Relatório sobre a tese submetida por Cristina López Sánchezpara obtenção do grau de Doutor em Engenharia Civil

O presente relatório refere-se à tese intitulada Numerical modelling of the thermomechanical beha-viour of GFRP pultruded profles subjected to fire submetida por Cristina López Sánchez para obtençãodo grau de Doutor em Engenharia Civil.

Antes de iniciar a análise do documento propriamente dito, farei uma breve exposição sobreos eventos que precederam a sua entrega. Segue-se uma análise de cada um dos capítulos e oparecer.

1. Introdução

Em Junho de 2014, perante a insistência da candidata e a concordância do co-orientador em entre-gar o documento, decidi — após três anos e quatro meses de envolvimento no mesmo — retirar--me da orientação do trabalho a fim de possibilitar a sua entrega. Na altura entreguei a seguintedeclaração à candidata

Para os devidos efeitos, venho por este meio declarar a cessação da orientação do planode doutoramento da candidata Cristina López Sánchez. Considero que o trabalho de-senvolvido é interessante, mas o modelo encontra-se incompleto, não atingindo osobjectivos para os quais foi criado. Assim, não estão reunidas as condições para a suaentrega e defesa.

tendo proposto ao Professor João Correia que assumisse a orientação do trabalho. Por esses dias acandidata cessou a sua actividade no IST e o Professor João Correia decidiu não assumir a orien-tação, empenhando-se em procurar um consenso para viabilizar a entrega do trabalho.

Em reunião com o Professor Teixeira de Freitas — membro da equipa de investigação da tarefa6 (Numerical modelling of the fire behaviour of GFRP pultruded elements) do projecto FireFRP, no qualse inseria a presente tese — foi decidido que se analisaria um conjunto de exemplos suplementaresque, possivelmente, mostrassem a utilidade do modelo/implementação desenvolvidos. Na alturaexpressei discordância por esta decisão, preferindo que se procurasse as causas da divergênciado modelo e dos péssimos resultados obtidos. O Professor João Correia sugeriu a análise detrês problemas que, não constando do plano inicial, se enquadravam no tema e teriam utilidadeprática.

Em Setembro de 2014 foi-me apresentado um relatório com os resultados. Nenhum dos exem-plos propostos constava do mesmo, pois o modelo/implementação não possibilitou a sua análise.Em seu lugar havia alguns testes adicionais dos problemas em perfis de GFRP de secções tubular() e em I () anteriormente analisados e a análise de uma coluna de secção tubular submetidaà acção do fogo nas quatro faces. Além da reduzida utilidade prática do exemplo adicional, a

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aparente melhoria de resultados fica a dever-se à simetria da acção, que reduziu drasticamente opapel da convecção na cavidade, origem dos problemas de convergência.

Confirmando os resultados obtidos as deficiências do modelo, mantive a minha opinião acercado trabalho. Em seguida fui convocado pelo Conselho Científico do doutoramento em EngenhariaCivil para uma breve reunião. Nesta ficou decidido que a tese deveria ser entregue e apreciada porreconhecidos especialistas na matéria. Assim, na declaração de entrega da tese escrevi o seguinte:

Para os devidos efeitos, venho por este meio declarar que tomo conhecimento que acandidata Cristina López Sánchez irá entregar o texto intitulado “Numerical model-ling of the thermomechanical behaviour of GFRP pultruded profiles subjected to fire”no Núcleo de Pós-Graduação e Formação Contínua do IST. Mais declaro não concor-dar com a sua entrega, pois este documento não pode ser considerado uma tese dedoutoramento. O trabalho que o suporta é interessante, mas o modelo encontra-se in-completo e/ou mal implementado, não sendo possível extrair quaisquer conclusõesfiáveis acerca das respostas obtidas. Dado que não foram atingidos os objectivos paraos quais o modelo foi desenvolvido, não estão reunidas as condições para a sua entregae defesa.

Após a entrega do documento foi decidido em reunião à distância entre mim, o Professor JoãoCorreia e a candidata que os trabalhos da tese prosseguiriam de imediato para resolver o problemaapontado pela candidata como responsável pela divergência do modelo térmico — a ocorrênciade turbulência. O modus operandi seria o mesmo do que foi seguido ao longo de todo o trabalho: euformularia as equações do problema, faria a respectiva discretização e orientaria a implementação,de modo a que a candidata pudesse fazer as adições correspondentes no programa e realizar asanálises.

Os resultados do trabalho que desenvolvi foram enviados à candidata e ao Professor João Cor-reia no início de Dezembro de 2014. Usando um software comercial mostrei que não é necessárioincorporar qualquer modelo de turbulência, tendo analisado a secção não protegida e expostaa uma face sem qualquer problema de convergência. A análise foi conduzida até aos 75 minutose interrompida nessa altura. Este modelo na tese diverge aos 17,5 minutos. Diversas variantesforam testadas: com e sem modelo de turbulência, usando diferentes modelos de turbulência,usando diferentes opções, com e sem dependência da temperatura de algumas propriedades ter-mofísicas do ar, etc. Foram disponibilizados à candidata todos os ficheiros respectivos e um vastoconjunto de output, nomeadamente a temperatura onde se encontram os termopares e diagramasde velocidades e temperatura no fluido. O valor encontrado para o parâmetro decisivo para o apa-recimento do fenómeno da turbulência — o número de Rayleigh — é coerente com os resultadosobtidos, pois este é muito inferior à gama de valores apontada unanimemente pela bibliografiapara o início da turbulência, i.e., 108 < Ra < 1010. Apesar deste ser um valor empírico, a cavidadeem análise tem a geometria e acção mais simples que se pode conceber, pelo que foi objecto deinúmeros estudos.

A conclusão anterior levou-me a retomar hipóteses que tinha proposto em Fevereiro de 2014acerca das causas do problema.

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2. Análise do documento

A tese encontra-se estruturada em oito capítulos e sete anexos. Estes capítulos representam basi-camente três partes: (i) os capítulos 1 e 2 de introdução e estado da arte, (ii) os capítulos 3 a 6 ondeé efectuada a apresentação das formulações dos problemas envolvidos e do modelo proposto e(iii) os capítulos 7 e 8 onde é efectuada a aplicação do modelo e são apresentadas as conclusões.

No que se segue ir-se-á apresentar uma análise de cada um dos capítulos.

O documento apresenta incontáveis incorrecções de diversos tipos. Não sendo possível enu-merá-las, apontar-se-ão apenas algumas, representativos do conjunto.

2.1 Introduction

No primeiro capítulo é efectuada uma introdução ao contexto em que o trabalho se insere, nome-adamente a utilização de GFRP em estruturas submetidas à acção do fogo. O trabalho é enqua-drado no projecto FireFRP. É efectuado um resumo do programa experimental, complementar dotrabalho apresentado na tese. Nesta secção seria desejável referir os seis relatórios do programaexperimental, nomeadamente os que se referem às vigas e colunas (Morgado et al., 2013b,a), vistoque a exposição é neles baseada.

2.2 State of the art

Este capítulo revelou-se uma surpresa, pois apresenta um estado-da-arte sem ligação ao trabalhodesenvolvido. Não há qualquer sequência entre o que é aqui apresentado e os capítulos queconstituem o cerne do trabalho, formado pela segunda parte (capítulos 3, 4, 5 e 6). A secção 2.4 éuma excepção, sendo relevante para o capítulo 7, onde se apresenta a aplicação.

No programa de cálculo automático a acção do fogo é simulada por uma condição de fron-teira de Robin (ISO 834, 1975) e as propriedades termofísicas e termomecânicas foram prescritase armazenadas numa biblioteca. Ambas foram fornecidas pelo Professor João Correia, não sendoaqui objecto de desenvolvimento. No caso das propriedades termofísicas, apenas é efectuado nocapítulo 7 uma análise comparativa dos resultados aplicando três modelos diferentes.

Neste contexto, parece desproporcionado descrever processos de combustão e desenvolvi-mento de um fogo, processo de combustão de compósitos e compósitos poliméricos e modelosde propriedades termofísicas. Tendo em consideração a vasta bibliografia existente, nomeada-mente na Secção de Construção do DECivil, sobre acção do fogo e materiais compósitos — sob aforma de relatórios científicos, dissertações de mestrado e teses de doutoramento — seria naturalremeter estes tópicos para quem de facto os estudou e centrar o estado-de-arte no que constitui oobjecto do presente trabalho: o desenvolvimento de um modelo numérico de análise geometrica-mente não-linear de estruturas reticuladas planas sujeitas a uma combinação de acções térmica emecânica, incluindo a possibilidade de trocas de calor por condução, convecção e radiação internaao nível da secção transversal.

Para além da informação contida na secção 2.4, seria relevante para o presente trabalho e abor-dar outros tópicos, e.g.:

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(i) Referir os diferentes métodos de solução do problema da radiação na cavidade com fluido,nomeadamente surface to surface, Monte Carlo, o discrete transfer method, ray tracing, discreteordinates method, etc.

(ii) Discutir as consequências de se optar por tratar o fluido como incompressível e a introduçãoda hipótese de Boussinesq, tendo em consideração a aplicação que se pretende efectuar domodelo a desenvolver.

(iii) Descrever os estudos anteriores sobre escoamento de fluidos em cavidades quadradas, vistoeste problema ter assumido um papel tão preponderante no presente trabalho.

(iv) Abordar a solução de problemas de Computational Fluid Dynamics (CFD) através do FiniteElement Method (FEM), do Finite Volume Method (FVM) e do Finite Difference Method (FDM).

(v) Discorrer sobre métodos de integração de sistemas parabólicos de equações diferenciais não--lineares: implícitos vs. explícitos, taxa de convergência, estabilidade, análise modal vs. gene-ralized trapezoidal family of methods, discretização da variável tempo usando elementos finitos,etc.

(vi) Mencionar as diferentes condições de fronteira que podem ser consideradas para o acopla-mento das partes sólida e fluido.

(vii) Indicar as diferentes teorias geometricamente não-lineares de estruturas reticuladas, enqua-drando a escolha efectuada.

(viii) Caracterizar modelos constitutivos de relações tensões-deformações generalizadas para sec-ções transversais de peças lineares. Em particular, interessaria discutir aqueles aplicáveisa materiais compósitos e dependentes da temperatura. Outros aspectos pertinentes seria ainclusão de efeitos diferidos (nomeadamente da fluência) e critérios de cedência adequados.

Alguns destes assuntos são aludidos nos capítulos relevantes, mas tal é manifestamente insufici-ente.

2.3 Conduction heat transfer and radiative heat exchange between surfaces

Neste capítulo é apresentada a formulação utilizada para modelar as transferências de calor emsólidos através de condução e radiação em cavidades, bem como os respectivos processos de dis-cretização. A formulação foi por mim desenvolvida especificamente para este projecto e explicadadetalhadamente à candidata, estando uma parte dos textos então preparados disponível para con-sulta nas hiperligações condução e radiação na cavidade. Estes foram parcialmente publicadosnos relatórios López et al. (2013a) e López et al. (2014).

As equações do resíduo e da matriz tangente são repetidas várias vezes tornando a leiturapouco fluida. A forma matricial do vector resíduo nas equações (3.38) e (3.43) não permite aoleitor identificar a interdependência entre as variáveis θ(e) e R(e), aparentando o sistema ser de-sacoplado. A dependência é latente através do vector f (e), mas esperar-se-ia que os termos quedependem linearmente das variáveis fossem incluídos através dos respectivos coeficientes de ma-trizes.

Na página 49 é remetido para o apêndice B.3 a discretização temporal, onde é brevementedescrito o método de integração de problemas parabólicos baseado na generalized trapezoidal familyof methods. Neste não é referido como é avaliada a derivada em ordem ao tempo da solução inicial,

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u(e)0, necessária no passo inicial. Assim, analisando directamente no código do programa comoesta derivada estava a ser obtida, constatou-se que a este vector é sempre atribuído o valor 0,independentemente das condições iniciais e da solicitação. Conclui-se que em regime transiente, oprograma apenas poderá ser usado quando (i) as condições no instante inicial forem homogéneas,i.e., u(e)0 = 0 e f(e)0 = 0, (ii) se pretender a resposta para t → ∞ ou (iii) se usar γ = 1, poisnesta situação u(e)n+1 não depende de u(e)n (neste caso u(e)0 continuará a estar errado, mas tal nãoafectará o passo seguinte). Nas restantes situações a resposta obtida está incorrecta.

Para o problema linear da condução de calor, a avaliação da derivada em ordem ao tempo dasolução inicial pode ser encontrada em Hughes (2000, página 460, equação (8.1.6)). Para o presentecaso a alteração a introduzir consiste em resolver r(e)(u(e)0, u(e)0) = 0 em ordem a u(e)0. Estesistema de equações é linear para todos os problemas considerados na tese (no caso de envolverradiação interna é necessário um passo prévio devido à ausência dos termos R(e)0).

É brevemente descrita a implementação computacional e são apresentadas comparações en-tre o código desenvolvido e diversas soluções de referência ou obtidas usando o software comer-cial ADINA (2010). Em todos os exemplos excelentes soluções são obtidas.

No primeiro exemplo, Linear steady state heat transfer analysis, a descrição dos resultados é inici-ada com a frase:

It can be seen that the temperature distribution depicted in figure 3.7a is linear and thatthe mesh is excessively coarse to represent correctly the solution while, the solutionobtained with a refined mesh (figure 3.7b) is closer to the exact solution.

A distribuição de temperaturas é bilinear e não linear. Para o leitor que desconheça como é asolução exacta é impossível distinguir qual das duas soluções é a melhor: usando a analogia coma mecânica dos meios contínuos, o que é representado é uma grandeza cinemática (temperatura).Ambas as soluções satisfazem localmente todas as condições de compatibilidade, pelo que, sob esseponto de vista, são indistinguíveis. A frase só faria sentido caso fosse representada uma grandezaestática (fluxos de calor). É trivial formular um problema em que a solução representada na figura3.7a seja a exacta.

