallar platt (flat eng.) rymd. D.v.s. Minkowski

rymd. Den speciella relativitetsteorin ar darfor en mycket viktig ingrediens i den generel-

la relativiteten, men det racker givetvis inte bara med den for att formulera den generella

relativiteten.

I det foljande skall vi se introduktionsartat pa den generella relativiteten som teori. Malet ar

att ge en bild av de viktiga nya koncepten inom denna teori (i stort sett metriken), Einsteins

postulat och krav, vilka hjalpte honom att framstalla rorelseekvationen for det gravitationella

faltet samt se pa de experiment som faststallt teorin som en god teori. Vi borjar med en

diskussion om metriken och fortsatter fran ”dar vi blev” i avsnitt 1.9.

61

62 Generell relativitetsteori

2.2 Metriken (gµν)

For att kunna skapa en bild av den generella relativitetsteorin maste vi fundera over begreppet

metrik. Metriken ar i princip allt man bestammer m.h.a. Einsteins rorelseekvationer, denna

kan man sedan i sin tur anvanda for att rakna ut foljderna av att rum-tiden kroks p.g.a.

en stor massa. Metriken ar alltsa mycket central inom denna teori, men vad ar en metrik

egentligen?

Inom den speciella relativiteten definierades metriken (1.87) som en kvantitet som ar invariant

under Lorentztransformationerna, men varfor definierade vi den sa? Orsaken ar dess invari-

ansegenskaper. For att illustrera problemen med den vardagliga anvandningen av begreppet

avstand funderar vi over foljande. Vi vill mata avstandet fran Helsingfors till Los Angeles, hur

gor vi? De tva vanligaste satten ar att mata strackan rakt genom jorden eller langs jordens

yta. Det kravs inte ett geni for att forsta att dessa tva satt att mata kommer att ge tva

mycket olika avstand. Det forsta sattet att mata avstandet ar det Euklidiska, men vi kan latt

forsta problemen med detta satt att mata avstand. Tank om man sade at en pilot att flyga till

Los Angeles fran Helsingfors och gav honom det Euklidiska avstandet som information. En

oforsiktig pilot (som inte beaktar sakerthetsatgarder) skulle tanka for lite och dimppa ner fran

himlen i fortid. I detta fall ar det forstas battre att ange avstandet langs jordytan eftersom

man inte tar sig till Los Angeles genom jorden, om man inte ar en farskalle eller en neutrino.

Som fysiker ar tyvarr inte det forra problemet alltid lika enkelt att losa. Vi skulle all-

tid masta vara overens om i hurudanna inertialkoordinatsystem vi mater avstandet p.g.a.

langdkontraktionen. Da behover vi mera information for att kunna jamfora avstand med

varandra. Darfor infor man konceptet metrik inom den speciella relativiteten. Da man mater

”avstand” med denna definition har vi invarians infor alla inertialkoordinatsystem och vi

behover saledes inte veta nagot mera om hastigheten vi har i forhallande till den personen

som vi jamfor vara resultat med. Det ar helt enkelt bekvamt och praktiskt att infora begreppet

metrik.

Detta var nu bara speciell relativitet, men hur gor vi da vi vill generalisera denna idee till

koordinatsystem som ror sig genom accelerad rorelse och saledes bara momentant sitter i

ett inertialkoordinatsystem. Einsteins idee var att massan omformar geometrin sa att fritt

fallande partiklar beskrivs av rorelse i en viss sorts geometri (geometrin beskrivs av metriken).

Metriken beskriver alltsa hur man skall mata avstand fysikaliskt sett beaktande att all materia

vaxelverkar gravitationellt. Om t.ex. en partikel kommer nara en massa kommer forstas den

gravitationella vaxelverkan mellan massan och partikeln att omforma partikelns bana. Detta

hander givetvis ocksa i den Newtonska beskrivningen av gravitationen, men har sker andringen

i partikelns bana beroende pa vart gravitationskraftsvektorn pekar. I den Einsteinska bilden

omformar massan geometrin och eftersom denna geometri inte langre ar Euklidisk (nara en

stor massa) kommer den att vara krokt och vi ser att partikeln inte langre foljer en ”rak”

Metriken (gµν) 63

(Euklidiskt sett) bana, utan banan bojs. Ideen formades i Einsteins huvud med tiden, men

man brukar ange Einsteins hissexperiment som en av grundstenarna i denna tankegang. Det

gar sahar.

<

1r_k

< <

< <

m

M

Figur 2.1: Vi ser en hiss som faller fritt mot jordytan. P.g.a. att gravitationsfaltet ar inhomo-gent kanner partiklarna hissen bestar av olika stora och riktade krafter beroende pa var debefinner sig i hissen. Dessa krafter ar utritade for fyra partiklar i hissens horn. De pekar allamot jordens centrum. Faltet k 1

rar det Newtonska i detta fall dar k = GmM .

Tank dig en fritt fallande hiss som narmar sig jordytan p.g.a. av jordens gravitation (se figur

2.1). Eftersom det Newtonska gravitationsfaltet ar inhomogent betyder det att partiklar i

olika delar av hissen kommer att kanna av olika stora och riktade krafter. Detta ger upphov

till att hissen tanjer ut sig enligt bilden i figur 2.2. I bilden ser vi hur partiklarna upp- och

nertill pa hissen ror sig relativt varandra. Hissen stracker ut sig p.g.a. att hissen har mera

utstrackning an en punktpartikel. Eftersom gravitationskraften ar olika stor och riktad i olika

punkter pa hissen fick detta Einstein att tanka att den speciella relativitetsteorin galler endast

exakt i en punkt (lokalt). D.v.s. mera populart sagt kravde han att om man tanker sig att

”hissen” ar liten i forhallande till avstandet over vilket gravitationen verkar, sa galler den

speciella relativitetsteorins lagar. Exakt galler de alltsa i en rum-tid med gravitation endast

i en punkt. Detta ledde Einstein till den starka ekvivalens principen:

Stark ekvivalens: I ett fritt fallande laboratorium som ockuperar endast ett litet omrade av

rum-tiden, galler den speciella relativitetsteorins lagar for all fysik.

Den starka ekvivalens principen kraver alltsa ideellt sett att, i en punkt P skall fysiken be-


<

<

<

<

<

< <

<

Figur 2.2: Vi ser hur hissen tanjer ut sig p.g.a. att hissen har en hojd och gravitationen arolika stark jamforelsevis upptill i hissen och vid dess fot. Bilden illustrerar hur partiklar uppeoch nere pa hissen ror sig relativt varandra, men de ror sig givetvis fortfarande mot jordensmitt.

skrivas av metriken

ds2 = gµνdxµdxν , (2.1)

vilket ar metriken for den speciella relativitetsteorin (se avsnitt 1.9), da gµν har formen av

(1.87). Detta satter ett starkt krav pa geometrin som rum-tiden kan anta. Strikt taget leder

detta krav till att rum-tidens geometri endast kan anta formen

ds2 = gabdxadxb, (2.2)

dar kvantiteten gab beskriver rum-tidens metrik och saledes rum-tidens krokning. Denna form

av geometri kallas for (pseudo)1Riemannsk geometri.

Vad betyder rum-tidens krokning?

Da vi nu har argumenterat oss fram till att rum-tidens krokning skall beskrivas av metriken,

skall vi se lite narmare pa vad detta betyder. Kom ihag att rum-tidens krokning ar en intrinsisk

egenskap av geometrin som vi besitter och vi kan inte askadliggora den, darfor att da borde

vi kunna satta in den i en hogre dimension dar vi kan ”rita” ut den. T.ex. en liten loppa som

lever pa ytan av en sfar och endast lever pa denna yta utan att upptacka andra dimensioner an

de tva tal som behovs for att uttrycka en punkt pa sfarens yta. Denna loppa mater summan

av ”trianglarnas” alla vinklar som > 180◦ 2, vilket vi ju ser da vi vet att loppan lever pa ytan

av en sfar. Men detta ser vi endast for att vi ser sfaren i tre dimensioner. Om man endast kan

se tva, som loppan, kan man inte veta genom att bara se sig omkring att man lever i en krokt

rymd. Men det betyder inte att inte loppan kunde gora experiment for att bestamma att den

lever i en krokt rymd. T.ex. kunde loppan mata trianglar i sin rymd och marka att summan

av dess vinklar inte blir 180◦ och pa sa vis bestamma att den inte lever i en Euklidisk rymd.

1Strikt taget begransar den starka ekvivalensprincipen oss till en geometri som kallas pseudoriemannsk. Argeometrin endast Riemannsk galler ds2 > 0 alltid. I den generella relativiteten kan dock invarianten ds2 varapositiv och negativ (och noll) och dessa typer av geometri kallas for pseudoriemannsk bland matematiker.Fysiker brukar dock vara slappare och darfor kommer vi ocksa hela tiden att tala om Riemannsk geometri,trots att vi menar pseudoriemannsk.

2Detta kan man se om man t.ex. ritar en triangel mellan nordpolen pa en sfar och tva punkter (vilka somhelst, men de far inte ligga pa varandra (da har vi ju ingen triangel)) pa ekvatorn. Detta ger tva 90◦ vinklarvid ekvatorn och en vinkel vid nordpolen som ar > 0◦. Tillsammans blir ju detta > 180◦.

Metriken (gµν) 65

Man brukar skilja pa de omraden som loppan kan se och de som vi kan se och kalla dem

for intrinsiska respektive extrinsiska. D.v.s. loppan upptacker bara intrinsiska egenskaper av

geometrin, medan t.ex. det att vi kan ”rita” in ytan av en sfar i en 3-dimensionell Euklidisk

rymd ar en extrinsisk egenskap av geometrin som 2D loppan inte kommer at. Situationen ar

i princip densamma i den generella relativitetsteorin. Vi kan inte se att vi lever i en geometri

som ar krokt eftersom vi inte kan se flere dimensioner an 3 och det kravs minst 5 for att kunna

rita av den 4 dimensionella Riemannska geometrin. Daremot kan vi, precis som loppan, genom

experiment faststalla att vi lever i en 4 dimensionel Riemansk geometri. For att fa en battre

bild av situationen fortsatter vi med loppan.

Vi skall se lite mera matematiskt pa denna krokning. Da vi anvander oss av metrikformule-

ringen beskrivs den Euklidiska metriken alltid av formen

ds2 = dx2 + dy2, (2.3)

i tva dimensioner och av

ds2 =N∑i=1

dx2i , (2.4)

i N dimensioner. Om vi ser pa en sfarisk yta (med radien a) och parametriserar dess koordi-

nater med de vanliga vinklarna (θ, φ), far vi dess metrik som

ds2 = a2(dθ2 + sin2 θdφ2). (2.5)

Denna metrik ar speciell pa det sattet att man inte kan transformera den till en Euklidisk

metrik av formen (2.3) over hela sfaren genom en koordinattransformation. Detta betyder

att sfarens geometri ar intrinsiskt krokt. Daremot kan vi ge ett exempel pa en metrik som

extrinsiskt kanske verkar krokt, men inte ar det intrinsiskt. D.v.s. vi ser pa ytan av en cylinder

med radien a som har metriken

ds2 = dz2 + a2dθ2, (2.6)

da den parametriseras m.h.a. koordinaterna (z, θ). Denna metrik gar latt att transformera till

en Euklidisk tvadimensionell form over hela cylinderns yta, genom koordinattransformationen

x = z, y = aθ. Detta i sin tur betyder att cylinderns krokta yta inte ar en intrinsisk egenskap av

cylinderns geometri. Den ar bara en egenskap av ytan sa som vi avbildar den i 3 dimensioner.

Uppgift 2.1

Om vi har koordinaterna qi med den metriska tensorn gij dar

gij =

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

=

1 1 3/21 4 3

3/2 3 9

(2.7)

(a.) Skriv ut linjeelementet ds2


(b.) Vektorerna V och U har komponenterna U = (0, 1, 2) och V = (−1, 0, 1). Berakna dessa

vektorers skalarprodukt U · V = gijUiV j.

Uppgift 2.2

Vi valjer att se pa en rum-tid med endast en rumsdimension x. De enda komponenterna av

denna 2D metrik som ar olika 0 (i omradet t 6= 0, x > 0) ar g00 = 4c2

A4 t2 och g11 = − 9

4B3 , dar

A och B ar konstanter och c ljusets hastighet i vakuum. Finn en koordinattransformation

(x, t) → (x′, t′) som skriver om detta linjeelement ds2 i den Minkowskianska formen ds2 =

c2dt′2 − dx′2.

Uppgift 2.3

Vi ser narmare pa den 2-dimensionella ytan av en sfar. Om vi vill gora en konventionel karta

av den brukar vi gora enligt foljande. Forst definierar vi latitud och longitud. De definieras

efter de vanliga polara koordinaterna (θ, φ) (jamfor ekvation 2.5) som longitud = φ (vilken

mats ostut fran Greenwich meridianen) och latitud λ = π2− θ) (λ ar alltsa latituden). Visa

att linjeelementet ds2 har formen

ds2 = a2(dλ2 + cos2 λφ2). (2.8)

Om vi vill gora en karta med dessa koordinater pa ett vanligt rektangulart papper med hojden

H och bredden B, maste vi pa nagot satt definiera en projektion av koordinaterna fran ytan

av en sfar till kartesiska koordinater pa detta papper. Da brukar man vanligtvis anvanda

Mercator projektionen, vilken definieras av

x =V φ

2π, y =

H

2πln

[tan

(π

4+λ

2

)](2.9)

Vad ar linjeelementet ds2 i de kartesiska koordinaterna (x, y)?

