Repaso Para Examen Final Algebra 2013 Ultimo

CICLO REPASO - EXAMEN FINAL 2013

28/01/213 ÁLGEBRA - 1 -

ÁLGEBRA

01. Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones donde

A 1;2;3; y donde

U 1;2;3;4;5;6;8;

I. A A

II. P A P A

III. B U/ A B A B P A

( es el conjunto vacío).

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

02. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, si U es el

conjunto universal y es el conjunto

vacío.

I. A U: A B B

II. Si A B D y B D entonces,

A D . III. Si A y B tienen n elementos,

entonces , A B tiene 2n elementos.

A) FFF B) FVV C) FFV D) VFF E) VVV

03. La desigualdad 1 1 2

x y x y

se

verifica. A) Si x y .

B) Cuando x 0 y 0

C) Cuando x 0 y 0

D) Si x y 0

E) Solo si xy 0

04. Sean a;b;c y abc 1 . Halle el

mayor valor real de . A) 3 B) 2 C) 1

D) 1

2 E)

1

3

05. Determine la longitud del conjunto S:

2

2 2

1 1S x 1

2x x 1 x x 4

A) 4 B) 7 C) 9 D) 12 E) 1

06. Dado el conjunto:

2S x x x 2 x 1

Si S a, , halle “a”.

A) 1 B) 2 C) 1

2

D) 2 E) 3

07. Si S a;b es el conjunto solución

de 3 x 1 x

3x 2 x

, entonces el valor

de 42a 42b es: A) 32 B) 35 C) 42 D) 81 E) 92

08. Si al resolver la ecuación

3x x x x 1 x las soluciones

son 1 2 nx ,x , ,x , halle el valor de

1 2 nx x x

A) 1 B) 1 C) 2

D) 7 E) 2 09. Grafique la siguiente relación

y x 2 sgn x 2

2

2

y

x

A)

2

2

y

x

B)


28/01/213 ÁLGEBRA - 2 -

10. Sean f 1;2 , 4;1 , 7;0 ,

x

g x 12

. Determine Ran g f .

A) 2;0;2 B) 2;0

C) 1;0;1 D) 0;1;2

E) 0;1

11. Considere a b 1 para resolver la

siguiente inecuación irracional

31 ax 1

0x x b

A) 1

; b ;0a

B) 1

; a ;0b

C) 1 1

; ;a b

D) ; b a;

E) 1

;0 b;a

12. Dado los polinomios idénticos:

2 2 2P x,y a 2a x 2b 12b xy c 1 y

2Q x,y 5y x 18xy

¿Cuál es el valor de 3a b

c

?

A) 1 B) 2 C) 1

D) 0 E) 2

13. Si el resto de la división

2

P x

x 1 es

x 1 , determine el resto de 2

2

P x

x 1

A) 4 B) 2x C) x 1

D) 2 x 1 E) 2

x 1

14. Si es solución de la ecuación 5 2x 2x 1 0 , determine el valor de

2

3

1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. Respecto al polinomio sobre Q

5 4 3 2P x 4x 10x 6x 3x 3x 2

Indique lo correcto. A) Admite solo dos factores primos. B) Un factor primo es cuadrático. C) Admite tres factores primos

lineales. D) Un factor primo es cúbico. E) Si f(x) es un factor primo,

entonces f 1 2

16. Sean a, b y c cantidades reales de

modo que

2 2 2a b c 14 2 a 2b 3c

Calcule a b c . A) 6 B) 8 C) 0 D) 3 E) 5

2

2

y

x

C)

2

y

x

D)

1 3 2

y

x

E)

1 3


28/01/213 ÁLGEBRA - 3 -

17. Si 1 2 3 4x ; x ; x ; x son raíces de la

ecuación bicuadrada 4 3 2x ax bx cx d 0 , determine

3 3 3 3 7 7 7 72 3 4 2 3 41 1

x x x x x x x x

A) 27 B) 8 C) 1

D) 0 E) 8 18. Indique el término sexto del cociente

notable generado por la siguiente

división 4 4n 8

n3

x 3

x 3

A) 53243 5 B) 281x

C) 381x D) 73243 x

E) 2243 x

19. En la división algebraica

n 1x n 2 x n 1

x 1

el término

independiente del cociente es 10. ¿Cuál es el grado del dividendo? A) 10 B) 8 C) 9 D) 6 E) 12

20. Halle el grado absoluto mínimo del

siguiente polinomio

nn

5 n 7n 6 2n 6 4 32P x,y x y x y z xy

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 26

21. Si las raíces de la ecuación

3 2x 12x nx 48 0 están en progresión aritmética. Determine la mayor raíz.