No primeiro exemplo, secção 3.9.2, é apresentado um estudo sistemático do efeito da discre-tização espacial. Em todos os restantes exemplos é prescrita a discretização e apresentado o re-sultado. Seria desejável que num dos exemplos fosse também ilustrada a ordem de convergênciada discretização temporal (em função do parâmetro γ). Esse exemplo teria permitido identificaro erro anteriormente apontado à inicialização do algoritmo de integração no tempo, pois o erronão tenderia para zero. Será lícito, então, questionar a razão pela qual os exemplos expostos emregime transiente não apresentam discrepâncias significativas com a solução de referência. Estaquestão é analisada em seguida para os dois exemplos relevantes.

No exemplo 3.9.5 (Carslaw and Jaeger, 1959, página 112, equação (3)) é analisado um problemade Neumann 1D em regime transiente. Neste problema a condição de fronteira qn(L1, 0) = −10é inconsistente com a condição inicial θ(x, 0) = 0, dificultando a avaliação da convergência dasolução. Por outro lado, para o conjunto de tempos em que a solução é mostrada e comparadacom a solução de referência, t = 4 s, 8 s, 12 s, 16 s, 20 s a solução θ(L1, t) é linear em t, nãodependendo das condições iniciais e de fronteira (inconsistentes). Este problema não tem regimeestacionário. Na figura 3.13 é notório que as curvas apresentadas são virtualmente iguais, a menosde uma translação ao longo do eixo das ordenadas.

No exemplo 3.9.6 é utilizado o valor σ = 1.18958e−11 W/(m2 F4) para a constante de Stefan-

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-Boltzmann. Este valor apenas estaria correcto se as unidades fossem BTU/(hr in2 F4), onde BTUé British Thermal Unit (1055 J), hr é hora (3600 s) e in é inch (0,0254 m). Para converter variações detemperatura de F em K deve usar-se o factor de 9

5 . Assim, os resultados apresentados não estãocorrectos, pois o sistema de unidades é incoerente. Os mesmos erros devem ter sido cometidosna análise usando o ADINA (2010). Este exemplo foi originalmente apresentado em Bathe andKhoshgoftaar (1979), pelo que essa referência deveria ter sido incluída no texto. Os resultadostambém deveriam ser comparados com essa referência. Neste caso o erro na avaliação da derivadaem ordem ao tempo da solução inicial não se manifesta, pois foi usado γ = 1.

A seguinte frase

A significant increment of the computational time was observed when radiative ex-changes between faces are considered in the problem, as (i) the matrix of the radiosityequation is full, the number of equations in the system of equations to solve increases(besides the temperatures in the free nodes, the radiosity in the elements are included),and (ii) the integration of the term that involves trigonometric functions. Consequen-tly, in most problems, solving the radiosity equations is more expensive in terms ofcomputational speed and memory usage than solving the heat transfer equations sys-tem.

merece alguns comentários:

(i) O número de incógnitas do sistema não aumenta porque a matriz que decorre da forma fracada equação da radiosidade é cheia, tratando-se de dois factos distintos.

(ii) A resolução das equações da forma fraca da equação da radiosidade não é mais dispendiosaque a resolução da equação do problema térmico, pois são resolvidas de forma acoplada. O

que provavelmente se pretendia transmitir é que os operadores r(e)t+∆tR , ∂r(e)t+∆t

R∂θ(e)

e ∂r(e)t+∆tR

∂R(k) , queadvêm da forma fraca da equação da radiosidade, requerem mais tempo computacional aserem avaliados, relativamente aos termos homólogos que advêm da forma fraca da equaçãodo problema térmico.

(iii) Caso se utilizasse uma aproximação constante para as aproximações de R(e) (3.28b) e δR(e)

(3.29b), então os referidos operadores poderiam ser avaliados uma única vez e armazenadospara utilização ao longo do processo incremental/iterativo. Esta possibilidade é exploradaem programas comerciais, e.g., o FLUENT, e deveria ser comentada no texto.

(iv) A frase relativa ao ponto (ii) não faz sentido. Talvez se pretendesse escrever ... (ii) some of theintegrations involve trigonometric functions.

O final da última frase do capítulo

The code implemented in MATLAB (2012) was verified using several benchmark so-lutions and, in all cases, excellent results were observed, as well as quadratic conver-gence in the asymptotic limit of the solution.

é confuso, pois não se sabe ao certo a qual das taxas de convergência se refere: (i) convergênciado método iterativo de Newton–Raphson ou (ii) taxa de convergência da discretização espacialem regime linear. No primeiro caso, nada foi mostrado ao longo do capítulo. Sobre a segundahipótese aparece uma linha na tabela 3.2 que, na verdade, é o dobro das taxas de convergênciados elementos Q4, Q8 e Q9. No entanto, nenhum comentário é efectuado sobre a linha “SLOPE”,pelo que o leitor não tem qualquer possibilidade de perceber de que se trata. As taxas são, como

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esperado, linear para o Q4 e quadráticas para o Q8 e Q9.

Em todos os exemplos são utilizados elementos em que o Jacobiano da transformação, J = |J|,é constante. Seria desejável apresentar um exemplo em que fosse perceptível a utilidade doselementos isoparamétricos, aferindo a influência da distorção na convergência da solução.

O texto contém inúmeras incorrecções, e.g.,

(i) As expressões (3.2), (3.5) e (3.6) não são condições de fronteira do problema, pelo que nãopodem ser repetidas na página 42. As condições de fronteira de Robin são as expressões(3.20d) a (3.20f).

(ii) Ao longo do capítulo há diversas equações incorrectas, e.g. (3.1), (3.13), (3.18), (3.26), (3.31g),(3.32c) e (3.49a). A equação (3.18) — que foi copiada de Bathe (1996, página 643) — não fazsentido.

(iii) A frase Considering that θ and δθ are differentiable only once with respect to the space and ... (página44) não faz sentido.

(iv) os símbolos d (3.7), kn (3.18) e ∂r(e)θ

∂θ(e) (3.48) não estão definidos. O termo correspondente a

este último aparece — erradamente — incluído na expressão (3.49a). As expressões correctasencontram-se no documento radiação na cavidade, ver página 12, expressões (18.a) e (18.b).

(v) As afirmações ... whose polynomial degree is 3 (linear functions), 6 (quadratic functions) and 9(cubic functions) being necessary 4, 12 and 19 for triangular elements and 2× 2, 4× 4 and 5× 5when quadrilateral elements are used. e Polynomial degree (p) of the integrand function and numberof Gauss points (nG) required for the numerical integration. que surgem nas páginas 55 e 56,respectivamente, são erróneas.

(vi) A legenda da figura 3.20 refere a expressão Spy tangent matrix .... Spy é obviamente a funçãodo MATLAB (2012) que permite fazer o gráfico, mas a legenda deve referir-se a, e.g., sparsitypattern of the tangent matrix ....

(vii) No apêndice B.3 deveria ser removida o superescrito “(e)” de todos os vectores, pois a apro-ximação temporal é aplicada ao sistema global e não ao elementar. De resto, foi esta a opçãoseguida no apêndice B.6, aquando da descrição do método de Newton–Raphson.

2.4 Finite element method for the non-isothermal fluid dynamic problems

A formulação do problema de fluidos incompressíveis não-isotérmicos apresentada neste capítulofoi por mim compilada especificamente para este projecto, estando uma parte do texto então pre-parado para a candidata disponível para consulta na hiperligação fluidos incompressíveis. Estetexto foi parcialmente publicado no relatório López et al. (2014).

É efectuada uma brevíssima introdução ao problema de escoamentos de fluidos não-isotérmi-cos. As referências bibliográficas apresentadas não são representativas, sendo algumas inadequa-das. Ao método mais utilizado actualmente em CFD — o FVM — são dedicadas duas linhas, o queé insuficiente para justificar as opções tomadas no trabalho.

Os conceitos básicos de uma matéria tão vasta como seja o escoamento de fluidos e as equaçõesde Navier-Stokes são descritos de uma forma concisa e adequada para os objectivos do presentetrabalho. No entanto, contém diversas incorrecções.

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Estando a derivada material definida na equação (4.7a), seria natural usá-la para mostrar aorigem da equação da difusão-advecção (4.16), que é escrita sem qualquer justificação.

Na página 78 surge uma afirmação que, pelo seu significado e importância que assumirá notrabalho, convém detalhar:

In the case of a cavity with a heated bottom face, it has been reported that the followingregimes occur (Incropera et al., 2006):

Ra < 1708→ no convection (4.26a)

1708 < Ra < 5 · 104 → Bénard cells (4.26b)

Ra > 5 · 104 → turbulent flow (4.26c)

Esta merece os seguintes comentários:

(i) Em primeiro lugar, a referência (Incropera et al., 2006) está errada. O livro a que se refere acandidata é Incropera et al. (2007). As páginas relevantes do mesmo são apresentadas noapêndice A.

(ii) É afirmado que, para Ra > 5 · 104, o escoamento no interior de uma cavidade aquecida naface inferior dá-se em regime turbulento. Assim, conclui-se que este valor deveria ser con-siderado para averiguar a presença deste regime para a cavidade a analisar nesta tese. Naverdade, na referência citada são analisadas várias cavidades rectangulares, com diferentesdimensões e inclinações. Como se pode verificar no apêndice A, os valores apresentadosreferem-se ao escoamento entre dois planos horizontais infinitos: For H/L, w/L 1, and ....O texto é complementado pela figura 9.11, que é elucidativa quanto ao domínio de aplicabi-lidade dos valores indicados. Como no presente caso H/L = 1, estes valores não podem serutilizados no actual contexto e a afirmação induz o leitor em erro.

(iii) Em mensagem de Dezembro de 2014 a candidata justificou a presença de regime turbulentono presente trabalho invocando precisamente este valor de Ra > 5 · 104. Após ler a referên-cia informei-a de imediato de que estes não se aplicavam ao presente caso. Mostrei tambémque, caso se aplicassem, bastaria uma diferença de temperatura de 0, 8 C para se estar na pre-sença de regime turbulento na cavidade em estudo, ver apêndice B, onde consta o respectivoficheiro de Mathematica (Wolfram Research, 2014). As propriedades do ar a 20C aí utiliza-das foram obtidas em http://www.engineeringtoolbox.com/air-properties-d_156.html. O gradiente térmico de 0, 8 C é ridículo, pois, para esse valor, o fluido estápraticamente parado. Constatei que essa mesma justificação está também na tese, no capí-tulo 7, página 165, sendo a partir daí apresentado inúmeras vezes como explicação para adivergência do modelo.

(iv) Ao longo da tese são analisados vários exemplos de cavidades em que Ra é superior a 5 · 104,e.g., neste mesmo capítulo, na secção 4.11.6, onde é usado Ra = 106, e todos os exemplosdo capítulo 5. Os resultados obtidos são sempre muito próximos das referências e não apre-sentam qualquer vestígio de regime turbulento, o que é contraditório com a afirmação e, emparticular, a equação (4.26c).

(v) A bibliografia consultada por mim e pela candidata, parte da qual consta da tese, é unânimeem apontar valores para o início do escoamento regime turbulento para a presente situaçãode 108 < Ra < 1010, e.g., Marshall et al. (1978); Strada and Heinrich (1982); Markatos andPericleous (1984); Le Quéré (1991); Barakos et al. (1994); Jaballah et al. (2007). Quando este

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tema foi abordado nas reuniões com a candidata e o Professor João Correia, sempre foi dis-cutido se o valor de Ra no presente caso se estaria a aproximar do valor mínimo do intervaloapontado e nunca o valor de Ra = 5 · 104 foi referido.

(vi) Apesar de irrelevante para esta discussão, ao contrário do que é escrito na tese, convémesclarecer que mesmo no caso de dois planos horizontais infinitos, o valor de Ra = 5 · 104

não implica que o escoamento no interior de uma cavidade aquecida na face inferior se dêem regime turbulento. Na referência Incropera et al. (2007) afirma-se que ... while for largerRayleigh numbers, the cells break down and the fluid motion is turbulent. Este é um processoque passa por várias fases, sendo a última edição do mesmo livro (Bergman et al., 2011),ver apêndice C, mais clara sobre o assunto:... while for larger Rayleigh numbers, the cells breakdown and the fluid motion evolves through many different patterns before becoming turbulent. Estainformação foi enviada à candidata em Dezembro de 2014.

(vii) A afirmação não consta do relatório do projecto (López et al., 2014) de onde foi retirado opresente capítulo.

Na apresentação da forma forte do problema, página 79, é escrito que t é a tracção prescrita.Tal é falso, pois a condição de fronteira também tem de estar dividida pela densidade, tendo t

dimensões de([L][T]

)2. Na mesma página é afirmado que In the program developed, the heat flux

prescribed can be only null, i.e., q = 0. No entanto, este está presente nas expressões da forma forte(4.27d) e (4.28g) e forma fraca (4.29c). Presume-se que não foi incluído no programa desenvolvido,mas que constará da dedução. Em seguida, este termo desaparece.

A discretização e obtenção das matrizes necessárias para aplicação do método de Newton--Raphson no instante de tempo (t + ∆t) é efectuada de forma detalhada.

Em seguida é abordada a estabilização dos termos associados à convecção presentes nas equa-ções de Navier–Stokes e da difusão-convecção. Toda a informação necessária à implementação élistada, no entanto, seria desejável identificar a origem dos diversos termos associados aos parâ-metros τ

(e)tSUPG e τ

(e)tSUPGθ . Ao contrário do efectuado anteriormente, os termos necessários à imple-

mentação do vector resíduo e matriz tangente são escritos sem qualquer justificação.

