Residuos

5/11/2018 Residuos - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/residuos-55a23620d86e1 1/4

CÁLCULO DE RESÍDUOS E APLICAÇÕES EM INTEGRAIS DE

LINHA

VICTOR SANTOS

Resumo. O Cálculo de resíduos é uma ferramenta bastante importante em

Teoria de campos, especialmente no cálculo de propagadores; assim, se faz

necessário uma pequena revisão do Teorema de Cauchy para integrandos com

pontos singulares isolados.

Funções analíticas

Considere uma função de uma variável complexa f definida em alguma regiãoR. A derivada f de f para um ponto z ∈ R é dada pelo limite

(0.1) f (z) = lim∆z→0

f (z + ∆z) − f (z)

∆z

quando este existir. Se escrevermos f (z) em termos de suas partes real e imaginária,f (z) = u(x, y) + iv(x, y), e calculando o limite acima para dois caminhos distintos(um onde ∆z = ∆x e outro onde ∆z = ∆y), veremos que a exigência de que aderivada seja independente do caminho, nos leva às condições

(0.2) ∂u∂x

= ∂v∂y

, ∂v∂x

= − ∂u∂y

,

que são chamadas condições de Cauchy-Riemann .As equações em (0.2) fornecem não só uma condição necessária, mas também

suficiente, para a existência da derivada de uma função complexa. Assim, podemosdizer que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) é diferenciável em um pontoz = x + iy de R see somente se u, v satisfazem as condições de Cauchy-Riemann.

Definida a noção de diferenciabilidade, passamos à noção de analiticidade. Umafunção f (z) é dita ser analítica ou holomorfa em um ponto z0se f (z) for diferenciávelem uma vizinhança de z0. Se a função for analítica em todos os pontos de umaregião R, dizemos que f é analítica em R. Um ponto singular z0é um ponto ondea função f deixa de ser analítica.

Teorema de Cauchy

O teorema de Cauchy é um dos teoremas mais importantes em Análise Complexa,e consiste (a grosso modo) em dizer que se dois pontos são conectados por doiscaminhos distintos, as integrais de uma função ao longo desses dois caminhos sãoiguais se tal função for analítica dentro (e sobre) da região delimitada por eles. Maisprecisamente, o teorema (exibido aqui sem demonstração) é enunciado da seguinteforma:

1



CÁLCULO DE RESÍDUOS E APLICAÇÕES EM INTEGRAIS DE LINHA 2

Teorema 1. Se uma função f é analítica em um domínio simplesmente conexo D,

então sua integral ao longo de uma curva fechada simples C em D é nula:

(0.3)˛ C

f (z) dz = 0.

Uma consequência interessante desse teorema é que, se f (z) é contínua em umdomínio simplesmente conexo D e vale (0.3) para toda curva C ∈ D, então existeuma função F (z) analítica em D tal que F (z) = f (z).

Fórmula Integral de Cauchy

A fórmula integral de Cauchy é outra decorrência importante do teorema deCauchy, que mostra que os valores de uma função analítica em um contorno fechadoC determinam seus valores dentro da região delimitada por C :

Se f (z) é uma função analítica em um contorno simples fechado C e dentro da

região delimitada por ele, para qualquer ponto interior vale

(0.4) f (z) =1

2πi

˛ C

f (ζ )

ζ − zdz.

Série de Laurent e Resíduos

A série de Laurent é uma de representação em série de uma função analíticaque contém tanto potências positivas quanto negativas, ao contrário da série deTaylor, que contém apenas potências positivas. Usualmente, ela é utilizada paraexpressar funções quando não é possível usar a série de Taylor. Se uma função f (z)é analítica em um anel R = {z ∈ C; R1 ≤ |z − z0| ≤ R2}, ela pode ser representadapela expansão

(0.5) f (z) =

∞n=−∞

C n(z − z0)n

em R, onde

(0.6) C n =1

2πi

˛ C

f (z) dz

(z − z0)n+1

e C é qualquer contorno fechado simples em R que envolve a fronteira interna|z − z0| = R1.

O coeficiente do termo 1/(z − z0) da equação (0.5), que é o coeficiente C −1 échamado resíduo da função f em z0, e as potências negativas da série de Laurentsão chamadas de parte principal de f . Também denota-se

C −1 = Res(f (z); z0).