Ett riktigt exempel

Nu har vi endast forsokt motivera rum-tidens krokning. Langre an sa kommer vi heller inte

att ga, men som ett smakprov ser vi annu kort pa den Schwarzchildska3geometrin. Detta ar

en losning pa Einsteins rorelseekvation utanfor en sfariskt symmetrisk och statisk massdis-

tribution. D.v.s. losningen pa Einsteis ekvation inom den generella relativiteten ar en metrik

och i detta fall ar den

ds2 = c2

[1− 2GM

c2r

]dt2 − 1

1− 2GMc2r

dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2, (2.10)

med koordinaterna (t, r, θ, φ) for de fyra dimensionerna av rum-tiden, dar M ar den sfariska

kroppens massa. Vi kan direkt anta genom att se pa denna metrik att den inte gar att gora om

3Schwarzchild hittade faktiskt pa denna losning medan han deltog i det forsta varldskriget pa ostfronten.Tyvarr klarade han sig inte helskinnad fran konflikten trots att hans losning gjorde det.

Metriken (gµν) 67

till en Euklidisk geometri genom nagon simpel koordinattransformation. Ytterligare ser vi att

metriken ar singular i punkterna r = 0 och r = 2GMc2

. Den senare singulariteten ar endast en

konsekvens av ett daligt koordinatval och vi kan fa den att forsvinna genom ett koordinatbyte.

Den forsta ar daremot omojlig att gora sig av med och nara den maste man darfor anta att

den generella relativitetsteorin sackar ihop (om man inte vill tro pa oandligheter). Det ar just

den som ar singulariteten man talar om i samband med svarta hal. Vi ser ocksa att denna

metrik pa langt avstand (r stort) ar ungefar

ds2 ≈ c2dt2 − dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2, (2.11)

vilket ar Minkowskirymdens geometri i sfariska koordinater, alltsa den speciella relativitetens

rum-tid.

Det finns ocksa andra losningar pa Einsteins rorelseekvation, m.h.a. vilka man kan beskriva

bl.a. geometrin utanfor ett svart hal som roterar (Kerr losningen) eller ett svart hal som

innehaller en laddning (Reisner-Nordstrom4 losningen). Dessa losningar ar alla metriker.

Uppgift 2.4

Fyll i raknestegen i foljande resonemang. Vi foljer med en masslos teknolog som faller mot ett

svart hal. Eftersom teknologen ar masslos betyder detta att ds2 = 0. Vi skall anvanda oss av

den Schwarzchildska metriken (2.10) i detta fall, eftersom den beskriver hur rum-tiden kroks

utanfor ett statiskt och sfariskt symmetriskt massivt objekt. Egentligen borde vi beakta att

halet skulle rotera ocksa for att vara generella, men vi behover inte vara sa petnoga for att

folja med teknologens fall. Vi antar dessutom att teknologen faller ifran vila ett avstand av R

fran det svarta halet. Detta betyder, eftersom metriken ar sfariskt symmetriskt och statisk,

att teknologen av symmteriskal kommer att falla langs en linje med konstant θ och φ. Alltsa

satter vi slutligen ds2 = dθ2 = dφ2 = 0 i ekvation (2.10). Detta ger at oss en ekvation med t

som funktion av r och vi kan integrera pa bada sidor fran 0 till t, pa r satter vi inte nagon

grans an sa lange. Detta ger oss efter integrering tiden det tar for en masslos teknolog att

falla fran vila i en punkt R mot ett Schwartzchilds svart hal som

ct = −R− 2MG

c2ln | Rc

2

2GM− 1|+ integrationskonstant. (2.12)

Vi kan ocksa anta att den masslosa teknologen faller utat fran halet sett. Da far vi (genom

ett enkelt byte av integrationsgranser)

ct = R +2MG

c2ln | Rc

2

2GM− 1|+ integrationskonstant. (2.13)

Dessa linjer (2.12) och (2.13) kan vi rita ut i en figur. Se figur (2.3).

4Gunnar Nordstrom (1881-1923) ar tills vidare den mest kands fysikern som arbetat vid Helsingfors uni-versitet. Han ar mest kand for sin teori om gravitationen, vilken varit en rival till den Einsteinska. Idag harden dock visats att inte overensstamma med experimentella resultat.


<

>

ct

RR = 0

R = 2GM

c2

<

<

<

<

<<

<

<

<

<

<

<<

Utgående masslös teknolog

Ingående masslös teknolog

Figur 2.3: Vi ser hur sen masslosa teknologen beter sig pa olika sidor omR = 2GMc2

. Ljuskonernaar utritade som ellipser med tva strack som sammanfaller bakom ellipsen. Denna ellips haringen betydelse fysikaliskt i detta 2D diagram med axlarna (ct, R). Enda orsaken till ettljuskonerna utritats pa detta satt ar for att illustrera att det faktiskt ar fraga om en ljuskonoch vart partikelns eller fotonens framtid riktar sig i diagrammet. Vi ser att inget, inte ensljus, kan ta sig ut fran omradet R ≤ 2GM

c2.

Detta diagram kraver en narmare forklaring. Vi ser direkt att denna masslosa teknolog inte kan

ta sig ut fran omradet R ≤ 2GMc2

, hans ”utatgaende” bana leder honom direkt till singulariteten

vid R = 0. Ingaende masslosa teknologer utanfor omradet R ≤ 2GMc2

kommer ocksa givetvis

att aka i fordarvet, endast utgaende teknologer utanfor R = 2GMc2

kommer att klara sig. Resten

kommer att, efter en andlig tid, samlas i punkten R = 0.

Denna betraktelse av massloa teknologer gar direkt att generalisera till fotoner och masslosa

partiklar. Darfor kan vi betrakta korsningen av en inat och utgaende linje som en ljuskon,

vilka ocksa ar utritade i diagrammet. Eftersom fotoner ror sig pa kanten av en ljuskon och

massiva partiklar pa linjer innanfor denna kon, ser vi genast att inget, inte ens ljus kan ta

sig ut fran omradet R ≤ 2GMc2

. Denna radie pa R = 2GMc2

kallas for Schwarzchildradien och

ar i princip ”radien” for ett svart hal. Den kallas ocksa for handelsehorisonten (event horizon

eng.).

Det kan tyckas ur diagram 2.3 att man kunde hitta en bana for en ingaende foton som skulle

tangera Schwartzchild radien. Detta ar dock inte sant fast det stammer i dessa koordinater.

Orsaken ar att vi valt ”daliga” koordinater. Valjer man koordinater lite battre, kan man visa

Svarta hal 69

att R = 0 ar den enda singulariteten i denna metrik och alla ingaende partiklar och fotoner

kommer att, inom en andlig tid, korssa Schwartzchildradien.

2.3 Svarta hal

Ett svart hal ar en region av rum-tiden som innehaller en sa stor massa att den kollapsar till

en singularitet. Detta betyder i praktiken att alla partiklar kommer sa nara varandra att den

gravitationlella attraktionen blir starkare an nagon annan kraft. Eftersom den ar attraktiv,

”drar” den ihop allting. I.o.f.s. ar detta bilden vi far av ett klassiskt svart hal. D.v.s. ett svart

hal som ar en losning pa Einstein ekvationerna, vilka inte beaktar kvantteffekter5, men de flesta

fysiker tror anda att kvantteffekterna inte ar sa stora att denna ”makroskopiska” bild behover

andras namnvart, forutom till den man att singulartiteten i de svarta halen ar ofysikalisk.

Detta kan man latt tanka att ar fallet da man kommer ihag att en singularitet betyder

oandlig krokning av rum-tiden, vilket i sin tur genom Einstein ekvationerna betyder oandlig

energidensitet. Da kan man inte formulera energins och rorelsemangdens konservering och all

kand fysik sackar darmed ihop. Darfor godkanner man ogarna exstensen av singulariteten

som fysiker.

Schwartzchildlosningen pa Einstein ekvationerna ar den mest kanda, men inte den mest

allmanna. Den galler ett statiskt svart hal utan laddning. Utover den finns det losningar for

ett svart hal med laddning (Reisner-Nordstrom metriken), ett svart hal med rotationsmoment

(Newman metriken) och for ett svart hal med laddning och rotationsmoment (Kerr-Newman

metriken). Detta har lett till att man brukar saga att ett svart hal endast har tre fysikalis-

ka egenskaper. Massa, laddning och rotationsmoment. Detta kallas det klassiska ”no hair”

teoremet. Detta teorem beaktar forstas ett klassiskt svart hal utan kvantteffekter och t.ex.

Hawking stralningen6, som postulerats for svarta hal, som inte ar en klassisk effekt, beaktas

inte har. Detta ”no hair” teorem leder oss in pa ett intressant problem, namligen: Da vi fran

termodynamiken vet att entropin aldrig kan minska for ett system, hur gar detta till i svarta

hal? Om man kastar in nagot i ett svart hal, kommer det att forsvinna och darmed alla dess

frihetsgrader eftersom vi inte kan observera det langre. Vi kan endast observera massan, ladd-

ningen och rotationsmomentet for det svarta halet. Da kommer ju frihetsgraderna att minska

i antal, och termodynamikens andra lag bryts. Om vi placerar kvantteffekter med i bilden,

ar det fortfarande osakert hur detta kan ga till, men bl.a. har man konstruerat svarta hals

termodynamik, dar arean for ett svart hal (pa handelsehorsonttens avstand) spelar samma

5Einstein ekvationerna beaktar inte de gravitationella vaxelverkningar som uppstar partiklar emellan. Des-sa ar forstas negligerbara mycket langt, p.g.a. den svaga styrkan pa den gravtationella vaxelverkan, men dapartiklarna kommer mycket nara varandra ar den betydande. Denna typs vaxelverkning kallas kvanttgravita-tion, torts att den inte observerats experimentellt eller formulerats teoretiskt pa ett overtygande satt.

6Hawking stralningen ar den svartkropps stralning som ett svart hal stralar ifran sig energi med. Desstemperatur ar inverst proprtionel mot halets massa. Denna temperatur ar hypotetisk eftersom den ar for litenfor att observera med dagens teknik och ocksa for att Hawking beraknade den anvandande kvanttfaltteori ikrokt bakgrund, vilket inte har formulerats som en fundamental teori.


roll som den for entropin i termodynamiken. Detta p.g.a. att det visats att arean pa ett svart

hal aldrig kan minska. Den holografiska principen (holographic principle (eng.))7 har konstru-

erats utgaende fran detta, genom att postulera att svarta hal ar objekt med maximal entropi

(area).

Det finns nagra begrepp som forknippas med svarta hal som bor namnas. Ett av dem ar foton-

sfaren (photon sphere (eng.)). Detta namn kommer av att fotoner som ror sig langs tangenten

till denna sfars yta, kommer att cirkulera det svarta halet. For ett Schwarzchild svart hal

ar radien for denna yta 1,5 ggr. Schwartzchildradien. Dessa banor som fotonerna kunde rora

sig langs ar inte stablia, utan mycket kansliga till yttre storningar. T.ex. om fotonen tappar

lite energi p.g.a. en vaxelverkning med en gravitationell vag fran det svarta halet (eller okar

pa sin energi), kommer den att falla in (flyga ut) i det svarta halet. Foton sfaren ar ocksa

speciell pa det viset att fotoner pa vag in mot halet, kommer aldrig att kunna ta sig ut om

de korssar foton sfaren, trots att denna ar storre an handelsehorisonten for det svarta halet.

Om de daremot ar pa vag ut fran halet, men startar innanfor foton sfaren (men utanfor

handelsehorisonten), kan de nog ta sig ut.

Ett annat intressant begrepp ar ergosfaren. Ergosfaren ar nagot som endast galler roterande

svarta hal. Det ar ett omrade som man kan tanka sig, da man vet att roterande svarta hal

”drar” rum-tiden med sig nar de roterar. Ergosfaren definieras som det omrade utanfor det

svarta halet dar det inte gar att sta stilla. D.v.s. en yttre observator skulle aldrig kunna

se ett objekt sta stilla, om det ligger innanfor ergosfaren. Detta beror pa att ergosfaren

definieras av det att objekt inom den maste rora sig med en hogre hastighet an ljuset i

motsatt rotationsriktning till halets rotationsriktning for att se ut som om de stod stilla for

en yttre observator. Ergosfaren har formen av en tillplattad sfar. Objekt inom ergosfaren kan

fortfarande ta sig ut darifran genom den s.k. ”Penrose”-processen, dar objektet i fraga stjal

tillrackligt av det svarta halets rotationsenergi for att kunna ta sig ut ur ergosfaren.

Man kan val fraga sig hur man kan observera ett svart hal, om det inte ger ifran sig ljus. Det

ar sant att det p.g.a. detta inte gar att ”se” ett svart hal, men man kan observera det indirekt

torts att detta inte heller ar helt val definierat. De svarta halen kan observeras genom att

upptacka stora materieskivor (accreation disk (eng.)) eller gas stralar. Dessa borde existera

kring svarta hal. De ar inget definitivt ja for svarta hal, men om t.ex. materieskivan ar mycket

stor, kanner vi inte till nagot annat objekt som kunde astadkomma en sa stor skiva.

Det ar heller inte trivialt att hitta kandidater till svarta hal. Ett satt att hitta dem ar att soka

efter γ-stralning. Om den observerade γ-stralningen ar mycket homogen utan variationer, kan

man tanka sig att den kommer fran ett svart hal. Om den daremot varierar mycket, beror

7Den holografiska principen ar en princip som sager att all information (Shannon entropi, vilken kan ses somekvivalent till Boltzmans definition pa entropin) som vi observerar finns tillganglig inom lagre dimensioner.D.v.s. t.ex. all information i ett svart hal finns skriven pa dess yta. Denna princip anvands bl.a. mycket inomstrang teori.