Nota-se que várias das expressões intervenientes requerem a avaliação do operador Laplaci-ano, como sejam r(e)SUPG (4.52a), r(e)SUPGθ (4.52b), C(e)t+∆t

SUPG (6.61a) e F(e)t+∆tSUPG (4.61e). O seu cálculo não

é trivial, sendo descrito no apêndice B.2 do documento, apesar de tal não ser mencionado.

No apêndice B.2, página 238, encontra-se as expressões que permitem avaliar as segundas deri-vadas das funções de forma em relação aos eixos globais, que dependem das primeiras e segundasderivadas da inversa da transformação isoparamétrica, que se encontra definida implicitamente.As primeiras derivadas são triviais e disponíveis em inúmeros livros de elementos finitos. Em2009, após uma busca exaustiva, concluí que as segundas derivadas não se encontram publicadas,tendo-as deduzido para as aplicar à avaliação de esforços em lajes finas, ver derivadas de trans-formações definidas implicitamente. Estas foram publicadas na dissertação de mestrado de Maia(2011), disponível na página da biblioteca. A secção relevante encontra-se no apêndice D.

Da comparação entre as expressões (B.7) a (B.8c) do documento em análise, ver apêndice E, coma dissertação anteriormente mencionada conclui-se que são praticamente iguais. Ora, a leitura doapêndice B indicia que as expressões foram originalmente deduzidas no presente trabalho, o queé falso. A dissertação de mestrado foi fornecida como bibliografia de consulta à candidata em

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2013, tendo a implementação destas expressões sido por mim efectuada e incluída no código. Acandidata limitou-se a plagiar as expressões.

O facto das expressões estarem praticamente iguais deve-se ao facto de em 2011 eu mesmo terfornecido os ficheiros originais da dissertação de Maia (2011) à candidata, como mero exemplo deum documento escrito em LATEX. Nada indiciava nessa altura que alguma expressão daquela dis-sertação poderia vir a ser utilizada no trabalho da candidata. As únicas diferenças nas expressõesdos dois trabalhos é que no presente caso as coordenadas isoparamétricas são (ξ1, ξ2) enquanto notrabalho de Maia (2011) são (ξ, η). Inclusivamente pode observar-se que a candidata esqueceu-sede substituir seis das ocorrências do símbolo η por ξ2, o que prova que esta se limitou a copiar ecolar as expressões.

Este comportamento absolutamente inaceitável já se tinha verificado no passado, aquando daelaboração do primeiro relatório do projecto FireFRP (López et al., 2013a). Na altura a candidataplagiou quatro páginas das folhas do curso ME804314-2, Heat Transfer de K. M. Guedri. Tendonotado uma diferença acentuada na qualidade do inglês, facilmente identifiquei a fonte do plágio.Foi explicado na altura à candidata a gravidade da situação e comunicado o ocorrido ao ProfessorJoão Correia. Em 2014, numa das reuniões com a candidata e o Professor João Correia, voltei —em vão — a relembrar a candidata que o documento da tese não poderia conter qualquer espéciede plágio.

Em seguida é apresentado o método de cálculo de streamlines. Em lugar da referência Diersch,H.J.G. (2013), que é Miscellaneous documentation, seria preferível incluir o recente livro Diersch(2014, secção 15.3 Streamline Computation, página 798), que inclui as folhas citadas.

Os exemplos apresentados são adequados, mostrando as possibilidades do código desenvol-vido. Em todos os exemplos apresentados os resultados são excelentes. Novamente há uma pre-ocupação em aferir as taxas de convergência da discretização espacial. Seria desejável estenderesse cuidado à discretização temporal.

O erro associado à avaliação da derivada em ordem ao tempo da solução inicial, u(e)0, tambémnão se manifesta no presente capítulo, pois o único exemplo em que a resposta em regime transi-ente é analisada é o exposto na secção 4.11.5 Laminar Couette transient flow. Neste (i) as condiçõesiniciais são homogéneas, u(e)0 = 0 e f(e)0 = 0, e (ii) γ = 1, pelo que u(e)0 = 0.

Ao contrário do efectuado no capítulo 3 para o sólido, as propriedades do fluido são conside-radas constantes com a temperatura. Tal não se verifica no caso do ar e seria conveniente justificara opção tomada (provavelmente relacionada com o facto de se estar a trabalhar com a hipótese daincompressibilidade).

Nenhuma referência é efectuada ao efeito da estabilização das equações de Navier–Stokes eda difusão-advecção na solução numérica dos problemas. Seria natural efectuar, para um dosexemplos, a comparação das soluções obtidas com e sem estabilização e apresentar conclusõesacerca da sua utilidade.

O texto contém inúmeras incorrecções, e.g.,

(i) Nas expressões (4.33) é indicado que o número de nós em que se aproxima o campo develocidades e pressão, n, é idêntico. Tal especificação está errada e contradiz a aproximaçãodada na secção 4.8.

(ii) O símbolo v(e)i,j surge algumas vezes no texto em lugar de v(e)i,j , pois trata-se de um escalar e

não de um vector.

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(iii) Na expressão (4.47c) deveria estar K(e)v em lugar de K(e).

(iv) Há diversas referências a equações trocadas, como na seguinte frase da página 84: MatricesM(e) and K(e) are defined in equations (3.39c) (3.39b) and (3.39b) (3.39a), respectively.

(v) Na tabela 4.1 aparecem os símbolos fb e ft, que nunca foram definidos. A julgar pelo p enG que lhe foram atribuídos, talvez sejam os integrais de mais elevada ordem no domínioe fronteira estática que estão presentes no vector f. Por consistência, todas as matrizes evectores que aqui aparecem também deveriam ter o superescrito (e).

(vi) Na frase da página 93

The Newton–Raphson is used to solve the resulting system of equations and it isconsidered that the convergence is reached when the norm of the residual vectoror the dimensionless norm is less than 10−8.

Supõe-se que a expressão dimensionless norm remete para a frase do apêndice B.6 onde sãodescritos dois critérios de convergência:

In the developed code, two indicators of the convergence were considered: (i) thenorm of the residual vector, and (ii) the dimensionless residual norm, computedas the quotient between the norm of the residual vector and the norm of the initialresidual vector.

Estes critérios são na verdade um só, em que o segundo é adimensionalizado. O que deveriater sido usado seria (i) a norma do vector resíduo adimensionalizada, ‖r‖adim, e (ii) a normado vector solução iterativo adimensionalizada, ‖δu‖adim.

(vii) No enunciado do problema descrito na secção 4.11.3, Stokes flow with body forces in the domain,falta dizer que, em todas as análises, um dos graus de liberdade de pressão foi restringido,caso contrário o sistema global seria singular.

(viii) O enunciado do problema descrito na secção 4.11.3, Laminar Couette steady state flow, é in-consistente. Localizando-se a origem do referencial num eixo de simetria do domínio, comorepresentado na figura 4.9a, não é possível que as pseudo-tracções apresentadas na tabela4.3 não sejam antissimétricas. Suspeita-se que esta tabela foi efectuada para um sistemade eixos em que a origem coincide com a parede esquerda. Os valores apresentados sãoconsistentes com esse referencial, pois a pseudo-tracção seria

(−x1

∂p∂x1

)(este valor decorre

directamente do gradiente do campo de velocidades). Sendo a base igual a 2, ter-se-ia, e.g.,−x1

∂p∂x1

= −2 (−0.25) = 0.5.

A dimensão da largura do domínio do problema deveria constar da figura figura 4.9a, bemcomo a cota da origem do referencial.

(ix) No enunciado do problema descrito na secção 4.11.4, Lid-driven cavity flow, não é descritaa condição de fronteira no topo superior, v2 = 0. Falta também indicar que, em todas asanálises, um dos graus de liberdade de pressão foi restringido, caso contrário o sistema globalseria singular.

(x) A solução do problema apresentado na secção 4.11.5 tem dois sinais errados: em lugar de

v1

V1=

∞

∑n=0

erfe (2 n η1 + η) +∞

∑n=0

erfe (2 (n + 1) η1 + η) (4.75)

11

deve ter-sev1

V1=

∞

∑n=0

erfe (2 n η1 + η)−∞

∑n=0

erfe (2 (n + 1) η1 − η) (4.75)

(xi) Na figura E.1 é utilizada a notação qn para o fluxo normal prescrito. Na minha opinião1, estaé mais consistente do que a utilizada ao longo do documento, q. No entanto, por coerência,deve usar-se sempre a mesma notação.

2.5 Conjugate heat transfer problem

Neste capítulo são agrupadas as formulações de condução de calor em sólidos e radiação em ca-vidade apresentada no capítulo 3 com o a formulação de escoamento de fluídos incompressíveisnão-isotérmicos do capítulo 4. Seria relevante discutir alguns tópicos relacionados com a consi-deração dos dois meios, como sejam (i) a hipótese do fluido como non-participating medium, (ii)as condições de fronteira a impor na interface e (iii) a implementação numérica dessas mesmascondições.

Na secção 5.3.3 é brevemente referida a possibilidade de usar um adaptive time stepping. Noentanto não é mostrada qualquer aplicação desta funcionalidade do programa.

Nota-se que em ambos os problemas se utilizaram malhas mais refinadas junto às paredes.Presume-se que seja devido à no-slip condition, mas seria proveitoso comentar essa necessidade.

O exemplo introduzido na secção 5.4.3 não está bem descrito. Percebe-se que pode não seruma tarefa simples, visto que incluí diferentes versões e proveniências. É dito no texto, e constana figura 5.6a, as condições de fronteira nas faces verticais do domínio do fluido. Assim, estasdevem permanecer imutáveis. Após a frase Regarding the walls, different boundary conditions areconsidered por duas vezes o texto se refere a vertical walls. Presume-se que se pretenda referirhorizontal walls, pois não há paredes verticais. Além disso, nos três casos descritos a condição defronteira na face externa das paredes é adiabática.

Ainda relativamente ao exemplo da secção 5.4.3, não se percebe a inclusão do segundo casoneste capítulo. Visto que, na prática, não tem parte sólida (tal como na referência com que écomparado, Le Quéré (1991)), seria natural incluí-lo na secção 4.11.6, onde o mesmo problema jáfoi estudado. O comportamento qualitativo do fluido poderia ser sempre comparado, remetendopara a figura respectiva.

As conclusões apresentadas na secção 5.5 não parecem decorrer dos exemplos apresentados,pois (i) a influência da radiação no campo de velocidades e temperaturas é marginal (ver figuras5.9 e 5.10) e (ii) nada foi apresentado acerca da convergência do método de Newton–Raphson.Relativamente ao primeiro ponto, tal dependerá da escolha do valor da emissividade. Provavel-mente com ε = 1 a influência será superior.

Neste capítulo todos os exemplos recorrem a análises transientes. No entanto, apenas quando éatingido o regime estacionário a solução é extraída e comparada com as referências bibliográficas,pelo que o erro na derivada em ordem ao tempo da solução inicial não se manifesta.

O texto contém inúmeras incorrecções, e.g.,

1De resto, foi esta a notação usada em todos os conjuntos de folhas fornecidas à candidata.

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(i) De acordo com a justificação dada no capítulo 4, não é incluída a fronteira Γq no domíniodo fluido. Assim, é natural que não apareça na formulação — veja-se as equações (5.2). Noentanto, esta fronteira está — incoerentemente — representada na figura 5.1.

(ii) Nas equações (5.3a) e (5.4p) aparece a grandeza vs, que não mais é referida. Tal não fazsentido, pois o campo de velocidades no sólido é sempre nulo. As equações deveriam serv = o.

(iii) Ao longo dos capítulos 3, 4 e 5 aparecem algumas caixas com o resumo das equações doproblema em análise. Na frase inicial dos capítulos 3 e 5 os domínios em que estão definidasas variáveis estão incorrectos. Por exemplo, no presente capítulo tem-se

Obtain θs, R, v, p and θ for each point x = xi ei ∈(Ωs ∪Ω

)for all t ∈ [t0, t1], such

that:

Note-se que θs ∈ Ωs, R ∈ ΓR e v, p, θ ∈ Ω.

(iv) A expressão (5.7) será porventura a que melhor resume o presente trabalho. No entanto, temdiversos erros: o número de colunas das três matrizes intervenientes difere do número delinhas dos vectores pelas quais são multiplicadas (logo a operação não está definida), K(1)

R

está a multiplicar por θ(e)s em lugar de R(1), etc.

(v) Os dados utilizados nos exemplos numéricos estão insuficientemente descritos. A informa-ção ... and the parameters that are not specified are set as unity, dada em diversos exemplos,não permite reproduzir o que é aqui apresentado, pois (i) são prescritas grandezas relativas,como seja Pr e/ou Ra e (ii) são usados valores infinitos (e.g., kr = ∞). Todos os exemplosdevem indicar exactamente quais os valores numéricos utilizados.

Ambos os exemplos apresentados foram resolvidos através de análises em regime transiente.Não são indicadas as condições iniciais.

As figuras dos domínios dos problemas também apresentam diversas omissões/incorrecções,e.g., (i) na figura 5.2 a condição v = o deveria estar junto à fronteira da interface e não nafronteira exterior (no sólido não se define este tipo de condições de fronteira) e (ii) na figura5.6 falta indicar as condições de fronteira entre as partes sólidas e o exterior (os resultadosindiciam que serão em todos os casos adiabáticas) e falta a condição v = o em três dos lados(apesar de estar no texto).

Em todas as figuras devem ser indicados os domínios Ω e Ωs e a condição de continuidadeθ = θs entre a parte sólida e fluída.

