ISBN 978-91-86611-53-8

Tommy LucassiFormativ bedömning i matematikPROBLEMLÖSNINGAR ∙ LEKTIONSUPPLÄGG ∙ MATRISER∙ DOKUMENTATION

Algebra och ekvationer 7-9

isbn 978-91-86611-53-8 © 2013 Tommy Lucassi och Askunge AB

produktion • Mirvi Unge Thorsénillustration • Elin Lucassi

Första upplagan1

Denna bok uppfyller miljökraven för märkning med Svanen.

tryckElanders Sverige AB 2013

kopieringsförbudDetta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Det är inte tillåtet, enligt avtal med Bonus Presskopia, att för undervisningsbruk kopiera ur detta häfte. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

undantag Kopiering är tillåten av de sidor som är markerade Kopiering tillåten. Kopiering får dock endast ske till eleverna på den egna skolan, och kopiorna får inte på något vis spridas utanför den egna skolans verksamhet.

Askunge Thorsén Förlag AB, Manhemsvägen 41, 131 46 Nacka08-30 95 75, 073-951 13 93www.askunge.seaskunge@askunge.se

Tack

Ett stort tack till de lärare och elever som testräknat problemlösningarna:Annika Mörk, Sofia Holmberg, Helena Öberg och Petra Nordström och deras elever på Rålambshovsskolan. Mats Danielsson och hans elever på Trångsundsskolan. Stefan From och hans elever på Ebba Petterssons privatskola.Tack till mattelärarna på Nya Elementar som varit bollplank och bidragit med respons.Tack också till mina före detta elever på Katarina Norra skola. Tillsammans med er har idén till denna bok växt fram och utvecklats.Slutligen, ett tack till Elin Lucassi för alla kloka råd om allt från idé till språk och layout.

medveten matte 3

innehållhälsning från författaren ........................................................4så här använder du medveten matte .......................................5att lära ut bedömning ...............................................................8 Att visa beräkningar .................................................................8 Gemensamt språkbruk ............................................................8 Bedömningsträning i grupp .....................................................10 Väggmatris ..............................................................................10formativ bedömning ...................................................................11lgr11 ...........................................................................................12om problemlösning .....................................................................13 Stora frågor ............................................................................13 Tips till läraren inför problemlösningsarbetet .........................13dokumentationsblankett ...........................................................14 Elevens dokumentation ...........................................................15 Lärarens dokumentation ..........................................................15 Matris med tolkade formuleringar ...........................................16 Matris med förkortade formuleringar ......................................17 Matris med läroplanens formuleringar .....................................18checklista för lärare ................................................................20årskurs 7 .....................................................................................21 Problemlösning 1 Algebra: Svarta och vita rutor 1 ..................22 Problemlösning 2 Algebra: Svarta och vita rutor 2 ..................24 Problemlösning 1 Ekvationer: Dela godis ...............................26 Problemlösning 2 Ekvationer: Dela pengar .............................28 Förtest/Diagnos Algebra och ekvationer åk 7 ..........................30 Facit förtest och diagnos åk 7 .................................................32årskurs 8 .....................................................................................33 Problemlösning 1 Algebra: Undersök summan .......................34 Problemlösning 2 Algebra: Summor som Fibonaccis ..............36 Problemlösning 1 Ekvationer: Taxi! ........................................38 Problemlösning 2 Ekvationer: Hyra skidor .............................40 Förtest/Diagnos Algebra och ekvationer åk 8 ..........................42 Facit förtest och diagnos åk 8 .................................................44 årskurs 9 .....................................................................................45 Problemlösning 1 Algebra: Diagonaler ...................................46 Problemlösning 2 Algebra: Pingisturneringen .........................48 Problemlösning 1 Funktioner: Badkaren ................................50 Problemlösning 2 Funktioner: Växa ikapp ..............................52 Förtest/Diagnos Algebra och funktioner åk 9 .........................54 Facit förtest och diagnos åk 9 .................................................56

4 medveten matte

De otaliga timmar jag lagt på rättning av prov har inte givit eleverna några kunskaper. Det är på lektionerna jag kan göra skillnad. Undervisning handlar om att eleverna ska förbättra sina prestationer. Hur kan jag som lärare på bästa sätt hjälpa dem i det arbetet?

1994 infördes de målrelaterade betygen och jag gick på lärarhögskolan. När jag började jobba 1997 testade jag mig fram med olika modeller för dokumentation. Jag vet inte säkert, men jag tror att jag har gjort hundratals olika blanketter.

2010 började jag aktivt leta efter ett beprövat sätt att involvera eleverna i dokumentationsarbetet. Jag hörde talas om begreppet formativ bedömning och hittade Dylan Wiliams forskning. Jag insåg omedelbart att detta var lösningen på mina problem. Mitt mål har sedan dess varit att utforma en arbetsmodell där elevernas medvetenhet ökar, samtidigt som mitt dokumentationsarbete effektiviseras. Jag ville slippa rätta och dokumentera på planeringstid, och istället göra det på lektionstid tillsammans med eleverna. Därför påbörjade jag ett målmedvetet och systematiskt utvecklingsarbete och har nu en färdig arbetsmodell. Den modellen heter Medveten Matte.

