REPÀS PROBABILITAT

Bioestadística FMCS Reus

Curs 2012-13 1

REPÀSPROBABILITAT


Curs 2012-13 2

Repàs probabilitat

elementsdtotalNombre

AticacaracterisambelementsNombreAp

'__

____)(

)(1)( ApAp

)()()()( BApBpApBAp


Curs 2012-13 3

)(

)()(

Bp

BApBAp

S’anomena probabilitat de A condicionada a B,al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :

)()()()()( ABpApBApBpBAp

Repàs probabilitat


Curs 2012-13 4

)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp BABABAB k 21

Ω

A1B AkA2

Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω

Repàs probabilitat


Curs 2012-13 5

iii

iii ABpAp

BAp

Bp

BApBAp

)()(

)(

)(

)()(

Ω

A1B AkA2

El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment

Repàs probabilitat


Curs 2012-13 6

Exercici

La probabilitat de ser del grup A es d’un 40%

El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia

El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia

Si agafem a l’atzar un individu malalt quina es la probabilitat que pertanyi al grup A?

Quina es la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)?


Curs 2012-13 7

Exercici

30'0)(;60'0)(;40'0)( AMpAMpAp

)()(

)(

)(

)()(

MApMAp

MAp

Mp

MApMAp

24,06'04'0)()()( AMpApMAp

5714'042'0

24'0

3'06'06'04'0

6'04'0

)()()()( MApMpApMAp

58'024'042'040'0


Curs 2012-13 8

REPÀSVARIABLE ALEATORIA


Curs 2012-13 9

Distribució Binomial

Un experiment binomial es aquell que compleix aquestes característiques:

N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1-p) es constant a cada prova El resultat de cada prova es independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre

d'èxits a cada prova

xnxnx ppxXp -)1()(

Distribució binomial

X~B(n,p)

E(X)=np V(X)=np(1-p)


Curs 2012-13 10

Distribució Poisson

El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si

La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos

ocorreguts amb anterioritat

Distribució Poisson

X~P(λ) λ:Nombre mig de successos en un interval

E(X)=λ V(X)=λ

!)(

-

x

exXp

x


Curs 2012-13 11

Propietats Esperança i Variança

Propietats esperança: E(k) = k E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(kX)=kE(X) E(k1X+k2Y)=k1E(X)+k2E(Y)

Propietats variança: V(k) = 0 V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(kX)=k2V(X) V(k1X+k2Y)=k1

2V(X)+k22V(Y)


Curs 2012-13 12

Exercici

La probabilitat de una reacció al·lèrgica es del 1% Quina es la probabilitat de que en una mostra de

10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? Quina es la probabilitat de que en una mostra de

120 individus hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques?


Curs 2012-13 13

Exercici

N=10P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(10,0’01)

P(X≥1)= 1-P(X=0) = 1 – 0’9044 = 0’0966

Quina es la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica?


Curs 2012-13 14

Exercici

N=120 P=0’01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(120,0’01)

X~B(120,0’01)

N gran

X~Poisson(λ=120·0’01)X~Poisson(λ=1’2)

Quina es la probabilitat de que en una mostra de 120 individus hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques?


Curs 2012-13 15

Exercici

X~Poisson(λ=1’2)

p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] =

= 1 – [ 0’3012 + 0’3614 + 0’2169] =

= 1 – 0’8795 = 0’1205


Curs 2012-13 16

Distribución normal o de Gauss

Està caracteritzada per dos paràmetres:

La mitjana, μ, la desviació típica, σ.

σ

)μx(21

2

2

eπ2σ

1=)x(f

--

X ~ N( µ, σ)


Curs 2012-13 17

);(N~X

0 µ xi

σ P (x ≥ x i)

);(N~Z 10

1 P (z ≥ zi)

0

-X

Z

P(X>a)

a

P(Z > (a-µ) / σ )

a-µ

σ


Curs 2012-13 18

Distribución normal o de Gauss

P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b)

P(Z>-a) = P(Z<a)

P(Z<a) = 1 - P(Z>a)

P(Z>-a) = 1 - P(Z>a)


Curs 2012-13 19

Exercici

El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg.

1. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg?

2. Quina és la probabilitat de que una persona pesi més de 95 Kg


Curs 2012-13 20

Exercici

X~N(80,10) Z~N(0,1)10

80-- XXZ

a a - 80

10

P(X>a) P(Z > (a-80) / 10 )

1) P(70>X>85)

2) P(X>95)


Curs 2012-13 21

Exercici

10

80X

10

80X10

8070

X: N(80,10)

P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =

10

8085


Curs 2012-13 22

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a


Curs 2012-13 23

Exercici

10

80X

10

80X10

8070

X: N(80,10)

P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) =

= P ( > ) - P ( > )

= P (Z > -1) – P (Z > 0’5) =

= [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’5) =

= [1 – 0’1687] – 0’3086 = 0’8313 – 0’3086 = 0’5227

10

8085


Curs 2012-13 24

Exercici

10

80X10

8095

X: N(80,10)

P (X > 95) =

= P ( > )

= P (Z > 1’5) = 0’0668


Curs 2012-13 25

P(z) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4841 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641

0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247

0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4091 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859

0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483

0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121

0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776

0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2644 0,2611 0,2579 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451

0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2207 0,2177 0,2148

0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867

0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611

1,0 0,1587 0,1563 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379

1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170

1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1094 0,1075 0,1057 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985

1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823

1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681

1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559

1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455

1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367

1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294

1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233

Distribució normal (0;1) P ( X ≥ a ) a


Curs 2012-13 26

REPÀSINTERVAL DE CONFIANÇA


Curs 2012-13 27

Repàs interval de confiança

Interval de confiança d’una mitjana:

σ coneguda

σ desconeguda, n gran (n≥30)

σ desconeguda, n petita (n<30)

nz

2

2X

n

sz

2

2X

n

st

,n

2

21X


Curs 2012-13 28

Repàs interval de confiança

Interval de confiança d’una proporció:

n

)p(pzp 00

20

1


Curs 2012-13 29

REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS


Curs 2012-13 30

Repàs proves d’hipòtesi

Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:

Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica


Curs 2012-13 31


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• El estadístic de la prova (σ coneguda)

• Sota la hipòtesi H0 certa

• La regió de rebuig o regió crítica

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

nNX ,:

),(N

n

ZX

10-X-X

2


Curs 2012-13 32


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a




Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645

nNX ,:

),(N

n

ZX

10-X-X

2


Curs 2012-13 33


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)

Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

n,t:X )n( 1

12

-X-X n

X

t

n

sT


Curs 2012-13 34


• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a

• El estadístic de la prova (σ desconeguda)



Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)

Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)

nNX ,:

12

-X-X n

X

t

n

sT


Curs 2012-13 35

Contrastos unilateral i bilateral

La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.

Unilateral Unilateral

Bilateral

H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a

H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a

H0: µ = aH1: µ ≠ a

- z/2 z/2

- z z


Curs 2012-13 36

Exercici

Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2

Volem testar:

• Si la mitjana de X es 40

• Si la mitjana de X es igual o menor que 40

Agafem una mostra de 16 elements.

Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90


Curs 2012-13 37

Exercici

• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40

• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40


• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX

)1,0(

162

04-X-X22

N

n

Z

8150

900

162

409040

9040

2'

'

''Z

'X


Curs 2012-13 38

Exercici

Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es:

Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)

Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96

Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)

1’80 esta dintre de la regió de acceptació.

Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40


Curs 2012-13 39

Exercici

Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:

Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)

Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645

Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)

Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)

1’80 esta dintre de la regió de rebuig.

Rebutgem la hipòtesi nul·la,

Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40


Curs 2012-13 40

Tipus de error, poder i nivell de confiança

DecisióPoblació real

H0 és falsa H0 és certa

Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)

Risc (error tipus I)

No es refusa la H0 Risc (error tipus II)

Decisió correcte1- (confiança)

[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00

[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00

[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00

1- és el nivell de confiança






[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00







Curs 2012-13 41

Contrast per al paràmetre p

n

p1p

ppz

oo

o

- z

1 -

z

1 -

- z/2 z/2

1 -

Hipòtesi nul·la

Ha

Hipòtesi alternativa

Ha

Tipus de contrast

Estadístic de contrast

Regió d’acceptació

P = Po P ≠ pobilater

al

segueix una llei N(0,1)

(-z/2,z/2)

P po P > pounilater

al(-∞,z)

P ≥ po P < ppunilater

al(-z,+∞)


Curs 2012-13 42

REPÀSCOMPARACIÓ DUES

VARIABLES


Curs 2012-13 43

Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova


• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de:

• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes


Curs 2012-13 44

Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:

coneguda (1) desconeguda

nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30

Distribució Normalvariàncies homogènies (2

A = 2B) (3)

variàncies NO homogènies (2A 2

B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques


Curs 2012-13 45

1 coneguda

2 desconeguda, n gran

3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

4 desconeguda, n petita, X normal, 2A 2

B

EEBA nnBA 22

+ = EE B

2

A

2

ns

ns BA

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)1,0(NEE

dZ

)1,0()2( _ NnntEE

dT grann

bA

)2( bA nntEE

dT


Curs 2012-13 46

Exercici

Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.

Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.

Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?

Quin es el grau de significació?


Curs 2012-13 47

• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova


• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2

A = 2B

^^

BA XX

EE

d

EE

EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes

Exercici


Curs 2012-13 48

desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2

B

EE BA n

sns

22

ˆˆ

2 - +

2BB

2AA

= nn

s1)-n(+s1)-n( s

BA

2

)2( bA nntEE

dT

Exercici


Curs 2012-13 49

Resultats

Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2

A i s2B

'444427

120

2 - 13 165 1)-(134 1)-(16

s2

5;B 23; ;31

4;A 27; ;61

sXn

sXn

2

BB

2

AA

27 2 - 13 16 gl


Curs 2012-13 50

+ = EE ns

ns

O

2

P

2

Càlcul de l’Error Estàndard

1'659 13

16

EE 4'4444'444

22


Curs 2012-13 51

⇒

-

EE

d t ⇒

- d

tyy

yy

27

O

2

P

2

O P

O P

ns

ns

Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student

2'411 1'659

4 t ⇒

432-72 d


Curs 2012-13 52

Resultats

El grau de significació es aquell valor de α tal que

411,22

,27t

La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)

Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )

Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518

2’2411 esta en la regió critica,

Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals


Curs 2012-13 53

Comparació de dues variables qualitatives

Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem

ofc = freqüències observades

efc = freqüències

esperades

Variable 2 Total

1 .... f

Variable 1

1 n 3.

...

f n 1.

Total n.1 n.3 n

n

nne

.ji.

ij


Curs 2012-13 54

Comparació de dues variables qualitatives

))1)(1((~

22

1 1

2

∑∑)-(

fcc

i

f

j eij

eijoij

Ho: Les distribucions de les categories de una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

H1: Les distribucions de les categories de una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.

Estadístic de contrast:

Regió crítica:

Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )

Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )


Curs 2012-13 55

Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades

BA

BBAAβα

2

pp

p1pp1pzp1p2z-

---2

n

n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol

detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB

Documents

REPÀS PROBABILITAT