Teorema do Resíduo de Cauchy

Suponha que uma funçãof (z) é analítica na região D = {z ∈ C; 0 < |z−z0| < R},mas não no ponto z0. Então, z0é dito ser um ponto singular isolado de f (z).Nesse caso, f (z) pode ser representada pela série de Laurent (0.5), com coeficientesdeterminados por (0.6).

O teorema do resíduo de Cauchy é basicamente uma generalização do teoremade Cauchy discutido inicialmente, extendido para funções com um número finito depontos singulares isolados. Seu enunciado é:




Seja f (z) uma função analítica em um contorno simples e fechadoC (e tambémna região delimitada por ele) exceto por um número finito de pontos singulares

z1, · · · , zN dentro de C . Então,˛ C

f (z) dz = 2πiN j=1

Res(f (z); zj).

Exemplos e aplicações

0.1. Exemplo: Vamos calcular a integral

I k =1

2πi

˛ C 0

zk dz, k ∈ Z, C 0 = {z ∈ C; |z| = 1}.

Como zk é analítica para k = 0, 1, 2, . . . , nesses casos a integral é nula pelo teorema

de Cauchy; da mesma forma, a integral se anula para k = −2, −3, . . . . Para o casorestante (k = −1), teremos z = 0 como único ponto singular isolado, e tambémRes(z−1, 0) = 1; portanto,

I k = δk,−1, δk,l =

1 se k = l

0 caso contrário

0.2. Exemplo. Calcule

I =1

2πi

˛ C 0

ze1/z dz, C 0 = {z ∈ C; |z| = 1}.

A função é analítica para todos os pontos dentro de C 0, exceto z = 0. A expansãoem série de Laurent da função em torno de 0 é

ze1/z = z

1 +1

z+

1

2!z2+

1

3!z3+ · · ·

;

Assim temos Res(ze1/z; 0) = 1/2!, e portanto I = 1/2.

Integrais impróprias. Considere a integral real

(0.7) I =

ˆ ∞

−∞

f (x) dx.

Dizemos que I converge se os dois limites

(0.8) I = limL→∞ˆ

α

−L

f (x) dx + limR→∞ˆ

R

α

f (x) dx

existem para α finito. Um caso mais restritivo ocorre quando R = L, e a integralresultante é chamada de valor principal de Cauchy no infinito :

(0.9) I p = limR→∞

ˆ R−R

f (x) dx.

Se (0.8) converge, então I = I p; contudo é possível que I p exista mas não (0.8): Umexemplo simples é f (x) = x. Assim, antes de usar a expressão (0.9) é necessárioverificar a convergência de I .




Funções Racionais. Considere a integral (0.7) para uma função f (x) racional naforma

f (x) = N (x)D(x) ,

onde N (x), D(x) são polinômios reais, D(x) = 0 para todo x ∈ R e

grau(D(x)) ≥ grau(N (x)) + 2;

Esta última hipótese garante que a integral convirja, tornando possível a utilizaçãode (0.9); assim, considere a integral

(0.10)

˛ C

f (z) dz =

ˆ R−R

f (x) dx +

ˆ C R

f (z) dz,

onde C R é um semicírculo, e o contorno C encerra todas as singularidades de f (z)(D(z) = 0), ou seja, z1, . . . , zgrau(D(x)). Usando o teorema do resíduo e mostrandoque a segunda integral em (0.10) se anula, teremos no limite R → ∞,

ˆ ∞

−∞

f (x) dx = 2πigrau(D(x))

j=1

Res(f (z); zj).

Como exemplo, considere a integral

I =

ˆ ∞

−∞

x2

x4 + 1dx,

descrita como (0.10) através da função complexa f (z) = z2/(z4+ 1); no semicírculoC R, em coordenadas polares,

z = Reiθ, dz = iReiθdθ,

e portanto,ˆ C R

f (z) dz ≤

ˆ π

0

z2z4 + 1

|dz| ≤ˆ

π

0

|z|2|z|4 − 1

|dz| = πR3

R4 − 1,

que se anula no limite R → ∞. Assim o cálculo da integral recai no problema decalcular os resíduos de f (z).

Documents

Residuos