A) 8 B) 13

2 C)

11

2

D) 6 E) 4

22. Si 0x 2 i es una raíz de la

ecuación 3 22x 14x ax b 0 ;

a;b . Calcule el valor de b.

A) 15 B) 30 C) 25

D) 30 E) 15 23. Si la ecuación polinomial

3x 3 a 5 x 2 0 tiene

C.S. 2;b , halle el valor de

2 3 41 a a a a

A) 102 B) 1023 C) 123 D) 321 E) 341

24. Determine cuántos factores primos

cuadráticos tiene el polinomio:

2 2 2 2F a,b,c a b ab b c bc

2 2a c ac 3abc A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

25. Calcule el número de factores primos

que tiene el polinomio

3 3 3

P x 2x 1 2 x x 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

26. Calcule el valor de 2 3 41 a a a a si x 0 y al reducir se obtiene

3 5 94

5 6 104

3 5 94 5 6 104

x x x x

x x x x

x x x x

,

tal que 90 ax , calcule el valor de x.

A) 1 B) 2 C) 0

D) 1 E) 5


28/01/213 ÁLGEBRA - 4 -

27. Dada las funciones:

2f x,x x x 3 0

g x, 4 x 5 x 3

Halle f g .

A) A x;4 x x 1

B) B 1;3 , 2;0

C) C x;4 x x 1;2

D) D x; 14 x x 0;1

E) E 1;9 , 2;0

28. Simplifique

M log 6 log2 log3 log 6 log2 log3

A) log2 B) log3 C) log4

D) log6 E) log9

29. Resolver

1 log cot gx 1 log tgx3 3 8 0

A) 2tg5 B) arctg(10) C) artg(25) D) 7 E) 22

30. Determine el número de soluciones

reales de la siguiente ecuación 2

2log x x 4

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

31. Esbozar la gráfica de la siguiente

función 3P x x x 10

32. De la siguiente gráfica de una función

lineal y una función cuadrática

Hale el valor de a b .

A) 6 B) 2 C) 3

D) 1 E) 0

(-2,0) (2,0)

(1,b) (a,3)

(0,4)

y

x

y

x

A)

10

y

x

B)

10

y

x

C)

10

x

D)

y

10

y

x

E)

10


28/01/213 ÁLGEBRA - 5 -

33. Grafique la función

x 2 x 3 x 4

f xx 3

34. Si z y w que cumple que z z ;

w w Im w 1 , determine el

módulo de

32

2

1 w z

1 w z

.

Nota: z a bi

A) 2 B) 3 C) 2

D) 1 E) 1

2

35. Dado el complejo 1 3

w i2 2

,

calcule la suma 9

k

k 1

w

A) w B) 1 C) 1

w

D) i E) 0 36. Halle el módulo del conjunto de z si

se sabe que 4 i z

1 3 i3 2 2 i

A) 17 B) 25 C) 8 D) 4 E) 16

37. Determine el valor de A 1det 2 A si

se sabe que ij 3 3A a

una matriz de

modo que 1det A 2

A) 1 B) 2 C) 256 D) 128 E) 1024

3 4 2 -1

y

x

A)

3 4 2

1

y

x

B)

3 4 2

y

x

C)

3 4 2

1

y

x

D)

3 4 2

y

x

E)

1


28/01/213 ÁLGEBRA - 6 -

38. Resolver la siguiente ecuación: 12

log

4

10x

x

A) 2 610 ;10 B) 2 610 ;10

C) 2 610 ;10 D) 2 610 ;10

E) 210

39. Resolver la inecuación:

x 7 82 1 x

6 3 y calcule la suma de

las soluciones enteras.