Einsteins rorelseekvation 71

detta antagligen pa yteffekter da materia utifran krockar med ytan, vilka forekommer for

objekt med ytor, som t.ex.neutron stjarnor. Eftersom svarta hal inte har nagon yta, skiljer

detta at dessa typers stralningskallor. Det har ocksa postulerats att Gammastralnings utbrott

(Gamma Ray Bursts GRB (eng.)) kunde vara indikatorer for fodseln av svarta hal.

2.4 Einsteins rorelseekvation

For att motivera sin rorelseekvation anvande sig Einstein av olika argument. Vi har i princip

redan sett pa tva av dem, men det som vi diskuterat mest ar kravet pa en rum-tid som i en

punkt allid reduceras exakt till Minkowskirymden. Detta var den starka ekvivalensprincipen.

Ett annat naturligt krav var att den generella relativiteten kan reduceras till den Newtonska

gravitationen da man talar om svaga gravitationsfalt. Detta kanns ratt sa klart, inte kan ju en

ny teori lata bli att beskriva det som den gamla redan klarat av att modellera. Det finns dock

stora skillnader mellan den Newtonska gravitationen och den Einsteinska. Den Newtonska har

formen~F = −mG

∫ρ(r)

r2rd3r = −mG∇Φ, (2.14)

dar Φ bestams fran kravet ∇2Φ = 4πGρ(r), med ρ som massdensiteten och r ar den radiella

enehetsvektorn och d3r ar det sfariska volymelementet. Denna form kanske ser lite obekant

ut, men den ar en direkt generalisering av formen

~F = −GmGM

r2,

till en massdensitet (och distribution) av godtycklig form8.

Skillnaden fran denna Newtonska lag till Einsteins formulering ar klar. Den Newtonska ek-

vationen (2.14) innehaller inget beroende av tiden och saledes ror sig informaionen om en

forandring i massfordelningen momentant, vilket strider mot den speciella relativitetens pos-

tulat om ljusets hastighet. Dessutom har vi ocksa en annan fundamental skillnad i dessa tva

formuleringar. I den Newtonska formuleringen kan vi satta

mTdx2

dt2= −mG∇Φ, (2.15)

och mata kvantiteten mG

mT. Det visar sig att denna ar sa gott som = 19. I den Newtonska teorin

finns det dock ingen orsak varfor dessa massor (mT kallas for den troga massan och mG for den

gravitationella massan) skulle vara lika. Detta ledde Einstein till hans beromda hissexperiment

som vi sag pa i foregaende avsnitt och darmed till den starka ekvivalensprincipen. M.a.o. ar

den troga och gravitationella massan samma sak i den Einsteinska teorin, i motsats till den

Newtonska.

8Situationen ar faktiskt helt analog med generaliseringen av kraft och elfalt i fallet av Coulombs lag, darman generaliserar Coulombs lag till att galla for en laddningsfordelning av godtycklig form.

9Man har matt den till en noggranhet av atminstone 1 del i 1011


Det sista Einstein behovde for att kunna formulera sin teori, var antagandet att massan

forandrar pa rum-tidens geometri sa att rum-tiden kroks. Detta ar ett mycket fundamentalt

steg for formuleringen av den generella relativitetsteorin. I princip kunde man tanka det pa

sa vis att existensen av en stor massa forandrar pa geometrin sa att fritt fallande partiklar

inte langre faller ”rakt” utan deras banor kroks. Det ar forstas fel att saga sa eftersom en fritt

fallande partikel forstas per definition faller fritt, men rorelsen den utfor da den faller, for att

vi skall veta att den ar fri, ar inte langre euklidiskt sett ”rak”.

Einstein visste att den Riemannska geometrin beskrivs av den s.k. Riemann tensorn10. Darfor

ville han vava in den i sin teori. For att kunna vava in den i hans nya bild av gravitationen

maste han pa nagot satt koppla ihop den med energidistributionen i rum-tiden (eller massdis-

tributionen, eftersom energi och massa ar samma sak). Denna energidistribution fick han ur

nagot som kallas for energi-rorelsemangdsmoment tensorn, vilken beskriver just hur materien

och energin ar utspridda i rum-tiden.

M.h.a. dessa krav bestamde Einstein precis hur hans rorelseekvation skulle se ut. Detta ledde

honom till

Rµν −1

2gµνR + Λgµν = −8πG

c4Tµν , (2.16)

dar Rµν = Rσµνσ, R = gµνRµν = gµνRσ

µνσ, Tµν ar energi-rorelsemangdsmoment tensorn och

Λ den kosmologiska konstanten. Rσµνσ ar Riemanntensorn (i ett specialfall), men som vi ser

beror den vanstra sidan endast av metriken gµν eftersom Riemanntensorn gor det till 100%.

Egentligen kallas Rµν for Ricci tensorn och R for Ricci skalaren, men vi kan se dem som

funktioner av Riemanntensorn och darfor som funktioner av metriken. D.v.s. denna ekvation

bestammer hur metriken skall se ut givet en energi-rorelsemangds distribution (tensor). Vi

kan ge detta som ekvationen

rum-tidens krokning inom en region av rum-tiden = energi-mass densiteten inom sammaregion.

Denna Einstein ekvation var faktiskt den som Einstein sjalv ocksa harledde i.o.m. den kosmo-

logiska konstanten. Denna fungerar som ett negativt tryck i denna ekvation. Ju storre den ar

desto mera finns det av ett negativt tryck i rymden. Einstein sjalv lade till konstanten for att

han trodde som de flesta pa den tiden att universum utanfor oss endast bestod av var galax.

Detta hade lett till att man pa den tiden trodde att universum var statiskt. Eftersom Eins-

teins ekvation (en losning av den) gav ett universum som expanderar ville Einstein korrigera

for detta med en kosmologisk konstant. Senare nar Edwin Hubble (mera om honom i nasta

kapitel) markte att stjarnorna utanfor var galax ar starkt rodforskjutna och tolkade detta

10Vi tanker har inte ga in pa vad en tensor egentligen ar, trots att man enkelt kunde beskriva den genomdess transformationsegenskaper. Vi nojer oss med att saga att vi kan tanka pa en tensor som en kvantitet somtar olika varden beroende av dess index. D.v.s. har vi en fjarde ordningens tensor, beror dess varden av fyraindex och da vi specificerar fyra index anger denna tensor ett tal eller en funktion.

Gravitationen experimentellt 73

som att universum expanderar, kallade Einstein den kosmologiska konstanten for sin storsta

blunder. Det mest ironiska i allt ar att efter allt detta bollande har man idag konstaterat att

det ser ut som om nagon mystisk mork energi skulle fa galaxer mycket langt ifran oss att

accelerera ifran oss och saledes fa universum att expandera med en accelerande takt. Denna

typs universum kan man modellera bast genom att infora den kosmologiska konstanten pa

nytt i Einsteinekvationen. Den kosmologiska konstanten har ett mycket litet varde, som inte

har nagon betydelse lokalt, men nog pa en kosmologisk skala.

I det nasta skall vi se pa vad man kunnat faststalla m.h.a. denna ekvation och varfor man

tror att den beskriver gravitationen sa bra. En orsak ar givetvis redan det att den Einsteinska

teorin kan reduceras till den Newtonska vid gransfallet av ett svagt gravitationsfalt.

2.5 Gravitationen experimentellt

Einsteins teori ar en fin teori, men den kraver en mycket stor massa for att kunna testas. Den

har effekter som endast syns pa en stor skala, d.v.s. effekter som kraver en massa av storleken

av (eller storre an) en stjarna for att kunna observeras. De tva klassiska exemplen pa effekter

av generell relativitet ar ljusets bojning nara en stor massa och Merkurıus periheliums11

precession. Egentligen galler periheliumets precession forstas ocksa andra planeter, men man

brukar av historiska skal tala om Merkurius, darfor att man genom Newtonska berakningar

pa Einsteins tid hade konstaterat att Merkurius perihelium precesserade pa ett satt som inte

kunde forklaras ens genom att ta i beaktande de andra planeternas gravitationella verkan.

Den gravtationella rodforskjutningen (OBS! inte Dopplereffekten!) kan man ocksa ta som ett

manifest for den generella relativiteten, som ocksa de gravitationella vagorna, trots att de

inte upptackts direkt annu, men nog indirekt.

Periheliumets precession

Detta ar en effekt som okar p.g.a. den allmanna relativitetsteorin. Det handlar om en kor-

rektionsterm (om man jamfor med den Newtonska teorins forutsagelse) som korrigerar den

vanliga Newtonska elliptiska banan med korrektionstermer for banans precession beroende pa

de andra planeternas gravitationella paverkan av merkusrius bana (framst jupiter p.g.a. dess

stora massa) till en ”elliptisk” bana med annu lite mera precession. Vi kan se situationen ur

figur 2.4.

Den allmanna relativiteten forutsager detta varde for Merkurius precis inom felgranserna,

∆φ ∼ 5600′′ per arhundrade, varav endast 43′′ per arhundrade ar effekten som kommer fran

den allmanna relativiteten och ar en konsekvens av att Merkurius befinner sig sa nara solen.

Historiskt sett var detta den forsta konsekvensen av den allmanna relativiteten, vilken Einstein

11Perihelium ar punkten dar planeten ar narmast solen och aphelium finns dar planeten ar langst ifransolen.


<

perihelium

aphelium >

>

>

>

planetSolen

Figur 2.4: Figurer illustrerar (med mycket inelliptiska banor) hur en planets perihelium pre-cesserar en vinkel ∆φ for varje varv.

ocksa publicerade i sin forsta publikation 1915 pa allman relativitet.

Ljusets bojning

Denna effekt ar den mest observerade, eftersom den tar sig sa manga uttryck. Ursprungligen

matte man den, efter att Einstein foreslagit att man kunde testa hans teori med den, forst

for ljus som ”slickar” solytan pa vagen till jorden fran stjarnor bakom solen (se figur 2.5).

Detta verifierades 1919 av Eddington12 genom observation av en solformorkelse. Senare har

man kunnat verifiera effekten med radiokallor och radioteleskop for radiokvasarer13

<

<

b

2_

Figur 2.5: Figuren visar en ljusstrale som ror sig nara en stor massa. ∆φ ar delflektionsvinkelnoch b ar impaktparametern, d.v.s. avstandet mellan massans mittpunkt och banas hojd franden, pa stort avstand fran massan.

Ljusets bojning har ocksa andra effekter. T.ex. observerade man 1979 tva kvasarer som sag

helt lika ut, vilket man forklarade genom gravitationslinssfenomenet. Detta ar ett fenomen

dar ljuset fran ett objekt som befinner sig pa kosmologiskt avstand fran oss gommer sig bakom

en galax. Galaxen bojer ljuset runt sig som i figur 2.6 och vi ser ljuset som om det kom fran

12Vissa historiker pastar att Eddington fingrade pa sina resultat sa att de skulle passa Einsteins teori, meni sa fall fingrade han ratt darfor att senare matningar visar faktiskt att ljuset bojer sig enligt Einsteins teori.

13En radiokvasar ar ett objekt som befinner sig pa mycket langt avstand fran oss (langt utanfor var galax)och som stralar starkt inom radiovaglangdsomradet.

Gravitationen experimentellt 75

tva galaxer.

Jorden

Galaxkvasar, stjärna

eller galax

Figur 2.6: Vi ser hur ljuset bojs runt en galax sa att vi ser tva objekt (langs de strackadelinjerna) istallet for ett. Detta fenomen kallas for en gravitationslinss.

Ett annat experiment man utfort ar att studsa radarekon (ljus i detta fall) fran Venus yta

da Venus befinner sig bakom Solen i forhallande till jorden (se figur 2.7). Ljuset kommer

ju att bojas p.g.a. Solen och darfor kommer man att observera en fordrojning av signalen i

forhallande till en signal som inte paverkas av Solens massa. Detta test ar inte helt trivialt

att utfora, men i.o.m. det har man hittat annu ett experiment som starkt starker tron pa den

allmanna relativiteten.

JordenSolen

Venus

r

r0

Figur 2.7: En illustration av att skjuta radarekon pa Venus fran Jorden, da Venus befinnersig precis bakom Solen. r0 ar det kortaste avstandet till solen for ljusekot.

Uppgift 2.5

a.) Argumentera for ljusets bojning nara en stor massa i den klassiska mekaniken.

b.) Argumentera mot att ljuset skulle boja sig nara en stor massa i den klassiska mekaniken.

Ljusets rodforskjutning

En tredje effekt som ett starkt gravitationsfallt har ar att en foton rodforskjuts, precis som

Dopplereffekten ocksa paverkar den. Genom observation av denna rodforskjutning kan man fa

information om massiva objekt som t.ex. varifran de harstammar. Detta ar forstas inte langre

ett direkt experimentellt stod for den allmanna relativitetsteorin utan snarare en anvandning


av den, men denna tolkning av teorin ar sa vanlig att man tar den som en given del av

denna teori. Kort sagt rodforskjuts ljuset pa vag bort fran en stor massa med sa mycket

att man maste beakta denna effekt tillsammans med Dopplereffekten da man mater ljusets

rodforskjutning. Pa detta satt kunde Edwin Hubble bestamma hur mycket galaxer och stjarnor

ror sig i forhallande till varandra och kom med det pa den tiden remarkabla pastaendet att

universum expanderar.