Jag har fått mycket positiv respons från lärare som tagit del av mitt arbete i klassrummet. Men framför allt har den positiva responsen kommit från eleverna. De fattar direkt vitsen med att vara medveten om sitt utvecklingsbehov och de lär sig som aldrig förr.

Nu kan jag lägga min kraft på kvalitativt förarbete istället för betungande efterarbete. Eleverna kan lägga sin kraft på sådant de verkligen har behov av att utveckla. Dokumentationen sköter praktiskt taget sig själv och det var länge sen jag rättade ett matteprov.

Jag är glad att du läser detta. Det betyder att du är på väg att ta kommando över din arbetstid och över kvaliteten på ditt arbete.

När man bestämt sig, då blir det så.

Stockholm mars 2013

hälsning från författaren

medveten matte 5

Steg 1. Problemlösningar

Arbetet börjar med att eleverna individuellt löser Problemlösning 1. Då blir eleverna insatta i kapitlets karaktär och innehåll. Problemlösningarna i Medveten Matte har en utformning som gör att de går att lösa på flera olika sätt, på olika nivåer, och omfattar flera förmågor. Det utgör ett brett underlag för kommande bedömning. Därför måste eleverna räkna på lösblad och spara sina lösningar i en pärm. Läs mer om vad du ska tänka på vid problemlösning på sidan 13 och om elevpärmen på sidan 15. Alla problemlösningar kommer i par, så att lärdomar från den första problemlösningen genast kan tillämpas i den andra.

Steg 2. Genomgång av problemlösningar och deras kvalitetsnivå

När du går igenom möjliga lösningar på problemen, ska du från och med nu också gå igenom skillnaderna i kvalitet mellan dem. Du ska börja undervisa om bedömning. Till exempel är en generell lösning av högre kvalitet än att testa sig fram, vilket i sin tur är bättre än att bara beräkna ett exempel. Det betyder att du ska visa tre lösningar och tala om vilken kvalitet varje lösning har. Då kan eleverna känna igen sin egen lösning och alltså få en första hint om dess kvalitet. Du kan inte gå igenom alla förmågor i denna problemlösning. Istället fokuserar du på en eller två. Mer kan inte eleverna ta in. Poängen är att de ska se principerna för bedömning. Introduktionen av kvalitetsbedömning måste göras av en lärare, därför är detta steg en lärarledd genomgång i stället för elevredovisningar. Eleverna blir i stället aktiva i steg 3. Läs mer om att lära ut bedömning på sidan 8.

Lektionsupplägget i korthet

1. Arbetet startar med att eleverna gör den första problemlösningen.2. Du håller en genomgång om lösningar och deras olika kvalitet.3. Eleverna får i grupp skapa tre lösningar med olika kvalitet (E, C, A) och placera

dem på rätt nivå i en väggmatris.4. Eleven återgår till sin ursprungliga lösning, bedömer den och noterar det

i sin blankett.5. Eleverna löser den andra problemlösningen för att genast tillämpa

feedbacken från den första.6. Eleverna gör ett förtest som är baserat på det centrala innehållet i

läroplanen. Resultatet noteras i blanketten. 7. Beslut tas om det egna träningsbehovet; vilka förmågor som ska utvecklas, vilket

centralt innehåll som ska tränas, samt vilka uppgifter som bäst tränar det.8. Eleverna tränar individuellt ett par veckor enligt sina målsättningar

och planeringar.9. När eleverna är klara gör de en diagnos som kontrollerar kunskaperna.10. En slutbedömning görs av allt som eleven har gjort. Notera slutbedöm-

ningen i samma blankett som förut, så att elevernas progression synliggörs.

så här använder du Medveten Matte

14 medveten matte

dokuMentationsblankettTanken med blanketten är att rymma så mycket information som möjligt på ett A4-papper. Den är lättöverskådlig och användbar i det dagliga arbetet, och eleven kan använda den.

Det finns tre versioner av blanketten. Det är en sak som skiljer dem åt, nämligen hur kunskapskravens nivåer är formulerade i matrisen:

Den första blanketten innehåller entolkning av läroplanens kunskapskrav. Formuleringarna är hämtade ur Skolverkets stödmaterial i den mån de tillhandahållits där. Inga kunskapskrav är borttagna och inga har lagts till.

Den andra blanketten innehåller förkortade läroplansformuleringar. I dessa formuleringar är vissa ord borttagna för att blanketten ska rymmas på en A4-sida. Du behöver därför själv hålla reda på vad formuleringarna innehåller i sin helhet.

Den tredje blanketten innehåller läroplanens formuleringar av kunskapskraven. Den blanketten tar mest plats och kräver två A4-sidor.