A) 2 B) 4 C) 2 D) 1 E) 0

40. Dado la matriz 2 1

A1 2

si la suma

de todos los elementos de nA es 4374, calcule el valor de “n”. A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 7

41. Halle D

; si , y son

las raíces de la ecuación cúbica 3x px q 0

A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

42. Sea la matriz 1 1

A ;2 2

tal

que A 4 ; I es la matriz

identidad. Halle 2

1tr A

A) 1

16 B)

1

8 C)

1

4

D) 9

16 E)

25

16

43. Una empresa con sede en Lima fabrica diversos modelos de radiotransmisores, todos los componentes de estas radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que son importados. Se tiene en existencia 1000 transistores del tipo T1 y 1200 del tipo T2. Cada modelo de radio R A requiere un transistor T1 y 4 transistores T2; los modelos R B requieren 2 transistores de T1 y uno de T2. Si se sabe que los beneficios o utilidades de cada radio son 50 y 30 dólares por R A y R B , respectivamente, halle la cantidad de unidades por fabricar de cada modelo para que la utilidad total sean máximas. A) 200 a; 400 B B) 100 A; 500 B C) 500 A; 400 B D) 200 A; 300 B E) 300 A; 400 B

44. Sea Sn una sucesión tal que

n n nSn 2 3 . Determine el valor de

nlim Sn

A) 2 B) 3 C) 1

D) 1

3 E)

2

3

45. ¿A qué valor converge la serie

k 1

k 0

x

k 1 !

?

A) e 1 B) xe 1 C) xe 1

D) 2xe 1

e 1

E)

xe 1

e 1


28/01/213 ÁLGEBRA - 7 -

46. Determine el valor de convergencia de la siguiente serie

2 3 43 41 5 17 65

7 7 7 7

A) 3

7 B)

5

7 C)

9

8

D) 5

14 E)

1

4

47. Halle el valor de S tal que:

n 1 k2

k 1

S log 2 tan k4

A) n 1S 2 1 log4

B) n 1S 2 log4

C) n 3S 2 1

D) nS 4 n

E) n n 1

S2

48. Si el desarrollo del siguiente binomio

3n

4 5a b los términos de lugares

n 6 y n 8 equidistan de los

extremos, entonces el exponente de “a” en el término central es: A) 25 B) 36 C) 48 D) 72 E) 81

49. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. El desarrollo de 2

2 32x 5x x

tiene 6 términos.

II. El desarrollo de 3

1 2x 3y z

tiene 20 términos. III. Si el desarrollo de

n

x 2y w 5z tiene 1771

términos, entonces el valor de n es 20.

A) VFV B) FVV C) VVF D) FFV E) VVV

50. En el desarrollo del binomio

n

22 3x , el coeficiente de 24x es el

cuádruple del coeficiente de 22x , entonces el número de términos de su desarrollo es: A) 17 B) 20 C) 31 D) 43 E) 44

TURNO TARDE 51. Sean los conjuntos:

P 4; 3;4 ;2;5

Q x P / x 4 x 3;4

R x P / x 4 x 3;4

S 4; 3;4 ;2

Halle R S \ Q

A) B) 2 C) 2;5

D) 4 E) 3;4

52. Determine el número de valores

enteros de x que resuelven el sistema 227a

x 3ax 3a

2 3 4

2 2

30a x x

x aa x

a A) 2a 1 B) 2a C) 2a 1 D) 3a E) 5a


28/01/213 ÁLGEBRA - 8 -

53. Indique cuántas de las siguientes proposiciones son correctas:

I. Si 2x 1 ; entonces x 1 .

II. Si x 1 ; entonces 2x 1

III. Si 2x 1 ; entonces x 1

IV. Si x y 0 ; entonces 2 2

1 10

x y

V. Si x y 0 , entonces 2

2

x0

y

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

54. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

I. Si a,b a 0 b 1 ;

entonces ab a 1 1 .

II. Si a,b ; entonces

2 2

5ab0 1

a b 3ab

.

III. Si a ; entonces

1a a2 2 4 .

A) VVF B) VFV C) FVV D) FFV E) VVV

55. Resolver la ecuación 3x 5 x 3 e

indique el producto de las soluciones.

A) 1 B)3

2 C) 2

D) 5

2 E) 3

56. Calcule el valor de “r”, sabiendo que

u;v es el conjunto solución de la

ecuación: 2x 3x r 0 y además se

cumple: 3 3u v 6r

A) 9 B) 2 C) 1

D) 2 E) 1

57. Sean a, b, c tres números enteros que forman una progresión aritmética de razón positiva (en ese orden). Si a disminuye en 5; b disminuye en 3 y c aumenta en 11 se convierte en un P.G. (en ese orden). Si a b c 36 . Determine la razón de la P.A. A) 4 B) 6 C) 12 D) 18 E) 20

58. Si 2y x px q cuya gráfica es

entonces:

A) p

a ba

B) 2a p 2b

C) p

a b2

D) a b

p2

E) p a b

59. Si a, b, c son las raíces de

3 2P x x 5x x 3 , entonces el

valor de:

2 2 21 1 1E a b c

a b c

es:

A) 20

3 B)

23

3 C) 8

D) 10 E) 12

y

x a b


28/01/213 ÁLGEBRA - 9 -

60. Si 3p x x px q p,q de

raíces 1 2 3x , x , x y

2 2 2

1 2 1 3 2 3x x x x x x

podemos afirmar que:

A) 3 24p 27q

B) 2p 4q

C) 3 2p 4q

D) 2 227p 4q

E) 3 24p 27q

61. Señale la gráfica que mejor

representa al conjunto:

2x yA x,y y x 0;0

x x

62. Resolver la inecuación:

5 x 1 2

A) 1;26 B) 2;25 C) 1;25

D) 2;26 E) 2;

63. Si al dividir:

5 2x 29x 2a 8 x ax 1 , se

obtiene una división exacta. Halle: “a”.

A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3

64. Simplifique: 4

4

2 7 48M

63 9 48

A) 2 3

3 B) 3 C)

2

3

D) 2 3

3 E)

3

2

y

x

A)

y

x

C)

y

x

E)

y

x

D)

y

x

B)


28/01/213 ÁLGEBRA - 10 -

65. Encuentre la medida de la región rectangular ABCD en términos de “x” descrita mediante la gráfica, donde la abscisa de A es x.

A) 3 24x 6x 28x

B) 3 22x 8x 24x

C) 3 24x 16x 12x

D) 3 22x 20x 30x

E) 3 24x 24x 32x

66. Halle el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Si f es una función creciente,

entonces f x también es

creciente. II. Si f y g son funciones impares,

entonces f x g x es también

impar. III. Si f es una función, entonces

f x f x es par.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

67. Sea las funciones f definida por

mx 5

f x3x 2n

, halle los valores de

m y n si se cumplen:

domf 2 y f f

A) 6 ; 3 B) 5 ; 3 C) 4 ; 3

D) 1 ; 3 E) 7 ; 2

68. Si f :R A es suryectiva, tal que

f x x 2 x , halle A.

A) 2; B) 2; C) ; 2

D) ;2 E) ; 2

69. Dada la función cuya regla de

correspondencia es:

4 1 2 f x ; si x 10;

3f x

2x f x x 1 ; si x 1;

Determine el rango de la función.

A) 1

0;4

B) 1 1

0; ;12 2

C) 1

0; 12

D) 1

0;2

E) 1 1 1

0; , 14 4 2

70. Si f es una función definida por:

25 2 x ; x 1

f x 3 ; x 1

x

Entonces indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. f es una función impar. II. f es una función par.

III. f es decreciente en 0;

A) FVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF

71. Si

3 , x 1

H x 2 , x 2

H x 1 H x 2 , x 3

Calcule H(72).

A) 1 B) 2 C) 1

D) 2 E) 3

y

x

A B

C D

2y 2x 8x


28/01/213 ÁLGEBRA - 11 -

72. Sea f : la función definida por

2f x x x x 1 x .

Determine el rango de esta función.

A) 2; B) 1;8 C) 0;

D) E) 1;

73. Sea f : \ 1 la función

definida por x

f xx 1

, indique el

valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. x / f x f x

II. f f 2 f f 0 2

III. f f , I: identidad en \ 1

A) VVV B) VFV C) FVV D) FFV E) VVF

74. Dada la función f x x x 1 ,

x 2; , determine f x .

A)

2x 1 4x 3f x

2

domf 1;4

B) f x x x

domf 2;

C) f x 2x 1 x

domf 0;

D)

2x 1 4x 3f x

2

domf 3;

E)

2x 1 4x 3f x

2

domf 3;

75. Sea f una función en regla de correspondencia:

f x 3 x 5 x 3

Calcule E a b donde Rf a;b

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

76. Sea la función f /

22f x;y ky x y 2x 2 , para

que valores de k, la función es siempre no negativa, para cualquier valor real de x,y.

A) 1;1 B) ; 1 C) 1;

D) 2; E) ; 2

77. Sea la función f : Z con

f x x x x x , determine

Ran(f).

A) B) 2n 1/ n

C) 2n / n D) 22n 1/ n

E) 3n / n

78. Determine el rango de 2

f x xx

con x 0 .

A) 2;

B) 2 2;

C) 1;

D) 3 2;

E) 0;2

79. Dada la función 2x

f x 2x 62

.

determine la longitud entre los interseptos con el eje "x" y el máximo valor que alcanza la función.