En annan anvandning for den gravitationella rodforskjutningen ar att man hoppas pa att den

skall ge en noggrannare metod for att bestamma massor och rotationsmoment pa stora massiva

objekt. Denna tanke kommer av att man kan observera jarnets spektrallinjer i skivan av

materia runt massiva objekt som t.ex. svarta hal. Dess spektrallinjer ar fortfarande anvandbar

p.g.a. att jarn ofta har bundna elektroner ocksa vid mycket hoga temperaturer som i de 107K

som ar typiska for dessa situationer. Da en av dessa eletroner faller ner fran en energiniva

i vaxelverkan med rontgenstralning fods det som resultat en foton som tar sig ivag fran

detta massiva objekt. Det ar genom observation av dessa fotoner och denna stralning som

man hoppas sig kunna skapa en tillrackligt noggrann metod for att bestamma de centrala

objektens (som skivan snurrar runt) massa.

Gravitationella vagor

De gravitationella vagorna ar ocksa en utsago av Einsteins ekvationer, men med en viss ap-

proximation. D.v.s. Einsteins ekvation i formen (2.16) forutsager inga vagfenomen, men i en

viss approximation har den plana vagor som losningar. Detta ar i en sk. svagfalts approxima-

tion (weak field approximation (eng.)). Dessa skulle vara mycket svaga och svara att observera

direkt (vilket man inte annu gjort), men daremot har man observerat dem indirekt genom att

de gravitationella vagorna bar ivag energi fran massan dar de far sitt ursprung. Detta betyder

t.ex. att for ett binart stjarnsystem kommer radien for systemet att minska och saledes rota-

tionshastigheten att oka da de gravitationella vagorna bar bort energi fran systemet. Detta

ar en effekt som Hulse och Taylor observerade i narmare 20 ar i en binar pulsar14 av det

fantasifulla namnet PSR B1913 + 16. Ar 1993 fick de Nobelpriset i fysik for denna upptackt.

Detta var dock endast en indirekt observation. Om gravitationella vagot existerar borde man

ju kunna hitta dem direkt ocksa. Den enda tanken som finns till stod for detta ar att en

gravitationell vag ar en mycket minimal storning i rum-tiden som far ex. partiklar att rora

pa sig i forhallande till varandra. Precis som alla andra vagor. Da maste man alltsa kunna

detektera en mycket liten storning i rum-tiden. For tillfallet har man tankt sig att dektek-

torer med namnen LIGO (USA) eller VIRGO (Frankrike-Italien) kommer att vara de forsta

som hittar dessa gravitationsvagor. Apparaturen ar en interferometer precis som Michelson

Morleys apparat, men i en skala mycket storre och man anvander sig av laserljus. Vagarna

l1 och l2 (se figur 1.1) kommer i detta fall ocksa att vara ∼ 4 km var, vilket ar lite mer an

14En neutronstjarna som skickar ifran sig radiosignaler.

Kvanttgravitation 77

Michelson-Morleys futtiga 11m, vilket aven det ar stort for vanliga laboratorieforhallanden.

Det skall genast namnas att dessa enorma apparater LIGO och VIRGO inte kan roteras sa

som Michelson-Morley grunkan, vilket ju ar klart p.g.a. deras enorma storlek. Ideen ar helt

enkelt den att da en gravitationsvag kommer in fran rymden, andrar den pa tunnelns langd

(minimalt) och detta hoppas man sig kunna observera.

Om detta misslyckas sa stiger annu mera storhetsvansinne in i bilden. Man har namligen

tankt sig att en detektor med namnet LISA skall skjutas upp i rymden som tre olika delar,

vilka man sprider ut sa att man far en enorm interferometer med armar av langden 5 miljoner

km. Den skall ocksa ga att rotera passligt efter vagorna. Den skall vara ett samarbete mellan

ESA och NASA som kan vantas flyga upp pa himlen i ”arsgaffeln” 2012-2015. Hur det an gar

ar det ganska remarkabelt att man fortfarande testar Einsteins teori mer an 90 ar efter dess

uppkomst.

2.6 Kvanttgravitation

Da vi nu studerat den klassiska allmanna relativiteten a la Einstein, kan man mycket val fraga

sig, vad hander med gravitationen pa mycket kortta avstand? D.v.s. eftersom vi vet att det

bildas svarta hal da rum-tiden kroker sig tillrackligt, vilka for med sig en singluaritet i origo

dar rum-tidskrokningen ar oandlig, vilket i sin tur genom Einstein ekvationerna motsvarar en

oandlig energi-mass densitet i denna punkt, kan vi forvantta oss att den Allmanna relativiteten

som teori inte haller mattet pa mycket korta avstand. Men vad har vi da for teori att tillga?

Svaret ar lite ironiskt: kvanttgravitation, vilket ar namnet pa en teori som inte till dags

dato formulerats pa ett teoretiskt sett acceptabelt satt och inte heller har nagra experiment

att tillga som stod for sin existens. Detta, trots manga tappra forsok under atminsone de

50 senaste aren. For att beskriva de mest framstaende problemen man stoter pa med en

formulering av denna hoppeligen formulerbara teori, skall vi i det foljande ta en kort titt pa

de viktigaste teorierna som hittills beprovats med detta problem.

Eftersom kvanttfaltteorin haft en sa stor succe i.o.m. formuleringen av standard modellen

av partikel fysik och detta ar den experimentellt bast testade hogenergi teorin tills idag, ar

det solklart att man borjar konstruktionen av en ny hogenergi teori genom att generalise-

ra denna. D.v.s. man forsoker generalisera den teoretiska strukturen for kvanttfaltteori till

att galla ocksa for en teori av kvanttgravitation. Om man gor detta som en direkt minimal

utvidgning av den gamla teorin far man som resultat en teori som innehaller oandligheter

som inte gar att renormalisera15. Detta negativa resultat var kanske att vanta sig eftersom

man motiverar renormaliseringsproceduren genom att de oandliga integraler man gor andliga

15Att en teori inte gar att renormalisera betyder att det inte gar att formulera en procedur m.h.a. vilken viformellt kan subtrahera bort oandligheter fran teorin. Denna procedur ar viktig inom standard modellen forpartikel fysik. Utan den ar teorin inte val formulerad som en slutlig eller fundamental teori.


genom den, endast ar betydelsefulla vid valdigt hoga energier, energier da man inte langre

kan strunta i gravitationen som kvanttfenomen. I fallet av en ordentlig kvanttgravitationsteori

borde vi med denna motivering inte fa oandliga integraler, eftersom de fysikaliska observab-

lerna inte kan vara oandliga och en kvanttgravitationsteori borde innehalla all energi-mass

densitet och i.o.m. detta, alla vaxelverkningar. D.v.s. det borde inte finnas fysik utanfor en

kvanttgravitationsteori.

Om man noga analyserar renormaliseringsproceduren och soker efter en teoretisk struktur

som skulle kunna producera andliga kvanttiteter, leds man snabbt in pa strangteori. Inom

denna teori beskrivs alla fundamentala partiklar som olika vibrationer av strangar16. Denna

teori innehaller inte fermioner, partiklar med halvtaligt spinn sa som elektronen, protonen,

neutronen, et.c., om den inte formuleras i 10 dimensioner. Dessutom har man upptackt att

alla olika stangteorier i 10 dimensioner ar kopplade till varandra och att det ser ut som att

en 11 dimensionell teori, hittills kallad M-teori, ar mera fundamental an de 10 dimensionella

strangteorierna. Nar vi ser pa koppligen av strangteori till kvanttgravitation har vi inte pro-

blemet med oandligheter, men vi har ett annat problem. Namligen problemet med att ingen

vet hur vi skall komma at att rakna ut nagot observerbart ut strangteori. De 10 dimensionerna

ar inget problem, dem gor man bara sa sma att vi kan saga att vi inte observerat dem tills

idag, sa att vi far 4 stora dimensioner och 6 sma. Problemet ar att det finns pa tok for manga

satt att gora denna reduktion och var och en leder till en egen teori. Man borde hitta en som

ser ut som standardmodellen for partikelfysik. Dessutom har strangteorierna kritiserats av

fysiker som arbetat med allman relativitet for att strangteorierna inte innefattar konceptet

bakgrundsoberoende eftersom de beror av den 10 dimensionella strangmetriken. D.v.s. Om

en teori ar bakgrundsberoende har vi en viss metrik som galler. Metriken ar bakgrunden pa

vilket fysiken ”hander”. Detta ar i motsats till Einstein ekvationera som ar bakgrundsobe-

roende. Darfor forvantar man sig att en slutlig teori av kvanttgravitation ocksa skulle vara

bakgrundsoberoende.

Inom kanonisk kvanttgravitation, ocksa kallas kvanttsling-gravitation (eng. Quantum Loop

Gravity) forsoker man ta i beaktande bakgrundsoberoendet av den allmanna relativiteten fran

borjan da man konstruerar teorin. Denna teori baserar sig pa en form av matematiska objekt

som ar beroende av slingor17, harav namnet. Dessa objekt ar losningar pa Wheeler-DeWitt

ekvationen som ar en formulering av en ekvation som bestammer de fysikaliska tillstanden

inom en bakgrundsobereoende teori for kvanttgravitation. Denna ekvation ar konstruerad fore

man borjat tala om kanonisk kvanttgravitation, men idag hanger dessa valdigt starkt ihop.

Den teoretiska foruleringen av kanonisk kvanttgravitation gor att rum-tiden ”blir” nagonting

som vi kallar ett spinn-natverk18 (eng. spin-network) som bl.a. forutsager att area och volym

16Lite som staende vagor.17I detta fall menar jag slingor i formen av en bana som man integrerar over men som borjar och slutar i

samma punkt.18Spinn-natverken ar mycket abstrakta matematiska koncept som i princip gor samma jobb som rum-tiden

i den klassiska formuleringen av allman relativitet.

Bocker om generell relativitet 79

forekommer i kvantta inom denna teori. Tyvarr, har det visat sig svart att berakna andra

forutsagelser fran denna teori och darfor har man narmat sig detta problem genom en ny

vinkel som kallas spinn-skum (eng. spin-foams). Detta forsok till formulering av kanonisk

kvanttgravitation ar annu mycket ungt och det ar darfor annu oklart om det kommer att

kunna fungera som en ekvivalent modell av kanonisk kvanttgravitation.

Den kanoniska kvanttgravitationen och strang teori ar de mest seriosa forsoken att konstruera

en kvanttgravitationsteori tills idag. Bada lider av problemet att man inte vet hur man skall

berakna observabler ur teorierna. Inom dessa tva konstruktioner som ar langt ifran fardiga,

spelar de svarta halens termodynamik en mycket stor roll. Man kan namligen i bada rakna

ut entropin och darmed Hawking stralningen fran ett svart hal. Detta ar tyvarr det narmaste

man kommer experiment for tillfallet vad galler en mojlig konstruktion av en teori for kvantt-

gravitation. Darfor ar det latt att tanka sig att det annus finns en lang vag att ga, innan vi

kan saga att vi har nagon form av teori for kvanttgravitation som vi kan lita pa.

Uppgift 2.6

Tag reda pa hur det gar for LISA projektet. Anvand exempelvis sajten lisa.jpl.nasa.gov. Vad

ar det tankt att LISA skall studera? Hur ar det tankt att LISA skall fungera, hur lange skall

LISA vara i operation och vad hoppas man losa for fysikaliska problem med projektet?

2.7 Bocker om generell relativitet

Efersom vi endast skummar igenom den generella relativitetsteorin kan jag inte presentera

sa manga bocker om den. De flesta bockerna om generell relativitet ar namligen avsedda

for en mera noggrann genomgang av denna teori. Det skulle sakert ga att namna manga

popularvetenskapliga bocker i denna harva, men eftersom skribenten sjalv inte ar sa bekant

med dessa vad galler generell relativitet sa kommenteras har endast ett par.

[1] Jukka Maalampi & Tapani Perko, Lyhyt modernin fysiikan johdatus,

Limes r.y., 1999.

Kursboken for denna kurs pa den finska sidan i Helsingfors universitet innehaller forstas

ocksa nagra kapitel om den generella relativiteten. Boken innefattar i stort sett sam-

ma saker som detta material om den generella relativitetsteorin men lider lite av en

”halv”pedagogisk upplaggning och blir darfor lite raddig for en nybojare. Detta ar en

bra bok att ha trots det for hela kursen och den ar heller inte sa dyr for Limesmedlem-

mar.

[2] M. P. Hobson, G. Efstathiou & A. N. Lasenby, General Relativity, An Introduction for

Physicists,


Cambridge University Press, 2006.

Detta ar en utmarkt bok for folk som har ett lite grundligare intresse for den generella

relativiteten som teori. Den har en mycket pedagogisk upplaggning borjande med en

introduktion till konceptet metrik och differentialgeometri. Boken ar sjalvkonsistent

och man behover inte hjalp av andra bocker for att forsta sig pa den. Tyvarr ar den for

informativ matematiskt sett for denna kurs, men den ar mycket bra att komma ihag,

skulle man valja att bekanta sig namare med den generella relativiteten nagon dag i

framtiden.

Kapitel 3

Kosmologi

3.1 Introduktion

Kosmologin ar studien av universum i sin helhet. Den har senare utvidgats till att bli ett

omrade inom fysiken (varfor vi talar om den), trots att kosmologi historiskt sett handlat

om metafysik, religion och filosofi. Inom fysik handlar det dock inte om manniskans plats

pa jorden eller var vi kommit fran, fast manga ivriga fysiker garna drar slutsatser om detta

ocksa. I grunden handlar det, som i all fysik, om att gora en matematisk modell av vad vi

observerar och klassificerar som den fysikaliska naturen1.