Den formativa undervisningen underlättas genom en matris med tolkade kunskapskrav. Men granska och pröva tolkningarna och jämför den med Skolverkets formuleringar och stödmaterial tillsammans med dina kollegor. Skol-verket framhåller att tolkningar är beroende av sammanhanget, och min tolkning är endast en tolkning. Bedömning är en tolkningsfråga i vilken läraren måste vara aktiv. Dessutom finns flera bedömningsaspekter.

Alla fetstilta värdeord i matriserna har en tillhörande kryssruta för dokumentation. Det gäller alla värdeord utom det första i raden Begrepp. Orsaken är att den endast är en portal till bedömningen av förmågan:

”Värdeorden grundläggande, goda och mycket goda i inledningen till de här delarna av kunskapskraven fungerar som en portal och texten som kommer sedan konkretiserar vad som menas med de olika kvalitetsnivåerna. Det innebär att värdeorden grundläggande, goda och mycket goda inte kan stå för sig själva utan ska läsas och tolkas tillsammans med texten som beskriver hur eleven visar kunskaper om matematiska begrepp.” (ur Kommentarmaterial till kunskapskraven, s. 24–25).

s. 16 Blankett med tolkade formuleringar av kunskapskraven.

s. 17 Blankett med förkortade formuleringar av kunskapskraven.

s. 18-19 Blankett med Läroplanens formuleringar av kunskapskraven.

Jag vill uppmärksamma dig på att materialet är utformat för att passa många olika huvudläromedel. Alla läromedel har inte förlagt alla delar av det centrala innehållet till samma årskurser. Innehållet i testerna stämmer kanske inte alltid överens med centrala innehållet i just ditt läromedel. Därför är det tomma rutor i dokumenta-tionsblanketten för det centrala innehållet, så att du och dina elever kan fylla i det innehåll som är aktuellt för just er.

medveten matte 21

algebra oCh ekvationer åk 7

Nu följer alla problemlösningarna för årskurs 7 som du ska kopiera och dela ut en i taget.

Problemlösningarna i årskurs 7 handlar om att förstå algebra, att se mönster och att beskriva mönster algebraiskt samt att kunna ekvationer. Det centrala innehållet för algebra innehåller tre delar: algebra, ekvationer och funktioner. I årskurs 7 ingår algebra och ekvationer.

Olika huvudläromedel tar upp matematikens moment i olika årskurser. Därför kan du välja att göra de olika problemen i annan årskurs än föreslagen.

Gör så här:

Gör först Problemlösning 1 Algebra, enligt handledningens steg 1–4 (s. 5–6). Sedan gör ni Problemlösning 2 Algebra, och eventuella ändringar i blanketten.

Gör sedan likadant med Problemlösning 1 Ekvationer och Problemlösning 2 Ekvationer. Följ därefter steg 5–9 enligt handledningen (s. 6–7).

aLgebra åk 9Problemlösning 1 Algebra

Diagonaler

Problemlösning 2 AlgebraPingisturneringen

Problemlösning 1 Funktioner

Badkaren

Problemlösning 2 Funktioner

Växa ikapp

Förtest

Diagnos

aLgebra åk 8

Problemlösning 1 AlgebraUndersök summan

Problemlösning 2 AlgebraSummor som Fibonaccis

Problemlösning 1 EkvationerTaxi!

Problemlösning 2 EkvationerHyra skidor

Förtest

Diagnos

aLgebra åk 7

Problemlösning 1 Algebra

Svarta och vita rutor 1

Problemlösning 2 Algebra

Svarta och vita rutor 2

Problemlösning 1 Ekvationer

Dela godis

Problemlösning 2 Ekvationer

Dela pengar

Förtest

Diagnos

26 medveten matte

Emma och Alfred ska dela på 71 godisbitar. Emma ska ha nästan tre gånger så många som Alfred. Om hon hade fått en till hade hon haft tre gånger så många bitar som Alfred.

1. Hur många bitar får de var och en? Visa hur du kommer fram till svaret.

2. Beskriv din lösningsstrategi.

Dela godis

Problemlösning 1 Ekvationer

Kom ihåg!Visa beräkningarna som ledde fram till svaret. Presentera dina beräkningar på lämpligt sätt.

Kopiering tillåten • Medveten Matte © 2013 Tommy Lucassi och Askunge Förlag

medveten matte 27

Kommentar:Löser delar av uppgiften, metoden påbörjas och passar till aktuell uppgift.

Kommentar:Löser det mesta av uppgiften, strategi delvis anpassad till uppgiften, metoden passar till delar av uppgiften (systematisk men omständlig).

Kommentar:Strategin löser alla delar av uppgiften, metoden passar till hela uppgiften och är generell och fullföljs korrekt, uttrycksformen helt anpassad.

Facit och bedömda elevlösningar Delagodis

e

c

a

Kopiering tillåten • Medveten Matte © 2013 Tommy Lucassi och Askunge Förlag