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REPASO DE Nºs REALES y RADICALES
1º.- Introducción. Números Reales.
Números Naturales
Los números naturales son el 0, 1, 2, 3,…. Hay infinitos naturales, es decir, podemos
encontrar un natural tan grande como queramos.
Los números naturales se pueden representar en una recta, pero no completan la recta,
quedando huecos que no son números naturales:
Números Enteros.
Añaden a los naturales los negativos, es decir, los opuestos de los naturales. Son
el resultado de restar a un natural, otro natural mayor que él.
Los enteros son por tanto los números… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Que también se pueden
representar en la recta, pero sin conseguir completar la recta:
Números Racionales.
Los racionales son los números
. Es decir las fracciones
con numerador y denominador enteros. Estos números también se representan en la
recta, pero siguen quedando huecos en ella. Así, hay números que se pueden representar
en la recta que no son racionales.
Observación: Los números racionales, pueden expresarse de manera exacta o periódica
con números decimales.
Ejemplo: 27'018
13;3'0
3
1;8'0
5
4 .
Así mismo todo número decimal exacto o periódico será racional y por tanto podremos
encontrar una fracción generatirz, cuya división de la expresión decimal dada.
Reglas para obtener la fracción generatriz:
- Decimal exacto:
o Numerador: Número sin la coma
o Denominador: 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga.
- Decimal periódico puro:
2
o Numerador: Número sin coma y sin periódo – parte no periódica.
o Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo.
- Decimal periódico mixto:
o Numerador: Número sin coma y sin periódo – parte no periódica
o Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo y tantos ceros
como cifras decimales haya fuera del periodo.
Ejemplos:
Representación de racionales en la recta:
Para representar en la recta una fracción haremos lo siguiente:
1º.- Poner la fracción como su parte entera más su fracción propia, dividiendo
numerador entre denominador (división entera) el cociente será la parte entera y
el resto partido por el denominador será la fracción propia.
Ejemplo:
2.- Situarnos en la recta sobre la unidad correspondiente a la parte entera
obtenida, y dividir esa unidad en tantas partes iguales como indique el
denominador. Después, contamos tantas partes como indique el numerador y
eses será el punto que representa la fracción inicial.
Ejemplo:
Irracionales Los huecos que quedan en la recta, es decir aquellas cantidades numéricas que
no se pueden representar con fracciones, son los números irracionales. Un ejemplo es la
raíz cuadrada de 2.
3
Reales.
La unión de los Irracionales y los racionales ya completa toda la recta, de
manera que podemos asignar a cada punto de la recta un número real y a cada número
real un punto de la recta.
2º.- Potencias.
En el conjunto de los números Racionales, definimos una operación, la potencia. Paso a
paso:
a) En primer lugar se definimos la potencia con exponente natural distinto de cero.
an, donde n es un número natural distinto de cero.
Consiste en reiterar la multiplicación ‘a’ por ‘a’ por ‘a’, tantas veces como
indica el número natural n.
Así, por ejemplo, 134 consiste en multiplicar 13·13·13·13 siendo el resultado el
número28561.
b) En segundo lugar, definimos la potencia con exponente entero (positivo, cero o
negativo)
- a0 se define siempre como 1. Para cualquier base a.
- a-n
, se define como la fracción inversa de la potencia con exponente positivo. Es
decir: n
n
aa
1 ; o, más general
nn
a
b
b
a
.
Por ejemplo,
El paso siguiente es definir la potencia cuando el exponente es una fracción, es decir
una potencia tipo . Para ello, primero veremos un concepto nuevo, el de Radical.
Definición de Radical:
Se llama radical de índice el número positivo n y radicando el número A, al número
real que al elevarlo a la potencia positiva n, da como resultado el número real A.
Ejemplo·El radical de índice 3 y radicando 30 será el número real (K) que al elevarlo al
índice (3) da como resultado el número 30. Es decir K tiene que ser tal que al
multiplicarlo por sí mismo 3 veces obtengamos el número 30.(K3=30)
Así pues, lo primero que tenemos que observar es que un radical es siempre un número
real. No es una cosa rara, es un número. Y como tal, podremos operar con el, sumarlos,
restarlo, multiplicarlo, dividirlo por otros números.
Un radical se expresa de la forma siguiente:
n A , donde n es el índice, y A es el radicando.
4
Observación: De la propia definición observamos que si elevamos un radical al índice,
el resultado será el radicando: AAn
n .
Podemos ya dar la definición de potencia con exponente una fracción.
Una potencia con exponente una fracción de numerador entero m y denominador n,
consiste en el radical de índice el denominador n, y radicando la potencia con exponente
el numerador m:
n mn
m
aa .