Kosmologin fick sitt intag i fysiken i.o.m. Edwin Hubble och hans observation att univer-

sum expanderar. M.h.a. Einsteins allmanna relativitetsteori har man kunnat konstruera en

kosmologisk modell av universum, genom den kosmologiska principen. Pa senare tid har ob-

servationer av den kosmiska bakgrundsstralningen givit upphov till annu ett uppsving inom

kosmolgiska studier. Detta ar framst vad man haller pa med idag och darfor finns det fort-

farande nagra storre tvisteomraden inom Big Bang modellen trots att den ar mycket brett

accepterad. Men nu skall vi ta oss tillbaka till 20-talet for att fa en bild av vad som hant sedan

Hubble.

3.2 Hubbles upptackt

Efter Newton fanns det ett problem som sallan diskuterades. Det var namligen, nagot som

Newton sjalv ocksa insag i fragan: Varfor kollapsar inte universum om en gang gravitationen

ar en attraktiv kraft? Det var allmant accepterat att universum var statiskt och att stjarnor

kunde rora sig i forhallande till varandra, men de kom inte pa ett langt tidsperspektiv narmare

eller langre ifran oss. Ett annat problem existerade ocksa, nagot som man kom att kalla Olbers

1Tro mig, man kan diskutera vad som ar ett fysikaliskt system och vad som inte ar det i evigheter utanatt komma nagon vart.

81

82 Kosmologi

paradox. Det ar helt enkelt fragan: Om universum ar oandligt stort, varfor ar da natthimlen

svart? Da ljuset fran alla oandliga stjarnor nar oss borde ocksa natthimlen vara ljus. Det finns

manga formuleringar genom arhundraden av denna fraga med den forsta troligen given ar 1576

av Thomas Gigges. Olbers paradox blev det forst ar 1826 da Heinrich Olbers formluerade den

som

Uppgift 3.1

Olbers paradox: Om vi antar det foljande

i.) universum stracker sig oandligt langt ut i rymden

ii.) universum ar oandligt gammalt

iii.) universum innehaller stjarnor av lika luminositet och som existerar jamnt fordelade i

rymden

iv.) det finns ingen materia mellan oss och stjarnorna som skulle forhindra ljuset fran

stjarnorna att na oss,

berakna da universums totala ljusintensitet pa jordens natthimmel kommande ihag att iten-

siteten fran en sfarisk kalla avtar med avstandet som I = E4πr2

, dar E ar kallans energi. Du

kommer att fa ett resultat som ar paradoxalt da vi vet att natthimlen ar svart. Denna paradox

kallas for Olbers paradox. Ge nagot forslag pa hur denna paradox kan losas?

Svaret pa denna fraga och Newtons, kom forst langt efter Newton och Gigges genom astro-

nomen Edwin Hubble som matt ljusets spektrum fran avlagsna galaxer. Han upptackte att

avlagsna galaxer alltid uppvisar en rodforskjutning i spektret, vilket han tolkade som att de

verkar vara pa vag ifran oss. D.v.s. han uppmatte en sorts Dopplereffekt, men observera att

detta inte ar Dopplereffekten fran den speciella relativiteten, utan Dopplereffekten p.g.a. att

rum-tiden utvidgas under fotonens fard. Den brukar inte ens vanligen kallas for Doppleref-

fekten da den orsakas av denna effekt. I figur 3.1 ser vi hur ljuset fardas fran en stjarna till

oss. Forst rodforskjuts ljuset gravitationellt pa vag ut fran stjarnans gravitationsfalt, sedan

rodforskjuts det p.g.a. rum-tidens expansion och slutligen blaforskjuts det lite pa vagen ner

till oss genom jordens gravitationsfalt. Ytterligare kan stjarnan i forhallande till oss ha en

hastighet at nagot hall sa att ljuset p.g.a. detta ocksa rodforskjuts eller blaforskjuts. Allt det-

ta maste man beakta for att ta reda pa om stjarnan ar pa vag fran eller till oss och speciellt

om man vill bestamma hur mycket den ar pa vag fran eller till oss.

Denna analys gjord av Hubble fick honom att tro att galaxerna ror sig ifran oss med en

hastighet proportionell mot deras avstand fran oss. Man brukar ge Hubbles lag som

v = H0r, (3.1)

dar r ar avstandet och H0 ar Hubbles konstant. Vı ser genast att konstanten maste ha dimen-

sionerna av [1s]. Man brukar vara ense om att den ligger i intervallet [1.6×10−18, 3.2×10−18]s−1,

Hubbles upptackt 83

jorden

en stjärna

Interstellär rymd

<

>

>

stjärnans

gravitationsfält

jordens

gravitations-

fält

Figur 3.1: Vi ser hur ljuset fardas upp genom stjarnans gravitationsfalt, forlorande energi sa,att dess valangd okar (rodforskjutning). Sedan fardas ljuset en lang stracka genom interstellarrymd under vilken ljuset rodforskjuts ytterligare p.g.a. rum-tidens expansion. Slutligen narljuset jorden och blaforskjuts lite pa vag ner genom atmosfaren till oss.

vilket vi kan rakna om till mera anvandbara enheter genom att infora ljusar med definitionen

1 ly = 9.46× 1015 m,

vilket ger oss

H0 ∈ [15, 31]km/s

Mly. (3.2)

Med Medelvardet 23km/sMly

. Vad detta betyder ser vi battre ur figur 3.2 dar man ser hur galax-

erna placerar sig enligt Hubbles lag.

0 2 4 6 8 10 12

5

10

15

20

(10 ly)8

v (10 m/s)6

r

Figur 3.2: Vi ser Hubbles lag anpassad till nagra galaxer (punkterna). Som vi ser, sa ar inteHubbles lag bra pa storre avstand, men fungerar val pa korta. Det viktigaste med dennalag, trots att den bara fungerar pa korta avstand, ar nog att den beaktar att universumexpanderar.

Anpassandet av linjen ar ratt skapligt i borjan av grafen, men snart ser man att Hubbles

lag inte fungerar over stora avstand. Den fungerar bara bra for de galaxer som befinner sig

84 Kosmologi

relativt nara oss. Men det viktigaste med Hubbles lag var att den indikerade att universum

expanderar at alla hall. At vilket hall vi an ser sa aker galaxerna ivag fran oss, vilket leder

till den kosmologiska principen som ar mycket viktig da man skapar en ungefarlig metrik for

universum enligt Einstens ekvation. Den lyder:

Den kosmologiska principen:Universum ser mer eller mindre likadant ut at vilket hall vi

an ser vid vilken tidpunkt som helst.

Det ar klart att universum inte kan vara exakt likadant at alla hall vid alla tidpunkter, men

avstanden i universum (mellan galaxer) ar sa stora att denna effekt kan negligeras inom en

god approximation. Den kosmologiska principen brukar oversattas till fysiska som, universum

ar isotropt och homogent, vilket i sin tur ger mojligheten att hitta en losning pa Einsteins ek-

vationer for den allmanna relativiteten som kallas for Friedmann-Robertson-Walker metriken

(eller universum). Denna metrik ar en av grundstenarna i den moderna kosmologin. M.h.a.

den kan man berakna tiden det tar for ljuset att na oss fran avlagsna stjarnor och galaxer

och genom detta bestamma universums alder. Det gar ocksa att bestamma avstand m.h.a. av

den och med dessa metoder studera Big Bang modellen. Det viktiga med denna Friedman-

Robertson-Walker (FRW) metrik, ar att den kommer fran den allmanna relativiteten och

darfor betyder universums expansion att sjalva rum-tiden expanderar. I figur 3.3 ser vi en

illustration av denna tanke i 2 dimensioner.

R

Ra.) b.)R

R

Figur 3.3: Figurer illustrerar tanken med att rum-tiden utvidgas i 2 dimensioner (med tillhjalpav en tredje). Vi tanker oss tva stjarnor pa ett par fixa koordinater pa sfarens yta. Da R okar,okar avstandet mellan stjarnorna men deras koordinater ar desamma.

Denna figur skall ses som en 2D rymd som ligger pa ytan av en sfar. Da rum-tiden expanderar

(radien okar i denna figur) okar avstandet mellan stjarnorna men de bibehaller sina koordi-

Hubbles upptackt 85

nater. Detta kan givetvis inte illustreras i 4D, men sa stark tro som fysiker maste vi ha att

2D racker for oss.

Hur ar det med gravitationen da? Gravitationen mellan himlakroppar ar ju en attraktiv kraft

och da maste ju rum-tidsexpansionen motarbetas av den. Det ar precis vad gravitationen

gor. Detta fenomen ar starkt kopplat till nagot som man kallar universums kritiska densitet

ρc. Om unversums energi och materie densitet ar > ρc, kommer vart universum att slutligen

kontrahera i nagot som kallas for ”the big crunch”. Om energi- och materiedensiteten daremot

ar ≤ ρc, sa kommer unversum att fortsatta expandera. I fallet da ρc = 1, kommer unversum

att assymptotiskt narma sig ett varde da det inte expanderar alls. Man brukar kalla dessa

olika scenarion for

ρE > ρc slutet (closed eng.) universum

ρE = ρc platt (flat eng.) universum

ρE < ρc oppet (open eng.) universum

dar ρE ar energi och materie densiteten. Vi kan illustrera detta i foljande uppgift som rela-

tivistiskt ar inkorrekt, men som innehaller precis den samma fysikaliska inneborden som den

riktiga relativistiska berakningen.

Uppgift 3.2

Gor en Newtonsk berakning av den kritiska densiteten i vart universum. Tank dig en stor

sfar som innehaller manga galaxer med den sammanlagda massan M . Vi tanker oss att var

egna galax har massan m och ligger pa ytan av denna sfar. Enligt den kosmologiska principen

kommer universum att vara sfariskt symetriskt, vilket betyder att den gravitationella kraften

pa var galax med massan m kommer att vara endast en konsekvens av massan innanfor denna

sfar. All kraft som kommer fran utsidan av sfaren summeras till 0, som vi minns fran vara

kurser i Newtonsk mekanik. Da ar alltsa den potentiella energin for var galax Upot = −GmMR

och den totala energin blir

Etot =1

2mv2 − GmM

R(3.3)

Harled alltsa fran detta, vardet pa den kritiska densiteten genom att anta att alla galaxer

sprider ut sig i universum enligt Hubbles lag v = H0R.

Svaret blir ρc =3H2

0

8πG= 1.0 × 10−26kg/m3, vilket motsvarar ungefar 6 vateatomer per kubik-

meter.

Det intressanta i denna kraksang ar att da man gjort matningar pa energi-massdensiteten i

universum, har man kommit till att all synlig materia (san materia som ger ljus ifran sig)

star endast for ungefar 5% av den observerade gravitationella materian i universum. Resten

av materian ar sk. mork materia.

Mork Materia (Dark matter eng.)

86 Kosmologi

Mork materia ar en komponent av energi som inte avger ljus, men vaxelverkar gravitationellt,

darav namnet materia. Den har observerats pa olika skalor, i t.ex. galaxer, stora och sma

grupper av galaxer och i hela, det for oss observabla, universum. D.v.s. mork materia ser

ut att existera pa relativt stora skalor, fran galaxer till hela universum, men mera ”lokala”

observationer av mork materia finns inte tillgangliga. Ett satt att inse att nagot fattas fran

massdensiteten i universum ar att observera den kosmiska bakgrundsstralningen och berakna

mangden materia som vaxelverkar gravitationellt i universum och konstatera att denna mangd

ser ut att vara ca 30% av den totala energidensiteten. Problemet som uppstar ar att da

man uppmater mangden synlig materia (san som avger ljus, ex. stjarnor, galaxer, kvasarer,

interstellar gas (denna avger ljus i olika energiomraden beroende pa hur varm den ar), et.c.)

och summerar ihop den, ser man att den endast star for 5% av den totala massan som

vaxelverkar gravitationellt i universum. Da kan man ju undra vart 25% tagit vagen, den

morka massan. Men for att forst kunna saga att det faktiskt handlar om massa och inte t.ex.

ar en effekt av att den Newtonska gravitationen skulle vaxelverka annorlunda, over valdigt

stora avstand, maste vi se pa experimentell data.

Da man studerat spiralgalaxers rotationskurvor (se fig. 3.4), har man konstaterat att den

vanliga hypotesen, centrifugalkraften = gravitationella attraktionen:

100

200<

v (km/s)

>

10 20 30r (kpc)0

a.)

b.)

Figur 3.4: a.) Vi ser en experimentellt uppmatt rotationskurva for en spiralgalax samt en somar utritad for samma galax enligt Keplers lag i b.), beaktande endast den synliga materian.Figuren ar enbart kvalitativ.

v2

r=GM

r2⇒ v =

√GM

r, (3.4)

inte fungerar pa langa avstand fran dessa sprialgalaxers centra. D.v.s. Keplers lag v ∝ 1√r

Hubbles upptackt 87

galler inte. Istallet ser man att hastigheten halls mer eller mindre konstant pa avstand av ∼ 5

kpc2 och faller inte av enligt 1√r-lagen. Om man da antar att sprialgalaxskivans ljusintensitet

ar proportionell mot skivans ytdensitet av materia som ger ifran sig ljus, far man en hastighet

som ar i typiska fall en faktor av 3 lagre an det observerade vardet for de yttersta punkterna

av galaxskivan.

Detta kan betyda att det graviationella faltet ar for svagt med en faktor av ca 10 for att det

skall kunna forklara observationerna. Problemet ar att da man modifierar Keplers lag eller

Newtons antagande att G ar konstant, gar dessa modifikationer inte att vava in i en konsistent

relativistisk teori. Modifikationerna borde vara stora over stora avstand och detta skulle i sin

tur implikera kosmisk deformation, vilket inte ar konsistent med matdata. Darfor kans inte

ideen om en annan typs gravitation over kosmiska avstand valdigt realistisk.