2.6 Thermomechanical finite element model

Neste capítulo é revista a teoria plana geometricamente exacta de barras, efectuada a sua discreti-zação através do MEF e apresentados alguns exemplos de aplicação. A formulação e implemen-tação computacional foram por mim desenvolvidas especificamente para este projecto, estandouma parte do texto então preparado para a candidata disponível para consulta na hiperligaçãobarras planas geometricamente exactas. Estes foram parcialmente publicados no relatório Lópezet al. (2013b).

O texto introdutório é muito vago, não espelhando a diversidade de aspectos que há a pon-derar na escolha da teoria adequada para o presente objectivo. Por exemplo, nada é referido

13

acerca da possibilidade de incluir a deformabilidade no plano e fora do plano da secção, a rela-ção constitutiva a adoptar, formulação Lagrangeana total vs Lagrangeana actualizada e a ausênciados efeitos dinâmicos na escrita das equações de equilíbrio. Mesmo assim, inclui três frases queconvém detalhar:

(i) The derivation of a beam theory was traditionally based on some simplifying kinematic hypotheses... Não são apenas hipóteses cinemáticas. Para ser consistente, uma teoria terá sempre deincluir pares duais de hipóteses estáticas e cinemáticas.

(ii) ... proposed a simplification of the rotation matrix (which is nontrivial in the three-dimensional spacedue to the nonlinear character of the rotations). O tensor rotação também é não linear na rotaçãoda secção no espaço 2D, ver equação (6.8). A grande diferença reside na não-comutatividadedas rotações no espaço 3D.

(iii) In a modern context, researchers have been interested on geometrically nonlinear beam models as theypresent an alternative to the nonlinear beam theories and can be used when the bars present largedeflections. Esta frase parece-me desprovida de sentido.

Seria conveniente contextualizar o presente capítulo no conjunto do trabalho, justificando aopção pela teoria geometricamente exacta, e estabelecer as relações com o capítulo precedente,pois é aqui que toda a informação sobre a distribuição de temperaturas na parte sólida da secçãoé tratada em cada passo de tempo, dando origem às deformações generalizadas do modelo debarra.

Ao contrário dos capítulos anteriores não é apresentada a habitual caixa com as equações doproblema. As condições de fronteira cinemáticas e estáticas também não são exibidas. Enquantoas primeiras são triviais (e iguais às fornecidas pela teoria linear de barras de Timoshenko), assegundas dependem do referencial convectivo que acompanha a secção transversal e deveriamser detalhadas.

A preocupação em fundamentar todos os passos na dedução da formulação poderia ser acom-panhada por uma interpretação (física ou geométrica) das diversas grandezas que vão surgindo,aliviando a densidade de equações e tornando o texto menos críptico.

As perturbações das variações das deformações generalizadas apresentadas em (6.46) não maissão referidas. No entanto, foi com base nestas que é deduzida a matriz geométrica presente em

(6.51). O texto parece indiciar que a matriz geométrica foi deduzida com base em G =∂(ΨTσr)

∂(∆d) , oque não aconteceu.

Havendo secções distintas para a cinemática e a estática, pareceria natural incluir uma secçãodestinada à relação constitutiva. Esta aparece dispersa pelas secções Statics, Linearization of theweak form e Numerical examples, o que torna a leitura ininteligível.

É referido que a discretização será baseada em uma ... pure displacement-based formulation inwhich the displacements at the nodes are the fundamental unknowns.... Tendo em consideração a regrade integração adoptada ao longo do eixo, o termo pure é — no mínimo — excessivo. Recorde-seque a integração reduzida é um variational crime (Strang and Fix, 1973). Facilmente se pode provarque se trata, na verdade, de uma formulação mista em u, θ e γ (com integração exacta no casolinear), em que os deslocamentos generalizados, u e θ, são aproximados por um polinómio degrau n e a distorção média, γ, é aproximada por um polinómio de grau (n− 1), ver Malkus andHughes (1978).

14

Na secção 6.3.2 Computational considerations, ao referir a malha bidimensional para integraçãona secção transversal, parece faltar um ingrediente fundamental do presente trabalho: é que estamalha coincide com a da parte sólida do capítulo 5, tirando assim partido da discretização jáefectuada e facilitando a gestão da informação que terá de fluir da análise da secção para a análiseda barra, i.e., o valor de θs em todos os pontos de Gauss.

O texto procura ser conciso, objectivo e detalhado. No entanto, incorre por vezes no exagerode repetir certos conceitos. Por exemplo, a precisão da regra de Gauss–Legendre na avaliação deintegrais de polinómios aparece na equação (3.52), na equação (6.55) e no apêndice B.4. Este tipode conceitos básicos que fazem parte do curriculum dos primeiros anos dos cursos de engenhariadeveriam figurar, no máximo, uma vez ao longo de todo o texto.

Um outro exemplo de repetição é a questão da identificação das unidades empregues. Nopreâmbulo do documento é incluída na secção Notation and list of symbols and abbreviations2 a se-guinte frase:

The applications and examples presented are in a coherent system of units, even if thissystem is not always specified.

No entanto, frases similares aparecem nos capítulos 3 (página 56), 4 (página 93) e 5 (página 136).

A incompleta e confusa descrição do enunciado dos exemplos numéricos apresentados é umaconstante ao longo de todos os capítulos, inviabilizando a sua reprodução. Por exemplo, na secção6.4.1 é referido

The problems presented in 6.4.3 and 6.4.4 are solved considering the area of the beamlarge enough to nullify the axial and shear deformations. This was done in order tobe able to compare the obtained numerical results with those presented by Mattiasson(1981).

Para além dos exemplos 6.4.3 e 6.4.4, esta frase também se aplica ao exemplo apresentado em 6.4.2.Observe-se que neste último a consola está sempre sujeita não só a V e M, mas também a N. Aúnica excepção consiste na primeira iteração do método de Newton–Raphson devida ao primeiroincremento de carga, quando N = 0.

Os valores numéricos utilizados para A e A∗ não são apresentados. O valor de L no exemplo6.4.2 não é especificado. Os valores numéricos de E e G não são dados em nenhum dos exemplosapresentados3. Os valores do momento de inércia e da carga fornecidos no exemplo apresentadona secção 6.4.2 são pouco precisos. Em lugar de 8.33e− 6 e 83.33 utilizou-se na realidade 8.(3)e− 6e 83.(3), respectivamente. Note-se que esta pequena diferença inviabilizaria a reprodução dosresultados expostos na tabela 6.2, que são dados com 9 casas decimais.

2Em lugar de Notation and list of symbols and abbreviations deveria ser Notation, list of symbols and abbreviations.3No exemplo 6.4.5 é dado o valor do produto EI. Tal é suficiente para especificar a solução, mas o processo iterativo

depende de todas as constantes envolvidas, como referido em Ritto-Corrêa and Camotim (2002, página 1027):

In References (Simo and Vu-Quoc, 1986; Ibrahimbegovic et al., 1995) it is claimed that convergence to theexact solution is attained in only two iterations, regardless of the magnitude of the end moment. Westrongly suspect that such a fast convergence occurs only if the constitutive tensor CNΓ is isotropic (i.e.if the axial and shear stiffness coincide, EA = GA∗). While Simo and Vu-Quoc (1986) only provide thevalue of EI (the only constitutive value affecting the solution), Ibrahimbegovic et al. (1995) say they adoptGA∗ = EA/2 6= EA. We believe that they have used, instead, GA∗ = EA because, by adopting thisvalue, we were able to reproduce exactly all their results (including the ones related to the next example),as theoretically expected.

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Não é indicado o referencial em relação ao qual os resultados da tabela 6.2 são apresentados.Na verdade, os resultados estão trocados em relação ao referencial indicado na figura 6.1, o queos torna ininteligíveis. Para mais, os resultados estão em termos de deslocamentos, d, e não devector posição, x. No entanto, os símbolos que aparecem na tabela são −xα.

A frase

As the geometrically exact beam theory is used, it can be noticed that the horizontaldisplacement at the free end is not null and, consequently, the length of the beam isconstant in all load steps.

não faz sentido. O facto de o comprimento da viga se manter aproximadamente constante é con-sequência do elevado valor atribuído a A e não do facto de se estar em presença de uma teoria debarras geometricamente exacta. É notório na figura 6.5(a) que a barra pode aumentar de compri-mento.

Os exemplos ilustram algumas das possibilidades da teoria apresentada. Ênfase é dada à com-paração de grandezas cinemáticas com soluções de referência, tal como é habitual neste tipo detrabalhos. No entanto, seria conveniente mostrar, para um dos exemplos, as grandezas estáticasobtidas, pois:

(i) O dimensionamento das estruturas é baseado em distribuições de esforços.

(ii) A precisão obtida para os esforços é inferior à dos deslocamentos generalizados.

(iii) Não sendo as distribuições obtidas para os esforços localmente equilibradas — por via doenfraquecimento efectuado das equações de equilíbrio no domínio e fronteira estática — nãopodem ser utilizados argumentos baseados no teorema estático da análise limite.

(iv) Este tipo de formulações dá origem a distribuições de esforços drasticamente diferentes dasobtidas através de análise linear. Por exemplo, a análise linear da consola mostrada na figura6.5 conduziria a esforços V 6= 0 e M 6= 0, sendo N = 0. No entanto, no final da presenteanálise, esta está sujeita a N 6= 0, mas V ∼= 0 e M ∼= 0 (exceptuando numa vizinhança juntoao encastramento).

(v) Dado que a integração reduzida é equivalente a uma formulação mista em que também seaproxima independentemente a distorção média da secção, a recuperação do esforço trans-verso na secção pode ser efectuada de duas formas distintas: via compatibilidade ou aproxi-mação independentemente.

Nos capítulos 3 e 4 houve a preocupação de extrair as taxas de convergência da discretizaçãoespacial, confirmando a correcta implementação do modelo. Por uma questão de coerência dotexto, a taxa de convergência do modelo mecânico também deveria ser determinada e comparadacom a dada na bibliografia, e.g., Bathe (1996, página 332).

O texto contém diversos erros, imprecisões e omissões, e.g.,

(i) Na figura 6.1 falta indicar o vector ar, fundamental para a transformação de Simo. Nestafigura o comprimento da barra é denotado por L, enquanto no texto surge `r.

(ii) Sendo um tensor uma quantidade independente de sistemas de eixos, este deve ser distin-guido da representação das suas componentes cartesianas em formato matricial. Assim, a

16

equação (6.8) deveria ser escrita na forma

[Q] =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

para distinguir de

Q = cos θ er1 ⊗ er

1 − sin θ er1 ⊗ er

2 + sin θ er2 ⊗ er

1 + cos θ er2 ⊗ er

2 + er3 ⊗ er

3.

(iii) Na frase da página 126

where η is the deformation tensor in the e1 and e2 directions, and γ is the totaldeformation tensor (axial strain, angular distortion and curvature).

refere-se que η e γ são tensores. De facto, são tensores de primeira ordem, pelo que é habitualdesigná-los por vectores, reservando-se a palavra tensor para outras grandezas para além deescalares e vectores. O vector η armazena a deformação axial do eixo e a distorção médiana secção. O vector γ contém a deformação axial e distorção numa dada fibra, mas não acurvatura.

(iv) As decomposições expostas nas equação (6.25) e (6.27) não fazem sentido no presente con-texto. A equação (6.25) coincide com a (6.77) de Tiago (2007, página 188). No entanto, nestareferência há duas diferenças fundamentais: o eixo da barra é segundo er

3 em lugar de er1 e

a teoria é tridimensional e não plana. Poder-se-ia ainda questionar o desaparecimento dotermo τr

2 ⊗ er2 presente em (6.27).

(v) O termo λ deveria figurar nas equações finais de equilíbrio (6.41) e (6.43), pois está presentena forma fraca (6.39).

(vi) A referência Reissner (1973) citada na página 130 merece alguns comentários: o nome doartigo publicado nessa revista não é On one-dimensional large displacement finite-strain beamtheory: the plane problem., mas sim On one-dimensional large displacement finite-strain beam the-ory. Ao contrário do que é escrito na tese, nesse artigo (Reissner, 1973) não é efectuadoqualquer equilíbrio na posição deformada. Suspeita-se que se pretendesse citar o artigo Onone-dimensional finite-strain beam theory: the plane problem (Reissner, 1972), onde são deduzidasas equações relevantes a partir do equilíbrio na posição deformada. Nota-se que a equação(6.43c) não coincide com as equações (3) e (3∗) do artigo, pelo que seria pertinente estabeleceressa relação.

(vii) A designação σpG(εpG)

e τpG(γpG

)nas equações (6.66) não faz sentido. Deveria usar-se

em seu lugar σ(εpG)

e τ(γpG

). Nada é dito acerca do número de pontos a utilizar nestas

expressões. Deveria referir-se a sua dependência da relação constitutiva e da discretizaçãoadoptada para a secção transversal.

(viii) o símbolo χ aparece nas expressões (6.46c) e (6.73). Este nunca foi definido e suspeita-se quese trata na realidade de κ, a curvatura da secção.

(ix) Na página 138 aparece a frase ...1.6 radians corresponds to almost 90 que não faz sentido,pois 1, 6 180

π ≈ 91, 6732 > 90. A explicação é que a rotação não é 1, 6 rad, mas sim4

1, 5707776611 rad 180π ≈ 89, 998930537 < 90, como seria expectável.

4Este valor foi obtido usando o programa que foi fornecido à candidata, pelo que deve coincidir com o que é apre-sentado na tese.

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(x) As figuras 6.11(a) e 6.11(b) são iguais. Na primeira o sentido das setas deveria ser invertido.

(xi) Na página 141, The position of the nodes can be consulted in figure 6.12 6.11a.