Esta definición es la clave para operar con radicales.
Observación:
Un Radical es un número real por tanto o es Racional o es Irracional.
Sea un radical, n ma , donde el radicando es una potencia; n
m
n m aa ; En caso
de que n
m sea entero, el número real n ma será racional y en caso de que
n
m no
sea entero, el número real n ma será Irracional.
Cuando un radical es Irracional, no se calcula la expresión decimal (ya que no
será exacta sino aproximada). Se deja en forma de radical.
Ejemplos:
3
6
3 63 2264 , como 3
6 es entero, es igual a 2, entonces el radical 3 64 es
racional. En concreto es igual a 22
= 4.
3
5
3 53 2232 como 3
5 No es entero, entonces el radical 3 32 es Irracional..
3.- Forma típica de un radical.
Como hemos dicho los radicales son números, pero su expresión es algo compleja,
además un mismo número se puede expresar de varias formas como radical, veámoslo:
6 86
8
3
4
3 43 222216
33 13
1
3
1
13
11
3
4
3 43 2222222222216
9 39
3
3
1
3
1
13
11
3
4
3 43 2222222222216
Hemos obtenido cuatro expresiones distintas 3 16 , 6 82 , 3 22 y 9 322 del mismo
número real utilizando las propiedades de las potencias y de las fracciones.
Esto puede ser un lío, si cada uno le gusta expresar los radicales de una manera, sería
imposible ponernos de acuerdo para operar con estos números tan complicados. Así que
vamos a definir una forma única de representar todos los radicales, de manera que
siempre que un radical no esté de esa forma, seamos capaces de ponerlo de esa forma.
Se llamará forma típica.
5
Definición: Decimos que la expresión de un número radical está en forma típica si el
índice y el radicando son lo más pequeños posibles.
Pues bien, en esto va a consistir una parte muy importante de la teoría de radicales, en
ser capaz de poner un radical en forma típica. Para ello, se siguen las siguientes pautas:
1º) Descomponer en factores el radicando.
2º) Reducir índice.
3º) Sacar factores fuera del radical.
NOTA IMPORTANTE: Una vez descompuesto en factores el radicando, no hay
que operar nada con las bases de los factores, solo “jugamos” con el índice del
radical y con los exponentes de los factores.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1.
Pasar a forma típica los siguientes radicales:
a) 3 459
1º) 459 = 33·17 3 33 17·3459 . A partir de ahora, con las bases (3 y 17) ya
no se operará, únicamente hay que fijarse en el índice (3) y en los exponentes ( 3
y 1)
2º) NO se puede reducir índice, ya que el índice y los exponentes, 3, 3 y 1 tienen
por M.C.D. 1. Es decir, no se pueden dividir a la vez más que por 1.
3º) Para sacar factores fuera comparamos los exponentes con el índice, si es
mayor o igual se podrá sacar fuera el factor correspondiente( el 3), si es menor
no se podrá sacar.
El 1er
exponente, 3, es igual al índice,3. Es decir, se podrá sacar fuera. ¿cómo se
saca? Dividiendo el exponente entre el índice. El cociente es el exponente que
sale fuera y el resto es el exponente que queda dentro. FIJATE QUE
HABLAMOS SIEMPRE DE EXPONENTE. CON LAS BASES NO
OPERAMOS. Así, como 3:3 da 1 y el resto es cero, el exponente que sale es 1 y
dentro no queda nada. Desaparece de dentro el factor.
El 2º Exponente, 1 es menor que el índice,3. Por tanto no sale el factor
correspondiente (17). Así:
33 3 17·317·3
Rta: La forma típica de 3 459 es 3 173
b) 3 675
1º) 675 = 33·5
3 3 333 5·3675 .
2º) SI se puede reducir índice, ya que el índice y los exponentes, 3, 3 y 3tienen
por M.C.D. 3. Es decir, se pueden dividir a la vez por 3. Así:
5·35·33 33 =15
3º ha desparecido el radical, por lo tanto, ya ha salido todo del radicando.
Rta: La forma típica de 3 675 es 15
c) 4 123456
1º) 4 64 64332123456
6
2º) 4 6 64332 NO puede reducirse índice M.C.D.(4,6,1,1)=1
3º) 6:4=1 y de Resto 2 4 24 214 6 64332264332264332
Rta: La forma típica de 4 123456 es 4 2 643322
d) 12 3240012
1º) 12 24412 532·123240012
2º) 12 244 532·12 SI puede reducirse índice M.C.D.(12,4,4,2)=2:
6 12212 244 532·12532·12
3º) NO puede sacarse ningún factor fuera.