En annan losning pa problemet kunde vara att sprialgalaxer skulle ha stora magnetiska falt

som stracker sig ut till avstand pa 10 kpc dar den interstellara gasdensiteten ar lag och gasen

kunde latt borja rotera snabbare p.g.a. det. Problemet har, ar att detta inte namnvart modi-

fierar stjarnornas hastigheter i dessa omraden och dessutom ar det oklart om det kan existera

sa stora magnetiska falt i galaxer. T.ex. i vintergatan ar faltet bara av storleksordningen

mikrogauss, vilket inte ar tillrackligt.

Orsaken man talar om materia ar den att om vi vill att hastigheterna i spiralgalaxerna skall

vara konstanta over stora avstand kraver detta att massan ar proportionell mot r darfor att

da har vi v = konst., fran (3.4). Men har vi en massa som ar M ∝ r ar detta ekvivalent med

att vi har en radiell massdensitet som ges av ρr ∝ r−2. Detta ar fallet da vi har ett sfariskt

skal av gas3 som omringar galaxen. Darfor talar man om mork materia.

Mork materia har inte endast observerats via spiralgalaxers rotationskurvor utan ocksa i

ex. sma grupper av galaxer. I dessa fall har man observerat att i vissa fall dar dessa sma

galaxgrupper ar omringade av het gas, ar temperaturen for denna gas for hog for att kunna

forklaras genom endast existensen av det gravitationella falt som den synliga materian i dessa

galaxgrupper skapar. Man har ocksa konstaterat att storre grupper av galaxer pa vissa hall

ror sig sa snabbt att de maste innehalla manga ganger mera materia an den observerade

ljusavgivande materian, for att dessa grupper skall hallas bundna i en grupp och inte separera

sig. F.Zwicky noterade detta for Coma galaxklustern 1933. Detta ar den forsta observationen

av mork materia.

Om vi da accepterar att det finns mork materia, ar det kul att borja spekulera i vad det

kunde vara. Det forsta man kunde tanka sig ar att den morka materian fortsattningsvis

skulle vara baryonisk4 i form av nya oupptackta partiklar. Detta ar inte mojligt p.g.a. att

21 pc ≈ 3, 262 ly.3Kallas for galaxens halo4Tre kvarkar for en baryon. Baryoner ar ex. protonen och neutronen. Materia som inte bestar av 3 kvarkar

ar icke-baryonisk. T.ex. elektronen och elektronneutrionon ar exempel pa icke-baryonisk materia.

88 Kosmologi

nukleosyntesen 5 redan fungerar sa bra att det inte finns rum att tranga in mera baryonisk

materia utan att forstora Big Bang modellen. Det finns dock andra kandidater av baryonisk

materia som kunde vara realistiska. T.ex. Bruna dvargar, stjarnor som dragits samman av

den gravitationella vaxelverkan, men inte tillrackligt for att energidensiteten skulle hetta upp

karnan for att tanda en fusionsprocess i dem. Dessa skulle vara svara att observera eftersom

de inte skulle lysa. Objekt av denna typ kallas for MACHO:n (eng. MAssive Compact Halo

Object). Dessa kan observeras genom gravitationslinssfenomenet, via vilket man kan rakna

ut objektets massa, men detta ar inte trivialt och darfor kan man annu inte saga om denna

typs baryonisk mork materia ar vanlig eller inte.

Mork materia kan troligtvis inte heller vara interstellar gas eftersom denna gar att observera

da den ar het, och om den ar kall kommer den anda att reflektera stjarnljus i det infraroda

spektret och pa detta vis gar ocksa denna kalla gas att observera. Dessutom, vore den morka

materian mestadels kall gas, skulle det masta finnas sa mycket av den att vi skulle ha manga

ganger mera kall gas an varm gas, vilket inte verkar rimligt, med tankte pa Big Bang modellen.

Svarta hal daremot, kunde vara en losning. De avger inte ljus6. De har langa livstider om

de ar stora och man tror att sana finns i mitten av varenda galax med massor over 100M�.

Problemet med svarta hal som losning pa denna fraga ar det att dessa svarta hal kanske star

for en del av den morka materian, men de kan inte forklara sprialgalaxernas rotationskurvor

eftersom dessa kraver radiellt utsprid mork massa i galaxens halo.

En battre typs kandidat for mork massa ar s.k. Kall Mork Materia (eng. Cold Dark Matter,

CDM). Denna typs mork massa kan skapas av partiklar som var mycket langsamma da for-

mationen av galaxer borjade. Om dessa partiklar dessutom ar massiva och vaxelverkar endast

genom den svaga och gravitationella vaxelverkan, kallas de for WIMPs (eng. Weakly Inte-

racting Massive Particle). Sana partiklar ar t.ex. mycket tunga neutriner mν > 45 GeV, vilka

inte till dags dato observerats. De kunde ocksa vara vissa supersymmetriska7 partiklar som

t.ex. fotinon (fotonens supersymmetriska partner), Zinon (den svaga vaxelverkans neturala

formedlarbosons supersymmetriska partner) och Higgsinon (Higgspartiklens supersymmetris-

ka partner). Dessa har heller inte observerats till idag. Det ar ocksa mojligt att den kalla morka

materian bestar av partiklar som ar mycket latta om de har supersvaga vaxelverkningar. T.ex.

axionen8. Det enda som dessa WIMPs har gemensamt tills nu ar att de existerar i teorier och

aldrig har observerats.

Under de senaste aren har man ocksa hittat en galax av mork materia. Detta fynd har verifi-

5Processen som skapar nukleoner i Big Bang modellen.6De kanske avger Hawkingstralning, men aven om de gjorde det ar denna stralning sa minimal att vi inte

kan observera den med nutida instrument.7Supersymmetri ar en tillsvidare oobserverad symmetri som sager att for varje fermion finns det en boson

och tvarttom.8Detta ar en hypotetisk parikel som postulerats for att den starka vaxelverkan (QCD) inte uppvisar partiets

och laddningsparitets (CP) brytning.

Hubbles upptackt 89

erats pa tva hall och torde darfor vara en riktig observation. Detta ar bra for den nuvarande

teorin om formationen av galaxer, eftersom den forutspar att det skulle finnas galaxer av

enbart mork materia, men den kan ocksa oppna nya fragor. Det har visat sig att da man matt

rotationshastigheten for denna galax, kan man rakna ut att den borde innehalla ca 1/10 av

den morka materian i vintergatan. Men skulle detta vara fallet, borde denna galax genom

berakningar innehalla 100 ggr mer vate an vad som observerats. Detta har fatt vissa att tro

att denna observation inte ar riktig, den kunde t.ex. vara en misstolkning av tva vatemoln

som mots och skapar en illusion av rotation. Om den ar riktig, pekar detta ytterligare pa en

egenskap av den morka materian vi inte kanner till.

Efter denna korta genomgang kan man konstatera att det inte langre ar sa trivialt att hitta

en passlig kandidat for den morka materian. Nagra fysiker har t.o.m. hittat pa att forsoka

modellera mork materia genom en femtte vaxelverkan, men det behover knappast namnas

att detta innebar manga svarigheter. Bl.a. varfor den inte observerats pa jorden. Kall mork

materia ar en bra ide, men p.g.a. den lilla tillgangliga datan vad galler observationer av denna,

kan man inte saga mycket. Svarta hal ar sakert en del av den morka materian, men som sagt

forklarar inte dessa de observerade konstanta hastigheterna i sprialgalaxernas rotationskur-

vor. Experiment som skall detektera WIMPs har konstruerats runt om jorden, men dessa ar

for unga for att annu saga nagot om mangden WIMPs i var galax. Det kan ju ocksa handa

att den nyss konstruerade LHC ringen kan ge oss nagot svar till fragan om mork materia,

men det ar foga troligt.

Mork Energi (Dark energy eng.)

Vi har nu namnt varfor man tror att det finns mork materia i universum och de problemen

denna morka komponent av materian for med sig, men det finns en annan okand del i uni-

versums energi-materie denistet som upptar ca 70% av den totala observerade energi-materie

densiteten och som anses vara en mycket storre bov i dramat an den morka energin. D.v.s.

den overlagset storsta komponenten av energi-materie densiteten ar nagot som vi kallar for

mork energi och den upptar 70% av all observerad energi-densitet.

Den morka energin upptacktes for forsta gangen 1998 i observatioener av supernovor av typen

Ia. Dessa ar supernovor som formats genom att vita dvargar9 som genom nagon mekanism

uppnar Chandrasekhar gransen10 och exploderar i en supernova. En typ Ia supernova. Dessa

ar speciella, p.g.a. att da de exploderar vid denna noga definierade grans ger de ifran sig en

typisk luminositet som funktion av tiden som mer eller mindre alltid ar likadan. D.v.s. da

avstandet till dessa supernovor till storsta del beror av luminositeten vi observerar pa jorden,

9Stjarnor som brant slut pa sin fusion och ”slocknat”. Detta betyder inte att de inte skulle lysa, menfusionsprocessen har stannat av.

10Nar en stjarna nar sin Chandrasekhargrans i massa, klarar elektronerna inte langre av att halla emot dengravitationella attraktionen i stjarnan och den borjar kollapsa.

90 Kosmologi

kan vi rakna ut avstandet till dem mycket noggrannt. Ar 1998 konstaterades det att vissa

supernovor av typen Ia ar pa vag ifran oss med en accelererande hastighet.

En annan observation som ocksa stoder existensen av mork energi, kommer fran WMAP

satelliten. WMAP mater den kosmiska bakgrundsstralningen och via den kan man konstatera

att unversum ser ut att vara mer eller mindre platt. D.v.s. den kritiska densiteten i universum

ar ρc ∼ 1, vilket i sin tur betyder att da man raknar ihop materian och den morka materian

racker detta endast till for att motsvara 30% av den observerade energidensiteten i universum.

Resten, 70%, kallar vi mork energi. Teorin om stora strukturers skalor (eng. Large Scale

Structures) i universum11 stoder ocksa observationen att materia endast star for 30% av den

observerade energidensiteten i universum.

M.a.o. ser det ut som att mork energi ocksa ar en del av vart universum, men vad kan den

besta av? Denna fraga har inget bra, ens teoretiskt, svar. Det man har konstaterat ar att den

morka energin ser ut (WMAP) att vara jamnt fordelad over hela universum och att den inte

vaxelverkar annat an gravitationellt. En tanke var att vakuumenergin fran standardmodellen

i partikelfysik skulle summeras ihop over hela universum och sta for denna energidensitet.

Tyvarr ger detta en energi som ar 10120 ggr for stor. Detta ar relaterat till den synpWunkten

att denna energidensitet kanske kommer av ”kostnaden att ha rum”. D.v.s. rummet har nagon

intrinsisk energi som man summerar ihop over hela rummet och tillsammans bildar detta varde

en konstant som kallas for den kosmologiska konstanten, efter termen i Einsteinekvationerna,

eftersom den fungerar exakt pa samma satt. Detta kallas for problemet med den kosmologiska

konstanten.

Ett annat problem med denna konstant ar att vi idag observerar att universum ar sa nar som

platt ρc ∼ 1. Men eftersom universum for ca 12 miljarder ar sedan var mera kompakt med

samma energi (energins konservering) maste denna parameter varit mycket storre an 1. Det

som man undrar over ar varfor denna kosmologiska konstant, om den alltid varit konstant12,

borjat dominera over energidensiteten just i dessa tider?13

Om man utgar ifran att den kosmologiska konstanten beror av tiden pa nagot satt leds man

snabbt in pa teorin om skalara faltt eller kvintessens (eng. Quintessence). I denna modell

anntar man att det finns en ny typs energi som beskrivs av skalara falt, sa som Higgsboso-

nen, som andrar med tiden i universum. Man antar att dessa skalara falt endast vaxelverkar

gravitationellt och med sig sjalva. Eftersom ett skalart falt ar matematiskt ekvivalent med en

vatska med en tidsberoende hastighet for ljudet, kan man omforma dessa skalara falt sa att

de ar en vatska med ett negativt tryck och en energidensitet som beter sig som en avtagan-

de kosmologisk konstant. Problemet med dessa modeller, vilka ocksa kallas for kvintessens,

11Den nutida teorin om formationen av stora skalor, galaxer, kvasarer och grupper av galaxer i universum.12Det ar egentligen da vi antar att denna konstant beror av tiden, som den kallas for mork energi.13Detta betyder inte att vi undrar over om varfor denna dominans uppkommit idag eller igar, men att den

uppkommit pa kosmologisk skala (pa den ar 5 miljoner ar sedan = igar) nu.

Hubbles upptackt 91

ar att deras parametrar ocksa maste noga bestammas fran borjan, pa samma satt som den

kosmologiska konstanten.

En annan mojlighet ges av nagot som kallas foljande kvintessens (eng. Tracking Quintessence).

Det ar egentligen samma sak som kvintessens, men nu har man konstruerat energidensiteteen

av kvintessensen sa att den ar liten da universum ar ungt och att den foljer materie och mork

materie densiteten och vaxer forbi denna ungefar nu, pa kosmologisk skala. Problemet med

denna konstruktion ar att den ocksa innehaller en parameter som noga maste bestammas for

att foljandet skall ga till sa, att modellen beskriver energidensiteten i vart universum.

Eftersom vi inte har nagon aning om vad den morka energin ar, har vissa fysiker redan borjat

ga over till den antropiska principen: ”Vi ar har nu och observerar universum som det ar.