(xii) Na página 143, em lugar de ... Figures 6.15 and 6.16 show the computed beam’s deformations andthe ... deve escrever-se ... Figures 6.15 and 6.16 show the computed beam’s deformed configurationsand the ..., pois deformações e configuração deformada são dois conceitos distintos.

(xiii) Na página 143, ... Figure 6.17 displays the relative errors obtained in the computational analysisin the first 6 load steps. Na figura 6.17 são mostrados apenas os 5 primeiros passos, tal comoindicado na respectiva legenda. Seria preferível mostrar toda a análise, pois não faz sentidomostrar apenas 5 passos quando a análise tem 6.

2.7 Thermomechanical simulations in GFRP beams and columns

No presente capítulo é aplicado o software desenvolvido nos capítulos 3 a 6 ao caso particular debarras de GFRP submetidas a carregamento mecânico e térmico.

Os modelos termofísicos do GFRP são novamente revistos, sendo repetidas algumas expres-sões já apresentadas no capítulo 2 (e.g. (7.1) e (7.4) são iguais a (2.2) e (2.3), respectivamente).Tal como se tinha referido nesse capítulo, a maioria desta informação não é relevante para o tra-balho efectuado, podendo em seu lugar ser referidos inúmeros trabalhos efectuados no IST, e.g.a dissertação de mestrado referida no capítulo 2 (Fernandes, P.R., 2009), que consagra um capí-tulo exactamente ao tema Modelos de comportamento das propriedades termofísicas de perfis de GFRP,analisando a emissividade, densidade, condutibilidade térmica, calor específico e descrevendopormenorizadamente os modelos de Samanta, Tracy e Bai, os usados na presente tese.

Em seguida é apresentado um estudo sobre a importância dos fenómenos a considerar na ca-vidade. Com esse estudo é concluído que é necessário contabilizar a transmissão de calor porcondução no sólido e ar na cavidade, convecção do ar na cavidade e radiação entre as paredesinternas da cavidade. Deveria ser aqui enfatizado a relação não linear que se verifica entre a con-vecção do ar e radiação entre as paredes internas da cavidade, sendo que a sua combinação étotalmente diferente da soma das suas contribuições parciais. Neste estudo conclui-se que

Overall, the most accurate model regarding the simulation of the temperature fieldin the cross section was model (iv). Consequently, this was the model chosen for theanalyses presented next.

Esta conclusão não está de acordo com os resultados apresentados, pois o modelo (ii) reproduzmelhor os resultados experimentais que o (iv): no banzo superior é claramente superior e nasrestantes paredes é idêntico. Acresce que possui ainda a vantagem de não divergir. Talvez poresta razão — e apesar da decisão apresentada — se tenha sentido a necessidade de voltar a esteassunto e simular o modelo (ii) para a situação da viga protegida em uma face, ver secção 7.5.4 eapêndice F.

Segue-se um estudo sobre a convergência dos resultados em função da malha utilizada nadiscretização espacial. Aqui surge a frase

... In fact, the global Rayleigh number at the last time converged (1058 s) is equal to9 · 106, this value being much higher than the limit established in Incropera et al. (2006),5 · 104, for such change in the fluid flow regime.

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A referência mencionada, Incropera et al. (2006), refere-se na verdade a Incropera et al. (2007),como mencionado anteriormente. Como se mostrou na secção 2.4, o limite Ra = 5 · 104 não seaplica ao presente caso, mas a um escoamento entre dois planos infinitos. O valor Ra = 9 · 106 éapresentado sem qualquer justificação e será mostrado que este valor está incorrecto.

Em seguida é efectuada uma análise qualitativa onde são comparados os escoamento no pre-sente caso e o da referência Vincent and Yuen (2000). A partir desta, conclui-se que o escoamentoatinge o regime turbulento, o que justificaria a divergência do modelo desenvolvido.

A bibliografia aponta para que a transição para regime turbulento no caso em apreciação sedê para valores de 108 < Ra < 1010. Note-se que na referência Vincent and Yuen (2000), usadana comparação, a transição dá-se para valores acima de Ra = 1010, sendo que neste caso a relaçãoentre dimensões da cavidade é igual a 3.

A fim de perceber exactamente a influência da turbulência no problema, conduzi um conjuntode análises usando um software comercial. Neste, a parte fluida da secção é discretizada atravésde volumes finitos. Diversas possibilidades foram testadas, como a utilização de propriedades doar variáveis com a temperatura, regime laminar vs. incorporação de modelos de turbulência, etc.Alguns dos resultados assim obtidos encontram-se no anexo F.

Na figura 1 constam os resultados obtidos nos termopares T1 e T7. Pode ver-se que a análiseequivalente à efectuada na tese (sem modelo de turbulência e com propriedades constantes) foiconduzida até aos 75 minutos sem qualquer problema, sendo nessa altura terminada. Usando omodelo k − ω, as variáveis associadas à presença de turbulência (Turbulence viscosity ratio e Tur-bulence Intensity) possuem sempre valores muito reduzidos, ver figura 3, conduzindo a valores detemperatura idênticos às análises em regime laminar.

Na figura 2 é mostrada a distribuição de temperaturas no fluido para t = 1080 s, valor próximodo instante em que a análise na tese divergiu. Pode constatar-se nesse gráfico que, nessa situação,a diferença de temperaturas no fluido é ∆T = 550 C− 323 C = 227 C. A temperatura médiana secção poderá ser tomada como a média, i.e., 436, 5 C. Para esta temperatura, as propriedadesdo ar são: ν = 62, 53 · 10−6 m2/s, k = 0, 0515 W/m C, ρ = 0, 524 kg/m3, cp = 1, 068 · 103 J/kg Ce β = 1, 49 · 10−3 C−1, ver http://www.engineeringtoolbox.com/air-properties-d_156.html. Assim, a difusividade térmica é dada por α = k

ρ cp= 0, 0920248 · 10−3 m2/s. Sendo

L = 0, 084 m e g = 9, 81 m/s2, o número de Rayleigh é dado por

Ra =g β ∆T L3

ν α= 0, 34 · 106

Este valor é significativamente inferior ao apresentado na tese, Ra = 9 · 106. Após solicitar es-clarecimento à candidata sobre a sua origem, constatei que no seu cálculo foram consideradas aspropriedades do ar a 20 C. Tal não faz sentido, pois a temperatura no fluido varia entre 323 C e550 C.

Os dados aqui expostos são apenas uma pequena parte dos enviados à candidata, tendo-sedisponibilizado todos os ficheiros gerados.

Assim, conclui-se através (i) das análises efectuadas e (ii) do número da Rayleigh calculado,que o escoamento na secção, para as condições descritas em 7.4.3, não é turbulento, pelo que aexplicação apresentada na tese para a divergência do modelo desenvolvido é incorrecta.

É apresentado em seguida um estudo acerca da discretização temporal. A frase

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... Nonlinear transient analyses using mesh 2 and a fully implicit scheme, in order toguarantee an unconditionally stable algorithm, are ...

indicia que é necessário usar um esquema backward Euler para garantir que o algoritmo seja incon-dicionalmente estável. Na verdade, desde que γ ≥ 1

2 já se tem essa garantia. No caso particulardo esquema de Crank-Nicolson ter-se-ia a vantagem adicional da taxa de convergência ser O(∆t2),em lugar de O(∆t) do esquema backward Euler, facto que não foi objecto de atenção no trabalho.

Em todas as análises deste estudo, bem como todas as apresentados no corrente capítulo, aderivada em ordem ao tempo da solução inicial não é nula: u(e)0 6= 0 (pois θ0 6= 0) e f(e)0 6= 0(dado que θISO(0) = θ0 6= 0). No entanto, todas as análises parecem ter sido efectuadas usandoγ = 1, pelo que o erro na avaliação da derivada em ordem ao tempo da solução inicial não se deveaqui manifestar (apesar da inferior taxa de convergência obtida).

A decisão tomadas acerca do tamanho do incremento de tempo não parece justificável combase no estudo de convergência efectuado. Se a razão pela qual a utilização de ∆t = 10 s originaa divergência aos 740 s é a apontada, o problema seria automaticamente resolvido pelo algoritmodescrito na secção 5.3.3 — que nunca vi a funcionar correctamente e do qual não é apresentadoqualquer exemplo ao longo de toda a tese. Tem-se também que os resultados com ∆t = 5 s e∆t = 1 s são idênticos, pelo que a escolha de ∆t = 1 s não parece consubstanciada nos resultados.

De modo similar, idêntica objecção pode ser apontada à análise apresentada na secção 7.4.5acerca da simplificação da geometria do perfil: o modelo que representa fielmente a topologiae que não possui singularidades na avaliação dos integrais devidos à consideração da radiaçãointerna é preterido porque a análise diverge precocemente, fornecendo resultados para cerca demetade do tempo relativamente à análise da secção com arestas interiores. Esta secção tem avirtude de justificar, pela primeira vez no documento, o recurso a elementos isoparamétricos.

Segue-se uma discussão acerca da escolha do modelo de propriedades termofísicas do GFRPque melhor reproduz os resultados experimentais e um conjunto de análises a diferentes situaçõesde exposição e protecção dos perfis e . Estas encontram-se adequadamente descritas e osresultados são apresentados de forma sistemática.

Destas análises fica claro que, quando há convecção na cavidade, o modelo diverge. Nos casosem que não há convecção — modelo (ii) de (7.4.2), a secção não protegida (7.5.6), secção só com radiação (apêndice F) — ou esta é amenizada devido à simetrias da aplicação da tempera-tura — testes adicionais da secção 7.8 — não surge qualquer problema.

Invariavelmente, a explicação apontada para a divergência, e que aparece repetidamente aolongo do texto — ver e.g. páginas i, 161, 164, 169, 170, 173, 177, 180, 182, 184, 191, 193, 213, 215,220, 223, 226, 227, 228, 229 —, é a mudança do regime do escoamento de laminar para turbulento.Mostrou-se anteriormente que esta justificação é desprovida de fundamento para o caso descritona secção 7.4.3. Sendo este o caso em que o gradiente de temperaturas é mais elevado, a existir talalteração no regime, esta deveria ocorrer nesta situação, o que não se verifica. Assim, a explicaçãopara todos os restantes casos também deve ser outra. Apesar do número de vezes que é referida amudança do regime do escoamento de laminar para turbulento, em momento algum a explicaçãoé acompanhada da avaliação da constante relevante que descreveria essa tendência: Ra.

Perante a diversidade dos casos analisados solicitei à candidata que efectuasse uma tabelacom um resumo dos tempos em que foi possível obter solução, comparando-os com o tempo deduração requerido pelo ensaio experimental condicionante. Tal tabela deveria incluir apenas oscasos em que há convecção, pois é onde reside o problema. Em seu lugar a candidata apresentou

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a mim e ao Professor João Correia, em reunião ocorrida em Junho de 2014, uma tabela semelhanteà 7.11. Na altura expliquei que não era o que se pretendia, pois não espelha os resultados:

(i) Em lugar de identificar, para cada problema térmico, o tempo de análise requerido, consideratodos os problemas. Note-se que a resposta térmica é independente do problema mecânico,pelo que não faz sentido introduzir informação acerca da solicitação mecânica na obtençãodo valor médio dos tempos de simulação térmica.

(ii) Inclui um caso em que apenas há transmissão de calor por condução.

Caso a tabela que solicitei tivesse sido efectuada, o valor médio dos tempos de simulação passariade 62, 1%, como apresentado na tese, para 41, 7%.

Saliente-se que os tempos de simulação obtidos da forma que propus são, ainda assim, redu-zidos face ao real comportamento apresentado pelo material GFRP no decurso dos ensaios. Casoa solicitação mecânica seja removida, os tempos de ensaios seriam superiores aos apresentados.Na verdade, em Morgado et al. (2013b) é precisamente reportado o ensaio de um perfil nãoprotegido exposto a uma face, dispondo-se de resultados até 3600 s, em lugar dos 2100 s, 1860 s,965 s e 300 s considerados. Este caso foi simulado em regime laminar usando volumes finitos atéaos 4500 s, tendo-se parado a simulação nessa altura, ver anexo F.

A apresentação das simulações mecânicas das barras é iniciada pela exposição das relaçõesconstitutivas adoptadas para o módulo de elasticidade (à tracção e compressão), o módulo dedistorção e o coeficiente de dilatação térmica linear para a parte sólida da secção. No caso doGFRP, o E+, E− e G são dependentes da temperatura.

Nesta altura seria relevante discutir modelos de relações constitutivas adequados ao presentecaso. Note-se que no capítulo precedente apenas foi discutido o modelo elástico-linear. Deveriaser referido que este é aqui modificado, sendo os valores de E+, E− e G actualizados em funçãoda temperatura determinada para cada ponto (de integração) da secção. Impõe-se uma discussãoacerca da validade desse procedimento.

Na página 174 tinha sido concluído

Based on the results reported above, overall, it was considered that the best model toevaluate the thermal properties of the GFRP is that of Tracy model with temperature--dependent emissivity. This was the model used in the thermal simulations presentednext.

Nos estudos apresentados acerca da discretização espacial do modelo mecânico não é dito qual omodelo termofísicas adoptado, presumindo-se que seja o de Tracy. No entanto, no estudo acercada distribuição longitudinal da temperatura nas vigas recorre-se ao modelo de Bai. Fica assiminstalada a dúvida sobre, de facto, qual o modelo utilizado em todos os testes deste capítulo.

A seguinte frase da página 205 merece ser comentada.

The causes of this disagreement between the numerical and the experimental resultscould be the following: (i) the adequacy of the GFRP physical-mechanical propertiesadopted, especially for the thermal expansion coefficient; (ii) the accuracy of the tem-perature field computed during the thermal simulations; (iii) the creep, which, as men-tioned, is not considered in the simulations; and (iv) the boundary conditions duringthe experimental test (namely, the fully fixed support, which may have not fully pre-sented the rotation at the left support).