A) 8; 2;8 B) 6; 1;5

C) 3; 3;6 D) 5; 1;5

E) 6; 6;8


28/01/213 ÁLGEBRA - 12 -

80. Determine el conjunto solución del siguiente sistema e inecuaciones:

x 1

25 5

e ln x 1

4x log x x 3 log x

A) 0;1 B) 0;3 C) 0;3 1

D) 1;3 E) 0;

81. Resolver el sistema y determine el

conjunto solución S del

sistema

x2 3 x

10

log 2x 1

A) S 0;1 B) S 0;1

C) 1

S ;2

D) 1

S ;1 \ 02

E) S 1;

82. Si "a" , ¿cuál es su valor para

que la ecuación x a 3 x tenga

infinitas soluciones? De como

respuesta el valor de a 1

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

83. Resolver el sistema:

3

x y 1

x y log 6 1

2 3 2

y de como respuesta la solución no racional de x.

A) 3log 2 B) 3log 2 C) 6log 3

D) 3log 6 E) 2log 6

84. Se requiere que el sistema si el

sistema 2

2

y b x

x b y

debe tener 2

soluciones (necesariamente), entonces el máximo valor entero de "b" es:

A) 0 B) 4 C) 3

D) 2 E) 1 85. Determine el valor de "k" para que el

sistema lineal en x e y; sea incompatible:

k 3 x 2ky 5k 9

k 4 x 3k 2 y 2k 1

A) 1 B) 3 C) 3

D) 2 E) 2 86. Sean las matrices A y B definidas por

1 3 2A

3 2 4

y

1 3

B 1 1

2 4

.

Si ij 2 2A B C a

. Halle el

elemento 21C .

A) 5 B) 13 C) 14 D) 16 E) 23

87. Determine la traza de x, si

AX AB BX ; 1 2

A3 4

;

0 2B

3 3

A) 24 B) 12 C) 6 D) 2 E) 4


28/01/213 ÁLGEBRA - 13 -

88. Sea el conjunto:

7 3iA z 1 z 2

2 5i

la gráfica que mejor representa al conjunto A es:

89. Si se cumple z 2 z 2 , halle

Re(z)

A) 1 B) 1

2 C) 2

D) 3

2 E) 4

90. Si el complejo z 1

z 1

es imaginario

puro, halle z

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

91. Determine la secuencia correcta si la

afirmación es verdadera (V) ó falsa (F): I. z 1 i z 2 i

II. z : z 1 z 10

III. iRe z

z : e 1

A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF

92. Para un entero r 1 , definimos

rrU z : z 1

Indique los valores de verdad de:

I. Para n 2 fijo, nU tiene infinitos

elementos.

II. Si n mU U , entonces m es

múltiplo de n. III. Si m y n son primos entre sí,

entonces el 1 es el único elemento

común de n mU y U .

A) VFV B) VVV C) FVF D) FVV E) VVF

93. Si nalog bc x , n

blog ac y , n

clog ab z , n N . Calcule el valor

de: nn n n

1 1 1 1E

n x 1 y 1 z 1

A) 2n B) n C) 2n

D) 1

n E)

n

2

94. El número de raíces de la ecuación

xln x 1 0

2 es:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Re

Im

A)

Re

Im

B)

Re

Im

C)

Re

Im

D)

Re

Im

E)


28/01/213 ÁLGEBRA - 14 -

95. Determine el residuo de dividir

2005 2004x 10x 2x 1 x 10

A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29

96. Si el conjunto solución de la siguiente

inecuación tiene la forma a;b c

1

2

log 2x 3 3 .

Halle a b 2c . A) 0 B) 3 C) 6 D) 9 E) 12

97. Si 0 0x ,y es la solución de la

ecuación: logx logy 8

logy 7x 10 , y x

Calcule el valor de 7

0

0

x

y.

A) 62 B) 1 C) 610

D) 4810 E) 1310 98. Determine el dominio de la función f

cuya regla de correspondencia es:

x2f x 4 2 log x

A) 3

;22

B)

3;2

2

C) 1;2

D) 3

;24

E) 5

;26

99. En los reales:

Determine el valor de

A) 101 B) 102 C) 103 D) 104 E) 105

100. Se define la operación en los reales:

Determine el valor de:

A) 4

7 B)

4

5 C)

3

5

D) 7

5 E) 1

a

b

a ba b

6

4

P

a b c a 2b c

a c

3 2 1

1 2 0

K

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Repaso Para Examen Final Algebra 2013 Ultimo