Skulle vi inte vara har, skulle universum vara olika och vi skulle inte vara har och kunna se

det.”14 Detta ar en princip som de flesta fysiker hatar eftersom man med den latt kan undvika

svara fragor om varfor konstanter har de varden de har et.c. Vare sig denna princip ar ratt

eller fel, ger den en bild av vilket problem mork energi ser ut att vara for modern fysik. Det

ar sant som gor det vart att vara fyisker.

Uppgift 3.3

Vi fortsatter att betrakta figuren 3.3. Det kortaste avstandet mellan tva punkter pa ytan av

sfaren matt langs sfarens yta ar r = Rθ. Da ballongen expanderar okar dess radie men vinkeln

θ andras inte.

a.) Forklara varfor dRdt/R ar konstant for alla punkter pa sfarens yta, vid vilken tidpunkt som

helst. b.) Visa att v = drdt

ar direkt proportionell mot r vid varje ogonblick. c.) Anvand svaret

i uppgift a.) till att hitta ett uttryck for Hubbles konstant H0 m.h.a. R och dRdt

. d.) Uttrycket

du fick i uppgift c.) ar konstant i rummet. Hur borde R bero av t for att H0 skall vara konstant

i tiden? e.) Ar ditt svar till uppgift d.) konsistent med den gravitationella attraktionen av

massa i universum?

Uppgift 3.4

Anta att utgangslaget for universum ar detsamma som i uppgift 3.2, med undantaget att v =drdt

ar konstant givet θ, istallet for att H0 skulle vara konstant i tiden. Med dessa antaganden,

visa att Hubbles konstant H0 = 1t, sa att vi idag har vardet H0 = 1

T, dar T ar universums

alder. Vad ar denna alder?

14Fri tolkning av den antropiska principen.

92 Kosmologi

3.3 Den stora smallen

En annan direkt tanke ur Hubbles upptackt ar allting kanske startat fran en punkt15. Om man

tanker pa universum ur denna synvinkel leds man till teorin om den stora smallen. Detta ar

nufortiden den mest accepterade teorin for universums uppkomst och utveckling, fast teorin

inte tar stallning till hur universum uppkommit pa ett filosofiskt eller religiost plan. Om man

tanker sig att universum startat fran ett litet omrade och att naturlagarna har gallt efter det,

maste ju detta system kunna modelleras fysikaliskt. Detta gar inte att gora till fullo i dagens

nu eftersom vi inte har en teori som fungerar pa avstand av storleken mindre an Placks langd

lPl ≈ 1.6×10−35 m. Man brukar anta att vi vid mindre avstand an dessa behover en teori om

kvantgravitationen for att kunna saga mera. Detta ar givetvis ocksa bara ett antagande. Hur

det an ma vara med detta sa kan vi forsoka modellera resten av den stora smallen. Detta leder

till den kosmologiska modellen av den stora smallen. Det ar egentligen denna som kallas for

”the big bang”. Tidsperspektivet for denna small ar illustrerat i figur 3.5. Denna modell av

den stora smallen som vi borjar med att betrakta innehaller ingen mork materia. Vi kommer

att addera till den morka materian i ett senare skede.

Figuren 3.5 illustrerar universums utveckling. Den forsta zonen efter den stora smallen fram

till 10−43s ar den tiden da man tankte sig att gravitationen spelade en sa stor roll att vi

inte kan modellera detta omrade utan en fungerande teori for kvantgravitation. Perioden

efter (10−43s → 10−32s) ar ocksa spekulativ. Den grundar sig pa en modell dar alla de

tre vaxelverkningarna den partikelfysikaliska standardmodellen beskriver beter sig som en

vaxelverkan. Denna modell har inte verifierats experimentellt och darfor ar detta parti av

detta tidsperspektiv ganska spekulativt.

Nasta period (10−32s → 10−6s) kommer vi in pa ett sant omrade som redan tangerar de

experiment vi kan gora med enorma partikelacceleratorer. Dessa kommer upp till energier ∼1TeV, vilket klart ligger inom detta energiomrade for den kosmologiska modellen. Under denna

period existerar leptoner e±, µ± och τ± och kvarkar u, d, s, c, b, t separat fran varandra. Fotoner

skapar partikel-antipartikelpar av leptonerna och kvarkarna och de i sin tur kan annihilera

varandra som partikel-antipartikelpar t.ex. 2 fotoner. Denna sorts reaktioner pendlar av och

an tills universum kallnar tillrackligt for att kvarkarna skall sluta existera fritt och ge upp sin

assymptotiska frihet 16. Da universum expanderar kallnar soppan av kvarkar och fortunnas

ut tills kvarkar inte langre upptrader fritt utan sammanslagna i nukleoner.

Detta ar perioden (10−6s → 225s) da nukleonerna formas. D.v.s. vi har mestadels protoner

15Egentligen ar dagens modell for den stora smallen inte en modell som startar fran en punkt. Det ar snararesa att rum-tiden ser ut (jag sager ser ut eftersom det inte gar att rakna anda fran tiden t = 0 med de hittillskanda terorierna) att fodas i.o.m. den stora smallen, och pa sa vis kan man inte saga att den stora smallenstartade fran en punkt. En punkt maste ju befinna sig i rum-tiden, men om rum-tiden inte finns utan skapasi.o.m. den stora smallen, sa kan man inte saga en punkt bara ”sadar”.

16Kvarkar har en egenskap som kallas for assymptotisk frihet, vilken betyder att de upptrader friare juhogre energin ar. D.v.s. ju tatare kvarkmassan, desto friare ar kvarkarna

Den stora smallen 93D

en s

tora

sm

älle

n

>t0

10 s-43

10 s-32

10 s-6

225 s 10 s3

10 s13

10 s15

NU!

Tiden för fria kvarkar

och gluoner (ganska

spekulativt).

Tiden då leptoner

existerar separat

från kvarkar.

Tiden för

nukleoner och

antinukleoner.

Tiden för

nukleosyntes.

Tiden för

joner.

Tiden för

atomer.

Tiden för galaxer

och stjärnor.

e

e

p, n, p, n_ _

n + p_

>

H + γ

H + H

2

2 2

H + HH + p

He + n

_>

_>

3 4

3

H , He1 4+ 2+

H, He, Li

,

10 GeV18

10 GeV12

1 GeV 100 MeV 100 keV 1 eV 10 meV

10 K30

10 K26

10 K12

10 K11

10 K9

10 K3

10 K2,73 K

2

Figur 3.5: Vi ser hur universum utvecklas i den kosmologiska ”standardmodellen” fran ex-istensen av fria kvarkar till stjarnor och galaxer idag. Underst i figuren visas ocksa energi-och temperaturutvecklingen. Denna energi- och temperaturskala skall tas med en nypa salt.Den ar endast till for vagledning. Orsaken ar helt enkelt den att dessa tidsperioder da vissaprocesser dominerade kommer att overlappa och man kan darfor ınte veta exakt nar en periodborjade, vilket syns ur figuren.

och neutroner och deras antipartiklar eftersom dessa ar tillrackligt stabila (neutroner ar ju inte

stabila, men tilrackligt stabila for att de inom sin livstid skall hinna krocka med en annan par-

tikel och reagera) for att hinna reagera i partikelreaktioner och bilda andra partiklar, fotoner

exempelvis. Vid energierna fran t = 10−6s → 10−2s, ar nukleon-antinukleon parproduktion

fran fotoner annu mojlig, men inte vid tider efter 10−2s p.g.a. att energin ar for lag.

Efter nukleonkreationen ar det dags for nukleosyntesen vid tiden 225s→ 1000s. Under denna

tid bildas alltsa karnorna till atomerna (vilka bildas senare)17. Det bildas inte sa mycket

annat an de lattaste karnorna under dessa reaktioner. Dessa ar 74% H, 24% He och 1 %

andra nukleoner, av vilka litium, deuterium och tritium ar de viktigaste. Det intressantaste

med denna process ar att nastan allt helium vi kan observera idag harstammar fran den stora

smallen. Det ar sant att stjarnor producerar helium, men denna process ar inte tillracklig for

att ha andrat i nagon storre man pa mangden helium i universum. Da man gjort matningar pa

mangden helium i universum i forhallande till all annan materia har man kommit till siffran

17Tyvarr finns har en olycklighet i figuren. Det ar namligen sa att karnfysiker betecknar karnor pa sammasatt som kemister. Skillnaden ar att det i karnfysikernas fall inte behover finnas elektroner bundna till karnan,vilket det gor i kemisternas beteckning. Darfor maste man vara pa sin vakt da man avlaser figuren 3.5. Desymboler jag lagt in i figuren for perioden for nukleosyntes avser alltsa bara karnorna. Under denna periodfinns det alltsa annu inga atomer. Dessa kommer forst senare. Orsaken att det blir lite raddigt ar att manskiljer pa perioden som kallas for nukleosyntes och perioden efter det da universum mestadels bestar av joner.Skillnaden ligger i att under nukleosyntesen bildas karnor (joner), men under foljande period da jonernadominerar bildas det inte langre karnor.

94 Kosmologi

24%. Detta, tillsammans med Hubbles obervation av rodforskjutningen, ar det starkaste stodet

for denna modell av den stora smallen, darfor att berakningar i denna modell ger ett varde

pa 24% pa forhallandet helium/allt annat.

Foljande period (103s→ 1013s) bestar av en gas av joniserat helium och vate (till storsta del)

som fortfarande ar for varmt for att bilda atomer. Under denna period hander inget speciellt.

Universum expanderar och kallnar av tills det ar dags for atomer att bildas.

I foljande period (1013s→ 1015s) binds de annu fria elektronerna till karnorna. Det ar forst i

detta skede som universum blir genomtrangligt for ljus. D.v.s. om vi hade ett superteleskop

kunde vi endast se sahar langt tillbaka i tiden. Det ar precis denna stralning vi ser da vi

observerar universums bakgrundsstralning pa 2,73 K. I detta skede borjar man ocksa urskilja

lokala inhomogeniteter i massans och energins utbredning i den expanderande soppan (se

figur 3.6). Dessa dras sedan ihop med tiden och bildar galaxer och stjarnor i nasta period.

Fran den kosmiska bakgrundsstralningen i figur 3.6 kan man ocksa avlasa ljusets polarisation.

Detta ar mycket intressant i.o.m. att denna polarisation ar direkt relaterad till densiteten

gravitationella vagor vid tiden for borjan av den kosmiska inflationen (Se sektion 3.4). Om

vi gar till tekiska detaljer, sa kan man i princip observera E- och B-moder av polariseringen

av ljuset. E-moderna fods p.g.a. fotonernas spridning fran laddade partiklar i denna plasma,

emedan B-moderna vilka inte annu matts experimentellt, beror av den kosmiska inflationen,

vilken i sin tur ar i detta fall starkt beroende av densiteten gravitationella vagor fore den

kosmiska inflationens borjan. Pa detta vis skulle detektion av ljus polariserat i B-moder i den

kosmiska bakgrundsstralningen vara en stark indirekt signal av gravitationella vagor.

Figur 3.6: Detta ar vad kosmologer idag sysslar med. Detta ar en bild pa bakgrundsstralningeni universum. Fran denna bild kan man urskilja de lokala inhomogeniteterna i massans ochenergins spriding runt tiderna for atomernas formation. Rodare farg indikerar varmare anmedeltemperaturen (2,73 K) och blaare indikerar kallare an medeltemperaturen. De vita lin-jerna visar ljusets ”polarisations” riktning for det aldsta ljuset i universum.

Den sista perioden (1015s → NU ∼ 3 × 1017)s ar den vi befinner oss i och da galaxer och

stjarnor formats.

Den stora smallen med mork materia

Da man ocksa placerar mork materia i denna modell, som endast vaxelverkar gravitationellt,

kommer man att fa lite extra struktur pa denna utveckling, men utan att det vi tidigare

Den stora smallen 95

sagt namnvart andras. Bl.a. kommer det att bildas Baryon Akustiska Oskillationer (Baryon-

Acoustic-Oscillation (BAO) eng.) vilka leder till att vi bl.a. kommer att kunna se en 1%

overflod av galaxer kring galaxklustrar. Detta har verifierats experimentellt. BAO:na har ocksa

observerats som temperaturfluktuationer pa olika skalor i den kosmiska bakgrundsstralningen.

For att forsta oss pa BAO:na maste vi borja med en enkel betraktelse av ett universum

med endast stralning och mork materia. Denna betraktelse kommer av att universum forst

var stralningsdominerat och senare materiedominerat, vilket i sin tur beror pa att da uni-

versum expanderar och densiteten fotoner och materia minskar, sa lider fotonerna ocksa av

rodforskjutning vilket ytterligare minskar pa deras energi i forhallande till materian. D.v.s.

fotonerna tappar mera energi i forhallande till materian da universum expanderar. A andra

sidan, da universum var mycket ungt och tatt och temperaturen vsra hog, dominerade energin

i stralningen over energin i materian i universum. Dessa tva epoker skiljer sig fran varandra

pa ocksa ett annat satt. Om vi placerar en klump 18 mork materia i det stralningsdominerade

universat, kommer den att attrahera annan materia och bilda struktur, sa lange denna klump

ar sa stor att ljuset (fotonerna) inte hinner ta sig ut ur den under denna tid da den morka

materian drar in mera stoff och den lokala overdensiteten vaxer. Daremot, om denna klump

inte ar tillrackligt stor for ljuset att stanna i den, kommer den att sluta vaxa p.g.a. av att

dess energi fran dess gravitation och materiedensitet ar lagre an den for stralningen i den

stralningsdominerade perioden. Detta leder till att under den stralningsdominerade perioden

vaxer endast klumpar av mork materia om de ar tillrackligt stora. Detta ar i stark kontrast till

den materiedominerade perioden da all struktur vaxer i samma takt oberoende om klumpen

mork materia ar stor eller liten. Detta, p.g.a. att den storsta delen energi under denna period

bestar av mork materia och inte av stralning och ocksa pa sma skalor (sma klumpar mork

materia) kommer den egna gravitationen att racka till for att overvinna stralningstrycket fran

fotonerna.