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As condições (i) e (ii) também se aplicam às vigas. Ora, se nestas os resultados são minimamentecoerentes, não se pode aqui invocar estas razões para justificar os péssimos resultados nas colunas.A condição (iv) é incompreensível: se fully fixed support se refere a um encastramento5, então nafigura 7.56 o apoio esquerdo estaria errado e talvez se pretendesse escrever ...may have not fullypresented prevented the rotation at the left support....

Na página 200 é escrito

The cases analysed in this section are the ones summarized in tables 7.1 and 7.2 (page150).

A tabela indica que se analisaram 8 casos de vigas e de colunas. Destas últimas, são mostradosresultados de seis casos e justificada a ausência de um outro. Falta apresentar os resultados dasecção não protegida sujeita à carga de 110 kN.

A seguinte frase da página 213 merece ser comentada.

The behaviour of the fluid is not symmetric with respect to the vertical axis, even if thegeometry and the boundary conditions are symmetric. This fact is because the residualvector and the tangent matrix are not symmetric, as equations (5.7) and (5.8) show.

A definição de simetria não se aplica a vectores, neste caso o vector resíduo, pelo que a parte daafirmação a este respeito é inexplicável. Quanto à matriz tangente, esta será sempre não simétricadevido ao termo da convecção, podendo o escoamento ser ou não simétrico. No presente caso ésimétrico até atingir um ponto limite, deixando de o ser após essa altura, o que é independente doregime, que continua a ser laminar.

É realizado um genuíno esforço de tentar perceber como se processa o escoamento do fluidoantes deste atingir o ponto limite em cada uma das diversas situações analisadas, identificandoas células convectivas, os sentidos de circulação e estabelecendo a relação com a distribuição detemperatura obtida.

Os resultados do modelo térmico/fluido/radiação interna apresentam limitações em termosde (i) qualidade — quando comparados com os experimentais — e (ii) tempo de análise alcançado.É evidente que a reprodução dos resultados experimentais está dependente de variadíssimos fac-tores, muitos dos quais totalmente alheios ao presente trabalho. Por outro lado, deve ter-se aquiem consideração que se pretendia criar um modelo computacional que, incluindo os fenómenosque determinam a resposta térmica, fosse passível de utilização prática. Assim, considero que omodelo atinge os objectivos mínimos em termos do primeiro critério. Quanto ao segundo, o tempode análise é manifestamente insuficiente, comprometendo as posteriores análises mecânicas.

Dos resultados do modelo mecânico, para o reduzido período de tempo em que a análise podeser efectuada, podem salientar-se dois factos: (i) a razoável reprodução do comportamento de vi-gas e (ii) os inverosímeis resultados obtidos nas colunas. As justificações (i) e (ii) (ver página 205)apontadas para as diferenças observadas nas colunas não parecem razoáveis, pois são tambémválidas para as vigas. O facto do apoio ser ou não um encastramento pode ser relevante, vistoque a distribuição de esforços passa a não ser determinada exclusivamente pelas condições deequilíbrio. O documento é contraditório e confuso, pelo que não é possível perceber quais as con-dições de fronteira cinemáticas adoptadas. Além do mais, nunca são apresentadas distribuiçõesde esforços. Note-se que a relação constitutiva da secção não será uniforme ao longo do eixo, poisa distribuição de temperaturas no vão é trapezoidal cf. figura 7.57. Foi proposto à candidata a

5A designação inglesa para encastrado habitualmente usada é clamped.

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adopção de um modelo constitutivo incremental em lugar do total adoptado, mas tal sugestão foiignorada.

O texto contém diversos erros, imprecisões e omissões, e.g.,

(i) Presume-se que tenha sido utilizada estabilização dos termos associados à convecção presen-tes nas equações de Navier–Stokes e da difusão-convecção nos teste numéricos, mas nada éreferido sobre o assunto.

(ii) Na subsecção 7.3.2 tem-se a frase:

The thermal properties of the air are assumed as constant and equal to those at20 C: ν = 1.67e− 5 m/s2 m2/s, k11 = k22 = 0.0256912 W/(m C), cp = 1004.592 W/(m C)J/(kg C) and ρ = 1.2 kg/m2 kg/m3.

(iii) A propósito dos modelos (i) e (ii) é escrito na página 159

... The mesh contains a total of 880 nodes, 176 quadrilateral elements and 48 one-dimensional elements to impose the radiative and convective heat flux in the bot-tom and top faces....

Os 48 elementos a que se faz referência são apenas os lados dos elementos quadrilaterais ondesão impostas condições de fronteira de Robin. Não são elementos, pois ao longo destes ladosnão é efectuada qualquer aproximação independente, sendo apenas necessário efectuar asintegrações associadas à prescrição do fluxo normal (eventualmente envolvendo convecçãoe radiação). O mesmo erro ocorre mais à frente no mesmo parágrafo e nas páginas 181, 186 e190.

(iv) É frequente ao longo de toda a tese a expressão ... using an implicit scheme ..., como na páginas103, 119, 159 e 164. Todas as análises efectuadas nesta tese são necessariamente implícitas,pois (i) nunca é referida a possibilidade de usar matrizes de massa do tipo lumped e (ii) afórmula de (B.13) não é válida para γ = 0. O problema advém do anexo B.3. Aqui usa-seindistintamente as expressões fully implicit (na tabela B.1) e implicit (no último parágrafo).Em lugar de usar uma adulteração das designações de Lewis et al. (2004), seria preferívelusar as mais convencionais forward differences/forward Euler (γ = 0), trapezoidal rule/midpointrule/Crank-Nicolson (γ = 1

2 ) e backward differences/backward Euler (γ = 1).

(v) No capítulo 5 foi estabelecida uma notação para os domínios sólido, usando o subscrito s, efluido, sem qualquer subscrito. Aparentemente, esta notação foi alterada, usando-se agorao subscrito f para o domínio fluido, veja-se as figuras 7.7, 7.21, 7.34, 7.39 e 7.49. A notaçãodeveria ser coerente ao longo de todo o documento.

(vi) A frase citada na secção 7.4.7 a finer grid does not guarantee a more physically correct solution.merece alguns comentários. Em primeiro lugar, essa frase não aparece na referência menci-onada, Çengel (2003), um livro de transferência de calor, mas sim em (Çengel and Cimbala,2006, página 840), um livro de mecânica dos fluidos (também referido na tese). A frase estádescontextualizada, pois o autor refere-se ao problema da especificação das condições defronteira. A frase completa é:

Poor grid resolution can lead to incorrect CFD results, but a finer grid does notguarantee a more physically correct solution. If the boundary conditions are notspecified properly, the results may be unphysical, regardless of how fine the grid.

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Acresce que a grid referida é, na verdade, uma malha de volumes finitos e não de elementosfinitos, surgindo no comentário a resultados obtidos usando o FLUENT, o software utilizadonas análises mostradas no apêndice F.

(vii) Na figura 7.42, onde está radiative heat exchange deveria estar convective and radiative fluxθa = θISO.

(viii) Na página 194, o texto ... reductions of 42% and 40% of the elastic modulus (compared to ambienttemperature) were assumed at 450 C and 550 C, respectively... não está coerente com a tabela7.12. Em lugar de 42% é 52% (após consulta da relação constitutiva do input do código).

(ix) Página 199: Figure 7.19 7.57 schematically represents the temperature distribution assumed.

(x) O último parágrafo da secção 7.7.4, página 207, é praticamente uma repetição de um outroque aparece duas páginas antes.

2.8 Conclusions and future developments

Este capítulo é iniciado com uma súmula do trabalho efectuado, sendo resumidas as conclusõespara cada modelo que foram sendo apresentadas ao longo da tese. Algumas destas incorrem nasmesmas incorrecções apontadas anteriormente, não sendo aqui referidas.

A seguinte conclusão do modelo térmico

The temperatures in the thermocouples obtained with the code developed are inde-pendent from the spatial and the temporal discretization.

é falsa.

Na página 229 é efectuada uma referência a ... doubled node formulation ..., não se percebendo aque formulação se refere o texto.

3. Conclusão

A tese apresentada tem como objecto o desenvolvimento de uma ferramenta de análise numé-rica do comportamento de peças lineares sujeitas à acção de temperatura, sendo aplicado a umproblema específico: a análise de vigas e colunas formadas por perfis pultrudidos de GFRP sub-metidos à acção simultânea de temperatura e carregamento mecânico.

A utilização deste tipo de materiais no âmbito da Engenharia Civil é limitada, sendo uma dasrazões para tal o reduzido conhecimento do seu comportamento face à acção do fogo. Assim, oâmbito do trabalho reveste-se de todo o interesse e actualidade.

O capítulo 2 está desfasado do restante documento, não se percebendo a razão da inclusãodeste material face ao trabalho realmente desenvolvido.

Nos capítulos 3 a 6 procura-se desenvolver de forma sistemática e faseada o modelo numérico.Este envolve problemas de três áreas distintas: transmissão de calor, dinâmica de fluidos e análiseestrutural geometricamente não linear.

A modelação efectuada para a secção transversal envolve a análise de um conjunto de fenóme-nos pouco habituais no contexto da Engenharia Civil. A principal virtude do trabalho consiste na

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forma metódica e sistematica com que cada um dos problemas foi tratado, dando origem a umaformulação rigorosa, unificada e coerente, onde os problemas são resolvidos de forma totalmenteacoplada. Não se encontrou na bibliografia consultada a descrição de um modelo semelhante,explicando-se assim a impossibilidade em encontrar soluções de referência que tirem partido detodas as capacidades do código desenvolvido. Estas apenas são plenamente exploradas na apli-cação efectuada a perfis de GFRP.

A modelação proposta para o modelo de barra recorre a um modelo bem conhecido e que sejulga apropriada para os objectivos do trabalho. No entanto, o modelo da relação constitutiva dasecção aparenta severas limitações.

A principal originalidade no trabalho consiste na combinação dos dois modelos anteriores,gerando um modelo singular que conjuga uma inédita análise de secção transversal de uma barra— incluindo condução não-linear em sólido, radiação em cavidade, condução e convecção emfluido — com uma prática análise estrutural geometricamente exacta de elementos de barra.

Há uma preocupação em expor detalhadamente todas as equações do modelo, que não é acom-panhada pela explicação do significado das mesmas ou uma justificação cuidada das opções to-madas. Para todos os problemas é apresentada a discretização espacial e temporal. Em cada umdestes capítulos são apresentados resultados do modelo, que são comparados com soluções dereferência. A maioria dos resultados apresentados não podem ser reproduzidos por falta de dados.

Este conjunto de exemplos não ilustra por vezes aspectos relevantes da resposta do modelo,não tendo sido suficientes para, e.g., identificar o erro de implementação associado à derivada emordem ao tempo da solução inicial.

No capítulo 4 foi necessário avaliar certas derivadas descritas no apêndice B.2. Apesar dasadvertências, constatou-se que algumas expressões deste apêndice foram plagiadas, prática a quea candidata já tinha recorrido anteriormente.

No capítulo 7 são apresentados os resultados das análises térmicas e termomecânicas dos per-fis. É efectuado um conjunto sistemático de análises para aferir da qualidade de certos parâmetrosdas discretizações temporal e espacial, geometria, modelos termofísicos, fenómenos a incluir nasanálises, etc. Os resultados são, em geral, expostos detalhadamente. Por vezes as conclusões ex-traídas não parecem fundamentadas nos resultados obtidos.

As principais limitações do código desenvolvido são (i) a divergência apresentada pelo mo-delo térmico de análise da secção e que naturalmente limita também o modelo mecânico e (ii) osincompreensíveis resultados obtidos na análise de colunas.

No que diz respeito ao primeiro ponto, é apresentada uma explicação fraudulenta, baseada (i)na adulteração de um dado retirado de uma referência bibliográfica e (ii) na incorrecta avaliaçãodo número de Ra no presente modelo. A consequência prática destes actos é que o fluido passariaa regime turbulento nos primeiros instantes dos ensaios (quando o gradiente térmico no fluidoatingisse 0, 8 C) e portanto o código seria incapaz de analisar o problema. Esta explicação assumetal importância no trabalho que é reiterada mais de vinte vezes ao longo do texto.

O texto contém inúmeros erros, incorrecções e omissões, absolutamente incompatíveis com aqualidade mínima exigível a uma tese de doutoramento.

No seminário de doutoramento realizado em Dezembro de 2013 perante a CAT a candidataapresentou o seguinte conjunto de Future publications:

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1. A coupled heat transfer and fluid dynamics finite element method to predict the thermalbehavior of GFRP tubular elements. Influence of the consideration of the natural convectionand the radiation in the cavity.

2. A finite element model to simulate the thermo-mechanical behavior of GFRP beams andcolumns under fire conditions.

3. Application of the FEM to simulate the performance of GFRP beams subjected to fire. Designof fire protection (passive and active) systems.

4. Application of the FEM to simulate the performance of GFRP columns subjected to fire.Design of fire protection (passive and active) systems.

Não tenho conhecimento de qualquer publicação relacionada com este trabalho, pelo que este nãofoi provavelmente submetido a qualquer tipo de escrutínio por parte dos pares até à presente data.

Não é admissível que seja submetido no Instituto Superior Técnico um documento tendo emvista a obtenção de um grau de Doutoramento contendo plágio e fraude científica. Perante os gravesfactos encontrados na tese e relatados no presente parecer, de acordo com o Artigo 16.o do Regu-lamento geral de doutoramentos do IST, é minha convicção que esta tese deve ser liminarmenterejeitada.