Rta: La forma típica de 12 3240012 es 6 32 53212
e) 4 6480003
1º) 4 3464 532·36480003
2º) 4 346 532·3 NO puede reducirse índice M.C.D.(4,6,4,3)=1:
3º) SI pueden sacarse factores fuera.
4 324 324 346 5·2·185·2·3·2·3532·3
Rta: La forma típica de 4 6480003 es 4 32 5218
f)
1º) 4 4464 5323240000
2º) 4 446 532 SI puede reducirse índice M.C.D.(4,6,4,4)=2:
2 2234 446 532532
3º) SI pueden sacarse factores fuera.
23025·3·2532 2 12 223
Rta: La forma típica de 4 3240000 es 230
g) 3 686 Solución: 3 27
h) 4 965 Solución:10 4 6
i) 76232 Solución: 66 7
j) 23432 ca (Si en lugar de factores primos, los factores son letras, pues hacemos lo
mismo. Total, con las bases no se opera, así que es igual que sean números primos o que
sean letras)
Solución: aac18
k) 3 23464 zyx Solución: 3 24 xzxy
l) 15 155532 zyx Solución: 3 2xyz
7
m) 5 1055320 cyx Solución: 52 102xyc
n) 3 105270 cba Alguno de los factores puede ser una suma, como en este caso,
donde un factor es (a+b). Se hace lo mismo que si fuera un factor cualquiera, no se
opera con él, solo se saca en caso que se pueda, del radical.
1º) 3 10533 105352270 cbacba
2º) No se puede reducir. MCD( 3,1,1,3,5,10)=1
3º) Se pueden sacar fuera los factores 3 (exponente 3 igual al índice),
(a+b), que tiene exponente 5, mayor que el índice y el factor c, que tiene
exponente 10, también mayor que el índice.
3 12313 1053 52··3352 cbacbacba
Solución: 3 23 10··3 cbacba
ñ) 5 312618000 caba
Solución: 5 32212501·2 cabaaba
4.-Operaciones con Radicales:
Suma de Radicales.
o Si dos o más radicales son semejantes (es decir, si en forma típica tienen
exactamente la misma parte radical) se podrán sumar, siendo el
resultado un radical que tiene la misma parte radical y quedando fuera
del radical la suma de las partes no radicales.
o Si no son semejantes. No se pueden agrupar. Y por lo tanto, el resultado
de la suma se queda indicado.
Ejemplos:
4444 555235253 El resultado de la suma de esos dos números es el
número 4 55 44 3253 No se pueden agrupar, ya que no son radicales semejantes, por lo
tanto, el resultado de sumar esos dos números hay que dejarlo indicado tal cual.
La única forma de expresar ese número Irracional será 44 3253
Ejercicios Resueltos:
Ejercicio 2:
Realiza las siguientes sumas de radicales:
a) 113115117112
1º) Se pasan a forma típica los radicales. En este caso ya están en
forma típica.
2º) Se agrupan aquellos que tienen idéntica parte radical:
113113572
Rta: 113
8
b) 271255432426
1º) En forma típica:
3331069646
2º) Se agrupan los semejantes:
3766376633106941
Rta: 3766
c) 20550021253453
Solución: 514
d) 34 8162734
Solución: 392
e) 555
7293
296
4
3
1º) 555555 323234
13
3
3·2323
4
1
2º) 555 34
13
4
8
4
8
4
1322
4
1
Rta: 5 34
1
f) 5 325
425 34
24395
32ba
a
b
baa
baa
1º) 5 325
425 34
24395
32ba
a
b
baa
baa
=
5 325 325 32
35
2ba
abaaba
a
2º) 5 325 32
15
16
35
2ba
aba
aa
a
Rta: 5 32
15
16ba
a
g) 5
753
2
327292432
6
243 6410
Solución: 32
h) 7285603375215
Solución: 24153
i) bbbababa 365936 33
Solución: bbbaba 65866
Producto(y división) de Radicales.
9
o Si multiplicamos dos radicales que tienen idéntico índice. El resultado
es otro radical con el mismo índice y con radicando el producto de los
radicandos. (La división se realiza del mismo modo)
o Si queremos multiplicar dos radicales que tienen distinto índice, hay que
reducir a común índice en primer lugar, para luego multiplicar como se
indica en el punto anterior.
Nota: para reducir a común índice, en primer lugar calcularemos el m.c.m.
de los índices y ese será el índice común. Los radicandos se calculan
multiplicando los exponentes que haya en el radicando por el número que
se obtiene al dividir el m.c.m entre el índice original de cada radical.