BAO:na bildas da vi tar denna modell och adderar till den, den vanlig ”materian” i form av

baryoner 19. Da bildar fotonerna och baryonerna ett plasma, vilket i sin tur gor att den morka

materia klumpen forst drar in denna plasma i sig, p.g.a. av den gravitationella attraktionen i

klumpen, men da tillrackligt med plasma dras in kommer stralningstrycket fran denna plasma

att bli sa starkt att plasman studsar ut ur overdensiteten mork materia. Pa de storsta skalorna

(storsta klumparna mork materia) hinner detta handa endast en gang, men pa mindre skalor

hinner det handa flere ganger och detta leder till ett fenomen som man kallar for Baryon

akustiska oskillationer. Detta fenomen ar direkt observerbat fran KMB stralingen. Detta

resulterar i sin tur i fenomenet som vi namnt som ager rum pa stora skalor, att galaxklustrar

omringas av ett 1% overflod av galaxer.

18En mycket stor klump.19Exempel pa baryoner ar protonen, neutronen, et.c. De partiklar som innhealler storsta delen av materian

i vart universum. En baryon betar av tre kvarkar eller tre antikvarkar. Elektronen och elektronneutrionon arexempel pa partiklar som inte ar baryoner.

96 Kosmologi

Detta ar den ”standardiserade” kosmologiska modellen, men vi har annu inte namnt vilka

problem den innehaller och dessa skall vi se pa i nasta avsnitt. Forutsagelsen av mangden

helium i universum, observationen av den kosmiska bakgrundsstralningen och forklaringen till

varfor stjarnor ar sa starkt rodforskjutna ar utan tvekan teorins storsta triumfer.

Uppgift 3.5

Vid tiden t = 225s borjade nukleosyntesen. Man har kunnat berakna att det fanns 7 protoner

pa en neutron under nukleosyntesens gang. Det finns mera protoner helt enkelt p.g.a. att de

inte sonderfaller lika snabbt (om alls) som neutronen. Uppskatta fran detta, med antagandet

att det bara bildas 4He och 1H under nukleosyntesen, viktprocenten helium i universum.

3.4 Svarigheterna med den stora smallen

Vi presenterade materialet i det forra avsnittet utan att namnvart ga in pa problemen med

denna modell av den stora smallen. Utan tvekan ar forutagelsen av mangden helium och

forklaringen till sjarnornas rodforskjutning en fin sak, men trots det finns det manga problem

som den kosmologiska modellen i sin nuvarande form inte forklarar. Ett av dessa problem ar

mangden materia i universum.

Materie och antimaterie symmetrin

Det har genom matningar av forhallandet baryoner/fotoner 20 i universum konstaterats att

ρBργ≈ 10−10,

dar ρB ar baryondensiteten och ργ fotondensiteten. M.a.o. ar detta forhallande mycket litet.

Detta forhallande ar betydelsefullt p.g.a. att i en annihilations process av en partikel och dess

antipartikel bildas det tva fotoner. Detta forhallande sager alltsa att det skulle ha funnits un-

gefar 11010 mera materia under universums skapelse an antimateria. Det ar tyvarr ett problem

darfor att det inte finns nagon experimentellt verifierad partikelfysikalisk modell dar lagen om

baryontalets konservering21 skulle brytas. Denna lag har mycket starkt experimentellt stod

och darfor forvantar vi oss att det behovs ny fysik for att forklara fenomenet.

Man kunde forstas tanka sig en modell som fran borjan hade mera materia an antimateria,

men eftersom materia och antimateria bada ar energi finns det ingen orsak till att det skulle

skapas mera av det ena an det andra, med den till idag kanda fysiken. Denna tanke leder

m.a.o. ocksa till behovet av ny fysik.

Den kosmiska inflationen

20Protonen, neutronen och andra partiklar som bestar av 3 kvarkar eller 3 antikvarkar kallas for baryoner.21Helt enkelt sager denna lag att det produceras lika manga baryoner som det forstors i en partikelreaktion.

Denna lag har inte observerats att brytas under decennier av observationer.

Svarigheterna med den stora smallen 97

Ett annat problem for det universum vi observerar nu ar att da man kollar pa den kosmiska

bakgrundsstralningen (figur 3.6), marker man att skillnaderna i temperatur mellan omraden

ar sa sma att det ar mycket svart att tanka sig att de inte varit i kontakt med varandra. Detta

ar ett problem darfor att manga delar av dessa omraden skulle inte legat nara varandra ens

for 13 miljarder ar (ungefar universums alder) sedan. For att de skulle varit i kontakt kravs

att universum, som ”barn”, skulle ha vaxt alldeles enormt.

Ett annat problem ar det sk. finjusterings problemet. Manga teoretiker vill namligen att uni-

versum inte skall borja expandera ur ett mycket noga specificerat tillstand, med noga angivna

begynnelsevarden, utan ur ett mer eller mindre slumppmassigt tillstand. Detta finjusterings

problem kommer av att universum idag ar mycket noga platt, men en utveckling av den sor-

ten man utgar ifran i teorin om den stora smallen kommer att gora universum mycket krokt

om inte denna ”platthets parameter” ar mycket noga finjusterad till ett visst varde. Detta ar

visserligen ett mera kosmetiskt problem, for visst kunde man saga att vi staller parametern

sa i begynnelsen och sa blir den som den blir idag. Detta ar inget problem fysikaliskt, vi

lever ju dar vi lever och detta ar totalt oberoende av vad kosmologer kokar ihop for modeller

for det, men teoretiska fysiker brukar inte tycka om finjusteringar darfor att man lart sig

genom erfarenhet att man kan bygga battre modeller utan att anvanda sig av finjusteringar.

Finjusteringar ar en sorts restriktioner for modellbyggande. Hursomhelst sa ar nog det forsta

problemet det mera fysikaliska i detta fall.

Dessa problem gar att fixa genom att anta nagot som kallas for kosmisk inflation, eller bara

inflation. I inflationsteorin antar man att universum expanderar mitt i allt mycket mycket

snabbt. Faktiskt sa snabbt att nagon skulle saga att det gar snabbare an ljuset och maste

vara omojligt. Detta pastaende grundar sig pa en feltolkning av teorin. Det ar rum-tiden som

expanderar (se figur 3.3) och det finns ingen restriktion pa hur snabbt den kan expandera.

Egentligen gar det inte ens att saga att rum-tiden expanderar snabbare an ljuset, darfor att

for att pasta detta borde vi kunna jamfora dessa tva. Men ljuset kan inte existera utan att

befinna sig i rum-tiden och dessa tva kan darfor alltsa inte matas oberoende av varandra.

Denna sorts expansion forklarar val varfor universum ar platt idag och ocksa varfor omraden

i bakgrundsstralningen, som ser ut att ha varit i ickekausal kontakt under den stora smallen,

kan ha temperaturer sa nara varandra. Men for att fa en expansion av denna sort maste vi

kunna forklara varifran denna expansion far sitt ursprung. Vad ar det som astadkommer den?

Svaret pa denna fraga tanker man sig22 att har att gora med fasovergangar, precis som vatten

blir is da temperaturen sjunker tillrackligt. D.v.s. materien befinner sig i en fas (t.ex. vatska)

och overgar i en annan fas (t.ex. fast form) genom att ge ifran sig energi. Vad galler universum

brukar man tanka sig att universum genomgar 3 fasovergangar under sin tidiga utveckling.

22OBS! Kom ihag att kosmisk inflation inte ar nagon experimentellt veriferad sak. Huruvida man kanobservea den overhuvudtaget ar en bra fraga. Men nagot i stil med inflation ar nog sa nodvandigt for att halladen stora smallen teorin konsistent. Det ar framst darfor vi tar upp inflationen.

98 Kosmologi

Den forsta intraffar vid energin E ∼ 1015GeV. Denna ar den mest spekulativa fasovergangen

vilken ar relaterad till att man tanker sig att den gemensamma symmetrin som forenar den

starka och elektrosvaga vaxelverkningen till en i en stor forenad teori overgar i en splitt-

rad symmetri dar dessa krafter existerar som olika fundamentala vaxelverkningar. Denna

fasovergang ar spekulativ darfor att trots att mycket pekar pa att dessa fundamentala krafter

kunde forenas vid en mycker hog energi ∼ 1015GeV finns det inga experimentella tester av

dessa kandidater till en stor forenad teori. Helt enkelt kommer vara partikelacceleratorer inte

upp till dessa energier. For tillfallet befinner vi oss pa energier av endast ∼ 103GeV.

Den andra fasovergangen intraffar vid energin E ∼ 100GeV och beror av att den elektrosvaga

vaxelverkan delar pa sig i den elektromagnetiska och svaga vaxelverkan.

Den tredje fasovergangen intraffar vid E ∼ 100MeV. Denna ar en forutsagelse av kvantkro-

modynamiken som sager att kvarkarna kommer att overge sin frihet 23 och bilda hadroner

(partiklar som bestar av flere kvarkar an en, ex. protonen).

Dessa fasovergangar brukar generellt beskrivas genom att en symmetri blir spontant bruten.

Da en symmetri bryts leder detta till existensen av sk. Higgspartiklar, vilka ar skalara partiklar

(eller falt i den faltteoretiska beskrivningen). Existensen av dessa under universums utveckling

hoppas man kunna fungera som en forklaring till inflationen. Dessa skalara falt kommer sedan

att sonderfalla till andra partiklar genom en process som kallas ateruppvarmning (reheating

eng.).

Detta verkar nog allt lite losrivet, men inflationens utan tvekan storsta stod ar att man genom

inflationsteorin lyckats koppla in sig pa de lokala inhomogeniteterna i bakgrundsstralningen.

Det namndes ju tidigare att dessa i sin tur ar kopplade till strukturformationen i universum

som vi ser det idag. Galaxer och stjarnor maste ju formas pa nagot satt. Det maste namnas

att man inte vet sa mycket om hur dessa former evolverade ur de lokala inhomogeniteterna

i bakgrundsstralningen, men man tror helt enkelt att gravitationen dragit ihop dem tills de

bildat lokala anhopningar av materia som just galaxerna.

Inflation leder alltsa direkt till inhomogeniteter i materiens utbredning i det tidiga univer-

sum och pa sa vis till formationen av strukturer i universum. Detta ar ett mycket aktivt

forskningsomrade (ocksa pa Helsingfors universitet), men det kompliceras av upptackterna av

mork materia och energi. Dessa maste ju beaktas i dessa inflationskalkyler och vi har tyvarr

annu ingen aning om vad de morka komponenterna av energin ar eller bestar av.

Uppgift 3.6

Tag reda pa hur det gar for Planck satelliten. Anvand t.ex. sajten www.rssd.esa.int Tag redan

pa malet for satelliten, hur lange man tankt att den skall vara i funktion och vad man hoppas

bestamma m.h.a. den.

23Vad som menas ar att kvarkarna kommer att sluta upptrada som fria partiklar.

Bocker om kosmologi 99

3.5 Bocker om kosmologi

Vi har endast rusat igenom kosmologin som omrade och darfor lider kapitlet av samma pro-

blem som den generella relativitetsteorin for denna kurs. Det ar svart att rekommendera

bocker eftersom valdigt fa innehaller denna lite over popularvetenskapliga men anda inte

vetenskapliga niva av information. Nagon enstaka kan man dock kommentera.

[1] Jukka Maalampi & Tapani Perko, Lyhyt modernin fysiikan johdatus,

Limes r.y., 1999.

Kursboken for denna kurs pa den finska sidan i Helsingfors universitet innehaller givetvis

ett kapitel om kosmologi, det sista. Boken innefattar i stort sett samma saker som detta

material om kosmologi, men kanske pa en nagot mera ingaende niva. Detta kapitel lider

inte lika mycket som kapitlena om den genrella relativiteten av den ”halv”pedagogiska

upplaggningen utan gar bra att lasa for att fa en klarare bild av detta omrade.

[2] A. Liddle, & D. Lyth, Cosmoloical Inflation and Large-scale Structure,

Cambridge University Press, 2000.

Detta ar kanske inte en bok for dem som ar allmant intresserade av kosmologi. Den

riktar sig narmast till dem som vill fundera over inflationen mera ingaende. Boken

innehaller, som de flesta bocker i kosmologi, ocksa i korthet nagot om den mer klassiska

Einsteinska bilden, men den gar snabbt in pa inflationen, de olika modellerna av inflation

och konsekvenserna av dessa. En bok for dem som vill ta sig en titt pa ett mycket aktivt

omrade inom dagens kosmologiska forskning.

[3] M. Roos, Introduction to Cosmology,

John Wiley & Sons, Ltd, 2003.

Denna bok innehaller allt en ung kosmolog behover veta som introduktion till kosmo-

login som en del av fysiken. Den som kanner sig kallad att fundera over kosmologiska

fragestallningar gor ett gott val att starta med denna bok. Boken ar en introduktion,

men en mycket fullstandigare sadan an dessa anteckningar och den innehaller darfor

material pa ett djup utanfor denna kurs, men svarforstaelig ar den inte. Ogna garna

igenom.

Documents

Relativitetsteorins Grunder · omr ade av fysiken hade James Clerk Maxwell presenterat sina ekvationer f or elektrodynamik (1864) rD~ = ˆ rB~ = 0 r E~ = @B~ @t r H~ = J~+ @D~ @t;