Lisboa, 15 de Abril de 2015

Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandescarlos.tiago@civil.ist.utl.ptProfessor Auxiliar do Departamento de

Engenharia Civil, Arquitectura e GeorrecursosInstituto Superior Técnico

Universidade de Lisboa

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Em seguida são apresentadas as páginas relevantes para a presente questão da referência biblio-gráfica Incropera et al. (2007).

30

fins, and the rate of mass flow between adjoining fins is governed by a balancebetween buoyancy and viscous forces. Since viscous forces increase with decreas-ing S, there is an accompanying reduction in the flow rate, and hence . However,for fixed W, the attendant increase in the number of fins increases the total surfacearea As and yields a maximum in for S Sopt. For S Sopt, the amount by which

is diminished by viscous effects exceeds the increase in As; for S Sopt, theamount by which As is diminished exceeds the increase in .

For isoflux plates, the total volumetric heat rate simply increases with decreas-ing S. However, the need to maintain Ts below prescribed limits precludes reducing Sto extremely small values. Hence Sopt may be defined as that value of S which yieldsthe maximum volumetric heat dissipation per unit temperature difference, Ts(L) T. The spacing Smax that yields the lowest possible surface temperature for a pre-scribed heat flux, without regard to volumetric considerations, is again the value of Sthat precludes boundary layer merger. Values of Sopt and Smax/Sopt are presented inTable 9.3 for plates of negligible thickness.

In using the foregoing correlations, fluid properties are evaluated at averagetemperatures of (Ts T)/2 for isothermal surfaces and (Ts,L T)/2 forisoflux surfaces.

9.7.2 Inclined Channels

Experiments have been performed by Azevedo and Sparrow [16] for inclined channelsin water. Symmetric isothermal plates and isothermal–insulated plates were consideredfor 0 45° and conditions within the isolated plate limit, RaS(S/L) 200.Although three-dimensional secondary flows were observed at the lower plate, when itwas heated, data for all experimental conditions were correlated to within 10% by

(9.47)

Departures of the data from the correlation were most pronounced at large tilt angleswith bottom surface heating and were attributed to heat transfer enhancement by thethree-dimensional secondary flow. Fluid properties are evaluated at (Ts T)/2.

9.8Empirical Correlations: Enclosures

The foregoing results pertain to free convection between a surface and an extensivefluid medium. However, engineering applications frequently involve heat transferbetween surfaces that are at different temperatures and are separated by an enclosedfluid. In this section we present correlations that are pertinent to the most commongeometries.

9.8.1 Rectangular Cavities

The rectangular cavity (Figure 9.10) has been studied extensively, and comprehen-sive reviews of both experimental and theoretical results are available [25, 26]. Two

T

NuS 0.645[RaS(S/L)]1/4

TT

hh

hAs

h

9.8 Empirical Correlations: Enclosures 587

c09.qxd 3/6/06 10:58 AM Page 587

of the opposing walls are maintained at different temperatures (T1 T2), while theremaining walls are insulated from the surroundings. The tilt angle between theheated and cooled surfaces and the horizontal can vary from 0° (horizontal cavitywith bottom heating) to 90° (vertical cavity with sidewall heating) to 180° (horizon-tal cavity with top heating). The heat flux across the cavity, which is expressed as

(9.48)

can depend strongly on the aspect ratio H/L, as well as the value of . For large val-ues of the aspect ratio w/L, its dependence on w/L is small and may be neglected forthe purposes of this text.

The horizontal cavity heated from below ( 0) has been considered by manyinvestigators. For H/L, w/L 1, and Rayleigh numbers less than a critical value ofRaL,c 1708, buoyancy forces cannot overcome the resistance imposed by viscousforces and there is no advection within the cavity. Hence heat transfer from the bot-tom to the top surface occurs by conduction or, for a gas, by conduction and radia-tion. Since conditions correspond to one-dimensional conduction through a planefluid layer, the convection coefficient is h k/L and NuL 1. However, for

conditions are thermally unstable and there is advection within the cavity. ForRayleigh numbers in the range 1708 RaL 5 104, fluid motion consists of reg-ularly spaced roll cells (Figure 9.11), while for larger Rayleigh numbers, the cellsbreak down and the fluid motion is turbulent.

As a first approximation, convection coefficients for the horizontal cavity heatedfrom below may be obtained from the following correlation proposed by Globe andDropkin [27]:

(9.49)NuL

hLk

0.069RaL1/3

Pr0.074 3 105 RaL 7 109

RaL

g(T1 T2)L3

1708

q h(T1 T2)

588 Chapter 9 Free Convection

Cooled surface

T2

Heated surfaceT1

L

H

τ

Horizontal plane L

w

Hq''

g

FIGURE 9.10Free convection in a rectangularcavity.

Cellaxis

Counter-rotatingcells

FIGURE 9.11Longitudinal roll cells characteristic of advection in a horizontal fluid layer heated from below (1708 RaL 5 104).

c09.qxd 3/6/06 10:58 AM Page 588

B. Avaliação de ∆θ

34

Properties 20ºC

k = 0.0257 ;

cp = 1.005 × 103;

ρ = 1.205;

g = 9.81;

β = 3.43 × 10-3;

L = 0.1 - 2 × 0.008;

ν = 15.11 × 10-6;

α =k

ρ cp

0.0000212217

Clear[ΔT]; Solveg β ΔT L3

ν α 5 104, ΔT

ΔT 0.803921

C. Referência bibliográfica Bergman et al. (2011)

Em seguida são apresentadas as páginas relevantes para a presente questão da referência biblio-gráfica Bergman et al. (2011).

36

the amount by which h is diminished by viscous effects exceeds the increase in As; forS Sopt, the amount by which As is diminished exceeds the increase in h.

For isoflux plates, the total volumetric heat rate simply increases with decreasing S.However, the need to maintain Ts below prescribed limits precludes reducing S to extremelysmall values. Hence Sopt may be defined as that value of S which yields the maximum volu-metric heat dissipation per unit temperature difference, Ts(L) T. The spacing Smax thatyields the lowest possible surface temperature for a prescribed heat flux, without regard tovolumetric considerations, is again the value of S that precludes boundary layer merger. Val-ues of Sopt and Smax/Sopt are presented in Table 9.3 for plates of negligible thickness.

In using the foregoing correlations, fluid properties are evaluated at average tempera-tures of (Ts T)/2 for isothermal surfaces and (Ts,L T)/2 for isoflux surfaces.

9.7.2 Inclined Channels

Experiments have been performed by Azevedo and Sparrow [16] for inclined channels inwater. Symmetric isothermal plates and isothermal-insulated plates were considered for0 45 and conditions within the isolated plate limit, RaS (S/L) 200. Althoughthree-dimensional secondary flows were observed at the lower plate, when it was heated,data for all experimental conditions were correlated to within 10% by

(9.47)

Departures of the data from the correlation were most pronounced at large tilt angles withbottom surface heating and were attributed to heat transfer enhancement by the three-dimensional secondary flow. Fluid properties are evaluated at .

9.8 Empirical Correlations: Enclosures

The foregoing results pertain to free convection between a surface and an extensive fluidmedium. However, engineering applications frequently involve heat transfer between sur-faces that are at different temperatures and are separated by an enclosed fluid. In this sec-tion we present correlations that are pertinent to the most common geometries.

9.8.1 Rectangular Cavities

The rectangular cavity (Figure 9.10) has been studied extensively, and comprehensivereviews of both experimental and theoretical results are available [26, 27]. Two of theopposing walls are maintained at different temperatures (T1 T2), while the remaining

T (Ts T)/2

NuS 0.645[RaS(S/L)]1/4

TT

Cold surface

T2

Hot surfaceT1

L

H

τ

Horizontal plane L

w

Hq''

g

FIGURE 9.10 Free convection in a rectangular cavity.

9.8 Empirical Correlations: Enclosures 621

CH009.qxd 2/24/11 3:16 PM Page 621

walls are insulated from the surroundings. The tilt angle between the heated and cooledsurfaces and the horizontal can vary from 0 (horizontal cavity with bottom heating) to 90(vertical cavity with sidewall heating) to 180 (horizontal cavity with top heating). The heatflux across the cavity, which is expressed as

(9.48)

can depend strongly on the aspect ratio H/L, as well as the value of . For large values ofthe aspect ratio w/L, its dependence on w/L is small and may be neglected for the purposesof this text.

The horizontal cavity heated from below ( 0) has been considered by many investi-gators. For H/L, w/L 1, and Rayleigh numbers less than a critical value of RaL,c 1708,buoyancy forces cannot overcome the resistance imposed by viscous forces and there is noadvection within the cavity. Hence heat transfer from the bottom to the top surface occursby conduction or, for a gas, by conduction and radiation. Since conditions correspond toone-dimensional conduction through a plane fluid layer, the convection coefficient ish k/L and NuL 1. However, for

conditions are thermally unstable and there is advection within the cavity. For Rayleighnumbers in the range 1708 RaL 5 104, fluid motion consists of regularly spaced rollcells (Figure 9.11), while for larger Rayleigh numbers, the cells break down and the fluidmotion evolves through many different patterns before becoming turbulent.

As a first approximation, convection coefficients for the horizontal cavity heated frombelow may be obtained from the following correlation proposed by Globe and Dropkin [28]:

(9.49)

where all properties are evaluated at the average temperature, . The correla-tion applies for values of L /H sufficiently small to ensure a negligible effect of the sidewalls.More detailed correlations, which apply over a wider range of RaL, have been proposed[29, 30]. In concluding the discussion of horizontal cavities, it is noted that in the absenceof radiation, for heating from above ( 180), heat transfer from the top to the bottomsurface is exclusively by conduction (NuL 1), irrespective of the value of RaL.

In the vertical rectangular cavity ( 90), the vertical surfaces are heated and cooled,while the horizontal surfaces are adiabatic. As shown in Figure 9.12, fluid motion is charac-terized by a recirculating or cellular flow for which fluid ascends along the hot wall and

T (T1 T2)/2

NuL hLk

0.069 RaL1/3

Pr0.074 3 105 RaL 7 109

RaL g(T1 T2)L3

1708

q h(T1 T2)

Cellaxis

Counter-rotatingcells

FIGURE 9.11 Longitudinal roll cells characteristic of advection in a horizontal fluid layer heated from below (1708 RaL 5 104).

622 Chapter 9 Free Convection

CH009.qxd 2/24/11 3:16 PM Page 622

D. Referência bibliográfica Maia (2011)

Em seguida são apresentadas as páginas relevantes para a presente questão da referência biblio-gráfica Maia (2011).

40

Comparação de elementos finitos na análise estrutural delajes finas

Daniel Dias Maia

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre emEngenharia Civil

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes SimõesOrientador: Professor Doutor Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes

Vogal: Professor Doutor Eduardo Manuel Baptista Ribeiro Pereira

Dezembro 2011

Apêndice C

Derivadas de funções definidasimplicitamente

A utilização de elementos isoparamétricos é essencial para o desenvolvimento de elemen-tos finitos por duas razões fundamentais: (i) a definição de funções de forma compatíveiscom continuidade C0 e (ii) a utilização de domínios de integração uniformes para os vá-rios tipos de elementos, independentemente da configuração que esses elementos realmentepossuam.

No caso dos elementos DK, a avaliação do vector de momentos e do vector de esforçostransversos requer a determinação de derivadas de primeira e segunda ordem, respecti-vamente, do vector de rotações em relação às coordenadas globais. Assim, é necessárioexprimir essas derivadas em função das suas análogas nos eixos naturais, onde está de-finido o elemento mestre. Enquanto que as expressões correspondentes à obtenção dasderivadas de primeira ordem são sobejamente conhecidas (ver Zienkiewicz et al. (2005, pá-gina 146, subsecção 5.5.1)), não foi possível encontrar as de segunda ordem na bibliografiaespecializada, justificando-se assim a necessidade deste apêndice.

Considerem-se as expressões (C.1) em que as coordenadas reais x1 e x2 são expressasem função das coordenadas locais, ξ e η.

x1 = f(ξ, η)

x2 = g(ξ, η)(C.1)

Estas funções são em geral não lineares, não podendo ser invertidas explicitamente1. Assim,diz-se que as funções

ξ = r(x1, x2)

η = s(x1, x2)(C.2)

são definidas de forma implícita.

1No caso do elemento DKT a relação (C.1) é linear e é possível obter explicitamente a sua inversa, mastal não é trivial no caso do elemento DKQ.

135

As primeiras derivadas de uma função w(ξ, η) em ordem aos eixos globais leva a

∂w

∂x1=∂w

∂ξ

∂ξ

∂x1+∂w

∂η

∂η

∂x1∂w

∂x2=∂w

∂ξ

∂ξ

∂x2+∂w

∂η

∂η

∂x2

(C.3)

ou, na forma matricial, ∂w∂x1∂w∂x2

=

[∂ξ∂x1

∂η∂x1

∂ξ∂x2

∂η∂x2

]∂w∂ξ∂w∂η

(C.4)

Interessa pois, neste caso, avaliar as derivadas parciais contidas no operador matricialque mapeia as derivadas parciais da função w(ξ, η) em ordem às coordenadas locais paraas análogas em ordem às coordenadas globais. Para tal podem reescrever-se as expres-sões (C.1) da seguinte forma

x1 − f(r(x1, x2), s(x1, x2)) =0

x2 − g(r(x1, x2), s(x1, x2)) =0⇔

∂

∂x1(x1 − f) =0

∂

∂x1(x2 − g) =0

⇔

1− ∂f

∂r

∂r

∂x1− ∂f

∂s

∂s

∂x1=0

0− ∂g

∂r

∂r

∂x1− ∂g

∂s

∂s

∂x1=0

Assim, na forma matricial, tem-se[∂f∂r

∂f∂s

∂g∂r

∂g∂s

]∂r∂x1∂s∂x1

=

1

0

.