Ejemplos: 35 245 . Como son dos radicales con índices distintos(5 y 3), tenemos que
reducir a común índice. El m.c.m (5,3)=15. por lo tanto el índice será 15. Vayamos
radical por radical:
155 25 ???5·345 ; dividimos el m.c.m que es 15, entre el índice original, que
es 5, y obtenemos 3. Por tanto, hay que multiplicar los EXPONENTES (recordamos
que con las bases no operamos) por 3. Así, el nuevo exponente del factor 3 será 6 (2·3)
y el nuevo exponente del factor 5 será 3 (1·3) quedando: 15 365 2 5·35·3 . Así, el primer radical lo expresaremos de esta forma.
153 ???2 . Dividimos 15 entre 3, obteniendo 5. Por tanto, el nuevo exponente
del factor 2 será 5 (1·5) quedando:
15 53 22 . Expresando de esta forma el segundo radical.
De esta forma, el producto inicial se puede expresar así: 15 515 3635 25·3245
Ahora, al tener el mismo índice, si se puede multiplicar reuniendo todos los
factores bajo el mismo radical: 15 53615 515 36 2·5·325·3
Así pues, el producto de estos dos radicales es el radical 15 536 2·5·3 .
Ejercicios Resueltos :
Ejercicio 3:
Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:
a) 4 333 7121287112
1º) Descomponemos en factores los radicandos:
4 33 2234 333 7117271127121287112
2º) m.c.m.(2,3,2,3,4)=12
12121212124 33 223 ???·???·?????????2711727112
Dividimos ahora 12:2=6; 12:3=4; 12:2=6; 12:3 = 4; 12:4=3. Estos
números hay que multiplicarlos por los respectivos exponentes,
quedando: 12 912 812 61212 412 6 7·11·727112
10
3º) Multiplicamos ahora todos los radicandos bajo un mismo radical de
índice 12:
12 19141212 9861246 71122711727112
4º) Pasamos el resultado a forma típica:
12 191412 71122 = 12 72212 72 711·11·7·27117·11·2·2
Rta: 4 333 7121287112 = 12 722 711·11·7·2
b) 65 841525142
1º) 65 841525142 = 6 25 2 7325357·22
2º) m.c.m.(2,5,2,6)=30
30 551030 151530 1230 15156 25 2 732535727325357·22
3º) 30 5510151512151530 551030 151530 1230 1515 7325357273253572 =
30 20272025 3572
4º) Ya está en forma típica.
Rta: 65 841525142 = 30 20272025 3572
c) 3
6
2
4142
1º) 3
6 2
3
6
2
27·22
2
4142
2º)m.c.m.(2,6,3)=2
12 4
12 412 66
3
6 2
2
2722
2
27·22
3º) 12 6612
4
466
12 4
12 412 66
7·222
2·7·22
2
2722
4º) 12 66 7·22 = 1427·22
Rta: 3
6
2
4142 = 142
d) 3 94153 Solución: 36 6 35·3
e) 7 69· bba Solución: b 6 457 3ba
f) 6633 222222 aaaaaa Solución:24 a
4
g) nm
nm
m
n
n
m3
3433
4
2
6
5
8
3
2
1
2
6
5
4 Solución: m
mn
4
2
Potencia de Radicales.
11
La potencia de un radical, consiste en elevar el radicando a la potencia.
Ejemplo:
7 3637 2467 646
7 4 52·5525252
Radicales de Radicales.
o El radical de un radical, es otro radical que tiene por índice el producto
de los índices y por radicando el radicando.
o Para multiplicar los índices es necesario que todos los factores estén
dentro de todos los radicales.
Ejemplo:
3 23 5345 como todos los factores ( el 3 y el 5) están dentro de
todos los radicales, podemos multiplicar los índices quedando : 6 253
3 223 2 537457 , aquí, el factor 7 no esta dentro de todos los
radicales, solo esta dentro del primero, el de índice 3, por tanto, hay que
introducirlo en el otro radical. Para ello, se multiplica su exponente (2) por
el índice del radical en el que entra (también 2) obteniendo el exponente con
el que entra en el radical (2·2=4): 3 243 22 537537 . Ahora si estamos
en condiciones de multiplicar los índices: 6 24 537
Ejercicios Resueltos :
Ejercicio 4:
Realiza las siguientes operaciones de radicales:
a) 43 25 Solución: 3 22 5·5
b) 723a Solución: 3·3 73 a
c) 23
3 Solución 4 33
d) 53
2
12 Solución 5 222
5.-Racionalizar Radicales:
Dada una fracción en la que haya radicales al menos en el denominador,
Racionalizar consiste en expresar esa fracción con una equivalente en la que el
denominador sea racional, es decir, no haya radicales en el denominador.
Emplearemos dos métodos para racionalizar, según el tipo de radical que haya en el
denominador:
Si en el denominador tenemos un único radical
12
Hay que multiplicar el numerador y el denominador por otro radical donde el
índice sea el mismo que el índice del radial que hay en el denominador y el
radicando tenga los mismos factores, pero por exponentes lo que le falta a los
exponentes para alcanzar al índice)
Ejemplo: 4
5 2
82
33
Como el denominador hay un único radical ( 3 42 ), es de este tipo.
1º) Lo primero es factorizar los radicandos, como siempre, y pasar a
forma típica si no lo están.
4 3
5 2
22
33
2º) Lo segundo es multiplicar el numerador y el denominador por el
mismo radical, que tendrá por índice el índice del radical del denominador
(el de abajo) que es 4: 4 ??? .En el radicando pondremos los mismos
factores que hay en el radicando del denominador (en este caso hay un
factor, el 2). 4 ???2 Lo único que falta por decidir es el exponente del factor
(del 2) como en el radicando teníamos por exponente un 3 ( teníamos 23) y el
índice es 4. Nos falta 1 (4-3) por lo tanto finalmente queda que tenemos que
multiplicar por 4 12 . Así, queda:
4
2·33
2·2
2·33
2·2
2·33
2·22
233
2·22
2·33
2
2
22
33 20 5820 58
4 4
20 58
4 3
20 520 8
44 3
45 2
4
4
4 3
5 2
Como observamos, ha desaparecido el radical del denominador, como
buscábamos.
Rta: 4 3
5 2
22
33
=
4
2·3320 58
Si en el denominador tenemos una suma o resta de dos números donde uno
o los dos son radicales de índice 2. En este caso, es muy sencillo, simplemente hay que multiplicar por el
conjugado de la suma o resta que aparece en el denominador.
¿Qué es el conjugado de una suma? Es una resta con los mismos sumandos.
Ejemplo: Conjugado de 3+ 2 es 3- 2 .
¿qué es el conjugado de una resta? Es una suma con los mismos sumandos.
Ejemplo: Conjugado de 5 - 2 es 5 + 2 .
Ejemplo: Racionalizar 752
5133 2
Observamos que en el denominador NO hay un único radical, sino que
hay una resta de dos radicales de índice 2. Por lo tanto es de los que hay
que racionalizar multiplicando por el conjugado del denominador.
1º) ¿Quién es el conjugado del denominador?
Como el denominador es 752 , el conjugado es 752 .
2º) multiplicamos el numerador y el denominador por ese conjugado (
752 ):
13
752
5133 2
·
752752
752513
752
752 3 2
.
Para realizar la multiplicación en el denominador, observamos que
siempre será suma por diferencia, así que el resultado será la diferencia
de los cuadrados:
6 3466 3466 346 7
6 346 343 23 23 23 2
3 2
22
3 2
222
3 2
22
3 2
755107555·27552
755·5·27·5525752513
752513
75·4
752513
754
752513
752
752513
752
752513
Rta: 6 346 75510
Ejercicios Resueltos :
Ejercicio 5:
Racionaliza los siguientes números radicales:
a) 4
3
3
453 1º)
4
3 2
3
533
2º)
4 3
12 912 48
4 34
4 33 2
4 3
4 3
4
3 2
3·3
3533
3·3
3533
3
3.
3
533
12 4512 417
12 948
4 4
12 948
53·3533
3533
3
3533
Rta: 12 4553·3
b) 5 32
12 Solución: 5 226
c) 4
3 2
98
77 Solución: 5 226
d) 4 3
3 2
53
53 Solución: 12 53 5·3
e) 235
6
Solución:
13
21856
14
f) 2363
363
1º) Lo primero que observamos es que en el denominador
se puede sacar factor común el 3, quedando 263 de
esta forma podemos simplificar: 26
32
263
33·2 33
El conjugado del denominador es 26
2º) 26
323
·
26
26
=
22
3
26
2632
=
4
2632
26
2632
26
2632 33
22
3
2
2633
2
233·23 33
2
233236 36 26 336 2
2
323 6 56 35
Rta: 2363
363
2
323 6 56 35
g) 14203
5
Solución:
166
145530
h) 32
32
Solución: - 625
i) 3412
2
Solución:
18
6
j) 37
512
3
4 3
Solución:
137
5187542 4 34 23