A matriz interveniente no primeiro membro desta equação é designada por matriz Jacobianada transformação e é designada por J . Chama-se ao seu determinante o Jacobiano datransformação, J = det(J), ou seja, em notação simplificada,

J = det

([∂x1∂ξ

∂x1∂η

∂x2∂ξ

∂x2∂η

])=∂x1∂ξ

∂x2∂η

− ∂x1∂η

∂x2∂ξ

. (C.5)

Resolvendo o sistema de equações acima indicado2 tem-se

∂ξ∂x1∂η∂x1

=

1

J

∂x2∂η

−∂x2∂ξ

2A inversa de uma matriz com dimensões (2× 2) é dada por[a bc d

]−1

=1

a d− b c

[d −b−c a

].

136

De igual modo,

x1 − f(r(x1, x2), s(x1, x2)) =0

x2 − g(r(x1, x2), s(x1, x2)) =0⇔

∂

∂x2(x1 − f) =0

∂

∂x2(x2 − g) =0

⇔

0− ∂f

∂r

∂r

∂x2− ∂f

∂s

∂s

∂x2=0

1− ∂g

∂r

∂r

∂x2− ∂g

∂s

∂s

∂x2=0

Assim, na forma matricial, tem-se[∂f∂r

∂f∂s

∂g∂r

∂g∂s

]∂r∂x2∂s∂x2

=

0

1

.

Assim ∂ξ∂x2∂η∂x2

=

1

J

−∂x1

∂η∂x1∂ξ

.

Em resumo, as derivadas requeridas, reunidas na matriz interveniente no segundo mem-bro da equação (C.4), são dadas pela inversa da matriz Jacobiana, ou seja,

[∂ξ∂x1

∂ξ∂x2

∂η∂x1

∂η∂x2

]=

1

J

[∂x2∂η −∂x1

∂η

−∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

].

As derivada de segunda ordem, como por exemplo ∂2w(r(x1,x2),s(x1,x2))

∂x12 , podem ser de-

duzidas através de

∂2w(r(x1, x2), s(x1, x2))

∂x12 =

∂

∂x1

(∂w

∂x1

)=

∂

∂x1

(∂w

∂ξ

∂ξ

∂x1+∂w

∂η

∂η

∂x1

)=

=

(∂2w

∂ξ2∂ξ

∂x1+

∂2w

∂ξ∂η

∂η

∂x1

)∂ξ

∂x1+∂w

∂ξ

∂2ξ

∂x12 +

(∂2w

∂ξ∂η

∂ξ

∂x1+∂2w

∂η2∂η

∂x1

)∂η

∂x1+∂w

∂η

∂2η

∂x12 =

=∂w

∂ξ

∂2ξ

∂x12 +

∂w

∂η

∂2η

∂x12 +

∂2w

∂ξ2

(∂ξ

∂x1

)2

+ 2∂2w

∂ξ∂η

∂η

∂x1

∂ξ

∂x1+∂2w

∂η2

(∂η

∂x1

)2

.

De modo idêntico, as restantes derivadas foram avaliadas. Os resultados obtidos, apre-sentados de forma matricial, são:

∂2w∂x1

2

∂2w∂x1∂x2∂2w∂x2

2

=

∂2ξ∂x1

2∂2η∂x1

2

(∂ξ∂x1

)22 ∂ξ

∂x1

∂η∂x1

(∂η∂x1

)2

∂2ξ∂x1∂x2

∂2η∂x1∂x2

∂ξ∂x1

∂ξ∂x2

∂ξ∂x1

∂η∂x2

+ ∂ξ∂x2

∂η∂x1

∂η∂x1

∂η∂x2

∂2ξ∂x2

2∂2η∂x2

2

(∂ξ∂x2

)22 ∂ξ

∂x2

∂η∂x2

(∂η∂x2

)2

∂w∂ξ∂w∂η∂2w∂ξ2

∂2w∂ξ∂η∂2w∂η2

. (C.6)

As derivadas de primeira ordem presentes nesta expressão já foram avaliadas anteri-ormente. Resta então avaliar as de segunda ordem. Na notação utilizada anteriormente,procura-se agora determinar ∂2r

∂x12 , ∂2r

∂x1∂x2, ∂2r∂x2

2 , ∂2s∂x1

2 , ∂2s∂x1∂x2

e ∂2s∂x2

2 .

137

Os passos a seguir são semelhantes aos efectuados anteriormente, sendo que a transfor-mação (C.1) é agora derivada duas vezes. Por exemplo, derivando duas vezes em ordem ax1 obtém-se

[∂f∂r

∂f∂s

∂g∂r

∂g∂s

]∂2r∂x1

2

∂2s∂x1

2

= −

∂2f∂r2

(∂r∂x1

)2+ 2 ∂2f

∂r∂s∂r∂x1

∂s∂x1

+ ∂2f∂s2

(∂s∂x1

)2

∂2g∂r2

(∂r∂x1

)2+ 2 ∂2g

∂r∂s∂r∂x1

∂s∂x1

+ ∂2g∂s2

(∂s∂x1

)2

.

Assim, a obtenção das derivadas de segunda ordem requer a inversão da matriz Jacobianada transformação (já avaliada anteriormente). O resultado é, então,

∂2ξ∂x1

2

∂2η∂x1

2

=

1

J3

[∂x2∂η −∂x1

∂η

−∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

]−∂2x1

∂ξ2

(∂x2∂η

)2+ 2 ∂2x1

∂ξ∂η∂x2∂ξ

∂x2∂η − ∂2x1

∂η2

(∂x2∂ξ

)2

−∂2x2

∂ξ2

(∂x2∂η

)2+ 2 ∂2x2

∂ξ∂η∂x2∂ξ

∂x2∂η − ∂2x2

∂η2

(∂x2∂ξ

)2

onde J é definido pela expressão (C.5).Os restantes resultados são

∂2ξ

∂x1∂x2∂2η

∂x1∂x2

=

1

J3

[∂x2∂η −∂x1

∂η

−∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

]

∂2x1

∂ξ2∂x2∂η

∂x1∂η − ∂2x1

∂ξ∂η

(∂x2∂ξ

∂x1∂η + ∂x2

∂η∂x1∂ξ

)+ ∂2x1

∂η2∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

∂2x2

∂ξ2∂x2∂η

∂x1∂η − ∂2x2

∂ξ∂η

(∂x2∂ξ

∂x1∂η + ∂x2

∂η∂x1∂ξ

)+ ∂2x2

∂η2∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

e

∂2ξ∂x2

2

∂2η∂x2

2

=

1

J3

[∂x2∂η −∂x1

∂η

−∂x2∂ξ

∂x1∂ξ

]−∂2x1

∂ξ2

(∂x1∂η

)2+ 2 ∂2x1

∂ξ∂η∂x1∂ξ

∂x1∂η − ∂2x1

∂η2

(∂x1∂ξ

)2

−∂2x2

∂ξ2

(∂x1∂η

)2+ 2 ∂2x2

∂ξ∂η∂x1∂ξ

∂x1∂η − ∂2x2

∂η2

(∂x1∂ξ

)2

.

138

E. Referência bibliográfica López (2015)

Em seguida são apresentadas as páginas relevantes para a presente questão da referência biblio-gráfica López (2015).

46

UNIVERSIDADE DE LISBOA

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

Numerical modelling of the

thermomechanical behaviour of GFRPpultruded proles subjected to re

Cristina López Sánchez(Licentiate in Civil Engineering and Master in Structures)

Supervisor: Doctor Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes

Co-supervisor: Doctor João Pedro Ramôa Ribeiro Correia

Thesis specically prepared to obtain the PhD Degree in Civil Engineering

DRAFT

Lisbon, November 2014

238 Finite element method

are given for each element, in the following form:

B(e) =

[ψ1,1 ψ2,1 ... ψn,1ψ1,2 ψ2,2 ... ψn,2

](B.6)

In order to compute the matrices C(e)t+∆tSUPG and F

(e)t+∆tSUPG dened in equations (4.61),

the second derivatives of the shape function vector with respect to the global coordinateshave to be evaluated.

Similarly to (B.2), the second derivatives of each component of the shape functionvector can be computed as:

∂2ψi∂x1

2

∂2ψi∂x1∂x2∂2ψi∂x2

2

=

∂2ξ1∂x1

2∂2ξ2∂x1

2

(∂ξ1∂x1

)22 ∂ξ1∂x1

∂ξ2∂x1

(∂ξ2∂x1

)2

∂2ξ1∂x1∂x2

∂2ξ2∂x1∂x2

∂ξ1∂x1

∂ξ1∂x2

∂ξ1∂x1

∂ξ2∂x2

+ ∂ξ1∂x2

∂ξ2∂x1

∂ξ2∂x1

∂ξ2∂x2

∂2ξ1∂x2

2∂2ξ2∂x2

2

(∂ξ1∂x2

)22 ∂ξ1∂x2

∂ξ2∂x2

(∂ξ2∂x2

)2

∂ψi∂ξ1∂ψi∂ξ2∂2ψi∂ξ1

2

∂2ψi∂ξ1∂ξ2∂2ψi∂ξ2

2

(B.7)

To evaluate the expression (B.7), the second derivatives of the natural coordinateswith respect to the global ones have to be obtained. As it was done with the rst orderderivatives, the second derivatives can be computed using the denition of the Jacobianmatrix and are given by:

∂2ξ1∂x1

2

∂2ξ2∂x1

2

=

1

J3

[∂x2∂ξ2

−∂x1∂ξ2

−∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ1

]−∂2x1

∂ξ12

(∂x2∂η

)2+ 2 ∂2x1

∂ξ1∂ξ2∂x2∂ξ

∂x2∂ξ2− ∂2x1

∂ξ22

(∂x2∂ξ1

)2

−∂2x2

∂ξ12

(∂x2∂η

)2+ 2 ∂2x2

∂ξ1∂ξ2∂x2∂ξ

∂x2∂ξ2− ∂2x2

∂ξ22

(∂x2∂ξ1

)2

(B.8a)

∂2ξ1∂x1∂x2∂2ξ2∂x1∂x2

=

1

J3

[∂x2∂ξ2

−∂x1∂ξ2

−∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ1

]

∂2x1

∂ξ12∂x2∂ξ2

∂x1∂ξ2− ∂2x1

∂ξ1∂ξ2

(∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ2

+ ∂x2∂η

∂x1∂ξ1

)+ ∂2x1

∂ξ22∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ1

∂2x2

∂ξ12∂x2∂ξ2

∂x1∂ξ2− ∂2x2

∂ξ1∂ξ2

(∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ2

+ ∂x2∂η

∂x1∂ξ1

)+ ∂2x2

∂ξ22∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ1

(B.8b)∂2ξ1∂x2

2

∂2ξ2∂x2

2

=

1

J3

[∂x2∂ξ2

−∂x1∂ξ2

−∂x2∂ξ1

∂x1∂ξ1

]−∂2x1

∂ξ12

(∂x1∂η

)2+ 2 ∂2x1

∂ξ1∂ξ2∂x1∂ξ

∂x1∂ξ2− ∂2x1

∂ξ22

(∂x1∂ξ1

)2

−∂2x2

∂ξ12

(∂x1∂η

)2+ 2 ∂2x2

∂ξ1∂ξ2∂x1∂ξ

∂x1∂ξ2− ∂2x2

∂ξ22

(∂x1∂ξ1

)2

(B.8c)

The second derivatives of the shape function vector with respect to the natural coordinatesare also required. Hence, in the next sections they are presented, for each element, in thefollowing form:

C(e) =

ψ1,11 ψ2,11 ... ψn,11

ψ1,12 ψ2,12 ... ψn,12

ψ1,22 ψ2,22 ... ψn,22

(B.9)

B.2.1 Two-dimensional 3-nodes element

ψ(e) =

−ξ1 − ξ2 + 1

ξ1

ξ2

T

F. Resultados obtidos usando volumes finitos

Neste apêndice apresenta-se alguns resultados obtidos para o problema analisado na secção 7.4.3da tese.

Na figura 1 apresentam-se os resultados nos termopares 1 e 7. A curva Exp indica o resul-tado experimental até 60 minutos. Este foi obtido em Morgado et al. (2013b, figura 79). Todas asrestantes curvas foram obtidas usando o FVM. A curva FVM(LamConstProps) foi obtida usandopropriedades (viscosidade, condutividade e calor específico) constantes para o ar, tal como natese em apreciação. A curva FVM(LamVarProps) foi obtida usando propriedades dependentes datemperatura. A curva FVM(k-omega) foi obtida usando o modelo de turbulência k−ω.

Na figura 2 é apresentada a distribuição de temperatura no fluido para t=1080s, a fim de pos-sibilitar a avaliação de Ra na altura da divergência do modelo apresentado na tese.

Na figura 3 são apresentados dois parâmetros associados à presença de turbulência no escoa-mento para t = 3600 s: Turbulence intensity e Turbulence viscosity ratio..

49

0 10 20 30 40 50 60 70 800

50

100

150

200

250

300

FlowMTime(min)

Tem

pera

ture

(° CM)

TM1

ExpFVM(LamConstProps)FVM(LamVarProps)FVM(k−omega)

(a) Termopar T1.

0 10 20 30 40 50 60 70 800

100

200

300

400

500

600

700

800

900

FlowVTime(min)

Tem

pera

ture

(° CV)

TV7

ExpFVM(LamConstProps)FVM(LamVarProps)FVM(k−omega)

(b) Termopar T7.

Figura 1: Resultados obtidos nos termopares 1 e 7 em função da temperatura.

50

Figura 2: Temperatura no fluido para t=1080s.

51

(a) Turbulence intensity.

(b) Turbulence viscosity ratio.

Figura 3: Resultados obtidos para os parâmetros de turbulência para t = 3600 s usando o modeloFVM(k-omega).

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